Formes multilinéaires et déterminant

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1 Emmauel Vieillard Baro Formes multiliéaires et détermiat Itroductio Motrer qu ue applicatio liéaire est iversible est à prioris pas chose évidete. e détermiat permettra, das certais cas, de motrer très facilemet si ue matrice est ou o iversible. Il permettra aussi, toujours das certais cas, d obteir facilemet l iverse d ue matrice. Efi, il servira, mais c est pour ue leço prochaîe, à la diagoalisatio et la trigoalisatio des edomorphismes d u espace vectoriel. Il costituera alors u pot etre la théorie des aeaux polyomiaux et celle de l algèbre liéaire. Das tout ce chapitre k désige u corps. Rappelos qu u corps est u espace vectoriel sur lui même de dimesio. 2 Formes multiliéaires Défiitio Soit E u k-espace vectoriel. Soit f : E E p f ois k f est ue forme p-liéaire ou ue forme multiliéaire ( ou ecore ue p-forme liéaire) sur E si pour tout i=,...,p, pour tout x,...,x i,x i,...,x p E, l applicatio x f x x i x x i x p est liéaire de E das k. ote p (E) l esemble des p-formes liéaires sur E. Propositio Soit E u k-espace vectoriel. esemble des p-formes liéaires sur E, p (E) mui de l additio des foctios à valeurs das k et de la multiplicatio par u scalaire a ue structure de k-espace vectoriel. Démostratio motre sas peie que c est u sous espace vectoriel de l espace des foctios défiies sur E et à valeurs das k. Défiitio Soit E u k-espace vectoriel. Soit f ue forme p-liéaire défiie sur u k-espace vectoriel E. Si p=2, o dit que f est ue forme biliéaire. Si p=3, o dit que f est ue forme triliéaire. Défiitio Soit E u k-espace vectoriel. Ue forme p-liéaire est dite alterée si pour tout (x,...,x p ) E p vérifiat i j p i j x i =x j, alors f(x,...,x p )=0. esemble des formes p-liéaires alterées sur E est otée p (E).

2 Emmauel Vieillard Baro 2 Défiitio Soit E u k-espace vectoriel. Ue forme p-liéaire est dite symétrique j alors f(x,...,x i,...,x j,...,x p ) = si pour tout (x,...,x p ) E p, pour tout i,j f(x,...,x j,...,x i,...,x p ). Défiitio p i Soit E u k-espace vectoriel. Ue forme p-liéaire est dite atisymé- j alors f(x,...,x i,...,x j,...,x p ) trique si pour tout (x,...,x p ) E p, pour tout i,j = -f(x,...,x j,...,x i,...,x p ). p i Propositio Si f est ue p-forme liéaire atisymétrique et si k est u corps de caractéristique différete de 2 alors f est alterée. Démostratio Comme f est atisymétrique, pour tout (x,...,x p ) E p et pour tout i,j p i j alors f(x,...,x i,...,x j,...,x p )=-f(x,...,x j,...,x i,...,x p ). Supposos que x i =x j. égalité précédete deviet: f(x,...,x i,...,x i,...,x p )=-f(x,...,x i,...,x i,...,x p ), soit 2. f(x,...,x i,...,x i,...,x p )=0, ce qui doe, k état de caractéristique différete de 2 : f(x,...,x i,...,x i,...,x p ) = 0. Avat de cotiuer, effectuos deux petits rappels à propos du groupe des permutatios d u esemble fii. Rappel : esemble des bijectios σ : p p est oté S p. Ue telle bijectio est appelée ue permutatio de p. S p mui de la loi de compositio des applicatios possède ue structure de groupe. Ue permutatio préservat tout les élémets de p sauf deux qu elle permute est appelée ue traspositio. Toute permutatio est produit de traspositio. e ombre de traspositio iterveat das cette décompositio est idépedat de la décompositio (e traspositio) choisie. Rappel 2: Il existe ue morphisme de groupe surjectif ε :S p où est mui de sa struture multiplicative. image de ε sur ue permutatio est appelée la sigature de cette permutatio. où est le ombre de traspositio das ue décompositio de σ e produit de traspositio. Si σ est élémet de S p alors ε σ Propositio Soit f ue forme p-liéaire alterée défiie sur u k-espace vectoriel E. Soiet v,...,v p, p vecteurs de E. Soit aussi σ u élémet de S p. Alors σ v σ p ε σ v p

