Exercices corrigés. Joseph DI VALENTIN

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1 Exercices corrigés Joseph DI VALENTIN Javier 3

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3 iii Avat propos Cet ouvrage a pour objectif d aider les élèves de classes préparatoires Ce livre est aussi utile aux élèves des Écoles d igéieur, aux cadidats aux cocours de recrutemet aisi qu à tous ceux qui souhaitet compléter leurs coaissaces e mathématiques Tous droits réservés, Exercices corrigés, Javier 3, Joseph Di Valeti

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5 Table des matières Itroductio Séries, séries de foctios 3 Corrigés séries, séries de foctios 7 4 Séries etières 7 5 Corrigés séries etières 35 6 Séries de Fourier 7 Corrigé séries de Fourier 7 v

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7 Chapitre Itroductio Théorème de covergece domiée et applicatios Soit f ue applicatio e escalier défiie de [a, b] das R Soit ue subdivisio de [a, b] adaptée à f, σ = a, a,, a Nous supposeros que les poits a i pour i N sot des poits de discotiuité pour f Soit i N Supposos fa i fa i + fa i fa i Soit α > tel que a i < a i α et a i + α < a i+ Sur [a i α, a i + α] ous remplaços f par la foctio cotiue affie par morceaux preat la valeur fa i e a i α, fa i e a i et fa i + e a i + α fa i > fa i Soit α > tel que a i + α < a i+ Sur [a i, a i + α] ous remplaços f par la foctio affie preat la valeur fa i e a i et fa i + e a i + α Supposos fa i > fa i + fa i fa i + Soit α > tel que a i < a i α et a i + α < a i+ Sur [a i α, a i + α] ous remplaços f par la foctio cotiue affie par morceaux preat la valeur fa i e a i α, fa i e a i et fa i + e a i + α fa i > fa i + Soit α > tel que a i < a i α Sur [a i α, a i ] ous remplaços f par la foctio affie preat la valeur fa i e a i α et fa i + e a i Supposos fa < fa + Soit α >, a + α < a Sur [a, a + α ous remplaços f par la foctio affie preat la valeur fa e a et fa + e a + α Si fa fa + O remplace f e a par la foctio prologée par cotiuité e a De même, Supposos fb < fb Soit α >, b α > b Sur [b α, b ous remplaços f par la foctio affie preat la valeur fb e b et fb e b α Si fb fb O remplace f e b par la foctio prologée par cotiuité e b Je rappelle que cela sigifie que a = a < a < < a = b et i N, la restrictio de f à l itervalle ]a i, a i [ est costate Pour ue applicatio f ous appelos fx + la limite, lorsqu elle existe, de f à droite e x et fx la limite, lorsqu elle existe, de f à gauche e x

8 CHAPITRE INTRODUCTION f est doc remplacée par ue foctio cotiue g vérifiat g f E étudiat les différets cas ous obteos b ft gtdt α fa i + fa i + + fa i a i= + α + fa + + fa + fb + fb α3 f Soit ε > b a ft gtdt ε pour α choisi suffisammet petit Soit f ue applicatio défiie sur u itervalle fermé [a, b] de R cotiue par morceaux Soit σ = a, a,, a ue subdivisio de [a, b] compatible 3 avec f Pour i N, posos sa i = fa i + fa i, sa = fa + fa et sb = fb fb Soit g la foctio défiie sur [a, b] par : i ga = fa +, gb = fb, i N, ga i = fa i sa k et pour t ]a i, a i+ [, gt = ft = k= i sa k Il est immédiat que g est cotiue k= car la limite e tout poit a i est égale à ga i f g est ue foctio e escalier Nous e déduisos que toute foctio cotiue par morceaux défiie sur u itervalle fermé boré de R est la somme d ue foctio cotiue et d ue foctio e escalier Quitte à remplacer la foctio e escalier par la foctio cotiue costruite comme plus haut ous e déduisos que : si f est ue foctio cotiue par morceaux défiie sur [a, b] R à valeurs réelles, si ε est u réel strictemet positif il existe 4 ue applicatio cotiue F défiie de [a, b] das R vérifiat, F f et b a ft F tdt ε Nous avos vu, à l exercice uméro page 9 du livre exercice le premier théorème de Dii, que si ue suite mootoe 5 d applicatios à valeurs réelles cotiues défiies sur u itervalle fermé boré [a, b] coverge simplemet vers ue foctio cotiue alors la covergece est uiforme Soit f N ue suite d applicatios cotiues défiies sur u itervalle fermé boré [a, b] à valeurs das R +, covergeat simplemet vers la foctio ulle Nous supposos qu il existe K tel que N, f K Nous allos costruire ue suite mootoe d applicatios cotiues covergeat simplemet vers la foctio ulle afi d appliquer le premier théorème de Dii Pour, k N, otos F,k = max {f p} Pour chaque N, la suite F,k p +k k N 3 Cela sigifie que pour tout i N, la restrictio de f à ]a i, a i [ est cotiue et prologeable par cotiuité sur [a i, a i ] 4 Nous aurios pu utiliser les résultats de l exercice page 7 du livre exercice pour obteir ue approximatio de f 5 La suite f N est mootoe c est-à-dire N, f f + ou N, f f + ; ce e sot pas les foctios f qui sot mootoes il s agit là du secod théorème de Dii

9 CHAPITRE INTRODUCTION est croissate Chaque applicatio F,k est cotiue 6 Posos pour, k N, x,k = b a F,k tdt x,k k N est croissate majorée par b ak doc covergete vers u réel l Soit ε > Pour chaque N il existe u etier k tel que pour k k o ait l ε x,k l E particulier l ε b b x,k l Nous e déduisos F,k tdt F,k tdt + ε a a Notos pour N, G = F,k c est-à-dire G = max {f p } p p+k La suite f N coverge simplemet vers doc pour ε > et t [a, b] il existe N N tel que pour tout N, N f t ε Nous avos doc aussi f t G t ε La suite G N coverge doc simplemet vers Costruisos à partir de cette suite G N ue suite mootoe covergeat vers Posos H = mig, G,, G H = G est cotiue Supposos H cotiue alors H + = [mig, G,, G, G + ] = mih, G + = H + G + H G + H + est cotiue Les foctios H sot doc cotiues H N est décroissate, N, H G La suite H N coverge simplemet vers doc la covergece est uiforme et lim + b a G tdt = mih, G + + maxh, G + = H + G + doc G + H + = maxh, G + H maxg, G + H Nous e déduisos b a G + t H + tdt b a maxg + t, G tdt G = maxf,, f +k, G + = maxf +,, f ++k+ Si + k + + k + alors maxg, G + = maxf, f +,, f ++k+ = F,+k+ Si + k + + k + alors maxg, G + = maxf, f +,, f +k = F,k doc maxg, G + = F +k avec k = maxk, + k + b maxg + t, G tdt x,k + ε a Nous obteos fialemet b G + t H + tdt x,k + ε b H tdt a a b a H tdt 6 Soiet a et b deux réels maxa, b = a + b + a b doc si u et v sot deux applicatios réelles cotiues maxu, v est cotiue Soiet u, u,, u applicatios réelles cotiues sur u esemble I maxu, u est cotiue Supposos que pour k < l applicatio U k = max {f i} i k est cotiue alors U k+ = k + et max i {f i} est cotiue max {f i} = maxu k, u k+ est cotiue Le résultat est vrai au rag i k+ 3

10 CHAPITRE INTRODUCTION E additioat ous obteos b a G + t H + tdt N, b a b a = b G t H tdt + G t H tdt ε car G = H a G tdt + ε k= b a ε soit ecore k H tdt La suite H N coverge uiformémet vers doc il existe N N tel que pour N o ait t [a, b], H t ε b puis H tdt ε b a E regroupat ces résultats ous obteos pour N, doc aussi N G tdt 3ε La suite de terme gééral b a b a f tdt f tdt coverge doc vers b a a b a G tdt 3ε Nous e déduisos : soit f N ue suite d applicatios cotiues défiies sur u itervalle fermé boré [a, b] à valeurs das R +, covergeat simplemet vers la foctio ulle Nous supposos qu il existe K tel que N, f K alors lim + b a f tdt = 3 Soit f N ue suite d applicatios cotiues par morceaux défiies sur u itervalle quelcoque I de R à valeurs das R + telle qu il existe ue applicatio cotiue par morceaux ϕ itégrable sur I et t I, f t ϕt O suppose que la suite f N coverge simplemet vers sur I alors lim + I f = L hypothèse de domiatio permet de coclure que les applicatios f sot toutes itégrables Soit ε > doé Il existe u itervalle fermé boré J iclus das I tel que ϕ ϕ ε I J 3 Notos 7 I = a, b et J = [c, d] avec a c d b Nous avos doc ϕ + ϕ ε a, c] [d, b 3 Il viet alors aussi N f + f ε a, c] [d, b 3 puis f f + ε I J 3 ϕ est cotiue par morceaux sur u itervalle fermé boré doc est borée Nous avos vu das la première partie qu il existe ue suite d applicatios cotiues F défiies sur J vérifiat F f et f F ε E utilisat J 3 le résultat précédet ous avos aussi F = doc il existe N N lim + J 7 les parethèses sigifiet que l itervalle peur être fermé ou semi-ouvert ouvert 4

11 CHAPITRE INTRODUCTION tel que pour N, N J F ε 3 Nous e déduisos N, I f ε d où le résultat aocé Soit alors f N ue suite d applicatios cotiues par morceaux défiies sur u itervalle I de R à valeurs réelles qui coverge simplemet vers l applicatio cotiue par morceaux f O suppose qu il existe ue foctio domiate ϕ défiie de I das R itégrable vérifiat t I, f t ϕt f est alors itégrable et lim + I f = L itégrabilité de f proviet du fait qu elle est domiée, elle aussi, par ϕ Appliquos le résultat précédet à l applicatio f f lim f f = doc + f f état majoré par f f ous I I I I avos bie f = f lim + I I 4 Appliquos les résultats que ous veos de démotrer Soit f N ue suite croissate d applicatios cotiues par morceaux défiies sur u itervalle I de R à valeurs réelles O suppose que la suite f N coverge simplemet sur I vers ue foctio cotiue par morceaux f f est itégrable si et seulemet si la suite f est majorée I N et das ce cas lim + I f = Supposos que f soit itégrable Nous avos N, f f doc Supposos que la suite f I I I N f I f f f La suite f est majorée I I N soit majorée Celle-ci est alors covergete de limite l R Soit J u itervalle fermé boré iclus das I La suite f état croissate ous e déduisos que pour tout etier aturel I N f f et f f est itégrable sur J Nous e déduisos e utilisat les résultats précédets que lim f f = f f + J J N, f f f f l f = M J I I Il viet alors, e calculat la limite, f f M J f f état positive et ayat so itégrale majorée par M idépedate de J est itégrable doc f est itégrable 5 Soit f N ue suite de foctios cotiues par morceaux défiies sur u itervalle I de R à valeurs das R + O suppose que la suite f N coverge simplemet vers ue foctio cotiue par mor- 5

12 CHAPITRE INTRODUCTION ceaux f et qu il existe ue costate M telle que N, f est alors itégrable I f M Soit J u itervalle fermé boré de R iclus das I Posos pour, t N I, g t = mif t, ft g t = ft + f t ft f t ft g est doc cotiue par morceaux et lim g t = ft La suite g + N est ue suite de foctios positives domiée par f Nous pouvos appliquer, sur J, le théorème de covergece domiée Il viet alors lim g = f + J J Pour tout N ous avos g f f M doc, e calculat la limite, f M J état u itervalle fermé boré quelcoque iclus das I J J I et J f état à valeurs das R +, ous e déduisos que f est itégrable 6 Utilisos tous ces résultats pour démotrer le résultat cocerat l échage etre les séries et les itégrales Soit f N ue suite d applicatios cotiues par morceaux défiies sur u itervalle I de R à valeurs das R + O suppose que la série de foctios f coverge simplemet vers ue applicatio cotiue par morceaux F F est itégrable si et seulemet si la série de terme gééral f est I covergete et das ce cas ous avos l égalité F = f Posos, pour N, F = I = f k F N est ue suite croissate de foctios k= cotiues par morceaux qui coverge simplemet vers F Nous avos vu plus haut que la suite de terme gééral F coverge si et seulemet si la suite de I terme gééral F est majorée et das ce cas ous avos F = F I Il s agit du résultat demadé car t I, F t car il s agit d ue somme fiie = f t et lim + I F = I I 7 Soit f N ue suite de foctios cotiues par morceaux défiies sur u itervalle I de R à valeurs réelles O suppose que la série de foctios f coverge simplemet vers ue foctio cotiue par morceaux F Nous supposos que f est covergete I 6 k= I I f k la série de terme gééral

13 CHAPITRE INTRODUCTION Alors F est itégrable, f, La série de terme gééral I I F I f est covergete et efi = I = I f = Posos, pour N, F = f k F f k = f k M k= I I k= k= I car la série de terme gééral f coverge La suite de terme gééral F I coverge simplemet vers F E utilisat les résultats vus plus haut ous e déduisos que F est itégrable et F f Soit p N La suite de I I =p+ I = terme gééral f p++ vérifie les mêmes hypothèses que la suite f N doc, e b otat a et b les bores de I, f t a dt + f c est-à-dire =p+ =p+ I F F p f La série de terme gééral f état covergete, so reste d ordre coverge vers doc F = F d où le résultat demadé I lim + I I lim + I I I F F F = puis Remarque Le théorème de covergece domiée et ce derier résultat s étedet facilemet au cas d ue foctio à valeurs complexes Trasformatios d Abel Soit E u K-espace vectoriel ormé complet 8 Soit v u ue série telle que N, u E et v N est ue suite réelle décroissate covergete vers O suppose : M R + / p, q N q, p q, u k M Alors la série v u est covergete Preuve Nous utiliseros plusieurs fois la trasformatio d Abel ; écrivos certaies relatios que ous obteos et que ous réutiliseros par la suite Soit x N ue suite complexe et soit u N ue suite d élémets d u espace vectoriel ormé Notos pour N, U = u k et U = Si la série k= k=p 8 Je rappelle qu u espace vectoriel ormé est complet lorsque toutes les suites de Cauchy de cet espace sot covergetes 7

14 CHAPITRE INTRODUCTION u coverge, otos, pour N, R = Soiet p et q deux etiers aturels, avec p q k=+ u k et R = première trasformatio Ces trasformatios s appellet trasformatios d Abel q q Pour p < q, x k u k = x k U k U k = k=p q x k U k k=p k=p q k=p = x q+ U q x p U p + Nous avos doc pour p q, k= u k q x k+ U k = x q U q x p U p + x k x k+ U k q x k x k+ U k k=p k=p q x k u k = x q+ U q x p U p + k=p deuxième trasformatio Supposos de plus que la série u coverge, de somme S N, U + R = S La derière relatio écrite deviet alors q q x k u k = x q+ S R q x p S R p + x k x k+ S R k k=p k=p q = x q+ R q + x p R p x k x k+ R k k=p q x k x k+ U k Utilisos ces trasformatios pour répodre à la questio posée q q v k u k = v q+ S q v p S p + v k v k+ S k k=p k=p Nous savos qu il existe M R + tel que p, q N q, p q, u k M Il viet alors, sachat que la suite v N est décroissate de limite ulle doc positive, q q v k u k S k v k v k+ + S q v q+ + S p v p k=p k=p M v q + v p + v q + v p = Mv p lim v = doc ε >, N N, p N, p N Mv p ε Nous e déduisos ε >, N N, p, q N q +, q p N v k u k ε La suite de k=p terme gééral v k u k est ue suite de Cauchy qui coverge car E est complet k= La série u v est doc covergete Joseph Di Valeti Exercices corrigés k=p k=p 8

