PRINCIPES DES STATISTIQUES INFERENTIELLES

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1 Chaptre 3 PRINCIPES DES STATISTIQUES INFERENTIELLES Bases de la statstque féretelle PLPSTA0 0

2 Chaptre 3 1. Problématque. Objectfs des statstques féretelles.1 Estmato poctuelle. Estmato par tervalles.3 Tests d'hypothèses statstques 3. Echatlloage 3.1 Echatllo représetatf 3. Trage aléatore Trages aléatores smples avec ou sas remse E théore E pratque 3.3 Echatllo statstque 1

3 Chaptre 3 (sute) 4. Estmato poctuelle des paramètres 4.1 Varable qualtatve dchotomque 4. Varable quattatve Calcul des estmatos a. doées dvduelles b. doées regroupées Estmato sas bas ou corrgée de la varace Calcul de l'estmato sas bas de la varace a. doées dvduelles b. doées regroupées Calcul de l'estmato sas bas de l'écart-type 5. Justfcato des statstques féretelles 5.1 Lo des grads ombres 5. Iterprétato des résultats Effcacté d'u tratemet des troubles de l'axété de l'efat Itesté de la dépresso Durée de chômage

4 1. Problématque (1) La populato P e peut pas être étudée das so eter sot la populato est de très grade talle (oéreux, log de fare ue étude sur tous les sujets) sot la populato e peut pas être éumérée das so eter Exemples : populato fraçase e dehors d'u recesemet populato des malades du SIDA populato des SDF sot la populato est vrtuelle (ou hypothétque) : elle est de talle fe Exemples : études expérmetales populato des malades qu serot tratés avec u ouveau tratemet dot l'effcacté est étudée 3

5 1. Problématque () Exemple : durée de chômage P = { chômeurs fraças } N =? X = "durée de chômage" (e mos) varable quattatve cotue Exemple : testé de la dépresso de sujets dépressfs P = { sujets dépressfs } N =? X = "score de dépresso (CES-D)" (e pots) varable quattatve dscrète Exemple : effcacté d'u tratemet des troubles de l'axété de l'efat P = { efats attets de troubles de l'axété, sous tratemet } N = X = "amélorato clque" : ou, o varable qualtatve dchotomque 4

6 1. Problématque (3) o e peut pas receser toutes les valeurs de la varable étudée das la populato o e peut pas calculer la valeur umérque du paramètre d'térêt p, ou µ, ou σ das la populato P la valeur umérque du paramètre d'térêt p, ou µ, ou σ est coue das la populato P 5

7 . Objectfs des statstques féretelles P populato de talle N N très grad ou f, e gééral cou A partr de l'aalyse statstque des doées d'u sous-esemble d'dvdus ou échatllo de la populato, de talle avec << N trer des coclusos cocerat la populato etère P.1 Estmato poctuelle trouver ue "boe" approxmato (ayat de boes proprétés statstques) par ue valeur umérque uque de la valeur coue du paramètre d'térêt p, ou µ, ou σ das la populato P o "approche" la valeur du paramètre qu reste coue 6

8 . Estmato par tervalles trouver u tervalle ("fourchette") de valeurs umérques qu cotet vrasemblablemet (a de grades chaces de coter) la valeur coue du paramètre d'térêt p, ou µ, ou σ das P elle fat terver le rsque d'erreur que la "fourchette" trouvée e cotee pas la valeur du paramètre par rapport à l'estmato poctuelle, elle tègre la oto de précso ou de marge d'erreur de l'estmato 7

9 .3 Tests d'hypothèses statstques valder ou rejeter ue hypothèse cocerat la valeur coue du paramètre d'térêt p, ou µ, ou σ das P l est mpossble de répodre avec certtude, mas o peut établr les rsques d'erreurs assocés aux décsos evsagées (à l'ade du calcul probablste) 8