3 Emmauel Vieillard Baro 3 Démostratio Comme les permutatios sot des produits de traspositio, il suf- j et soit τ la fit de motrer cette égalité pour ue traspositio. Soit i,j traspositio de p qui échage i et j. a clairemet: τ v τ i"! # # #! v τ j v τ p v j v i v p v i v j v p p i Propositio esemble des p formes liéaires alterées sur le k-espace vectoriel E p (E) est u sous espace vectoriel de l espace vectoriel des p-formes liéaires sur E p (E). Démostratio Il suffit de vérifier que la p-forme ulle est bie élémet de p (E) et que la combiaiso liéaire de deux formes liéaires alterées est ecore ue p- forme liéaire alterée. 3 Dimesio de $ p (E) et détermiat Propositio E désige u k-espace vectoriel de dimesio fiie et p u etier aturel. Si p est plus grad que la dimesio de E alors p (E)= 0. Démostratio Soit f p (E) et soiet v,...,v p, p vecteurs o uls de E. Comme E est de dimesio fiie <p, l u des vecteurs v p par exemple est combiaiso liéaire des p- autres vecteurs. Il existe doc α α p das k tels que peut alors écrire: v p v p p α i v i p v p vi Mais comme f est alterée, pour tout i=,...,p-, v p vi =0. a prouvé que v p =0. Cela état vrai pour toutes familles de p vecteurs de E v,...,v p, f est idetiquemet ulle sur E. Propositio Soit E u k-espace vectoriel de dimesio. esemble des - formes liéaires alterées sur E: (E) est de dimesio sur k. Démostratio Cosidéros ue base e=(e i )! # # #! de E. Cosidéros d autre part ue forme liéaire alterée f sur E aisi qu u -uplets (v,...,v ) de vecteurs de E. Pour i=,..., et j=,..., il existe des scalaires α i j k tels que pour tout j=,...,p,

4 Emmauel Vieillard Baro 4 v j α i j e i Cosidéros aussi l esemble &. peut alors écrire: v α,, i α i f e i e i i k k' ( ) ) ) ( * + des suites à élémets et à valeurs das Remarquos qu il existe ue bijectio évidete etre & et S. Cette bijectio est celle qui à ue suite (i k ) k%! # # #! de & associe la permutatio qui evoie l etier m sur l etier i m. Via cette remarque, o peut écrire: v f état alterée, pour tout σ S, Doc: Soit ecore: et posat v v σ * S α σ, - α σ f e σ σ v σ Π v v v,...,v état vecteurs quelcoques das E: f ε σ v e σ α σ -, α σ ε σ f e e σ * S α σ, - α σ ε σ f e e σ * S σ * S ε σ α σ, - α σ f e e Π Il faut motrer que Π est ue forme multiliéaire et alterée. vérifie sas peie que Π est multiliéaire. Soiet v,...,v vecteurs de E et i,j /. tels que i<j et tels que v i =v j. Π v v i v j v ε σ α σ -, α σ i, i α σ j -, j α σ σ * S ε σ α σ,, α σ i - i α σ j, - i α σ σ * S Soit τ la traspositio qui échage i et j. τ préserve tout les autres élémets de. Doc Π v v i v j v Comme τ=τ, et ε σ 0 τ Π v v i v j v ε σ α σ τ,, α σ τ i, i α σ τ j,, i α σ τ σ * S ε σ, ε σ 0 τ α σ τ, - α σ τ i - i α σ τ j, - i α σ τ σ τ * S

