BEAT : UN SIMULATEUR VIRTUEL DE DEFAUTS DE ROULEMENTS
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- Hubert Normandin
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1 BEAT : UN SIMULATEUR VIRTUEL DE DEAUTS DE ROULEMENTS Béchr Badr, Marc Thomas e Sadok Sass Déparemen de géne mécanque, École de echnologe supéreure, Monréal Marc.homas@esml.ca aculy of Engneerng, Sohar unversy, PO Box 44, Posal code 3, Sohar, Sulanae of OMAN.s.sass@soharun.edu.om Résumé Les palers à roulemens son sujes à de l'usure pendan leur fonconnemen, e en conséquence ls peuven devenr défecueux à n'mpore quel momen. Malgré la vase expérence qu s'es accumulée au suje des prévsons sur leur durée de ve lée à la fague, peu de modèles on éé proposés pour explquer le comporemen dynamque des roulemens soums à des défaus localsés ou répars. Un nouveau logcel, appelé BEAT, a éé développé pour prédre la réponse vbraore de roulemens à des excaons produes par des défaus. Le développemen de BEAT a éé obenu à l ade d un nouveau modèle hybrde combnan des équaons héorques ans que des echnques de résoluon numérque. La généraon de vbraons par un défau poncuel dans un élémen de roulemen es modélsée, en foncon de la roaon du roulemen, de la réparon de la charge dans le roulemen, de la foncon de ransfer enre le roulemen e le capeur, de l'élascé de la srucure du roulemen, e des caracérsques élaso-hydro-dynamques du flm d'hule. Pour eser la capacé prédcve du modèle, les résulas produs on éé comparés aux résulas expérmenaux effecués sur un banc d'essa de roulemen. Une concordance rès bonne enre les deux résulas, a éé rouvée pour les paramères emporels (valeur de crêe, valeur effcace, faceurs de crêe, Kuross) e pour les paramères fréquenels (amplude de BPO, de BPO e de 3 BPO). mos-clés : roulemens à blles, smulaon numérque, vbraon, ndcaeurs de défaus. INTRODUCTION Acuellemen le progrès consdérable de l nformaque e des ouls de calcul numérque perme d une par la concepon e l éude du comporemen des sysèmes mécanques complexes, e d aure par le développemen des ouls de dagnosc e l améloraon des moyens de conrôle. Ces ouls de dagnosc son ulsés prncpalemen dans le cadre de la manenance prévenve pour des mofs de renablé e de producvé. Ans fau--l prévenr ou endommagemen accdenel des organes de machnes noammen les roulemens pour éver le plus possble les arrês des nsallaons e les fras qu s en suven. Dans le conexe général de l auomasaon du dagnosc des élémens de machnes, nous essayerons de mere en place une approche de modélsaon d un élémen fondamenal dans les machnes ournanes à savor, le roulemen en vue de smuler son comporemen vbraore en présence de défaus localsés.
2 . Angle de conac α L angle de conac α es l angle que fa la lgne de conac du roulemen avec la drecon radale. Paramère de chargemen ε So δ (o) le déplacemen rgde de la bague néreure BI par rappor à la bague exéreure BE δ ( o ) δ a x + δ r y, avec δ a : la déflecon axale, δ r : y Q α γ β δ(o) x la déflexon radale e so δ δ le rapprochemen des deux bagues selon la normale commune aux gure N.4 : Le déplacemen rgde de la bague pons de conac avec ème néreure BI élémen roulan. δ δ a. snα + δ r.cosα.cos( ψ ) (5) es mal pour l élémen roulan le plus chargé. δ δ a. snα + δ r. cosα (6) (5) e (6) δ δ + cos( ψ ) δ a. g α δ r (7)
3 Par défnon, le paramère de chargemen ε es donnée par : ε.[.g ] + δ α δr (3) (3) a (8) cos( ψ ) (7) s écr alors δ δ ε (9) En praque, connassan les effors axal e radal e l angle de conac α, on déermne ε à parr du ableau suvan : gα r a ε
