Centres étrangers Enseignement spécifique. Corrigé

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1 EXERCICE 1 Partie A Cetres étragers 13. Eseigemet spécifique. Corrigé 1) La durée de vie moyee d ue vae est l espérace de la variable aléatoire T. O sait que l espérace de la loi expoetielle de paramètre λ est 1 λ et doc l espérace de T est 1, = 5. Ue vae dure e moyee 5 heures. ) Doc, PT 6) = 1 PT 6) = 1 6 λe λt dt = 1 [ e λt] 6 = 1 e, 6 +e ) = 1+e 1, 1 = e 1,. PT 6) = e 1, =,31 à,1 près. Partie B 1) Puisque les évéemets F 1 et F sot idépedats, o sait que les évéemets F 1 et F sot idépedats. Par suite, P F1 F ) = PF ) =,3. De même, P F1 F F 3 ) = PF 3 ) =,3.,3 F 1 F,3,3 F 3,7 F 1 ) D après la formule des probabilités totales PE) = PF 1 )+P F 1 F F 3 ) ) = PF 1 )+1 PF 1 )) PF ) PF 3 ) =,3+,7,3,3 =,3+,63 =,363. PE) =,363. 3) La probabilité demadée est P E F 1 ). et doc P E F 1 ) = PE F 1) PE) = PF 1) P F1 E) PE) =,3 1,363 =,3,363 = = P E F 1 ) = 1 =,86 arrodi au millième. 11 Partie C 1) Ici, = 4 et p =,. O ote que l o a 3, p = 8 et doc p 5 et 1 p) = 39 et doc 1 p) 5. L itervalle I de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% de la variable F est http :// 1 c Jea-Louis Rouget, 14. Tous droits réservés.

2 [ ],,98,,98, 1,96,,+1,96 = [,68;,337]. 4 4 ) La fréquece observée est f = 1 =,5. Cette fréquece appartiet à l itervalle de fluctuatio détermié à la 4 questio précédete. Doc, o e peut pas remettre e cause, au seuil de 95%, l affirmatio de l idustriel. Partie D 1) La calculatrice fouritp76 D 84) =,683 arrodi au millième le cours dit quepµ σ D µ+σ),68). ) La calculatrice fourit PD 88) =, et doc PD 88) =,977 arrodi au millième. 3) La probabilité d être e rupture de stock est pd > 88) = 1 PD 88) =,7..., soit u peu plus que,% de chace. Doc, l idustriel a tort. http :// c Jea-Louis Rouget, 14. Tous droits réservés.

3 EXERCICE 1) FAUX ) VRAI 3) FAUX 4) VRAI Justificatio 1. Notos P le pla d équatio x+y+z 4 =. U vecteur ormal au pla P est le vecteur,1, ) et u vecteur ormal au pla P est le vecteur,1,). Les vecteurs et e sot pas coliéaires et doc les plas P et P e sot pas parallèles. L affirmatio 1 est doc fausse. x = 9 3t Justificatio. Notos D la droite de représetatio paramétrique y = z = 5+5t, t R. Les coordoées du vecteur AC sot 1,,). U vecteur directeur de la droite AC) est le vecteur u = 1 AC de 4 coordoées 3,,5). u est aussi u vecteur directeur de D et doc les droites D et AC) sot parallèles. Quad t = 1, o obtiet le poit de coordoées 1,,) c est-à-dire le poit A. La droite D cotiet doc le poit A. Aisi, les droites D et AC) sot parallèles et ot u poit commu. O e déduit que ces deux droites sot cofodues ou ecore, ue représetatio paramétrique de la droite AC) est : L affirmatio est vraie. x = 9 3t y = z = 5+5t, t R. Affirmatio 3. Les coordoées du vecteur DE sot 5, 4, 3). Ue représetatio paramétrique de la droite DE) est : x = +5t y = 7 4t z = 6+3t Soit M+5t,7 4t, 6+3t), t R, u poit de la droite DE)., t R. m P +5t)+7 4t) 6+3t) 5 = t+18 =. Cette équatio a pas de solutio et doc la droite DE) et le pla P ot pas de poit commu. L affirmatio 3 est fausse. Affirmatio 4. Les coordoées du vecteur AB sot 1, 15,) et les coordoées du vecteur AC sot 1,,). O ote que les vecteurs AB et AC e sot pas coliéaires et doc les droites AB) et AC) sot deux droites sécates du pla ABC). et AB. DE = 1) 5+ 15) 4)+ 3 = 6+6 =, AC. DE = 1) 5+ 4)+ 3 = 6+6 =. La droite DE) est orthogoale est doc orthogoale aux droites AB) et AC) qui sot deux droites sécates du pla ABC) et doc la droite DE) est orthogoale au pla ABC). L affirmatio 4 est vraie. http :// 3 c Jea-Louis Rouget, 14. Tous droits réservés.

