LIDO 2.0. Logiciel de modélisation filaire des écoulements à surface libre NOTICE THEORIQUE. Février 2000

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1 stère de l Equpeet, des Trasports et du Logeet Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 Z b V + + J S x S g t x f 0,5 q ( f + + f + ) + 0,5 ( - q ) ( f + f ) Logcel de odélsato flare des écouleets à surface lbre NOTICE THEORIUE Févrer 000 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales

2 Févrer 000 stère de l Equpeet, des Trasports et du Logeet Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 NOTICE THEORIUE Logcel de odélsato flare des écouleets à surface lbre Auteurs du prograe: Laboratore Natoal d Hydraulque de Chatou (EF) A. POURPLANCHE (CETEF) Auteurs de la otce: A. LEBOSSE (Rédacto orgale) S. LAREYT Vu, le recteur du CETEF ffuso B G. CAUE

3 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0. Itroducto 3. odélsato 4.. éftos et otatos 4.. odélsato de base e u bef, e lt eur 6.3. odélsato e u bef, e lt coposé Problèe à résoudre odélsato «ebord» odélsato «Fod berge».4. Trateet des zoes de stockage.5. Trateet des apports.6. Trateet des oeuds 3.7. Pertes de charges sgulères 5.8. Sgulartés Prcpe gééral Seuls Ouvrages de régulatos Secto de cotrôle 8.9. Passages e charge 8 3. éthodes de résoluto Ecouleet peraet das u bef Splfcato des équatos Prcpe de résoluto e rége fluval Passage local e rége crtque 3.. Ecouleet o peraet das u bef Prcpe Equatos dscrétsées Résoluto des équatos dscrétsées Trateet des oeuds e peraet Rappel Prcpe Répartto des débts à u défluet Preère térato Itératos suvates Trateet des réseaux rafés e o peraet (Code SARA) Trateet des réseaux allés e o peraet (Code REZO) Justfcato Prcpe de codesato Prcpe de résoluto des oeuds du réseau Prcpe de calcul de pots téreurs Trateet des sgulartés éthode géérale scrétsato Résoluto e peraet Résoluto e o peraet Applcato pour u bef ou u réseau rafé Preer balayage das le ses aot/aval, coeffcets G, GE, GF o défs Preer balayage das le ses aval/aot, coeffcets F, FE, FF o défs Applcato pour u réseau allé Coeffcets F, FE, FF o défs; coeffcets G, GE, GF défs Coeffcets G, GE, GF o défs; coeffcets F, FE, FF défs Résué des éthodes de résoluto Cocluso Sélecto bblographque 50 Notce théorque Page

4 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0. Itroducto Ce rapport expose la odélsato athéatque udesoelle des écouleets fluvaux sur laquelle repose le systèe de codes LIO (LIO, SARA, REZO), as que les éthodes de résoluto des équatos résultat de cette odélsato. Ces éthodes peuvet otaet varer suvat que les écouleets sot peraets ou o peraets et auss suvat le schéa du réseau hydraulque: bef uque (code LIO), réseau rafé (code SARA), réseau allé (code REZO). Rappelos que les réseaux allés autorset u arrageet quelcoque des braches, tads que la caractérstque essetelle des réseaux rafés est qu l exste touours qu u seul che relat deux pots quelcoques du réseau. Rappelos les prcpales hypothèses ustfat la odélsato adoptée, et otaet le chox d u odèle oodesoel: chaque bef possède u axe prvlégé d écouleet, les vecteurs vtesse état touours supposés parallèles à cet axe; les écouleets sot à fable courbure das le pla horzotal; les accélératos vertcales sot églgeables, et la répartto des pressos est quas hydrostatque; la pete oyee des écouleets est fable (le cosus de l agle etre l horzotale et le fod est proche de ); les cotrates de vscosté sur le fod et les berges sot prses e copte à l ade des los eprques de frotteet (lo de Strckler). as chaque pla perpedculare à so axe, l écouleet est alors etèreet déteré par la coassace de la vtesse oyee (ou du débt total), et de la cote de la surface lbre. uelques hypothèses ot été aoutées, das la odélsato LIO, pour splfer l etrée des doées ou se placer das les cas les plus usuels: l fluece du vet est églgée, lorsqu u cofluet est pas odélsé au oye d u bef spécfque, l est supposé perpedculare à l axe prcpal de l écouleet: sa représetato cosste à trodure u apport latéral de débt, sas apport de quatté de ouveet. e plus, e raso de la éthode de résoluto adoptée, seuls les écouleets e rége fluval sot odélsables à ce our. Précsos que pluseurs autres codes ot été développés pour s affrachr des prcpales cotrates résultat de ces chox de odélsato: les écouleets bdesoels peuvet être tratés au oye du code TELEAC [3]; les écouleets oodesoels, as e rége trascrtque, peuvet être tratés au oye du code ASCARET [4]; la géoétre des befs est c fgée; le code TSAR, dot le odule hydraulque s appue sur LIO, est dévolu au trateet du trasport solde et de ses coséqueces; les grades plaes d odato, où les écouleets e sot plus oodesoels, peuvet être odélsées à l ade d u systèe de casers tercoectés, c est le rôle du code CASIER; assocé à REZO, ce code élargt alors le chap d applcato du systèe LIO, e tratat cooteet u réseau de befs et des casers de stockage assocé; cela revet à ue pseudo-odélsato ; cette odélsato sera explquée ultéreureet das des otes spécfques au odèle CASIER. Notce théorque Page 3

