Cours Dénombrement Analyse combinatoire 1 / 11 A Chevalley

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1 2016 Déombremet, aalyse combiatoire leth Chevalley 1. Rael sur les esembles : 1.1. Défiitio Soiet E, des esembles x sigifie «x est u élémet de» ou «x aartiet à». O désige ar l esemble vide qui a aucu élémet. U esemble est ue collectio d objets qui résetet ue ou lusieurs roriétés commues Cardial Soit E, u esemble fii. O ote card E ( cardial de E) le ombre d élémets de cet esemble Comlémetaire Soiet et E deux esembles avec E. Le comlémetaire de das E, ou c ou (s il y a as de risque de cofusio au iveau de l esemble E), oté E est l esemble des élémets de E aarteat as à : ( x E ) ( x E) et ( x ) Exemle : N Z = {-, * N } ( x ) ( x ) 1.4. Iclusio O dit que est iclus das B, oté B si la roositio suivate est vraie : our tout élémet x de ( x ) ( x B ) est alors u sous esemble ou ue artie de B. O dit que = B ssi B et B Exemle : N Z Q R C Cours Déombremet alyse combiatoire 1 / 11 Chevalley

2 1.5. Réuio Soiet et B deux esembles. La réuio de et B, oté B, est l esemble des élémets aarteat à ou à B : our tout élémet x de ou B ( x B) ( x ) ou ( x B) Exemle : = Z N {, N } 1.6. Itersectio Soiet et B deux esembles. L itersectio de et B, oté B, est l esemble des élémets aarteat à et à B : our tout élémet x de et B ( x B) ( x ) et ( x B) Exemles : Z Q= Q Z= + Z N R { x C/ Im( x) 0} = 1.7. Proriétés = = = E = E B = B B B = B ( B) C = (B C) = = = E = B = B B = B ( B) C = (B C) Lois de Morga B = B B = B Distributivité (B C) = ( B) ( C) (B C) = ( B) ( C) (B ) = ( B) = Cours Déombremet alyse combiatoire 2 / 11 Chevalley

3 2. P- listes 2.1. Défiitio Soit E u esemble fii de cardial et u etier aturel. Ue -liste d élémets de E est u élémet de l esemble E ( c'est-à-dire u ulet costitué d élémets de E). Les élémets euvet être réétés. Exemles : a) Si E = { 0 ; 1 }, alors ( 0, 0, 1, 0, 1 ) est ue 5 liste (u quitulet) d élémets de E. b) E état l esemble {, B, C, D }, les trilets (, C, ), ( C,, B ), ( B,, C ) et ( D, D, D ) sot 4 exemles de 3-listes d élémets de E. c) U mot de 6 lettres est ue 6-liste de lettres de l alhabet xiome Deux -listes sot idetiques ssi elles sot costituées des mêmes élémets aux mêmes laces. Exemles : a) ( 1, 2, 4 ) et ( 4, 2, 1 ) sot deux trilets disticts. L ordre a u rôle fodametal. b) Le seul quadrulet ( a, b, c, d ) satisfaisat à ( 1, 2, 7, 5 ) = ( a, b, c, d ) est tel que a = 1, b = 2, c =7 et d = Théorème Soit E u esemble fii de cardial. Le cardial de l esemble E des -listes d élémets de E est. Rerésetatio sous forme d u arbre our déombrer des choix ordoés. Exemles : a) O s itéresse aux codes comosés des chiffres 0 et 1. Das u remier tems, our visualiser et déombrer tous ces codes, ous allos utiliser l arbre suivat : Cours Déombremet alyse combiatoire 3 / 11 Chevalley

4 Nombre de codes ossible = ombre de chemis de cet arbre 2 x 2 x 2 x 2 = 2 4 = 16 codes différets dot les 4 chiffres aartieet à l esemble E. b) Le code secret d ue carte bacaire est comosé de 4 chiffres (quadrulet). Das u secod tems, o s itéresse à tous les codes comosés de 4 chiffres de l esemble { 0, 1,, 9 }, oté E. Nombre de codes ossibles 10 x 10 x 10 x 10 = 10 4 = rragemets 3.1. Défiitio Soit E u esemble fii de cardial ( 1 ) et u etier vérifiat 1. U arragemet à élémets de E est ue -liste d élémets deux à deux disticts de E (as de réétitio d élémets). Remarques : U arragemet corresod à u choix ordoé (comme das ue -liste) de élémets deux à deux disticts. La défiitio d u arragemet exclut la réétitio d u même élémet. Par coséquet, il existe aucu arragemet à élémets de E, lorsque est strictemet suérieur à, cardial de l esemble E. Exemle : Si E = {, B, C, D } alors ( C,, B ) et ( B,, C ) sot deux arragemets différets à trois élémets de E. E revache, (, C, ) est as u arragemet car l élémet est réété Théorème Le ombre d arragemets à élémets ( 1 ) d u esemble E de cardial oté est : =.(-1).(-2) (-+1) avec facteurs Exemles : a) U draeau est costitué de trois bades verticales de couleurs. De combie de faços eut-o eidre les trois bades de couleurs différetes, e utilisat trois des 6 couleurs fodametales : bleu, jaue, rouge vert, violet, orage? 6 x 5 x 4 = 120 = Il y a 120 choix ordoés de 3 couleurs 2 à 2 disticts armi 6 couleurs Combie de draeaux sulémetaires eut-o obteir si o accete que les deux bades o adjacetes soiet de la même couleur. 6 x 5 x 5 = = 30 O eut eidre 30 draeaux sulémetaires. Cours Déombremet alyse combiatoire 4 / 11 Chevalley

