LEÇON N 6 : Loi de Poisson, loi normale.

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1 LEÇON N 6 :. Pré-requs : Probabltés : défto, calculs et probabltés codtoelles ; Lo bomale cf. leço o 5) ; Noto de varables aléatores dscrètes et cotues cf. leços o 4 et 7), et proprétés assocées : espérace, varace ; Idépedace de varables aléatores : X Y PX Y) PX) PY) ; Développemets lmtés. 6.1 Lo de Posso Défto Cette lo a été découverte au début du XIX e sècle par Sméo-Des Posso. Elle s applque gééralemet aux phéomèes accdetels où la probablté p est très fable, ou aux phéomèes sas mémore paes de maches, accdets d avos, fautes das u texte, etc.). Das certaes codtos, elle peut égalemet être défe comme lmte d ue lo bomale otammet lorsque 50 et p 5 : Soet N, {0,..., } et p 0, 1]. Les calculs avec ue lo bomale deveet rapdemet complqués dès que est très grad et p très pett. O cherche alors à approxmer PX ) par quelque chose de plus smple. La questo est alors : e posat λ p costate), est-ce que la quatté PX ) ) p 1 p) a-t-elle ue lmte lorsque? ) p 1 p) ) λ ) λ ) 1 λ ) exp ) l 1 λ ) ) 1) 1) ) }{{ } 1 ) 1 }{{ } 1 ) λ! )λ exp ) 1 1 }{{ } 1 Par cotuté de la focto expoetelle, o e dédut que : lm ) p 1 p) λ! λ! exp exp λ) e λ λ!. 1 + o ) ) )λ }{{ } λ 1 ) ) +o.

2 Exercce : La probablté pour ue ampoule électrque «grlle» à so premer allumage est de 0, 01. Sur u groupe de 100 ampoules, quelle est la probablté d observer 0 ampoule qu grlle? 1? plus de? Soluto : Pour ue ampoule, l s agt d ue lo de Beroull, où le succès est assmlé au fat qu ue ampoule grlle avec la probablté p 0, 01. Le groupe de 100 ampoules sut ue ue lo bomale L X) B100; 0, 01). Pusque et p 1 5, o peut rasoablemet approcher cette lo par ue lo de Posso de paramètre 1. Par sute, PX 0) e ! 0, 3679; PX 1) e ! 0, 3679; PX > ) 1 PX ) 1 PX 0) PX 1) PX ) 1 0, 3679 e 1 1! 0, Remarquos tout de même qu l y a 36% de chaces pour qu aucue des 100 ampoules e grlle à la premère utlsato! Défto 1 : O dt qu ue varable aléatore réelle X sut ue lo de Posso de paramètre λ > 0 s sa lo de probablté est doée par : N, λ λ PX ) e. démostrato : Vérfos que la somme des toutes les probabltés possbles vaut be 1, d après le prcpe des probabltés totales : C est le résultat voulu. e PX ) λ λ 0 0 e λ λ 0 }{{} e λ e λ e λ 1. Exercce : Sur ue autoroute, l y a e moyee deux accdets par semae. Le wee-ed de Pâques, l y e a eu cq. Quelle état la probablté que cela arrve? Soluto : La lo X du ombre d accdets sur cette route sut ue lo de Posso de paramètre. Par sute, PX 5) e 5 5! 0, 0361, sot evro 3, 6% Espérace et varace Théorème 1 : Sot X ue varable aléatore réelle suvat ue lo de Posso de paramètre λ > 0. Alors : EX) VarX) λ. démostrato : Rappelos que e x 0 x! λ ) et N, PX ) e λ. Das ce cas :

3 3 Calcul de l espérace : EX) PX ) λ λ e e λ λ 1)! λ e λ λ 1 1)! λ e λ λ λ e λ e λ λ. Ces égaltés sot doc démotrées. Calcul de la varace : VarX) EX ) E X) + 1) λ λ e λ λ λ e + λ λ 1) e λ e λ λ e λ λ 1)! + λ 1 1)! + λ e λ λ )! λ e λ λ e λ λ! + λ e λ λ j j! λ 0 j0 ) λ e λ e λ + λ e λ e λ λ λ + λ λ λ. λ )! λ 6. Lo ormale 6..1 Défto, espérace et varace Défto : O dt qu ue varable aléatore réelle X sut ue lo ormale d espérace µ et d écart-type σ > 0 doc de varace σ ) s elle admet pour desté de probablté la focto fx) défe pour tout réel x par : O ote L X) N µ, σ ). f X x) 1 σ π exp 1 ) ]. σ démostrato espérace, varace) : Nous allos motrer que l espérace d ue varable qu sut ue lo ormale est égale à µ et que sa varace est égale à σ. Par défto, l espérace égale à EX) 1 σ x exp 1 ) ] dx. π σ Pour calculer cette tégrale, fasos le chagemet de varables u x µ σ classque pour les calculs sur la lo ormale. Il vet : 1 ] EX) µ + σu) exp u du π µ exp π ] u du + σ π u exp mplquat du dx σ ), ] u du. La secode tégrale est ulle e effet, l s agt de l tégrale d ue focto mpare). Quat à la premère, elle est égale à π, ce qu se motre e posat I exp ] u du et doc