5 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 Ce rapport se réfère à la verso classée Assurace ualté, dte batch (sas etrée coversatoelle de doées), platée sur CRAY, HP9000, IB, et uérotée.0, des codes LIO, SARA,REZO, c est à dre e pratque à la bblothèque FORTRAN: COE.GHF.SYSLIO.VPO. La verso de référece e valdato sera la verso platée sur HP.. odélsato.. éftos et otatos Nous avos soulgé das l troducto les caractérstques de base de la odélsato. Nous ous téressos à des écouleets fluvaux das des réseaux de befs, chaque bef possédat u axe prvlégé d écouleet: les gradeurs calculées sot touours relatves à ue secto d écouleet perpedculare à cet axe, chaque secto état detfée par so abscsse le log de cet axe. Les sectos d écouleet sot cosdérées coe état la réuo de tros sous-esebles: le lt eur, lt aturel de l écouleet hors les pérodes de crues; ce lt peut copredre des îles, as das ce cas, la cote de la surface lbre sera touours supposée detque de chaque côté; das le cas cotrare, l faudrat recourr à ue odélsato e réseau allé. le lt aeur, sectos d écouleet suppléetares actves e pérode de crue, lorsque la cote de l eau passe au-dessus de la crête des berges e rve drote ou e rve gauche; ces sectos sot représetées effectveet de chaque côté du lt, les cotes de berges état dstctes das le cas gééral. les zoes de stockage, cosdérées coe des réservors se replssat e otée de crue, et se vdat e descete de crue; elles servet doc be à stocker de l eau, as cotrareet aux sectos du lt aeur, elles e partcpet pas à l écouleet propreet dt, das la esure où les vtesses das le ses de l axe d écouleet sot supposés ulles. S le lt eur est gééraleet assez asé à déterer, la lte lt aeur/zoes de stockage est au cotrare beaucoup os be défe, et peut varer suvat l portace de la crue. Lorsque les zoes de stockage sot susceptbles de géérer des écouleets trasversaux das la plae d odato, la présete odélsato devet suffsate; l est alors écessare de recourr au couplage REZO-CASIER; cette exteso est exclue de cette présete ote (vor l troducto). Lorsque le odèle attet ses ltes, ue odélsato bdesoelle rsque cepedat d être écessare, à la place ou e copléet. L estato de l éerge dsspée e frotteet est u éléet fodaetal de la odélsato. Elle est obteue au oye de la valeur du coeffcet de rugosté de Strckler (vor le paragraphe suvat), à ester séparéet das le lt eur ou le lt aeur. Sgalos que le rôle de l étaloage est d ester au eux ces coeffcets, à l ade de lges d eau aturelles coues. Cette recherche s effectue surtout au oye de éthodes essas/erreurs, et u algorthe d optsato a été spécaleet développé pour le systèe LIO (code CASTOR [8]). L llustrato et les otatos c après résuet les éléets essetels de la odélsato caractérsat ue secto d écouleet. Précsos (cec est développé das la ote d utlsato) qu l est portat de dstguer les sectos de doées (ou profls) où les gradeurs géoétrques serot calculées drecteet à partr de relevés topographques effectués au préalable, et les sectos de calcul (choses das le odèle), où les gradeurs serot obteues e terpolat, le cas échéat, les valeurs réelles à chaque profl. U exeple type de réseau rafé est préseté sur l llustrato 4 page 38; u exeple type de réseau allé est préseté sur l llustrato page 33. Notce théorque Page 4

6 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 Illustrato : Schéatsato d u profl - Notatos L t L Z L L L Zoes de stockage B Lt aeur S K A S A Lt aeur S K B Zoes de stockage K Z 0 : débt qu passe das le lt eur : débt qu passe das le lt aeur (rve gauche plus rve drote) : débt qu passe das le lt actf ( + ) q l : débt ecté ou prélevé das la rvère par ètre de logueur L : largeur au ror du lt eur L : largeur au ror du lt aeur L + L L : largeur au ror du lt actf L + L L s : largeur des zoes de stockage L t : largeur au ror total (tet copte du stockage) S : are du lt eur S : are du lt aeur S + S S : are du lt actf S + S S s : are des zoes de stockage S t : are du lt total (tet copte des zoes de stockage) K : coeffcet de Strckler du lt eur K : coeffcet de Strckler du lt aeur P : pérètre oullé du lt eur AA P : pérètre oullé du lt aeur A B + AB P : pérètre oullé du lt actf P + P R : rayo hydraulque du lt eur S / P R : rayo hydraulque du lt aeur S / P R : rayo hydraulque du lt actf S / P V : vtesse oyee de l écouleet actf / S V : vtesse oyee das le lt eur / S V : vtesse oyee das le lt aeur / S Notce théorque Page 5

7 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0.. odélsato de base e u bef, e lt eur Nous utlsos le odèle classque, be établ, des équatos de Sat-Veat (I): (I) S t t + q l (équato de cotuté) x + ( β ) gs Z gsj + γ x S x l (équato dyaque) (S: secto oullée, q l : apport latéral de débt par uté de logueur, γ l : apport latéral de quatté de ouveet). Les deux varables sot: l abscsse curvlge x le log de la rvère le teps t Les deux coues sot: la cote de la surface lbre Z (x,t) le débt (x,t) L équato de cotuté tradut la coservato du débt, l équato dyaque correspod à l équato fodaetale de la dyaque: le preer ebre représete l accélérato d ue «trache d eau», le secod la soe des forces applquées. Lorsqu l y a pas d apport latéral, q l γ l 0. E cas d apport, coe ous l avos sgalé, la verso actuelle de LIO pose ecore γ l 0, c est à dre l hypothèse d u apport perpedculare à l écouleet. Le tere g S J tradut l effet des forces de frotteet: J est u obre sas deso, représetat le taux oye de dsspato de l éerge; l déped du débt, des caractérstques hydraulques de la rvère, et be sûr du coeffcet de rugosté; sa valeur est doée par la lo de Strckler: 4 J / K S R 3 K : coeffcet de rugosté de Strckler ou R : rayo hydraulque J / : débtace Le coeffcet β, adesoel, résulte des varatos de la vtesse réelle de l écouleet e ue secto, varatos dsparassat so e raso de la seule cosdérato de la vtesse oyee. Sa défto est: S β v ds Ic, e lt uque, copte teu des hypothèses acceptées (vor l troducto), ous preos β, c est à dre que ous églgeos les varatos de vtesse au se d ue secto. Cela e sera plus vra e lt coposé. Les codtos aux ltes habtuelles e rége fluval sot: u débt posé à l aot, ue cote posée ou (e o peraet) ue relato cote/débt à l aval. E o peraet, l est uérqueet possble d poser des codtos ltes de tous les types (cote posée, débt posé, relato cote/débt) auss be à l aot qu à l aval, as elles dovet être cohéretes pour que la résoluto se déroule esute oraleet. Notce théorque Page 6

8 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0.3. odélsato e u bef, e lt coposé.3.. Problèe à résoudre Le problèe posé résulte du fat que ous e pouvos écrre drecteet u systèe d équatos aalogue à (I): fat: Les pertes d éerges dues aux frotteets e sot pas detques das les deux lts, et de ce l hypothèse d ue vtesse ufore das ue secto, et doc, e partculer, detque das les deux lts eur/aeur, est plus acceptable. ous e savos pas défr, a pror, u coeffcet de perte de charge J «global». Il est doc écessare d écrre le systèe (I) pour chacu des deux lts eur (dce ) et aeur (dce ), ce qu doe: (II) S t + 0 x t ( ) Z + gs gs J + x S x, γ (III) t S t + 0 x ( ) Z + gs gs J + γ,.. ( γ, γ, ) x S x E écrvat cec, ous coservos l hypothèse fodaetale, à savor ue cote de la surface lbre (Z) detque das le lt eur et le lt aeur. Le tere γ, représete l teracto, coue a pror, des deux lts. E soat ces deux systèes, et e appelat + le débt total, et de êe SS+S, o obtet: (IV) S t t + x 0 Z + ( + ) gs g ( S J + S J ) x S S x Notce théorque Page 7

