LEÇON N 6 : Loi de Poisson, loi normale.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "LEÇON N 6 : Loi de Poisson, loi normale."

Transcription

1 LEÇON N 6 :. Pré-requs : Probabltés : défto, calculs et probabltés codtoelles ; Lo bomale cf. leço o 5) ; Noto de varables aléatores dscrètes et cotues cf. leços o 4 et 7), et proprétés assocées : espérace, varace ; Idépedace de varables aléatores : X Y PX Y) PX) PY) ; Développemets lmtés. 6.1 Lo de Posso Défto Cette lo a été découverte au début du XIX e sècle par Sméo-Des Posso. Elle s applque gééralemet aux phéomèes accdetels où la probablté p est très fable, ou aux phéomèes sas mémore paes de maches, accdets d avos, fautes das u texte, etc.). Das certaes codtos, elle peut égalemet être défe comme lmte d ue lo bomale otammet lorsque 50 et p 5 : Soet N, {0,..., } et p 0, 1]. Les calculs avec ue lo bomale deveet rapdemet complqués dès que est très grad et p très pett. O cherche alors à approxmer PX ) par quelque chose de plus smple. La questo est alors : e posat λ p costate), est-ce que la quatté PX ) ) p 1 p) a-t-elle ue lmte lorsque? ) p 1 p) ) λ ) λ ) 1 λ ) exp ) l 1 λ ) ) 1) 1) ) }{{ } 1 ) 1 }{{ } 1 ) λ! )λ exp ) 1 1 }{{ } 1 Par cotuté de la focto expoetelle, o e dédut que : lm ) p 1 p) λ! λ! exp exp λ) e λ λ!. 1 + o ) ) )λ }{{ } λ 1 ) ) +o.

2 Exercce : La probablté pour ue ampoule électrque «grlle» à so premer allumage est de 0, 01. Sur u groupe de 100 ampoules, quelle est la probablté d observer 0 ampoule qu grlle? 1? plus de? Soluto : Pour ue ampoule, l s agt d ue lo de Beroull, où le succès est assmlé au fat qu ue ampoule grlle avec la probablté p 0, 01. Le groupe de 100 ampoules sut ue ue lo bomale L X) B100; 0, 01). Pusque et p 1 5, o peut rasoablemet approcher cette lo par ue lo de Posso de paramètre 1. Par sute, PX 0) e ! 0, 3679; PX 1) e ! 0, 3679; PX > ) 1 PX ) 1 PX 0) PX 1) PX ) 1 0, 3679 e 1 1! 0, Remarquos tout de même qu l y a 36% de chaces pour qu aucue des 100 ampoules e grlle à la premère utlsato! Défto 1 : O dt qu ue varable aléatore réelle X sut ue lo de Posso de paramètre λ > 0 s sa lo de probablté est doée par : N, λ λ PX ) e. démostrato : Vérfos que la somme des toutes les probabltés possbles vaut be 1, d après le prcpe des probabltés totales : C est le résultat voulu. e PX ) λ λ 0 0 e λ λ 0 }{{} e λ e λ e λ 1. Exercce : Sur ue autoroute, l y a e moyee deux accdets par semae. Le wee-ed de Pâques, l y e a eu cq. Quelle état la probablté que cela arrve? Soluto : La lo X du ombre d accdets sur cette route sut ue lo de Posso de paramètre. Par sute, PX 5) e 5 5! 0, 0361, sot evro 3, 6% Espérace et varace Théorème 1 : Sot X ue varable aléatore réelle suvat ue lo de Posso de paramètre λ > 0. Alors : EX) VarX) λ. démostrato : Rappelos que e x 0 x! λ ) et N, PX ) e λ. Das ce cas :

3 3 Calcul de l espérace : EX) PX ) λ λ e e λ λ 1)! λ e λ λ 1 1)! λ e λ λ λ e λ e λ λ. Ces égaltés sot doc démotrées. Calcul de la varace : VarX) EX ) E X) + 1) λ λ e λ λ λ e + λ λ 1) e λ e λ λ e λ λ 1)! + λ 1 1)! + λ e λ λ )! λ e λ λ e λ λ! + λ e λ λ j j! λ 0 j0 ) λ e λ e λ + λ e λ e λ λ λ + λ λ λ. λ )! λ 6. Lo ormale 6..1 Défto, espérace et varace Défto : O dt qu ue varable aléatore réelle X sut ue lo ormale d espérace µ et d écart-type σ > 0 doc de varace σ ) s elle admet pour desté de probablté la focto fx) défe pour tout réel x par : O ote L X) N µ, σ ). f X x) 1 σ π exp 1 ) ]. σ démostrato espérace, varace) : Nous allos motrer que l espérace d ue varable qu sut ue lo ormale est égale à µ et que sa varace est égale à σ. Par défto, l espérace égale à EX) 1 σ x exp 1 ) ] dx. π σ Pour calculer cette tégrale, fasos le chagemet de varables u x µ σ classque pour les calculs sur la lo ormale. Il vet : 1 ] EX) µ + σu) exp u du π µ exp π ] u du + σ π u exp mplquat du dx σ ), ] u du. La secode tégrale est ulle e effet, l s agt de l tégrale d ue focto mpare). Quat à la premère, elle est égale à π, ce qu se motre e posat I exp ] u du et doc

4 4 I exp 1 x + y ) ] dx dy et e tégrat e coordoées polares. O trouve alors falemet que EX) µ. De la même faço : E X µ) ) 1 σ π ) exp 1 ) ] dx σ devedra, après chagemet de varables c-dessus : E X µ) ) σ π u exp ] u du. E tégrat par partes, o trouve drectemet que E X µ) ) σ. Cec achève otre démostrato. Remarques 1 : La desté f X est u "outl" qu ous permettra de calculer les probablté par tégrale pour des varables aléatores o dscrètes. L ue de ses prcpales proprétés est : f Xx) dx 1. Ue varable aléatore est dte dscrète lorsqu elle e pred que des valeurs dscotues das u tervalle doé, alors qu elle est dte cotue s elle peut predre toutes les valeurs das u tervalle doé. E gééral, les varables aléatores ssues de déombremet ombre d accdets de la route, ombre de mutatos de professeurs das ue académe,...) sot dscrètes alors que celles ssues de mesures chox aléatore d u ombre etre 0 et 1, taux de glucose das le sag,...) sot cotues. 6.. Représetato graphque et proprétés Représetato graphque de la focto de répartto de la lo ormale Nµ, σ ) : F X t) PX t) t f X x) dx. PX t) µ t Remarques : La drote d équato x µ est axe de symétre de cette «courbe e cloche», et les pots d flexo sot stués à ue dstace σ de cet axe de symétre. Voc ecore ue belle llustrato de l ace bllet allemad de 10 DM sur lequel fgure Gauss et sa fameuse courbe :