4 EXERCICE 3 Partie A y C 1 A 1 A 1) a) La foctio g est cotiue et positive sur l itervalle [,1]. Doc, a 1 x A 1 = a 1+e x ) dx = [ x e x] a = a e a) e ) = a e a +1. b) De même, A = 1 a 1+e x ) dx = [ x e x] 1 a = 1 e 1) a e a) = 1 1 e a+e a. ) a) La foctio f est dérivable sur [,1] e tat que somme de foctios dérivables sur [,1] et pour tout réel x de [,1], f x) = e x) = 1+e x). Pour tout réel x de [,1], e x > et doc, pour tout réel x de [,1], f x) >. E teat compte de f) = e + 1 e = + 1 e et f1) = e e = 1, o peut dresser le tableau de e variatios de la foctio f : x 1 f x) + f 1 e + 1 e b) [ Le foctio f est cotiue et strictemet croissate sur [,1]. O sait que pour tout réel k de [f),f1)] = + 1 e, 1 ], l équatio fx) = k a ue solutio et ue seule das [,1]. E particulier, puisque + 1 e e < < 1 e, la foctio f s aule ue fois et ue seule sur l itervalle [;1], e u réel que l o ote α. La calculatrice fourit f,45) =,7... et f,455) =,8... Doc, f,45) < fα) < f,455). Puisque la foctio f est strictemet croissate sur [,1], o e déduit que,45 < α <,455 et e particulier que α =,45 arrodi au cetième. 3) Soit a u réel de [,1]. A 1 = A a e a +1 = 1 1 e a+e a a e a + 1 e = fa) = a = α. Le réel a pour lequel les aires A 1 et A sot égales est le réel α =,45 arrodi au cetième. Partie B 1) Si o partage le domaie D e deux domaies d aires égales, chacu de ces domaies a ue aire égale à la moitié de l aire de D. http :// 4 c Jea-Louis Rouget, 14. Tous droits réservés.

5 L aire du domaie D, exprimée e uités d aires, est strictemet iférieure à car le domaie D est coteu das le rectagle de sommets les poits de coordoées respectives,), 1,), 1,) et,). Doc la moitié de l aire de D est strictemet iférieure à 1. L aire, exprimée e uités d aires, du rectagle de sommets les poits de coordoées respectives, ), 1, ), 1, 1) et,1) est égale à 1. Cette aire est déjà strictemet supérieure à la moitié de l aire de D. Doc, o a écessairemet b < 1 et e particulier b < 1+ 1 e. y C 1+ 1 e 1 ) Puisque b < 1+ 1, le domaie sous la droite d équatio y = b, d aire égale à la moitié de l aire de D, est le rectagle e de sommets les poits de coordoées repsectives,), 1,), 1,b) et,b). Notos A l aire du domaie D, exprimée e uités d aires et A l aire du rectagle de sommets les poits de coordoées repsectives,), 1,), 1,b) et,b). y C 1 x 1 b D ue part, 1 x A = 1 D autre part, l aire A = b 1 = b. Esuite, 1+e x ) dx = [ x e x] 1 = 1 e 1) e ) = 1 e. A = A b = 1 1 ) b = 1 1 e e. b = 1 1 e =, http :// 5 c Jea-Louis Rouget, 14. Tous droits réservés.

6 EXERCICE 4 Partie A - Algorithmique et cojectures 1) Algorithme complété. Variables : est u etier aturel u est u réel Iitialisatio : Affecter à la valeur 1 Affecter à u la valeur 1,5 Traitemet : Tat que < 9 Affecter à u la valeur u 1 +1) Affecter à la valeur +1 Fi de Tat que Sortie : Afficher la variable u ) Algorithme complété et modifié. Variables : est u etier aturel u est u réel Iitialisatio : Affecter à la valeur 1 Affecter à u la valeur 1,5 Traitemet : Tat que < 9 Affecter à u la valeur u 1 +1) Affecter à la valeur +1 Afficher la variable u Fi de Tat que 3) Il semble que la suite u ) soit strictemet décroissate et coverge vers. Partie B - Étude mathématique 1) v 1 = 1 u 1 1 = 3 1 = 1. Soit u etier aturel o ul. v +1 = +1)u +1 1 = +1) u +1 +1) 1 = u +1 1 = u +1 = u 1 = v =,5 v. O a motré que la suite v ) est géométrique de raiso q =,5 et de premier terme v 1 =,5. ) O e déduit que, pour tout etier aturel 1, Esuite, pour tout etier aturel 1, v = v 1 q 1 =,5,5) 1 =,5). O a motré que v = u 1 u = v +1 u = 1+v u = 1+,5). pour tout etier aturel 1, u = 1+,5). http :// 6 c Jea-Louis Rouget, 14. Tous droits réservés.

7 3) Puisque 1 <,5 < 1, lim +,5) = et doc divisat, o obtiet lim + 1+,5) ) = 1. D autre part, lim u =. + lim = + et e + 4) Soit 1. u +1 u = 1+,5) ,5) = 1+,5) +1) +1) 1+,5) ) = +,5,5),5) 1,5) = 1 1+,5),5) = 1+1+,5),5). = 1,5,5),5) Pour tout etier aturel o ul, 1+1+,5),5) > et doc, pour tout etier aturel o ul, u +1 u < ou ecore pour tout etier aturel o ul, u +1 < u. O e déduit que la suite u ) est strictemet décroissate. Partie C - Retour à l algorithmique L algorithme ci-dessous permet de détermier et d afficher le plus petit etier tel que u <,1. Variables : est u etier aturel u est u réel Iitialisatio : Affecter à la valeur 1 Affecter à u la valeur 1,5 Traitemet : Tat que u,1 Affecter à u la valeur u 1 +1) Affecter à la valeur +1 Fi de Tat que Sortie : Afficher la variable http :// 7 c Jea-Louis Rouget, 14. Tous droits réservés.