4 gα r. a ε Angle de chargemen β L angle de chargemen β es l angle que fa l effor avec la drecon radale. En écrvan la condon d équlbre de la bague néreure : O y β x Nb + Q 0 gure N.6 : L angle de chargemen β Nb a Q.sn α 0 On abou au sysème suvan : Nb r Q.cos α.cos( ψ ) 0 avec Nb : nombre d élémens roulans, ce qu donne l expresson de l angle β : g β On a donc nécessaremen : gβ Nb Q a g α. Nb r Q.cos( ψ ) gα Les angles α e β éan comprs enre 0 e π, on a alors la condon suvane ; Angle mal de chargemen ψ m β α L angle mal de chargemen ψ m es donné pour un rapprochemen d après (9) : cos( ψ m ). ε 0 ψ m ± Arccos(. ε) δ nul ce qu mplque
5 Effors axal e radal applqués En enan compe des équaons d équlbre de la bague néreure () e () e en ulsan la lo de comporemen élasque des conacs lan δ à Q :. K Q δ [ Où K e son des consanes qu dépenden de la naure du conac, le sysème deven : 0 ).cos(.cos. 0.sn. Nb r Nb a K K ψ α δ α δ D après (5) nous avons 0 ) cos(..cos ] ) cos(.[. 0.sn ] ) cos(.[. Nb r Nb a K K ψ α ε ψ δ α ε ψ δ En supposan que le nombre d élémens roulans es assez grand [], les expressons de a e r devennen : m m d Nb Q d Nb Q r a ψ ψ ψ ψ ε ψ π α ψ ε ψ π α 0 0 )..cos( cos...cos. cos...sn + + ).cos( ) cos(...cos ) cos(...sn /) ( /) ( E Nb r E Nb a Q Q ψ ε ψ α ε ψ α (4) (5) []
6 On défn alors les négrales de Sjoväll [] : Ja ( ε). π Jr ( ε). π ψ 0 ψ 0 m m cos ψ ε cos ψ ε Les expressons de a e r devennen alors :. dψ.cos( ψ ). dψ a r Nb Nb.Q.Q.sn α.j.cos α.j a ( ε) r ( ε) Charge male La charge male Q agssan sur l élémen roulan le plus chargé es : Q Nb.J ( a a ε).snα r Nb.Jr( ε). cosα
7 Déplacemen mal, déflexon axale, déflexon radale Le déplacemen mal δ au nveau de l élémen roulan le plus chargé es : δ Q K Dans le cas des roulemens à blles e pour les acers ANOR 00 C6 de module de Young E MPa e de coeffcen de posson υ 0. 3, on oben la formule suvane : / 3 4 Q δ D/ 3 b où D b es le damère des blles en mm. On en dédu les déflexons axale δ a e radaleδ r à parr de (8) e (9) : δ a δ ε ε.snα e δ r δ ε. cos α Expresson de la charge Q Les relaons (5) e (3) donnen : Q Q K. δ K. δ cos ( ) ( ψ ) δ δ. ε ormule de la dsrbuon de charge Synopque Q Q cos. ε ( ψ ) Q()
8 ..3 Vérfcaon de la dsrbuon de l effor saque par la méhode des Élémens fns : Afn de valder la héore de la dsrbuon de l effor saque sur le roulemen (formule 35) nous avons procédé à une smulaon sur un logcel d élémens fns, a savor COSMOS/DesgnSTAR (v7.0). Condon aux lmes condons de smulaon Mallage sur le logcel d élémens fns BE fxe BI chargé : 000N Drecon radale 00N Drecon axale Maérau : Acer 00C6 (Vor annexe pour caracérsques complèes) Tableau de valeur : Blle N Effor donné par la formule héorque (N) Valeur de la conrane donnée par COSMOS (N /m²) Zone de conac* ,34E+07,0E+08,5E+08 9,99E+07 4,8E+07 er rayon de l ellpse 5,8E-03 5,0E-03 4,83E-03 5,0E-03 5,8E-03 Lb eme rayon de l ellpse 3,0E-04,9E-04,76E-04,9E-04 3,0E-04 La Surface de l ellpse Effor donné par COSMOS (N) Conrane*Surface de conac 4,99E-06 4,66E-06 4,8E-06 4,66E-06 4,99E-06 66,8 475,8 63,0 466,0 40, Écar relaf (%) 35,84 ** 6,5 5,96 5,8 6,53 * Vor chapre caracérsaon de la géomére de conac ** On ne prendra pas en consdéraon cee valeur car l écar es prncpalemen dû à la valeur de conrane prélevé de COSMOS (ncerude du mallage), le roulemen e les condons de smulaons éan symérques, on ulsera les valeurs de la blle symérquemen opposé pour l nerpréaon.
