CHAPITRE VI SUITES EXERCICES. ) rectangle en P 1 tel que CP. , etc. par récurrence et une formule explicite de cette suite.

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1 e B Chapitre VI Sites CHAPITRE VI SUITES EXERCICES ) Doez e défiitio géérale (explicite o par récrrece) des sites dot les premiers termes sot : a),,,, 4 b),, 5, 8, c) 4,,,, 4 5 d) 0,, 4, 9, e) 7, 6, 4,,, f) 0,, 8, 7, g), 5, 0, 7, h),,,, 4 8 ) Soit triagle ( CPP ) rectagle e P tel qe CP et PP O costrit alors e site de poits P, P, P 4, tel qe ( CP P ) est rectagle e P et P P, ( CP P 4 ) est rectagle e P et P P 4, etc a) Costrisez e figre exacte avec les ciq premiers triagles b) O défiit e site de ombres réels par CP ( ) par récrrece et e formle explicite de cette site Doez e défiitio c) O défiit e dexième site de ombres réels par v Aire ( CP P ) ( ) + Doez e défiitio par récrrece et e formle explicite de cette site ) Soit etier atrel o l, o défiit les trois sites sivates : S i (somme des premiers ombres etiers atrels) - -

2 e B Chapitre VI Sites T i (somme des carrés des premiers ombres etiers) R i (somme des cbes des premiers ombres etiers) Nos allos calcler des formles explicites por ces trois sites a) Ecrivez la formle bie coe ( ) i + i + i + por i 0,,,,, pis ajotez ces + égalités membres à membres Dédisez de ceci la formle explicite por S b) Faites de même avec la formle ( i + ) la formle explicite por T De ceci et de la formle de S dédisez c) Appliqez e méthode aaloge por trover la formle explicite de R d) Appliqez ces formles por calcler la somme des 000 premiers etiers atrels, pis des carrés et des cbes de ces etiers! e) Etablissez des formles permettat de calcler la somme des premiers ombres pairs o ls, aisi qe de lers carrés et de lers cbes f) Mêmes qestios por les premiers ombres impairs g) Calclez les ombres sivats : A B C D E F ) Totes les sites ( ) * N das cet exercice sot des sites arithmétiqes de raiso r a) Trovez la formle explicite et la somme S et + b) Calclez r et S 50 5 et 7 5 c) Calclez r, et S et 4 49 d) Calclez r et S 0 e) Calclez r et 7 5 et S f) Calclez r et si S 5 40 et S

3 e B Chapitre VI Sites g) Calclez S 50 9, 5 et 9 58, 6 h) Calclez r et si S 8 6 et S 49, 5 5) Totes les sites ( ) * N das cet exercice sot des sites géométriqes de raiso q a) Trovez la formle explicite et la somme S 5 et b) Trovez la formle explicite et la somme S 8 et c) Trovez q et d) Calclez S 5 6 et e) Calclez S 7 75 et f) Calclez q et 8 et g) Calclez q et si S 5 et S 0 sachat qe q > ) Voici les qatre premiers termes de qelqes sites Por chace d elles examiez s il pet s agir d e sa o d e sg (il se pet qe ce e soit i l e i l atre!) : a) 4 5, 7 7, 8, 5 9, b) c) 4 4 d) 4 e) f) 4 7, 8 77, 45, 88 00, 7) Calclez les ombres sivats : A B C + 0, + 0, 0+ 0, ) Sites arithmético géométriqes la site défiie par : 5 N + + por Soit ( ) * - -