9 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 avec J et J K S R 3, K S R 3 sot les débtaces eures et aeures, focto de Z. Ce systèe est seblable au systèe (I) e défssat ue pete globale J au oye de la relato: SJ S J + S J et e chosssat u coeffcet β o plus égal à, as satsfasat la relato: β S S + sot β + S S S S Nous avos cepedat deux coues suppléetares, et, s aoutat aux coues «habtuelles» et Z. Nous dsposos déà d ue relato sple: + Pour résoudre le systèe (IV), l faut doc, e toute gééralté, écrre ue équato dfféretelle suppléetare, ou be, plus spleet, coaître ue relato suppléetare lat les coues. Cette relato peut s obter e exprat la débtace globale e focto des débtaces eures et aeures et. La défto de la pete s écrt tout d abord: S S + S Ue soluto sple est de décder que les petes des lges d éerge sot detques das chaque lt: après la défto de J, cela revet à chosr coe débtace globale: + E raso de sa splcté, cette soluto a l avatage d être aséet gééralsable à u lt coposé quelcoque c est à dre de plus de deux lts (c eur et aeur), chaque lt correspodat à ue rugosté be caractérsée. Tout ce qu précède reste valable, et l sufft de predre coe débtace globale la soe des débtaces de chaque lt. Cepedat, cette soluto églge les teractos etre chaque lt, teractos se tradusat par le fat que les lges d éerge e sot plus detques. Pour predre e copte cette stuato, ous développos l approche suvate: Notce théorque Page 8

10 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 relatos: Nous défssos tout d abord les débtaces eure et aeure gééralsée g, par les g J et J g g E posat η, et e repreat l expresso défssat J, ous voyos que: g g η g S S + η S Nous voyos doc qu l est équvalet de se doer η, g, ou g : dès que l ue de ces tros gradeurs est doée, les deux autres sot gééraleet déterées. Le systèe (IV) s écrt alors: (V) S t t + 0 x Z + ( β ) gs x S x gsj avec η S β ( + ) S S ( + η ) J g + g ès que l o se doe η, g, ou g, les gradeurs β, J sot parfateet défes, et le systèe (V) est tout à fat aalogue au systèe (I) caractérstque d u lt sple. La résoluto doe la valeur de, pus les relatos: g η... + foursset édateet les valeurs de et. g as ce cadre, la soluto «sple» J J J rappelée c-dessus revet à écrre g et. g Notce théorque Page 9

11 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO odélsato «ebord» Ce odèle a été établ expéretaleet, e étudat le rége ufore, et e ettat e évdece ue lo de répartto de débt / (vor [5] et [6]). L extrapolato au rége graduelleet varé est tout à fat adssble, pusque ce rége est usteet déf coe proche des proprétés du rége ufore. Il repose sur l observato suvate: das les codtos éocées c-dessus, le débt s écoulat das le lt eur e lt coposé est le débt qu s écoulerat das u lt eur uque detque, ultplé d ue gradeur caractérstque A (0<A<). A s expre coe ue focto des rugostés de chaque lt. So expresso exacte est doée plus lo, l portat état d abord d obter les expressos de g et de g. La défto êe de A s écrt g A, ou ecore A J. Nous e dédusos alors g, e repreat l expresso de J: SJ S + S A SJ + S, et doc J( S A S ) S sot ( A ) S A S S g ( ) + J S S La débtace aeure gééralsée est doc égale à la débtace aeure ultplée par la quatté: S + S ( A ) uad A, ous retrouvos le odèle «splste» rappelé précédeet (, ). g g Le rapport η s écrt: η A S + S ( A ) A est ue costate du odèle ebord. Elle est évaluée par: A A πr A 0 3 cos R R pour r [ 0, 0. 3] K et A A0 0, 9 pour r > 0.3 K 6 expresso résultat d expéretatos sur odèle physque. Notos que A vare e focto de R et R, de aère à retrouver A lorsque R 0 (pas de débordeet). Notce théorque Page 0

12 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO odélsato «Fod berge» Ce type de odélsato est trodut pour trater les lts eurs où l porte de dstguer la rugosté des berges de la rugosté des fods. Nous pouvos cepedat rester das le schéa du paragraphe «Problèe à résoudre» page 7, le lt coposé résultat cette fos de l assocato de la secto stuée au-dessus du fod (à la place du lt eur) et de la secto stuée au-dessus des berges (à la place du lt aeur). Le cadre théorque est l hypothèse de ülloffer-este (vor [6]) pour la coposto des rugostés. Elle suppose: que les petes des lges de charge sot les êe pour les deux écouleets; que les vtesses sot égaleet les êes. La preère hypothèse codut à la éthode sple de coposto des débtaces rappelée das le paragraphe «Problèe à résoudre» page 7. Elle sufft à résoudre le problèe tel qu l a été usqu c posé, as alors la secode hypothèse (égalté des vtesses) a aucue raso d être vérfée. Pour l poser, ous devos cosdérer que les sectos oullées das chaque lt sot auss des coues, c est à dre e résultet pas de la seule valeur de la cote de la surface lbre (cela revet à cosdérer que la lte etre les écouleets est pas doée par les deux vertcales stuées audessus des ltes du fod e rve drote et e rve gauche) E preat l dce pour l écouleet «fod» et l dce pour l écouleet «berges», ous trodusos doc deux coues suppléetares S et S. Les deux relatos suppléetares sot alors: S + S S (surface totale) l égalté des vtesses, que ous voulos poser. S S La débtace globale est calculée e trodusat ue rugosté équvalete k défe par: () J ksr 3 L égalté des lges de charge se tradut par la relato: 3 3 () + k S R + k S R et l égalté des vtesses par la relato: 3 3 (3) kr k R (lo de Strckler applquée à chaque écouleet das le cadre des hypothèses reteues) E cobat les relatos () () et (3) ous obteos édateet: kr k R k R et R S ; R P S ; R P S P d où se dédut l expresso de k caractérsat la coposto des rugostés: k 3 k P 3 P P + k 3 Notce théorque Page