9 gure.7b: Réparon des conranes dans le roulemen NB : vue en coupe Effor applqué (N) Comparason enre la formule heorque e COSMOS Effor donné 800 par la 67 formule ,0 49 héorque(n) , , ,8 40, Effor donné par 0 COSMOS(N) N de la blle.. Effor de choc dynamque : Caracérsques Cnémaques de la blle en pvoan auour d un défau So T Énerge Cnémaque Inale Éa () U Énerge Poenelle Inale T + m V I w ω U m g Βd V G ½ B d T Énerge Cnémaque nale U Énerge Poenelle nale α Éa () T + m V I w U Βd m g cosα ω V G ½ B d cos α
10 La conservaon de l énerge mécanque oale enre l éa () e l éa () s écr comme su : T + U T + U Sachan que la vesse du pon G es V G ½ Bd r e que le momen d nere de la blle es alors : I 5 m r ½ m V + ½ I ½ m (r ) + ½ (/5 m r ) ½ m 7/5 r ½ m V + ½ I 7/0 m r la conservaon de l énerge mécanque oale s écr alors : m g r m r w + m g r cosα 0 7 m r w ω ω ω ω 0 7 g cosα r 0 7 g cosα Bd Cee expresson es de la forme ω ω α α L accéléraon angulare de la blle dans son mouvemen de chue ou de pvoemen auour du con du défau es α 0 cos α g 7 α B d e la vesse fnale aura pour expresson
11 ω α + ω Masse de choc Par analoge avec une voure qu roule sur un «nd de poule», e qu reço un choc, la masse oale responsable du choc es la somme de la masse à vde du véhcule e de la masse chargée (celle des voyageurs), la masse oale de la blle es la somme de sa masse réelle (à vde) e de la masse ransporée. m choc m vde + m chargé m choc m vde + g S g S L approxmaon es légme car la masse à vde de la blle es néglgeable devan la masse ransporée Effor de choc L effor Dynamque (ou de choc) es celu qu correspond à une ransmsson de l énerge cnéque de la blle. D m V S D g S V S
12 STATIQUE α G DYNAMIQUE d L effor Toal lors du choc au pon S, es la somme de l effor Saque e de l effor Dynamque. Effor ( Toal ) Effor ( Saque ) + Effor ( Dynamque ) α + T D T S + T S + g D S snα V S S snα ou snα B d d def d B def d
13 On oben alors : T S + sn α g V S S d B d.3. Mse en place d un modèle général Le modèle général du roulemen suvan une lgne radale donnée es explcé dans la fgure suvane : K M K K3 M M 3 K 3 C C3 où : gure N.8 : Le modèle du roulemen suvan une lgne radale K : la rgdé du flm d hule enre blles e BE [ N.m - ]
14 K3 : la rgdé du flm d hule enre blles e BI [ N.m - ] C : l amorssemen du flm d hule enre blles e BE [ N.s.m - ] C3 : l amorssemen du flm d hule enre blles e BI [ N.s.m - ] M : la masse de la bague exéreure [ Kg ] M : la masse de la blle [ Kg ] M 3 : la masse de la bague néreure [ Kg ] K : la rgdé de la bague exéreure [ N.m - ] K 3 : la rgdé de la bague néreure [ N.m - ] 3.. Mse en équaon du problème K M K K3 M M 3 K 3 C C3 M. y C y M. y + + ( C + C ). y 3 M. y 3 + Cy Cy 3 Cy Cy + C y + ( K 3 + K ) y K. y ( K K) y 3 ( K + K ). y K. y K. y 3 K. y 3
15 3.4. Réponse du modèle à un effor donné suvan la lgne radale Réponse du modèle à un effor causé par un défau sur la BE On consdère le même roulemen de référence SK 606 Les condons de fonconnemen son : La résulane des effors 000 N. L angle de chargemen β 30. Un défau sur la bague exéreure de damère Φ BE mm. gure N 3.4 : Réponse du modèle à un effor causé par un défau mm sur la BE