15 CHAPITRE INTRODUCTION Exemple d applicatio q expipx expiq + x = si expix expikx = expix k=p q p + = si expix = expipx expiq + x p + q si q p+ = exp expix x x si x x q Nous avos doc pour si, expikx si x k=p E utilisat le résultat précédet ous e déduisos que les séries v cosx et v six sot covergete pour x o cogru à modulo π La série v six coverge aussi pour x cogru à modulo π et la série v cosx est de même ature que v pour x cogru à modulo π doc la série v six coverge pour tout réel x et la série v cosx coverge pour x o cogru à modulo π et est de même ature que v pour x cogru à modulo π Séries de Bertrad : Soit la série 9 u avec u = u = et pour, u = β sot des réels α l β Cette série coverge si et seulemet si α > ou α = et β > Preuve Supposos α > Soit γ ], α[ u = o γ Supposos α < lim + u = doc lorsque ted vers +, = o u La série u est divergete La série u est covergete où α et lim u γ = doc lorsque ted vers +, + supposos α = et β l β l + = l + β l β doc lorsque ted vers β l β l + β +, [ β l + + o β l + = l l] β l + β soit ecore = l β l + β 9 Dite série de Bertrad β + o ll + β + 9 β l β

16 CHAPITRE INTRODUCTION La série l β l + β et la série l β sot doc de même ature ; elles coverget si et seulemet si β > Supposos α = β = l + ll + ll = l Lorsque ted vers + ous avos l doc ll + ll = l + l + o c est-à-dire l ll + ll + l La série l est doc divergete Fialemet la série u coverge si et seulemet si α > ou α = et β > Nous aurios pu utiliser les itégrales pour obteir la répose E effet soit f : x [, + [ R Pour β, f doc la série diverge l β l β Pour β >, f est cotiue mootoe, la série de terme gééral f coverge si et seulemet si f est itégrale x [ ] x β Pour β, ftdt = lx β x [ ] x Pour β =, ftdt = llx f est itégrable si et seulemet si β > d où le résultat

17 Chapitre Séries, séries de foctios Produits ifiis Soit a N ue suite complexe O pose : P = a k O dit que a est coverget si P N coverge vers l O ote alors : l = + = a Si N /, a, < / a =, et si la suite a a ue k= limite o ulle, o dira que le produit ifii coverge de valeur ulle Das la pratique o remplacera les premiers termes par et o appliquera la défiitio géérale + u est dit absolumet coverget si + u coverge a Motrer que si u coverge alors la suite u N coverge vers Vérifier que la réciproque est pas exacte b Soit u N ue suite de ombres complexes tous différets de - e fait il suffit qu ils le soiet à partir d u certai rag Motrer l équivalece suivate : + u coverge ε >, N N, p, q N q, q > p N + u ε k= k=p+ Motrer : + u absolumet covergete + u coverge c Supposos N, u R + Motrer que u coverge si et seulemet si lu coverge d Supposos N, u > et de sige fixe Motrer que + u coverge si et seulemet si u coverge

18 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS e Supposos N, u + R et u covergete Motrer : + u coverge si et seulemet si u coverge Nature des séries suivates de termes gééraux u est tel que u est défii : u = asi asi, a >, u + a a =, α u = et N, u = cos π l, u = cos, l u = cos π a + b, u = a!, u = a + b a, b R +, u = si π + a + b, u = α u = acos α >, u = a >, u + a = p α, β u = u = k= positifs, u = ta u = x α + x dx, u =, u = α+ x k α x R, u = asi π 4 + α + + α a + asi ata t + t b + dt α R,, α >, u = cos a,!, a >, u = + +, k + + a u = siπ α, o pourra utiliser α u = acos 3, u = cost dt, u = u = α lt dt α R, + t u = f avec f de classe C, fx et k= p= a et b strictemet siπ x dx, x α f x lim x + fx = λ <, u = p, p est le ième ombre premier ; p =, p =, p = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, ; o pourra calculer pk, k=

19 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS u = 3 π cos, u = π 3 3 si o pourra calculer les sommes 3 partielles, k k u = f où f est ue foctio réelle de classe C défiie sur [, ], k= u = cos π a l, u = α où a N est strictemet po- a k sitive, u = u = u = i dt + t t, u = ia i i= i i= k= x + x cosx dx, u + x α+ = α où a i est covergete, 3 a Soit x ue série complexe covergete + x α+ dx, u = + t dt, Soit u N ue suite complexe telle que u u + soit covergete Motrer que la série u x est covergete b Soit u N ue suite complexe telle que pour toute série complexe x, la série u x coverge Motrer que la série u u + est covergete O pourra raisoer par l absurde 4 Soit f :], [ R ue applicatio cotiue par morceaux itégrable Soit, pour N, u = x fxdx Motrer que la série u est covergete, de somme 5 Soit f ue applicatio de [, ] das R + cotiue O pose I = pour N, u = t ftdt fx + x dx ft dt et t Motrer que u coverge si et seulemet si I existe et qu e cas d existece I = = u 6 Soit u N ue suite réelle positive Motrer que les séries de termes géé- U réel positif est u élémet de R + ; u élémet de R + est dit strictemet positif et u élémet de R est dit strictemet égatif 3

20 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS raux : u u, + u + x e dx et l + u sot de même ature 7 Soit u ue série divergete à termes positifs O pose pour tout N : v = u, w = u u u, x =, y + u + u + = u + u Étudier les atures des séries v, w, x, y 8 a Soiet u N et v N deux suites réelles N, u, v O suppose u et v covergetes Quelle est la ature de la série u v? b Soit u N ue suite telle que N, u O pose pour N, v = Motrer que u + et v e sot pas toutes les deux u covergetes 9 Soiet u N et v N deux suites réelles avec v = et u + u + u Quelle est la ature de la série v e foctio de celle de u Soit α> Soit u ue série covergete, u R + u Motrer que u α coverge Soit u N ue suite > telle que lim + a Motrer que u diverge b O pose S =, et N, S = k= u u k = l > k= u k, v = S S, k= w = u v + + v Motrer : lim = l + ; + w + + w l e déduire : ku k + l + u Soit u ue série covergete avec N, u R + a Nature de u + + u b Soit N Motrer que l! l + O pourra comparer lk avec k k ltdt 4

21 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS! E déduire + e c Soit, pour N, v = ku k Soit p N, p < k= Vérifier que l o a v p ku k + u k k= k=p+ E déduire que la suite v N coverge vers d Calculer, pour N v k, k + k= e Soiet x i i N ue famille de réels positifs Motrer que l o a la relatio x i avec x i = iu i f Motrer que k= g Applicatio : soit série u + + u k= u k i= x i Appliquer ce résultat i= coverge et a ue somme majorée par e = u u, u > ue série covergete Motrer que la coverge et a ue somme iférieure à e 3 Soit a N ue suite de réels > telle que a diverge O pose pour N, S = a k, u = a et v = a S S Étudier la ature des séries u, v 4 Soit u N ue suite de réels strictemet positifs Soit v N la suite défiie u par N, v = u + + u Quelle est la ature de la série v α? O = u pourra comparer avec l itégrale etre S et S de x x α où S désige la somme partielle d ordre de la série de terme gééral u 5 Soit u N ue suite réelle défiie par : u R et pour N, + u = u + Motrer que u diverge 6 O cosidère, sur C, l équatio x 3 x = Que dire de ses racies? Soit α la racie réelle Soiet β et γ ses deux racies o réelles O pose, pour N, u = α + β + γ et v le reste de la divisio euclidiee de u par 4 Motrer que la suite v N est périodique O pourra trouver ue relatio etre u +3, u + et u 5

22 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Étudier les atures des séries si π u, cos πu Étudier les séries : si π α, cos π α 7 Nature de la série u où u est égal à lorsque est le carré d u etier, sio? 8 Quel est l esemble de covergece de la série 9 O pose, pour N, v = R + k= u x + y, x, y R? où u N est ue suite d élémets de + u k Quelle est la ature de la série v? E otat Π = v e foctio de Π et Π + u k, exprimer Soit u N la suite défiie par u R et pour, u + = siu Nature de la série u Soit u N la suite défiie par u et pour N, u + = + u Nature de la série u a Soit u N ue suite positive de limite ulle Soit v N le terme gééral, positif, d ue série covergete ; o suppose que u + u + v Motrer que la série de terme gééral u est covergete b Soit a N ue suite décroissate de limite ulle O suppose que la série a est covergete Motrer que E a est covergete 3 Soit f ue foctio strictemet positive défiie sur R + de classe C telle que f x lim x + fx = a Étudier la ature de la série f b Doer u équivalet, lorsque ted vers +, du reste d ordre de la somme de la série 4 Soit u ue série, réelle ou complexe, covergete Motrer, à l aide d exemples, que la série u 3 peut être semi-covergete, absolumet covergete ou divergete 5 Soit u ue suite décroissate telle que u est covergete Motrer que u ted vers quad ted vers l ifii Joseph Di Valeti Exercices corrigés 6 k=

23 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 6 Soit a ue série complexe ; soit ϕ ue applicatio strictemet croissate de N das N ; soit efi b = ϕ k=+ϕ ϕ a k, pour et b = a k a Motrer : a coverge b covergete et k= = a = b Si la suite a N coverge vers et ϕ + ϕ est boré alors la réciproque est vraie 7 Soit p N Soiet α,, α p p réels doés Pour N, o pose a = α k où k est le reste de la divisio euclidiee de par p Quelle est la ature de a? 8 Soit x = k= équivalet de x λ 9 Soit, pour N, x = dire de : = b + k O ote λ = lim + x ; détermier λ, doer u lim x? + k= 3 Soit u R + pour N, O suppose u + + Nature de la série u + k k Motrer que : lim + x = Que 3 a Soit u R + pour N, O suppose u + la série u diverge u = α + o b O suppose qu il existe A > tel que pour N,, Motrer que la série u coverge u quad Motrer que u + u A 3 Soit u N ue suite réelle strictemet positive O suppose que lorsque ted vers + o a u + u = α + v où v est absolumet covergete O pose, pour N, b = l α u et a = b + b a Étudier la série a et e déduire l existece d u réel A > tel que λ u + α t x b Soit f : x ], [ dt Motrer que f est bie défiie t et que l o a : fx = = + +! 7 x k k=

24 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 33 Soit, pour N,, S = k= k k Détermier, e étudiat S, u équivalet de S quad ted vers + Soit A = + t dt Quelle est la limite l de la suite A N? t t Motrer que A l = + t dt = S Nature de la série de terme gééral A l dt 34 Soit I = + t 3 Calculer I + I E étudiat I+ l, motrer que la suite I N coverge vers I 35 Soiet a, b deux réels o élémets de Z Soit la suite u N telle que u + = + a u + b a Doer ue coditio écessaire et suffisate pour que u coverge O suppose maiteat cette coditio réalisée b Motrer que la suite u N coverge vers 36 Soit ϕ ue applicatio ijective de N das N O pose pour tout N, u = ϕ Motrer e utilisat le critère de Cauchy que la série u diverge 37 Calculer = 4 + ; o pourra remarquer que 4 + = t 4 dt 38 Soit α = + 5 Étudier la ature des séries de termes gééraux : u = π + si 3 α ; v = π + cos 3 α O pourra remarquer que α est racie du polyôme x x dot l autre racie sera otée β 39 Soit u N ue suite réelle, soit U = u k sa somme partielle O k= suppose pour, U + U Motrer que la série u est covergete 4 Soit a N ue suite réelle covergete O pose : b = C a k k a Motrer que la suite b N coverge b Soit B = b k Exprimer B comme combiaiso liéaire des A p = k= 8 k= p a k k=

25 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS c Motrer que si A N coverge, B N aussi Comparer 4 Soit pour, u = a Quelle est la ature de la série u? = a et = b b Soit v N la suite défiie par v = et pour, v = u Quelle est la ature de la série v? 4 Soit α >, o pose pour, u = α, S = Quelle est la ature de la série R S? u k et R = k= k=+ 43 Soiet a C et λ N ue suite croissate d élémets de R + O suppose que la série a exp λ z coverge pour z = z C Motrer qu elle coverge das D k = {z C, Rez z > } ; la covergece état uiforme sur la partie de D k vérifiat Argz z a avec < a < π 44 a Soit u = u? b Soit v = + cosb l Motrer que u v = u k cosb l t dt où b R Quelle est la ature de la série t + t c Quelle est la ature de la série v? d Quelle est la ature de la série z = expz l 45 Soit a ue série covergete à termes réels a Motrer que la série a + coverge cosb l t + b sib l t dt t? où z C z est z b Étudier la covergece de la série v k avec v k = k + quelle est sa somme? défii par + =k+ a + 46 Soit α N ue suite d applicatios d u esemble o vide D à valeurs réelles Soit a N ue suite d applicatios de D das C Pour chaque x D, α x N est ue suite décroissate La suite α N 9,

26 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS coverge uiformémet vers la suite a N est telle qu il existe K idé- pedat de x et vérifiat : a p x K Motrer que la série α a coverge uiformémet sur D Applicatio à la série : expix + x p= 47 Soit a N ue suite d élémets du K-espace vectoriel ormé complet E O suppose que la série a est covergete Étudier la covergece, la covergece uiforme, de : x R + x + x a R Cotiuité de la somme O pourra poser, pour N, R = k=+ 48 Soit u : D R Pour chaque x D, u x N est ue suite décroissate La suite u N coverge uiformémet vers Motrer que u est ue série qui coverge uiformémet sur D Applicatio aux séries : a k + cosx, si x 49 Soit A ue partie o vide de R Soiet f N et g N deux suites de foctios défiies de A das R O suppose que la suite g N est décroissate et qu il existe M R + tel que N, g M O suppose que la série de foctios f coverge uiformémet Motrer que la série de foctios f g coverge uiformémet 5 Soit ε N ue suite complexe qui coverge vers O suppose que la série de terme gééral ε ε + est absolumet covergete Soit a N ue suite d élémets de l espace vectoriel ormé complet E telle qu il existe ue costate A vérifiat : N, a k A k= Motrer que la série de terme gééral ε a est covergete O pourra poser A = a k k= 5 a Soit, pour x et pour N, u x = exp + x Covergece et somme de la série u b La covergece est-elle uiforme sur R +? sur [a, + [, a >? 5 Soit fx = = x + x + + x, x f est-elle défiie? Quelle est la ature de la covergece? Pour =, x + x est égal à

27 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 53 O pose, lorsque cela existe, fx = Étudier la cotiuité de f 54 Soit Sx = = x exp x = + x a Doer l expressio de S à l aide des foctios usuelles b La covergece est-elle uiforme? 55 O pose pour tout x R, fx = = Étudier la cotiuité et les variatios de f 56 Soit fx, y = R = shx ch ch + x exp x + y Motrer que f est de classe C sur 57 Motrer que pour α >, f α défiie par f α x = = et cotiue sur R + Étudier lim f x αx O pourra ecadrer par deux itégrales > 58 Soit x > Soit fx = = x α exp x est défiie Étudier la cotiuité de f et lim x + fx x + O pourra retracher x 59 O défiit ue suite u N d applicatios de [, ] das R défiies par : u x = x,, x N [, ], u + x = l u x Nature de la série u x? o pourra remarquer que u + u et utiliser les séries alterées 6 Motrer : + lx x dx = = 6 Motrer que pour y >, o a : 6 Soiet f x = x y + expx dx = y+ = + + x et fx = f x = a Motrer que f est cotiue sur R * + α x y exp xdx b Détermier des équivalets de fx au voisiage de et + Motrer : x ftdt existe = gx

28 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 63 Soit fx = Écrire gx comme la somme d ue série Détermier lim x > gx f est-elle itégrable sur R +? = sur R Étudier lim f x x 64 Soit fx = = atax Motrer que f est cotiue sur R, de classe C x six Calculer f x E déduire : fx = ata Calculer : = si Motrer que f est de classe C sur ], [ x si x x cosx +, si = 65 Cotiuité et dérivabilité de : f : x = Étudier lim fx Motrer pour x > : gx = fx x >, g : x + + x x = x 66 Trouver u équivalet quad x par valeurs iférieures de fx = O pourra ecadrer par deux itégrales et utiliser = x exp u du = π 67 Trouver u équivalet quad x, et quad x + de fx = + > shx = Pour le cas ifii, o pourra étudier la ature de la série de terme gééral expx shx 68 Cotiuité de la foctio f défiie par : fx = = exp x O + pourra comparer le terme gééral de la série avec exp x 69 Trouver u équivalet, lorsque x ted vers et lorsque x ted vers +, de fx = l + x O admettra que π = π 6 = 7 Soit, pour x, fx = >x πx si a Motrer que f est cotiue par morceaux = b E u poit de discotiuité, calculer le saut de f c Détermier u équivalet, lorsque x ted vers +, de fx

