Introduction. a n = 1 n n+1. définie par H 0 = 0 et pour tout entier n 1, H n =, montrer que. 0 a p 1 p 1 p + 1. a p = 1 p. t + p dt, 2n + 2 γ S n 1

Transcription

1 Soi (a N la suie réelle défiie ar : Iroducio a = + O éudie la série de erme gééral a O more qu elle es covergee e o doe différees reréseaios de sa somme, oée γ, e aelée Cosae d Euler Pour cela o commece ar éudier la suie (S N défiie ar : S = a = = = + d = d = l( + O s iéresse égaleme à la suie (H N défiie ar H = e our ou eier, H = PARTIE I : Première aroche de la cosae d Euler Soi N E ecadra l iégrale + = d, morer que a + 2 E déduire que la suie (S N es majorée, uis qu elle es covergee e que sa limie γ aarie à l iervalle [, ] 3 Vérifier que our ou N o a : a = uis morer que our ou eier 2 o a : ( 2 a d, ( 4 E déduire u ecadreme de S m S our m e des eiers vérifia m > Puis morer que our ou eier o a : γ S 2 5 Coclure qu o a le déveloeme asymoique suiva our la suie (H N : H = l + γ + ( 2 + o 6 Pour ou N o ose T = S + Morer que γ T 2( + 7 Déermier u eier N our lequel T es ue valeur arochée de γ à 2 rès Doer alors u ecadreme de γ à 2 rès

2 PARTIE II : Deux reréseaios iégrales de la cosae d Euler Soi I u iervalle o vide de R, boré ou o e soi f : I R ue focio coiue ar morceaux O dira que f es iégrable sur I si l iégrale imrore de f sur I es absolume covergee O admera le résula suiva : Soi I u iervalle o vide de R, boré ou o e soi u ue série de focios réelles osiives, défiies, coiues ar morceaux e iégrables sur l iervalle I Si la série de focios u coverge simleme sur I vers ue focio coiue ar morceaux e si la série umérique I u coverge, alors, la focio somme + es iégrable sur I e o a : I ( + u = = = u I Das cee quesio, o se roose de démorer la covergece de l iégrale : ( e e d a Morer que les deux iégrales suivaes so covergees : u = e d e e e d b Déermier la limie de c Coclure e quad + 2 Das cee quesio o se roose de démorer que si a e b so deux réels sriceme osiifs, alors la focio e a e b es iégrable sur ], + [ e que Soie x e y deux réels sriceme osiifs a Démorer que : y x e a e b d = e a e b d = l b a bx e b Morer que our a b o a our ou réel z > : c Morer que e bz l b a bz az ax e by e d d ay d e az l b a e a e b d = l b a 3 Ue remière reréseaio iégrale de la cosae d Euler a Démorer que our our ou réel > o a : + e = e + ( e = e e (+ = = 2

3 b E déduire que our our ou réel > o a : ( e e ( = e (+ e (+ e (+2 = c Démorer que our ou réel >, o a : e ( d Rerouver alors la covergece de l iégrale e e d e démorer l égalié : ( γ = e e d 4 Ue deuxième reréseaio iégrale de la cosae d Euler Soi y u réel sriceme osiif a Calculer b Démorer que : y e d, uis déduire que e ( e lim l y + d = y + y e e y ( γ + d = e y e e d + d y e c E déduire que : ( e lim γ + l y + y + y d = d Démorer que la focio e l es iégrable sur ], + [ e que : ( e l d = lim e y e l y + y + y d e Coclure alors que : γ = e l d PARTIE III : Pour ue valeur arochée de la cosae d Euler a Démorer l égalié suivae : ( e e d = e d e (Idicaio : o ourra calculer chacue des deux iégrales 3

