Partie commune (3 heures)

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1 TS Cotrôle du ludi 5 février 06 (4 heures) Partie commue ( heures) Le barème est doé sur 40 I (7 poits : ) poits ; ) poits ; ) poits + poit) Ue chaîe de magasis souhaite fidéliser ses cliets e offrat des bos d achat à ses cliets privilégiés Chacu d eu reçoit u bo d achat de couleur verte ou rouge sur lequel est iscrit u motat Les bos d achats sot distribués de faço à avoir, das chaque magasi, u quart de bos rouges et trois quarts de bos verts Les bos d achat verts preet la valeur de 0 avec ue probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises etre 0 et 5 euros avec des probabilités o précisées ici De faço aalogue, les bos d achat rouges preet les valeurs 0 ou 00 avec des probabilités respectivemet égales à 0,05 et 0,00 ou des valeurs comprises etre 0 et 0 avec des probabilités o précisées ici Aucue rédactio est demadée das cet eercice ) Calculer la probabilité d avoir u bo d achat d ue valeur supérieure ou égale à 0 sachat qu il est rouge ) Calculer la probabilité d avoir u bo d achat d ue valeur supérieure ou égale à 0 (valeur décimale eacte) ) Das u des magasis de cette chaîe, sur 00 cliets privilégiés, 6 ot reçu u bo d achat d ue valeur supérieure ou égale à 0 Le directeur du magasi cosidéré estime que ce ombre est isuffisat et doute de la répartitio au hasard des bos d achats das les différets magasis de la chaîe Détermier à l aide de la loi biomiale l itervalle de fluctuatio de la fréquece de cliets ayat reçu u bo d achat d ue valeur supérieure ou égale à 0 au seuil de 95 % Les doutes du directeur sot-ils justifiés? O répodra e utilisat l itervalle de fluctuatio détermié précédemmet III (8 poits : ) poit ; ) a) poit ; b) poits ; c) poits ; d) poit) ) Étudier le ses de variatio de la foctio f : e défiie sur Aucu tableau de variatios est demadé ) O cosidère la suite réelle u défiie sur par so premier terme u0 et la relatio de récurrece u u e pour tout etier aturel a) O cosidère l algorithme ci-cotre Que permet de calculer cet algorithme? O répodra de maière précise par ue phrase b) Démotrer que la suite u est strictemet croissate Etrée : Saisir Iitialisatio : u pred la valeur Traitemet : Pour i allat de à Faire u pred la valeur FiPour Sortie : Afficher u O effectuera ue démostratio par récurrece e cosidérat la phrase P : «u u» pour c) Démotrer que pour tout etier aturel o a : u Il est demadé d effectuer u raisoemet «direct», autremet dit, de e pas faire ue récurrece u? d) Que peut-o déduire des questios b) et c) sur le comportemet asymptotique de la suite O répodra e ue ou deu phrases e u II (9 poits : ) poits ; ) poit ; ) poits ; 4 ) poits + poit ; 5 ) poit) Le pla complee est mui d u repère orthoormé O, u, v O cosidère la suite M des poits d affies z i 6 e défiie pour tout etier aturel ) Écrire z et z sous forme algébrique Aucu détail des calculs est attedu ) E iterprétat géométriquemet la forme epoetielle de z, placer les poits M, M, M et M 4 sur le graphique doé sur la feuille aee ; tracer les segmets M M, M M, M M ) Démotrer que, pour tout etier aturel, o a 4 ) Démotrer que pour tout etier aturel E déduire que l o a : M M z i 4, o a : z z i 5 ) O pose L MM M M MM pour tout etier aturel Détermier ue epressio simplifiée de L e foctio de O doera le résultat sas justifier IV (9 poits) Cet eercice est u QCM composé de 9 questios idépedates les ues des autres Pour chaque questio, trois réposes sot proposées ; ue seule répose est eacte Compléter le tableau ci-cotre avec les lettres a, b, c correspodat au réposes choisies Chaque répose eacte rapporte poit Chaque répose fausse elève poit Aucu poit est retiré e l absece de répose ) L esemble des solutios das de l iéquatio l e 0 est : a ; l ; b 0 ; l ; c l ; ) Pour tout réel, l epressio l e l e est égale à : a l b c ) Pour tout réel 0, l epressio 6l l est égale à : a l b l c l

