Partie A Partie entière, partie décimale d un réel

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1 TS spé Algorithmes liés à la divisibilité et à la divisio euclidiee Partie A Partie etière, partie décimale d u réel I. Partie etière d u réel 1 ) Défiitio Pla du chapitre Partie A : Partie etière, partie décimale d u réel I. Partie etière d u réel II. Partie décimale d u réel III. Test de divisibilité das u programme Partie B : Divisio euclidiee et calculatrice I. Rappels de propriétés et expressio du quotiet à l aide de la partie etière II. Effectuer ue divisio euclidiee à l aide d ue calculatrice III. Algorithme de divisio euclidiee d u etier relatif par u etier aturel o ul Partie C : Liste des diviseurs positifs d u etier aturel o ul I. U premier algorithme II. Amélioratio de l algorithme III. Nouvelle amélioratio Partie D : La divisio euclidiee «à l aciee» I. Méthode des soustractios successives II. Algorithme de divisio euclidiee correspodat à la méthode des soustractios successives La partie etière d u réel x est l uique etier relatif p tel que p x p 1. 2 ) Notatio La partie etière d u réel x est otée O a doc : x x x E E 1. E x. /!\ Importat : L iégalité de gauche est large ; l iégalité de droite est stricte Il faut doc bie faire attetio à appredre correctemet la défiitio. 3 ) Autres faços de défiir la partie etière d u réel La partie etière d u réel x est le plus grad etier relatif iférieur ou égal à x. La partie etière d u ombre réel est sa valeur décimale approchée par défaut à l uité. 4 ) Exemples E 2,5 2 E 10,9 10 O justifie toutes ces égalités par des ecadremets : E 3 3 E 1,3 2 E 5 5 E 4,3 2 2, , , ,3 4. La partie etière d u ombre décimal positif est égale à sa trocature à l uité. 5 ) Propriété x E x x. 5 Partie E : Retour sur l esemble des diviseurs positifs d u etier aturel o ul Partie F : Quelques formules utilisat la partie etière 1 2

2 6 ) Calculatrice Ue commade de la calculatrice permet d obteir la partie etière d u réel. Pour TI : math NUM (ou NBRE) choix 5 Pour les ombres positifs, le résultat affiché correspod à la défiitio que ous avos doée. Pour les ombres égatifs, le résultat affiché e correspod pas à la défiitio. Par exemple, la partie décimale affichée par la calculatrice de 4,3 est 0,3 et o 0,7. La foctio «partie décimale» de la calculatrice e correspod pas à otre défiitio. III. Test de divisibilité das u programme Sur TI-83 Plus : partet( Sur TI-82 Stats : ipart( ou it( 1 ) Caractérisatio des etiers relatifs à l aide de la partie etière et de la partie décimale Il s agit d ue propriété caractéristique. Il faut se méfier du choix 3 (et( ) qui e correspod pas à la partie etière. Pour CASIO : OPTN-NUM-Itg x E x x x F x 0 II. Partie décimale d u réel 1 ) Défiitio O appelle partie décimale (ou fractioaire) d u réel x le ombre Ce ombre est oté F x. x E x. 2 ) Applicatio au test pour savoir si u ombre est u etier das u programme O utilise la foctio «partie etière» ou foctio «partie décimale» de la calculatrice. 3 ) Applicatio au test de divisibilité das u programme La propriété de caractérisatio sert à élaborer des tests das des programmes : «test de divisibilité» (voir suite du chapitre). Les foctios partie etière et partie décimale permettet de rédiger facilemet des coditios. 2 ) Exemples La partie décimale de 5,83 est égale à 0,83. La partie décimale de 5,4 est égale à 0,6. 3 ) Propriétés immédiates O a toujours E F x x x (la somme de la partie etière d u ombre et de sa partie décimale est égale à ce ombre : partie etière d u ombre partie décimale le ombre ). Comme E x x E x 1, o a : 0 x E x 1 soit 0 F x 1. La partie décimale d u réel est toujours comprise etre 0 (au ses large) et 1 (au ses strict). 4 ) Mise e garde E 6 e, o a défii la partie décimale d u ombre décimal positif (partie du ombre à droite de la virgule). L expressio «partie décimale» a été employée das u ses légèremet différet de celui défii ici. La calculatrice possède ue foctio «partie décimale». Sur TI-83 Plus, la «partie décimale» est otée partdéc( et s obtiet aisi : math NUM 4 : PartDéc(. Sur TI-82 stats, la «partie décimale» est otée fpart( et s obtiet de la même faço. Cosidéros u etier relatif a et u etier relatif b o ul. b a a est u etier b E a a b b a F 0 b O retiedra le poit suivat : O peut utiliser E a a b pour traduire que b a selo le matériel de programmatio utilisé. b 4 ) Autre test de divisibilité possible das u programme O doit aussi garder e mémoire la propriété suivate, qui est fodametale, valable pour a et b a le reste de la divisio euclidiee de a par b est égal à 0. * b. Il faut se méfier de la foctio «partie décimale» de la calculatrice. 3 4

