Méthode des résidus pondérés

Transcription

1 Produt propre d un opérateur Méthode des résdus pondérés Ecrture d un opérateur u avec Ω les coordonnées spatales x, y, z p dans Ω Pour un opérateur lnéare u u u u avec α, β des nombres quelconques Pour un problème représenté par un système d équatons homogènes u

2 Produt propre d un opérateur Défnton du produt propre de u par une autre foncton : u vd N.B.: Extenson mmédate à un vecteur nconnue Produt propre d un opérateur * S l opérateur est dt self-adjont Un opérateur self-adjont est défn postf s : uud u et nul seulement pour u Intégraton par partes jusqu à élmner toutes les dérvées de * * u vd u v d G v S u G u S v d avec S et G : la surface extéreure : opérateurs dfférentels résultant de l ntégraton par partes Proprétés mportantes pour - établr des méthodes de résoluton adaptées (aux paramètres du système à résoudre) - construre des prncpes varatonnels

3 Exemple Sot l opérateur d dx pour x Applquons l ntégrale par partes ab ' dx ab ab ' dx a ' b dx Exemple On vot - que s on chost u v et des condtons lmtes homogènes, u udx dx du dx l opérateur est défn postf d u du du dv du dv d v u vdx vdx v dx v u udx dx dx dx dx dx dx dx On vot - que l opérateur est self-adjont - que Gu ( ) u Gv () v du * dv Su ( ) S () v dx dx - qu on dot fournr une condton sur u et sur du dx 3

4 Méthode des résdus pondérés Méthode des résdus pondérés Objectf : approxmer la soluton d un système dfférentel de la forme u p sur Ω avec les condtons aux lmtes : avec : le contour de Ω : la soluton exacte du problème u Gu ( ) g sur Su ( ) q sur Approxmaton du champ nconnu par u (foncton polynomale, par exemple) But : mnmser l erreur u u ou sa norme e résdu est l erreur de l équaton u p Résdu mnmsé (rendu le + fable possble) en "espérant" qu un résdu fable = erreur fable Annulaton en moyenne de forcée : en mposant nulle l ntégrale pondérée de par une sére de fonctons : avec j d j : fonctons lnéarement ndépendantes appelées fonctons de pondératon j 4

5 Méthode des résdus pondérés Approxmaton de u par une sére de fonctons k x : u U x j j avec j x : fonctons lnéarement ndépendantes, satsfasant aux condtons lmtes et avec un degré suffsant de contnuté : les paramètres ndétermnés U j Méthode des résdus pondérés Ans l vent, U ( jj) p d permet de trouver une soluton convergente u tendant vers la soluton exacte lorsque le nombre d nconnues augmente. U j es j sont dtes complètes s j et U j peuvent être trouvés tels que pour une soluton admssble mas arbtrare on a : u j x j sn l N.B.: n est pas une sére de fonctons complètes car ne sat pas reprodure la soluton trvale ste u C j x u U j sn l u U j j où h hdx j x u U.U j sn l est complète et tend vers la soluton exacte 5

6 Méthode des résdus pondérés Méthode des collocatons Méthode des résdus pondérés Méthode des moments Supposons les choss comme étant des fonctons de Drac x : e chox le plus évdent d un set fonctons complètes est,,, pour x x x x c x c x dx, c Méthode de Galerkn Alors, la méthode des résdus pondérés revent à annuler u p en des ponts du domane, ces ponts étant habtuellement dstrbués unformément sur celu-c Méthode des sous régons Pour des fonctons de pondératon untares en des sous-régons du domane Et nulles alleurs, on obtent : U j j pd Méthode où les fonctons de pondératon sont les mêmes que les fonctons d nterpolaton j U jj pd Défnssons UU des coeffcentsarbtrares : u pu d pour un u arbtrare 6

7 Méthode des résdus pondérés Méthode des résdus Exemple Méthode des mondres carrés Autre approche possble : une fonctonnelle à mnmser ou maxmser (nterprétaton physque ou non de la fonctonnelle) : FU ( j) U j j p d Sot l équaton du second ordre suvante: d u u p ux x 3,, dx U a mnmsaton par rapport tà donne : dont les condtons aux lmtes sont U jj p d Méthode de pondératon dépendante de l opérateur u en x u en x 7

8 Méthode des résdus Foncton approchée Méthode des résdus Foncton résdu On chost d approcher la soluton exacte de cette équaton par le polynôme suvant, qu satsfat aux condtons lmtes mposées: n... n u x x x x Cette foncton peut également s écrre sous la forme u n k k k k k avec x x a foncton résdu est détermnée en ntrodusant la foncton approchée dans l équaton dfférentelle ntale: = u du p 3u x dx n d k k n k = 3 k k x dx k 8