10 3. Echatlloage 3.1 Echatllo représetatf Das quelles codtos est-l perms d'extrapoler à la populato etère les résultats obteus (observés) sur l'échatllo? s l'échatllo est coveablemet chos, l dot refléter assez fdèlemet les caractérstques (paramètres) de la populato etère so, l y a u rsque de bas (de sélecto) c-a-d d'erreurs systématques l'échatllo dot être représetatf de la populato étudée : de talle suffsammet "grade" ( 30) obteu par trage au sort des dvdus de la populato 9

11 Exemples : échatllo : groupe de TD d'étudats e d aée de lcece de psychologe à Naterre X = "sexe" X = "âge" X = "durée des études" P = { fraças } P = { fraças de 15 à 35 as } P = { étudats de Naterre } P = { étudats e psychologe de Naterre } 10

12 3. Trage aléatore P populato de talle N Pour assurer de boes proprétés aux résultats obteus sur l'échatllo, deux codtos sot écessares : les trages dovet être équprobables la probablté de trer au sort chaque dvdu de P dot être la même, c'est à dre égale à 1/N les trages successfs dovet être dépedats 11

13 Trages aléatores smples avec ou sas remse trage aléatore smple avec remse (remplacemet) d'u dvdu das P : après avor été tré au sort, chaque dvdu est rems das la populato avat d'effectuer u ouveau trage u même dvdu peut-être représeté pluseurs fos das l'échatllo assure l'dépedace etre les trages successfs trage aléatore smple sas remse d'u dvdu das P : après avor été tré au sort, l'dvdu tré 'est pas rems das la populato u même dvdu 'est représeté qu'ue seule fos das l'échatllo l 'y a pas dépedace des trages successfs 1

14 E théore Les proprétés théorques serot doées pour ue populato de talle fe u échatllo obteu par trage aléatore smple avec remse 13

15 E pratque das ue populato de grade talle (de l'ordre de mllers) o fat souvet u trage aléatore sas remse e applquat les proprétés obteues pour les trages avec remse le trage aléatore sas remse e modfe pas beaucoup la populato tale et les trages sot doc quasmet dépedats das ue populato de talle plus fable (de l'ordre de cetaes), l faut fare u trage aléatore avec remse pour assurer l'dépedace des trages et applquer les proprétés qu e découlet le plus souvet, l 'y a pas de trage au sort d'où des dffcultés d'extrapolato des résultats obteus sur l'échatllo à la populato étudée 14

16 3.3 Echatllo statstque échatllo statstque de la varable X ssu de la populato P de talle dvdus trés au sort 1,,... échatllo (observé) ou observatos (x 1, x,... x ) : valeurs de X recuelles (observées) sur les dvdus de l'échatllo E pratque : échatllo de X ssu de P de talle : (x 1, x,... x ) sot des valeurs de la varable étudée X recuelles dépedammet sur dvdus d'ue même populato das des codtos detques s'l 'a pas été obteu par trage au sort, l'échatllo 'est a pror pas représetatf de la populato P pour la varable X 15

17 3.3 Echatllo statstque () Exemple : durée de chômage P = { chômeurs fraças } N =? X = "durée de chômage" (e mos) varable quattatve cotue échatllo de X ssu de P de talle = 30 observatos (x 1, x, x 30 ) ( 3, 8, 6 ) 30 durées observées sur 30 chômeurs Exemple : effcacté d'u tratemet des troubles de l'axété de l'efat P = { efats attets de troubles de l'axété, sous tratemet } N = X = "amélorato clque" : ou, o varable qualtatve dchotomque échatllo de X ssu de P de talle = 63 observatos ( x 1, x, x 3, x 63 ) (ou, ou, o, ou) 63 valeurs "ou" ou "o" observées sur 63 efats attets de troubles de l'axété, sous tratemet 16

18 4. Estmato poctuelle des paramètres O approche la valeur du paramètre étudé par ue valeur umérque uque o estme le paramètre d'térêt ATTENTION la valeur de l'estmato 'est pas égale à celle du paramètre estmé 17