5 5 Proposto 1 : La varable aléatore Y X µ σ sut la lo ormale cetrée rédute N 0, 1). démostrato : E effectuat toujours le même chagemet de varables u x µ σ, o a pour tout réel t : t 1 PY t) σ π exp 1 ) ] t ] 1 dx exp u du. σ π La desté de la varable aléatore Y est doc la focto f Y u) 1 ] exp u, π qu correspod à celle de la lo ormale cetrée rédute N 0, 1). 6.3 Proprétés utlsat l dépedace Prcpe Soet X, Y, Z tros varables aléatores réelles telles que Z X + Y. Alors pour tout N, PZ ) PX + Y ) P X 0 Y ) X 1 Y 1) X Y 0)) PX 0, Y ) + PX 1, Y 1) + + PX, Y 0) car dsjots) PX, Y ).

6 6 De plus, s les deux varables aléatores sot dépedates, alors o a falemet : N, PX + Y ) PX ) PY ). ) 6.3. Lo de Posso Proposto : S X et Y sot deux varables aléatores dépedates suvat des los de Posso de paramètres respectfs λ et µ, alors L X + Y) Pλ + µ). démostrato : Sot N. Alors d après l égalté ) c-dessus, o a : PX + Y ) PX ) PY ) e λ+µ) λ e λ+µ)! λ λ e e µ µ e λ+µ) 1 )!! ) λ µ e λ+µ) λ + µ).! µ )!! )! λ µ Lo ormale Proposto 3 : S X et Y sot deux varables aléatores dépedates de lo respectve N µ 1, σ1 ) ) et N µ, σ µ ), alors la varable aléatore L X + Y) N 1 + µ, σ1 + σ. démostrato : Cette démostrato utlse le fat que la desté de probablté de la somme de deux varables aléatores dépedates X et Y ayat chacue ue desté f X et f Y ) est doé par le produt de covoluto f X+Y t) f X f Y )t) f Xx) f Y t x) dx. 6.4 Covergece Théorème cetral lmt Théorème théorème cetral lmt) : Sot S la varable aléatore résultat de la somme de N varables aléatores dépedates de même lo, chacue d espérace µ et de varace σ, et Z la varable aléatore défe par Z S µ σ. Alors o a L Z ) N 0, 1). démostrato : Das le cadre de cette leço, ous admettros ce théorème. Il peut cepedat être démotré assez faclemet e utlsat les foctos caractérstques.

7 Lo de Posso Théorème 3 : Sot X ue varable aléatore telle que L X) Pλ). Alors, pour tout eter, o a 1 PX ) exp 1 ) ] λ quad λ, λ π λ avec EX) λ et VX) λ. démostrato : Cette démostrato est lassée au lecteur e exercce. Remarques 3 : L approxmato est valable dès que λ 0. c 01 par Martal LENZEN. Aucue reproducto, même partelle, autres que celles prévues à l artcle L. 1-5 du code de la proprété tellectuelle, e peut être fate sas l autorsato expresse de l auteur.

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 3 : Variables aléatoires réelles

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 3 : Variables aléatoires réelles L Meto Iformatque UE Probabltés Chaptre 3 : Varables aléatores réelles Notes de cours rédgées par Rége Adré-Obrecht, Jule Pquer, Serge Solovev Sot (, A, P) Ω et X : Ω R ue varable aléatore. I. Varable

Plus en détail

LOI NORMALE ET LOIS DERIVEES

LOI NORMALE ET LOIS DERIVEES Prcpes et Méthodes de la Bostatstque Chaptre 5 LOI NORMALE ET LOIS DERIVEES A-LA LOI NORMALE Présetato La dstrbuto ormale, dte ecore de Laplace-Gauss, est pour des rasos qu apparaîtrot plus lo, la plus

Plus en détail

On applique le théorème de Pythagore au triangle AIE est rectangle en I AI 2 IE 2 AE 2 IE IE 1 2

On applique le théorème de Pythagore au triangle AIE est rectangle en I AI 2 IE 2 AE 2 IE IE 1 2 Exercce Lba 6 4 pots O cosdère u solde ADECBF costtué de deux pyramdes detques ayat pour base commue le carré ABCD de cetre I. Ue représetato e perspectve de ce solde est doée e aexe (à redre avec la cope).

Plus en détail

5. Variables aléatoires simultanées

5. Variables aléatoires simultanées 5. Varables aléatores smultaées 5.1 Coule de varables aléatores Défto 1 Pour tout dce das 1, sot X ue varable aléatore. O dt que X X 1 X est ue varable aléatore de dmeso. Nous ous téresseros rcalemet aux

Plus en détail

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 4 : Simulation - Régression

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 4 : Simulation - Régression L Meto Iformatque UE Probabltés Chaptre 4 : Smulato - Régresso Notes de cours rédgées par Rége Adré-Obrecht, Jule Pquer I- Smulato de varables aléatores. Itroducto Das certaes expéreces «réelles», où le

Plus en détail

arlesrcomplexesraurbacr2014r==corriges=z

arlesrcomplexesraurbacr2014r==corriges=z arlesrcomplexesraurbacr0r==corriges= Nouvelle-Calédoe ovembre 0 5 pots Proposto : Pour tout eter aturel : ( + ) = () VRAI! ( ) doc d où ( ) ( ) ( ) ( ) Sot (E) l équato ( )( + 8) = 0 où désge u ombre complexe

Plus en détail

Polynésie Juin 2010 Série S Exercice. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O; uv, )

Polynésie Juin 2010 Série S Exercice. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O; uv, ) Polyése Ju 00 Sére S xercce Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormal drect ( O; uv, ) Prérequs Parte A Resttuto orgasée de coassaces Sot u ombre complexe tel que = a+ b où a et b sot deux ombres

Plus en détail

I. Qu est-ce qu une variable aléatoire?

I. Qu est-ce qu une variable aléatoire? I. Qu est-ce qu ue varable aléatore?. Défto : Sot ue expérece aléatore dot l esemble des résultats possbles (l uvers est oté Ω. Ue varable aléatore est ue focto X allat de Ω sur R, c est-à-dre que c est

Plus en détail

Pondichéry Avril 2014 Série S Exercice.