3 Cette propriété est utile pour u test de divisibilité das u programme das le cas où l o a ue commade de reste de divisio euclidiee. Partie B Divisio euclidiee et calculatrice I. Rappels de propriétés et expressio du quotiet à l aide de la partie etière 1 ) Propriété 1 [divisio euclidiee d u etier aturel par u etier aturel o ul] * a ; b! q ; r / a bq r et 0 r b. 2 ) Propriété 2 [divisio euclidiee d u etier relatif par u etier aturel o ul] * a ; b! q ; r / a bq r et 0 r b. II. Effectuer ue divisio euclidiee à l aide d ue calculatrice 1 ) Calculatrice de collège (pour mémoire) La calculatrice Casio fx-92 possède ue touche de divisio euclidiee qui marche pour des ombres positifs mais pas égatifs. Exemple : Q 20 ; R 16 Attetio ou 10, ) Calculatrice de lycée Calculatrice TI-83 Plus.fr (oire) ou TI-83 Premium CE 3 ) Expressio du quotiet à l aide de la partie etière O peut obteir le reste de la divisio euclidiee d u etier aturel par u etier aturel o ul. Propriété importate Appuyer sur la touche math ; sélectioer NUM ou NBRE puis choisir 0 : remaider( ou 0 : reste( a est u etier relatif et b est u etier aturel o ul. Le quotiet q de la divisio euclidiee de a par b est égal à la partie etière de a b. Autremet dit, avec la otatio de la partie etière, o a: q E a b. Démostratio E repreat la démostratio de l existece du couple q, r, o a défii q comme le plus grad etier tel que a qb a soit, comme b 0, q. b L égalité a bq r permet d écrire r a bq. Le reste est égal à a bq. : remaider(75,4 ou : reste(75,4 doe le reste de la divisio euclidiee de 75 par 4 O obtiet uiquemet le reste et pas le quotiet. Le quotiet s obtiet facilemet. E effet, l égalité de la divisio euclidiee d u etier aturel a par u etier a r aturel b o ul s écrit a bq r où q désige le quotiet et r le reste. O obtiet q. b Attetio, cette commade e marche que pour des etiers positifs. Calculatrice TI-83 O e peut pas obteir la divisio euclidiee d u etier par u autre. O est obligé d utiliser ue divisio décimale. Exemple : Effectuer la divisio euclidiee de par 37 e utilisat la calculatrice : , (il s agit d ue divisio décimale) La partie etière est égale à Le reste est égal à

