Exercices corrigés. Joseph DI VALENTIN

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1 Exercices corrigés Joseph DI VALENTIN Javier 3

2 ii

3 iii Avat propos Cet ouvrage a pour objectif d aider les élèves de classes préparatoires Ce livre est aussi utile aux élèves des Écoles d igéieur, aux cadidats aux cocours de recrutemet aisi qu à tous ceux qui souhaitet compléter leurs coaissaces e mathématiques Tous droits réservés, Exercices corrigés, Javier 3, Joseph Di Valeti

4 iv

5 Table des matières Itroductio Séries, séries de foctios 3 Corrigés séries, séries de foctios 7 4 Séries etières 7 5 Corrigés séries etières 35 6 Séries de Fourier 7 Corrigé séries de Fourier 7 v

6

7 Chapitre Itroductio Théorème de covergece domiée et applicatios Soit f ue applicatio e escalier défiie de [a, b] das R Soit ue subdivisio de [a, b] adaptée à f, σ = a, a,, a Nous supposeros que les poits a i pour i N sot des poits de discotiuité pour f Soit i N Supposos fa i fa i + fa i fa i Soit α > tel que a i < a i α et a i + α < a i+ Sur [a i α, a i + α] ous remplaços f par la foctio cotiue affie par morceaux preat la valeur fa i e a i α, fa i e a i et fa i + e a i + α fa i > fa i Soit α > tel que a i + α < a i+ Sur [a i, a i + α] ous remplaços f par la foctio affie preat la valeur fa i e a i et fa i + e a i + α Supposos fa i > fa i + fa i fa i + Soit α > tel que a i < a i α et a i + α < a i+ Sur [a i α, a i + α] ous remplaços f par la foctio cotiue affie par morceaux preat la valeur fa i e a i α, fa i e a i et fa i + e a i + α fa i > fa i + Soit α > tel que a i < a i α Sur [a i α, a i ] ous remplaços f par la foctio affie preat la valeur fa i e a i α et fa i + e a i Supposos fa < fa + Soit α >, a + α < a Sur [a, a + α ous remplaços f par la foctio affie preat la valeur fa e a et fa + e a + α Si fa fa + O remplace f e a par la foctio prologée par cotiuité e a De même, Supposos fb < fb Soit α >, b α > b Sur [b α, b ous remplaços f par la foctio affie preat la valeur fb e b et fb e b α Si fb fb O remplace f e b par la foctio prologée par cotiuité e b Je rappelle que cela sigifie que a = a < a < < a = b et i N, la restrictio de f à l itervalle ]a i, a i [ est costate Pour ue applicatio f ous appelos fx + la limite, lorsqu elle existe, de f à droite e x et fx la limite, lorsqu elle existe, de f à gauche e x

8 CHAPITRE INTRODUCTION f est doc remplacée par ue foctio cotiue g vérifiat g f E étudiat les différets cas ous obteos b ft gtdt α fa i + fa i + + fa i a i= + α + fa + + fa + fb + fb α3 f Soit ε > b a ft gtdt ε pour α choisi suffisammet petit Soit f ue applicatio défiie sur u itervalle fermé [a, b] de R cotiue par morceaux Soit σ = a, a,, a ue subdivisio de [a, b] compatible 3 avec f Pour i N, posos sa i = fa i + fa i, sa = fa + fa et sb = fb fb Soit g la foctio défiie sur [a, b] par : i ga = fa +, gb = fb, i N, ga i = fa i sa k et pour t ]a i, a i+ [, gt = ft = k= i sa k Il est immédiat que g est cotiue k= car la limite e tout poit a i est égale à ga i f g est ue foctio e escalier Nous e déduisos que toute foctio cotiue par morceaux défiie sur u itervalle fermé boré de R est la somme d ue foctio cotiue et d ue foctio e escalier Quitte à remplacer la foctio e escalier par la foctio cotiue costruite comme plus haut ous e déduisos que : si f est ue foctio cotiue par morceaux défiie sur [a, b] R à valeurs réelles, si ε est u réel strictemet positif il existe 4 ue applicatio cotiue F défiie de [a, b] das R vérifiat, F f et b a ft F tdt ε Nous avos vu, à l exercice uméro page 9 du livre exercice le premier théorème de Dii, que si ue suite mootoe 5 d applicatios à valeurs réelles cotiues défiies sur u itervalle fermé boré [a, b] coverge simplemet vers ue foctio cotiue alors la covergece est uiforme Soit f N ue suite d applicatios cotiues défiies sur u itervalle fermé boré [a, b] à valeurs das R +, covergeat simplemet vers la foctio ulle Nous supposos qu il existe K tel que N, f K Nous allos costruire ue suite mootoe d applicatios cotiues covergeat simplemet vers la foctio ulle afi d appliquer le premier théorème de Dii Pour, k N, otos F,k = max {f p} Pour chaque N, la suite F,k p +k k N 3 Cela sigifie que pour tout i N, la restrictio de f à ]a i, a i [ est cotiue et prologeable par cotiuité sur [a i, a i ] 4 Nous aurios pu utiliser les résultats de l exercice page 7 du livre exercice pour obteir ue approximatio de f 5 La suite f N est mootoe c est-à-dire N, f f + ou N, f f + ; ce e sot pas les foctios f qui sot mootoes il s agit là du secod théorème de Dii

9 CHAPITRE INTRODUCTION est croissate Chaque applicatio F,k est cotiue 6 Posos pour, k N, x,k = b a F,k tdt x,k k N est croissate majorée par b ak doc covergete vers u réel l Soit ε > Pour chaque N il existe u etier k tel que pour k k o ait l ε x,k l E particulier l ε b b x,k l Nous e déduisos F,k tdt F,k tdt + ε a a Notos pour N, G = F,k c est-à-dire G = max {f p } p p+k La suite f N coverge simplemet vers doc pour ε > et t [a, b] il existe N N tel que pour tout N, N f t ε Nous avos doc aussi f t G t ε La suite G N coverge doc simplemet vers Costruisos à partir de cette suite G N ue suite mootoe covergeat vers Posos H = mig, G,, G H = G est cotiue Supposos H cotiue alors H + = [mig, G,, G, G + ] = mih, G + = H + G + H G + H + est cotiue Les foctios H sot doc cotiues H N est décroissate, N, H G La suite H N coverge simplemet vers doc la covergece est uiforme et lim + b a G tdt = mih, G + + maxh, G + = H + G + doc G + H + = maxh, G + H maxg, G + H Nous e déduisos b a G + t H + tdt b a maxg + t, G tdt G = maxf,, f +k, G + = maxf +,, f ++k+ Si + k + + k + alors maxg, G + = maxf, f +,, f ++k+ = F,+k+ Si + k + + k + alors maxg, G + = maxf, f +,, f +k = F,k doc maxg, G + = F +k avec k = maxk, + k + b maxg + t, G tdt x,k + ε a Nous obteos fialemet b G + t H + tdt x,k + ε b H tdt a a b a H tdt 6 Soiet a et b deux réels maxa, b = a + b + a b doc si u et v sot deux applicatios réelles cotiues maxu, v est cotiue Soiet u, u,, u applicatios réelles cotiues sur u esemble I maxu, u est cotiue Supposos que pour k < l applicatio U k = max {f i} i k est cotiue alors U k+ = k + et max i {f i} est cotiue max {f i} = maxu k, u k+ est cotiue Le résultat est vrai au rag i k+ 3