2 4 ) L esemble des solutios das de l équatio l 9l est : a S ; ; b S ; c S ; 5 ) Lorsque ted vers +, l l ted vers : a l b 0 c + 6 ) La dérivée de la foctio f : l e e est doée par : e e a f ' b f ' c f ' l 7 ) Lorsque ted vers 0, ted vers : a + b 0 c e e 8 ) La dérivée de la foctio f : l est doée par : a f ' b f ' c f ' l l l 9 ) L esemble des solutios das de l équatio e 5e 6 0 est : a S ; l 6 b S 0 c S 0 ; l 6 V (7 poits : ) poit ; ) poits ; ) poits ; 4 ) poits) O cosidère la foctio f : e défiie sur ) Calculer f ' et '' f Faire u tableau compreat l étude du sige de f '' et les variatios de f ' Calculer au brouillo les etremums évetuels (valeur eacte) O complètera les variatios avec les limites suivates qu il est pas demadé de justifier : f et lim f ' lim ' ) Justifier que l équatio f ' 0 admet deu solutios das dot l ue est 0 L autre solutio sera otée ) À l aide de la questio précédete, faire u tableau compreat l étude du sige de f ' f sur O complètera les variatios avec les limites suivates qu il est pas demadé de justifier : lim f et lim f 4 ) Démotrer que f et les variatios de

3 Préom : Nom : II ) I ) (u seul résultat sas égalité) ) (u seul résultat sas égalité) ) (écrire l itervalle de fluctuatio sas égalité) v O u IV Questio ) ) ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) Répose

4 Partie pour les élèves ayat pas choisi la spécialité mathématiques ( heure) Le barème est doé sur 0 Préom : Nom : I (7 poits : ) 4 poits ; ) poits) O cosidère la foctio f : a e b défiie sur où a et b sot deu réels O, i, j O ote C sa représetatio graphique das le pla mui d u repère O précise que C coupe l ae des abscisses au poit A 0 ; 0 et admet ue tagete horizotale au poit d abscisse ) Détermier les réels a et b e détaillat la démarche ) Pour les valeurs de a et b aisi trouvées, former le tableau de variatios de f L étude des limites est pas demadée

5 II (6 poits : ) poit + poit ; ) poits ; ) poits) O cosidère la suite complee z défiie sur par so premier terme z0 i et la relatio de récurrece z i z pour tout etier aturel ) Quelle est la ature de la suite z? E déduire ue epressio de z e foctio de ) Détermier la forme epoetielle de i et de z 0 O doera les résultats sas justifier ) Écrire z sous forme epoetielle IV (4 poits) O dispose d u dé cubique dot les faces sot umérotées de à 6 O désige par p k la probabilité d obteir, lors k d u lacer, la face umérotée k Ce dé a été pipé de telle sorte que pk pour tout etier k tel que k 6 O lace ce dé ue fois O défiit l évéemet A : «le ombre obteu est pair» ; B : «le ombre obteu est supérieur ou égal à» ; C : «le ombre obteu est ou 4» Les évéemets A et B sot-ils idépedats? Justifier avec précisio Les évéemets A et C sot-ils idépedats? Justifier avec précisio III ( poits) Soit z u ombre complee quelcoque À laquelle des epressios suivates la partie réelle de iz est-elle égale? Re z Im z Im z Re z À laquelle des epressios suivates la partie imagiaire de iz est-elle égale? Re z Im z Im z Re z Etourer l epressio choisie puis faire la démostratio O soigera tout particulièremet la rédactio

6 Préom : Nom : II (9 poits : ) poits ; ) poit ; ) poits ; 4 ) poits + poit ; 5 ) poit) Cotrôle du ludi 5 février 06 Copie à redre ) ) sur le graphique ) I II III IV V Total/40 Total/0 4 ) 5 )