4 O peut écrire l égalité de la divisio euc1idiee : Remarques : O peut aussi directemet calculer la partie etière de Cette méthode permet d effectuer la divisio euclidiee d etiers positifs ou égatifs par u etier aturel o ul. III. Algorithme de divisio euclidiee d u etier relatif par u etier aturel o ul 1 ) Algorithme e lagage aturel L algorithme suivat demade e etrée deux etiers aturels a et b b 0 et affiche e sortie le quotiet q et le reste r de la divisio euclidiee de a par b. Les variables a, b, q, r sot doc toutes des etiers aturels (avec b o ul). Pour les modèles TI les plus récets : Pour obteir le quotiet et le reste la divisio euclidiee d u etier aturel A par u etier aturel B o ul, o peut utiliser la foctio remaider ou reste qui e foctioe qu avec des etiers positifs. Le reste de la divisio euclidiee d u etier relatif A par u etier aturel B o ul peut être obteu par remaider(a,b) ou reste(a,b). Le quotiet de la divisio euclidiee d u etier relatif A par u etier aturel B o ul peut être obteu par (A remaider(a,b))/ B. Premier programme sur TI : : Prompt A, B : remaider(a,b) R : A R / B Q : Disp Q, R : Prompt A, B : partet(a/b) Q : A Q B R : Disp Q, R partet à remplacer évetuellemet par it (it(a/b) Deuxième programme sur TI avec quelques raffiemets cocerat l affichage : : Prompt A, B : partet(a/b) Q : remaider(a,b) R : Disp Q, R Etrées : Saisir a Saisir b r pred la valeur du reste de la divisio euclidiee de a par b q pred la valeur de a r b Sorties : Afficher q Afficher r Etrées : Saisir a Saisir b q pred la valeur E a b r pred la valeur a bq Sorties : Afficher q Afficher r PROGRAM : DIVEUCLI : EffEcr : Disp " A QB R " : Iput " A ", A : Iput " B ", B : remaider(a,b) R : A R / B Q : Disp " Q ", Q : Output(5,3,Q) : Disp " R ", R : Output(6,3,R) PROGRAM : DIVEUCLI : EffEcr : Disp " A QB R " : Iput " A ", A : Iput " B ", B : partet(a/b) Q ou it(a/b) Q : A Q B R : Disp " Q ", Q : Output(5,3,Q) : Disp " R ", R : Output(6,3,R) 2 ) Programme sur calculatrice TI Pour tous les modèles TI : Sur les modèles e aglais, remplacer EffEcr (effacer l écra) par ClrHome. Pour obteir le quotiet et le reste la divisio euclidiee d u etier relatif A par u etier aturel B o ul, o peut utiliser la partie etière (partet). Le quotiet de la divisio euclidiee d u etier relatif A par u etier aturel B o ul peut être obteu par partet(a/b). Le reste de la divisio euclidiee d u etier relatif A par u etier aturel B o ul peut être obteu par A partet(a/b)b. 7 Partie C 8

5 Liste des diviseurs positifs d u etier aturel o ul 3 ) Programme sur calculatrice TI Suivat le modèle de calculatrice utilisé, o peut exprimer la divisibilité soit à l aide de la commade de reste de divisio euclidiee soit à l aide de la partie etière ou de la partie décimale. I. U premier algorithme 1 ) Problème Faire «à la mai» la liste des diviseurs positifs d u etier aturel o ul peut s avérer extrêmemet fastidieux. Le recours à u programme permet de gager beaucoup de temps. Le but de ce paragraphe est d écrire u algorithme qui affiche e sortie les diviseurs positifs d u etier aturel o ul saisi e etrée. Rappelos que, comme ous ous itéressos à u etier aturel 1, o peut aussi bie dire «diviseurs strictemet positifs» que «diviseurs positifs ou uls» puisque 0 est pas u diviseur de. Modèles TI récets : Prompt N : For(I,1,N) remaider N, I 0 : If : The : Disp I : Pause 4 ) Commetaire : Prompt N : For(I,1,N) et N / I Modèles TI acies : If N / I [ou it N / I : The : Disp I : Pause N / I ] Cet algorithme est pas optimal. Il va s avérer extrêmemet let quad o va le «passer» sur machie. 2 ) Algorithme O retrera sur calculatrice le programme «optimal» doé das le paragraphe III. O veut rédiger u algorithme e lagage aturel u algorithme qui, pour u etier aturel 1 saisi e etrée, affiche e sortie tous ses diviseurs positifs. O utilise ue boucle. Le pricipe cosiste à tester tous les etiers de 1 à pour savoir si ce sot des diviseurs de. II. Amélioratio de l algorithme 1 ) Remarque Les diviseurs positifs d u etier aturel o ul «foctioet» par paires. O va doc pouvoir écrire u algorithme qui va beaucoup plus vite car il va permettre de dimiuer les calculs. Pour cela, o va utiliser u lemme. 2 ) Lemme Éocé est u etier aturel supérieur ou égal à 1. O coaît le ombre d itératios (ici ) ; ue boucle «Pour» est doc bie adaptée. O va écrire u premier algorithme sas se préoccuper de so «coût». Il est demadé de savoir réécrire cet algorithme. Saisir (etier aturel o ul) Traitemet et sorties : Pour i allat de 1 à Faire Si i Alors afficher i FiPour 9 Soit d et d ' deux diviseurs associés etiers aturels de (o a doc dd ' ). L u de ces deux diviseurs est iférieur ou égal à. Démostratio (à savoir refaire) 1 ère méthode : O réalise u raisoemet par l absurde. Supposos que d et d '. E multipliat membre à membre ces deux iégalités qui e comportet que des ombres strictemet positifs, o obtiet : dd ' soit ce qui est absurde. 10