4 b E uilisa l égalié obeue e II3d, démorer que : γ = 2 Soi F la focio défiie ar F (x = e d = H! x (O raelle que H = e our, H = a Morer que F es défiie e dérivable sur R b Démorer que our ou réel x > o a : = e F (x F (x = x (ex c Morer alors que our ou réel x > o a : x F (x = e x e d 3 Déduire des quesios récédees que our ou réel x > o a : γ + l x = e x F (x e 4 Soi u eier e soi u eier a 2 Morer que : =a+ H! a+ (a! = x ( a a a d d ( e a 2πa a (Idicaio : o ourra admere e uiliser l iégalié :! ( 2π our ou N e 5 E déduire que our ou eier o a : a H γ + l e =! a e ( e a e + a 2πa a 6 Décrire ue méhode ermea le calcul d ue valeur arochée de γ à rès (O e demade as le calcul d ue elle valeur arochée PARTIE IV : La cosae d Euler somme de la série de Vacca (9 Pour ou eier, o ose : 2 + v = ( =2 a E séara les ermes d idices airs e ceux d idices imairs das l exressio de v, morer que our ou eier o a : v = (σ σ où σ = 2 + h h=2 4

5 b E déduire que our ou eier o a : v = σ σ = c Morerque our ou eier o a : = = σ = H d E uilisa le déveloeme asymoique de H, obeu e I 5, coclure que la série de erme gééral v es covergee e qu o a : 2 O ose, our ou N, = v = γ u = ( log où log 2 désige la focio logarihme e base 2 e x désige la arie eière du réel x a Exliquer ourquoi le crière sécial des séries alerées e erme as de morer la covergece de la série de erme gééral u b Soi u eier aurel e soi m u eier el que : + m < +2 Morer que m (, + uis e déduire que : =2 m =+ u + c Soi u eier aurel e soi m u eier el que : + m < +2 Morer que m u = = = ( v + O e e déduire que la série de erme gééral u coverge e que l o a : 3 O ose our ou eier aurel : r = = u = γ ( = a Morer que la série de erme gééral r es absolume covergee 5

6 b Exrimer v e focio de, r e r + Morer esuie que v = r r + = = Coclure que : γ = = ( + ( = = = j= ( j + j PARTIE V : La formule de Goser (972 Das cee arie o désige ar F le R-esace vecoriel des suies réelles idexées ar N Si x = (x N es u éléme de F, o oera aussi x [] le erme x de la suie x O cosidère l edomorhisme de F défii ar : x F, N, (x [] = x [] x [ + ] Pour N, o oe l edomorhisme de F obeu e comosa avec lui même fois e o ose = Id F Pour ou eier N e our ou eier [, ], désige le coefficie biômial : =!!(! Démorer que our ou N, our ou x F e our ou N o a : ( (x [] = ( x + = (Idicaio : écrire = Id F T où T es l edomorhisme de F défii, our ou x F e our ou N, ar : T (x[] = x[ + ] 2 Soi (u N ue suie réelle covergee e de limie l O se roose de morer que : a Soi N Morer que la suie lim = (( u = l b O suose das cee quesio l = Morer que lim = coverge vers u = (Idicaio : O ourra uiliser l égalié suivae : = u = = u + =+ u e, éa doée u réel ε >, choisir u eier suffisamme grad our que l o ai ( u < ε 2 =+ 6

7 c Coclure our le cas gééral où l es quelcoque 3 Das cee quesio, o se roose de démorer la roriéé suivae : Soi x = (x N F Si la série ( x coverge, alors, la série de erme gééral (x [] + coverge e o a : O ose, our ou N N : a Démorer que U N = = ( x = = (x [] + N ( x e V N = = V N = 2 N+ N q= N = ( N + U q q + (x [] + (o ourra observer que our ou N, ( x = U U, avec, ar coveio, U = b E déduire que la série de erme gééral (x [] + coverge e que : = (x [] + = ( x = 4 O cosidère das cee quesio u eier aisi que la suie x = (x j j N défiie ar : a Morer que our ou eier m o a : x j = + j ( +m m m (x [] = Idicaio : O ourra admere e uiliser le résula suiva : Pour m, N o a : b E déduire que : x ( x m dx = γ = = m= c Coclure que la cosae d Euler eu s écrire : γ = =2 m!! (m + +! 2 m = ( +m m ( 2 + 7