10 CHAPITRE INTRODUCTION E additioat ous obteos b a G + t H + tdt N, b a b a = b G t H tdt + G t H tdt ε car G = H a G tdt + ε k= b a ε soit ecore k H tdt La suite H N coverge uiformémet vers doc il existe N N tel que pour N o ait t [a, b], H t ε b puis H tdt ε b a E regroupat ces résultats ous obteos pour N, doc aussi N G tdt 3ε La suite de terme gééral b a b a f tdt f tdt coverge doc vers b a a b a G tdt 3ε Nous e déduisos : soit f N ue suite d applicatios cotiues défiies sur u itervalle fermé boré [a, b] à valeurs das R +, covergeat simplemet vers la foctio ulle Nous supposos qu il existe K tel que N, f K alors lim + b a f tdt = 3 Soit f N ue suite d applicatios cotiues par morceaux défiies sur u itervalle quelcoque I de R à valeurs das R + telle qu il existe ue applicatio cotiue par morceaux ϕ itégrable sur I et t I, f t ϕt O suppose que la suite f N coverge simplemet vers sur I alors lim + I f = L hypothèse de domiatio permet de coclure que les applicatios f sot toutes itégrables Soit ε > doé Il existe u itervalle fermé boré J iclus das I tel que ϕ ϕ ε I J 3 Notos 7 I = a, b et J = [c, d] avec a c d b Nous avos doc ϕ + ϕ ε a, c] [d, b 3 Il viet alors aussi N f + f ε a, c] [d, b 3 puis f f + ε I J 3 ϕ est cotiue par morceaux sur u itervalle fermé boré doc est borée Nous avos vu das la première partie qu il existe ue suite d applicatios cotiues F défiies sur J vérifiat F f et f F ε E utilisat J 3 le résultat précédet ous avos aussi F = doc il existe N N lim + J 7 les parethèses sigifiet que l itervalle peur être fermé ou semi-ouvert ouvert 4

11 CHAPITRE INTRODUCTION tel que pour N, N J F ε 3 Nous e déduisos N, I f ε d où le résultat aocé Soit alors f N ue suite d applicatios cotiues par morceaux défiies sur u itervalle I de R à valeurs réelles qui coverge simplemet vers l applicatio cotiue par morceaux f O suppose qu il existe ue foctio domiate ϕ défiie de I das R itégrable vérifiat t I, f t ϕt f est alors itégrable et lim + I f = L itégrabilité de f proviet du fait qu elle est domiée, elle aussi, par ϕ Appliquos le résultat précédet à l applicatio f f lim f f = doc + f f état majoré par f f ous I I I I avos bie f = f lim + I I 4 Appliquos les résultats que ous veos de démotrer Soit f N ue suite croissate d applicatios cotiues par morceaux défiies sur u itervalle I de R à valeurs réelles O suppose que la suite f N coverge simplemet sur I vers ue foctio cotiue par morceaux f f est itégrable si et seulemet si la suite f est majorée I N et das ce cas lim + I f = Supposos que f soit itégrable Nous avos N, f f doc Supposos que la suite f I I I N f I f f f La suite f est majorée I I N soit majorée Celle-ci est alors covergete de limite l R Soit J u itervalle fermé boré iclus das I La suite f état croissate ous e déduisos que pour tout etier aturel I N f f et f f est itégrable sur J Nous e déduisos e utilisat les résultats précédets que lim f f = f f + J J N, f f f f l f = M J I I Il viet alors, e calculat la limite, f f M J f f état positive et ayat so itégrale majorée par M idépedate de J est itégrable doc f est itégrable 5 Soit f N ue suite de foctios cotiues par morceaux défiies sur u itervalle I de R à valeurs das R + O suppose que la suite f N coverge simplemet vers ue foctio cotiue par mor- 5

12 CHAPITRE INTRODUCTION ceaux f et qu il existe ue costate M telle que N, f est alors itégrable I f M Soit J u itervalle fermé boré de R iclus das I Posos pour, t N I, g t = mif t, ft g t = ft + f t ft f t ft g est doc cotiue par morceaux et lim g t = ft La suite g + N est ue suite de foctios positives domiée par f Nous pouvos appliquer, sur J, le théorème de covergece domiée Il viet alors lim g = f + J J Pour tout N ous avos g f f M doc, e calculat la limite, f M J état u itervalle fermé boré quelcoque iclus das I J J I et J f état à valeurs das R +, ous e déduisos que f est itégrable 6 Utilisos tous ces résultats pour démotrer le résultat cocerat l échage etre les séries et les itégrales Soit f N ue suite d applicatios cotiues par morceaux défiies sur u itervalle I de R à valeurs das R + O suppose que la série de foctios f coverge simplemet vers ue applicatio cotiue par morceaux F F est itégrable si et seulemet si la série de terme gééral f est I covergete et das ce cas ous avos l égalité F = f Posos, pour N, F = I = f k F N est ue suite croissate de foctios k= cotiues par morceaux qui coverge simplemet vers F Nous avos vu plus haut que la suite de terme gééral F coverge si et seulemet si la suite de I terme gééral F est majorée et das ce cas ous avos F = F I Il s agit du résultat demadé car t I, F t car il s agit d ue somme fiie = f t et lim + I F = I I 7 Soit f N ue suite de foctios cotiues par morceaux défiies sur u itervalle I de R à valeurs réelles O suppose que la série de foctios f coverge simplemet vers ue foctio cotiue par morceaux F Nous supposos que f est covergete I 6 k= I I f k la série de terme gééral

13 CHAPITRE INTRODUCTION Alors F est itégrable, f, La série de terme gééral I I F I f est covergete et efi = I = I f = Posos, pour N, F = f k F f k = f k M k= I I k= k= I car la série de terme gééral f coverge La suite de terme gééral F I coverge simplemet vers F E utilisat les résultats vus plus haut ous e déduisos que F est itégrable et F f Soit p N La suite de I I =p+ I = terme gééral f p++ vérifie les mêmes hypothèses que la suite f N doc, e b otat a et b les bores de I, f t a dt + f c est-à-dire =p+ =p+ I F F p f La série de terme gééral f état covergete, so reste d ordre coverge vers doc F = F d où le résultat demadé I lim + I I lim + I I I F F F = puis Remarque Le théorème de covergece domiée et ce derier résultat s étedet facilemet au cas d ue foctio à valeurs complexes Trasformatios d Abel Soit E u K-espace vectoriel ormé complet 8 Soit v u ue série telle que N, u E et v N est ue suite réelle décroissate covergete vers O suppose : M R + / p, q N q, p q, u k M Alors la série v u est covergete Preuve Nous utiliseros plusieurs fois la trasformatio d Abel ; écrivos certaies relatios que ous obteos et que ous réutiliseros par la suite Soit x N ue suite complexe et soit u N ue suite d élémets d u espace vectoriel ormé Notos pour N, U = u k et U = Si la série k= k=p 8 Je rappelle qu u espace vectoriel ormé est complet lorsque toutes les suites de Cauchy de cet espace sot covergetes 7