6 2 e méthode : 1 er cas : d Das ce cas, la propriété est démotrée. 2 e cas : d (1) Das ce cas, d '. d D après (1), 1 1 d où d La propriété est doc démotrée. 3 ) Algorithme amélioré est u etier aturel o ul. soit d ' (car d ). Saisir Traitemet et sorties : Pour i de 1 à E Faire Si i est u diviseur de (ou Si i ) Alors Si i i FiPour Alors afficher i et i Sio afficher i O peut aisémet programmer cet algorithme sur calculatrice. III. Nouvelle amélioratio Saisir Traitemet et sorties : Pour i de 1 à E Faire Si i est u diviseur de (ou Si i ) FiPour Alors afficher i et i 3 ) Programme sur calculatrice TI pour éviter les doublets : Prompt N : For(I,1, N ) : If remaider N,I 0 [ou et N / I : The : If I N/I [ou : The : Disp I, N/I : Pause : Else : Disp I 2 I N / I ou it N / I N / I] N : ce qui représete u léger gai de temps] 1 ) Objectif O peut améliorer l algorithme pour éviter qu il affiche les «doublets». Attetio, cela pourrait avoir ue icidece si l o ajoutait ue istructio permettat de doer le ombre de diviseurs de l etier saisi e etrée (cela rajouterait 1 au résultat). La situatio d apparitio d u doublet a lieu que das le cas où l etier saisi e etrée est u carré parfait. O peut costater que ce programme est beaucoup plus rapide. Par exemple, pour 360, c est pratiquemet immédiat. À cause du «Pause», il faut appuyer sur etrer à chaque fois pour voir afficher les diviseurs au fur et à mesure. La calculatrice affiche les diviseurs etiers aturels par paires. 2 ) Algorithme est u etier aturel o ul. Comme o le voit, o est pas obligé d utiliser la partie etière de N

7 IV. Utilisatio de listes 1 ) Algorithme O repred l algorithme du I e utilisat ue liste L supposée créée et vide avat le début de l algorithme. Versio 1 : versio o opératioelle pour la programmatio [à savoir réécrire parfaitemet] Versio 2 : versio opératioelle de l algorithme précédet pour la programmatio sur calculatrice Les variables de la versio 1 sot : et i qui sot des etiers aturels ; L qui est ue liste. Les variables de la versio 2 sot :, k et i qui sot des etiers aturels ; L qui est ue liste. Versio 1 Versio 2 2 ) Programme correspodat sur calculatrice TI : Prompt N : 1 K : ClrList L1 : For (I,1,N) remaider N, I 0 : If : The : I L1(K) : K 1 K : Disp L1 Pour obteir l istructio ClrList ou EffListe, il faut appuyer sur la touche stats puis aller das EDIT et choisir 4 :. Saisir Pour i allat de 1 à Faire Si i Alors ajouter i à la liste L FiPour Afficher L Saisir Iitialisatio : k pred la valeur 1 Pour i allat de 1 à Faire FiPour Afficher L Si i Alors L k pred la valeur i k pred la valeur k 1 Pour écrire L1 das le programme, appuyer sur les touches 2de 1. À la fi du programme, o peut remplacer la derière istructio «Disp L1» par «Pause L1». O doit alors appuyer sur la touche etrer pour voir les élémets de L1 c est-à-dire les diviseurs positifs de N. Ce programme est très utile pour les exercices. 3 ) Algorithme évitat les doublets Versio 1 : versio o opératioelle pour la programmatio Versio 2 : versio opératioelle de l algorithme précédet pour la programmatio sur calculatrice Il est demadé de savoir réécrire cet algorithme. L istructio «k pred la valeur 1» tiet compte du fait que la umérotatio des élémets d ue liste sur calculatrice démarre à 1 et o à 0. Das la liste L affichée e sortie, les diviseurs serot doés das l ordre croissat