29 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 7 Soit a N ue suite croissate de réels strictemet positifs qui ted vers + O pose, pour x >, fx = = exp xa a Motrer que f est cotiue, itégrable sur R + avec fx dx = = a b Étudier les cas a = +, a = + lt l t 7 Motrer que t ], [ R est itégrable et que l itégrale est t égale à : Soit fx = = l + x x = Trouver u équivalet de fx quad x + O pourra calculer fx+fx e décalat l u des deux idices d u cra 74 Soit γ = la limite k= k l Motrer que γ N est covergete, o ote γ O ote, lorsque cela existe, ζx = Motrer : lim x > ζx + x = avec x réel x = γ O pourra utiliser ζ + x 75 O suppose a x absolumet covergete pour u réel x doé + À-t-o : a x a = exp t! t x dt? = 76 Motrer que la série double si α > = dt t s+ est covergete si et seulemet m + α m, N 77 Soit α > ; o pose f x = exp x α et si la série coverge fx = a Quel est l esemble de défiitio de f? f est-elle cotiue? b Quel est le comportemet de f e +? Doer u équivalet de f quad x ted vers 78 a Quelle est la ature de la série b La foctio f défiie par fx = R +? 79 Motrer que l o a : exp α x β où x R +? = t + expt dt = 3 3 = f x exp α x β est-elle itégrable sur =

30 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 8 Étudier la covergece de la série x exp x l où x R 8 Soit Sx = = x exp x a Quel est le domaie de défiitio de S? b La covergece est-elle uiforme, ormale? c Doer l expressio de S à l aide des foctios usuelles 8 Soit, pour N, f l applicatio défiie sur R + par f x = x exp x! a Étudier la covergece de la suite f N b Étudier la covergece de la série f 83 Éxistece de J = Motrer que J = S lthtdt et Sx = = 84 Quelle est la ature de la série si si? 85 Soit m N, m Soit la suite u N défiie par : exp + x + u =, u = lorsque est pas divisible par m et u = x lorsque est divisible par m Motrer qu il existe ue et ue seule valeur de x telle que la série de terme gééral u soit covergete 86 Nature de la série de terme gééral u avec u = et pour N, ] u = [ α + + où α R 87 Soit N ; posos : f x = + x a f est-elle itégrable sur R +? b Calculer lim + f xdx c Retrouver la valeur de l itégrale de Gauß exp x dx 88 Soit a ue série complexe ; soit ϕ ue applicatio strictemet croissate de N das N ; soit efi b = ϕ k=+ϕ ϕ a k, pour et b = a k a Motrer : a coverge b covergete et k= = a = b Si la suite a N coverge vers et ϕ + ϕ est boré alors la réciproque est vraie 4 = b

31 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 89 Soit u N ue suite réelle décroissate covergeat vers Nous supposos qu il existe ue bijectio strictemet croissate ϕ de N das N telle que k N, u ϕk ϕk Motrer que la série de terme gééral u est covergete 9 Soit E l esemble des foctios cotiues de R das R, T -périodiques Soit f E, soit a N ue suite > telle que la série a coverge O pose f = f et pour N, f x = x+a f tdt a a Motrer que f E et que la suite f N coverge uiformémet vers ue foctio ϕ Quelle est la classe de ϕ? 9 Soit X l esemble des applicatios uiformémet cotiues et borées de R + das C Soiet N et u X a Motrer qu il existe u et u seul élémet v de X tel que v = u + v b O ote T u l élémet v défii précédemmet ; o muit X de la orme ifiie Motrer que T L C X ; calculer T Motrer que lim T u = u + c Soit D l esemble des foctios de X dérivables Motrer que D est dese das X 9 Soit E = C [, ], R mui de la orme Soit L C E l espace complet des edomorphismes cotius de E que l o mui de la orme subordoée Soit ϕ l applicatio de E das lui-même défiie par x [, ], ϕfx = x ftdt a Exprimer 3 ϕ à l aide d ue seule itégrale Motrer que ϕ L C E, calculer ϕ b Motrer que ϕ coverge das L C E, et calculer sa somme c Motrer que pour toute foctio g E il existe ue uique foctio f E telle que pour tout x [, ], gx = fx x x ftdt 93 Soit E u K-espace vectoriel ormé complet, soit u L C E, l espace des edomorphismes cotius de E ; détermier la limite de la suite v N défiie par N, v = Id E + u 94 Soiet E u C-espace vectoriel ormé de dimesio fiie, f GLE ; motrer qu il existe g LE telle que f = expg O motrera qu ue matrice complexe est semblable à ue matrice diagoale par blocs ; chaque bloc état du type λi + T où T est ue matrice ilpotete 3 ϕ désige la composée fois de ϕ 5

32 CHAPITRE SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 6

33 Chapitre 3 Corrigés séries, séries de foctios Produits ifiis a Pour N P, = u doc la suite P P N ayat ue limite l C il est clair que la suite u N coverge vers Soit u = exp + u k = exp k= + coverge vers k= k b Supposos que + u coverge Soit P = et la limite est ifiie alors que la suite u N + u k La suite P N coverge vers l C Il existe doc a > Miorat de la suite P N P N est ue suite de Cauchy de ombres complexes doc ε >, N N tel que p, q N, q p N P q P p ε Nous e déduisos pour q > p N, P q q P p ε c est-à-dire + u ε k= k=p+ Réciproquemet, supposos ε >, N N, p, q N q, q > p N + u ε k=p+ Avec ε =, il existe N N tel que pour p > N o ait P p P N soit ecore P p P N P N Il viet doc P N P p 3 P N Notos : α = mi { P k, k N, k N }, P N et 3 β = max { P k, k N, k N }, P N Nous avos doc N, < α P β Soit ε > Il existe, par hypothèse, N N tel que pour p, q N,

34 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS q > p N o ait P q P p ε β Nous e déduisos P q P p ε La suite P N est doc ue suite de Cauchy et coverge ; sa limite l est miorée par α > doc le produit ifii + u coverge Redémotros u résultat cocerat les foctios symétriques des racies d u polyôme Soit a i i N ue famille de ombres complexes Notos pour k N, σ k = a j a j a jk et σ = Nous avos alors X + a k = k= j <j < <j k N σ k X k k= Cette relatio est vraie pour = Supposos-là prouvée jusqu au rag + X + a k = X + a + k= = σ a + + σ k X k k= σ + i + σ i a + X i + X + i= Notos, pour i N, λ + i = σ + i + σ i a + λ + i = a j a j a j+ i + a j a j a j i a + j <j < <j + i = j <j < <j + i + j <j < <j i a j a j a j+ i = σ + i λ + = a a + Le résultat est doc prouvé au rag + Nous avos doc e particulier + a k = σ k == σ k k= k= k= Nous obteos alors + a k σ k k= k= σ k a j a j a jk j <j < <j k N E réutilisat la relatio vue plus haut appliquée aux coefficiets a k ous obteos + a k + a k k= k= Cosidéros alors u produit ifii + u absolumet coverget E utilisat tout ce qui précède ous e déduisos ε >, N N, p, q N q, q > p N + u k ε k=p+ q D après ce que ous veos de démotrer, il viet alors + u k ε Le produit ifii est doc coverget k=p+ 8

35 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS c Supposos N, u > S = lu k = l u k = lp k= S N coverge l C, lim S = l + L équivalece est doc démotrée k= lim P = expl > + d D après le résultat précédet, + u coverge si et seulemet si la série de terme gééral l + u est covergete u est de sige fixe et l + u u doc l + u et u sot de même ature + doc + u coverge si et seulemet si la série de terme gééral u est covergete e Supposos que la série u soit covergete Lorsque ted vers +, l + u = u + Ou La série de terme gééral l + u est alors covergete doc le produit ifii + u coverge Supposos que le produit ifii + u coverge Lorsque ted vers +, l + u = u u + ou u + ou + u doc l + u est covergete puis le produit ifii + u coverge a > u = asi asi + a a Lorsque ted vers +, asi = asi + a = asi a + a + o a a a = a + o a a + coverge e tat que série alterée dot le terme gééral a so module décroissat de limite ulle Lorsque ted vers + l + coverge, + = O 3 3 coverge et diverge doc l + + diverge alors que coverge diverge coverge alors que + diverge E effet, lorsque ted vers +, l + + = + O la série de terme gééral l est bie covergete doc le produit ifii coverge + + 9

36 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Nous e déduisos u = asi + a u coverge si et seulemet si a > asi a + a La série est ue série alterée Le terme gééral ted clairemet vers quad ted vers + l u = + l Posos, pour t, ft = t + t lt f t = t + lt f t t t > doc f est croissate et N R est décroissate La série alterée est doc covergete u = et N, u = cos π l Lorsque ted vers l ifii ous avos l = o doc 4 4 π l = π π π 3 π 4 + o π cos π l = + si 3 + π 4 + o π = π 4 + o = + π 3 + O La série + π 3 est ue série alterée covergete et la série est absolumet covergete doc la série cos π l est covergete α u = cos l Pour α, lim u = doc la série u diverge + cos l Supposos α > l u = l + α l l cos l + l doc l u lim + u = La série u coverge α + l et 3

37 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS u = cos π a + b = + si π a + b Lorsque ted vers +, u = + πa + O + πa πa est ue série alterée covergete car est décroissate et coverge vers u est doc la somme de deux séries covergetes ; N elle est covergete u = a! Si a = la série u est clairemet covergete Supposos a Soit N u + = a + u + lim = u a + u e La foctio expoetielle est covexe doc la courbe d équatio y = expx est au dessus de la tagete e tout poit ; e particulier x R, +x expx Nous e déduisos N, + + exp puis e et efi N, u + u a e N, u + = u k= u k+ u k a doc N, u e e a e Si a < e la série u est covergete Si a e, le terme gééral u e ted pas vers doc la série est divergete u = a + b a, b R + Si b =, + b + et u Si b, + b + b + = + + Supposos b u + u + + a a b + doc u + lim = a + u b Si a b, le terme gééral u ted vers l ifii doc la série u diverge Si a < b alors d après le critère de d Alembert la série u coverge Fialemet la série u coverge si et seulemet si a < b u = si π + a + b Lorsque ted vers +, + a + b = + a + b a 8 + O 3 3

38 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS + 4b a 8 + O et Doc lorsque ted vers +, + a + b = + a πa u = si + π4b a + O 8 Si a Z, u N e coverge pas vers et la série u est pas covergete Supposos a = p Z Lorsque ted vers +, π4b a u = +p si + O = +p π4b a + O 8 8 La série u est alors covergete Nous pouvos remarquer que, das ce cas, la covergece est alors absolue si et seulemet si 4b a = u = Notos, pour N, S = Pour N N, S N+ = + S N+ = + N p= La suite de terme gééral u k= N p= p p + p + p p + p + p + la série de terme gééral p p + p + p + + N+ N + et est décroissate de limite ulle doc est ue série alterée covergete Nous e déduisos que la série u est covergete et = u = = + acos + p= p p + p + α α > Pour x [, ] ous avos acos x = asi Nous obteos doc N, u = α u + α u = asi x + u coverge si et seulemet si α > a a > α p= p p = l, p= p p + = + ata = π + 4 doc = = π 4 l 3

39 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS l a + a Si a > alors lim u =, Si a = alors lim u = + + e Supposos a < l + l = a a l l lim a = doc + + a lim l + l + =, lim a a l a = et lim + u = La série u est doc covergete si et seulemet si < a < u = p α β p= Supposos α < + l a a p α possède ue limite réelle l strictemet positive lors p= que ted vers + Nous avos alors, u et seulemet si β > Supposos α = p l doc u + p= u coverge doc si et seulemet si β > Supposos α > u + p= p α + + l β u coverge doc si + l β α + α+ avec K > doc α + u β α coverge doc si et seulemet si β α > x α u = + x dx L itégrale existe si et seulemet si α > x α x + + x x xα doc u + u coverge si et seulemet si α > x α dx = α α u = α+ Si α, le terme gééral u e coverge pas vers Supposos α > Pour N, otos S = u k Soit N, S = p= k= p α+ p + α p= 33

40 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS S + = p= p α+ p + α p= La série de terme gééral p α+ est covergete doc les suites de termes gééraux S et S + coverget et ot la même limite si et seulemet si α > Das ces coditios la suite de terme gééral S coverge et la série u coverge si et seulemet si α > das ces coditios ous avos = u = p= p + α+ p= u = ata t dt α R α + t La foctio t R + atat atat + t u + t + π p + α R + est pas itégrable doc sachat que + t π ous avos + t dt + t = π l + π + l π l Nous e déduisos u + α Nous avos vu plus haut les série de Bertrad ; la série u coverge doc si et seulemet si α > u = x k= k α où α R + et x R Pour x =, la série u coverge Supposos alors x R Notos, pour N, S = k α Supposos α > k= La suite de terme gééral S a ue limite réelle l > u déduisos u coverge si et seulemet si x < Supposos α = Comme ous l avos déjà vu das d autres exercices, S u + x l et lim u + + u = x Pour x < la série u coverge Pour x > la série u diverge + + l x Nous e l doc Pour x =, e utilisat l exercice cocerat les séries de Bertrad ous e déduisos que la série u diverge 34

41 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Pour x =, u = La suite de terme gééral S est croissate de S limite + doc la série alterée u coverge Supposos α < Notos, pour N, λ = α α Lorsque ted vers +, λ = α + o + α λ + La série de terme gééral λ < est divergete doc Λ = Λ + soit ecore S u + u k= + α α c est-à-dire α α et u α α vérifie k= + α + α x α + α k= λ k α x doc pour x < la série u coverge, pour x > la + série u diverge Pour x = comme plus haut la série u est uesérie alterée covergete α Pour x =, u + doc u α coverge si et seulemet si α < E résumé ous avos : La série u coverge absolumet pour x < et α R, la série u coverge absolumet pour x = et α <, la série u coverge o absolumet pour x = et α Das les autres cas la série u diverge u = asi asi, a et b strictemet positifs a + b + Nous pouvos utiliser deux résultats pour coclure Pour x [, ] ous avos asi x = π x asi Nous avos aussi pour x cosasix = siacosx = x E utilisat la première relatio ous avos lorsque x ted vers, asi x = π x + O x x Avec x = a ous obteos lorsque ted vers +, a + asi = π a a + a + + O et aussi, 3 asi = π b b + b + + O 3 a a a + = + O 35

42 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Fialemet lorsque ted vers + ous avos u = La série u diverge sauf das le cas a = b E utilisat la secode relatio ous avos siu = a + b + b + a + b a = a + b + bb + aa + = b + b a + a + a + b + O 3 Lorsque ted vers + ous avos : b + b = b + b 4 + O 4 = a + b + O + a + b 5 Nous obteos doc siu = a + b b + b a + a + O = b a + O [ 3 π ] Il est clair que u, doc u = asi b a + O puis 3 u = b a + O Nous avos le même résultat que plus haut 3 π u = ta 4 +, α > α Lorsque x ted vers, π ta 4 + x = + tax tax = + x + ox x + ox = + x + ox + x + x + ox = + x + x + ox Lorsque ted vers + ous avos doc u = α + α + o α état >, la série alterée de terme gééral α α est covergete doc la série de terme gééral u coverge si et seulemet si la série de terme gééral + o l est ; c est-à-dire si et seulemet si la série de terme gééral α α est covergete c est-à-dire si et seulemet si α > α u = cos a 36