4 e B Chapitre VI Sites a) Ecrivez les 5 premiers termes de cette site b) Formlez e hypothèse por la formle explicite de pis démotrez-la par récrrece c) Etablissez la formle doat la somme S des premiers termes de cette site d) Gééralisatio : O appelle site arithmético géométriqe e site défiie par récrrece : a + b où a,b R et + Qe pet-o dire d e telle site si a? si a 0? si b 0? E spposat qe a 0, foctio de a et b 0, détermiez des formles doat et S e 9) Das so arbre gééalogiqe chac a dex ascedats de première géératio (le père et la mère), 4 ascedats de dexième géératio (les grads-parets), etc E comptat 5 as par géératio, calclez le ombre de vos aïex ayat véc a temps de Jles César Disctez ce résltat! 0) Voici dex faços d empiler des boîtes à coserves : a) Combie de boîtes y a-t-il sr tas de 0 ragées avec chace de ces dex méthodes? b) Das e pile costrite selo la méthode A il y a 60 boîtes Combie comporte-telle de ragées? c) Gérard a 500 boîtes et il vet costrire e pile selo la méthode B qi soit assi grade qe possible (totes les ragées doivet être complètes!) Combie de boîtes li restera-t-il? - 4 -

5 e B Chapitre VI Sites ) Itérêts composés U capital C est placé à tax ael de %, ce qi sigifie q à la fi de la première aée la baqe paie % d itérêts sr C, à la fi de la dexième aée la baqe paie % d itérêts sr le capital placé pedat la dexième aée c est-à-dire sr C agmeté des itérêts payés à la fi de la première aée, etc (à la fi de chaqe aée le cliet e reçoit pas selemet des itérêts sr so capital de départ C, mais assi sr les itérêts perçs les aées précédetes, d où le terme : «itérêts composés») O désige par * C ( ) N le capital a débt de la e aée d placemet ( C par le cliet à la fi de la e aée C ) et par * I ( ) N les itérêts perçs a) Trovez les formles explicites por ces dex sites De qel gere de sites s agitil? b) Calclez la totalité des itérêts perçs pedat aées de dex faços différetes : e fois à partir de la site C et e fois à partir de la site I c) Après combie d aées le capital de départ ara-t-il doblé? ) E admettat q e voitre perd chaqe aée 5 % de sa valer, après combie d aées e vat-elle pls qe la moitié de sa valer iitiale? Après combie d aées fat-il vedre e voitre dot le prix d achat a été de si o e vet pas la vedre à mois de 0 000? ) Différetes sortes de «moyees» Soiet a et b dex réels strictemet positifs, avec 0 < a b O appelle moyee arithmétiqe de a et de b le ombre : a + b m moyee géométriqe de a et de b le ombre : g ab moyee harmoiqe de a et de b le ombre obte e preat l iverse de la moyee arithmétiqe des iverses de a et b : h + a b a) Simplifiez la formle por obteir la moyee harmoiqe h b) Calclez les trois moyees de et, de 8 et 7, de 5 et 5 c) Motrez qe a h g m b - 5 -

6 e B Chapitre VI Sites d) Motrez qe si l e des 4 iégalités de c) est e égalité, alors les trois atres le sot assi e) Motrez qe si ( ) * f) Motrez qe si ( ) * est e sa alors : + + > N est e sg alors : N + > g) O sait qe (voir exercice ) por ajoter a % à certai ombre, il fat mltiplier a celi-ci par le facter + (pex por ajoter % o mltiplie par , 0 ) U capital C est placé pedat as, la première aée a tax de %, la dexième aée a tax de 4 % Calclez le «tax moye» sr as Gééralisez e preat a % et b % Qe costatez-vos? h) Por aller de A à B trai role à la vitesse moyee de 60 km/h et por le retor il a e vitesse de 00 km/h Calclez sa vitesse moyee sr l aller-retor Gééralisez e preat dex vitesses v et v Qe costatez-vos? 4) Trovez termes coséctifs d e sa dot la somme est 0 et le prodit 90 5) Motrez qe si, et y x y y z sot trois termes coséctifs d e sg sot trois termes coséctifs d e sa, alors x, y et z 6) Calclez les ombres r, s, t sachat qe ce sot trois termes coséctifs d e sa, qe s, t, r sot trois termes coséctifs d e sg et qe ler prodit vat 6 7) Por chace des sites sivates, examiez si elles sot croissates, décroissates o i l i l atre : a) b) + c) ( ) d) e) f)