8 Versio 1 Versio 2 C est la méthode décrite par Euclide. Cette méthode peut s illustrer géométriquemet avec ue règle de logueur a. Saisir Pour i allat de 1 à E 1 Faire Si i Alors ajouter i et i FiPour Si est u etier Alors ajouter Afficher L à la liste L à la liste L Saisir Iitialisatio : k pred la valeur 1 Pour i allat de 1 à E 1 Faire FiPour Si i Alors Si E Alors Afficher L Lk pred la valeur i L k 1 pred la valeur i k pred la valeur k 2 L k pred la valeur 3 ) Exemple O cherche le quotiet et le reste de la divisio euclidiee de 11 par 3. O calcule et o compte 1 puis et o compte 2 puis et o compte 3 puis 2 3 qui est strictemet égatif doc o s arrête de compter! Le reste et le quotiet de la divisio euclidiee de 11 par 3 sot respectivemet 2 et 3 (o a : ). Cette méthode est algorithmique ; o peut doc facilemet écrire u algorithme. O peut esuite réaliser le programme correspodat. 4 ) Iterprétatio géométrique a et b sot deux etiers aturels, avec b o ul. O dispose d u segmet de logueur a. Tat que le segmet est de logueur supérieure ou égale à b, o coupe ue logueur b de la partie de segmet restate. La logueur fiale est le reste de la divisio euclidiee de a par b. II. Algorithme de divisio euclidiee correspodat à la méthode des soustractios successives La programmatio sur calculatrice e pose pas de problème. Partie D La divisio euclidiee «à l aciee» Das toute cette partie, o se place das le cas de la divisio euclidiee de deux etiers aturels. 1 ) Algorithme rédigé e lagage itermédiaire L algorithme demade d etrer u etier aturel a et u etier aturel b o ul. - Effectuer la divisio euclidiee de a par b et oter r le reste ; - Remplacer a par b ; - Remplacer b par r ; - Recommecer les calculs précédets jusqu à ce qu ue divisio doe u reste égal à 0. Le PGCD est le derier reste o ul. I. Méthode des soustractios successives 1 ) Itroductio Les premiers processeurs e faisaiet que des additios et des soustractios! Commet peut-o réaliser ue divisio euclidiee de deux etiers aturels? 2 ) Méthode La méthode aturelle employée pour faire la divisio euclidiee d u etier aturel a par u etier aturel b o ul procède par soustractios successives. O soustrait b de a tat que c est possible et o compte le ombre de soustractios faites

9 Saisir a et b Iitialisatios : q pred la valeur 0 m pred la valeur a Tatque m b Faire q pred la valeur q 1 m pred la valeur m b FiTatque Afficher q et m 2 ) Algorithme rédigé e lagage aturel (lagage structuré) L algorithme demade d etrer u etier aturel a et u etier aturel b o ul. O utilise ue boucle «Tatque» (boucle avec test d arrêt). Saisir a et b Iitialisatios : q pred la valeur 0 m pred la valeur a Tatque m b Faire q pred la valeur q 1 m pred la valeur m b FiTatque Afficher q et m L algorithme utilise 4 variables (a, b, q, m) qui sot toutes des etiers aturels. Les valeurs de q et m affichées e sortie sot respectivemet le quotiet et le reste de la divisio euclidiee de a par b. Comme pour tout algorithme avec ue boucle «Tatque», il est possible de faire l orgaigramme. 2 ) Exemple de foctioemet «à la mai» O pred a 17 et b 3. O dresse u tableau d évolutio des variables m et q permettat de dérouler l algorithme pas à pas (les variables a et b évoluet pas au cours de l algorithme). Coditio Étape q m m b vraie vraie vraie vraie vraie faux Das la divisio euclidiee de 17 par 3, le quotiet est 5 et le reste est 2. 3 ) Programme correspodat sur calculatrice O peut réaliser le programme correspodat à cet algorithme sur calculatrice ou sur ordiateur. La performace du programme est moidre, comme ous l avos dit, qu u programme direct sas boucle. La boucle écessite u certai ombre d opératios qui vot predre du temps. 4 ) Coût et performace de l algorithme : Prompt A : Prompt B : 0 Q : A M : While M B : Q 1 Q : M B M : Disp Q : Disp M Le coût d u algorithme correspod au ombre total d opératios effectués lors de l exécutio de l algorithme. Il correspod au temps d exécutio du programme (rapide ou let) lorsque l o passe sur «machie». Cet algorithme est évidemmet plus log que l algorithme qui cosiste à calculer le quotiet de a par b puis à predre la partie etière car il y a beaucoup plus d opératios. Comme b 0, la coditio m b est fausse e u ombre fii d étapes. Autremet dit, o a pas de boucle fii. Cet algorithme est doé à tire de curiosité ; il a pas tellemet d itérêt