5 Emmauel Vieillard Baro 5 E coclusio ε σ α σ -, α σ i, i α σ j -, i α σ σ * S ε σ α σ,, α σ i - i α σ j, - i α σ σ * S Doc Π v v 0 et Π est bie alterée. ε σ α σ -, α σ i, i α σ j -, i α σ σ * S Défiitio - Propositio Soit E u k-espace vectoriel de dimesio fiie. Soit e=(e,...,e ) ue base de E.. appelle applicatio détermiat das la base e l applicatio multiliéaire alterée qui à vecteurs v j j=,..., de E d écriture v j α i j e i das la base E associe la quatitée det e v v ε σ α σ -, α σ i, i α σ j,, j α σ σ * S Démostratio Nous veos de démotrer que cette applicatio est multiliéaire alterée. Propositio Soit E u k-espace vectoriel de dimesio fiie. Soit e=(e,...,e ) ue base de E et soit det e l applicatio détermiat associée à cette base. Alors det e (e,...,e )=. Démostratio Il suffit de reveir à la défiitio du détermiat. Propositio Soit E u k-espace vectoriel de dimesio fiie. Soit la dimesio de E et soit e=(e,...,e ) ue base de E. Soit f ue applicatio -liéaire alterée. Soiet aussi v,...,v vecteurs de E. v f e e det e v v Démostratio Cette propositio est rie d autre que la ré-écriture de celle démotrée au début de ce paragraphe et qui doe la dimesio de (E). Se reporter doc à la démostratio de cette propositio. Propositio Soit E u k-espace vectoriel de dimesio fiie. Soit la dimesio de E. Soit p /. tel que p2. Alors la dimesio de p (E) est doée par dim p (E)=C p où C p désige le rapport! p!p!. Démostratio Notos & das. Ue suite élémet de & l esemble des suites à p élémets disticts et à valeurs sera otée (i k ) k%! # # #! p. Soiet v,...,v p p vecteurs de E. Pour i=,..., et j=,...,p il existe des scalaires α i j k tels que pour tout j=,...,p

6 Emmauel Vieillard Baro 6 v j α i j e i Si f est ue p-forme liéaire sur E, 43 v p i k k' ( ) ) ) ( p* + α, - i α i p f e i e i a somme précédete est doc prise sur l esemble des suites apparteat à &. Etudios plus précisémet &. Ue suite de & est caractérisée par: esemble des valeurs qu elle peut predre. ordre das lequel elle pred ces valeurs. Désigos par les etier k <...<k p les p valeurs pouvat être prises par ue suite doée de &. Soiet i,...,i p et i,...,i p deux suites de & preat leur valeurs das k k p. Il existe ue uique permutatio σ de S p telle que i σ m =i m pour tout m=,...,p. Réciproquemet si i,...,i p est ue suite de & et que σ est ue permutatio de S p, alors preat ses valeurs das le même esemble que i σ,...,i σ p est ue autre suite de & la suite (i k ) k%! # # #! p. e sous esemble de & des suites qui sot à valeur das k k p peut doc être décrit par l esemble k σ k σ p ;σ S p. E coclusio & être décrit par: & 5 k σ k σ p ;σ S p 6 k 7 # # # 7 k p 6 Ce partitioemet de & permet ue autre écriture de la somme (*): v p Mais comme f est alterée, ceci se ré-écrit: u ecore: v p v p α kσ8 9, - α kσ8 9 p f e kσ8 9 e kσ8 9 6 k 7 # # # 7 k p 6 σ * S p α kσ8 9 -, α kσ8 9 pε σ f e k e k 6 k 7 # # # 7 k p 6 σ * S p α kσ8 9, - α kσ8 9 pε σ- f e k e k 6 k 7 # # # 7 k p 6 σ * S p peut lui expressio etre parethèses est exactemet égale à det ek ( ) ) ) ( (v kp k,...,v kp ). Notos ( pour 2 k <...<k p <) Π k! # # #! k p l applicatio qui à u -uplet (v,...,v ) associe le p- uplet (v k,...,v kp ). Notos aussi e k! # # #! k p la famille libre e k,...,e kp. (*) admet comme écriture: v p det ek ( ) ) ) ( 6 k 7 # # # 7 k p 6 0 Π kp k! # # #! k p v v f e k e k Soit ecore, (v,...,v ) état u -uplet quelcoque de vecteurs de E: f 6 k 7 # # # 7 k p 6 Ce qui est beaucoups plus sympathique. f e k e k det ek ( ) ) ) ( 0 Π kp k! # # #! k p