9 Méthode des résdus Orthogonalsaton Méthode des résdus Dfférentes méthodes Pour la sute, fxons le nombre de paramètres à n= e résdu vaut dans ce cas 3 x x x = a valeur des coeffcents est ensute détermnée en orthogonalsant la foncton résdu par rapport à n fonctons de pondératon partculères dx,,..., n Pluseurs méthodes proposent des coeffcents de pondératons partculers : Méthode de Collocaton Méthode des Sous-régons Méthode des Moments Méthode de Galerkn Mondres carrés.. 9

10 Méthode des résdus Comparason avec soluton analytque Méthode des résdus Méthode de collocaton Dans le cas présent, les solutons approchées peuvent être comparées avec la soluton analytque exacte de l équaton dfférentelle ntale: t es fonctons de pondératons de la méthode de Collocaton sont des fonctons de Drac x sn 3x u x 3 sn 3 es graphques suvants montre la comparason de la soluton exacte avec les solutons approchées par les dfférentes approches, pour dfférents nombres de paramètres n Où les x sont des ponts du domane à chosr S l on prend dans notre exemple x =/3 et x =/3 dx x /3 x/3 x/3 dx x /3 94 3

11 Méthode de collocaton Méthode des résdus Méthode des Sous régons.5. es fonctons de pondératons sont égales à sur une parte du domane et égales à sur le reste. u S on chost par exemple les sous-régons [,/] et [/,], on obtent le système suvant: x Exacte Collocaton (/) Collocaton (/3-/3) Collocaton (/4-/4-3/4) / / dx 7/8 4/9 dx

12 Méthode des sous-régons Méthode des résdus Méthode des moments es fonctons de pondératon pour la méthode des moments valent : x u.3. Dans notre exemple, les coeffcents seront donc détermnés en résolvant le système x Exacte Sous-régon Sous-régon Sous-régon3 dx xdx

13 Méthode des résdus Méthode des moments Méthode des moments a résoluton des ntégrales fournt a foncton approchée s écrt alors u x x x 3 u x Exacte Moments Moments Moments3 3

14 Méthode des résdus Méthode de Galerkn Méthode de Gallerkn (jusqu'à 4 paramètres) a méthode de Galerkn propose de chosr des fonctons de pondératon égales aux fonctons d approxmaton : e système à résoudre devent dans ce cas dx x x dx dx x xdx 5 7 u x Galerkn Galerkn Galerkn3 Galerkn4 Exacte 4

15 Méthode des résdus Comparason des méthodes Comparason des méthodes es dverses méthodes fournssent des solutons approchées de qualté parfos fort dfférentes. e graphque suvant présente une comparason des dfférentes méthodes pour un même nombre de paramètres (n=3) u x Exacte Moments3 Collocaton (/4-/4-3/4) Sous-régon3 Galerkn3 5

16 Soluton de l examen de septembre 9 Consdérons l équaton de la chaleur : u u t x x t, expresson analytque : Et les C : x t ux, tsn exp u, t u, t Demandes : Démontrer que l expresson analytque est soluton de l équaton. x t t x sn exp exp sn t x x t x t sn exp sn exp 6

17 Soluton de l examen de septembre 9 Rechercher comment évolue le système selon une méthode des résdus pondérés, sot la méthode de Galerkn sot la méthode des mondres carrés. approxmaton de la soluton sera effectuée selon un polynôme du second degré Soluton de l examen de septembre 9 Etapes de résoluton :. a condton ntale respecte-t-elle les C? C u t u t CI :.4 x x :,, Etablr la formulaton analytque d évoluton temporelle de la soluton. Résoudre numérquement pour un pas t =, s.. Formule générale d approxmaton de la soluton? u ax bxc Condton ntale.4 x x C : u, t u, t ax bx c a b a b b a u ax x 7

18 Soluton de l examen de septembre 9 Soluton de l examen de septembre 9 3. Rappel de la formulaton RK pour Or : u ax x * t t u u u t x ** t u u u u t t u u * ** * x u u t x * t axx axx axx t Prédcteur x x * t a a t a Correcteur x x ** t a a t a t * x t Rappel : la méthode de Galerkn propose de chosr des fonctons de pondératon égales aux fonctons d approxmaton : * t a a t * Prédcteur x x a a x x dx t t * t a t a a a ** a * t a t 8

19 Soluton de l examen de septembre 9 es solutons numérques dovent utlser les valeurs suvantes des paramètres : = = Résoudre numérquement pour un pas t =. s..4 x x a.4 Condton ntale t Soluton de l examen de septembre 9 Rappel : la méthode des mondres carrés : * t * t a a t a a t Prédcteur * xx a xx a dx a t t t * t a t a a * a ** a a ** a * t a t 9