13 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 E déftve, cette éthode revet à cosdérer u lt uque, as dot la rugosté est focto de la hauteur d eau, et doée par la forule c-dessus..4. Trateet des zoes de stockage Les zoes de stockage agsset sur les écouleets e prélevat ou e resttuat de l eau, as e sot pas prses e copte das les blas éergétques. E coséquece, das l équato de cotuté, la secto oullée est la secto totale (y coprs la zoe de stockage), tads que das l équato dyaque, la secto oullée est la seule secto du lt actf (eur et aeur). Nuérqueet, la secto tervet souvet par l terédare de sa dérvée par rapport à la cote, c est à dre la largeur au ror L. Ce sot doc, de êe, les largeurs au ror totale, ou du lt actf, qu sot à utlser suvat l équato tratée. Notos que pour les calculs e peraet, les zoes de stockage sot sas effet. L équato de cotuté s écrt doc: ou ecore: ( S + S s ) t Z + q l sot: ( L + L s ) + x t x L Z t Z + q L q + q x t l s l s q l (l dce s désge les varables relatves au stockage). Le stockage équvaut doc à trodure u apport latéral de débt q s (supposé perpedculare). L fluece de la suosté du lt pourrat être prse e copte e trodusat u paraètre suppléetare s sous la fore: Z q l sl s t Cela est pas fat e raso de la dffculté d évaluer précséet L s..5. Trateet des apports Sot q l u apport latéral, expré e /s (débt par uté de logueur). Les équatos de Sat-Veat s obteet à partr du systèe I (paragraphe «odélsato de base e u bef, e lt eur» page 6) e aoutat au secod ebre de l équato de cotuté q l, et au secod ebre de l équato dyaque kq l V l (tradusat respectveet l apport de asse et l apport de quatté de ouveet). Le coeffcet k résulte du fat que l apport de quatté de ouveet déped des axes respectfs de l écouleet prcpal et de l apport, seule la vtesse das le ses de l écouleet prcpal état à predre e copte. As, pour u apport perpedculare à l axe de l écouleet, k est ul, tads que das le ses de l écouleet, k est théorqueet égal à. Pour évter la doée d u paraètre suppléetare, la verso stadard de LIO pose k 0, e prvlégat as le preer cas, le plus utle. Cette odélsato des apports est doc plutôt réservée au cas des apports «dffus» où la quatté de ouveet relatve à ces apports est de toute faço églgeable vs-à-vs de celle de l écouleet prcpal. as les autres stuatos, l est préférable d trodure explcteet u bef Notce théorque Page

14 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 représetat l apport (code SARA ou REZO, vor paragraphe suvat), auquel cas le trateet effectué revet à chosr cette fos k..6. Trateet des oeuds Les équatos de Sat-Veat sot applquées seuleet etre deux sectos d u êe bef (vor auss le trateet des sgulartés, paragraphe «Sgulartés» page 6). A chaque oeud d u réseau, l est doc écessare de trouver de ouvelles équatos. Elles sot obteues e écrvat l égalté des cotes et la coservato des débts. C est la gééralsato du résultat pouvat être obteu das le cas sple (otaet sas perte de charge) préseté c-dessous. Illustrato : Schéatsato d u cofluet 3 Le oeud est costtué des tros sectos (), (), et (3) stuées à chacue des extrétés des befs assocés. Ces sectos sot caractérsées par les varables (, Z), (, Z), (3, Z3). Nous pouvos établr les équatos du oeud e ous plaçat das le cas sple suvat: lt uque, écouleet peraet, sectos oullées telles que les vtesses le log de l axe oye du cofluet soet detques das chaque brache, frotteet ul le log du cofluet. Nous pouvos écrre les équatos de Sat-Veat le log de l axe du cofluet, e cosdérat la secto (), pus la secto (3), le bef () état traté coe u apport latéral (vor le paragraphe précédet). L équato de cotuté doe édateet: 3 - L équato dyaque se trasfore e: V x + gs Z + β x V g kq l V l (k est le coeffcet de quatté de ouveet, vor le paragraphe précédet). L hypothèse essetelle est la coservato des vtesses le log de l axe. Elle etraîe: V kv, et x β V g 0 Notce théorque Page 3

15 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 e plus: x q l Notce théorque Page 4

16 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 L équato dyaque se rédut doc à: Z x 0, sot Z3 Z E rasoat de êe e cosdérat cette fos les befs (), (3), le bef () état traté e apport, ous obtedros Z3 Z. As, l équato de cotuté doe la coservato des débts aux oeuds, et l équato dyaque doe l detté des cotes. as le cas gééral, les hypothèses sples utlsées c e sot pas vérfées, e partculer: les vtesses le log de l axe sot rareet seblables, s le frotteet peut souvet être églgé, s aoute cepedat ue perte de charge sgulère beaucoup plus portate (vor paragraphe suvat). Les relatos sples obteues sot cepedat coservées das les codes SARA, REZO, car elles sot les seules à pouvor être ses e œuvre aséet sur le pla uérque. E pratque, la coservato des débts est touours vérfée, as l detté des cotes pose au cotrare u problèe. Pour résoudre ces dffcultés, l est souhatable: de chosr les sectos extrêes les plus rapprochées possbles (cofluet «poctuel»), d trodure des pertes de charge sgulères sur les braches aot des cofluets, pour redre copte de la dsspato suppléetare d éerge (vor le rapport sur les cofluets e bblographe, et le paragraphe suvat)..7. Pertes de charges sgulères as l équato dyaque, le tere J représete les pertes de charge dtes régulères, résultat du frotteet sur le fod et les berges. es pertes de charge plus localsées, dtes sgulères, peuvet se produre e présece d obstacle, de varatos brusques de sectos, de cofluets. Elles sot odélsées à l ade d u tere Js, s aoutat à J, et trodusat ue perte de charge égale à: J ( V V ) ξ β β g s pour u élargsseet ( β V > β V, l dce désgat la secto aot, l dce la secto aval) J ξ β V g s pour u «obstacle» stué édateet à l aval de la secto. ξ et ξ sot les coeffcets de perte de charge. as la verso.0 actuelle du systèe LIO, la valeur de ξ a été posée à la sute d études bblographques (costate égale à 0.3), elle est valable pour des élargsseets progressfs (ces élargsseets sot prs e copte autoatqueet). La valeur de ξ est au chox de l utlsateur. Ue perte de charge sgulère odélsée au oye de ξ devra être trodute auss souvet que écessare, c est à dre chaque fos qu elle e résulte pas d u élargsseet progressf * L étude des pertes de charges sgulères à poser pour trater u rétrécsseet / élargsseet brutal (le plus souvet u pot) sera tratée das u rapport spécfque. * Cette perte de charge est à dquer à la secto +: e fluval, l aval flueçat l aot, ue perte de charge dquée à la secto va augeter la charge calculée à la secto -, et o duer la charge calculée à la secto. Notce théorque Page 5

17 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0.8. Sgulartés.8.. Prcpe gééral Les sgulartés les plus fréqueet recotrées sot des seuls ou des barrages de régulato. Nous trateros cepedat ce problèe das le cas le plus gééral, e appelat sgularté, toute secto de la rvère où les équatos de Sat-Veat e sot pas applquées. Pour eer à be les calculs de lge d eau, l est alors écessare d utlser, à la place de ces équatos de Sat-Veat, de ouvelles équatos (relatos de trasfert) défssat la lo de sgularté tratée. Illustrato 3: Schéatsato d ue sgularté. Nous supposos touours que cette sgularté est stuée etre deux sectos de calcul d dces et +. + L équato de cotuté est touours rédute à, tradusat l égalté du débt de chaque côté de la sgularté. E o peraet, cela trodut u léger bas, les volues d eau état plus rgoureuseet coservés, as ce bas est églgeable s la dstace séparat les deux sectos de calcul est «rasoable». L équato dyaque est spécfque à chaque type de sgularté. So expresso géérale est f(, Z aot, Z aval) 0. La focto f est trodute que das l algorthe de résoluto des systèes d équatos à trater, sous sa fore dscrétsée (vor le chaptre «éthodes de résoluto» page 9). Nous dquos c-dessous les los cosdérées suvat le type de la sgularté..8.. Seuls Sous la fore la plus géérale, la lo du seul (vor llustrato 4 page suvate) peut être de la fore f(z aot, Z aval), le type d écouleet (oyé ou déoyé) état tégré drecteet das l expresso de la focto f. Cette derère est dquée sous la fore d ue sére suffsate de trplets (, Z aot, Z aval). Notce théorque Page 6

