APPROXIMATION DES GAMMES MUSICALES

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1 Simo Rousseau APPROXIMATION DES GAMMES MUSICALES

2 SOMMAIRE I. PRÉLIMINAIRES MUSICAUX LES INTERVALLES...3. LA CONSONANCE LES NOTES...5 II. LA GAMME DE PYTHAGORE ALGORITHME DE CONSTRUCTION...6. CYCLE OU SPIRALE? MINIMISATION DE L ERREUR D APPROXIMATION LES GAMMES DE PYTHAGORE...9 III. GAMMES DE ZARLINO ALGORITHME DE CONSTRUCTION...9. LES GAMMES DE ZARLINO...9 IV. LA GAMME TEMPÉRÉE LE PROBLÈME DE LA TRANSPOSITION ALGORITHME DE CONSTRUCTION INCONVÉNIENTS...10

3 I. Prélimiaires musicaux L objet de cette étude porte uiquemet sur la hauteur du so : grave (fréquece basse) ou aigu (fréquece élevée). Les autres caractéristiques d u so, c est-à-dire so itesité et so timbre (lié à sa décompositio de Fourier), e serot pas cosidérées. O cosidèrera deux sos de même hauteur comme égaux. 1. Les itervalles U itervalle est ue distace etre deux sos. La loi de Weber ous idique commet la défiir : Loi de Weber : La sesatio varie comme le logarithme de l excitatio soore. Autremet dit, lorsque l oreille resset ue différece, il s agit e fait d u rapport de fréqueces. Défiitio : f IR O défiit la relatio d équivalece par : f f 1 3 f, f f, f = f f. O appelle itervalle ue classe pour cette relatio d équivalece. Soit ( f, f ),( f, ) ( ) ( ) ( ) 4 f1 Pout tout couple (f 1, f ) d u itervalle, le rapport f ote I k l itervalle correspodat et I l esemble des itervalles : I = {(f,kf ), f k } ; = { I, k } IR I k IR est le même : o le ote k ( k ) IR Les musicies doet des oms aux itervalles. O appellera doc l itervalle I 1 l uisso, I l octave, I 3/ la quite, I 4/3 la quarte, I 5/4 la tierce et I 9/8. O peut égalemet oter kf = f I k.. O O costate que la loi x : ( ) ( IR ) ( IR ) IR ( k,k ) ( k,k ) ( k k,k ) k est compatible avec. O peut doc défiir l additio de I par : I k I k = I kk.

4 L applicatio k est u isomorphisme de ( IR ) das ( I,) Ik,. O e coclut tout d abord qu il est équivalet de parler de rapports de fréqueces et de différeces de hauteur, ce qui va das le ses de la loi de Weber. O e coclut égalemet : Théorème : ( I,) est u groupe. Défiitio : O appelle échelle musicale u sous-groupe propre de I. Comme ( I,) et ( ) IR, sot isomorphes, o sera ameé à parler plutôt des échelles musicales comme sous-groupes de IR. O coviedra que si l o cosidère M ue échelle musicale de IR, l échelle musicale de I associée sera M' { I, k M } k =. Voici quelques exemples d échelles musicales : - l échelle de Pythagore est <,3> = {.3 m /, m } (le sous-groupe multiplicatif egedré par et 3, - l échelle de Zarlio est <,3,5>, - l échelle tempérée est < 1/1 > (c est l échelle stadard). La cosoace E musique, deux sos qui soet agréablemet sot dits cosoats. Leur particularité est qu ils se cofodet, et que l oreille éprouve pas le besoi de les dissocier. La cosoace est souvet perçue comme ue forme de perfectio., alors que la dissoace se traduit plutôt par ue sesatio de malaise. Ces otios sot fodametales e musique car les compositeurs e cesset de jouer avec. Euler e a doé des défiitios plus mathématiques : Défiitio : Lorsque le rapport etre les fréqueces de deux sos est simple (, 3/, 4/3 ), les deux sos sot cosoats. E effet, deux courbes périodiques dot les fréqueces sot e rapport simple s additioet plus facilemet et les sos se cofodet.