Pondichéry Avril 2014 Série S Exercice. Podchéry Avrl 04 Sére S Exercce Le pla complexe est mu d u repère orthoormé ( O; uv, ) Pour tout eter aturel, o ote A le pot d affxe z déf par : O déft la sute ( ) z z 0 = et + = + z 4 4 r par r = z pour

Plus en détail

MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE OUI NON

MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE OUI NON BAC BLANC MATIERE : MATHEMATIQUES OBLIGATOIRE CLASSE de : Termale S SALLE : Grade Permaece PROFESSEUR : Mle GUIHENEUF ATE : Vedred javer 6 HEURE ébut : 8 h HEURE f : h MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE

Plus en détail

Cours (Terminale) Probabilités (révisions 1 ère )

Cours (Terminale) Probabilités (révisions 1 ère ) Cours (Termale) Probabltés (révsos ère ) Quelques rappels et complémets sur les esembles Uo de deux esembles O appelle «uo de deux esembles E et F» l esemble oté E F dot les élémets sot costtués des élémets

Plus en détail

Devoir de contrôle n 1. 4 ème Maths 1 Radès. Répondre par Vrai au Faux aux questions propositions suivantes. Aucune justification n est demandée.

Devoir de contrôle n 1. 4 ème Maths 1 Radès. Répondre par Vrai au Faux aux questions propositions suivantes. Aucune justification n est demandée. Lycée Ib Khaldou Devor de cotrôle ème Maths Radès ( heure) Mr ABIDI Fard Mathématques Mercred 9 Novembre 0 Exercce : ( pots) Répodre par Vra au Faux aux questos propostos suvates Aucue justfcato est demadée

Plus en détail

II - Notions de probabilité. 19/10/2007 PHYS-F-301 G. Wilquet 1

II - Notions de probabilité. 19/10/2007 PHYS-F-301 G. Wilquet 1 II - Notos de probablté 9/0/007 PHYS-F-30 G. Wlquet Ue varable aléatore est ue varable dot la valeur e peut être prédte avec certtude mas dot la probablté d occurrece d ue valeur (varable dscrète) ou d

Plus en détail

[ ] IV.- Espérance mathématique de l estimateur  : Nous avons ( ) ε. alors l espérance mathématique sera : soit

[ ] IV.- Espérance mathématique de l estimateur  : Nous avons ( ) ε. alors l espérance mathématique sera : soit Itroducto à l écoométre S6-EF sc. éco. & gesto Prof. Mohamed El Meroua IV.- Espérace mathématque de l estmateur  : A ˆ A + X X X Nous avos ( ε alors l espérace mathématque sera : E ( E( A + E[ ( X X X

Plus en détail

COUPLE DE VARIABLES ALEATOIRES. On considère deux variables aléatoires X et Y. On aimerait connaitre s il y a influence entre ces deux variables.

COUPLE DE VARIABLES ALEATOIRES. On considère deux variables aléatoires X et Y. On aimerait connaitre s il y a influence entre ces deux variables. COUPLE DE VARIABLES ALEATOIRES O cosdère deux varables aléatores et. O amerat coatre s l y a fluece etre ces deux varables. I Coule de varables dscrètes : 1) Lo ote : Soet et deux varables dscrètes, à

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * *

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * * SESSION 003 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MAHEMAIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrces sot terdtes * * * NB : Le caddat attachera la plus grade mportace à la clarté, à la précso et à la cocso de la

Plus en détail

Divisibilité et congruences. Corrigés d exercices

Divisibilité et congruences. Corrigés d exercices Dvsblté et cogrueces Corrgés d exercces Les exercces du lvre corrgés das ce docuet sot les suvats : Page 445 : N 1, 5 Page 459 : N 45 Page 449 : N 10 Page 460 : N 51, 5, 55, 57 Page 451 : N 16 Page 461

Plus en détail

Terminales S Exercices sur les nombres complexes Page 1 sur 6

Terminales S Exercices sur les nombres complexes Page 1 sur 6 Termales S Exercces sur les ombres complexes Page sur 6 Exercce : ) Calculer, et 5 6 7 ) E dédure, et ) Détermer les eters pour lesquels est a) u réel, b) est u magare pur, c) égal à Exercce : Ecrre sous

Plus en détail

Méthode du simplexe: préliminaires. 2. Programmation linéaire. Solution de base. Méthode du simplexe: préliminaires. b. Méthode du simplexe

Méthode du simplexe: préliminaires. 2. Programmation linéaire. Solution de base. Méthode du simplexe: préliminaires. b. Méthode du simplexe Méthode du smplee: prélmares Modèles de recherche opératoelle (RO). Programmato léare b. Méthode du smplee Das le cas où l y a ue fté de solutos, la méthode d élmato de Gauss-Jorda permet d detfer tros

Plus en détail

CHAPITRE VI. THÉORÈME DU CHANGEMENT DE VARIABLE. pour tout borélien B U. En particulier, on a λ (A) = µ ( φ 1 (A)) pour tout borélien A V, soit V U

CHAPITRE VI. THÉORÈME DU CHANGEMENT DE VARIABLE. pour tout borélien B U. En particulier, on a λ (A) = µ ( φ 1 (A)) pour tout borélien A V, soit V U CHAPITE I. THÉOÈME D CHANGEMENT DE AIABLE.. Itégrato par chagemet de varable... Itroducto. Soet, deux ouverts de et φ : u homéomorphsme de sur. Notos x (resp. y ) la varable de (resp. de ) et λ = dy la

Plus en détail

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet.