43 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Lorsque ted vers + ous avos cos lcos = + o 3 Nous avos doc lorsque ted vers + u = exp lcos a = e + o = o, 5 et la série di- lim u = a = Das ce cas u + e + e verge Fialemet quel que soit a la série diverge u = + +, a > + + a Lorsque ted vers +, l + = l + l + + = + + O 3 = 3 + O 3 l + = 3 + O + + De même l + + a + = exp l 3 a + = e O = l + + a l + a = + a + a a + a + O l + = a + + O + a + = e a + + O + a Nous avos doc, lorsque ted vers +, a u = e + a + + O La série u coverge si et seulemet si a =! u = + + k k= Joseph Di Valeti Exercices corrigés 37 3

44 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS u s écrit aussi, pour, u = + k + k k= + t + + t + l dt = t l t t Nous avos 3 : t l t + + t + t [ t + t + + t + dt = t l + t + t t + + Posos, pour, v = l + t + t l R est décroissate doc t + + l k= + t + l dt t v k c est-à-dire : k= t + + t + t = t + doc l + v k Il viet alors + + v k + l + + l lu = l v k k= ] dt k= Il viet immédiatemet : u exp et exp 5 doc u 5 exp + La série de terme gééral exp est covergete car lim + exp = u = siπ ; α, α Soit f ue applicatio de classe C défiie de [a, + [ das C O suppose que f est itégrable Soit u etier aturel au mois égal à a Notos, pour k, x k = k+ k t k f tdt x k k+ k f t dt + t + 3 l = Argsh t t t R + t + t doc la dérivée de t > Argsh R t 38 est

45 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS D après l hypothèse, k= k+ k f t dt = + La série x est doc absolumet covergete E itégrat par parties ous obteos x k = fk + x k = fk ftdt k= k= Si la suite de terme gééral, pour, fk coverge k + f t dt k+ k ftdt f t dt ftdt coverge alors la série Posos ft = siπ t f est dérivable sur R t + α Pour t > ous avos f t = π cosπt α siπ t t Pour t, f t π + α t α+ Pour α >, f est itégrable x y x t α+ siπ t siπu dt = du = t α u α πα [ ] y sit cost y dt = + β t β t β πx π cost dt t β+ siv dv vα cost cost Si β >, t [, + [ R est itégrable t β+ tβ+ t β+ y sit + cost Nous avos doc lim dt = cos + dt y + t β t β+ Pour α > x ous e déduisos que siπ t dt a ue limite réelle 4 quad t α x ted vers + E utilisat ce résultat, et ce qui a été vu plus haut, ous e déduisos que pour α >, la série siπ est covergete α Pour α =, f est pas itégrable E effet f t = π cosπ t t Supposos que t cosπ t t siπ t t t R soit itégrable 4 C est-à-dire : l itégrale impropre siπ t t α dt est covergete 39

46 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS t cosπ t t est pas itégrable Or + cosπ t qui est cotradictoire R est doc itégrable et t + cosπ t t t = cosπ t cosπ t t t Nous e déduisos bie que f est pas itégrable sur [, + [ Posos gt = cosπ t g t = π siπ t t t cosπ t t t x x [ ] cosu x siu De même, gtdt = du = u u x x π gtdt R possède ue limite e + π x + π siu du u Nous e déduisos doc comme plus haut que la série g est covergete E utilisat la formule de Taylor avec reste itégral ous avos + ftdt = f + f + + Pour α =, f t = π t cosπ t f est doc itégrable + siπ t dt = t π f k = π cosπ k k covergete + π+ π t f tdt π 4t t siπ t + 3 4t t siπ t siudu = π + R siπ k k k La série de terme gééral f est doc + + ftdt = a pas de π gééral f est divergete La série siπ est doc divergete 3 u = acos u = asi + u = cost dt Pour N, otos S = la série est doc covergete ce limite doc la série de terme u k cost = Reexpit Nous avos alors k= S = Re expikt +π dt = Re k= expi+t + dt expit + 4

47 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS expi + t Notos σ = dt expit + S = Reσ + Re + expit dt Motros que la suite σ N coverge vers σ = expi + u + expiu u du u ], ] + expiu R est cotiue, itégrable doc pour ε > u il existe α ], [ tel que α + expiu u du ε Posos fu = + expiu u f est de classe C sur [α, ] [ expi + ufudu = i ] α + fu α + i expi + uf udu + α Nous obteos doc expi + ufudu α + sup fu + α sup f u = K u [α, ] + u [α, ] + Nous obteos 5 lim + α expi + ufudu = doc il existe N N tel 5 Nous pouvos gééraliser au cas d ue foctio cotiue par morceaux Soit f ue foctio cotiue par morceaux défiie sur ]a, b[ a < b +, à valeurs das C, itégrable alors expitftdt = lim + Supposos d abord que f est cotiue sur l itervalle fermé boré [α, β] ε Soit ε > Il existe ue foctio polyomiale P telle que sup ft P t t [α, β] + β α β [ expitp tdt = i ] β α expitp t + i β expitp tdt α α β Il viet alors expitp tdt sup P t + β P t dt = K t [α, β] β α β α α β expitftdt = expitft P tdt + α expitftdt ε + K β α α expitp tdt doc Il existe N N tel que pour tout etier aturel N o ait K ε doc pour N ous avos β β expitftdt ε puis lim expitftdt = + α α Si f est cotiue par morceaux sur l itervalle fermé boré [α, β], e utilisat la relatio de Chasles 4

48 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS que pour N o ait α expi + u + expiu u du ε Soit ecore pour N, σ ε c est-à-dire lim σ = S + N covergete, de limite Re + expit dt = dt = cost dt = = u = u = α Posos pour x >, fx = x α lt dt α R + t x lt + t dt est doc f est bie défii car t R + lt lt R est cotiue et vérifie lim t + t t + + t = u est défii pour tout N lt x + t lt et est de sige fixe doc lt x t + + t dt lt = x lx x x + x lt Fialemet + t dt x lx x + Nous e déduisos u = α lt + t dt + + α l lim u = α < La série u diverge pour α + E utilisat les résultats cocerat les séries de Bertrad, vus plus haut, u coverge lorsque α < Étudios le cas α < x f x = αx α lt lx dt + x α + t + x ous sommes coduits au résultat précédet doc la limite est ecore ulle Supposos maiteat f cotiue par morceaux défiie sur ]a, b[ a < b +, à valeurs das C, itégrable α Soit ε > Il existe α ]a, b[ et β ]a, b[ α < β tels que ft dt ε b a 3 et ft dt ε β 3 b α b β expitftdt ft dt + ft dt + expitftdt a a β β D après le résultat précédet, lim expitftdt = doc il existe N N tel que pour tout + α β etier N o ait expitftdt α ε 3 b b Doc pour N ous avos expitftdt ε c est-à-dire lim expitftdt = + a 4 α a

49 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS x f lt lx x a le sige de gx = α dt + x + t + x g x = α lx + x + + x lx + + x Supposos < x < α α Sur cet itervalle g x + x a le sige de hx = lx αx + α h x = x + αx + α > ] [ α h est strictemet croissate sur, lim hx =, lim x + x α α < hx = + α ] [ α Il existe doc x, uique tel que hx = α ] [ g α est doc strictemet positive sur x, et strictemet égative sur α ], x [ lim gx =, g est strictemet décroissate sur ], x ] doc g est strictemet x + égative sur ], x [ et f est strictemet décroissate sur ], x ] lim fx = f est strictemet égative sur ], x [ ; ce que ous savios déjà x + u = f N u R + est doc décroissate à partir d u certai rag N x ; ous pouvos appliquer alterées La série u est doc covergete le théorème cocerat les séries u = f avec f de classe C f x, fx et lim x + fx = λ < Quitte à chager f e -f ous pouvos supposer que f e pred que des valeurs strictemet positives car f est cotiue et e pred pas la valeur L hypothèse cocerat la limite ous permet d e déduire qu il existe A > tel que pour x R, x A f x x fx λ f t A Nous e déduisos dt λx A ft λx A c est-à-dire : lfx lfa + soit ecore λa λx λx < fx fa exp exp = K exp λ état strictemet égatif, lim + f = doc la série f est covergete u = p où p est le ième ombre premier ; p =, p =, p = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, 43

50 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS lim p = + car la suite p + N est croissate o majorée Nous pouvos aussi remarquer que p l i + p i p i Soit N Soiet p N le plus grad ombre premier apparaissat das la décompositio e facteurs premiers des etiers compris etre et Pour k compris etre et N, otos α k le plus grad exposat de p k apparaissat das la décompositio des etiers compris etre et Par exemple, pour =, N = 8, α = 4, α =, pour 3 k, α k = Il est immédiat que l o a : Pour x ], [ ous avos j= N j p k k= La série harmoique j j j= la B Il existe N tel que N j α k k= β k = p β k k + x = x j doc j= α k β k = p β k k p k puis est divergete doc Soit B > Soit A > tel que j= j A Il existe doc N N tel que A j N j= k= p k N E particulier B l k= p k La série de terme gééral l est ue série à terme positif o majorée doc elle est divergete D après l équivalece rappelée plus haut ous e p k déduisos que la série est divergete p k u = 3 π cos, v = π π π 3 3 si j = cos + i si N j C est périodique de période 3 4 Soit 4 Posos N = E 3 N 3 j i+3k u j + iv j = 3 + i + 3k j= 3 l= j l+3k 3 l + 3k = k= i= j 3 + 3k + j 3 + 3k + k=3n+ j k 3 k k 44

51 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Lorsque k ted vers + ous avos 3 + 3k = 3 3k 9k + O 3 = 3 + 3k 3k 9k + O w k = j 3 + 3k + = + j + j k=3n+ N j k 3 k 3 = k 3k, k k j k 3 + 3k 9k 3 + j + j 3 + O 3k 3 3 3N k 7 3 = O k 4 3 3k + O k w k possède ue limite lorsque N ted vers + doc les séries k= v coverget u = k= k=, u et k k f où f est ue foctio réelle de classe C défiie sur [, ] Nous avos déjà calculé les sommes suivates : + k =, k + + =, k 3 = k= f est de classe C doc e utilisat l iégalité de Taylor Lagrage, ous obteos fx = f + f x + Rx avec Rx x sup f t t [, x] Avec x [, ], Rx x sup f t t [, ] u = f + + f ρ 6 3 avec ρ f Lorsque ted vers +, ρ = O La série u est doc covergete si et seulemet si f = f = u = cos π l Lorsque ted vers +, l = 3 + O doc π cos π l = + si 3 + O k= = + π 3 + O 45

52 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS La série u est doc covergete a u = α où a N est ue suite preat des valeurs strictemet a k positives k= Si la série a est covergete alors, e appelat S sa somme, ous avos a u + S doc la série u α est covergete Supposos que la série a est divergete, de somme partielle d idice égale à S La suite S N ted vers + Pour N, u = S S S α S dt S Supposos α > u S t, dt + u α k S t dt α S t α La suite u N état positive, la série u est covergete k= Supposos α = Pour N, u = S S Si u N e coverge pas vers alors la série u est divergete Si u N coverge vers alors u l S + S La série u est de même ature que la série S l dot la somme S partielle d idice est égale à ls ls ; la série est doc divergete Das les deux cas la série u est divergete Supposos α < Nous avos u > a S La série est doc divergete Fialemet, u coverge si et seulemet si a coverge ou a diverge et α > dt u = + t t u = u = dt + t t + ia i i= i i= Posos pour N, S = + où a i est covergete a k Soit N k= La série u est divergete 46

53 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS ia i = i= u = is i S i = i= + is i i + S i = S S i i= S S i i= i= u = + S + La suite S N coverge vers l, doc e utilisat le résultat cocerat la moyee de Césaro 6 ous avos lim S i = l puis lim + + u = + Posos A = k= u k = k= ia i = i= Nous e déduisos + A k k k= lim + i= i= + u u = A A + doc A k i= S i = a k A k + = S a u k= u k = l a = a k= Fialemet, la série u coverge et u = exp t atatdt = u = = Pour et pour t R +, exp t atat π exp t doc l applicatio t exp t atat qui est cotiue est itégrable sur R + u est doc défii pour N x R, atax x u = u exp u ata du uexp udu = u est covergete u = x + x cosx + x α+ dx = a 6 Moyee de Césaro : Soit x N ue suite défiie sur u espace vectoriel ormé covergeat vers l Posos pour N, y = x k + k= y l = x k l + k= Pour ε > doé, il existe N N tel que pour N, N x l ε Soit alors N, > N y l N ε N x k l + N x k l + ε k= k= N lim x k l = doc il existe N N tel que pour N o ait k= E choisissat maxn +, N ous avos y l ε d où le résultat demadé 47 N x k l ε k=

54 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS f : x R + x + x cosx R est cotiue + x α+ Pour α +, fx = + lim x + Pour α + >, x + x cosx + x α+ x + x α+ u existe doc si et seulemet si α > Pour α > la foctio f est itégrable ; le reste fxdx est doc équi- valet, lorsque ted vers + à dx = xα+ α α u coverge doc si et seulemet si α > u = α + x dx u α+ existe si et seulemet si α > Pour α >, + x α+ doc das ce cas x + xα+ + + x dx α+ + x dx = α+ α α Nous e déduisos u + α u coverge si et seulemet si α > x > R est décroissate strictemet positive xα x > R est décroissate strictemet positive doc l applicatio x > x + tα+ R est décroissate strictemet posi- x α + tα+ tive x La suite u N est ue série alterée covergete dès que lim + est ulle c est-à-dire si et seulemet si α > u = Supposos + t dt = + t dt = + t dt + + t dt + Pour t fixé das [, [ ous avos e déduisos est divergete lim = + + t dt t + t dt = + α + t α+ + t + t dt + t lim = ; + t Nous + + t + t + t + t dt = u ted vers doc la série u 48

55 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS u = i Soit N Posos N = E 4 i k N k = 4 i j+4k i k + j + 4k k k= j= k= j= k=4n+ Pour 4, la première somme est remplacée par mais ous pouvos supposer > 4 car ous cherchos la limite évetuelle e + 4 i j+4k x k = j + 4k = i 4k + 4k + 3 4k + 4k + 4 x k 4k doc la série de terme gééral x k est absolumet covergete i k k 4 4N k=4n+ i k possède doc ue limite lorsque ted vers + k k= La série i est doc covergete elle est pas absolumet covergete 3 a La série u u + est covergete doc u u + l est aussi et la suite u N est covergete ; otos l sa limite Posos pour N, v = u l u k x k = l x k + Posos pour N S = k= k= v k x k k= x k Nous avos alors, pour N et p N, k= +p v k x k = v +p S +p v S + k= +p +p k= v k x k v +p S +p + v S + k= v k+ v k S k +p k= v k+ v k S k La suite v N coverge vers et la suite S N coverge vers S ε Soit ε ], [ Il existe N N tel que pour N o ait v 3 + S +p S S + ε et p N ε, v k+ v k 3 + S k= +p Pour N et pour p N ous obteos : v k x k ε La série u x est doc covergete b Supposos que la série u u + diverge Posos pour N, 49 k=

56 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS a = u u + Notos θ [, π[ ue mesure de l argumet de u u + Nous poseros θ = si u = u + Notos, pour N, A = a k et pour N, v = exp iθ ; + A k= otos efi x = x = puis pour N,, x = v v Motros que la série x coverge et que la série u x diverge Nous savos que la suite A N ted vers + La suite v N coverge vers doc x coverge Pour 3, u k x k = u v u v + y avec y = u k u k+ v k y = k= = k= Supposos k= u k u k+ + a + + a k = k= + A k + A k = + A k lim + + A k + A k k + k= a k k= + a + + a k + Ak + A k + A = Nous avos alors + A + l Ak et + A k Supposos que la suite de terme gééral Das ce cas ecore lim y = A + A e coverge pas vers lim y = + Das tous les cas u x diverge + 4 f est ue foctio cotiue par morceaux de ], [ das R, itégrable x, ], [ N, fx + x fx et x fx fx Nous e déduisos que x ], [ fx + x R et x ], [ x fx R sot itégrables Nous pouvos écrire u k = k x k + x + fx dx = fxdx + x k= = k= fx dx + + x x + fx = Nous e dé- + x x, ], [ N, x+ + x duisos lim + lim + x + + x u k = k= x + + x fxdx fx fx, lim + fxdx = puis lim + x + fxdx = Il viet alors + x fx dx La série est bie covergete de somme + x 5 fx + x dx