14 CHAPITRE INTRODUCTION u coverge, otos, pour N, R = Soiet p et q deux etiers aturels, avec p q k=+ u k et R = première trasformatio Ces trasformatios s appellet trasformatios d Abel q q Pour p < q, x k u k = x k U k U k = k=p q x k U k k=p k=p q k=p = x q+ U q x p U p + Nous avos doc pour p q, k= u k q x k+ U k = x q U q x p U p + x k x k+ U k q x k x k+ U k k=p k=p q x k u k = x q+ U q x p U p + k=p deuxième trasformatio Supposos de plus que la série u coverge, de somme S N, U + R = S La derière relatio écrite deviet alors q q x k u k = x q+ S R q x p S R p + x k x k+ S R k k=p k=p q = x q+ R q + x p R p x k x k+ R k k=p q x k x k+ U k Utilisos ces trasformatios pour répodre à la questio posée q q v k u k = v q+ S q v p S p + v k v k+ S k k=p k=p Nous savos qu il existe M R + tel que p, q N q, p q, u k M Il viet alors, sachat que la suite v N est décroissate de limite ulle doc positive, q q v k u k S k v k v k+ + S q v q+ + S p v p k=p k=p M v q + v p + v q + v p = Mv p lim v = doc ε >, N N, p N, p N Mv p ε Nous e déduisos ε >, N N, p, q N q +, q p N v k u k ε La suite de k=p terme gééral v k u k est ue suite de Cauchy qui coverge car E est complet k= La série u v est doc covergete Joseph Di Valeti Exercices corrigés k=p k=p 8

15 CHAPITRE INTRODUCTION Exemple d applicatio q expipx expiq + x = si expix expikx = expix k=p q p + = si expix = expipx expiq + x p + q si q p+ = exp expix x x si x x q Nous avos doc pour si, expikx si x k=p E utilisat le résultat précédet ous e déduisos que les séries v cosx et v six sot covergete pour x o cogru à modulo π La série v six coverge aussi pour x cogru à modulo π et la série v cosx est de même ature que v pour x cogru à modulo π doc la série v six coverge pour tout réel x et la série v cosx coverge pour x o cogru à modulo π et est de même ature que v pour x cogru à modulo π Séries de Bertrad : Soit la série 9 u avec u = u = et pour, u = β sot des réels α l β Cette série coverge si et seulemet si α > ou α = et β > Preuve Supposos α > Soit γ ], α[ u = o γ Supposos α < lim + u = doc lorsque ted vers +, = o u La série u est divergete La série u est covergete où α et lim u γ = doc lorsque ted vers +, + supposos α = et β l β l + = l + β l β doc lorsque ted vers β l β l + β +, [ β l + + o β l + = l l] β l + β soit ecore = l β l + β 9 Dite série de Bertrad β + o ll + β + 9 β l β

16 CHAPITRE INTRODUCTION La série l β l + β et la série l β sot doc de même ature ; elles coverget si et seulemet si β > Supposos α = β = l + ll + ll = l Lorsque ted vers + ous avos l doc ll + ll = l + l + o c est-à-dire l ll + ll + l La série l est doc divergete Fialemet la série u coverge si et seulemet si α > ou α = et β > Nous aurios pu utiliser les itégrales pour obteir la répose E effet soit f : x [, + [ R Pour β, f doc la série diverge l β l β Pour β >, f est cotiue mootoe, la série de terme gééral f coverge si et seulemet si f est itégrale x [ ] x β Pour β, ftdt = lx β x [ ] x Pour β =, ftdt = llx f est itégrable si et seulemet si β > d où le résultat

17 Chapitre Séries, séries de foctios Produits ifiis Soit a N ue suite complexe O pose : P = a k O dit que a est coverget si P N coverge vers l O ote alors : l = + = a Si N /, a, < / a =, et si la suite a a ue k= limite o ulle, o dira que le produit ifii coverge de valeur ulle Das la pratique o remplacera les premiers termes par et o appliquera la défiitio géérale + u est dit absolumet coverget si + u coverge a Motrer que si u coverge alors la suite u N coverge vers Vérifier que la réciproque est pas exacte b Soit u N ue suite de ombres complexes tous différets de - e fait il suffit qu ils le soiet à partir d u certai rag Motrer l équivalece suivate : + u coverge ε >, N N, p, q N q, q > p N + u ε k= k=p+ Motrer : + u absolumet covergete + u coverge c Supposos N, u R + Motrer que u coverge si et seulemet si lu coverge d Supposos N, u > et de sige fixe Motrer que + u coverge si et seulemet si u coverge

18 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS e Supposos N, u + R et u covergete Motrer : + u coverge si et seulemet si u coverge Nature des séries suivates de termes gééraux u est tel que u est défii : u = asi asi, a >, u + a a =, α u = et N, u = cos π l, u = cos, l u = cos π a + b, u = a!, u = a + b a, b R +, u = si π + a + b, u = α u = acos α >, u = a >, u + a = p α, β u = u = k= positifs, u = ta u = x α + x dx, u =, u = α+ x k α x R, u = asi π 4 + α + + α a + asi ata t + t b + dt α R,, α >, u = cos a,!, a >, u = + +, k + + a u = siπ α, o pourra utiliser α u = acos 3, u = cost dt, u = u = α lt dt α R, + t u = f avec f de classe C, fx et k= p= a et b strictemet siπ x dx, x α f x lim x + fx = λ <, u = p, p est le ième ombre premier ; p =, p =, p = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, ; o pourra calculer pk, k=

19 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS u = 3 π cos, u = π 3 3 si o pourra calculer les sommes 3 partielles, k k u = f où f est ue foctio réelle de classe C défiie sur [, ], k= u = cos π a l, u = α où a N est strictemet po- a k sitive, u = u = u = i dt + t t, u = ia i i= i i= k= x + x cosx dx, u + x α+ = α où a i est covergete, 3 a Soit x ue série complexe covergete + x α+ dx, u = + t dt, Soit u N ue suite complexe telle que u u + soit covergete Motrer que la série u x est covergete b Soit u N ue suite complexe telle que pour toute série complexe x, la série u x coverge Motrer que la série u u + est covergete O pourra raisoer par l absurde 4 Soit f :], [ R ue applicatio cotiue par morceaux itégrable Soit, pour N, u = x fxdx Motrer que la série u est covergete, de somme 5 Soit f ue applicatio de [, ] das R + cotiue O pose I = pour N, u = t ftdt fx + x dx ft dt et t Motrer que u coverge si et seulemet si I existe et qu e cas d existece I = = u 6 Soit u N ue suite réelle positive Motrer que les séries de termes géé- U réel positif est u élémet de R + ; u élémet de R + est dit strictemet positif et u élémet de R est dit strictemet égatif 3