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet. ère S Cotrôle du mard 7 javer 05 ( heures) D C N Le barème est doé sur 0 O répodra drectemet sur la cope foure avec le sujet U certa ombre de questos écesste ue recherche préalable au broullo O e rédgera

Plus en détail

Exercice n 1 1) Par associativité de l intersection des événements, et à l aide de la formule des probabilités conditionnelles,

Exercice n 1 1) Par associativité de l intersection des événements, et à l aide de la formule des probabilités conditionnelles, CONCOURS EMIA Sceces CONCOURS 0 EPREUVE DE MATHEMATIQUES Corrgé o offcel rédgé par Jea-Gullaume CUAZ, esegat au Lycée Mltare de Sat-Cyr, jgcuaz@hotmalcom Eercce ) Par assocatvté de l tersecto des évéemets,

Plus en détail

BTS BLANC Mai ; on pose A. en fonction de an. puis écrire an

BTS BLANC Mai ; on pose A. en fonction de an. puis écrire an BTS BLANC Ma 0 Epreuve : Mathématques Géérales et Applquées Flère : DA / ARLE Durée: heures NB : Chaque parte dot être tratée sur des copes dfféretes I- MATHEMATIQUES GENERALES Exercce a b Sot le Sot la

Plus en détail

MPSI du lycée Rabelais semaine du 11 septembre 2015 CALCULS ALGÉBRIQUES. Montrez que u k = u m +u n

MPSI du lycée Rabelais  semaine du 11 septembre 2015 CALCULS ALGÉBRIQUES. Montrez que u k = u m +u n MPSI du lycée Rabelas http://mps.satbreuc.free.fr semae du septembre 5 CALCULS ALGÉBRIQUES Sommes et produts fs Exercce : Parm les formules suvates, lesquelles sot vraes?.. 3. α+a α+ a +b αa α a + a a

Plus en détail

Comment représenter les variables aléatoires (données)? Paramètres descriptifs. Quels sont les paramètres descriptifs de la position?

Comment représenter les variables aléatoires (données)? Paramètres descriptifs. Quels sont les paramètres descriptifs de la position? Paramètres descrptfs Cours VETE043- Aée académque 06-07 Commet représeter les varables aléatores (doées)? Représetato sythétque Tables de fréqueces Représetato graphque Dagrammes de fréqueces Paramètres

Plus en détail

2. On présente ensuite une proposition : l'équiprobabilité à chaque étape entraîne l'équiprobabilité sur l'ensemble des résultats.

2. On présente ensuite une proposition : l'équiprobabilité à chaque étape entraîne l'équiprobabilité sur l'ensemble des résultats. rbre de déombremet et arbre de probablté Pla du documet. O présete tout d'abord la règle du produt pour les arbres de déombremet avec, e cas partculer, le cardal d'u produt cartése d'esembles fs.. O présete

Plus en détail

PROBABILITÉS - VARIABLES ALÉATOIRES

PROBABILITÉS - VARIABLES ALÉATOIRES PROBABILITÉS - VARIABLES ALÉATOIRES Itroducto Das le cours sur les probabltés ous avos trodut la oto d uvers U et lu avos attacé ue focto probablté P. Das beaucoup d applcatos pratques la oto d uvers,

Plus en détail

Convergences et approximations

Convergences et approximations Covergeces et approximatios Probabilités : Chapitre 5 Das tout ce chapitre, les démostratios serot faites das le cas des variables discrètes et des variables à desité. I Iégalité de Bieaymé-Tchebychev

Plus en détail

2.1 Variable aléatoire Fonction de répartition Fonction de masse et de densité...2

2.1 Variable aléatoire Fonction de répartition Fonction de masse et de densité...2 - Varables aléatores et dstrbutos - Chaptre : Varables aléatores et dstrbutos. Varable aléatore.... Focto de répartto....3 Focto de masse et de desté....4 Dstrbuto cojote de varables aléatores...5.4. Dstrbuto

Plus en détail

I. Moyenne, variance et écart-type d une série statistique

I. Moyenne, variance et écart-type d une série statistique I Moyee, varace et écart-type d ue sére statstque Sére statstque dscrète : Eemple d ue sére statstque dscrète : Preos le cas d ue classe de élèves qu réalset u devor oté sur 5 La sére statstque dscrète

Plus en détail

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015 Uiversité Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Aée 2014-15 Exame du 13 mai 2015 Le sujet comporte 2 pages. L épreuve dure 2 heures. Les documets, calculatrices et téléphoes

Plus en détail

Limites de fonctions (1) Approche intuitive ; limites des fonctions de référence. 1 ère S. II. La fonction carrée. 1 ) Tableau de variation

Limites de fonctions (1) Approche intuitive ; limites des fonctions de référence. 1 ère S. II. La fonction carrée. 1 ) Tableau de variation ère S Lmtes de foctos () Approche tutve ; tes des foctos de référece II. La focto carrée ) Tableau de varato Das ce chaptre, o lasse provsoremet de côté les dérvées. I. Itroducto ) Rappel Déà vu : oto

Plus en détail

CORRECTION DU BAC 2007

CORRECTION DU BAC 2007 ORRTION U B 7 Trmal S mérqu du Nord rcc Sot (P l pla dot u équato st : + y z + = lors, d coordoés ( ; ;, st u vctur ormal d (P omm H st l projté orthogoal d sur (P, alors H t sot coléars Il st H = k H

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES EXERCICES CORRIGES

NOMBRES COMPLEXES EXERCICES CORRIGES Cours et exercces de mathématques NOMRES COMPLEXES EXERCICES CORRIGES Exercce. O doe = + et = + Ecrre sous forme algébrque les complexes suvats : = ; Exercce. Calculer, et = ; = ; = ; 5 006 009 E dédure

Plus en détail

BTS C.G. 1996. B) Retour au problème concret: Le nombre d'appartements commercialisé est nécessairement un entier entre 2 et 20.

BTS C.G. 1996. B) Retour au problème concret: Le nombre d'appartements commercialisé est nécessairement un entier entre 2 et 20. BTS CG 996 Eercce : (0 pots) Ue agece mmoblère evsage de commercalser u programme de costructo d'appartemets Deu projets lu sot soums: Projet P : Le coût de producto de appartemets ( eter et 0 )est doé

Plus en détail

Annexe : Leçon 10 - Échantillonnage

Annexe : Leçon 10 - Échantillonnage Aexe : Leço 10 - Échatilloage Clémet BOULONNE pour la sessio 01 I Niveau, prérequis, référeces Niveau BTS Prérequis Probabilités, lois discrètes et cotiues Référeces [1,,, 4, 5] II Coteu de la leço 1 Approximatio

Plus en détail

TD Techniques de prévision pour la Gestion de production

TD Techniques de prévision pour la Gestion de production Orgasato et gesto dustrelle Page / 6 TD Techques de prévso pour la Gesto de producto er Exercce Vetes d u rayo de jouraux das u supermarché Javer Févrer Mars Avrl Ma Ju Jullet Août Septembre Octobre Novembre