5 Défiitio : p Soit, p et q deux etiers tels que p p' q = irréductible. q q' p O appelle hauteur de la fractio, le ombre h p q = Sup(p, q ). q Plus la hauteur est faible, plus les deux sos de fréqueces p et q sot cosoats. Aisi, les itervalles les plus cosoats sot l octave (rapport ), la quite (rapport 3/), la quarte (rapport 4/3), la tierce (rapport 5/4) et les itervalles qui se décomposet e sommes d octaves, quites, quartes, tierces O peut doc dire qu il y a des échelles musicales plus cosoates que d autres, car leurs élémets sot des itervalles cosoats. Les échelles musicales aturelles sot les plus cosoates. Défiitio : O appelle échelle musicale aturelle ue échelle musicale coteat et icluse das. Parmi les exemples doés, seule l échelle tempérée est pas aturelle. Pourtat c est l échelle qu o utilise courammet. Nous verros pourquoi par la suite. 3. Les otes O a vu que l itervalle d octave, de rapport, était le plus cosoat. Il est utile d itroduire ue relatio d équivalece qui lie les sos de fréqueces f, f, 4f, f, f/, f/4, f/ p Défiitio : Soit f 1, f IR. Soit ~ la relatio d équivalece défiie par : f 1 ~ f O appelle ote ue classe pour cette relatio d équivalece., f = f 1. Théorème : Toute ote admet u représetat uique apparteat à [f, f[, quel que soit f IR. Preuve : Soit f ue des fréqueces de cette ote. Il existe u uique aturel tel que : f' 1 f ' <. Doc f f. f <

6 Soit 1 et deux otes distictes. Soit f 1 et f les représetats uiques de 1 et das [f, f[. O peut établir sur l esemble des otes N la relatio d ordre strict R défiie par : < R f f 1 1. O appelle DO la plus petite ote, et das l ordre croissat doé par la relatio R, o doe à six autres otes les oms RE, MI, FA, SOL, LA et SI. Défiitio : N 0 = {DO, RE, MI, FA, SOL, LA, SI} est l esemble des otes aturelles. O peut égalemet défiir d autres otes. Soit k 1, k 1 IR. Nd 1 = {f d N / f d N 0 et f N, f R f d et f / f d = k 1 } est l esemble des otes diésées. Chaque ote diésée est légèremet plus aigüe que la ote aturelle correspodate. Nb 1 = {f b N / f b N 0 et f N, f b R f et f / f b = k 1 } est l esemble des otes bémolisées. Chaque ote bémolisée est légèremet plus grave que la ote aturelle correspodate. O peut aussi répéter le processus pour défiir les otes doublemet diésées ou bémolisées, et aisi de suite (Nd Nb ) est l esemble des otes altérées. IN Défiitio : Ue gamme est u esemble fii de otes. La otio de gamme est importate pour les istrumets de musique qui comportet u ombre limité de touches, de trous Il s agit à préset de costruire ue gamme : détermier réels apparteat à [f, f[, mais e respectat plusieurs cotraites, otammet d assurer la cosoace, mais aussi ue utilisatio pratique aisée. II. La gamme de Pythagore 1. Algorithme de costructio Les gammes pythagoriciees reposet etièremet sur le pricipe selo lequel la quite (rapport 3/) est u itervalle particulièremet cosoat. O part d u so de fréquece f = f 0, puis o progresse de quites e quites : chaque f est obteu e augmetat ou e dimiuat f -1 d ue quite, puis e le rameat à l octave (ie. e le

7 divisat ou e le multipliat k fois par de faço à obteir ue fréquece das [f, f[). C est le cycle des quites. Pour le cycle des quites ascedates, o costruit ue suite (f ) IN de sos défiie par f 0 = f f 1 = 3 f si 3 f < f f 1 = 3 1 f si 3 f f O obtiet facilemet que le terme gééral de cette suite est de la forme : f = l etier tel que f [f, f[. 3 p f0, où p est 1 Pour le cycle des quites descedates, f 1 = 3 f si 3 f f f 1 = f si f < f 3 3 Le terme gééral de cette suite est de la forme : f = p f0. 3 O peut aussi défiir u cycle alteré : soit q IN, les q premiers termes de la suite sot obteus par des quites ascedates f 1 = 3 f ou f 1 = 3 1 f, alors qu esuite, o repart de f 0 pour procéder par quites descedates : f 1 = f-q ou f 3 1 = f-q. 3 Le terme gééral est de la forme f = 3 p 1 q f0 p si q et f = f q 3 0 si > q.. Cycle ou spirale? O obtiet das tous les cas ue suite de fréqueces qu o qualifie de cycle. L idée de cycle est écessaire, car le but est d obteir ue gamme, c est-à-dire u ombre fii de otes. Il faut doc que la suite soit périodique : o devrait disposer d u aturel tel que f = f 0. Mais est-ce vraimet le cas? O disposerait alors d u etier p tel que : =, soit 3 = p. Cette équatio a pas de solutio autre que (0, 0) : e effet, 3 est p impair, alors que p est pair ou iférieur à 1. La suite est doc pas périodique et il y a pas de cycle des quites.