16 4.. Correcon géomérque de la réponse 4... Cas d un défau sur la bague exéreure La poson angulare θ BE d un défau sur la bague exéreure rese consane au cours du emps. A chaque fos que l élémen roulan ven en conac avec le défau, l se produ un effor de choc suvan la lgne radale m. Ce effor de choc engendre une déformaon male de la bague exéreure suvan cee même lgne. Le modèle qu a éé éabl donne, jusemen, la réponse suvan la lgne radale m ( lgne de mum de déformaon ), alors que la réponse réelle es donnée suvan la lgne radale de mesure (oy) là où on a placé le capeur. Un capeur y θ BE m Lgne de mum de déformaon O z La bague exéreure gure N 4. : Drecon de déformaon drecon de mesure( pour BE) 4... Cas d un défau sur la bague néreure La poson angulare θ BI d un défau sur la bague néreure es varable au cours du emps. La réponse que donne le modèle es oujours une réponse suvan la lgne radale de mum de déformaon. Cee réponse a donc une amplude consane, alors que la réponse réelle enregsrée par un capeur es donnée suvan la lgne radale de mesure e aura donc une amplude varable au cours du emps. Cec ven du fa que la bague néreure vbre e ourne au même emps. δ ( θ ) R a.sn a.b ( θ) + b. cos ( θ) R sn ( θ) + a b cos ( θ)
17 y Un capeur θ BI () O z La bague néreure gure N 4. : Drecon de déformaon drecon de mesure( pour BI) Réponse corrgée Dans les deux cas on do donc nrodure un erme correcf qu en compe de l nfluence de la varaon de la déformaon de la bague au cours du emps ; pour ramener la réponse du modèle à la réponse réelle que donne un capeur placé sur une lgne de mesure ben déermnée. En vbran, les bagues se déformen e prennen une forme ellpque suvan la drecon de l effor e donc selon la drecon du défau. 4.. Effes des perurbaons aléaores Des éudes précédenes on monré que l amplude acousque du bru généré par le roulemen suva la lo suvane A où K V / S K : consane de pondéraon. : Charge male sub par le roulemen [ N ]. S : l are de conac ellpque blle / bague [ m² ]. V : vesse de glssemen au nveau du conac blle / bague [ m / s ]. Or cee lo n es valable que pour un roulemen ne conenan pas de défau, e on a dro de penser qu une lo du comporemen aléaore régssan les roulemens défecueux obéra aux mêmes paramères ou en enan compe du rappor (damère de défau sur damère de blle). Cee lo sera de la forme suvane : d def B d
18 A f d def d B V / S Ou f seras la foncon de pondéraon qu nous permera de déermner avec précson l amplude de la composane aléaore à ajouer à nore sgnal pour avor les même descrpeurs emporels que le sgnal mesuré. Nous avons recuell les résulas suvans : Damère du défau Varable correcon 0,00 4,00 00,00 0, ,00 0,50 5,50 0,75 6,80 00,00,00 7,50 50,00,50 70,00 0,00,75 40,00 0,00,00 80,00 0,50,00,50,00,50 Manenan on a une équaon polynomale du 6eme ordre qu nous donne l amplude du bru en foncon rappor (Damère du défau / Damère de la blle). y -30,76x x 5-39,x ,5x 3-93,4x + 40,65x + 4,83 R 0,9989 f d d def ddef ddef ddef ddef def x) a' + b' + c' + e' + f' + g' + h Bd Bd Bd Bd Bd Bd ( A f ( x) V / S Éude Expérmenale 6.. Dsposf d applcaon de l effor radal : 6.4. Théore : Nous avons opé pour l applcaon de l effor radal pour un sysème de déséqulbre de masse ( BALOURD ) ; qu en ournan crée par son nere un effor cenrfuge : ou : la force en N. M :la masse de déséqulbre en Kg R : le rayon ou se rouve le cenre de gravé de la masse de déséqulbre en m. W :es la vesse de roaon en rad/s.