7 III (8 poits : ) poit ; ) a) poit ; b) poits ; c) poits ; d) poit) ) ) a) b) c) d) V (7 poits : ) poit ; ) poits ; ) poits ; 4 ) poits) ) ) ) 4 )

8 Partie pour les élèves ayat choisi la spécialité mathématiques ( heure) Préom : I (6 poits) Le barème est doé sur 0 Nom : Détermier e utilisat les cogrueces les restes de la divisio euclidiee de par et 7 II ( poits : ) poits ; ) poit) O cosidère l algorithme suivat rédigé e lagage aturel Les variables, i, j, c sot des etiers aturels avec Etrée : Saisir Iitialisatio : c pred la valeur 0 Traitemet : Pour i allat de à Faire Pour j allat de à Faire PGCD i ; j Si Alors c pred la valeur c FiSi FiPour FiPour Sortie : Afficher c ) Que permet de calculer cet algorithme? O répodra de maière précise par ue phrase ) Programmer cet algorithme sur calculatrice et idiquer la valeur de c affichée e sortie lorsque la valeur de saisie e etrée est 00 (u seul résultat sas égalité)

9 III (6 poits : ) poit + poit ; ) a) poit ; b) poits) Pour tout etier relatif, o pose u ) Soit u etier relatif quelcoque Quelle est la parité du produit? Justifier par ue phrase E déduire la parité de u Justifier par ue phrase u u ) a) Soit u etier relatif quelcoque Calculer IV (5 poits : ) poits ; ) poits) O cosidère l équatio 4y 49 E d icoue, y ) Compléter la phrase suivate puis écrire ue lige de calcul motrat que le couple doé est bie ue solutio particulière de E Le couple ; est u couple solutio de ) Recopier sur les liges ci-dessous et compléter la phrase suivate : «Les couples solutios de E sot tous les couples de la forme ;» E b) Détermier le PGCD de u et de u pour tout etier relatif O rédigera le début de la démostratio selo le modèle suivat (à recopier) : «Soit d u diviseur positif commu de u et de u»

10 I Corrigé du cotrôle du O peut alors représeter la situatio par u arbre, e otat les évéemets : E : «le bo d achat est rouge» F : «le bo d achat est vert» A : «le bo d achat est de 0» B : «le bo d achat est de 00» C : «le bo d achat est d ue valeur comprise etre 0 et 5» D : «le bo d achat est d ue valeur comprise etre 0 et 0» Autre méthode : Les évéemets E et F costituet u système complet d évéemets Doc d après la formule des probabilités totales, o a : P S P A E P A F P B F P S P E P A/E P F P A/F P F P B/F P S 0,5 0,00 0,75 0,067+0,5 0,05 P S 0, 0565 ) 0,75 E 0,067 0,9 A C D après la questio précédete, la probabilité d avoir u bo d u motat supérieur ou égal à 0 euros est 0,0565 p O utilise la loi biomiale de paramètres 00 et p 0,0565 Avec les otatios du cours, o obtiet : a 5 et b 8 0,5 F 0,05 0,0 A B 5 8 L itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % est : ; (les bores sous forme décimale sot 5 0,05 00 et 8 0,09 ; il est préférable de les laisser sous forme fractioaire) 00 6 f 00 Ici, la fréquece observée est 0,0 0,975 D O a f I et doc les doutes du directeur du magasi e sot pas justifiés : avec u faible risque d erreur (d eviro 5%), la fluctuatio de f par rapport à celle de p aocée s eplique simplemet par le fait que l échatillo des 00 billets de so magasi est costitué au hasard ) O ote S l évéemet : «la valeur du bo d achat est supérieure ou égale à 0 euros» La probabilité recherchée est la probabilité coditioelle P P P S / F A / F B / F 0,05 La probabilité d avoir u bo d achat d ue valeur supérieure ou égale à 0 sachat qu il est rouge est égale à 0,05 ) Les évéemets E et F costituet u système complet d évéemets Doc d après la formule des probabilités totales, o a : P S P E P S/E P F P S/F P S 0,5 0,05 0,75 0,067 P S 0, 0565 II ) z e z e ) O a : OA i 6 i 6 z cos isi 6 6 z i et u, OA 6 z e i 6 i 6 z 4e z 4 i z i La probabilité d avoir u bo d achat d ue valeur supérieure ou égale à 0 est égale à 0,0565 Il e faut pas passer par la forme algébrique (otammet il faut éviter de repasser par les résultats de la questio )