8 O parle plutôt de spirale des quites. E effet, la suite reviet régulièremet à ue valeur proche de f 0 (jamais la même). Il y a pas de périodicité, pas de cycle des quites, doc pas vraimet de gamme. Commet s e sortir? La solutio cosiste à faire u approximatio : dès que la suite reviet das u voisiage du so iitial, o cosidère que le cycle est achevé. 3. Optimisatio de l approximatio Ceci ous ramèe à u problème mathématique : pour quelles valeurs de, f est-il relativemet proche de f 0? Il y a plusieurs possibles qui redet l approximatio plus ou mois fie, et la gamme (qui compred otes) plus ou mois cosoate. L équatio 3 = p obteue précédemmet est équivalete à.l 3 = ( p).l, ou ecore : l 3 p =. Plus simplemet, e otat lb la foctio logarithme biaire (de base ) : l lb 3 - p = 0 (E) Nous allos teter de trouver des solutios approchées de l équatio (E) à l aide d u programme Maple. > restart: e:=1: epsi_mi:=op([]): #Iitialisatio. for from 1 to 100 do #O va tester toutes les valeurs de de 1 à 100. p:=0: while p< or abs(u[p-1])<abs(u[p-]) do #Pour ue valeur de, o cherche la valeur de p u[p]:=evalf(log[](3)-(p)/): #qui doe ue boe solutio à l équatio (E) : p:=p1: #dès qu o trouve le meilleur p, fi de boucle. od: epsilo[]:=abs(u[p-]): #O eregistre l erreur (lb 3 (p)/) das epsilo[]. if e>epsilo[] the e:=epsilo[]: epsi_mi:=epsi_mi, : fi; od: #Si l erreur est meilleure pour ce que pour tous les epsi_mi; #précédets, o eregistre das la séquece epsi_mi. seq([epsi_mi[i],epsilo[epsi_mi[i]]],i=1..9); [ 1, ], [, ], [ 3, ], [ 5, ], [ 7, ], [ 1, ], [ 9, ], [ 41, ], [ 53, ] Le logiciel ous revoie ue séquece de couples (, ()). Pour u couple doé, l erreur d approximatio () est plus faible que pour tout etier iférieur à.

9 Cela sigifie que pour = 1,, 3, 5, 7, 1, 9, 41, 53, les erreurs d approximatios sot les plus faibles. Ces valeurs de sot doc des solutios approchées de (E). Si l o reviet au cœur du sujet, est le ombre de quites ascedates ou descedates qu il faut ajouter à f 0 pour boucler le cycle des quites. C est doc le ombre de otes de la gamme. Notos qu il e sert à rie de garder ue valeur de s il e existe ue plus petite qui propose ue approximatio presque aussi boe. O e retiedra doc que sept valeurs pour : 1,, 5, 7, 1, 41 et 53, qui sot à l origie de gammes coues. Reste à savoir s il est préférable costruire la gamme à l aide de quites ascedates ou descedates. Cela déped des cas. Preos par exemple le cas =. L algorithme des quites ascedates doe f 1 = 3 f0 et f = f0. L algorithme des quites descedates, lui, doe f 1 = f0 et f 3 = 3. La gamme compred deux otes, doc l approximatio cosiste à dire que f est proche de f 0. Or ceci est surtout vrai si o choisit l algorithme des quites ascedates. Si est le ombre de otes de la gamme, et si l o choisit le meilleur algorithme des deux, o f appellera comma l élémet c de l échelle de Pythagore défii par c =. E particulier, o appelle f0 1 comma pythagoricie l élémet 3 (comma pour = 1) Les gammes de Pythagore III. Gammes de Zarlio 1. Algorithme de costructio. Les gammes de Zarlio IV. La Gamme Tempérée

10 1. Le problème de la traspositio. Algorithme de costructio 3. Icovéiets