18 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 Illustrato 4: Schéatsato des seuls Seul déoyé: le débt d e déped que de la cote aot. Z aot d Z 0 Z aval d L g ( Z Z ) aot 0 3 : coeffcet de débt L : largeur du seul Seul oyé: le débt est fluecé par la cote aval. Z aot Z aval Z 0 C d C : coeffcet oyé / déoyé Z aval Z 0 C k ; k est ue focto à défr Z Z aot 0 Notce théorque Page 7

19 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 La lo du seul peut auss être doée e écouleet déoyé (l aval fluece pas l aot), doc Le sous la fore f (Z aot), c est à dre e dquat ue sére suffsate de couples (, Z aot). Z aval Z s rége est cosdéré coe oyé dès que R est supéreur à ue valeur test R 0 (Z s Z aot Z s est u paraètre du seul). Ue correcto autoatque est alors applquée: k (R) f (Z aot). La valeur de la costate R 0, et la fore de la focto k, sot posées das le prograe, as peuvet aséet, le cas échéat, être odfées. as la verso.0, R0 est égal à 0.8, et k est ue focto parabolque défe par k(r0), k()0: ( ) k R 5R + 40R 5 Le seul peut être déf par la géoétre de sa crête, auquel cas la lo applquée e écouleet déoyé est la lo des déversors: ( ) g L Z Z k k aot k 3 Lk est la largeur d u éléet de la crête du seul de cote Z k. est le coeffcet de débt (paraètre du seul). E écouleet oyé, la correcto applquée est detque à celle défe c-dessus Ouvrages de régulatos La lo de sgularté utlsée das LIO est spleet la cote aot posée (e focto du teps) Secto de cotrôle La lo de la sgularté est ue lo quelcoque f (Z aot). Ue lo f (Z aval) peut égaleet être posée as cela a pas de ses physqueet e rége fluval. Cette possblté exste surtout pour pouvor effectuer des tests das des stuatos précses..9. Passages e charge Les passages e charge (exeple: sous u pot) e écesstet pas de odélsato spécfque das le code. La prse e copte de ces cas partculers est fate au veau des doées. Les sectos e charge dovet être surotées d ue fete vertcale de largeur églgeable (fete de Pressa). S la secto se trouve effectveet e charge, la cote Z calculée sera supéreure à la cote du soet de la secto, et doera la valeur de la presso p au oye de la relato: p ρgz U exeple est doé das la otce d utlsato. Notce théorque Page 8

20 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 3. éthodes de résoluto 3.. Ecouleet peraet das u bef Nous ous plaços das le cas usuel d u lt coposé. es zoes de stockage peuvet être défes, as elles terveet pas das le calcul, ous l avos soulgé précédeet Splfcato des équatos L équato de cotuté se rédut à q x l : le débt est costat le log de la rvère, aux apports près. L équato dyaque, appelée équato de la lge d eau, pred la fore: Elle s écrt égaleet: βv x Z + gs + J + x J s 0 β g V S x + V β V + β + Z + J + J s g x x g 0 ou ecore e utlsat l équato de cotuté: β g V β β S q V l Z + J + J s Vg x x g 0 Cette équato est dscrétsée le log de l axe d écouleet: le pas de dscrétsato x (séparat doc deux sectos de calcul cosécutves) est varable. So ordre de gradeur est la largeur de la rvère, as l sera be évdeet lé à la varablté de la géoétre des sectos Prcpe de résoluto e rége fluval as u preer teps, l équato de cotuté est résolue de l aot (où le débt est posé par la codto lte) vers l aval, e aoutat ou retrachat les apports et soutrages. Pus le calcul des cotes se fat pas à pas, e allat cette fos de l aval vers l aot.0 Pour le calcul d u pas, ous dsposos du débt aot et de la cote aval Z, et ous cherchos la valeur de la cote aot Z. Illustrato 5: Prcpe de résoluto e peraet Z (cou) Z (cou) (cou) () () x Notce théorque Page 9

21 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 L équato de la lge d eau est dscrétsée etre les sectos () et () sous la fore suvate: ( V V ) ql V V V + V β β Z Z V V ξ β β ξ V β + β β β β 0 g S S 4g x x x g g x g x g + J J Elle s écrt ecore: avec: ZZ+JX+JSX+XBETA+X+XV JX [/(/J+/J)]. x JSX (/g).[ξ(bv-bv) + ξbv ] V XBETA (/g)(β-β) + V X (/g)(-) β V β V + S S XV (/g) ( βv βv ) sot Z F(Z) () (problèe de pot fxe) Il faut doc résoudre l équato () d coue Z adettat, a pror, pluseurs solutos; ous recherchos la soluto fluvale. La éthode cosste à déterer les zéros de la focto α Z - F(Z). O part de la soluto approchée: Z (0) Z + J x O calcule deux autres solutos approchées à l ade de (): Z () + F(Z (0)) d où ε0 Z (0)- Z () Z () + F(Z ()) ε Z ()- Z () Notce théorque Page 0

22 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 O coaît as deux pots A et B du graphe c dessous: Illustrato 6: Prcpe de calcul de la soluto approchée α Z-F(Z) α0 A α B C Z (0) Z () Z (3) X Z A l ade de ces deux pots, o calcule ue autre soluto approchée X par la «éthode de la sécate». L expérece a otré qu l état pas souhatable d utlser cette valeur, as plutôt la desoe des solutos les plus proches de l axe des Z, sot sur l llustrato: Z (3) [ X + Z () ]/ O calcule esute α(z (3)), ce qu peret de coaître u autre pot du graphe α(z), le pot C. Le processus repred à partr des deux pots les plus proches de l axe des Z (das otre cas: B et C). O procède de faço tératve. as le cas où α(z) garde touours le êe sge, o arrête le calcul quad le crtère α( Z) est satsfat avec 0-6. as le cas où α(z) chage de sge, o éle, das u preer teps, par les deux pots qu sot du êe côté de l axe des Z, celu qu e est le plus élogé, pus, das u secod teps, o détere ue ouvelle approxato e preat la de-soe des pots coservés. O recoece le calcul usqu'à ce que le crtère d arrêt sot satsfat. REARUE quat à la soluto obteue: e gééral, le calcul coverge e os de 0 tératos, la soluto obteue est gééraleet fluvale; das le cas verse, le paragraphe suvat présete la procédure adoptée Passage local e rége crtque Be que le doae d applcato de LIO sot l écouleet e rége fluval, l serat doageable de e pas pouvor tolérer le odre passage e torretel, êe localsé au vosage d u obstacle partculer. U trateet partculer a doc été platé pour de tel cas de fgure. Notce théorque Page