7 Emmauel Vieillard Baro 7 vérifie sas peie que les foctios det ek ( ) ) ) ( 0 Π kp k! # # #! k p sot des formes p- liéaires alterées. p (E) est doc egedré par l esemble des formes : = det ek ( ) ) ) ( 0 kp Π k! # # #! k p ; 2 k ; ; k p 2. Remarquos que l esemble des p uplets k,...,k p tels que 2 k <...<k p 2 est de cardial C p. Doc : est de cardial C p. Motros pour termier que cette famille est libre. Cosidéros ue famille de scalaires (λ i ) pour i allat de à C p. Re-idiços cette suite de la faço suivate: (λ k! # # #! k p ) 6 k 7 # # # 7 k p 6, ce qui sera bie plus pratique. Supposos que cette suite vérifie: λ k! # # #! k p det ek ( ) ) ) ( 6 k 7 # # # 7 k p 6 0 Π kp k! # # #! k p 0 Par ailleurs, si 2 m <...<m p 2, étudios λ k! # # #! k p det ek ( ) ) ) ( 6 k 7 # # # 7 k p 6 0 Π kp k! # # #! k p e m e mp Chacu des termes det ek ( ) ) ) ( 0 Π kp k! # # #! k p e m e mp est ul sauf celui tel que k =m,...,k p =m p qui vaut. Doc λ m! # # #! m p =0. peut faire ce raisoemet pour tout les p-uplets m,...,m p tels que 2 m <...<m p 2, ce qui prouve que chacu des λ m! # # #! m p est ul et que la famille : est libre. uf!!! 4 Détermiat d ue matrice, d ue applicatio liéaire Défiitio Soit M=(α i j ) i! j%! # # #! ue matrice carrée à coefficiets das le corps k. appelle détermiat de la matrice M et o ote det(m) le détermiat des vecteurs dot les coordoées ( das la base caoique de k ) sot doées par les coloes de M: det M ε σ α σ -, α σ i, i α σ j -, j α σ σ * S Propositio Soit E u k-espace vectoriel de dimesio égale à. Soiet e=(e,...,e ) et e =(e,...,e ) deux bases de E. Alors: det e (e,...,e ).det e< (e,..,e )= ( det e (e,...,e ) est iversible das k d iverse det e< (e,..,e ). Démostratio applicatio qui au -uplets (v,...v ) de vecteurs de E associe det e< (v,...,v) est -multiliéaire alterée. Doc det e< (v,...,v )=det e< (e,...,e ).det e (v,..,v ). Mais det e< (e,...,e )= doc det e< (e,..,e ) est iversible das k d iverse celui précisé das la propositio. Défiitio - Propositio Soit f ue applicatio liéaire défiie sur le k-espace vectoriel E de dimesio fiie. Soit e ue base de E. Si M e ( f ) désige la matrice de f das la base E, alors o appelle détermiat de f le scalaire de k det( f )=det M e ( f ).

