Premières S A et S C : pour s entraîner pour le devoir n 8
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- Damien Denis
- il y a 6 ans
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1 Premières S A et S C : por s etraîer por le devoir 8 Savoirs et savoir faire (oveax depis le DS7) : Barycetres das l espace : Démotrer qe des poits sot coplaaires à l aide de barycetres Savoir détermier les coordoées d barycetre das repère de l espace Détermier des esembles de poits à l aide de barycetres Por réviser avec le livre : 7 page 39 Gééralités sr les sites : Coaître le vocablaire et les otatios Savoir calcler «à la mai» et à la calclatrice les premiers termes d e site Etdier le ses de variatios d e site Por réviser avec le livre : page 58 ; page 9 ; page 5 ; page 53 ; page 63 Sites arithmétiqes et géométriqes : Coaître lers défiitios, les expressios d terme gééral Savoir les recoaître coaître les formles doat la somme de termes coséctifs Por réviser avec le livre : page 73 ; 75 ; 77 ; 5 page 85 ; 55 et 56 page 88 Limites de sites : Coaître la défiitio de sites covergetes et divergetes Coaître les théorèmes d ecadremet o de comparaiso Coaître la limite évetelle de (q ) selo la valer de q Por réviser avec le livre : page 97 ; page 0 ; 5 et 6 page 06 ; 0 page 07 Des exercices pls complets : : La site est défiie par 0 et + ; la site v est défiie par v 3 + a) Calcler les qatre premiers termes de chaqe site. b) Démotrer qe v est arithmétiqe c) E dédire v pis e foctio de. d) Etdier le ses de variatios de la site ( ). e) Etdier la covergece de la site ( ) : Soit ( ) la site défiie sr N par : 0 et, por tot N : ) Détermier les ciq premiers termes de la site ) Soit (v ) la site défiie par v +. Motrer qe (v) est e site géométriqe 3) Détermier v pis e foctio de ) Etdier le ses de variatios et la covergece de la site ( )
2 3 : Soit ( )) la site défiie sr N* par : 3 et por tot N, + ) Calcler, 3 et ) Détermier à la machie e valer approchée à 0 6 près de 0 3) Soit (v ) la site défiie sr N* par : v a) Motrer qe (v ) est géométriqe b) Détermier v pis e foctio de ) a) Motrer qe, por tot N*, + b) E dédire le ses de variatio de la site ( ) + 3 : U étdiat loe e chambre por 3 as. O li propose dex types de bail. Premier cotrat : loyer de 00 por le premier mois pis e agmetatio de 5 par mois jsq à la fi d bail. Secod cotrat : loyer de 00 por le premier mois pis e agmetatio de % par mois jsq à la fi d mois. ) Calcler por chaqe cotrat les loyers des trois premiers mois. ) Calcler, por chaqe cotrat, le loyer d derier mois (c'est-à-dire d 36 ème mois) 3) Qel est le cotrat globalemet le pls avatagex por bail de trois as, Jstifier par des calcls. 5 : Soit la site défiie par + 3 et soit α réel strictemet positif. O appelle I l itervalle ] α ; + α[. Détermier rag p, à partir dqel tos les termes de la site sot das I. v 6 : Pls dr : Soit ( ) et (v ) les sites défiies par : + v + 3v + et v+ 3 ) Por tot etier o l, o pose w v - a) Démotrer qe la site ( w ) est géométriqe b) Exprimer w e foctio de ) Calcler + et v + - v e foctio de w. E dédire qe la site ( ) est décroissate et la site ( v ) croissate. 3) Por tot etier o l o pose t v. Motrer qe la site ( t ) est costate. ) Dédire des qestios précédetes les expressios de et v e foctio de. Motrer qe les sites () et (v) coverget vers la même limite. Des exercices différets : 7 : Détermier totes les sites géométriqes vérifiat la relatio de récrrece : : Sas calclatrice : Leqel des dex ombres sivats est le pls grad : A 007 ( ) B 008 ( ) 9 : Soit la site défiie par 0 et +. Détermier 008.