10 Partie E Retour sur l esemble des diviseurs positifs d u etier aturel o ul Das l amélioratio sur l algorithme doat la liste des diviseurs positifs d u etier, ous avos démotré la propriété suivate : Exemple : 25 Les diviseurs positifs de 25 sot 1, 5, 25. Il y e a 3 qui est bie u ombre impair. Par disjoctio de cas, o peut formuler la propriété pour u etier aturel 1 : est u carré parfait si et seulemet si le ombre de diviseurs positifs de est u ombre impair. Soit d et d ' deux diviseurs positifs associés d u etier aturel 1. Alors l u de ces diviseurs est iférieur ou égal à et l autre est supérieur ou égal à. Cela résultat permet de préciser ue propriété sur la structure et le ombre de diviseurs positifs d u etier aturel 1. O distigue deux cas selo que est u carré parfait ou o. Rappelos qu u etier aturel est appelé «carré parfait» lorsque c est le carré d u etier (par exemple, 36 est u carré parfait). 1 er cas : est pas u carré parfait Le ombre de diviseurs positifs de est égal au double du ombre de diviseurs positifs de iférieurs ou égaux (e fait strictemet iférieurs puisque est u carré parfait) à. C est doc u ombre pair. Exemple : 18 Les diviseurs positifs de 18 sot 1, 2, 3, 6, 9, 18. Il y e a 6 qui est bie u ombre pair. Remarque : Das ce cas, o peut dire que les diviseurs positifs de se «partaget» e deux groupes : les diviseurs strictemet iférieurs à et les diviseurs strictemet supérieurs à. 2 e cas : est u carré parfait Le ombre de diviseurs positifs de est égal au double du ombre de diviseurs positifs de strictemet iférieurs à auquel o ajoute 1 (puisque est u diviseur positif de ). C est doc u ombre impair. Partie F Quelques formules utilisat la partie etière I. Nombre de multiples strictemet positifs d u etier aturel o ul iférieurs ou égaux à u réel positif doé 1 ) Propriété a est u etier aturel o ul doé. M est u réel positif ou ul doé. M Le ombre de multiples de a strictemet positifs iférieurs ou égaux à M est égal à E a. 2 ) Démostratio Les multiples de a sot les etiers relatifs de la forme ka avec k. ka M M k a Doc les multiples de a strictemet positifs iférieurs ou égaux à M sot les etiers de la forme ka où k est u M etier aturel tel que 1 k E d où le résultat. a II. Nombre de carrés parfaits strictemet positifs iférieurs ou égaux à u réel positif doé 1 ) Propriété M est u réel positif ou ul doé. Le ombre de carrés parfaits strictemet positifs iférieurs ou égaux à M est égal à E M

11 2 ) Démostratio Les carrés parfaits sot les etiers aturels de la forme 2 a M a M 2 a avec a. Doc carrés parfaits strictemet positifs iférieurs ou égaux à M sot les etiers de la forme etier aturel tel que 1 a E M d où le résultat. 6 ) Ue applicatio du logarithme décimal 2 a où a est u Il suffit d ajouter 1 pour trouver qu il y a 56 chiffres B 2 log B 2013 log 2 log B 605,9733 Le ombre de chiffres de B est égal à Pour B, il est pas possible d utiliser la calculatrice pour trouver le ombre de chiffres de l écriture e base 10 de B. Celle-ci est e dépassemet de capacité. Le but de ce paragraphe est de trouver ue formule doat le ombre de chiffres d u etier aturel. 0 1 Les ombres etiers aturels à 1 chiffre sot compris etre 10 (large) et 10 (strict). 1 2 Les ombres etiers aturels à 2 chiffres sot compris etre 10 (large) et 10 (strict).. Les ombres etiers aturels à chiffres sot compris etre 1 10 (large) et 10 (strict). Par exemple, O cosidère u etier aturel o ul A à chiffres ( 1). 1 O a : 10 A 10 (1). 1 (1) doe log 10 O a doc : 1 log A (2). log A log10 car la foctio log est strictemet croissate sur (2) permet de dire que 1 E log A d où E log A 1. O retiedra le résultat suivat dot il demadé de reteir la démostratio : *. Le ombre de chiffres e base 10 d u etier aturel A o ul est égal à Elog A 1. Exemples d utilisatio : 40 A 25 log A 40 log 25 log A 55, 9176 Le ombre de chiffres de A est égal à O aurait pu obteir ce résultat avec la calculatrice. 55 E effet, avec la calculatrice, o obtiet l affichage suivat pour le calcul de A :

12 Variate de l algorithme et du programme de la liste des diviseurs positifs d u etier aturel Algorithme L est ue liste. Saisir Iitialisatios : d pred la valeur 1 q pred la valeur k pred la valeur 1 Tatque q d Faire q pred la valeur de d Si q est u etier Alors Lk pred la valeur de d Lk 1 pred la valeur de q k pred la valeur k 2 d pred la valeur d 1 FiPour Afficher L 23