19 4.1 Varable qualtatve dchotomque X varable qualtatve dchotomque défe sur E = {ou, o} p = proporto de "ou", coue das P échatllo (x 1, x,... x ) de X ssu de P de talle l'estmato poctuelle de la proporto p est doée par la fréquece observée sur l'échatllo fréquece (proporto) observée de "ou" otée f 1 f = effectf observé de "ou" = l'estmato poctuelle de la proporto de "o" 1 p est doée par la fréquece observée de "o" sur l'échatllo otée 1 f 1 f = effectf observé de "o" = l y a très peu de chace pour que f = p e gééral f p 18

20 4. Varable quattatve X varable quattatve défe sur E µ = moyee de X, coue das P σ = varace de X, coue das P σ = écart-type de X, cou das P échatllo (x 1, x,... x ) de X ssu de P de talle l'estmato poctuelle de la moyee µ de X das P est doée par la moyee observée sur l'échatllo otée x ue estmato poctuelle de la varace σ de X das P doée par la varace observée sur l'échatllo otée s ue estmato poctuelle de l'écart-type σ de X das P doée par l'écart-type observé sur l'échatllo oté s l y a très peu de chace pour que = µ ou s = σ (ou s = σ) e gééral µ et s σ (et s σ) x 19 x

21 Calculs des estmatos (1) a. doées dvduelles ( pett) observato (valeur observée) x pour chaque dvdu de l'échatllo, pour = 1,... x = = 1 x ( x) x = 1 s = avec s 0 = = 1 x x s = s avec s 0 0

22 1 Calculs des estmatos () b. doées regroupées ( grad) observato (valeur observée) x pour dvdus de l'échatllo effectfs observés (, = 1,... k) avec s 0 avec s 0 s s = ( ) 1 1 x x x x s k k = = = = x x k = = 1

23 Estmato sas bas ou corrgée de la varace la varace observée s est toujours trop fable (basée) : elle sous-estme systématquemet la varace σ de X das P l'écart-type observé s est toujours trop fable : sous-estmato systématque de l'écart-type σ de X das P o doe ue melleure estmato de la varace (et de l'écart-type) e calculat so estmato sas bas l'estmato poctuelle de la varace σ de X das P est doée par la varace observée sas bas (ou corrgée) sur l'échatllo otée s * l'estmato poctuelle de l'écart-type σ de X das P : écart-type observé sas bas (ou corrgé) sur l'échatllo oté s*

24 3 Calcul de l'estmato sas bas (corrgée) de la varace (1) a. doées dvduelles ( pett) observato x pour chaque dvdu de l'échatllo, pour = 1,... avec s * 0 b. doées regroupées ( grad) observato x pour dvdus de l'échatllo, pour = 1,... k avec s * 0 ( ) 1 1 * 1 1 = = = = x x x x s ( ) 1 1 * 1 1 = = = = x x x x s k k

25 Calcul de l'estmato sas bas (corrgée) de la varace () à partr de l'estmato basée s estmato basée (trop fable) de σ s * = s avec s * s 0 1 4

26 Calcul de l'estmato sas bas (corrgée) de l'écart-type à partr de l'estmato sas bas de la varace s * estmato sas bas de σ * s * = s avec s* 0 à partr de l'estmato basée de la varace s estmato basée (trop fable) de σ s* = s avec s* s 0 1 5

27 5. Justfcato des statstques féretelles S l'échatllo est coveablemet chos (échatllo représetatf), l dot refléter assez fdèlemet les caractérstques de la populato etère 5.1 Lo des grads ombres phéomèe de régularté statstque la fréquece observée sur u très grad ombre d'expéreces ted vers la proporto p das la populato P la moyee observée sur u très grad ombre d'expéreces ted vers la moyee µ das la populato P les féreces (coclusos) que l'o peut fare à partr d'u échatllo (représetatf) e dépedet pas de la talle de la populato N, mas de la talle de l'échatllo 6