23 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 Illustrato 7: Schéatsato d u passage local e torretel. Sot le cas suvat, correspodat à u passage local e rége torretel etre les pots C et C. A C C B Hauteur crtque Fluval Torretel Fluval La éthode sple proposée vse à retrouver la boe cote à l aot de ce passage sguler (pot A) de faço à poursuvre sas erreur le calcul sur la parte aot. E costatat que la éthode exposée das le paragraphe précédet s applque à tout le doae fluval, usque et y coprs le rége crtque, l sufft d assurer que la lge d eau calculée passera par C. Pour cela deux codtos sot suffsates: s le calcul détecte u chageet de rége (fluval à torretel) lors du passage à la secto de calcul aot, l posera e ce pot la soluto crtque, et ce usqu'à retrouver ue soluto aot du type fluval; le allage dot être suffsaet f das cette zoe pour tober effectveet sur le pot C (ou e tout cas sur u pot vos). Alors la lge d eau calculée sera la suvate: Illustrato 8: Soluto locale d u passage e torretel A C C B Hauteur crtque Fluval Torretel Fluval Notce théorque Page

24 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO Ecouleet o peraet das u bef 3... Prcpe Nous ous plaços das le cas le plus gééral d u lt coposé: lt eur, lt aeur, zoes de stockage. Rappelos les équatos régssat la lge d eau. Equato de cotuté: x + L t Z t q l Lt est la largeur totale au ror de l écouleet, cluat les largeurs des lts eur et aeur as que les zoes de stockage. Equato dyaque: t + βv Z gs J x + x + + J s 0 Cette équato s écrt auss e fasat terver la débtace : Z βv + + J s + + x Sg t x 0 Ces équatos sot résolues par ue éthode de dfféreces fes (vor l llustrato c-dessous), utlsat u schéa plcte. La dscrétsato est de type Wedroff, θ est le coeffcet d plctato. Le schéa est stable, e rége fluval, lorsque θ> 0.5 (vor []) Illustrato 9: scrétsato e dfféreces fes t + t (+) t θ t t - θ x x x + x Rappelos que par coveto +, et précsos que x devrat e toute rgueur être oté x, le pas d espace varat a pror das le bef cosdéré. Les dérvées e x et t sot calculées au preer ordre de la faço suvate: f x f + f + f f θ + ( θ) x x et f t f + f f + f + t t Les foctos qu terveet sas dérvées sot évaluées par: f θ + + f + f f + f + ( θ) Notce théorque Page 3

25 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO Equatos dscrétsées Les équatos dscrétsées s écrvet tout d abord as: Equato de cotuté ( θ ) + θ ( Lt L t ) Z Z Z + x x t t Z ql Equato dyaque ( ) ( ) ( + ) + ( + ) θ θ θ θ Z Z Z [ ] ( θ) + θ + J s( ) + Js ( ) x Z + + θ + θ + g S S g S S x θ ( + J ) + t x S S + θ β + β + x ( ) x β S β S E posat: (I) + + Z Z Z + + Z Z Z O obtet, après léarsato, c est-à-dre e e coservat que les teres du preer ordre e Z et, pour l équato de cotuté: (II) G + H Z I + J Z + K où Gθ IG H [ Lt L t ] x + 4 t J-H K + ql + Notce théorque Page 4

26 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 et pour l équato dyaque: (III) L + Z N + O Z + P où L B + C H ( E + F ) ( ) ( ) C + H F + H F + C + H F ( ) N B C H E + F ( ) ( ) O C + H F + H F C + H F ( ) P B C + H F sachat que les dvers teres de l équato dyaque ot été léarsés de la faço suvate (les varables o dcées correspodet au pas de teps ): B + B + B 3 [ ( ) ( )] B sg + sg B θ B 3 θ C + C Z + C Z 4 5 ( ) C + (( ) ( ) ) C θ α + α 4 (( ) ( ) ) C θ α + α 5 Notce théorque Page 5

27 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 ( α ) ( α ) K R 3 L R P 5 Z 3 K R 3 L R P 5 Z 3 K R 3 ( α ) 5L R 3 P Z K R 3 ( α ) 5L R 3 P Z K ' AK ' K + S / S ( A ) K Z x ( ) ( ) + J + J Z + Z + Z S S 4 5 Z Z x ( ) ( ) + J + J S S 4 θ x 5 θ x x E + E 3 E t Notce théorque Page 6

28 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 E 3 t x β S F + F + F 3 + F 4 Z + F 5 Z F F F F F [ V V ] x β β θ β x [ V ] θ β x θ β x [ V ] θ β x [ V L ] t [ ] V L t Sg H + H Z + H Z 4 5 H g + S S H H L θ g S 4 Lt θ g S 5 t Notce théorque Page 7

29 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO Résoluto des équatos dscrétsées E appelat x Z le vecteur cou au pot, les équatos (II) et (III) peuvet s écrre: (IV) a x b x + c où a et b sot des atrces ( X ) et c u vecteur coloe: G a L H, b I N J et c K P Les codtos aux ltes s écrvet das leur gééralté sous la fore: sot ecore: R + S Z T (V) pour pour la l te aot la l te aval d x e d x e (où d et d sot des vecteurs lge, e et e des scalares, et le obre de pots de calcul). Le systèe des ( - ) équatos (IV) (l s agt d équatos vectorelles à deux coposates, sot ( - ) équatos scalares) et des deux équatos (V) (scalares) peut se ettre sous ue fore atrcelle classque X N où l coue est: X x.. x Pour résoudre ce systèe, o eploe pas de éthode uverselle de résoluto s applquat à tout systèe, as o explote sa structure e utlsat la éthode du double balayage. Cette éthode cosste, e partat d ue lte de bef où l o coaît la lo: R + S Z T à déterer à l ade des relatos IV das toutes les sectos de calcul des relatos dtes «d pédace» de la fore: R + S Z T Notce théorque Page 8

30 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 Le calcul des coeffcets de la relato d pédace se fat de la aère suvate: Partat de l aval, das u preer teps, o calcule les coeffcets FA, FB,...FF de la relato dte de trasfert, suvate: (VI) Z FA F FB FE x Z FC + FF Cette relato est dédute de IV et l o trouve: FA (I - HN) / (G - LH) FB (J - HO) / (G - LH) FC (K - HP) / (G - LH) F (- LI + GN) / (G - LH) FE (- LJ + GO) / (G - LH) FF (- LK + GP) / (G - LH) S l o coaît la relato d pédace das la secto repérée par l dce R + S Z T das la secto repérée par l dce -, ous auros: où les coeffcets R, S, T sot doés par: R + S Z T R R FA + S F S R FB + S FE T R FC + S FF + T O «balaye» as de proche e proche les sectos de l aval vers l aot («otée»). Arrvé à l autre extrété du bef, o possède deux équatos à deux coues: la relato d pédace précédeet calculée et la lo à la lte, doée du problèe. Les coues sur cette frotère état calculées, l reste à déterer celles des pots téreurs au doae, ce qu se fera par u secod balayage, e ses verse («redescete»). Pour ce fare, o trasportera l forato d ue secto à l autre e utlsat ue relato etre et, c est à dre: FA + FB Z + FC La secode coue Z état calculée à l ade de la relato d pédace relatve à la secto. Notce théorque Page 9