Plus en détail

NOTATIONS ET FORMULAIRE

NOTATIONS ET FORMULAIRE Uversté PARIS DESCARTES Lcece de Psychologe L1 ADP1- Resp : Mrelle LAGARRIGUE page 1/5 PROTOCOLE SUR U ECHA TILLO NOTATIONS ET FORMULAIRE Esemble des sujets de l échatllo S { s 1 ; s ;.; s } (1) Varable

Plus en détail

Améliorer la productivité

Améliorer la productivité Maurce Pllet Amélorer la productvté Déploemet dustrel du toléracemet ertel, 00 SBN : 978---54754- Commet calculer ue tolérace ertelle 75 Nous avos doc u toléracemet par tervalle sur les exgeces foctoelles

Plus en détail

DEVOIR EN TEMPS LIBRE A RENDRE LE 17 /02/11 ECS 2

DEVOIR EN TEMPS LIBRE A RENDRE LE 17 /02/11 ECS 2 DEVOIR EN TEPS LIBRE A RENDRE LE 7 /0/ ECS EX : : Le but de ce poblème (dot les tos pates sot dépedates) est l'étude du temps passé das ue mae pa u usage quad u ou pluseus guchets sot à la dsposto du publc,

Plus en détail

Chapitre II : Notion de mesure : Définition : 3 Remarques : 3 Définition : 3 Définition : 3 Définition : 3 Exemple : 4 Définition : 4 2.

Chapitre II : Notion de mesure : Définition : 3 Remarques : 3 Définition : 3 Définition : 3 Définition : 3 Exemple : 4 Définition : 4 2. Chaptre II : Noto de mesure 3 2. : Défto : 3 Remarques : 3 Défto : 3 Défto : 3 Défto : 3 Exemple : 4 Défto : 4 2.2 : Proprétés : 4 Proprété : 4 Proprété 2 : 4 Proprété 3 : 4 Proprété 4 : 4 Proprété 5 :

Plus en détail

Chapitre 5 : Modèles probabilistes pour la recherche d information. - Modèle tri probabiliste (BIR et BM25) - Modèle de Langue

Chapitre 5 : Modèles probabilistes pour la recherche d information. - Modèle tri probabiliste (BIR et BM25) - Modèle de Langue Chaptre 5 : Modèles probablstes pour la recherche d formato - Modèle tr probablste BI et BM25 - Modèle de Lague Itroducto ourquo les probabltés? La I est u processus certa et mprécs Imprécso das l expresso

Plus en détail

N O M B R E S C O M P L E X E S.

N O M B R E S C O M P L E X E S. T le S 00/005 Ch9 Nombres complexes J TAUZIEDE N O M B R E S C O M P L E X E S I- L ENSEMBLE C DES NOMBRES COMPLEXES Ecrture algébrque des ombres complexes Comme o a motré l suffsace de l esemble Q par

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes haptre 6 termale S Les ombres complexes 1 hstorque et créato : N Z ID Q R es esembles ot été costruts au fl de l hstore grâce à u même problème : certaes équatos ot des solutos das u esemble doé mas d

Plus en détail

EXERCICES DE. Serveur d'exercices 1/22

EXERCICES DE. Serveur d'exercices 1/22 Sceces.ch EXERCICES DE TOPOLOGIE Serveur d'exercces /22 Sceces.ch EXERCICE.. Auteur : Rube Rcchuto (09.08.04, rube@sceces.ch) Mots Clés :Théorème de Bare et cardal de Éocé : Doer ue preuve topologque du

Plus en détail

LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe

Plus en détail

Exercice 1 : Analogie entre équilibres acido-basiques et équilibres de complexation (Application du Principe de Le Châtelier).

Exercice 1 : Analogie entre équilibres acido-basiques et équilibres de complexation (Application du Principe de Le Châtelier). Bla UE 1C G. EXERCICES BILAN Exercce 1 : Aaloge etre équlbres acdo-basques et équlbres de complexato (Applcato du Prcpe de Le Châteler). Objectfs de l'exercce - Coassaces/Compéteces testées das cet exercce

Plus en détail

Chapitre 6 Théorèmes de convergence

Chapitre 6 Théorèmes de convergence Chapitre 6 Théorèmes de covergece 1. La covergece e loi O a déjà recotré ue covergece e loi lors de l approximatio d ue loi biomiale par ue loi de Poisso. Ce problème se place das u cadre plus gééral où

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES - EXERCICES CORRIGES Exercice n 1.

NOMBRES COMPLEXES - EXERCICES CORRIGES Exercice n 1. NOMBRES COMPLEXES - EXERCICES CORRIGES Exercce. O doe = + et = + Ecrre sous forme algébrque les complexes suvats : = ; = ; = ; = ; 5 = Exercce. Calculer, et E dédure la valeur de 006 et de 009, pus les

Plus en détail

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet.

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet. ère S Cotrôle du mard 7 javer 05 ( heures) D C N Le barème est doé sur 0 O répodra drectemet sur la cope foure avec le sujet U certa ombre de questos écesste ue recherche préalable au broullo O e rédgera

Plus en détail

Evaluation des méthodes d analyse appliquées aux sciences de la vie et de la santé. Statistique. Variables aléatoires

Evaluation des méthodes d analyse appliquées aux sciences de la vie et de la santé. Statistique. Variables aléatoires UE 4 Evaluato des méthodes d aalyse applquées au sceces de la ve et de la saté Statstque Varables aléatores Frédérc Mauy - 27 septembre et 3 octobre 2013 1 Pla du cours 1. Varable aléatore 1. Défto 2.