20 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS raux : u u, + u + x e dx et l + u sot de même ature 7 Soit u ue série divergete à termes positifs O pose pour tout N : v = u, w = u u u, x =, y + u + u + = u + u Étudier les atures des séries v, w, x, y 8 a Soiet u N et v N deux suites réelles N, u, v O suppose u et v covergetes Quelle est la ature de la série u v? b Soit u N ue suite telle que N, u O pose pour N, v = Motrer que u + et v e sot pas toutes les deux u covergetes 9 Soiet u N et v N deux suites réelles avec v = et u + u + u Quelle est la ature de la série v e foctio de celle de u Soit α> Soit u ue série covergete, u R + u Motrer que u α coverge Soit u N ue suite > telle que lim + a Motrer que u diverge b O pose S =, et N, S = k= u u k = l > k= u k, v = S S, k= w = u v + + v Motrer : lim = l + ; + w + + w l e déduire : ku k + l + u Soit u ue série covergete avec N, u R + a Nature de u + + u b Soit N Motrer que l! l + O pourra comparer lk avec k k ltdt 4

21 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS! E déduire + e c Soit, pour N, v = ku k Soit p N, p < k= Vérifier que l o a v p ku k + u k k= k=p+ E déduire que la suite v N coverge vers d Calculer, pour N v k, k + k= e Soiet x i i N ue famille de réels positifs Motrer que l o a la relatio x i avec x i = iu i f Motrer que k= g Applicatio : soit série u + + u k= u k i= x i Appliquer ce résultat i= coverge et a ue somme majorée par e = u u, u > ue série covergete Motrer que la coverge et a ue somme iférieure à e 3 Soit a N ue suite de réels > telle que a diverge O pose pour N, S = a k, u = a et v = a S S Étudier la ature des séries u, v 4 Soit u N ue suite de réels strictemet positifs Soit v N la suite défiie u par N, v = u + + u Quelle est la ature de la série v α? O = u pourra comparer avec l itégrale etre S et S de x x α où S désige la somme partielle d ordre de la série de terme gééral u 5 Soit u N ue suite réelle défiie par : u R et pour N, + u = u + Motrer que u diverge 6 O cosidère, sur C, l équatio x 3 x = Que dire de ses racies? Soit α la racie réelle Soiet β et γ ses deux racies o réelles O pose, pour N, u = α + β + γ et v le reste de la divisio euclidiee de u par 4 Motrer que la suite v N est périodique O pourra trouver ue relatio etre u +3, u + et u 5

22 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Étudier les atures des séries si π u, cos πu Étudier les séries : si π α, cos π α 7 Nature de la série u où u est égal à lorsque est le carré d u etier, sio? 8 Quel est l esemble de covergece de la série 9 O pose, pour N, v = R + k= u x + y, x, y R? où u N est ue suite d élémets de + u k Quelle est la ature de la série v? E otat Π = v e foctio de Π et Π + u k, exprimer Soit u N la suite défiie par u R et pour, u + = siu Nature de la série u Soit u N la suite défiie par u et pour N, u + = + u Nature de la série u a Soit u N ue suite positive de limite ulle Soit v N le terme gééral, positif, d ue série covergete ; o suppose que u + u + v Motrer que la série de terme gééral u est covergete b Soit a N ue suite décroissate de limite ulle O suppose que la série a est covergete Motrer que E a est covergete 3 Soit f ue foctio strictemet positive défiie sur R + de classe C telle que f x lim x + fx = a Étudier la ature de la série f b Doer u équivalet, lorsque ted vers +, du reste d ordre de la somme de la série 4 Soit u ue série, réelle ou complexe, covergete Motrer, à l aide d exemples, que la série u 3 peut être semi-covergete, absolumet covergete ou divergete 5 Soit u ue suite décroissate telle que u est covergete Motrer que u ted vers quad ted vers l ifii Joseph Di Valeti Exercices corrigés 6 k=

23 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 6 Soit a ue série complexe ; soit ϕ ue applicatio strictemet croissate de N das N ; soit efi b = ϕ k=+ϕ ϕ a k, pour et b = a k a Motrer : a coverge b covergete et k= = a = b Si la suite a N coverge vers et ϕ + ϕ est boré alors la réciproque est vraie 7 Soit p N Soiet α,, α p p réels doés Pour N, o pose a = α k où k est le reste de la divisio euclidiee de par p Quelle est la ature de a? 8 Soit x = k= équivalet de x λ 9 Soit, pour N, x = dire de : = b + k O ote λ = lim + x ; détermier λ, doer u lim x? + k= 3 Soit u R + pour N, O suppose u + + Nature de la série u + k k Motrer que : lim + x = Que 3 a Soit u R + pour N, O suppose u + la série u diverge u = α + o b O suppose qu il existe A > tel que pour N,, Motrer que la série u coverge u quad Motrer que u + u A 3 Soit u N ue suite réelle strictemet positive O suppose que lorsque ted vers + o a u + u = α + v où v est absolumet covergete O pose, pour N, b = l α u et a = b + b a Étudier la série a et e déduire l existece d u réel A > tel que λ u + α t x b Soit f : x ], [ dt Motrer que f est bie défiie t et que l o a : fx = = + +! 7 x k k=

24 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 33 Soit, pour N,, S = k= k k Détermier, e étudiat S, u équivalet de S quad ted vers + Soit A = + t dt Quelle est la limite l de la suite A N? t t Motrer que A l = + t dt = S Nature de la série de terme gééral A l dt 34 Soit I = + t 3 Calculer I + I E étudiat I+ l, motrer que la suite I N coverge vers I 35 Soiet a, b deux réels o élémets de Z Soit la suite u N telle que u + = + a u + b a Doer ue coditio écessaire et suffisate pour que u coverge O suppose maiteat cette coditio réalisée b Motrer que la suite u N coverge vers 36 Soit ϕ ue applicatio ijective de N das N O pose pour tout N, u = ϕ Motrer e utilisat le critère de Cauchy que la série u diverge 37 Calculer = 4 + ; o pourra remarquer que 4 + = t 4 dt 38 Soit α = + 5 Étudier la ature des séries de termes gééraux : u = π + si 3 α ; v = π + cos 3 α O pourra remarquer que α est racie du polyôme x x dot l autre racie sera otée β 39 Soit u N ue suite réelle, soit U = u k sa somme partielle O k= suppose pour, U + U Motrer que la série u est covergete 4 Soit a N ue suite réelle covergete O pose : b = C a k k a Motrer que la suite b N coverge b Soit B = b k Exprimer B comme combiaiso liéaire des A p = k= 8 k= p a k k=

25 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS c Motrer que si A N coverge, B N aussi Comparer 4 Soit pour, u = a Quelle est la ature de la série u? = a et = b b Soit v N la suite défiie par v = et pour, v = u Quelle est la ature de la série v? 4 Soit α >, o pose pour, u = α, S = Quelle est la ature de la série R S? u k et R = k= k=+ 43 Soiet a C et λ N ue suite croissate d élémets de R + O suppose que la série a exp λ z coverge pour z = z C Motrer qu elle coverge das D k = {z C, Rez z > } ; la covergece état uiforme sur la partie de D k vérifiat Argz z a avec < a < π 44 a Soit u = u? b Soit v = + cosb l Motrer que u v = u k cosb l t dt où b R Quelle est la ature de la série t + t c Quelle est la ature de la série v? d Quelle est la ature de la série z = expz l 45 Soit a ue série covergete à termes réels a Motrer que la série a + coverge cosb l t + b sib l t dt t? où z C z est z b Étudier la covergece de la série v k avec v k = k + quelle est sa somme? défii par + =k+ a + 46 Soit α N ue suite d applicatios d u esemble o vide D à valeurs réelles Soit a N ue suite d applicatios de D das C Pour chaque x D, α x N est ue suite décroissate La suite α N 9,