7 e B Chapitre VI Sites 8) Etdiez la covergece des sites sivates (essayez d abord de «devier» la limite évetelle à l aide d tabler, pis jstifiez-la e tilisat la défiitio) : a) + 5 b) 7 c) d) e) 9 ( ) 5 f) 5 g) 7 + 9) Le paradoxe d Achille et de la torte A 5 e siècle avat J-C le philosophe grec Zéo d Elée, por défedre la thèse de so maître Parméide de l existece d Être iqe, idivisible et immobile, iveta le raisoemet par l absrde Por cofodre ses adversaires il disait : si, comme vos le prétedez, il y avait e plralité de choses qi seraiet e movemet etc, alors o arait ceci o cela, ce qi est absrde, doc la mltiplicité et le movemet dot vos parlez e sot qe des illsios de perspective! De l œvre de Zéo sels hit argmets os sot parves, cités par so adversaire Aristote (4 e s av J-C) das le bt de les réfter Le pls famex de argmets, le sixième, qi tete de prover l impossibilité de tot movemet, est co sos le om de paradoxe d Achille et de la torte : Si la torte a de l'avace sr Achille, celi-ci e porra jamais la rattraper, qelle qe soit sa vitesse ; car, pedat q'achille cort por atteidre le poit d'où est partie la torte, celle-ci avace de telle sorte q'achille e porra jamais aler cette avace Essayez de formler ce paradoxe à l aide d e site et de trover e répose 0) A partir d carré de côté 0 cm o costrit e site ifiie de carrés ( q ) e preat por sommets de chaqe ovea carré les miliex des qatre côtés d carré précédet a) Costrisez les qatre premiers carrés de cette site b) Détermiez la site ( ) sa covergece c où c représete la loger d côté de q, pis étdiez - 7 -

8 e B Chapitre VI Sites c) Mêmes qestios por la site ( ) d) Mêmes qestios por la site ( ) p a des périmètres de ces carrés des aires de ces carrés e) Mêmes qestios por la site S pi f) Mêmes qestios por la site T ai ) Fractales Ue «fractale» est e figre géométriqe qi a la propriété assez isolite sivate : e preat e petite partie de cette figre et e l agradissat o retrove la figre de départ et vos povez répéter ceci à l ifii L étde systématiqe de ces «fractales» (et le terme «fractale» li-même) a été iitiée par le mathématicie Beoît Madelbrot (94 00) das les aées 970 mais certaies fractales ot été ivetées dès les aées 900, comme le famex «floco de eige» de Helge vo Koch (870 94) Costrctio par étapes d floco de Koch : - o trace triagle éqilatéral de côté a : - o trasforme chac des trois côtés d triagle de la maière sivate : a où AB a et CD DE EF FG et o obtiet : - chac des segmets de cette ovelle figre est trasformé de la même maière et o cotie aisi à l ifii! - 8 -

9 e B Chapitre VI Sites O défiit alors les qatre sites sivates : k est le ombre de segmets de la figre à la e étape ( k ) c est la loger d segmet de la figre à la e étape ( c a ) p est le périmètre de la figre à la e étape ( p a ) a est l aire de la figre à la e étape a) Détermiez les formles explicites des sites( ) ler covergece k, ( c ) et ( p ) b) Motrez avec dex méthodes différetes (directemet et par récrrece) qe * 4 N a a + a 6 9 c) Dédisez-e e formle explicite de a d) Etdiez la covergece de a, pis étdiez e) La corbe de Koch a e propriété iimagiable por e figre de la géométrie «classiqe» Laqelle? ) Démotrez par récrrece les propriétés sivates : a) Si + + * alors N b) + + N est pair c) N est mltiple de d) N R ( ) x + x + x + ) Aatole, qi viet de faire héritage de , a décidé d abadoer ses étdes, de e pls travailler et de vivre désormais de ses retes Il place so arget à 4 % et retire a débt de chaqe aée por vivre pedat e aée E désigat par la somme placée pedat la e aée, calclez la formle explicite de cette site Combie d aées porra-t-il vivre de cette faço? - 9 -