Plus en détail

Serie statistique double

Serie statistique double Sere statstque double Dstrbutos margales Actvté U relevé statstque des talles (e cm) et des pods Y (e kg) d u échatllo de 00 élèves a perms de costrure le tableau suvat : Y [0, 5[ [5, 50[ [50, 55[ [55,

Plus en détail

Loi de Fisher. Test de Fisher. Exemple. Solution. ANOVA à un facteur. df = (29, 28) df = (19, 6) df = (6, 6)

Loi de Fisher. Test de Fisher. Exemple. Solution. ANOVA à un facteur. df = (29, 28) df = (19, 6) df = (6, 6) ! amlle de dtrbuto. Lo de her! Chaque membre de la famlle et détermé par deux paramètre: le ombre de degré de lberté du umérateur et le ombre de degré de lberté du déomateur.! et cotue et potve.! et potvemet

Plus en détail

ESPACES VECTORIELS NORMÉS DE DIMENSION FINIE NORMES USUELLES, ÉQUIVALENCE DES NORMES

ESPACES VECTORIELS NORMÉS DE DIMENSION FINIE NORMES USUELLES, ÉQUIVALENCE DES NORMES ESPACES VECTORIELS NORMÉS DE DIMENSION FINIE NORMES USUELLES, ÉQUIVALENCE DES NORMES SOMMAIRE. Normes sur u espace vectorel E 2.. Défto d'ue orme. Cter l'égalté tragulare reversée. 2.2. Normes usuelles

Plus en détail

a. Le symbole se lit «sigma» ; l écriture Ex : 2 Fréquences en % ( f i x 100) 11,1 % 29,6 % 59,3 % 100 %!!!!

a. Le symbole se lit «sigma» ; l écriture Ex : 2 Fréquences en % ( f i x 100) 11,1 % 29,6 % 59,3 % 100 %!!!! Cours : Statstques I. Itroducto Classe de ère S O a vu que our caractérser ue sére statstque, o utlse des : - aramètres de tedace cetrale : - la moyee ; - la médae. Ils ermettet d dquer la «osto» de la

Plus en détail

XVII. Les nombres complexes.

XVII. Les nombres complexes. XVII. Les ombres complexes.. Itroducto Progressvemet, ous avos agrad les esembles de ombres e passat de N à Z pus à Q et ef à R. Ces agradssemets ot doé la possblté de résoudre de plus e plus d'équatos.

Plus en détail

EXERCICES RÉDIGÉS SUR LES NOMBRES COMPLEXES. et z 2 = e. Z i ( Z = 0 ou arg(z) = π 2 [π] ) Z imaginaire pur Z + Z = 0

EXERCICES RÉDIGÉS SUR LES NOMBRES COMPLEXES. et z 2 = e. Z i ( Z = 0 ou arg(z) = π 2 [π] ) Z imaginaire pur Z + Z = 0 EXERCICES RÉDIGÉS SUR LES NOMRES COMPLEXES Exercce 1 Valeur exacte du us et du sus de /1 O dère les deux ombres complexes suvats : 1. Écrre z 1 et z sous forme algébrque. z 1 = e 3 et z = e. Détermer les

Plus en détail

Bac blanc de mathématiques

Bac blanc de mathématiques Termale st2s le mercred 09/03/2016 Durée : 2 heures Bac blac de mathématques Exercce 1 : 6 pots Le tableau c-dessous doe le ombre d aboemets au servce de téléphoe moble e Frace etre f 2001 et f 2009, exprmé

Plus en détail

Annexe 1. Estimation d un quantile non-paramétrique par la méthode de Hazen

Annexe 1. Estimation d un quantile non-paramétrique par la méthode de Hazen Aexe. Estmato d u quatle o-paramétrque par la méthode de Haze La probablté cumulée emprque d ue doée au se d u échatllo est pas u cocept parfatemet déf : pluseurs estmatos sot possbles ; l e est de même

Plus en détail

ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES SIMPLES

ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES SIMPLES ANALYSE DES DONNÉES TEST DU KHI-DEUX ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES SIMPLES Perre-Lous Gozalez Mesure de la laso etre deux varables qualtatves Kh deux Equête : Êtes-vous «pas du tout d accord»

Plus en détail

Autour de la loi de Poisson

Autour de la loi de Poisson Agrégatio Itere de Mathématiques Thierry Champio séace du 25 ovembre 2016 Autour de la loi de Poisso Notatios - Itroductio Das tout ce problème, (Ω, T, P) est u espace probabilisé. Toutes les variables

Plus en détail

STATISTIQUES. La taille moyenne d un jeune enfant est donnée, en fonction de son âge (en mois), dans le tableau suivant :

STATISTIQUES. La taille moyenne d un jeune enfant est donnée, en fonction de son âge (en mois), dans le tableau suivant : STATISTIQUES Cours Termale ES O observe que, das certas cas, l semble ester u le etre deu caractères statstques quattatfs (deu varables) sur ue populato ; par eemple, etre le pods et la talle d u ouveau-é,

Plus en détail

Suites de variables aléatoires.

Suites de variables aléatoires. Uiversité Pierre et Marie Curie 200-20 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 8 Suites de variables aléatoires.. Soit Ω, F, P u espace de probabilités. Détermier pour chacue des covergeces suivates

Plus en détail

Leçon 08 : Statistiques Terminale. Altitude (x i ) Températures ( y i )

Leçon 08 : Statistiques Terminale. Altitude (x i ) Températures ( y i ) Leço 08 : Statstques Termale E premer leu, l te faut relre les cours de premère sur les statstques à ue varable, l a tout u lagage à se remémorer : étude d u échatllo d ue populato, mode, moee et médae

Plus en détail

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM Chapitre 2 Séries etières Cotets. Gééralités sur les séries etières 2.. Défiitio

Plus en détail

La valeur acquise par un capital au bout d'une année est donc obtenue en multipliant ce capital par (1 + i). Par suite, le capital C1

La valeur acquise par un capital au bout d'une année est donc obtenue en multipliant ce capital par (1 + i). Par suite, le capital C1 LGL Cours de Mathématques 26 Exemples de sutes das le domae des faces 1) Itérêts composés O place 1. à térêts composés au taux de 4,5 % par a. Détermer le captal dspoble à la f de chaque aée et ce pedat

Plus en détail

Probabilités. est la i ième valeur possible. L ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur x

Probabilités. est la i ième valeur possible. L ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur x Probabltés A) Varable aléatore et lo de probablté Varable aléatore Défto : O cosdère l'esemble E des ssues d'ue expérece aléatore Défr ue varable aléatore X sur cet esemble, c est assocer u ombre à chaque

Plus en détail

Fiche Diagonalisation des Matrices 2x2

Fiche Diagonalisation des Matrices 2x2 Fiche Diagoalisatio des Matrices x MOSE 1003 4 Septembre 014 Table des matières Motivatio, puissaces d ue matrice 1 Diagoalisatio Vérificatio avec Scilab 3 Puissace 4 Motivatio, puissaces d ue matrice