57 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 5 Rappel 7 Soit g N ue suite d applicatios cotiues par morceaux défiies sur u itervalle I de R, à valeurs das R +, itégrables O suppose que la série de terme gééral g coverge simplemet vers ue foctio G cotiue par morceaux La série de terme gééral g coverge si et seulemet si G I est itégrable et alors g = G = I I Nous pouvos appliquer ce résultat au cas de la foctio g défiie sur [, [ par g t = t ft Pour t [, [, g t = t+ ft Avec les otatios précédetes, t k= Gt = ft G est cotiue sut I = [, [ t Nous e déduisos que g coverge si et seulemet si G est ité- [, [ grable et alors a = g tdt = ft t dt Nous pouvios démotrer simplemet et directemet ce résultat das cet exercice Soit t [, [ t k t + ftdt = ftdt k= t Supposos que t [, [ ft t R + est itégrable D après l égalité précédete t [, [ t+ ft R + est itégrable 8 t Soit ε > t [, [ ft t R + état itégrable il existe a ], [ tel que t + ft dt ε t t + ft a état aisi choisi, dt = t a t + ft dt a + ft t t dt a t + ft Nous avos doc lim + t a t + ft dt + t a tel que pour tout etier aturel o ait N fialemet N, N t + ft dt t dt = doc il existe u etier aturel N a t + ft dt ε c est-à-dire t t + ft dt ε t soit 7 Voir le premier chapitre 8 Nous pouvos aussi remarquer que t+ ft ft t t 5

58 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS lim + t + ft t La série de terme gééral dt = ft t dt Supposos que la série de terme gééral t ftdt est doc covergete de somme t ftdt soit covergete ft t dt t + ft La suite de terme gééral dt est covergete Soit a ], [ t Pour t [, a], t+ ft a+ f où f est la bore supérieure sur t a [, ] de ft ; bore supérieure, réelle, qui existe car f est cotiue lim a + a t + ft dt a+ f Nous e déduisos lim t a a t + ft a ft dt = t t dt t + t + ftdt ftdt = t t k= + a t k ftdt t + ft dt = puis t k= t k ftdt E calculat la limite lorsque ted vers + ous obteos a + ft t dt t k ftdt La foctio itégrée état à valeurs das R + k= ous e déduisos que t [, [ ft t partie précédete ous avos alors ecore l égalité 6 Posos v = u et w = + u Soit, pour x, fx = x u + x e dx défiissat ue bijectio de R + das [, l[ où l = réciproque g cotiue, ulle e Nous avos u = Nous e déduisos R est itégrable E utilisat la = t ft t dt = ft t dt + t dt f est strictemet croissate de classe e C, lim u = + dt, d applicatio + te v, u = gw v lim v = lim w = + + Si u N e coverge pas vers les trois séries u, w, l + u sot divergetes Supposos que la suite u N coverge vers Nous avos alors lorsque ted vers +, w = fu = f+u f +ou c est-à-dire w = u +ou soit ecore w u Nous avos aussi l + u u + + Les trois séries u, w, l + u sot de même ature car elles sot de sige fixe 5

59 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 7 v = u u = v lim + u v u = + Doc si u e ted pas vers alors la série v est divergete Si u ted vers alors u sot de même ature doc v est divergete w = u + u lim v = + v S agissat de séries à termes positifs elles + Nous e pouvos rie dire das ce cas E effet supposos u = Das ce cas, w = + w diverge Supposos, pour N, u = u k k= w = w k k= k lorsque est u carré lorsque est pas u carré E k = k La série u est doc divergete k= lorsque est u carré + + lorsque est pas u carré k= E k + k + k= k + k La série u est doc covergete x = u + u k= k + k x doc la série x est covergete u y = + u Supposos N, u = alors y = 4 La série y est divergete Supposos N, u = alors y = La série y est doc covergete + y + 8 a Pour a et b réels ous avos a b doc ab a + b u v u +v u et v état covergetes ous e déduisos que la série u v est covergete 9 9 Nous aurios pu aussi écrire, e utilisat l iégalité de Cauchy-Schwarz : + u v v k u k v k u v état positif et la somme partielle u k k= k= k= k= k= 53

60 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS b Supposos que les deux séries u et la série v coverget où N, v = + u u La suite v N coverge vers doc lim + u = + puis v + E utilisat le résultat précédet ous e déduisos que la série de terme gééral doc la série u + u est covergete Or, est covergete u + u + Nous arrivos à ue cotradictio ; u et v e sot pas toutes les deux covergetes 9 Lorsque u N coverge vers, v = + u + u u doc lorsque + ted vers +, v = ou ; u N état de sige fixe, si u coverge alors v coverge elle aussi Que se passe-t-il si la série u diverge? Nous e pouvos rie dire car si N, u = alors v +, si N, u = alors v + Das le premier cas v coverge, das le secod cas v diverge x + x4 3x Supposos que la suite v N coverge vers lim = x x doc pour tout ε > il existe η ], [ tel que η + η4 3η ε η Il existe N N tel que pour tout etier N o ait v η Il viet alors ηu ηu η puis η η4 3η u η + η4 3η η état η η moidre que ous e déduisos η η4 3η doc u η + η4 3η ε Cela sigifie lim η η u = + Si la suite u N e coverge pas vers alors la suite v N e coverge pas vers Das le cas où u N e coverge pas vers, les deux séries u et v diverget doc Soit N La suite u N est positive doc e utilisat l iégalité de Cauchy-Schwarz et e remarquat que α > ous obteos u état majorée ous e déduisos que la série u v est covergete 54

61 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS k= uk k α k= u u k k k= La série α majorée est covergete α + k= u k + k α k= état ue série à termes positifs dot la somme partielle est a Supposos que la série u soit covergete, de somme S qui est alors strictemet positive La suite de terme gééral u k a pour limite u k= l > Das ces coditios ous avos lu S puis u S + + l et la série u est divergete ce qui coduit à ue cotradictio La série u est doc divergete b v = u +S = w +S Posos, pour N, A = v + + v w + + w Nous obteos A = + k= S k Par hypothèse, S k w k k= u diverge, doc la série u diverge aussi et Nous avos doc A k= u k ku k k= + S S k k= l l + S S k k= Lorsque k ted vers +, u k = oku k doc lku k, la série k + k= S k l + u k = o ku k k= k= k= ku k Nous avos doc lim A = l + E repreat la défiitio de A, ous + avos A = S S doc ku k puis d après l hypothèse, + l + k= ku k ku k k= k= + l u l + a Supposos que les u e soiet pas tous uls La série u est covergete doc a pour somme S > et sa somme partielle d idice, S, 55

62 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS vérifie S + S Nous e déduisos que la série S est de même ature que la série S doc est divergete La série coverge uiquemet das le cas où les u sot tous uls b l est croissate sur R + doc pour k, lk Soit N, lk k= ltdt = k k ] [ t lt t ltdt = l + l! l + l + l + l est cocave doc la courbe représetative est sous la tagete e tout poit ; e particulier t >, l + t t doc l + l = l + puis l + l + et fialemet l! l +! Il est alors immédiat que + e c Soit p < k=p+ ku k k=p+ u k doc v p ku k + k= k=p+ u k La série u est covergete doc pour tout ε > il existe p N tel que pour tout N, > p k=p+ u k ε Pour > p ous avos doc v p ku k + ε p état aisi fixé, lim p ku k = doc il existe + k= k= N N tel que pour N o ait p ku k ε Il existe doc q N tel k= que pour q o ait v ε c est-à-dire lim v = + d Notos, pour N, S = Soit k N k= v k k + = v k k + = k= Nous e déduisos v k k + = k= k= S k k ku k k= S k kk + = S k k k= + S k k k= S k k + = + S k k + 56 k= k= S k k + S k k k= + u k = u k v + k= S k+ k + + u k+ k=

63 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Nous obteos fialemet e La foctio l est cocave doc l f l expoetielle état croissate, v k k + = + k= k= k= k= x k u k x k exp lx k soit ecore, k= lx k k= E appliquat ce résultat avec x k = ku k ous obteos! u k ku k = v k= k= = x k E utilisat le résultat de la questio précédete ous e déduisos que la série de terme gééral! u k coverge et a ue somme au + plus égale à = u k= u k e! u k La série de terme gééral + k= k= doc covergete et sa somme est majorée par e g Comme ous l avos vu plus haut, = u u + + u u k k= k= k= u k est La série de terme gééral état supposée covergete, celle de terme u k gééral l est aussi d après le résultat de la questio précé- u k k= dete et grâce à l iégalité précédete, u = + + u u = k k= u + + u l est aussi avec Toujours d après le résultat de la questio précédete ous obteos = u + + u e = u E fait, il suffit d utiliser le fait que exp est covexe pour obteir exp lx k explx k = x k k= k= k= 57

64 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 3 Les coefficiets a sot réels strictemet positifs et la suite de terme gééral S = a k ted vers + k= Pour N, u = S Si la suite de terme gééral S e coverge S pas vers, la suite u N e coverge pas vers doc la série u diverge Supposos doc que la suite de terme gééral S coditios l u + S S coverge vers das ces u < La série de terme gééral u et la série de terme gééral l u sot doc de même ature l u = ls ls Nous e déduisos k= lim + u k = + das tous les cas la série u diverge La suite S N est croissate strictemet positive et ted vers + doc S S S S dt S t S S S Nous avos doc N, < v S S = doc la série de terme gééral coverge S k S k S S S S k= et la série v coverge aussi u 4 N, v = u + + u Supposos que la série u α coverge de somme S Les u état strictemet positifs, S est strictemet positif Das ce u cas v + S v α coverge doc Supposos que la série u diverge S agissat d ue série à terme positifs, sa somme partielle d ordre ted vers + lorsque ted vers l ifii Posos, pour N, S = u k Supposos α > Nous avos das ce cas pour N, S S S α La somme partielle k= S dx S x doc α v k v + k= v k état majorée, la série coverge k= Supposos α Soit S S S α S lim + S S S dx x α doc dx = + doc x lim α v k v + k= + S S dx x α S k= dx x α v k = + La série diverge k= 58

65 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Supposos α ], ] Commeços par le cas α = N, v = S S Si v N e coverge pas vers alors v est divergete Supposos alors que v N coverge vers Nous avos doc v + l S S S agissat de séries à termes positifs, la série de terme gééral v et la série de S Sk terme gééral l sot de même ature l = ls ls S k= S k La série est doc divergete Das le cas α = la série de terme gééral v est doc divergete Supposos alors α ], ] À partir d u certai rag N, S > doc S α S et pour N, u u La série est doc divergete S α S Fialemet la série v coverge si et seulemet si u coverge ou si u diverge et α > 5 La relatio N, + u = u + ous coduit à u = 4, u = 4, u 3 = 7 3 Motros que pour tout N, u 4 Cela est vrai pour =, =, = 3 Supposos le résultat vrai jusqu au rag u + = + + u = L iégalité proposée est doc vérifiée au rag + Elle est doc vraie pour tout N La série de terme gééral u est doc divergete ] ] 3 6 f : x R x 3 x R est croissate sur, et sur 3 [ [ [ ] , + ; décroissate sur 3, 3 3 f <, f <, f >, lim fx = + doc f s aule ue 3 x + et ue seule fois e α ], [ Notos β et γ les deux autres racies qui e sot pas réelles de X 3 X et pour N, u = α + β + γ X 3 X = X αx βx γ X 3 + px + q R[X] possède trois racies réelles deux à deux distictes si et seulemet si 4p 3 + 7q < et est scidé sur R si et seulemet si 4p 3 + 7q et doc possède ue racie réelle et deux racies complexes cojuguées si et seulemet si 4p 3 + 7q > ce qui est le cas das otre exemple 59

66 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS X 3 X = X 3 α + β + γx + αβ + βγ + γαx αβγ doc α + β + γ =, αβ + βγ + γα =, αβγ = u = 3, u =, u = α + β + γ αβ + βγ + γα = u +3 = α α 3 + β β 3 + γ γ 3 = α α + + β β + + γ γ + = u + + u E utilisat cette relatio et e otat v le reste de la divisio euclidiee de u par 4 ous avos v = 3, v =, v =, v 3 = 3, v 4 =, v 5 =, v 6 =, v 7 = 3, v 8 =, v 9 =, v =, v =, v =, v 3 = 3, v 4 = 3, v 5 =, v 6 = v 4 = v, v 5 = v, v 6 = v et N, v +3 = v + + v doc la suite v N est périodique de période 4 Soit N Notos N = E πu πv si = si N x j j = 4 x 4k+i + 4k + i j= k= i= 4 Notos, pour j N, x j = si j=4n+ x j j πu La derière somme est remplacée par si = 4N x =, x =, x 3 =, x 4 =, x 5 = x 6 =, x 7 =, x 8 = x 9 =, x =, x =, x =, x 3 = x 4 = 4 x 4k+i 4k + i = 4k k k + 6 4k k + i= + 4k + 4k + 3 4k + 4 Lorsque k ted vers l ifii ous avos 4k + i = 4k + O doc lorsque k k ted vers l ifii 4 i= La suite de terme gééral j=4n+ x j j La série 4 doc x x 4k+i 4k + i = O k N 4 k= lim est covergete i= x 4k+i 4k + i + j=4n+ x j j = est doc covergete E utilisat les otatios précédete, otos, pour j N, y j = cos πu πv N y j cos = cos j = 4 y 4k+i y j + 4k + i j j= k= i= j=4n+ πu La derière somme est ulle si = 4N y =, y =, y 3 =, y 4 =, y 5 = y 6 = y 7 =, y 8 =, y 9 =, y =, y =, y = y 3 = y 4 = Joseph Di Valeti Exercices corrigés 6

67 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 4 y 4k+i 4k + i = 4k + 4k + 4k + 4 4k k + 9 4k + i= Lorsque k ted vers l ifii ous avos 4k + i = 4k + o doc lorsque k 4 y 4k+i k ted vers l ifii 4k + i = 7k o k i= N 4 y 4k+i La suite de terme gééral est doc divergete ; ous avos 4k + i d ailleurs j=4n+ N y j j k= 4 i= y 4k+i 4k + i 4 doc x k= i= N + lim + j=4n+ 7 ln y j j = La série est alors divergete et + k= 7 l Notos β = r expiθ avec r > et θ R = αβγ = αr > r doc β = γ < u = α + r cosθ π π cos u = cos α π si u = si y k k π cos πr cosθ si α π α cos πr cosθ cos Lorsque ted vers l ifii ous avos et et cos π si πr cosθ, π α si πr cosθ cos πr cosθ = + or et si πr cosθ = πr cosθ + or π π π cos u = cos α + or si α πr cosθ + or π = cos α + Or, π π π si u = si α + or cos α πr cosθ + or π = si α + Or La série r est absolumet covergete doc les deux séries si π u si π α cos π u α sot de même ature aisi que les deux séries Nous e déduisos la covergece de la série si π α et la divergece de 6