19 gure 5.4 : Image réelle du dsque gure 5.5 : Image du logcel de CAO Nous avons ulsé une masse de déséqulbre oale de 600g. Pour mnmser l effor de csallemen exercé sur les boulons de manen des masses, La masse oale a éé repare sur 3 posons séparées de 30 ; e nous avons dsposé les masses des deux coés du dsque. Le rayon ou se rouve le cenre de gravé des masse es 5 mm Effor ule applqué au roulemen sue a la charge radale : L effor radal que nous avons calculé précédemmen es valable dans le plan du dsque de balourd, e pusque nore roulemen n es pas conenu dans ce plan, nous allons dans ce qu su calculer l effor «ule» sué dans le plan du roulemen : gure 5.6 : Représenaon de l axe avec dsque de balourd Nous allons applquer la héore, des momens fléchssans pour calculer la réacon Rb (de nore roulemen )face à l effor qu lu es applqué (e qu es nore nconnue ) 400 mm 0 mm R a r R b O M b 80N B C
20 6.. Dsposf d applcaon de l effor axal : 6.5. Théore L effor axal es applqué par la compresson d un ressor ; en effe un ressor comprmé génère un effor : Ou : la force en (N) K : La rgdé du ressor en (N.m - ) L : Déformaon du ressor(m). K L Rese à savor que pour obenr un effor dans l ordre de grandeur qu on s es fxé ; l falla un ressor de grande rgdé ; Or des ressors avec de elles rgdés exsen e son ulsés dans l ndusre comme à la fos suppors e absorbeurs de vbraon pour les machnes ournanes de grandes dmensons ou ournan à grande vesse e jugées vales dans la chaîne de fabrcaon. Image réelle (sans dsque de Balourd) CAO (SoldWors003) gure 5.8 : Image réelle (sans dsque pour rason de claré) gure 5.9 : Image CAO 6.5. Déermnaon de la rgdé du ressor : Pour déermner la rgdé du ressor, nous avons, dans un premer emps, procédé à une analyse par élémens fns. Dans un deuxème emps, e dans le soucs de oujours confroner nore modèle héorque avec la réalé physque nous avons mené des essas expérmenaux pour déermner la rgdé du ressor sur une machne de racon compresson.
21 6.5.. Déermnaon de la rgdé du ressor par la méhode des élémens fns : Les dessns on éé réalsés sur SoldWorks 003, l analyses par élémens fns à éé effecué sur Cosmos DesgnSTAR 4.0. Vous que nous savons que la relaon relan l effor par rappor à la déformaon es lnéare pour un ressor, nous nous sommes conenés de effors applqués au ressor, nous avons mesuré les déformaons correspondanes, ce qu nous à perms d avor une premère esmaon de la rgdé de nore ressor. Vue du ressor sur le logcel de CAO Les condons aux lmes son vsbles sur les graphques des smulaons : lèches veres : fxes lèches rouges : effor de chargemen. Maéraux : fone ausénque de module d élascé E30 MPa.. Smulaon : orce applquée 600 N Déformaon résulane : 9.74 mm Smulaon : orce applquée 00 N Déformaon résulane : mm K L K L K N.m- K N.m-
22 6.5.. Déermnaon expérmenale de la rgdé du ressor par la machne de sollcaon : Pour déermner avec précson la rgdé de nore ressor; nous avons effecué des essas sur une machne de sollcaon de racon compresson. Cee machne perme d applquer un effor de valeur connu enre les deux mords e es auss équpée d un dsposf permean de mesurer la dsance enre eux avec une précson de 0 µm. Machne d essa Tracon Compresson : Mord fxe Mord moble Jauges (mesure l effor ) Valeur de la déformaon Valeur de l effor applqué gure 5.0 : Machne d essa en réssance des maéraux : Tes de ressor Tableau de valeur : orce (N) Déformaon (m) 0 0,00 E ,9 E ,36 E ,55 E ,30 E ,60 E ,98 E ,3 E -0 80,57 E ,9 E , E -0 orce (N) Radeur du ressor y 30564x -,3475 R 0, ,0 0,0 0,03 0,04 Compresson (m) orce Lnear (orce)
23 Ces essas expérmenaux nous on perms d évaluer la rgdé de nore ressor à N.m -, ce qu concorde parfaemen avec nore analyse par élémen fns, l écar relaf enre les deux méhode que nous avons ulsé es de 0.55%. Pour nore smulaeur nous avons ulsé la rgdé déermnée à parr des essas expérmenaux. Emplacemen des jauges e aménagemen du paler : Dem-Paler Inféreur Dem-Paler Supéreur gure 5.5 : Jauges drecemen collées sur la bague exéreure gure 5.5b : Dégagemen pour la jauge e rou pour le passage des fls Specre du sgnal recuell par les jauges : 60Hz RPM 3*60Hz *RPM BPO
24 gure 5.5b : Specre du sgnal recuell par les jauges Avec les jauges, on a réuss à denfer les fréquences ou se produsen les effors de chocs sub par le roulemen, e en comparan avec les sgnaux recuells par les accéléromères, on a pu démonrer que ces derners ne resuen pas que les effors de chocs sub par le roulemen mas ben oues les vbraons ayan sège au sen du paler (Balourd, désalgnemen, roulemen ) conraremen a la jauge, qu drecemen collé au roulemen, n es sensble qu à la déformaon du roulemen due a l effor de choc. On s es assuré de la valdé de nos ouls en les comparan avec un logcel d ade au dagnosc : ADLIB développé par la frme IMS (Vor annexe). Allure de la réponse emporelle pour un défau sur bague exéreure avec effor radal ournan : Chocs à BPO Composane due au balourd Modulaon à la vesse de roaon gure 5.4 : Allure de la réponse emporelle 6.0. lrage de la réponse expérmenale : oncon de ransfer du flre :
25 gure 5.4 : Dagramme de BODE
26 Réponse Avan e après flrage : On remarque claremen la dsparon de la composane basse fréquence après applcaon du flre coupe bande.