4 4 I exp 1 x + y ) ] dx dy et e tégrat e coordoées polares. O trouve alors falemet que EX) µ. De la même faço : E X µ) ) 1 σ π ) exp 1 ) ] dx σ devedra, après chagemet de varables c-dessus : E X µ) ) σ π u exp ] u du. E tégrat par partes, o trouve drectemet que E X µ) ) σ. Cec achève otre démostrato. Remarques 1 : La desté f X est u "outl" qu ous permettra de calculer les probablté par tégrale pour des varables aléatores o dscrètes. L ue de ses prcpales proprétés est : f Xx) dx 1. Ue varable aléatore est dte dscrète lorsqu elle e pred que des valeurs dscotues das u tervalle doé, alors qu elle est dte cotue s elle peut predre toutes les valeurs das u tervalle doé. E gééral, les varables aléatores ssues de déombremet ombre d accdets de la route, ombre de mutatos de professeurs das ue académe,...) sot dscrètes alors que celles ssues de mesures chox aléatore d u ombre etre 0 et 1, taux de glucose das le sag,...) sot cotues. 6.. Représetato graphque et proprétés Représetato graphque de la focto de répartto de la lo ormale Nµ, σ ) : F X t) PX t) t f X x) dx. PX t) µ t Remarques : La drote d équato x µ est axe de symétre de cette «courbe e cloche», et les pots d flexo sot stués à ue dstace σ de cet axe de symétre. Voc ecore ue belle llustrato de l ace bllet allemad de 10 DM sur lequel fgure Gauss et sa fameuse courbe :

5 5 Proposto 1 : La varable aléatore Y X µ σ sut la lo ormale cetrée rédute N 0, 1). démostrato : E effectuat toujours le même chagemet de varables u x µ σ, o a pour tout réel t : t 1 PY t) σ π exp 1 ) ] t ] 1 dx exp u du. σ π La desté de la varable aléatore Y est doc la focto f Y u) 1 ] exp u, π qu correspod à celle de la lo ormale cetrée rédute N 0, 1). 6.3 Proprétés utlsat l dépedace Prcpe Soet X, Y, Z tros varables aléatores réelles telles que Z X + Y. Alors pour tout N, PZ ) PX + Y ) P X 0 Y ) X 1 Y 1) X Y 0)) PX 0, Y ) + PX 1, Y 1) + + PX, Y 0) car dsjots) PX, Y ).

6 6 De plus, s les deux varables aléatores sot dépedates, alors o a falemet : N, PX + Y ) PX ) PY ). ) 6.3. Lo de Posso Proposto : S X et Y sot deux varables aléatores dépedates suvat des los de Posso de paramètres respectfs λ et µ, alors L X + Y) Pλ + µ). démostrato : Sot N. Alors d après l égalté ) c-dessus, o a : PX + Y ) PX ) PY ) e λ+µ) λ e λ+µ)! λ λ e e µ µ e λ+µ) 1 )!! ) λ µ e λ+µ) λ + µ).! µ )!! )! λ µ Lo ormale Proposto 3 : S X et Y sot deux varables aléatores dépedates de lo respectve N µ 1, σ1 ) ) et N µ, σ µ ), alors la varable aléatore L X + Y) N 1 + µ, σ1 + σ. démostrato : Cette démostrato utlse le fat que la desté de probablté de la somme de deux varables aléatores dépedates X et Y ayat chacue ue desté f X et f Y ) est doé par le produt de covoluto f X+Y t) f X f Y )t) f Xx) f Y t x) dx. 6.4 Covergece Théorème cetral lmt Théorème théorème cetral lmt) : Sot S la varable aléatore résultat de la somme de N varables aléatores dépedates de même lo, chacue d espérace µ et de varace σ, et Z la varable aléatore défe par Z S µ σ. Alors o a L Z ) N 0, 1). démostrato : Das le cadre de cette leço, ous admettros ce théorème. Il peut cepedat être démotré assez faclemet e utlsat les foctos caractérstques.

7 Lo de Posso Théorème 3 : Sot X ue varable aléatore telle que L X) Pλ). Alors, pour tout eter, o a 1 PX ) exp 1 ) ] λ quad λ, λ π λ avec EX) λ et VX) λ. démostrato : Cette démostrato est lassée au lecteur e exercce. Remarques 3 : L approxmato est valable dès que λ 0. c 01 par Martal LENZEN. Aucue reproducto, même partelle, autres que celles prévues à l artcle L. 1-5 du code de la proprété tellectuelle, e peut être fate sas l autorsato expresse de l auteur.