3 Corrigé : : a) Por : ; ; ; ; Por v : ; ; 0; b) D après ces résltats o cojectre qe la site v est arithmétiqe de raiso - Démotros le : v v O a démotré qe por tot etier, v + v -. La site v est doc arithmétiqe de raiso -. c) O e dédit qe por tot, v v 0 + r 3 + Or, v v 3 + ( v 3) v 3 D où : 3 + Coseil : les premiers termes calclés permettet de vérifier la formle obtee. d) + + > 0 car est atrel ( + 5)( + ) O a por tot etier, + > : la site est strictemet croissate. O pet assi étdier les variatios de la foctio associée. e) lim doc la site coverge vers 0. : ) Les ciq premiers termes : - ; 5 ; 3 ; 77 ) O pet calcler les premiers termes por se doer e idée d résltat atted : 3 ; 9 ; 7 ; 8. O cojectre qe la site v est géométriqe de raiso 3. v ( + ) 3v. Por tot etier o a : v + 3v : la site v est géométriqe de raiso 3. 3) v v 0 q d où v 3 + ) La site v est croissate strictemet car la raiso est strictemet spériere à. O e dédit qe la site est assi croissate. Comme 3 >, o a : lim 3 + doc la site diverge vers : ) Por calcler o pred : ; ; ) ) O calcle les premiers termes de la site v : v ; v ; v3 ; v O cojectre qe la site v est géométriqe de raiso 3. Démotros le : por tot atrel o l, + + v v La site v est géométriqe de raiso 3. O a doc : v v q 3 Attetio le premier terme ici est pas v 0!! D où : v.
4 ) Por tot atrel o l : + + ( + ) doc et + + > + doc + < 3 por tot de N* + Comme est strictemet positif o e dédit : < d où : + <. 3 Comme est le prodit d e pissace d réel positif par etier strictemet positif, est strictemet positif. O a doc, por tot de N*, + < : la site est strictemet décroissate. : O appelle le loyer payé le ème mois avec le premier cotrat et v le loyer payé le ème mois avec le secod cotrat. Le texte os permet de dire qe 00 et ; et v 00 et v +.0v (Agmeter de % c est mltiplier par.0) La site est doc arithmétiqe de raiso 5 et la site v est géométriqe de raiso.0. D où : 00 ; 05 ; 3 0 ; v 00 ; v 0 ; v 3 08,8 O e dédit assi : ( ) et v 00.0 O calcle alors le loyer d derier mois avec chaqe cotrat : et v Por détermier le cotrat le pls avatagex globalemet, o calcle la somme des loyers versés avec chaqe cotrat : S S v + + v Globalemet, le premier cotrat est pe pls avatagex. 5 : I < α. Or, car est etier positif α < + > α > α Soit p le premier etier spérier à 3 α. Por tot p, o ara I. 6. ) Por tot etier atrel + 3v + v + v w w + v+ + 3 La site w est doc géométriqe de raiso O e dédit : w w ) Por tot atrel : + v v w v v w v+ v v Comme w est le prodit de w égatif par e pissace d réel positif, w est tojors égatif. O e dédit qe + est tojors égatif tadis qe v + v est tojors positif : la site est décroissate ; la site v est croissate. 3) Por tot atrel : t v + + v + + 6v 3 + 8v t La site t est bie costate. ) Comme la site t est costate, tos ses termes sot égax et doc t t por tot. Or, t O a doc, por tot atrel, : 33 v 3v 3 ce qi éqivat à : et par additio os doe : 8v + 3 8v v O dédit alors v Comme >, o a lim + doc lim 0 ce qi prove qe les sites + et v coverget vers la même limite. + 7 : est e site géométriqe. Appelos q sa raiso. La relatio de récrrece doée deviet : 0 q q + 0 q 0 q (q² - 3q + ) o q 0 o q o q. Les sites géométriqes soltio sot totes les sites costates, les sites de lles saf ler premier terme, et les sites géométriqes de raiso.
5 8 : O tilise la formle de la somme : A B Le pls grad ombre est doc A. 9 : O calcle les premiers termes por se faire e idée : 0 ; ; ; 3 ; 3 5 O cojectre qe + Démotros le. Soit la site v défiie par v v + et + v ( + ) + + La site v vérifie la même relatio de récrrece qe la site. De pls, v 0 0 doc elles ot le même premier terme. Coclsio : elles sot égales et 008 v
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