31 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 Be évdeet, o peut égaleet applquer la éthode e partat de l aot: coe précédeet, das u preer teps, o calcule les coeffcets GA, GB,..., GF de la relato de trasfert: (VII) Z GA G GB GE x Z GC + GF GA (OG - JL) / (IO - NJ) GB (OH - J) / (IO - NJ) GC (OK - JP) / (IO - NJ) G (- NG + IL) / (IO - NJ) GE (- NH + I) / (IO - NJ) GF (- NK + IP) / (IO- NJ) s l o coaît la relato d pédace das la secto repérée par l dce R + S Z T das la secto repérée par l dce +, ous auros: R + S Z T R R GA + S G S R GB + S GE T R GC + S GF + T Après la «descete» usqu'à la lte aval, la «reotée» s effectue alors vers l aot à l ade de la relato GA + GB Z + GC 3.3. Trateet des oeuds e peraet Rappel Les équatos résolues aux oeuds sot: la cotuté des débts, l detté des cotes das chaque brache (vor la ustfcato das le paragraphe «Trateet des oeuds» page 3). U oeud aoute doc pas d coue suppléetare: les coues à calculer sot les coues (Z, ) des sectos de calcul costtuat ce oeud. As, das l exeple c-dessous: Illustrato 0: Exeple de schéatsato d u oeud oeud Z Z Z 3 3 Notce théorque Page 30

32 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 Les coues sot (Z, ) (Z, ) (Z 3, 3 ) et les équatos du oeud sot: Z Z Z 3 Nous pouvos vérfer spleet que ces relatos sot suffsates pour déterer les valeurs de (Z, ) das tout le réseau étudé. Soet: bbef bl le obre total de sectos de calcul à trater (soe des sectos de calcul de toutes les braches) le obre de befs le obre d extrétés lbres Pour tout le réseau, o peut écrre (-bbef) équatos de cotuté et autat d équatos dyaques dscrètes de Sat-Veat. Les coues sot les (, Z) aux sectos de calcul, soet coues. Aux extrétés lbres, o coaît les codtos ltes qu ous doet bl relatos suppléetares. Pour l eseble des oeuds, o peut écrre: boeu équatos de coservato de débt, (bbef-bl)-boeu équatos d égalté de cote; e effet (bbef-bl) représete le obre d extrétés de braches arrvat à u oeud (chaque bef dot être coptablsé deux fos sauf ceux qu ot ue lte); à chaque oeud, s l arrve k braches, o a que k- équatos d égalté de cote; l faut doc au total elever boeu à bbef-bl. Faleet, ous dsposos doc de: (-bbef)+bl+boeu+(bbef-bl)-boeu équatos pour coues Prcpe L algorthe préseté c est valable quel que sot le réseau (rafé ou allé) à codto de respecter les deux codtos suvates: le ses de l écouleet est cou a pror das chaque bef, pour toutes les ltes lbres, la codto lte est le débt s l s agt d ue extrété aot, et la cote s l s agt d ue extrété aval. E pratque, cet algorthe rsque cepedat d être très coûteux e teps calcul dès que le réseau est coplexe (défluets brqués, vor c-après). Il vaudrat eux, das tous ces cas, recourr au code REZO o peraet (vor c-après), e partat d ue lge d eau tale sple, et e chosssat les codtos ltes de aère à coverger vers u état statoare correspodat à la lge d eau peraete recherchée. Notce théorque Page 3

33 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 Avat de préseter l algorthe, l est utle de fare l observato suvate. Le problèe est très sple s le réseau e coporte que des cofluets, car e descedat depus les ltes aot, o calcule le débt e tout pot du doae, et l sufft alors de calculer les cotes des lges d eau e reotat de proche e proche suvat le che verse, et selo le êe procédé que pour u bef. Au passage de chaque oeud, l égalté des cotes peut être posée sas dffcultés. Le problèe essetel est doc de calculer la répartto de débts à u défluet. La soluto reteue c est ue éthode tératve que ous allos explcter das le paragraphe suvat. Ce caractère tératf a coe coséquece que l algorthe gééral est lu-êe tératf, les tératos état brquées de la êe aère que les défluets (vor les llustratos et ). Précsos de plus que: «descedre u bef» sgfe calculer le débt à chaque secto de calcul successveet, das le ses aot / aval, «reoter u bef» sgfe calculer la cote à chaque secto de calcul successveet, das le ses aval / aot. L llustrato, page 3, expose l algorthe de résoluto, tads que l llustrato, page 33, l llustre sur le cas d u réseau allé copreat deux défluets brqués (pages suvates). Cet exeple peut être cosdéré coe représetatf des cas les plus coplexes pouvat être tratés das u teps rasoable grâce à cet algorthe. Au-delà, coe ous l avos sgalé, l est recoadé d utlser l algorthe de résoluto d u réseau allé e o peraet Répartto des débts à u défluet Preère térato Nous avos à chosr ue répartto de débt vérfat ( aval est le obre de braches à l aval): aot aval tel que J La soluto reteue est d poser l égalté des petes des lges de charges: J J ou ecore cste J E reportat das l équato de cotuté, ous obteos: aval aot J Cette soe de débtaces e déped que de la géoétre et de la rugosté des befs aval et est ue focto de la cote qu das le cas gééral est ootoe crossate. Pour ue valeur de J doée, l est possble de calculer ue cote satsfasat cette relato, pus pour cette cote, calculer les pus les. as la verso.0 de SARA, la soluto adoptée pour ce preer téré est de predre pour J, la oyee des petes des fods des braches aval. Notce théorque Page 3

34 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 Illustrato : Algorthe de résoluto d u réseau e rége peraet Italsato de l'algorthe (Repérage de l'ordre de parcours des befs) Repredre la descete des befs à partr de ce oeud escedre tous les befs pour lesquels le débt aot est cou Passer à l'térato suvate pour la répartto des débts à ce oeud Tous les befs otls été descedus? No Répartr le débt à tous les défluets pour lesquels tous les débts aot sot cous No Ou Frachsseet d'u défluet : y-a-t-l égalté des cotes aval calculées? Reoter tous les befs das l'ordre verse de celu de la descete Ou Algorthe achevé lorsque tous les befs ot été reotés Notce théorque Page 33

