Mise à niveau licence 1 de mathématiques. Les fonctions racine carrée, valeur absolue ou partie entière

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1 Mise à ivea licece de mathématiqes Les foctios racie carrée, valer absole o partie etière Eercice Détermier la limite de + + qad ted vers Eercice Vérifier qe ( 5) 6 5 A-t-o l'égalité 6 5 5? Eercice O sohaite étdier la parité de la foctio f défiie par f ( ) + De étdiats répodet à cette qestio de la faço sivate : répose a) f ( ) f ( ) doc f est paire répose b) f ( ) + doc f ( ) f ( ) ce qi motre qe f est impaire Qe pesez-vos de ces réposes? Eercice Détermier lim + Eercice 5 a) Etdier la représetatio graphiqe de la foctio partie etière de b) Étdier la représetatio graphiqe de la foctio défiie sr IR par : f ( ) E( ) c) Après avoir remarqé qe, por tot réel, < E( ), doer ecadremet de E ( ) Eercice 6 Etdiez la représetatio graphiqe de la foctio défiie sr IR par f ( ) E( ) Eercice 7 Résodre graphiqemet et par le calcl : a) b)

2 Les foctios sis, cosis et tagete Eercice8 : Etdier sr π la foctio défiie par : g( ) si cos, et e dédire qe por tot de π o a : cos si Eercice 9 : Démotrer qe por tot réel positif o l, si Eercice 0: Résodre das R : cos + 5cos 0 si Eercice : Etdier les variatios de la foctio tagete, et doer sa représetatio graphiqe L'élévatio à la pissace Eercice Qel est le moôme de degré das P ( ) ( )( + )? Eercice Trover le terme de degré das ( + ) + (o porra réaliser arbre) Eercice alcler ( + y + z)( + jy + j z)( + j y + jz) sachat qe + j + j 0

3 Les simplificatios Eercice 5 a Motrer qe la site défiie par so terme gééral, où a est ombre réel strictemet ( )! compris etre 0 et est e site strictemet décroissate Eercice 6 Retrover rapidemet le résltat sivat: por tot etier atrel, E dédire, por tot etier atrel, ( + )! ( + ) Eercice 7 Démotrer qe le prodit de l'iverse de la somme de de ombres et de la somme des iverses de ces de ombres est égal à l'iverse de ler prodit Eercice 8 Démotrer qe p p+ p+ + + Eercice 5 Soit ( ) la site défiie par so terme gééral Etdier le sige de + Eercice 6 Soit f e foctio réelle défiie par sige de f ' sr cet itervalle + f ( ) alcler ' ( ) f si ], [ et étdier le Le calcl sel de limites Eercice 7 calcler lim ( + )

4 Utiliser et établir des iégalités Eercice Détermier l'esemble des réels vérifiat l'iégalité > 0 + U étdiat a répod de la maière sivate: La résoltio algébriqe de > est doée par + >, c'est-à-dire >0 + Q'e pesez-vos? Pls précisémet, dessier les corbes des foctios défiies par f ( ) et +, pis résodre graphiqemet l'eercice proposé g ( ) Eercice Etablir les iégalités: a) por tot ombre réel, si ( ) si ( ) 0 π b) po tot ombre réel,, si Eercice 6 Détermier ecadremet de e por Eercice 7 a) e tilisat les dérivées sccessives de la foctio si +! tot ombre réel 0, o a cos + et!!! 5 si +!! 5! si cos b) détermier la limite de lorsqe ted vers 0, > 0 5, démotrer qe, por 5! De la récrrece et des sites Eercice 8: 0 Soit la site défiie par : + +, N

5 Et soit v la site défiie par : v + 6, N ) Motrer qe v est e site géométriqe dot o détermiera le premier terme et la raiso ) E dédire l epressio de v, pis de e foctio de Eercice 9 : Soit w la site géométriqe de premier terme w 7 et de raiso alcler : w + w + + w Eercice 0: 0 0 O cosidère la site ( U ) N défiie par : + ( + ) ( + ) + ( + ) Démotrer qe cette site est majorée par Démotrer qe cette site est mootoe Démotrer qe cette site est covergete alcler sa limite Des complees Détermier le modle et argmet de chac des ombres complees sivats, pis e doer e écritre epoetielle : a) b) i c) i + d) + i e) f) + 7 i i 5i Détermier e valer approchée d argmet de chac des complees sivats : a)+ 5i b) 5 5 i Effecter les calcls sivats e tilisat l écritre la mie adaptée : a) ( i) ( i) 7 π π b) cos + i si c) Les égalités sivates sot-elles vraies? ( + i )(6 + 6 i) e 00 ( i) i π i Soit P( z) z + 5z + 7z + a Démotrer qe l éqatio Pz ( ) 0 admet e iqe soltio réelle b Démotrer q il eiste de ombres réels a et b tels qe : P( z) ( z + )( z + az + b), e dédire les soltios de l éqatio Pz ( ) 0 i 5 a Ecrire sos forme epoetielle les ombres complees : z et z i, pis calcler z, et z 5