5 3.3. Proriété Quels que soiet les etiers aturels et tels que 1 ) =! ( )! Démostratio : o exlicite! et (-)! uis o simlifie le quotiet. Par covetio : Et 0! = 1 0 =!! = = 1 ( 0)!! = 0 si > car des élémets serot réétés 3.4. Calculatrices ller das le meu robabilités PROB : Casio grah35+ : OPTN > F6 > PROB Pr : corresod à u arragemet de élémets (r corresod à élémets) exemle des draeaux : 6P3 TI-83 Plus : 6 math PRB 2 (rragemet) 3 4. Permutatios 4.1. Défiitio Soit E u esemble fii de cardial ( 1 ). Ue ermutatio de E est u arragemet des élémets de E. Remarque : ue ermutatio de E est ue liste ordoée de tous les élémets de E ris ue fois et ue seule. Exemle : Soit E = {, B, C, D }. ( B,, C, D ) et (, B, C, D ) sot 2 ermutatios de E. E revache, ( B,, C ) est as ue ermutatio de E car elle e cotiet as tous les élémets de E. De même, (, B, D,, C ) et (, B, D, ) e sot as des ermutatios de E car ce e sot as des arragemets : est réété Théorème Le ombre de ermutatios d u esemble à élémets, oté! (factorielle ) est :! =.(-1).(-2) 1 Cours Déombremet alyse combiatoire 5 / 11 Chevalley

6 =. (-1) (-2) ( -+1) =! Exemles : a) Das combie d ordre différets eut-o écouter 12 morceaux de musique? 12 x 11 x x1 = 12! = b) De combie de faços eut-o lacer 6 ersoes à ue table de 6? 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = Combiaisos 5.1. Défiitio Soit E u esemble fii de cardial ( 1 ) et u etier tel que ( 1 ). Ue combiaiso à élémets de E est u sous esemble de E qui ossède élémets. Remarques : a ) Ue combiaiso à élémets de E corresod à u choix o ordoé de élémets de E, 2 à 2 disticts (as de réétitio d élémets). b) Pour les combiaisos, o arle de tirage sas remise. Exemle : Soit E = {, B, C, D }. {, B, C } et { B, C, D } sot deux combiaisos différetes à 3 élémets de E. E revache {, B, C } et { B,, C } sot deux combiaisos égales, à 3 élémets de E. Efi {, B, } est as ue combiaiso à 3 élémets uisque ce sous-esemble s écrit lus simlemet {, B }. C est doc ue combiaiso à 2 élémets Théorème Le ombre de combiaisos à élémets ( 1 ) d u esemble E de cardial, oté C ou est : =! =!!.( )! Démostratio : à artir d ue combiaiso à élémets, o eut former (ar ermutatio de ces élémets)! arragemets à élémets de E. Les combiaisos à élémets de E egedret bie! Cours Déombremet alyse combiatoire 6 / 11 Chevalley arragemets différets e effet, aucu d eux est comté 2 fois, car 2 combiaisos différetes (différat ar au mois u élémet) e euvet egedrer des arragemets idetiques. ucu arragemet à élémets est aisi oublié, uisque tout arragemet est egedré ar la combiaiso (sous-esemble) costituée de ses élémets et d eux seuls. Les arragemets à élémets de E sot doc aisi obteus ; il e existe! fois lus que de combiaisos à élémets.