11 z e z 4e i 6 i 6 i i 6 6 z e 8e i 4 i z 4 e 6e Les poits M, M, M, M 4 sot situés sur deu demi-droites d origie O qu il est itéressat de tracer sur le graphique e poitillés M 4 Doc 4 ) z Démotros que z z z z i z z i z i i z i z i z i z z i M z z i v O u 6 6 M z z i Déduisos-e que M M M M z z M M i ) Démotros que z i 6 e z cos isi 6 6 z M i M M i M M M M M M M M cos cos 6 6 Or si si 6 6 et O a doc M M O peut évetuellemet distiguer deu cas : pair et impair

12 5 ) Détermios ue epressio simplifiée de L e foctio de L M M M M M M L La suite O a doc L est ue suite géométrique de raiso et de premier terme O e déduit que III L La plupart des élèves ot pas utilisé la questio ), ce qui me fait peser que je aurais pas dû la mettre Ils ot procédé aisi : Comme P k est vraie, o a : uk uk Doc uk uk uk uk Comme la foctio epoetielle est croissate sur, o a : e e uk uk Par suite, e e uk uk D où e e O e déduit que uk uk O a démotré par récurrece que la phrase O e déduit que la suite u est strictemet croissate P est vraie pour toute etier aturel ) Étudios le ses de variatio de la foctio f : e défiie sur La foctio f est dérivable sur (règle sur la somme et composée de foctios dérivables) Doc f ' e f ' 0 O e déduit que la foctio f est strictemet croissate sur ) a) L algorithme affiche la valeur de u (terme de la suite d idice ) b) Il est importat de remarquer que u f u (lie etre la suite Nous allos ous e servir das la démostratio par récurrece Démotros par récurrece que la suite u Pour, o cosidère la phrase P : «u u» Iitialisatio : est strictemet croissate u et la foctio f) O a : u e et par suite, u0 u (o peut par eemple utiliser la calculatrice pour détermier ue valeur approchée de u ) O e déduit que la phrase P 0 est vraie Hérédité : Cosidéros u etier aturel k tel que la phrase Démotros qu alors la phrase P k soit vraie c est-à-dire que l o a uk uk P k est vraie c est-à-dire que l o a uk uk O a démotré que la foctio f est strictemet croissate sur Doc comme uk uk, o a : f u k f uk soit uk uk c) Démotros que pour tout etier aturel o a : u ère méthode : O a : 0 u par défiitio de la suite u e * u * u u Doc u0 e 0 (car ue epoetielle est strictemet positive) * Par coséquet, e u * O a doc u O e déduit que u e méthode (faite par la plupart des élèves qui ot correctemet traité la questio) : u u e u e 0 (car ue epoetielle est strictemet positive) u Par coséquet, e O a doc u Or d après la questio précédete, u u O e déduit que u

13 d) O a démotré au b) que la suite u est croissate et au c) qu elle est majorée par Or toute suite croissate et majorée coverge O e déduit que la suite u coverge vers ue limite l telle que l Remarque : Comme la foctio f est cotiue sur, l est solutio de l équatio f Cette équatio e peut être résolue de maière eacte, il est pas possible de détermier la valeur eacte de l O peut éamois obteir ue valeur approchée de l avec la calculatrice IV Questio ) ) ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) Répose b c a c a a c c b ) L esemble des solutios das de l iéquatio est S 0 ; l ; l e 0 * L esemble de résolutio de cette iéquatio est O dresse u tableau de siges Les valeurs charières sot et l O a : l ) Pour tout réel, l epressio l e l e e l e l e l e e l e l e l e e l e l e l e e l e l e l e l e l e le l e l e est égale à ) Pour tout réel 0, l epressio 6l 0 6l l 6 l l l 0 6l l l l l 0 6l l l 4 ) L esemble des solutios das de l équatio L esemble de résolutio de l équatio l 9l 0 9 l ou l 0 ou ou l est égale à l l 9l l 9l est est ; * S La solutio e peut être reteue car elle est pas das l itervalle de résolutio 5 ) Lorsque ted vers +, 0 l l l 0 l l l lim X l X lim l X l l l ted vers l doc par limite d ue composée 6 ) La dérivée de la foctio f : l e e f ' e f ' e lim l l l est doée par ' f e