27 Le Smulaeur BEARING TOOLBOX B.E.A.T enêre : Caracérsques Géomérques du roulemen On peu chosr enre deux roulemens déjà programmés ou ben enrer manuellemen les caracérsques d un aure roulemens enêre : Caracérsques e emplacemens des défaus
28 Cee smulaon à éé réalsé avec un seul défau sur la bague néreure, cependan l es possble de fare la smulaon avec pluseurs défaus localsés sur la BE, la BI ans que sur les blles. enêre 3 : Condons de fonconnemen
29 enêre 4 : Smulaon : La smulaon éan en cours, on peu déjà vor l allure de la réponse emporelle en déplacemen, en vesse e en accéléraon. Résulas e ouls de raemen du sgnal Chocs, réponse e descrpeurs emporels On peu déjà conclure quand à la présence de modulaon, normal pusque la charge radale es de drecon fxe e le défau es ournan (sur la Bague néreure )
30 Demarche : A parr de la dsrbuon des chocs( ere courbe) e en se basan sur nore modèle de roulemen, on calcule la réponse emporelle (courbe ), ensue la ransformée de HILBERT, qu es l enveloppe du sgnal (courbe 3)es ulsée pour calculer le specre enveloppe de la réponse (courbe 4) Specre enveloppe e specre de la réponse en échelle lnéare : Les curseurs vercaux ndquen l emplacemen des fréquences de défaus de roulemens calculées à parr des formules héorques : c es là que nous devrons rouver les pcs.
31 Specre enveloppe e specre de la réponse en échelle Logarhmque : Represenaon Temps réquences 3D du sgnal smulé : L avanage de cee echnque es de combner les avanages de la représenaon emporelle e fréquenelles du sgnal, l on peu ans juger d évenuelle modulaon dans le domane emporel, e déermner a quelles fréquences ces phénomènes se produsen
32 Represenaon Temps réquences 3D de l enveloppe du sgnal smulé : En comparan avec la courbe précédene, on peu asémen vor l nérê de la echnque d enveloppe : Elle ramène des phénomènes se produsan dans les haues fréquences vers les basses fréquences. Represenaon Temps réquences 3D du sgnal smulé : Reponse dans la lgne Specre dans la lgne Sgnal éudé
33 Il es évden c que la représenaon emps fréquences perme d assocer la représenaon emporelle e la représenaon fréquenelle sur le même graphque. enêre Analyse Avancée : Cee fenêre donne une dée sur les dfférens oul don dspose nore smulaeur pour raer un sgnal provenan d un défau de roulemen : Chocs, Réponse emporelle, enveloppe de réponse, specre enveloppe, specre, représenaon emps fréquence, représenaon emps fréquence enveloppe, descrpeurs emporels
BILAN EN ELECTRICITE : RC, RL ET RLC
IN N TIIT :, T I. INTNSIT : = dq d en couran varable I = Q en couran connu Méhode générale d éablssemen des équaons dfférenelles : lo d addvé des ensons pus relaons dq caracérsques :, lo d Ohm u = aux
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