8 Emmauel Vieillard Baro 8 Démostratio Soit =dim E. Il s agit bie évidemmet de motrer que si e est ue autre base de E alors det e M e ( f )=det e< M e< ( f ), ce qui garatira le ses de cette défiitio. Rappelos que M e ( f ) est la matrice dot les vecteurs coloes sot doées par les coordoées des f e i pour i=,..., das la base e. Doc det e M e ( f )=det e (f(e ),...,f(e )). De même det e< M e< ( f )=det e< (f(e ),...,f(e )). Itéressos ous à l applicatio qui au -uplet (v,...,v ) de vecteurs de E associe det e (f(v ),...,f(v )). Cette applicatio est -liéaire alterée. Doc det e (f(v ),...,f(v )) = det e (f(e ),...,f(e )) det e (v,...,v ). E particulier, det e (f(e ),...,f(e )) = det e (f(e ),...,f(e )) det e (e,...,e ). Soit ecore: det e f e= f e=- det e M e f, det e e= e= D autre part l applicatio qui au -uplets (v,...v ) de vecteurs de E associe det e< (v,...,v) est elle aussi -multiliéaire alterée. Doc det e< (v,...,v )=det e< (e,...,e ) det e (v,..,v ). Si o applique cette formule au -uplets: (f(e ),...,f(e )), o obtiet det e< (f(e ),...,f(e )) = det e< (e,...,e ) det e< (f(e ),..,f(e )). Ce qui s écrit aussi: det e< f e=> f e=, det e< M e< f, det e< e e aboutit à l égalité: det e M e f - det e e= e= det e< M e< f - det e< e e E vertu de la propositio précédete ( det e (e,...,e ).det e< (e,..,e )= ), cela doe det e M e f - det e< M e< f - Doc det(f) est bie idépedat de la base choisie. 5 Quelques propriétés du détermiat Propositio Si f et g sot deux edomorphismes du k-espace vectoriel E alors det g 0 f det g det f Démostratio Soit la dimesio de E et soit e=(e,...,e ) ue base de E. Cosidéros l applicatio qui au -uplet (v,...,v ) de vecteurs de E associe det e (g(v ),...,g(v )). Cette applicatio est -multiliéaire alterée. Doc det e g v g v - det e g e > g e, Appliquos cette formule au -uplet (f(v ),...,f(v )), o obtiet det e g f e - g f e -, det e g e g e, det e v v det e f e > f e,

9 Emmauel Vieillard Baro 9 ce qui est exactemet det g 0 f det g det f Propositio Soit M=(α i j ) i! j%! # # #! ue matrice carrée à coefficiets das le corps k. Soit t M la trasposée de la matrice M. Alors det(m)=det( t M). α=i j Démostratio Si M=(α i j ) i! j%! # # #! alors t M=(α=i j ) i! j%! # # #! avec pour tout i,j=,..., α ji et det t M ε,, σ α=σ α=σ σ * S ε σ α, - σ α σ σ * S Comme les applicatios σ de S sot des bijectios, que le multiplicatio est commutative, o peut écrire: α -, σ α σ α, - σ? α σ? De plus, ε état u morphisme de groupes multiplicatifs, ε σσ = et doc ε σ ε σ. Cela doe det t M ε σ α σ, - α σ σ * S Propositio Soit M ue matrice triagulaire par bloc. M A@ M M= 0 M 2 B ù M et M 2 sot des matrices carrés. e détermiat de M est égal au produit det(m ) det(m 2 ). Démostratio suppose que M est ue matrice carrée à coloes. suppose que M possède m coloes. M 2 possède doc -m coloes. Notos aussi M=(α i j ) i! j%! # # #!. Cosidéros = σ S ;σ m m. Si σ est pas élémet de alors i C m tel que σ D i m E. Pour cet etier i, a σ i i=0 et ε σ α σ, -, α σ 0 Doc det M ε σ α σ -, α σ σ *GF Mais si σ alors σ m m et σ m E m E. σ est le produit d ue permutatio de m et d ue permutatio de me. Notos S m l esemble des permutatios de m E. obtiet: det M ε σσ= α σ, α σ m m α σ< m m, α σ< σ * S m σ< * S<? m