14 l 7 ) Lorsque ted vers 0, ted vers Il s agit d ue limite de référece du cours ) Justifios que l équatio f ' 0 admet deu solutios das dot l ue est 0 O se place sur chacu des itervalles ; l et l ; 8 ) La dérivée de la foctio f : l est doée par f ' l La foctio f est strictemet décroissate sur l itervalle ; l et strictemet croissate sur l itervalle l ; O applique la formule du cours : u ' u ' u * * f ' l f ' l 9 ) L esemble des solutios das de l équatio est 0 e 5e 6 0 S Elle est égalemet cotiue sur chacu de ces itervalles O a : f ' l l doc De plus, lim f ' et f ' 0 lim f ' O applique le corollaire du TVI (das sa versio gééralisée) sur chaque itervalle L équatio Das l itervalle ; l est 0 f ' 0 admet ue uique solutio das chaque itervalle ; l, o costate que f ' 0 0 doc la solutio de l équatio Das l itervalle l ;, o ote la solutio de l équatio f ' 0 f ' 0 das l itervalle O pose X e L équatio s écrit X 5X 6 0 Les racies sot et 6 O doit doc résoudre les équatios e et e 6 L équatio a pour solutio 0 L équatio a pas de solutio das car ue epoetielle est toujours positive ou ulle ) Faisos u tableau compreat l étude du sige de f ' et les variatios de f sur SGN de 0 + f ' V f : e défiie sur Variatios de f 0 + f ) Calculos f ' et '' f ' e f '' e f O complète le tableau avec les limites suivates : O peut vérifier les variatios grâce à la calculatrice lim f et lim f SGN de Variatios de l + f '' 0 + f ' + + l SGN de Variatios de 0 l + f '' 0 + f ' l

15 4 ) Démotros que f O sait que est solutio de l équatio O a doc e 0 Par suite, e f ' 0 (o utilise l epressio de ' f obteue à la questio )) Or f e d où f

16 Corrigé de la partie pour les élèves ayat pas choisi la spécialité mathématiques ) f e I O cosidère la foctio f : a e b défiie sur où a et b sot deu réels O, i, j O ote C sa représetatio graphique das le pla mui d u repère O précise que C coupe l ae des abscisses au poit A 0 ; 0 et admet ue tagete horizotale au poit d abscisse ) Détermier les réels a et b e détaillat la démarche ) Pour les valeurs de a et b aisi trouvées, former le tableau de variatios de f L étude des limites est pas demadée La foctio f est dérivable sur d après les règles de dérivabilité (sommes, produits, composées) SGN de 0 + SGN de e SGN de Variatios de f f ' + 0 b f ' e a be b f ' e b ba O sait que C coupe l ae des abscisses au poit A ; 0 doc f 0 b a e 0 a 0 a O sait que C admet ue tagete horizotale au poit d abscisse 0 doc b0 b e 0 0 b 0 b Aisi, f e f ' 0 0 II O cosidère la suite complee z défiie sur par so premier terme z0 i et la relatio de récurrece z i z pour tout etier aturel ) Quelle est la ature de la suite z? E déduire ue epressio de z e foctio de z est ue suite géométrique de raiso q i et de premier terme z0 i z i i ) Détermier la forme epoetielle de i et de z 0 O doera les résultats sas justifier i i e 4 ) Écrire z sous forme epoetielle z i i 6 4 e e i z e 4 6 z 0 e i 6