Plus en détail

Nombre de Clients [0 ; 50[ 72. x i. n i [ 50 ; 100 [ 90 [100 ; 150 [ 126 [150 ; 200 [ 54 [200 ; 250 [ 18

Nombre de Clients [0 ; 50[ 72. x i. n i [ 50 ; 100 [ 90 [100 ; 150 [ 126 [150 ; 200 [ 54 [200 ; 250 [ 18 1 U commerçat a relevé le motat des dépeses e euros de chaque clet au cours d ue semae. Motat des dépeses Clets [0 ; 50[ 72 x x - x ) - x )² -x ) ² [ 50 ; 100 [ 90 [100 ; 150 [ 126 [150 ; 200 [ 54 [200

Plus en détail

Chapitre : Équilibre général de Walras

Chapitre : Équilibre général de Walras Écoome et maagemet Lcece Mcroécoome 3 Aée 04-05 Chaptre : Équbre gééra de Waras Robert Jorda Agets de 'écoome : aucue fuece dvdueemet Système de prx : permettat de réaser des échages Codusat à u état réasabe

Plus en détail

CONVERGENCE ET APPROXIMATION

CONVERGENCE ET APPROXIMATION 11-2- 2010 J.F.C. Cov. p. 1 CONVERGENCE ET APPROXIMATION I CONVERGENCE EN PROBABILITÉ 1. Défiitio 2. Ue coditio suffisate de covergece e probabilité 3. La loi faible des grads ombres 4. Ue coséquece de

Plus en détail

SCHEMA DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE. EXEMPLES

SCHEMA DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE. EXEMPLES SCHEMA DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE EXEMPLES Nveau : termale Pré-requs : Espace probablsé Varable aléatore réelle sur u espace probablsé f Lo de probablté de X Espérace mathématque Varace O se place das

Plus en détail

Lois normales et autres lois dérivées

Lois normales et autres lois dérivées Lois ormales et autres lois dérivées - Lois ormales a) - Défiitio O dit qu'ue variable aléatoire réelle X suit la loi ormale (ou gaussiee) de paramètres et, otée N ( ; ), si elle admet pour desité la foctio

Plus en détail

Texte Filtre de Kalman-Bucy

Texte Filtre de Kalman-Bucy Page 1. Texte Filtre de Kalma-Bucy 1 e modèle U avio se déplace etre Paris et odres. Il suit ue trajectoire théorique appelée trajectoire omiale dot les coordoées sot coues de tous. a trajectoire de l

Plus en détail

Le cours Interprétation physique de la dérivée

Le cours Interprétation physique de la dérivée Il est égalemet possble de procéder à la «dérvato umérque» d ue sute de valeurs {(t ; f )}. La sute dérvée est elle-même costtuée de couples {(t ; f )} ; la valeur f de correspodat au tau de varato mesuré

Plus en détail

Corrigé : EM Lyon 2005

Corrigé : EM Lyon 2005 Corrigé : EM Lyo 5 Optio écoomique Eercice :. Par défiitio de E, la famille (I,J,K) est ue famille géératrice de E. Cette famille est-elle libre? O cherche tous les réels a, b et c tels que : ai +bj +ck

Plus en détail

Décomposition en Série de Karhunen-Loève d un Processus Aléatoire par le Biais d un Code Eléments Finis

Décomposition en Série de Karhunen-Loève d un Processus Aléatoire par le Biais d un Code Eléments Finis Décomposto e Sére de Karhue-Loève d u Processus Aléatore par le Bas d u ode Elémets Fs Sébaste Rece* Maurce Lemare** Ala Mllard * * ommssarat à l Eerge Atomque DMS / SEMT / LMS EA / SALAY F-99 G-sur-Yvette

Plus en détail

Module 4 - Leçon 01 - Budget des ventes 1. Introduction - Recherche de la tendance générale

Module 4 - Leçon 01 - Budget des ventes 1. Introduction - Recherche de la tendance générale Cotrôle de gesto Budget des vetes Module 4 - Leço - Budget des vetes Itroducto - Recherche de la tedace géérale - Itroducto Le budget des vetes est le premer budget opératoel à établr. Il est cosdéré comme

Plus en détail

Chapitre 8 Corrélation et régression linéaire simple. José LABARERE

Chapitre 8 Corrélation et régression linéaire simple. José LABARERE UE4 : Bostatstques Chaptre 8 Corrélato et régresso léare smple José LABARERE Aée uverstare 20/202 Uversté Joseph Fourer de Greoble - Tous drots réservés. Pla I. Corrélato et régresso léare II. Coeffcet

Plus en détail

CHAPITRE 2. Les carrés dans (Z/nZ) 2.1 Carrés et non carrés dans le corps Z/pZ

CHAPITRE 2. Les carrés dans (Z/nZ) 2.1 Carrés et non carrés dans le corps Z/pZ CHAPITRE Les carrés das (Z/Z Das ce chatre o s téresse à l esemble des carrés das le cors Z/Z, mas auss das certas aeaux Z/Z avec o remer O todut le symbole de Legedre qu caractérse les carrés O trodut

Plus en détail

IUT HSE Introduction aux probabilités et statistiques Applications Variables aux statistiques aléatoires 4 / 1

IUT HSE Introduction aux probabilités et statistiques Applications Variables aux statistiques aléatoires 4 / 1 IUT HSE Itroductio aux probabilités et statistiques Variables aléatoires Philippe Jamig Istitut Mathématique de Bordeaux PhilippeJamig@gmailcom http://wwwmathu-bordeaux1fr/ pjamig/ X variable aléatoire

Plus en détail

CORRIGE EXERCICES FACULTATIFS TD ADP1 SEANCE 4

CORRIGE EXERCICES FACULTATIFS TD ADP1 SEANCE 4 page1/6 CORRIGE EXERCICES FACULTATIFS TD ADP1 SEANCE 4 Dosser "Défcece" 1) = 30 pour les groupes. Les classes sot d'ampltudes dfféretes doc...utlser la desté (rappel : desté = effectf/ampltude). Durée

Plus en détail

Nombres complexes Sessions antérieures

Nombres complexes Sessions antérieures ème aée Maths Nombres complexes Sessos atéreures Aée scolare 9 - A LAATAOUI Exercce N (SP) Das le pla complexe P rapporté à u repère orthoormé ( Ouv ; ; ) o cosdère les pots A et B d affxes respectves