7 D où =.! ce qui équivaut à =! s aelle coefficiet biomial. Par covetio, o ose 0 = 1 o vérifie que cette covetio est comatible avec les récédetes : 0 1 = = = 1 aisi qu avec l exressio utilisat les factorielles 0 0! 1 0 et e articulier 0 = 1 0 =!! = = 1 0!( 0)!! Exemle : a) Das ue classe de 31 étudiats (5 filles et 26 garços), combie y a-t-il de choix ossibles de deux délégués? b) Même questio si l o veut ue fille et u garço délégués? 5.3. Calculatrices ller das le meu robabilités PROB : Casio grah35+ : OPTN > F6 > PROB Cr : corresod à ue combiaiso de élémets (r corresod à élémets) exemle des 2 délégués : 31C2 TI-83 Plus : 31 math PRB 3 (Combiaiso) 2 6. Coefficiets biomiaux 6.1. Défiitio Pour tout coule (,) d etiers aturels tels que > 0 et 0, les ombres sot aelés coefficiets biomiaux. Cours Déombremet alyse combiatoire 7 / 11 Chevalley

8 6.2. Proriétés des coefficiets biomiaux Proriété de comlémetarité Pour tout coule (, ) d etiers aturels tels que ( 1 ) = Démostratio : est u sous-esemble de E à élémets. est le comlémetaire de das E et ossède - élémets. =!!! = = = ( )!( ( ))! ( )!!!( )! Cas articulier : = 0 et 0 = 0 Exemle : Trouver u etier aturel k différet de 8, tel que = 8 k Proriété d additio Pour tout coule (, ) d etiers aturels tels que > 1 et ( 0 < ) = 1 Démostratio : Parmi les objets, o cosidère u objet e articulier : 1 - si cet objet fait artie des objets tirés, il y a 1 ossibilités de choisir les 1 autres objets armi les 1 objets restats. si e revache, cet objet e fait as artie du tirage, il y a de choisir les autres objets armi les 1 objets restats. 1 ossibilités Doc our choisir objets armi : = Remarque : O eut aussi démotrer ce théorème e foctio des factorielles. Cours Déombremet alyse combiatoire 8 / 11 Chevalley

9 6.3. Triagle de Pascal O utilise la formule = que l o alique das u tableau \ = = 1 1 = = = 2 2 = = 1 1 = = 1 1 = 2 = 1 \ Remarques : La 1 coloe du tableau est remlie que de 1 car aisi que la diagoale car Sur chaque lige, o retrouve = 1 = = Biôme de Newto Raelos les idetités remarquables : (a+ b) ² = a ² + 2ab + b ² avec = 2 et les coefficiets 1, 2, 1 (a+b) 3 = a a ² b + 3 a b ² + b 3 avec = 3 et les coefficiets 1, 3, 3, 1 Cours Déombremet alyse combiatoire 9 / 11 Chevalley

10 FORMULE DU BINOME DE NEWTON : k k 0 + = a. b + a. b + a. b a. b a. b k ou ( a b) ( a + b) = a. b = a. b k k k k = 0 = 0 Cas articulier : si a = b = 1 alors k k 2 = = 1.1 = 1 k 1 k k k = 0 k = 0 7. Combiaisos avec réétitio 7.1. Défiitio Soit E = { e1,,e} u esemble fii de cardial et k 1. Ue combiaiso avec réétitio de k élémets de E est u -ulet (k1,, k) d etiers aturels tel que k1 + + k = k, ki état le ombre de fois où l élémet ei est choisi. Remarque : Ue combiaiso avec réétitio de k élémets ris armi corresod à u tirage avec remise sas teir comte de l ordre de tirage Théorème Le ombre de combiaisos avec réétitio de k élémets ris armi est : + + k 1 k 1 = k 1 Exemle : Soit u dé à 6 chiffres. O lace 2 fois le même dé. Combie y a-t-il de cofiguratios ossibles? Il y a remise et o e tiet as comte de l ordre. = Notio de robabilité Das ue exériece aléatoire, l uivers Ω est l esemble des résultats ossibles. U évèemet est ue artie de cet uivers. U évèemet élémetaire est u évèemet ossédat u seul élémet. Cours Déombremet alyse combiatoire 10 / 11 Chevalley

11 Das le cas où tous les évèemets élémetaires ot la même robabilité, la robabilité d u évèemet est : P()= Nombre d ' élémets de = Nombre d ' élémets de Ω Nombre de cas favorables Nombre de cas ossibles 9. Méthodes our le déombremet Tyes tirages de Ordre Réétitio d élémets Déombremet Exemle Successifs avec remise Successifs sas remise Simultaés sas remise Simultaés avec remise O tiet comte de l ordre O tiet comte de l ordre L ordre iterviet as L ordre iterviet as U élémet eut être tiré lusieurs fois - listes codes bacaires, immatriculatios U élémet est tiré qu ue seule fois U élémet est tiré qu ue seule fois U élémet eut être tiré lusieurs fois arragemets combiaisos + k 1 k combiaisos avec réétitio tiercé loto, jeu de cartes lacer de lusieurs dés Cours Déombremet alyse combiatoire 11 / 11 Chevalley