17 III Soit z u ombre complee quelcoque À laquelle des epressios suivates la partie réelle de iz est-elle égale? Re z Im z Im z Re z P A 4 C et P A P C Doc P A C PA P C Par suite, les évéemets A et C sot idépedats À laquelle des epressios suivates la partie imagiaire de iz est-elle égale? Re z Im z Im z Re z Etourer l epressio choisie puis faire la démostratio O soigera tout particulièremet la rédactio O pose iz i iy z iy où et y sot deu réels iz y i O e déduit que Re iz y et Im iz IV O dispose d u dé cubique dot les faces sot umérotées de à 6 O désige par p k la probabilité d obteir, lors k d u lacer, la face umérotée k Ce dé a été pipé de telle sorte que pk pour tout etier k tel que k 6 O lace ce dé ue fois O défiit l évéemet A : «le ombre obteu est pair» ; B : «le ombre obteu est supérieur ou égal à» ; C : «le ombre obteu est ou 4» Les évéemets A et B sot-ils idépedats? Justifier avec précisio Les évéemets A et C sot-ils idépedats? Justifier avec précisio P A P B PC P A B et P A P B Or Doc P A B PA P B Par suite, les évéemets A et B e sot pas idépedats

18 I Corrigé de la partie spécialité mathématiques Détermier e utilisat les cogrueces les restes de la divisio euclidiee de par et 7 ) Que permet de calculer cet algorithme? O répodra de maière précise par ue phrase Cet algorithme permet de calculer le ombre de couples d etiers aturels o uls, premiers etre eu, iférieurs ou égau à l etier aturel saisi e etrée ) Programmer cet algorithme sur calculatrice et idiquer la valeur de c affichée e sortie lorsque la valeur de saisie e etrée est 00 Détermios e utilisat les cogrueces les restes de la divisio euclidiee de O a : (mod ) (mod ) soit Doc : Or (mod ) Doc (mod ) Comme 0, le reste cherché est (mod ) Détermios e utilisat les cogrueces les restes de la divisio euclidiee de O a : Doc : (mod 7) (mod 7) soit (mod 7) Comme 0 7, le reste cherché est par par (u seul résultat sas égalité) Il faut faire tourer le programme u certai temps avat d obteir le résultat (eviro 5 miutes) Le résultat est très élevé et e maque pas d étoer III Pour tout etier relatif, o pose u ) Soit u etier relatif quelcoque Quelle est la parité du produit? Justifier par ue phrase et sot deu etiers relatifs cosécutifs L u des deu u ombre pair Or le produit d u ombre pair par u etier quelcoque est pair est pair Doc le produit E déduire la parité de u Justifier par ue phrase II O cosidère l algorithme suivat rédigé e lagage aturel Les variables, i, j, c sot des etiers aturels avec u Or est pair doc u est impair pour tout etier relatif Etrée : Saisir Iitialisatio : c pred la valeur 0 Traitemet : Pour i allat de à Faire Pour j allat de à Faire PGCD i ; j Si Alors c pred la valeur c FiSi FiPour FiPour Sortie : Afficher c u u ) a) Soit u etier relatif quelcoque Calculer u u u u u u b) Détermier le PGCD de u et de u pour tout etier relatif O rédigera le début de la démostratio selo le modèle suivat (à recopier) : «Soit d u diviseur positif commu de u et de u» Soit d u diviseur positif commu de u et de u d u et d u Doc d divise toute combiaiso liéaire à coefficiets etiers de u et de u E particulier, comme et u u soit d sot des etiers relatifs, d

19 Or les diviseurs positifs de sot et Par suite, d ou d Or u est impair doc e divise pas u Doc d Or le PGCD de u et de u est égal à IV O cosidère l équatio 4y 49 E d icoue, y ) Compléter la phrase suivate puis écrire ue lige de calcul motrat que le couple doé est bie ue solutio particulière de E Le couple ; 9 est u couple solutio de E Le couple 49 ; 97 est u couple solutio de E Le couple 5 ; 04 est u couple solutio de E ) Recopier sur les liges ci-dessous et compléter la phrase suivate : «Les couples solutios de E sot tous les couples de la forme ;» Les couples solutios de E sot tous les couples de la forme 4k ; 9 k avec k Les couples solutios de E sot tous les couples de la forme 49 4 k ; k 97 avec k