OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS & TORSEURS

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1 Statque et Cnématque des soldes 0-0 Chaptre Chap: OUTILS THETIQUES GLISSEUS & TOSEUS L'obectf de ce chaptre est de donner brèvement les outls mathématques nécessares à la compréhenson de la sute de ce cours et donner des notons sur les glsseurs et les torseurs I VECTEUS : II OPETIONS SU LES VECTEUS : ddton : ultplcaton par un réel : Produt Scalare : Produt Vectorel : III CHNGEENT DE SE 6 IV NOTIONS SU LES TOSEUS 8 V Eercces : ISET De Sousse

2 Statque et Cnématque des soldes 0-0 Chaptre ISET De Sousse I VECTEUS : On assoce au couple ordonnée de ponts (,) de E un élément E défnssant un vecteur lbre Géométrque naltque Caracterstques d un vecteur * Drecton * Sens * Pont d applcaton * odule ou norme dopton d une base,, L epresson de dans la base est :,, : sont les composantes de II OPETIONS SU LES VECTEUS : L'obectf est de vor de façon élémentare certanes opératons sur les vecteurs ddton :, ultplcaton par un réel :, Géométrque naltque * ême drecton que * Sens : - même s 0 - opposé s 0 * Géométrque naltque ) ( ) ( ) (

3 Statque et Cnématque des soldes 0-0 Chaptre Produt Scalare :, Par défnton, le produt scalare de vecteurs et noté Dans une base orthonormée drecte,, : est égale Cos (, ) s et, alors on aura : N : Le résultat du produt scalare de deu vecteurs est un SCLIE Proprétés: Commutatvté: Dstrbutvté à drote et à gauche: ( Z) Z et ( ) Z Z Z ultplcaton par un réel: ( ) ( ) ( ) Normes: Cas de nullté : o Un des vecteurs est nul o Les deu vecteurs sont orthogonau Calcul pratque d'un produt scalare : S on défnt l angle (, ), alors Cos Calculs sur les vecteurs d'une base orthonormée drecte: 0 ; 4 Produt Vectorel :, Par défnton, le produt vectorel de vecteurs et noté Sa drecton est perpendculare au plan formé par et est égale Z tel que : Son sens est celu de la rotaton de vers (sens de tre-bouchon) Sa norme est l are du parallélogramme formé par et ISET De Sousse

4 Statque et Cnématque des soldes 0-0 Chaptre ISET De Sousse 4 Géométrque naltque Z est perpendculare à et,, Z et drecte Z Z re Z Z est l ar du parallélogramme construt sur et appel : Le détermnant cb ad d b c a Sn Z, Dans une base,,, s et, alors on aura : ) ( ) ( ) ( 4 éthode de calcul : Calcul à effectuer: Premère composante : On barre la premère lgne et on calcule le détermnant restant: = Deuème composante : On barre la deuème lgne et on calcule l'opposé du détermnant restant: ) ( = Trosème composante : On barre la trosème lgne et on calcule le détermnant restant: =

5 Statque et Cnématque des soldes 0-0 Chaptre emarque: Le résultat du produt vectorel de deu vecteurs est un VECTEU perpendculare au deu vecteurs 4 Proprétés: nt-commutatvté: Dstrbutvté à drote et à gauche: ( Z) Z et ( ) Z Z Z ultplcaton par un réel: ( ) ( ) ( ) Cas de nullté : o Un des vecteurs est nul o Les deu vecteurs ont même drecton V V 0 4 Calcul pratque du produt vectorel: S on défnt l'angle (, ), alors Sn et (,, Z) forme un trèdre drect, quelque sot le pont O O Calculs sur les vecteurs d'une base orthonormée drecte:,, 0 éthode pratque : on écrt fos la base, le sens est donné par l ordre d écrture ; 44 Eercce d applcaton : S,, z sont les vecteurs untares d une base orthonormée drecte On donne : V,, z, V,, z et,, z V - Calculer V V pus V V - Calculer V V V V - Calculer 4 - Calculer V ( V V ) pus V V V V Comparer les résultats ISET De Sousse 5