26 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS coverge uiformémet vers la suite a N est telle qu il existe K idé- pedat de x et vérifiat : a p x K Motrer que la série α a coverge uiformémet sur D Applicatio à la série : expix + x p= 47 Soit a N ue suite d élémets du K-espace vectoriel ormé complet E O suppose que la série a est covergete Étudier la covergece, la covergece uiforme, de : x R + x + x a R Cotiuité de la somme O pourra poser, pour N, R = k=+ 48 Soit u : D R Pour chaque x D, u x N est ue suite décroissate La suite u N coverge uiformémet vers Motrer que u est ue série qui coverge uiformémet sur D Applicatio aux séries : a k + cosx, si x 49 Soit A ue partie o vide de R Soiet f N et g N deux suites de foctios défiies de A das R O suppose que la suite g N est décroissate et qu il existe M R + tel que N, g M O suppose que la série de foctios f coverge uiformémet Motrer que la série de foctios f g coverge uiformémet 5 Soit ε N ue suite complexe qui coverge vers O suppose que la série de terme gééral ε ε + est absolumet covergete Soit a N ue suite d élémets de l espace vectoriel ormé complet E telle qu il existe ue costate A vérifiat : N, a k A k= Motrer que la série de terme gééral ε a est covergete O pourra poser A = a k k= 5 a Soit, pour x et pour N, u x = exp + x Covergece et somme de la série u b La covergece est-elle uiforme sur R +? sur [a, + [, a >? 5 Soit fx = = x + x + + x, x f est-elle défiie? Quelle est la ature de la covergece? Pour =, x + x est égal à

27 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 53 O pose, lorsque cela existe, fx = Étudier la cotiuité de f 54 Soit Sx = = x exp x = + x a Doer l expressio de S à l aide des foctios usuelles b La covergece est-elle uiforme? 55 O pose pour tout x R, fx = = Étudier la cotiuité et les variatios de f 56 Soit fx, y = R = shx ch ch + x exp x + y Motrer que f est de classe C sur 57 Motrer que pour α >, f α défiie par f α x = = et cotiue sur R + Étudier lim f x αx O pourra ecadrer par deux itégrales > 58 Soit x > Soit fx = = x α exp x est défiie Étudier la cotiuité de f et lim x + fx x + O pourra retracher x 59 O défiit ue suite u N d applicatios de [, ] das R défiies par : u x = x,, x N [, ], u + x = l u x Nature de la série u x? o pourra remarquer que u + u et utiliser les séries alterées 6 Motrer : + lx x dx = = 6 Motrer que pour y >, o a : 6 Soiet f x = x y + expx dx = y+ = + + x et fx = f x = a Motrer que f est cotiue sur R * + α x y exp xdx b Détermier des équivalets de fx au voisiage de et + Motrer : x ftdt existe = gx

28 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 63 Soit fx = Écrire gx comme la somme d ue série Détermier lim x > gx f est-elle itégrable sur R +? = sur R Étudier lim f x x 64 Soit fx = = atax Motrer que f est cotiue sur R, de classe C x six Calculer f x E déduire : fx = ata Calculer : = si Motrer que f est de classe C sur ], [ x si x x cosx +, si = 65 Cotiuité et dérivabilité de : f : x = Étudier lim fx Motrer pour x > : gx = fx x >, g : x + + x x = x 66 Trouver u équivalet quad x par valeurs iférieures de fx = O pourra ecadrer par deux itégrales et utiliser = x exp u du = π 67 Trouver u équivalet quad x, et quad x + de fx = + > shx = Pour le cas ifii, o pourra étudier la ature de la série de terme gééral expx shx 68 Cotiuité de la foctio f défiie par : fx = = exp x O + pourra comparer le terme gééral de la série avec exp x 69 Trouver u équivalet, lorsque x ted vers et lorsque x ted vers +, de fx = l + x O admettra que π = π 6 = 7 Soit, pour x, fx = >x πx si a Motrer que f est cotiue par morceaux = b E u poit de discotiuité, calculer le saut de f c Détermier u équivalet, lorsque x ted vers +, de fx

29 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 7 Soit a N ue suite croissate de réels strictemet positifs qui ted vers + O pose, pour x >, fx = = exp xa a Motrer que f est cotiue, itégrable sur R + avec fx dx = = a b Étudier les cas a = +, a = + lt l t 7 Motrer que t ], [ R est itégrable et que l itégrale est t égale à : Soit fx = = l + x x = Trouver u équivalet de fx quad x + O pourra calculer fx+fx e décalat l u des deux idices d u cra 74 Soit γ = la limite k= k l Motrer que γ N est covergete, o ote γ O ote, lorsque cela existe, ζx = Motrer : lim x > ζx + x = avec x réel x = γ O pourra utiliser ζ + x 75 O suppose a x absolumet covergete pour u réel x doé + À-t-o : a x a = exp t! t x dt? = 76 Motrer que la série double si α > = dt t s+ est covergete si et seulemet m + α m, N 77 Soit α > ; o pose f x = exp x α et si la série coverge fx = a Quel est l esemble de défiitio de f? f est-elle cotiue? b Quel est le comportemet de f e +? Doer u équivalet de f quad x ted vers 78 a Quelle est la ature de la série b La foctio f défiie par fx = R +? 79 Motrer que l o a : exp α x β où x R +? = t + expt dt = 3 3 = f x exp α x β est-elle itégrable sur =

30 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 8 Étudier la covergece de la série x exp x l où x R 8 Soit Sx = = x exp x a Quel est le domaie de défiitio de S? b La covergece est-elle uiforme, ormale? c Doer l expressio de S à l aide des foctios usuelles 8 Soit, pour N, f l applicatio défiie sur R + par f x = x exp x! a Étudier la covergece de la suite f N b Étudier la covergece de la série f 83 Éxistece de J = Motrer que J = S lthtdt et Sx = = 84 Quelle est la ature de la série si si? 85 Soit m N, m Soit la suite u N défiie par : exp + x + u =, u = lorsque est pas divisible par m et u = x lorsque est divisible par m Motrer qu il existe ue et ue seule valeur de x telle que la série de terme gééral u soit covergete 86 Nature de la série de terme gééral u avec u = et pour N, ] u = [ α + + où α R 87 Soit N ; posos : f x = + x a f est-elle itégrable sur R +? b Calculer lim + f xdx c Retrouver la valeur de l itégrale de Gauß exp x dx 88 Soit a ue série complexe ; soit ϕ ue applicatio strictemet croissate de N das N ; soit efi b = ϕ k=+ϕ ϕ a k, pour et b = a k a Motrer : a coverge b covergete et k= = a = b Si la suite a N coverge vers et ϕ + ϕ est boré alors la réciproque est vraie 4 = b