Plus en détail

RADIOPROTECTION CIRKUS. Sommaire

RADIOPROTECTION CIRKUS. Sommaire RADIOPROTECTION CIRKUS Documet techque Radoprotecto Crkus 89 D boulevard du Fer 74000 Aecy www.rpcrkus.org - cotact@rpcrkus.org Assocato lo 1901 créée le 9 mars 010 W91300355 - Eregstrée à la préfecture

Plus en détail

Alain MORINEAU

Alain MORINEAU www.deeov.com Ala MORINEAU Cet artcle est ue reprse et u extrat de l artcle «Note sur la Caractérsato Statstque d'ue Classe et les Valeurs-tests», publé das la revue Bullet Techque du Cetre de Statstque

Plus en détail

i la moyenne empirique de X n n v =

i la moyenne empirique de X n n v = Corrigé Statistiques iféretielle par par Pierre Veuillez Itervalle de cofiace. Exercice Détermier ue valeur approchée de la loi de la moyee empirique : E X E X, V X V X doc X N E X, V X Exercices. Variace

Plus en détail

3- LES TIRAGES PROBABILISTES D'ECHANTILLONS

3- LES TIRAGES PROBABILISTES D'ECHANTILLONS 3- LES TIRAGES PROBABILISTES D'EHATILLOS Das de ombreuses alcatos ratques du calcul des robabltés, o retrouve u ou luseurs des schémas de trages robablstes d'échatllos que ous allos exoser. Le cadre gééral

Plus en détail

Chapitre I : Introduction à la résistance des matériaux & Rappel de statique. (August Wöhler)

Chapitre I : Introduction à la résistance des matériaux & Rappel de statique. (August Wöhler) Chaptre I : Itroducto à la résstace des matéraux & appel de statque (August Wöhler) Premer cours de ésstace des atéraux a été doé par August Wöhler à l'uversté de Göttge (Allemage) e 842. aculty of echacal

Plus en détail

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites Opératios sur les variables aléatoires Lois limites A. Idépedace de deux variables aléatoires. Exemple 1. Pour améliorer le stockage d u produit u supermarché fait ue étude sur la vete de packs de 6 bouteilles

Plus en détail

Exercices sur le conditionnement : corrigé

Exercices sur le conditionnement : corrigé Exercces sur le codtoemet : corrgé ECE Lycée Kastler mars 008 Exercce * Pour be compredre commet ça se passe le meux est de commecer par retradure claremet l'éocé e utlsat les otatos esemblstes vues e

Plus en détail

Estimation par intervalle de confiance

Estimation par intervalle de confiance 62 CHAPITRE 12 Estimatio par itervalle de cofiace 1. Estimatio de la moyee par itervalle de cofiace 1.1. Calcul de la marge d erreur. O veut maiteat faire ue estimatio par itervalle de cofiace de la moyee

Plus en détail

( (p, q) IN 2 ) A p A q = A p+q ( (p, q) IN 2 ) (A p ) q = A pq ( k IN) (A ) k = (A k ) ( k IN) Dét (A k ) = (Dét A) k

( (p, q) IN 2 ) A p A q = A p+q ( (p, q) IN 2 ) (A p ) q = A pq ( k IN) (A ) k = (A k ) ( k IN) Dét (A k ) = (Dét A) k Algèbre Chaptre 6 Les matrces carrées Hypothèses : est u eter strctemet postf I est la -matrce uté I La trace d ue matrce carrée La trace d ue -matrce est la somme de ses termes dagoaux O ote la trace

Plus en détail

Inversion de Möbius et principe d inclusion-exclusion

Inversion de Möbius et principe d inclusion-exclusion Iverso de Möbus et prcpe d cluso-ecluso Bruo Wckler Prérequs : coeffcet bomal ; ombres premers ; dcatrce d Euler (dspesable) ; algèbre léare et/ou matrcelle (dspesable) ; séres covergetes (dspesable).

Plus en détail

PROBABILITÉS ET STATISTIQUE POUR L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE

PROBABILITÉS ET STATISTIQUE POUR L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE PROILITÉS ET STTISTIQUE POUR L ENSEIGNEMENT SECONDIRE Ce documet a été rédgé à l occaso d u stage de formato cotue de professeurs de mathématques de trosème et secode e décembre 009 à Toulouse, sute à

Plus en détail

STATISTIQUES A UNE VARIABLE

STATISTIQUES A UNE VARIABLE Cours et exercces de mathématques ) Itroducto et vocabulare STATISTIQUES A UNE VARIABLE La statstque est la scece qu cosste à réur des doées chffrées, à les aalyser, à les commeter et à les crtquer Ue

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u :

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u : SUITES NUMERIQUES Coteus : Capacités attedues : Commetaires : Suites Limite d ue suite défiie par so terme gééral Notatio lim u Suites géométriques : - somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique

Plus en détail

(respectivement M n,1 ( )) l espace vectoriel réel

(respectivement M n,1 ( )) l espace vectoriel réel Les calculatrces sot autorsées **** NB : Le caddat attachera la lus grade mortace à la clarté, à la récso et à la cocso de la rédacto S u caddat est ameé à reérer ce qu eut lu sembler être ue erreur d'éocé,

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1 Etudier la mootoie des suites a ) 0 défiies par : a) a = b) a = + 1) + ) + ) c) a =! d) a = α + 1) α réel positif) Soit a, la suite de terme gééral a = 3 + 1 3 + Trouver

Plus en détail

Estimation du coefficient de diffusion de la volatilité d un modèle à volatilité stochastique

Estimation du coefficient de diffusion de la volatilité d un modèle à volatilité stochastique C. R. Acad. Sc. Pars, t. 330, Sére I, p. 43 48, 000 Statstque/Statstcs (Probabltés/Probablty heory Estmato du coeffcet de dffuso de la volatlté d u modèle à volatlté stochastque Araud GLOER Équpe d aalyse

Plus en détail

Plan du cours. Rappels de probabilité. Axiomes des probabilités. Définition de la probabilité

Plan du cours. Rappels de probabilité. Axiomes des probabilités. Définition de la probabilité Pla du cours Rappels de probabilité Défiitios Axiomes Variable aléatoire Foctio de répartitio Momets R. Flamary, R. Herault, A. Rakotomamojy 9 octobre 4 Exemples de lois Loi uiforme Loi ormale Loi uiforme

Plus en détail