68 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS la série cos π α 7 Soit N = E u est égal à lorsque est le carré d u etier, sio u k = k= k= N k La première somme ted vers + et la secode vers p p= ue limite fiie doc la série proposée est divergete ; la somme partielle est équivalete à l 8 Soit, pour, x, y N R R, u x, y = x + y u x, y x Si x < alors la série u x, y est absolumet covergete Si x =, lorsque y, la terme gééral de la série e coverge pas vers Lorsque y > alors u x, y Das le cas x = ous e déduisos que la série u x, y est covergete auquel cas elle est absolumet + y covergete si et seulemet si y > Nous avos le même résultat pour x = Si x >, lorsque y le terme gééral de la série e ted pas vers Supposos alors y > Das ce cas u x, y + x Das ce cas ous e déduisos que la série u x, y est covergete auquel cas elle est absolumet covergete si et seulemet si x < E coclusio la série u x, y est covergete auquel cas elle est absolumet covergete si et seulemet si x < ou x = et y > ou x > et x < y u 9 Soit v =, avec N, u Notos pour N, Π = + u k k= + u k k= et Π = Nous avos alors pour tout etier aturel, v = Π Π Das ces coditios v k = La série v coverge si et seulemet Π k= si la suite de terme gééral Π a ue limite l R { } Π Π + La suite Π N est croissate do a ue limite apparteat à y y p= p = π 6 6

69 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS [, + ] et la série v est covergete u est défii par u R et pour N, u + = siu Si u des u est ul alors les suivats sot tous uls x R, six x doc N, u + u N, u k+ u k k k= k= k= Si u des u k pour k N est ul alors u + = u sio, e simplifiat! ous obteos ecore u + u! Cette iégalité est doc vraie 3 pour tout N La série u est doc absolumet covergete Posos fx = + x f est défiie de [, + [ das R, cotiue, croissate Le sige de fx x est celui de x + x + fx x x < ou x et x + x + x < ou x et x [, ] Fialemet fx x x [, ] u [, ] u [, ] puis N, u [, ] et u N est croissate u [, + [ u [, + [ puis N, u [, + [ et u N est décroissate Das les deux cas la suite est covergete ; das le premier cas car croissate majorée, das le secod car décroissate miorée La suite u N coverge vers l R + tel que fl = l c est-à-dire coverge vers Posos v = u u [, [ ], + [, u Pour u =, la série u est covergete Supposos u c est-à-dire N, v N, v + = + doc lorsque ted vers +, v + = v 4 + ov v + Nous e déduisos lim = + v 4 La série u est doc covergete + v 4 a u N est ue suite positive de limite ulle, v N est ue suite positive telle que v est covergete Nous supposos N, u + u + v Soit ε > doé La série v est covergete doc il existe N N 3 Nous pouvos aussi écrire : le résultat est vrai pour = Si ous le supposos vrai au rag alors u + = siu + u u +! Le résultat est doc prouvé 63

70 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS p+q tel que p, q N, p N v k ε La suite u N coverge k=p vers doc il existe N N tel que pour tout p N, p N u ε Soit N maxn, N Soit p N, p N + Supposos das u premier temps p = p et q = q pairs p+q p +q p +q U p,q = k u k = u k u k+ k=p k=p k=p D après l hypothèse, u k u k + v k doc p+q p +q p +q p +q p +q k u k u k + v k u k+ = u p + v k ε k=p k=p k=p k=p k=p Nous avos aussi u k+ u k + v k doc p+q p +q p +q p +q p +q k u k u k u k v k = u p+q v k ε k=p k=p k=p k=p k=p Nous obteos doc, pour p N +, ε U p,q ε Si p est pair et q est impair, U p,q = U p,q u p+q doc pour p N +, ε ε u p+q U p,q ε u p+q ε Si p est impair et q est pair alors U p,q = u p + U p+,q u p+q+ doc 3ε ε u p u p+q+ U p,q ε u p u p+q+ ε Efi si p et q sot impairs, U p,q = u p + U p+,q et ε u p ε U p,q u p + ε ε p+q Das tous les cas, pour p, q N, p N + k u k 3ε Nous e déduisos doc que pour tout α > il existe M N tel que pour p+q p, q N, p M k u k α La série u est doc covergete k=p k=p b Soit N N Notos p = E N et pour k N, b k = k i= a i+k p N k +k N E i a i = k a i + p a i i= k= i=k i=p p N N E i a i = k b k + p a i i= k= i=p k + i Pour i compris etre et k, ous avos i + k 3 E effet ; Ai = k + ki + i 9i 9k = i + ik 9 8k A = 8k Ak = 8k A et Ak sot du sige cotraire du coefficiet de i doc A possède deux racies, x x, et et k sot etre ces racies Chaque i etre 64

71 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS et k est doc aussi etre ces racies et fialemet Ai k Notos m = E doc 3m k 3m + 3 Les élémets a état positifs et la suite a N état décroissate ous k 6m+4 6m+4 avos a i+k a i+k a i+9m 6m+4 i= i= a i+9m = i= i= m 3j+ a i+9m j= i=3j + a 6m+3+9m + a 6m+4+9m E utilisat l iégalité démotrée plus haut ous avos 6m+4 i= a i+9m 3 m j= m Fialemet b k = 3a 3j+9m + a 6m+3+9m j= k m+ a j+m + a 6m++9m 3 i= 3m+ a i+k 3 j=m a j j= a j+m La série de terme gééral a est covergete doc ε >, M N tel q+r que q, r N, q M a j ε 3 j=q Pour k 3M + ous avos m M puis b k = La suite b k k N coverge vers k+ b k+ a i+k = b k + a k+ + a k+ + b k + a k+ i= k i= 3m+ a i+k 3 a j ε La série de terme gééral positif a + est covergete, la suite b N est positive de limite ulle doc la série b est covergete N Par ailleurs, a i b p doc coverge vers La série E a i=p est doc covergete 3 a Il existe A > tel que pour x [A, + [ o ait f x Nous fx x f t fx e déduisos dt A x c est-à-dire l A x soit A ft fa ecore fx fa exp A exp x lim x + x fx = La série f est covergete b f x est strictemet égatif sur [A, + [ doc f est décroissate sur cet itervalle Soit N, A Soit p N 65 j=m

72 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS +p fk k= +p+ Notos R = k=+ ftdt, +p k=+ fk +p ftdt fk le reste d ordre de la série f E utilisat les iégalités précédetes ous obteos : + ftdt R ftdt Soit B > Il existe A > tel que pour x A o ait f x B fx Posos gx = fx expbx g x = f x + Bfx expbx g est décroissate sur [B, + [ doc x y A fx expbx fy expby soit ecore x y A fx fy expby x A Avec ε = il viet : fxdx f ε >, A >, N, A f + lim fxdx = Il viet alors + f R f + = R f doc R f + + expb xdx = B f lim + fxdx ε c est-à-dire : R f = 4 Choisissos, pour N, u = 3 u est ue série alterée ; la suite 3 est décroissate et coverge vers doc la série u est N covergete De même la série u 3 est ue série alterée covergete E revache la série u 3 est ue série divergete Choisissos, pour N, u = Les séries u et u 3 sot absolumet covergetes Choisissos, pour N, u = j 3 Nous avos vu à l exercice uméro page 44 que la série u est covergete La série u 3 est divergete car j 3 = 5 La suite u N coverge vers La série état covergete, so reste, R, d ordre ted vers lorsque ted vers + E particulier R R = ted vers lorsque ted vers + 66 k=+ u k

73 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS La suite u N état décroissate ous e déduisos u R R doc lim u = + u + u doc lim u + = + lim u = et + 6 a lim + u + = doc + ϕ ϕk ϕ b k = a j + = a j k= j= k= j=+ϕk a k j= lim u = + lim ϕ = +, la série a état supposée covergete ous e + déduisos b k = a j lim + k= lim + j= La série b est doc covergete et = b = b Notos, pour N, A = {p N, ϕp } A est fii car ϕ est strictemet croissate doc vérifie p N, ϕp p Soit alors N le plus grad élémet de cet esemble A Comme ous l avos vu précédemmet, a j = j= La somme ϕn j= a j + j=+ϕn j=+ϕn a j = N b k + k= j=+ϕn = a j a a j est remplacée par lorsque ϕn = Das le cas où ϕn < ous avos a j ϕn sup a k ϕn + ϕn sup a k +ϕn k k +ϕn j=+ϕn Supposos que p N ϕp + ϕp N est borée Nous avos ϕn < ϕn + Il existe M N tel que ϕn + ϕn M et doc + ϕn + ϕn + M + M Nous avos alors pour tout etier, ϕn + ϕn sup a k M sup a k k + M k +ϕn Soit ε > Il existe A N tel que pour N, A a ε M Nous avos alors pour A + M, a j ε c est-à-dire j=+ϕn lim a j = + j=+ϕn b état covergete ous e déduisos que la série a est covergete 7 Soit N, p Notos q le quotiet de la divisio euclidiee de par p 67

74 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS a i = i= p k= qp k α k + k= q k + qp α k + Lorsque j ted vers +, ous avos j= k= j= p k= jp + k α k jp + k = jp + O doc p jp + k α k = p α k + O jp j k= k= q p jp + k α k a ue limite, élémet de C, lorsque ted vers + si et p seulemet si α k = k= qp qp p + ; k= k + qp α k qp qp k= j p α k α k p + qp doc lim + k + qp α k = p a coverge si et seulemet si α k = k= k= 8 x = + k doc y = lx = l + k k= Pour x R ous avos x x x l + x x + x3 3 Pour obteir ce résultat il suffit d étudier les variatios des foctios x lx x + x x et x lx x + x3 3 E se limitat à l itervalle [, ] ce qui est le cas ici, il suffit d utiliser les résultats cocerat les séries alterées covergetes lorsque la valeur absolue du terme gééral décroit 4 Pour N, k = +, k = ++, k 3 = k= Nous obteos doc : Lorsque ted vers +, exp k= k= + + y = k= k= + 4, 3 + = = e o, 4 Si la suite u N coverge vers e décroissat alors la série alterée u est covergete et o a, p i N, p u p k= k= 68 u

75 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS exp c est- 4 Nous e déduisos : e 3 + o à-dire x e e x = k= = e + x e e + k k N, + k > k k Nous avos doc lx = La série alterée k= l + k k Quad k ted vers + ous avos l + k = k k k k + O k k 3 + o 3 + o = k k k + y coverge car N R est décroissate et coverge vers La série y coverge car 3 > k+ k + dt k k N, t k doc l + k= par l ous e déduisos k l + k= La suite de terme gééral lx lorsque ted vers + à l lim lx = puis lx + k= + + l E divisat k k k y est doc équivalete l l doc lim x = + l x = l + lx + Remarque ous avos déjà vu que k = l + γ où lim γ = γ la + k= costate d Euler Nous e déduisos que lx = l + z où z N est ue suite covergete Il viet alors x = expz Nous retrouvos le fait que lim x = ; + la suite de terme gééral x est covergete 3 Supposos α = Soit, pour N, u = Lorsque ted vers + ous avos u + = u + o La série diverge Soit, pour N, u = l u u + = + + l l + 69

76 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Lorsque ted vers +, ecore u u + = + + o u = u + Nous e déduisos lorsque ted vers + u + u + + l + o soit = + o l Comme ous l avos vu lors de l étude des séries de Bertrad, est covergete Nous e pouvos doc pas coclure das le cas α = Supposos α Soit β u réel strictemet compris etre α et [ Soit v = β u lv + lv = l + β ] u+ Lorsque ted u β vers + ous avos lv + lv = + o + α + o c est-à-dire β α β α lv + lv = + o + lv k+ lv k = lv lv k= La série β α est divergete Si α > alors lim l v v = doc lim = Nous obteos doc + v + v lim + β u = avec β > La série u est covergete Si α < alors lim l v v = + doc lim = + Nous obteos + v + v doc lim + β u = + avec β < La série u est divergete 3 a O suppose qu à partir du rag, o a u + u avec u > u k+ u k k= k k k= La série u est doc divergete doc, u u b Soit α ], A[ Nous savos que pour x >, l + x x α + l + α u + l α u + u = l u α l + + l A α A j= l j + α u j+ lj α u j 7 α A j j= c est-à-dire

77 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS l α u l α u lim + = doc lim + α u = et la série u est covergete α A j j= α A j j= 3 a Posos, pour N, b = l α u et a = b + b a = α l + u+ + l u Nous savos que u + = α u + v où v est absolumet covergete doc a = α l + + l α + v Lorsque ted vers + ous avos : a = α + O α + v + O α + v = v + O + O α + v α + v α = + v α v et α v α + v Il existe doc M > et u etier N N tel que pour N o ait N O α α + v M + v Il viet a = v + w avec, à partir d u certai rag, w A + Mv avec A > La suite v N coverge vers doc à partir d u certai rag, v v Les séries v et w sot covergetes doc la série a est covergete La suite de terme gééral b k+ b k = b b est doc covergete ; k= il existe l R tel que lim + lα u = l doc lim + α u = expl = A > A Nous avos bie u + α La série u coverge si et seulemet si α > b Lorsque t ted vers, t x t x = xt + ot doc lim = x t t tx ϕ : t ], [ R qui est cotiue est prologeable par t cotiuité e x état strictemet [ [ supérieur à -, ϕ est, d après le critère de Riema, itégrable sur, ϕ est doc, pour tout x >, itégrable sur ], [ 7

78 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Pour t < ous avos t x = + Il viet alors pour t ], [, Supposos x > et x N Notos, pour N, u = tx t = + +! t x k! k= t = x k +! k= x état fixé, pour > Ex, u + = x u + Lorsque ted vers + ous avos doc u + + x + = = x + u + + O = k= x k > et u + u = x + E utilisat le résultat démotré précédemmet ous e déduisos qu il λ existe λ > tel que u + x+ x > doc x + > ; la série u est covergete Si x N alors x k est ul à partir d u certai rag Fialemet k= t pour tout x ], + [ la série de terme gééral x k +! dt est covergete et e utilisat le résultat cocerat les itégrales de sommes de séries ous e déduisos que t x dt = x k t + +! = k= 33 Posos, pour, k N,, v k = k k v k 4 4k La série v k est ormalemet doc uiformémet cover- k gete k N, lim v k = k+ + k Nous e déduisos 5 k+ lim + S = = L k k= L Nous obteos doc S + f : t R + + t R est cotiue + t est itégrable t + E utilisat le chagemet de variable t [, + [ t k= t, avec, doc f ], ] ous e dé- 5 k= k+ k = π 7

79 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS duisos Nous obteos dt + t = t + t + t dt = + t, t [, ], lim + t t t A = + t dt Pour t < ous avos + t t = k t k+ + t k= + t + t dt + t = Nous obteos doc lim + t A = + + t = + k t k puis k= k= k t k+ Cosidéros ue série alterée k w k dot le terme gééral a ue valeur absolue qui coverge vers e décroissat Nous savos que cette série coverge et que le reste d ordre N est majoré e valeur absolue par w N+ Pour t < ous pouvos appliquer ce résultat doc 6 t N + t k t k+ t N++ t N et + t k t k+ t N++ k= t N++ dt = N + + et t N++ dt = N t t Fialemet + t dt = N k t k+ t k+ dt + R N avec k= R N N t k+ t k+ dt = Il viet doc A = lim N + État doé que S N k= k= + k + k + = + k k + k = t t + t dt = S + t t dt c est-à-dire + t L, la série de terme gééral A est covergete 34 Soit N f : t R + + t 3 R + est cotiue avec 3 3 > f est itégrable Itégros par parties etre et X > + t 3 t + t 3 6 E fait, ici, ous pouvios simplemet écrire t N + t k t k+ = t + t t t N+ + t = t t N+ + t k= 73

80 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS X [ dt Nous obteos + t 3 = t X t t 3 + t 3 dt Nous e déduisos I = 3I I + puis 3I + = 3 I I+ l = l ; l I La série de terme gééral lim N + N l k= N k= Ik+ I k Nous e déduisos 3 ] X est divergete et = doc lim 3k N + = li N+ li u + u N l k= Ik+ lim N + li N+ = puis 7 35 a N, = + a + b doc N, u = u a lu lu = l + l + a l b k k= Posos x k = l + a l + b k k I k = lim I N+ = N + k + a k + b + b k k= k= Lorsque k ted vers +, x k = a b + O k k Nous avos déjà vu que k = l + γ où la suite de terme gééral k= γ est covergete La série état covergete, ous e déduisos k k x k = a b l + λ où la suite de terme gééral λ est covergete a lu = lu + l b + a b l + λ puis a u = u b a b expλ Il viet alors u = a b µ où la suite de terme gééral µ est covergete de limite K u coverge si et seulemet si b a > b u = a b+ µ avec a b + < doc lim u = + 36 Soiet p, p,, p etiers deux à deux disticts Quitte à les réordoer o a écessairemet i N, p i i et e particulier 7 + t 3, Pour t >, lim + t3 + + dt + t 3 = doc lim + + t 3 = 74