10 Emmauel Vieillard Baro 0 ε σ α σ, α σ m m ε σ= α σ< m m, α σ< σ * S m σ< * S<? m det M det M 2 Corollaire Soit M ue matrice triagulaire ( supérieure ou iférieure ) à coefficiets das u corps k. Alors le détermiat de M est égal au produit des élémets diagoaux de M. Démostratio Itéressos ous e u premier temps aux matrices triagulaires supérieures. remarque que si M est d ordre, so détermiat est clairemet égal à so (seul ) coefficiet diagoal. Supposos que la propriété est vraie pour toutes les matrices d ordre -. Soit M ue matrice d ordre. Ecrivos M sous la forme A H@ λ I-I,I 0 M= B où M est ue matrice triagulaire supérieure d ordre - et où λ est le premier coefficiet diagoale de M. a propriété précédete permet d affirmer que det(m)=λ M. Appliquos l hypothèse de récurrece: le détermiat de M est égal au produit des coefficiets diagoaux de M. e détermiat de M est alors bie égal au produit de ses coefficiets diagoaux et le théorème est démotré. Corollaire applicatio idetique Id sur le k-espace vectoriel de dimesio fii E vérifie det(id)=. Démostratio E effet, la représetatio matricielle de Id das ue base de E est la matrice dot les coefficiets diagoaux sot tous égaux à et qui a tout ses autres coefficiets égaux à 0. e détermiat d ue applicatio liéaire état celui d ue de ses représetatios matricielles, o obtiet le résultat prévu. 6 Méthodes de calcul du détermiat Propositio Soit M ue matrice carrée d ordre à coefficiet das k. e chage pas la valeur du détermiat de M e: Effectuat ue opératio élémetaire sur les coloes de M. Effectuat ue opératio élémetaire sur les liges de M. Démostratio Si M=(α i j ) i! j%! # # #! alors M est composée des vecteurs coloes NP v j KJ M α j α 2 j. α j Q

11 Emmauel Vieillard Baro e détermiat de M est égal, par défiitio du détermiat d ue matrice, au détermiat de ces vecteurs. Effectuer ue opératio sur les coloes de M reviet à additioer λv i où λ k et i à ue des coloes C j de M. Soit M la matrice obteue e additioat λv i à la jième coloe de M. a: det M= Par multiliéarité du détermiat, ceci deviet: det v v i v j E λv i v det M= det v v i v j v E λdet v v i v i v et comme le détermiat est alteré, det v v i v i v 0 et det M= det v v det M Pour ce qui est des opératios élémetaires sur les liges il suffit de cosidérer la trasposée de M: ue opératio élémetaire sur les liges de M est ue opératio élémetaire sur les coloes de t M, puis d appliquer ce qui viet d être démotré. Propositio Soit M ue matrice carrée d ordre. Soit λ k. det λm λ det M Démostratio Comme précédemet il suffit de remarquer que si v,...,v sot les vecteurs coloes costituat la matrice M alors λv,...,λv sot ceux qui costituet λm et det λm det λv λv applicatio détermiat état -liéaire, o aboutit à l égalité det λm λ det v v λ det M Propositio Soit M ue matrice carrée d ordre. chage le sige du détermiat de M si: permute deux coloes de M. permute deux liges de M. Démostratio M est costituée des vecteurs coloes v i i=,...,. e détermiat de M est égale au détermiat de ces vecteurs. Permuter deux coloes de M reviet à permuter les deux vecteurs corespodats das la liste (v,...,v ). Supposos que les vecteurs permutés soiet le ième et le jième (i<j), applicatio détermiat

12 J M Q Emmauel Vieillard Baro 2 état alterée, det(v,...,v i,...,v j,...,v )=-det(v,...,v j,...,v i,...,v ), cqfd. Pour ce qui est des liges, il suffit de cosidérer la trasposée de M. Propositio Développemet du détermiat par rapport à ue lige ou ue coloe Soit M=(α i j ) i! j%! # # #! ue matrice carrée d ordre à coefficiets das k. Soit M pq la matrice carrée d ordre - M pq α i j i! j%! # # #! ir % p jr % q e détermiat de M admet comme développemet par rapport à la jième coloe: et par rapport à la ième lige: det M det M j% i j α i j det M i j i j α i j det M i j Démostratio Cosidéros là ecore les vecteurs coloes de M v j KJ M α j α 2 j. α j Cosidéros aussi la base caoique e de k. Pour tout j=,...,. v j NP α i j e i. e détermiat de M est égal au détermiat des vecteurs v j. Cosidérat le jième vecteur, par multiliéarité de l applicatio détermiat, det M det v v α i j det v v j e i v i v Représetat les vecteurs (v,...,v j,e i,v i,...,v ) par ue matrice M, o obtiet pour M l écriture: NP α I-I,I α j 0 α j I,I-I α M=.. 0. I-I,I. I,I-I α i I-I,I α i j 0 α i j I,I-I α i α i I-I,I α i j α i j I,I-I α i α i I-I,I α i j 0 α i j I,I-I α i. I-I,I. 0. I,I-I. α I-I,I α j 0 α j I,I-I α.. Q