35 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 Illustrato : Exeple de résoluto d u réseau e rége peraet Bef Bef 5 Bef 6 Bef 4 Bef 8 Bef 3 3 Bef 7 Bef 4 ALGORITHE escedre bef escedre bef 4 Répartr le débt au oeud (térato ) escedre bef escedre bef 3 escedre bef 7 p Répartr le débt au oeud (térato.p) escedre bef 5 escedre bef 6 escedre bef Reoter bef 8 Reoter bef 6 Reoter bef 5 Egalté des cotes aval au oeud? s o : pp+ s ou : poursuvre Reoter bef 7 Reoter bef 3 Reoter bef Egalté des cotes aval au oeud? s o : + s ou : poursuvre Reoter bef 4 Notce théorque Page 34

36 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 Reoter bef Notce théorque Page 35

37 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO Itératos suvates Le problèe à résoudre est de déterer les elleures correctos de débt à apporter, par rapport à la répartto chose à l térato précédete, pour s approcher le plus possble de l égalté des cotes aux sectos orge des befs aval. L dée est de déterer la correcto de débt e cosdérat coe doées les petes des lges d éerge J (égales à celles de la précédete térato), pour tedre vers l égalté des cotes e cotuat à respecter strcteet la cotuté des débts. Pour chacue des sectos d orge des braches aval, o peut écrre (pour ue cote doée): ou J J l dce correspodat au uéro de la brache aval. E dfférecat etre les tératos et +, et e explctat le tere J l vet: (I) δ J Z δz ( désge touours le uéro de l térato, ce est pas ue pussace) avec J + + où δ et δz Z Z La relato de cotuté des débts s écrt, s aval est le obre de braches aval: aot aval ou (II) aval δ 0 La correcto de débt se fat de faço à tedre vers l égalté des cotes au oeud, o veut doc: + Z cste Z ce qu doe: (III) δz Z Z les Z état les résultats de l térato précédete. O a doc aval relatos (I) relato (II) aval relatos (III) Notce théorque Page 36

38 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 Notce théorque Page 37 soet aval+ relatos pour aval+ coues (δ δ Z, et Z) δ δ δ δ Z Z Z Z Z aval 0 d où l o tre Z Z Z Z aval aval pus δz Z Z et faleet δ δ Z Z 3.4. Trateet des réseaux rafés e o peraet (Code SARA) Nous présetos c l algorthe s e œuvre das le code SARA, verso o peraet. Le prcpe du calcul des lges d eau das les braches du réseau est le êe que pour le code LIO (u seul bef), c est à dre basé sur la éthode du double balayage pour chacu des befs à trater. La dffculté résde das l exstece potetelle de braches sas extrété lbre, et doc sas relatos aux ltes coues a pror. Il faut doc, à partr de la topologe du réseau, défr u algorthe «tellget» de parcours et de trateet des braches du réseau pour y arrver. Cet algorthe resseble à celu exposé das le cas peraet, as l est plus sple pour les rasos suvates: l est pas utle de dstguer les ltes lbres aot des ltes lbres aval, surtout, aucue térato est écessare, la résoluto à u oeud état touours drecte.

39 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 La éthode repose sur les costatatos suvates: pour ter le preer balayage d u bef, l faut coaître ue relato léare sur les coues (Z, ) d ue des sectos extrêes de ce bef; cette relato sera touours, sot la codto lte (lte lbre), sot la résoluto coplète (oeud, vor c-dessous); le preer balayage géère, à so ssue, ue relato léare à l extrété fale; pour u oeud costtué de braches, l y a coues et relatos léares édates (- égaltés de cote, plus la coservato des débts); chaque preer balayage s achevat sur ue des sectos de ce oeud géère ue relato léare; lorsque (-) braches ot été as balayées, l exste doc ( - ) relatos léares à ce oeud; e les cobat, l est alors possble d obter ue relato léare portat sur les coues de la seule brache o ecore balayée; ce procédé est appelé résoluto coplète du oeud; dès que relatos léares ssues de balayages (pour d etre elles) sot dspobles à u oeud, ce oeud peut être résolu; le secod balayage (c est à dre la déterato effectve de (Z, ) e chaque secto) peut alors être effectué sur toutes les braches de ce oeud, ce qu géère ue relato léare suppléetare sur la secode extrété de ces braches, lorsque cette secode extrété appartet égaleet à u oeud. L llustrato 3 (page 37) représete l algorthe de parcours du réseau obteu e explotat ces prcpes. Le pot-clé est l exstece d u oeud cetral. Cette exstece résulte drecteet du caractère spleet rafé du réseau et se déotre e rasoat par récurrece sur le obre de befs du réseau. Tout ouveau bef aouté à u réseau a écessareet ue extrété lbre (so, le réseau serat allé). Ce ouveau bef pourra doc subr u preer balayage dès la preère étape de l algorthe; s sa secode extrété se raccorde à ue extrété lbre du réseau précédet, la relato léare géérée par le preer balayage équvaut à ue codto lte; s cette secode extrété se rattache à u oeud déà exstat, les caractérstques du problèe à ce oeud e serot pas odfées (aout d ue brache, as aout égaleet d ue relato léare, celle ssue du preer balayage). uel que sot le cas de fgure, après le preer balayage du bef aouté, la stuato est athéatqueet detque à celle du réseau atéreur. Cet algorthe état trval das le cas d u seul bef, l est doc be touours applcable pour u réseau rafé. L llustrato 4 (page 38) llustre l applcato de cet algorthe à u réseau rafé type. Notce théorque Page 38

40 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 Illustrato 3: Algorthe de résoluto d u réseau rafé e rége o peraet Italsato de l'algorthe (Repérage de l'ordre de parcours des befs) Effectuer le preer balayage de tous les befs ayat ue lte lbre U des oeuds (c'est alors le oeud cetral) peut être résolu? No Effectuer la résoluto coplète des oeuds où ue seule brache 'a pas ecore été balayée. Balayer esute chacue de ces braches Ou Résoudre le oeud cetral Effectuer le secod balayage de tous les befs, das l'ordre verse du preer balayage. Résoudre au passage chaque oeud Algorthe achevé Notce théorque Page 39

41 Cetre d Etudes Techques artes Et Fluvales LIO.0 Illustrato 4: Exeple de résoluto d u réseau rafé e rége o peraet Bef Bef 6 Bef 5 Bef Bef 3 3 Bef 7 Bef 4 ALGORITHE Preer balayage bef Preer balayage bef 4 Preer balayage bef 5 Preer balayage bef 6 Preer balayage bef 7 Résoluto coplète oeud Preer balayage bef Résoluto coplète oeud 3 Preer balayage bef Résoluto du oeud cetral --- Secod balayage bef 3 Résoluto du oeud 3 Secod balayage bef Résoluto du oeud Secod balayage bef 7 Secod balayage bef 6 Secod balayage bef 5 Secod balayage bef 4 Secod balayage bef Notce théorque Page 40