81 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS p k k= p+ k=p+ k=+ k = k= ϕk k + ϕ état ijective ous avos p+ k=p+ ϕk + + E particulier e choisissat = p ous avos p + ϕk k Nous e déduisos doc d après le critère de Cauchy que la série est divergete k= 37 E écrivat 4 + = t 4 dt ous obteos k 4k + = t 4 k + N t 4N+ = dt k= k= + t 4 k 4k + = + t dt + N t 4N+ dt 4 + t 4 t 4N+ + t 4 dt Nous e déduisos t 4N+ dt = lim + k= 4N + 5 k 4k + = + t 4 dt La série proposée est doc covergete ; ous le savios car il s agit d ue série alterée dot le terme gééral a la valeur absolue qui coverge vers e décroissat Calculos + t dt 4 t 4 + = t + t = t t + t + t + t 4 + = at + b t t + + ct + d t + t + E échageat t e t et e teat compte de l uicité de la décompositio e élémets simples ous e déduisos c = a, b = d E choisissat t = ous obteos b = et e choisissat par exemple t = ous obteos a = 4 Il viet alors 8 t 4 + = + t 4 t + t + + t 4 t t + 8 Nous pouvos utiliser ue autre méthode plus géérale : Soit α C \ R ue racie du polyôme X X + X + X + = ax + b + cx + dx X + X + doc X + α + α + = aα + b avec α = + α Il viet alors α = aα + b puis 75

82 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS dt t 4 + = 4 = 4 + t t + t + dt t t + t + dt t t t + dt = + t 4 t + t + dt + dt t + + [ = l t + ] [ t + + ata ] t = 4 l + + ata + + ata 4 Nous savos que si x R + alors atax + ata x doc ata + + ata = π = π Nous obteos Fialemet = 4 + = dt t 4 + = 4 l π 38 Posos, pour N, x = α + β ; x + = α α + + β β + = x + + x exp i π 3 α = exp i π 3 x exp i π 3 β + exp i π 3 x Nous avos doc : w = v + iu = + exp i π 3 x exp i π 3 β 5 β = < Lorsque ted vers +, La série de terme gééral + exp i π 3 x + exp i π 3 x exp i π 3 β = O + exp i π 3 x exp i π 3 β + β est absolumet covergete La série de terme gééral w est doc de même ature que la série de terme gééral z = + exp i π 3 x x =, x = Nous e déduisos e utilisat la relatio x + = x + + x que modulo π, πx 3 π 3, πx 3 π 3, πx 3 π, πx 3 3 4π 3, πx 4 3 π 3, πx 5 3 5π 3, πx 6 3, πx 7 3 5π 3, πx 8 3 5π 3, πx 9 3 4π 3, πx π, πx π 3 3 3, πx 4π 3 3, πx 3 5π 3 3, = α aα + b = aα + bα = bα + a + α = bα a + 4aα Nous avos ue relatio aalogue avec α α Fialemet = a + b + 4aα et = a + b + 4aα doc ous obteos = a et = b + 4a soit efi a = 4 et b = 76

83 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS πx 4 π, πx 5 π 3 3 3, πx 6 5π 3 3, πx 7 π 3 3, πx 8, πx 9 π 3 3 3, πx π 3 3, πx π 3 3, πx π, πx 3 5π 3 3 3, πx 4 π 3 3, πx 5 π 3 3 La suite de terme gééral exp i π 3 x est périodique de période 4 p 3 Soit N = 4p + q avc q < 4 z k = z 4l+k + z l l=4p 3 k= k= z l 4 4 Nous e déduisos 4p + lim z 4l+k = 3 k= Notos ζ = exp 3 k= 4l + k + exp i π 3 x k iπ 3 4l + k + exp i π 3 x k = 4l + ζ + l= k= + l=4p z l = 4l + ζ 4l l + 4 ζ4 + 4l + 5 ζ + 4l + 6 ζ l + ζ4 4l l + 6 ζ + 4l + 7 ζ5 + 4l l + 4 ζ5 = ζ 4l + 4l l + 5 4l + + l=4p 4l l + 8 ζ5 + 4l + 9 ζ5 4l + ζ + 4l + 3 ζ4 + 4l + 4 ζ5 4l + 5 4l + 8 ζ + 4l l + ζ + 4l + ζ 4l + 4l l l + + 4l + +ζ 4l + 4l + 6 4l + 8 4l + 9 4l l + 6 4l l + 4l + 4 4l l + 7 4l + 4l l + 9 4l + 3 Lorsque l ted vers +, 3 k= 4l + k + exp i π 3 x k = 8l + O l La série des parties réelles est doc divergete et la série des parties imagiaires est covergete Doc u coverge et v diverge 39 E utilisat l hypothèse U + U ous e déduisos : 77

84 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS N, U + U k= + k E effet pour =, l iégalité est vérifiée Supposos l iégalité vraie jusqu au rag U + U = U + k + k k= Le résultat est doc vrai au rag + ; il est vrai pour tout N l + = l + k k k= k= l + k La série de terme gééral l + est doc covergete de limite l > doc la suite de terme gééral k + k k + est cover- k gete de limite expl > La suite de terme gééral U est doc majorée Soit p N Il existe u etier q tel que p q doc U p p N est majorée S agisat d ue suite croissate elle est covergete doc la série u est covergete 4 a Soit l la limite de la suite a N Soit ε > Il existe N N tel que pour k N o ait a k l ε C k = Soit alors N + b l N C a k k l + k= N k= C k a k l + k= k=n+ ε + C k a k l C k = k= k= k= N k= C k a k l + ε Notos M = sup a k l ; M existe car la suite a N est covergete k N N C a k k l k= N k= k k! a k l M N k= k N + N M k! N + N lim M = doc il existe N + N tel que pour N o ait N + N M ε Nous avos doc pour maxn +, N, b l ε ; la suite b N coverge doc vers l j b Posos, pour j N, A j = a k et A = j N, a j = A j A j k b k = k C j k a j = j= k= k C j k A j j= k C j k A j = j= Joseph Di Valeti Exercices corrigés 78 k j= k!j k + j +!k j! A j

85 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS k k!j k + Nous avos doc B = b k = k j +!k j! A j k= k= j= k!j k + Fialemet ous obteos : B = A k j j +!k j! j= k=j c Das la relatio précédete, si les A j, pour j N, sot tous égaux à k k k ous obteos k b k = C j k a j = C j k C j k = Il viet alors k= j= = + = k j= k!j k + k j +!k j! j= j= Reveos au cas gééral Supposos que la suite A N coverge vers L [ ] k!j k + A k j L = B + L j +!k j! j= k=j [ B L = L ] + k!j k + A k j L j +!k j! j= k=j k=j k=j Motros que la suite B N coverge vers L lim [ k!j k + prouver que lim + sum j= k j +!k j! k=j k=j + L = Il reste à ] A j L k!j k + k j +!k j! = Cj+ + E effet, e posat C j+ j =, k!j k + k j +!k j! = k Cj k Cj+ k doc k!j k + k j +!k j! = k Cj k k=j k=j+ k Cj+ k k Ci k est le coefficiet de X i du polyôme k + Xk doc est le coefficiet de X i du polyôme coefficiet de X i du polyôme p k= k=j k + Xk = +X p k= p+ X p k=i k + Xk k Cj k est le coefficiet de Xj+ du polyôme X 79 = p k=i k Ci k k + Xk c est-à-dire aussi le +X + X et

86 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS +X + k Cj+ k est le coefficiet de X j+ du polyôme X k=j+ p p Fialemet k Cj k k Cj+ k est le coefficiet de X j+ du polyôme X = k=j k=j+ +X p+ +X p+ p+ + X X X c est-à-dire est égal au coefficiet de X j+ du polyôme p + Xp+ qui est p Cj+ p+ Le résultat est bie démotré [ ] k!j k + Notos S = A k j L j +!k j! j= k=j Soit ε > Il existe N N tel que pour j N o ait A j L ε Soit alors > [ N ] N k!j k + S k j +!k j! A j L j= k=j [ ] k!j k + + k j +!k j! A j L j=n+ j= j=n+ Soit M u majorat A j L ; majorat qui existe N S M Cj ε Cj+ + + j= j=n+ C+ j+ C j+ + = + doc ε Cj+ + + ε C+ j+ + j+ j +! N j= Cj+ + + N j= doc k=j j=n+ + j+ + N+ N + + j +! + Nous e déduisos lim M N + j+ + N+ N + = + + j +! + j= Il existe N N tel que pour N o ait M N j= + j+ + N+ N + ε + j +! + E choisissat maxn +, N ous avos B L ε La suite B N coverge doc vers L Fialemet = b = 4 a Nous pouvos aussi utiliser le résultat cocerat les séries ; si ue série à 8 = a

87 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS termes positifs u diverge et si la suite u N est équivalete lorsque ted vers + à la suite v N alors les sommes partielles des deux séries sot équivaletes lorsque ted vers + das otre exemple la suite, défiie pour N, de terme gééral coverge vers doc E cosidérat u = u est divergete k= k k ous obteos u + b v + v est covergete 4 La série de Riema coverge pour α > Notos S sa somme x R x α R état décroissate ous avos dt + t R + α + + dt α + t c est-à-dire α α + R α + + soit ecore α α + α R + α + et doc R α S + Sα + α La série R coverge si et seulemet si α > S 43 Posos, pour N, b = a exp λ z Soit z C, Rez z > Notos z z = a + ib avec a, b R + R Il s agit de motrer que la série b exp λ a + ib coverge ; sachat que la série b coverge Posos, pour N, R = k=+ b k Soit ε > doé Notos ε = aε expλ a a + a + ib Il existe N N tel que pour tout etier, N R ε Soiet alors p, q N, N + p q q q b exp λ a + ib = R R exp λ a + ib =p = =p q =p R exp λ + a + ib q R exp λ a + ib c est-à-dire : q b exp λ a + ib = R p exp λ p a + ib R q exp λ q a + ib =p =p q + R exp λ + a + ib exp λ a + ib =p 8

88 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Lorsque p = q, la derière somme est ulle exp λ + a + ib exp λ a + ib = a + ib doc exp λ + a + ib exp λ a + ib a + ib λ+ λ λ+ λ exp a + ibtdt exp atdt a + ib = exp λ a exp λ + a a Nous e déduisos : q R exp λ + a + ib exp λ a + ib =p q a + ib R exp λ a exp λ + a a =p exp λ a exp λ + a ε q a + ib = ε exp λ p a exp λ q a a Fialemet q b exp λ a + ib ε exp λ a + ε a + ib exp λ a + ε exp λ a a =p = ε a + ib exp λ a + = ε a La série b exp λ a + ib vérifie le critère de Cauchy doc elle coverge Posos z z = ρcosθ + i siθla coditio cocerat ue mesure de l argumet sigifie < α cosθ soit ecore z z Rez z α Repreos le calcul précédet avec ε état doé u choix de ε α = ε + α Nous obteos alors l existece d u etier N e dépedat que de ε et o pas de z tel que pour p et q strictemet supérieurs à N ous ayos q a + ib b exp λ a + ib ε exp λ a + ε a + ib + = ε a a =p La covergece est bie uiforme 44 a Pour b =, u = + La série u est divergete =p cosb l t dt = l + t + Pour b, ue primitive de t 8 cosb l t t est t sib l t b

89 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS u k = sib l + b k= Motros que la suite de terme gééral sib l est divergete π8k + π O peut supposer b > lim exp exp = + + 4b 4b π8k et lim exp exp π = + + 4b 4b Il existe doc k N tel que pour k k o ait π8k + π π8k exp exp et exp exp 4b 4b π 4b 4b Pour tout k k il existe doc u etier aturel strictemet compris etre π8k + π4k + exp et exp et de même il existe doc u etier 4b b π4k π8k aturel strictemet compris etre exp et exp b 4b π8k + π4k Soit N, k N, k k, exp N et exp N 4b b Il existe alors N vérifiat N, π 4 + kπ b l π + kπ et N vérifiat N, π + kπ b l π 4 + kπ N N,, N, N, N avec sib l et sib l La suite de terme gééral sib l est divergete La série u est divergete cosb lt cosb lt + b sib lt b t a pour dérivée t t t Nous avos doc + cosb lt + b sib lt t dt = c est-à-dire u v = c u v + b + t [ + t + t ] + cosb lt + + t t dt = + b + cosb lt dt t cosb lt + b sib lt dt t + + b La série u v est absolumet covergete Nous e déduisos cosb l que la série de terme gééral est divergete d Nous avos vu à l exercice précédet que si la série de terme gééral 83

90 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS a exp λ z coverge λ N est ue suite croissate positive alors la série de terme gééral a exp λ z coverge pour tout z C vérifiat Rez z > Posos λ = l Nous e déduisos que si la série a coverge z alors la série a coverge pour tout z C vérifiat Rez z > z Supposos que pour tout N, a = Nous savos que la série de Riema diverge pour z = Supposos qu il existe u ombre complexe z = a + ib de partie réelle a < pour lequel la série de Riema coverge Cette série devrait doc coverger pour tout z tel que Rez > a et e particulier pour z = ce qui est faux La série de Riema diverge doc pour Rez < D après ce que ous veos de voir, elle diverge pour tout z = + it avec t R Si Rez > alors z = La série de Riema coverge doc Rez absolumet pour Rez > et diverge pour Rez 45 a a est ue série covergete, à termes réels, doc la suite a N est borée Il existe M R + tel que N, + M La série a est doc covergete + b Notos, pour k N, R k = =k+ a + Soit ε > a est ue série covergete doc il existe N N tel que pour tout etier k N o ait R k k + k + k= =k+ a ε ε a k + k + Nous obteos doc N, + R ε c est-à-dire : lim + R = + k N, v k = k + k + R k kk + R k Soit N v k = k + k + R k k + k + R k+ k= k= k= a k+ = + + R + k + k + k + k + E utilisat la relatio k= v k = + + R + k= 84 a a k ous e dé- k=

91 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS duisos que la série v k coverge et a pour somme 46 Posos, pour, x N D, A x = = a a k x Soiet p et q deux etiers aturels ; p q Soit x D E utilisat la trasformatio d Abel vue plus haut ous avos : q q a k xα k x = A k xα k x α k+ x A p xα p x + A q xα q+ x k=p k=p La suite α x N est ue suite décroissate covergeat vers doc pour tout x D et pour tout N, α x q q a k xα k x K α k x α k+ x + Kα p x + Kα q+ x = Kα p x k=p k=p k= La suite α N coverge uiformémet vers doc ε >, N N, x D, p N, p N Kα p x ε Nous e déduisos : ε >, N N, x D, p, q N, q p N q a k xα k x ε La série a k α k coverge uiformémet + si x π Applicatio expikx = expi + x k= sio expix expi + x exp i x si +x = expix si x Soit x ]kπ, k+π[ k Z et N Nous avos expikx si x Soit η ], π[ Pour x [kπ + η, k + π η] et pour N ous avos expikx si η k= Pour x R + et pour N ous avos La suite de + x terme gééral x R + + x R coverge doc uiformémet vers et pour chaque x R +, N + x R est décroissate La série x [kπ + η, k + π η] expix C coverge uiformémet Elle + x coverge doc sur E = R + \ πn 85 k=p k=