31 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 89 Soit u N ue suite réelle décroissate covergeat vers Nous supposos qu il existe ue bijectio strictemet croissate ϕ de N das N telle que k N, u ϕk ϕk Motrer que la série de terme gééral u est covergete 9 Soit E l esemble des foctios cotiues de R das R, T -périodiques Soit f E, soit a N ue suite > telle que la série a coverge O pose f = f et pour N, f x = x+a f tdt a a Motrer que f E et que la suite f N coverge uiformémet vers ue foctio ϕ Quelle est la classe de ϕ? 9 Soit X l esemble des applicatios uiformémet cotiues et borées de R + das C Soiet N et u X a Motrer qu il existe u et u seul élémet v de X tel que v = u + v b O ote T u l élémet v défii précédemmet ; o muit X de la orme ifiie Motrer que T L C X ; calculer T Motrer que lim T u = u + c Soit D l esemble des foctios de X dérivables Motrer que D est dese das X 9 Soit E = C [, ], R mui de la orme Soit L C E l espace complet des edomorphismes cotius de E que l o mui de la orme subordoée Soit ϕ l applicatio de E das lui-même défiie par x [, ], ϕfx = x ftdt a Exprimer 3 ϕ à l aide d ue seule itégrale Motrer que ϕ L C E, calculer ϕ b Motrer que ϕ coverge das L C E, et calculer sa somme c Motrer que pour toute foctio g E il existe ue uique foctio f E telle que pour tout x [, ], gx = fx x x ftdt 93 Soit E u K-espace vectoriel ormé complet, soit u L C E, l espace des edomorphismes cotius de E ; détermier la limite de la suite v N défiie par N, v = Id E + u 94 Soiet E u C-espace vectoriel ormé de dimesio fiie, f GLE ; motrer qu il existe g LE telle que f = expg O motrera qu ue matrice complexe est semblable à ue matrice diagoale par blocs ; chaque bloc état du type λi + T où T est ue matrice ilpotete 3 ϕ désige la composée fois de ϕ 5

32 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 6

33 Chapitre 3 Corrigés séries, séries de foctios Produits ifiis a Pour N P, = u doc la suite P P N ayat ue limite l C il est clair que la suite u N coverge vers Soit u = exp + u k = exp k= + coverge vers k= k b Supposos que + u coverge Soit P = et la limite est ifiie alors que la suite u N + u k La suite P N coverge vers l C Il existe doc a > Miorat de la suite P N P N est ue suite de Cauchy de ombres complexes doc ε >, N N tel que p, q N, q p N P q P p ε Nous e déduisos pour q > p N, P q q P p ε c est-à-dire + u ε k= k=p+ Réciproquemet, supposos ε >, N N, p, q N q, q > p N + u ε k=p+ Avec ε =, il existe N N tel que pour p > N o ait P p P N soit ecore P p P N P N Il viet doc P N P p 3 P N Notos : α = mi { P k, k N, k N }, P N et 3 β = max { P k, k N, k N }, P N Nous avos doc N, < α P β Soit ε > Il existe, par hypothèse, N N tel que pour p, q N,

34 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS q > p N o ait P q P p ε β Nous e déduisos P q P p ε La suite P N est doc ue suite de Cauchy et coverge ; sa limite l est miorée par α > doc le produit ifii + u coverge Redémotros u résultat cocerat les foctios symétriques des racies d u polyôme Soit a i i N ue famille de ombres complexes Notos pour k N, σ k = a j a j a jk et σ = Nous avos alors X + a k = k= j <j < <j k N σ k X k k= Cette relatio est vraie pour = Supposos-là prouvée jusqu au rag + X + a k = X + a + k= = σ a + + σ k X k k= σ + i + σ i a + X i + X + i= Notos, pour i N, λ + i = σ + i + σ i a + λ + i = a j a j a j+ i + a j a j a j i a + j <j < <j + i = j <j < <j + i + j <j < <j i a j a j a j+ i = σ + i λ + = a a + Le résultat est doc prouvé au rag + Nous avos doc e particulier + a k = σ k == σ k k= k= k= Nous obteos alors + a k σ k k= k= σ k a j a j a jk j <j < <j k N E réutilisat la relatio vue plus haut appliquée aux coefficiets a k ous obteos + a k + a k k= k= Cosidéros alors u produit ifii + u absolumet coverget E utilisat tout ce qui précède ous e déduisos ε >, N N, p, q N q, q > p N + u k ε k=p+ q D après ce que ous veos de démotrer, il viet alors + u k ε Le produit ifii est doc coverget k=p+ 8

35 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS c Supposos N, u > S = lu k = l u k = lp k= S N coverge l C, lim S = l + L équivalece est doc démotrée k= lim P = expl > + d D après le résultat précédet, + u coverge si et seulemet si la série de terme gééral l + u est covergete u est de sige fixe et l + u u doc l + u et u sot de même ature + doc + u coverge si et seulemet si la série de terme gééral u est covergete e Supposos que la série u soit covergete Lorsque ted vers +, l + u = u + Ou La série de terme gééral l + u est alors covergete doc le produit ifii + u coverge Supposos que le produit ifii + u coverge Lorsque ted vers +, l + u = u u + ou u + ou + u doc l + u est covergete puis le produit ifii + u coverge a > u = asi asi + a a Lorsque ted vers +, asi = asi + a = asi a + a + o a a a = a + o a a + coverge e tat que série alterée dot le terme gééral a so module décroissat de limite ulle Lorsque ted vers + l + coverge, + = O 3 3 coverge et diverge doc l + + diverge alors que coverge diverge coverge alors que + diverge E effet, lorsque ted vers +, l + + = + O la série de terme gééral l est bie covergete doc le produit ifii coverge + + 9

36 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Nous e déduisos u = asi + a u coverge si et seulemet si a > asi a + a La série est ue série alterée Le terme gééral ted clairemet vers quad ted vers + l u = + l Posos, pour t, ft = t + t lt f t = t + lt f t t t > doc f est croissate et N R est décroissate La série alterée est doc covergete u = et N, u = cos π l Lorsque ted vers l ifii ous avos l = o doc 4 4 π l = π π π 3 π 4 + o π cos π l = + si 3 + π 4 + o π = π 4 + o = + π 3 + O La série + π 3 est ue série alterée covergete et la série est absolumet covergete doc la série cos π l est covergete α u = cos l Pour α, lim u = doc la série u diverge + cos l Supposos α > l u = l + α l l cos l + l doc l u lim + u = La série u coverge α + l et 3