6 Statque et Cnématque des soldes 0-0 Chaptre 5 Produt te : Le résultat du produt mte de tros vecteurs (,, Z) est un SCLIE ( Z) a ( a ) est égale au volume du paralléléppède formé par ces vecteurs Proprétés: ( Z) 0 s l'un des vecteurs est une combnason lnéare des deu autres ( Z) ( Z ) Z ( ) III CHNGEENT DE SE Soent deu bases orthonormées drectes b ( 0,, 0), b (,, ) et telles que 0 Proecton des vecteurs de bases : 0 0 S on eprme les vecteurs de la base b (,, ) dans b ( 0,, 0), on obtent: 0 0 Cos 0 Sn 0 Sn 0 Cos 0 0 Inversement, s on eprme les vecteurs de la base b ( 0,, 0) dans b (,, ), on obtent: 0 Cos Sn Sn Cos 0 Changements de bases d'un vecteur quelconque : Sot U ( a, b, c) un vecteur eprmé dans la base b (,, ) b L'epresson de U dans la base b ( 0,, 0) sera : 0 0 U a b c a Cos 0 Sn ) b Sn 0 Cos ) c ( 0 ( 0 0 ISET De Sousse 6

7 Statque et Cnématque des soldes 0-0 Chaptre U ( a Cos b Sn) 0 ( a Sn b Cos ) 0 c 0 d'où : U a Cos b Sn, a Sn bcos, c) 0 ( b Eercce d applcaton : Sot un espace vectorel mun d'un repère orthonormé O,,, / Sot un repère fe 0( O, 0,, z0), Soent des repères mobles ( O,,, z), ( O,,, z) On note: 0,,, z,z 0, 0 - Fare des représentatons planes permettant de vsualser chaque changement de base - Détermner les epressons des vecteurs de la base b eprmés dans b - Détermner les epressons des vecteurs de la base b 0 eprmés dans b 4- Détermner drectement les produts scalares:, z, z 5- Détermner drectement les produts vectorels: z z, z, z / Sot les vecteurs,4,,,6,, C 5,,, D,4, 5 - Calculez les produts scalares :, C, D, C, D et CD - Calculez les produts vectorels:, C, D, C, D et C D C/ Sot deu vecteurs u et v tels que: u et u, ; ; 4 v et v, - eprésentez les vecteurs dans le plan O,, 4 w et w, - Calculez les coordonnées cartésennes de u, v et w dans la base,, - Calculez drectement (en utlsant la formule de calcul pratque): uv, uw et vw 4- Calculez drectement (en utlsant la formule de calcul pratque): u v,u w et v w ISET De Sousse 7

8 Statque et Cnématque des soldes 0-0 Chaptre IV NOTIONS SU LES TOSEUS fn de smplfer la présentaton des calculs sur les vecteurs ou ensemble de vecteurs (représentant des forces, des vtesses) et leurs moments (tels que les moments de force ben connus), nous allons présenter un formalsme smple permettant de manpuler ces grandeurs : l s'agt de la noton de torseur, que nous allons présenter à partr de l'eemple d'un ensemble de forces en que cette formulaton ne sot pas ndspensable pour présenter la mécanque générale, nous l'utlserons fréquemment dans la sute du cours Nous pensons en effet que cette présentaton permet d'alléger la formulaton des équatons et de donner une certane unté à la présentaton des prncpau résultats Torseurs : Par défnton un torseur est un champ de vecteurs antsmétrque Pour défnr un torseur en un pont, l sufft de précser : Le vecteur : ppelé résultante du torseur Le vecteur N : et sont les éléments de réducton du torseur Notaton : : appelé moment du torseur en un pont Un torseur se note au pont dans un repère () par : S et Z L N Le torseur s écrt sot : Z z L N z ou Z L N oment en un pont d un torseur : Epresson du moment dans le plan : H V (-) V () P V H V (+) H V P ISET De Sousse 8