28 5. Iterprétato des résultats Il est possble de trer des coclusos, c'est à dre d'extrapoler les résultats observés sur l'échatllo : à la populato étudée s l'échatllo est représetatf de cette populato Exemples : populato fraçase populato des chômeurs fraças populato des sujets dépressfs à la populato vrtuelle (hypothétque) créée à l'mage de l'échatllo, c'est à dre dot l'échatllo étudé est supposé être représetatf Exemples : études expérmetales populato des malades ayat les mêmes caractérstques que ceux de l'échatllo (âge, gravté de la malade,...) qu serot tratés avec le ouveau tratemet dot l'effcacté a été étudée 7

29 Effcacté d'u tratemet des troubles de l'axété P = {efats attets de troubles de l'axété, sous tratemet} N =? X = "amélorato clque": ou, o X varable qualtatve dchotomque u paramètre : proporto d'amélorato clque = p coue das P échatllo de X ssu de P de talle = 63 effectfs observés sur l'échatllo amélorato : "ou" 1 = 48 "o" = 15 estmato poctuelle du paramètre proporto la fréquece d'amélorato observée f = 48/63 = 0,76 la proporto p d'amélorato clque sous tratemet das la populato des efats attets de troubles de l'axété, est estmée à 76,% 8

30 Itesté de la dépresso (1) P = {sujets dépressfs} N =? X = "score de dépresso (échelle CES-D)" (e pots) X varable quattatve (dscrète) sur E = {0, 1,... 60} deux paramètres : score moye = µ cou das P écart-type du score = σ cou das P échatllo de X ssu de P de talle = 36 score x Σ x = Σ x =

31 Itesté de la dépresso () estmato poctuelle des paramètres moyee, varace et écart-type doées dvduelles le score moye observé x = 30, (pots) la varace observée du score s = 93,1 l'écart-type observé du score s 93,1 9,6 (pots) le score de dépresso moye µ das la populato des sujets dépressfs est estmé à 30, (pots) la varace du score de dépresso σ das la populato des sujets dépressfs est estmée à 93,1 l'écart-type du score de dépresso σ das la populato des sujets dépressfs est estmé à 9,6 (pots) 30

32 Itesté de la dépresso (3) estmato poctuelle sas bas des paramètres varace et écart-type doées dvduelles la varace observée sas bas du score s * = 95,8 (s * s = 93,1) l'écart-type observé sas bas du score s* = 9,8 (pots) (s* s = 9,6) la varace du score de dépresso σ das la populato des sujets dépressfs est estmée à 95,8 l'écart-type du score de dépresso σ das la populato des sujets dépressfs est estmé à 9,8 (pots) 31

33 Durée de chômage (1) P = {chômeurs fraças} N =? X = "durée de chômage" (e mos) X varable quattatve (cotue) sur E = (0 ; 10) deux paramètres : durée moyee = µ coue das P écart-type de la durée = σ cou das P échatllo de X ssu de P de talle = 30 durée x effectf observé Σ x = 161 Σ x =

34 Durée de chômage () estmato poctuelle des paramètres moyee, varace et écart-type doées regroupées la durée moyee observée x = 5,37 mos la varace observée de la durée s = 5,63 l'écart-type observé de la durée s 5,63 =,37,4 mos la durée moyee de chômage µ das la populato des chômeurs est estmée à 5,37 mos la varace de la durée de chômage σ das la populato des chômeurs est estmée à 5,63 l'écart-type de la durée de chômage σ das la populato des chômeurs est estmé à,37 mos 33

35 Durée de chômage (3) estmato poctuelle sas bas des paramètres varace et écart-type doées regroupées la varace observée sas bas de la durée s * = 5,83 (s * s = 5,63) l'écart-type observé sas bas de la durée s* =,41 (s* s =,37) la varace de la durée de chômage σ das la populato des chômeurs est estmée à 5,83 l'écart-type de la durée de chômage σ das la populato des chômeurs est estmé à,41 mos 34