37 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS u = cos π a + b = + si π a + b Lorsque ted vers +, u = + πa + O + πa πa est ue série alterée covergete car est décroissate et coverge vers u est doc la somme de deux séries covergetes ; N elle est covergete u = a! Si a = la série u est clairemet covergete Supposos a Soit N u + = a + u + lim = u a + u e La foctio expoetielle est covexe doc la courbe d équatio y = expx est au dessus de la tagete e tout poit ; e particulier x R, +x expx Nous e déduisos N, + + exp puis e et efi N, u + u a e N, u + = u k= u k+ u k a doc N, u e e a e Si a < e la série u est covergete Si a e, le terme gééral u e ted pas vers doc la série est divergete u = a + b a, b R + Si b =, + b + et u Si b, + b + b + = + + Supposos b u + u + + a a b + doc u + lim = a + u b Si a b, le terme gééral u ted vers l ifii doc la série u diverge Si a < b alors d après le critère de d Alembert la série u coverge Fialemet la série u coverge si et seulemet si a < b u = si π + a + b Lorsque ted vers +, + a + b = + a + b a 8 + O 3 3

38 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS + 4b a 8 + O et Doc lorsque ted vers +, + a + b = + a πa u = si + π4b a + O 8 Si a Z, u N e coverge pas vers et la série u est pas covergete Supposos a = p Z Lorsque ted vers +, π4b a u = +p si + O = +p π4b a + O 8 8 La série u est alors covergete Nous pouvos remarquer que, das ce cas, la covergece est alors absolue si et seulemet si 4b a = u = Notos, pour N, S = Pour N N, S N+ = + S N+ = + N p= La suite de terme gééral u k= N p= p p + p + p p + p + p + la série de terme gééral p p + p + p + + N+ N + et est décroissate de limite ulle doc est ue série alterée covergete Nous e déduisos que la série u est covergete et = u = = + acos + p= p p + p + α α > Pour x [, ] ous avos acos x = asi Nous obteos doc N, u = α u + α u = asi x + u coverge si et seulemet si α > a a > α p= p p = l, p= p p + = + ata = π + 4 doc = = π 4 l 3

39 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS l a + a Si a > alors lim u =, Si a = alors lim u = + + e Supposos a < l + l = a a l l lim a = doc + + a lim l + l + =, lim a a l a = et lim + u = La série u est doc covergete si et seulemet si < a < u = p α β p= Supposos α < + l a a p α possède ue limite réelle l strictemet positive lors p= que ted vers + Nous avos alors, u et seulemet si β > Supposos α = p l doc u + p= u coverge doc si et seulemet si β > Supposos α > u + p= p α + + l β u coverge doc si + l β α + α+ avec K > doc α + u β α coverge doc si et seulemet si β α > x α u = + x dx L itégrale existe si et seulemet si α > x α x + + x x xα doc u + u coverge si et seulemet si α > x α dx = α α u = α+ Si α, le terme gééral u e coverge pas vers Supposos α > Pour N, otos S = u k Soit N, S = p= k= p α+ p + α p= 33

40 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS S + = p= p α+ p + α p= La série de terme gééral p α+ est covergete doc les suites de termes gééraux S et S + coverget et ot la même limite si et seulemet si α > Das ces coditios la suite de terme gééral S coverge et la série u coverge si et seulemet si α > das ces coditios ous avos = u = p= p + α+ p= u = ata t dt α R α + t La foctio t R + atat atat + t u + t + π p + α R + est pas itégrable doc sachat que + t π ous avos + t dt + t = π l + π + l π l Nous e déduisos u + α Nous avos vu plus haut les série de Bertrad ; la série u coverge doc si et seulemet si α > u = x k= k α où α R + et x R Pour x =, la série u coverge Supposos alors x R Notos, pour N, S = k α Supposos α > k= La suite de terme gééral S a ue limite réelle l > u déduisos u coverge si et seulemet si x < Supposos α = Comme ous l avos déjà vu das d autres exercices, S u + x l et lim u + + u = x Pour x < la série u coverge Pour x > la série u diverge + + l x Nous e l doc Pour x =, e utilisat l exercice cocerat les séries de Bertrad ous e déduisos que la série u diverge 34

41 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Pour x =, u = La suite de terme gééral S est croissate de S limite + doc la série alterée u coverge Supposos α < Notos, pour N, λ = α α Lorsque ted vers +, λ = α + o + α λ + La série de terme gééral λ < est divergete doc Λ = Λ + soit ecore S u + u k= + α α c est-à-dire α α et u α α vérifie k= + α + α x α + α k= λ k α x doc pour x < la série u coverge, pour x > la + série u diverge Pour x = comme plus haut la série u est uesérie alterée covergete α Pour x =, u + doc u α coverge si et seulemet si α < E résumé ous avos : La série u coverge absolumet pour x < et α R, la série u coverge absolumet pour x = et α <, la série u coverge o absolumet pour x = et α Das les autres cas la série u diverge u = asi asi, a et b strictemet positifs a + b + Nous pouvos utiliser deux résultats pour coclure Pour x [, ] ous avos asi x = π x asi Nous avos aussi pour x cosasix = siacosx = x E utilisat la première relatio ous avos lorsque x ted vers, asi x = π x + O x x Avec x = a ous obteos lorsque ted vers +, a + asi = π a a + a + + O et aussi, 3 asi = π b b + b + + O 3 a a a + = + O 35

42 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Fialemet lorsque ted vers + ous avos u = La série u diverge sauf das le cas a = b E utilisat la secode relatio ous avos siu = a + b + b + a + b a = a + b + bb + aa + = b + b a + a + a + b + O 3 Lorsque ted vers + ous avos : b + b = b + b 4 + O 4 = a + b + O + a + b 5 Nous obteos doc siu = a + b b + b a + a + O = b a + O [ 3 π ] Il est clair que u, doc u = asi b a + O puis 3 u = b a + O Nous avos le même résultat que plus haut 3 π u = ta 4 +, α > α Lorsque x ted vers, π ta 4 + x = + tax tax = + x + ox x + ox = + x + ox + x + x + ox = + x + x + ox Lorsque ted vers + ous avos doc u = α + α + o α état >, la série alterée de terme gééral α α est covergete doc la série de terme gééral u coverge si et seulemet si la série de terme gééral + o l est ; c est-à-dire si et seulemet si la série de terme gééral α α est covergete c est-à-dire si et seulemet si α > α u = cos a 36

43 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Lorsque ted vers + ous avos cos lcos = + o 3 Nous avos doc lorsque ted vers + u = exp lcos a = e + o = o, 5 et la série di- lim u = a = Das ce cas u + e + e verge Fialemet quel que soit a la série diverge u = + +, a > + + a Lorsque ted vers +, l + = l + l + + = + + O 3 = 3 + O 3 l + = 3 + O + + De même l + + a + = exp l 3 a + = e O = l + + a l + a = + a + a a + a + O l + = a + + O + a + = e a + + O + a Nous avos doc, lorsque ted vers +, a u = e + a + + O La série u coverge si et seulemet si a =! u = + + k k= Joseph Di Valeti Exercices corrigés 37 3

44 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS u s écrit aussi, pour, u = + k + k k= + t + + t + l dt = t l t t Nous avos 3 : t l t + + t + t [ t + t + + t + dt = t l + t + t t + + Posos, pour, v = l + t + t l R est décroissate doc t + + l k= + t + l dt t v k c est-à-dire : k= t + + t + t = t + doc l + v k Il viet alors + + v k + l + + l lu = l v k k= ] dt k= Il viet immédiatemet : u exp et exp 5 doc u 5 exp + La série de terme gééral exp est covergete car lim + exp = u = siπ ; α, α Soit f ue applicatio de classe C défiie de [a, + [ das C O suppose que f est itégrable Soit u etier aturel au mois égal à a Notos, pour k, x k = k+ k t k f tdt x k k+ k f t dt + t + 3 l = Argsh t t t R + t + t doc la dérivée de t > Argsh R t 38 est