9 Statque et Cnématque des soldes 0-0 Chaptre Epresson du moment en un autre pont : On connaît le moment en, comment l obtent-on en P P P Nous appellerons lo de dstrbuton, la relaton l: (, ) 4 Cas partculers de torseurs : 4 Torseur nul : 0 0 Ce tpe de torseur est nul en tout pont 4 Torseur couple : C C 0 C o o On dt qu un couple n a pas de pont d applcaton La somme de n couples est un couple 4 Torseur glsseur :g g P 0 P P Les Coordonnées en seront : g Z L P N o Le moment d un glsseur, est nul sur l ae et non nul alleurs o Le moment d un glsseur est perpendculare à l ae et à la résultante o Le moment augmente s on s élogne de l ae (en module) ISET De Sousse 9

10 Statque et Cnématque des soldes 0-0 Chaptre emarques: / La noton de torseur de force permet donc de parler globalement d'une force et de son moment en tout pont de l'espace / Les deu vecteurs défns dans un torseur sont de natures dfférentes Pour un torseur de force, le vecteur résultant est une force aant des composantes dont les untés sont en (N), alors que le moment en un pont est un moment dont les composantes ont des untés en (Nm) / ttenton quand l'on demande de défnr un torseur, l est nécessare de donner une réponse pour la résultante et une réponse pour le moment 5/ Par défnton, on peut calculer un torseur en deu ponts et ; on obtent : et (Seule le moment est dfférent) (, ) La résultante du torseur est ndépendante du pont où est défn le torseur 5 Opératons usuelles sur les torseurs : N : Les torseurs dovent être calculés au même pont et eprmés dans le même repère On pose : o et Somme de deu torseurs : + = o ultplcaton par un réel : = o Comoment de torseurs : 6 Torseurs équvalents : = Deu torseurs sont dts équvalents, s ls ont les mêmes éléments de réductons, lorsqu ls sont calculés en même pont et sont équvalents = ISET De Sousse 0

11 Statque et Cnématque des soldes 0-0 Chaptre V Eercces : Eercce : / Sot les vecteurs forces F 0,,0 ; F 0,, Z et F C C, C, ZC un solde au ponts a,0,0, 0, b,0 et C 0,0,c / Ecrvez le torseur de chaque force à son pont d applcaton / En dédure le torseur de chaque force en O / Donner le torseur équvalent à la somme / Sot les vecteurs forces F,, Z et,,0 a,b,0 et c, b, 4d - Ecrvez le torseur dans un repère O,, z et - Calculer la somme de deu torseurs - Détermner le torseur équvalent applqués à dans un repère O,, z, F applqués à un solde au ponts, on leurs ponts pus en O au torseurs 4- Calculer le comoment de deu torseurs Eercce : / Sot un torseur et et de résultante:,,4 et de moment au pont O: ( O),,0 Calculer le torseur au pont (,-,4) et (6,-,-) / On consdère une pogné de serrage d un mécansme, à l etrémté de la quelle s eerce une acton mécanque représentée par le glsseur, F, tel que dans un repère orthonormé drecte O,,, z : F F Fz z et O d La vs de serrage a pour ae O, z Détermner le moment au pont O du glsseur, F En dédure le moment du glsseur F l ae O, (moment de basculement), par rapport à l ae z o z O, (moment de serrage) et par rapport à F C/ On pose que la poutre c-dessous est soumse à l effort F F F ISET De Sousse

12 Statque et Cnématque des soldes 0-0 Chaptre F O l Ecrvez le torseur de F en pus en O D/ Soent deu vecteurs glssants : en (,0,0) U a et en (0,,0) V a a et a) Ecrvez le torseur on leurs ponts pus en O b) Pour quelle valeur de a sont-ls équvalent à un Couple à un Glsseur c) Calculer le moment du couple et détermner le support de glsseur ISET De Sousse