13 Q Emmauel Vieillard Baro 3 Par traspositio des liges et des coloes de M, o trasforme la matrice M e la matrice M : M= = J M α 2 I,I-I α j α j I,I,I α 0. M i j 0 M est triagulaire par bloc. De plus, comme M est obteue à effectuat i- traspositios sur les liges de M et j- traspositio sur les coloes de M, le det(m )=(- ) i j det(m ). Mais det(m )=det(m i j ). Doc det M α i j i j det M i j Pour ce qui est du développemet suivat les liges, il suffit de refaire le même calcul avec la trasposée de M. Défiitio Soit M=(α i j ) i! j%! # # #! ue matrice carrée d ordre. Soit M pq la matrice carrée d ordre - M pq α i j i! j%! # # #! ir % p jr % q appelle matrice adjoite de la matrice M la matrice carré d ordre M =(α=i j ) i! j%! # # #! où S i,j=,...,, α i j =(-) i j det(m i j ). Défiitio appelle comatrice de la matrice carrée M la trasposée de la matrice adjoite de M. Propositio Si M est ue matrice carrée d ordre et que MT est la comatrice de M alors M.MT =MT.M=det(M).Id. Démostratio Supposos que M=(α i j ) i! j%! # # #! et que MT =M=(α=i j ) i! j%! # # #!. Alors M.MT =(β i j ) i! j%! # # #! avec β i j α ik α=k j k%. Doc 43 β i j k% j k α ik det M jk Supposos que i j et remplaços das la matrice M la jième lige par la ième. Développos esuite cette derière matrice suivat cette jième lige. obtiet pour le détermiat de cette matrice exactemet l expressio (*). Mais cette matrice possédat deux liges égales a u détermiat ul. Doc si i j, β i j =0. Si i=j, β i j k% j k α ik det M ik qui est exactemet égale au développemet de det(m) suivat la ième lige. doc β ii =det(m). E coclusio M.MT =det(m).id. NP

14 V Emmauel Vieillard Baro 4 Travaillos maiteat sur le produit MT.M. Posos ici ecore MT.M=(β i j ) i! j%! # # #! avec β i j k% α=ik α k j. Doc 43U3 β i j k% j k det M ki α k j Si i j, o remplace la ième coloe de M par la jième. Développat cette ouvelle matrice suivat cette ième coloe, o obtiet exactemet l expressio (**). termie alors comme précédemmet. Théorème Soit M ue matrice carrée d ordre. M est iversible das l aeau (k) si et seulemet si so détermiat est o ul. De plus, das le cas où M est iversible, la matrice iverse de M est égale à, MT état la matrice adjoite de M M det M, MT et det M det M, Démostratio Si M est ue matrice carrée iversible, alors il existe ue matrice N de même ordre que M telle que M.N=N.M=Id. Doc det(m.n)=det(id)=. Mais det(m.n)=det(m).det(n). Doc det(m) est iversible das k ( et est par coséquet o ul) et det M det M- Supposos que det(m) est o ul et calculos. Notos MT la matrice adjoite de M. a propositio précédete doe M.MT = MT.M = det(m).id. Comme det(m) est o ul, det(m) est iversible et il e est de même de M. obtiet alors exactemet l expressio voulue pour M. e calcul de la matrice adjoite d ue matrice offre doc u moye de calculer l iverse de cette matrice. Ce calcul est cepedat souvet très laborieux. Cette techique est utilisée e particulier pour résoudre des systèmes d équatios du premier degré.(système de Cramer).