45 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS D après l hypothèse, k= k+ k f t dt = + La série x est doc absolumet covergete E itégrat par parties ous obteos x k = fk + x k = fk ftdt k= k= Si la suite de terme gééral, pour, fk coverge k + f t dt k+ k ftdt f t dt ftdt coverge alors la série Posos ft = siπ t f est dérivable sur R t + α Pour t > ous avos f t = π cosπt α siπ t t Pour t, f t π + α t α+ Pour α >, f est itégrable x y x t α+ siπ t siπu dt = du = t α u α πα [ ] y sit cost y dt = + β t β t β πx π cost dt t β+ siv dv vα cost cost Si β >, t [, + [ R est itégrable t β+ tβ+ t β+ y sit + cost Nous avos doc lim dt = cos + dt y + t β t β+ Pour α > x ous e déduisos que siπ t dt a ue limite réelle 4 quad t α x ted vers + E utilisat ce résultat, et ce qui a été vu plus haut, ous e déduisos que pour α >, la série siπ est covergete α Pour α =, f est pas itégrable E effet f t = π cosπ t t Supposos que t cosπ t t siπ t t t R soit itégrable 4 C est-à-dire : l itégrale impropre siπ t t α dt est covergete 39

46 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS t cosπ t t est pas itégrable Or + cosπ t qui est cotradictoire R est doc itégrable et t + cosπ t t t = cosπ t cosπ t t t Nous e déduisos bie que f est pas itégrable sur [, + [ Posos gt = cosπ t g t = π siπ t t t cosπ t t t x x [ ] cosu x siu De même, gtdt = du = u u x x π gtdt R possède ue limite e + π x + π siu du u Nous e déduisos doc comme plus haut que la série g est covergete E utilisat la formule de Taylor avec reste itégral ous avos + ftdt = f + f + + Pour α =, f t = π t cosπ t f est doc itégrable + siπ t dt = t π f k = π cosπ k k covergete + π+ π t f tdt π 4t t siπ t + 3 4t t siπ t siudu = π + R siπ k k k La série de terme gééral f est doc + + ftdt = a pas de π gééral f est divergete La série siπ est doc divergete 3 u = acos u = asi + u = cost dt Pour N, otos S = la série est doc covergete ce limite doc la série de terme u k cost = Reexpit Nous avos alors k= S = Re expikt +π dt = Re k= expi+t + dt expit + 4

47 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS expi + t Notos σ = dt expit + S = Reσ + Re + expit dt Motros que la suite σ N coverge vers σ = expi + u + expiu u du u ], ] + expiu R est cotiue, itégrable doc pour ε > u il existe α ], [ tel que α + expiu u du ε Posos fu = + expiu u f est de classe C sur [α, ] [ expi + ufudu = i ] α + fu α + i expi + uf udu + α Nous obteos doc expi + ufudu α + sup fu + α sup f u = K u [α, ] + u [α, ] + Nous obteos 5 lim + α expi + ufudu = doc il existe N N tel 5 Nous pouvos gééraliser au cas d ue foctio cotiue par morceaux Soit f ue foctio cotiue par morceaux défiie sur ]a, b[ a < b +, à valeurs das C, itégrable alors expitftdt = lim + Supposos d abord que f est cotiue sur l itervalle fermé boré [α, β] ε Soit ε > Il existe ue foctio polyomiale P telle que sup ft P t t [α, β] + β α β [ expitp tdt = i ] β α expitp t + i β expitp tdt α α β Il viet alors expitp tdt sup P t + β P t dt = K t [α, β] β α β α α β expitftdt = expitft P tdt + α expitftdt ε + K β α α expitp tdt doc Il existe N N tel que pour tout etier aturel N o ait K ε doc pour N ous avos β β expitftdt ε puis lim expitftdt = + α α Si f est cotiue par morceaux sur l itervalle fermé boré [α, β], e utilisat la relatio de Chasles 4

48 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS que pour N o ait α expi + u + expiu u du ε Soit ecore pour N, σ ε c est-à-dire lim σ = S + N covergete, de limite Re + expit dt = dt = cost dt = = u = u = α Posos pour x >, fx = x α lt dt α R + t x lt + t dt est doc f est bie défii car t R + lt lt R est cotiue et vérifie lim t + t t + + t = u est défii pour tout N lt x + t lt et est de sige fixe doc lt x t + + t dt lt = x lx x x + x lt Fialemet + t dt x lx x + Nous e déduisos u = α lt + t dt + + α l lim u = α < La série u diverge pour α + E utilisat les résultats cocerat les séries de Bertrad, vus plus haut, u coverge lorsque α < Étudios le cas α < x f x = αx α lt lx dt + x α + t + x ous sommes coduits au résultat précédet doc la limite est ecore ulle Supposos maiteat f cotiue par morceaux défiie sur ]a, b[ a < b +, à valeurs das C, itégrable α Soit ε > Il existe α ]a, b[ et β ]a, b[ α < β tels que ft dt ε b a 3 et ft dt ε β 3 b α b β expitftdt ft dt + ft dt + expitftdt a a β β D après le résultat précédet, lim expitftdt = doc il existe N N tel que pour tout + α β etier N o ait expitftdt α ε 3 b b Doc pour N ous avos expitftdt ε c est-à-dire lim expitftdt = + a 4 α a

49 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS x f lt lx x a le sige de gx = α dt + x + t + x g x = α lx + x + + x lx + + x Supposos < x < α α Sur cet itervalle g x + x a le sige de hx = lx αx + α h x = x + αx + α > ] [ α h est strictemet croissate sur, lim hx =, lim x + x α α < hx = + α ] [ α Il existe doc x, uique tel que hx = α ] [ g α est doc strictemet positive sur x, et strictemet égative sur α ], x [ lim gx =, g est strictemet décroissate sur ], x ] doc g est strictemet x + égative sur ], x [ et f est strictemet décroissate sur ], x ] lim fx = f est strictemet égative sur ], x [ ; ce que ous savios déjà x + u = f N u R + est doc décroissate à partir d u certai rag N x ; ous pouvos appliquer alterées La série u est doc covergete le théorème cocerat les séries u = f avec f de classe C f x, fx et lim x + fx = λ < Quitte à chager f e -f ous pouvos supposer que f e pred que des valeurs strictemet positives car f est cotiue et e pred pas la valeur L hypothèse cocerat la limite ous permet d e déduire qu il existe A > tel que pour x R, x A f x x fx λ f t A Nous e déduisos dt λx A ft λx A c est-à-dire : lfx lfa + soit ecore λa λx λx < fx fa exp exp = K exp λ état strictemet égatif, lim + f = doc la série f est covergete u = p où p est le ième ombre premier ; p =, p =, p = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, 43

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