92 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Supposos x = kπ expix + x = k + kπ Si k est impair, ous avos affaire à ue série alterée dot le module coverge vers e décroissat ; la série coverge doc Si k est pair, la série diverge Nous e déduisos que la série de terme gééral cosx + x coverge sur R + \πn six + x coverge sur R + 47 La série a est covergete doc pour tout ε > il existe N N tel que pour N, N a k ε 4 Notos R = k=p k=+ k=+ a k Soiet p et q deux etiers aturels ; p q Utilisos la relatio vue plus haut lors de la trasformatio d Abel q x k q + x a k k = xp + x R p p xq+ + x R x k x q+ q + + x k + x k+ R k Supposos p et q au mois égaux à N Nous avos alors q x k + x a k k ε 4 + ε 4 + ε q x k x 4 + x k + x k+ k=p k=p q x k x + x k + x k+ = q x k x q x k+ + x k + x k+ = xk + xk+ + x k k=p k=p = xq+ xp q+ k=p + x + x p q x k x Nous avos doc + x k + x k+ = k=p q x k Fialemet, + x a k k ε 4 + ε 4 + ε 4 = ε k=p La suite de terme gééral k= x q+ k=p xp + xq+ + x p x k + x k a k est ue suite de Cauchy qui coverge puisque E est u espace complet La série x R + x + x a E est doc covergete E repreat le calcul précédet, ous e déduisos que x k pour N, pour x R + ous avos + x a k k ε k=+ La série coverge doc uiformémet Chaque applicatio x R + x + x a E x est cotiue doc l applicatio x R + + x a E est cotiue 86 =

93 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 48 Nous savos que si ue suite réelle x N coverge vers et décroit alors la série alterée x coverge Notos, pour N, S = k x k et S = k= k x k Nous avos 9 p, q N, S p+ S q et S S x + Si pour chaque N, u est ue applicatio défiie sur u esemble D à valeurs réelles et si pour chaque x D la suite u x N est ue suite décroissate alors pour chaque x D la série u x coverge E otat S x = k u k x et Sx = k u k x ous avos k= x, D N, Sx S x u + x Si la suite u N coverge uiformémet vers alors la suite S S N coverge uiformémet vers et la série u est uiformémet covergete Applicatios N, x R u x = + cosx Pour x fixé, la suite N est décroissate et coverge + cosx vers La série alterée u x est doc covergete Le reste R x vérifie R x La série coverge doc uiformémet + x N, x R u x = si x Pour x R + fixé, la suite N si R est décroissate à partir d u certai rag N x π et coverge vers La série alterée u x est doc covergete Soit A > Soit N N, N A π Pour x [, A], Le reste R x vérifie, pour x A N, R x si si La série coverge doc uiformémet + + Il y a doc aussi covergece uiforme sur [ A, A] Lorsqu ue série de foctios u défiies sur u esemble A coverge uiformémet alors la suite de foctios u N coverge uiformémet vers car pour tout ε > il existe N N tel que pour N et pour x A R x ε ; 9 S +3 S + = x +3 + x +, S + S = x + x + La suite S N est décroissate et la suite S + N est croissate S + S = u + doc lim S + S = Les suites S + N et S + N sot des suites adjacetes et sot doc covergetes, de même limite S Nous avos doc p, q N, S p+ S S q Nous e déduisos S S x + 87 k= k=

94 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS e particulier u + x = R x R + x ε x La suite de terme gééral si e coverge pas uiformémet vers sur R car par exemple la suite de terme gééral si e ted pas vers u coverge uiformémet vers sur tout compact iclus das R mais pas sur R 49 Utilisos la trasformatio d Abel que ous avos vue plus haut Posos pour N et pour x A, F x = k=+ f x Soiet p et q deux etiers aturels ; p q Soit x A E utilisat les relatios déjà vues ous obteos q q f xg x = g p xf p x g p+ xf q x + g + x g xf x =p Supposos que pour x, A N, g x q f xg x g px F p x + g q+ x F q x =p =p + sup F x p, x A q g x g + x = g p x F p x + g q+ x F q x + sup F x g p x g q+ x p, x A La série f coverge uiformémet sur A doc pour ε >, il existe N N tel que pour tout x, A N, N f k x ε M + Soit alors p N + Nous avos pour tout x A, k=+ =p q f xg x g ε px M + ε =p La série de foctios f g est doc uiformémet covergete Si les foctios g e sot pas positives ; posos pour x A, h x = g x + M L hypothèse g M implique, x N A, h x La série h f coverge uiformémet f g = f g M f k= k= k= La série g f coverge doc uiformémet 5 Posos A = a k Soiet p et q deux etiers aturels o uls ; p q k= Utilisos la trasformatio d Abel vue plus haut 88

95 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS q ε k a k = ε q+ A q ε p A p + k=p q ε k ε k+ A k k=p N, A A Nous obteos doc q q ε k A k A k ε q+ + ε p + ε k ε k+ A k=p k=p La série de terme gééral ε ε est supposée covergete doc pour α > doé, il existe N N tel que pour tout couple d etiers p, q o ait q α N p q ε k ε k+ 3A + k=p La suiteε N coverge vers doc il existe N N tel que pour N, α N ε 3A + Soit N N, N maxn, N Pour N p q ous avos alors q ε k a k α La série ε a est doc covergete car elle vérifie le critère de Cauchy 5 a u x = exp + x doc u = La série de terme gééral u est divergete Supposos x > La série est ue série géométrique de raiso exp x Elle coverge et u x = + expx = b Si la série coverge uiformémet sur R + alors la série de terme gééral lim u x coverge ; ce qui est faux doc la coverge sur R x + + est pas uiforme Soit a > Pour x a, R x exp + a La covergece est doc uiforme sur [a, + [ x 5 Posos u x = + x + + x u = Pour x > u x + x La série u x est covergete pour tout x R + x + x + + x = + x + + x doc k=p Nous pouvos aussi calculer le reste, R x, d ordre de la série qui est égal à + exp + x + exp x R = + exp sup R x exp + + exp x> + La covergece est doc pas uiforme 89

96 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS U x = u k x = + + x k= lim U = = U et pour x > lim U x = = Ux + + La série de foctios cotiues a pour limite ue foctio o cotiue La covergece est uiforme i sur R + i sur R + car das ce derier cas ous devrios avoir = lim Ux = + lim u x = x + x = + Soit a > U x Ux = + + x + + a La suite majorate coverge vers doc la série coverge uiformémet sur [a, + [ pour tout a > 53 Soit a > Soit x [ a, a] Soit a Posos u x = + x La dérivée de l applicatio t t t + x est égale e t à x t t + x La suite de terme gééral u x est doc décroissate pour a Elle coverge vers doc la série alterée de terme gééral u x coverge pour tout x R + Pour a, ous avos R x + + x + où R x est le reste d ordre de la série u x La série u coverge doc uiformémet sur [ a, a] Notos pour x R, Ux = = u x Les foctios u sot toutes cotiues sur R doc la restrictio de U à [ a, a] est cotiue a état strictemet positif quelcoque, U est doc cotiue sur R 54 a Posos, pour, x N R, u x = x exp x lim + u x = doc lorsque ted vers + ous avos u x = o La série de terme gééral u x est covergete pour tout réel x Soit y ], [ Notos f y = y k = y+ y f y = k= k= k= ky k = y+ + y + y ky k = y+ + y + + y y doc k= ky k = y y Nous e déduisos pour x, Sx = x exp x et S = exp x E effet Soit x R Soit a > avec x < a La restrictio de U à [ a, a] est cotiue [ a, a] est u voisiage de x doc U est cotiue e x puis U est cotiue sur R E utilisat les résultats cocerat les séries etières, ous obteos directemet cette ré- 9

97 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Sx x S est doc pas cotiue e x3 b Les foctios u sot cotiues sur R ; la somme S est pas cotiue sur R doc la covergece de la série est pas uiforme Remarque sas détermier S ous pouvos vérifier que la covergece de la série est pas uiforme sup u x u = exp lim x R u = + La suite de foctios u N e coverge doc pas uiformémet vers doc la série u e coverge pas uiformémet sur R u x = x exp x Soit a > Soit x R, x a Pour a, u x u a La série coverge doc ormalemet puis uiformémet sur ], a] [a, + [ La somme de la série défiit doc ue foctio cotiue sur R shx 55 Notos pour, x N R, u x = ch ch + x exp expx ch + x, shx exp x doc exp x x exp u x exp x x exp ch La série de terme gééral u x est doc absolumet covergete pour tout réel x Soit a < Soit x [a, + [ u x exp a exp La série u coverge ormalemet sur [a, + [ Chaque foctio u est cotiue doc la somme de la série défiit ue foctio f cotiue 3 sur R u est dérivable, u x = chx + u est doc strictemet croissate et f est strictemet croissate La série de terme gééral u x est covergete car u x 4 exp + x + u x 4 exp exp x doc comme précédemmet la série u coverge ormalemet sur [a, + [ pour a < f est doc de classe C sur R et x R, f x = ch + x = pose La série etière y a pour rayo de covergece doc pour y <, c est-à-dire = y + = y puis y y = y = d y = y dy = = 3 Soit x R Soit a <, a < x [a, + [ est u voisiage V a de x La restrictio de f à V a est cotiue doc f est cotiue e x puis f est cotiue sur R 9

98 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 56 Nous savos que pour t <, l t = l t Pour < t <, t [ a, a] avec < a < doc t ], [, = t = t = l u du = u = t = t La série coverge ormalemet sur t coverge ormalemet sur [, ] doc la somme défiit ue foctio cotiue sur [, ] et e particulier lim t l u du = u = = = t = + ; il viet alors l t La foctio ϕ défiie par ϕt = pour t ], [ et ϕ = est t t t cotiue et t [, ], ϕudu = E posat pour x, y R, t = exp x + y ous obteos exp x +y = x, y R l u, fx, y = du u f x x, y = x exp x + y ϕexp x y De même f y x, y = y exp x + y ϕexp x y f est doc de classe C sur R Nous aurios aussi pu étudier les séries de termes gééraux u x, y et x u y x, y où u x, y = exp x + y La série défiissat f est clairemet ormalemet covergete ; f est bie évidemmet cotiue u x x, y = x exp x + y x R x exp x R est maximale e x = ± Nous e déduisos que x, y R, u x, y x exp exp y La série u x coverge ormalemet doc uiformémet sur R Nous faisos de même pour u x, y f a doc des dérivées partielles cotiues et y 9

99 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS est doc de classe C 57 Soit x R + lim + exp x = doc pour chaque x R + la série de terme gééral exp x est covergete Soit a > fixé Pour x [a, + [ ous avos exp x exp a La série x [a, + [ exp x R est doc ormalemet covergete La covergece état uiforme, x [a, + [ cotiue Posos pour x R + =, fx = = = exp x exp x R est doc Soit x R + Soit a ], x [ [a, + [ est u voisiage de x ; la restrictio de f à ce voisiage est cotiue doc f est cotiue e x puis f est alors cotiue sur R + x R x α R est cotiue doc f α défiie par f α x = est défiie et cotiue sur R + t exp xt est décroissate doc N ous avos exp x + = exp x + Nous obteos doc exp xt dt exp x puis exp xt dt = exp x exp xt dt fx + À l aide du chagemet de variable t u x ous obteos x α que exp u du xfx x + exp u du f α x x α + x α exp u du puis exp u du = exp xt dt x α exp x exp u du = π ; α état strictemet positif, lim xα = doc x + π, si α =, lim x + f αx = si 4 α >, lim x + f αx =, si α <, lim x + f αx = + 4 Lorsque α >, e étudiat les variatios de x R + x α exp x R ous e déduisos que x α exp x α α exp α α La série défiissat f α est alors ormalemet covergete doc est cotiue sur R + et lim x + f α x = f α = 93

100 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 58 U des déomiateurs s aule pour les valeurs x =, N Pour éviter cela il suffit de supposer x > + x + + x Soit, pour N, u x = x + x = xx + La série u x est covergete pour tout x > car u x + x La série est ue série alterée covergete car la valeur absolue x du terme gééral ted vers e décroissat fx est doc bie défii pour x ], + [ fx = + x xx + + x = = Pour x [, + [, xx + + La série x [, + [ xx + R est ormalemet cover- gete ; sa somme défiit doc ue applicatio cotiue sur [, + [ f est doc cotiue sur ], + [ Pour, = Nous e déduisos 5 lim u x = doc x + lim fx = x + lim x + = xx + Repreat l expressio de fx vue plus haut ous obteos fx puis lim fx = x + 59 Soit f l applicatio défiie sur [, ] par fx = l f est de classe C, f x = x < f est strictemet décroissate et f[, ] = f = doc fx a le sige de x fx x lorsque x > fx x = fx + x lorsque x x x + x [ ] 3 l, l [, ] 5 Supposos x + x + + x + = x La série alterée coverge car le module du terme gééral ted vers e décroissat x + Nous savos qu alors la somme est comprise etre deux sommes partielles cosécutives Nous avos doc fx Il est alors clair que x lim fx = x + 94

101 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Pour x [, ], f x + = x x [, ] fx + x R est x doc strictemet croissate ; f = doc fx + x a sur [, ] le sige de x puis fx x Soit alors, pour x [, ], la suite u x N défiie par u x = x et pour N, u + x = fu x u x N est bie défiie et N, u + x u x La suite u x N est décroissate miorée par doc covergete de limite l Il est immédiat que ous avos u x = u x sgx Les suites u x N et u + x N coverget doc respectivemet vers l et l Nous e déduisos l = f l et l = fl E particulier fl + l = doc l = car x fx + x est strictemet croissate Nous pouvos utiliser le résultat cocerat la covergece des séries alterées dot le terme gééral coverge vers et dot la valeur absolue est décroissate pour e coclure que la série u x est covergete 6 Cosidéros, pour x ], [, la suite u x N = x lx N u x, x lxdx = lim t ltdt x + x [ ] t ltdt = x + t+ lt t dt x + x = + x+ lx + x+ Nous e déduisos = x lx = lx x x lxdx = + E utilisat le théorème de covergece domiée ous e déduisos : t ], [ lx + x R est itégrable 6 lx et x dx = + 6 Soit pour x, y R + R, la suite u x N = x y exp + x N < exp x < doc = = u x = x y exp x exp x = x y expx x, y, R R N, u x > x R + u x R est cotiue lim xy exp + x =, u x x + y > lx R est cotiue lim = doc f est prologeable par coti- x x 6 f : t ], [ lx x uité sur ], ] lx lim x = doc f est itégrable x + x x + xy u est doc itégrable lorsque 95

102 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS E utilisat le chagemet de variable x R + t = + x R + ous obteos u xdx = t y exp tdt + y+ La série de Riema est covergete pour y > doc ous + y+ pouvos appliquer le théorème d échage séries itégrales pour e déduire que x R + avos x y expx x y + expx dx = = y+ R est itégrable 7 et t y exp tdt = Γy + pour y ], + [ ous = y+ 6 a Pour x = la série harmoique diverge f est pas défiie e Soit x > + x + x La série coverge doc + x Soit a > Pour x a ous avos + x + a La série x [a, + [ + x R coverge ormalemet doc uiformémet Les foctios f état toutes cotiues sur R, comme ous l avos déjà vu plus haut la somme de la série défiit ue foctio, f, cotiue sur R + b t [, + [ R est cotiue, décroissate positive, itégrable t + t x + dt doc t + t x fx + x + dt t + t x t + t x = t x Ue primitive de t [, + [ + tx t + t x R est t t [, + [ l R + tx dt + x Nous avos doc t + t x = l doc fx x lx x + L applicatio g : x R + x R est croissate, ulle e de + x limite égale à e + Nous avos doc x R +, N, x + x 7 Supposos y > f : x R + x y R est cotiue et est prologeable par coti- expx uité e lim x + x x y = doc f est itégrable expx 96

103 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS La série Nous e déduisos g coverge ormalemet doc uiformémet lim x + + = + x + x = = lim x + x c est- + x π à-dire lim xfx = x + 6 Nous avos doc fx π x + 6x Soit x R + Il est clair que t [x, + [ x dt + t = Nous avos doc x La série de terme gééral x dt + t du + u = ata dt est covergete doc f est ité- + t ftdt = ata x grable sur [x, + [ et gx = ata La série x π + x x R + ata x x x R coverge uiformé- x = π g possède met Pour chaque N, lim x ata R est itégrable + t x = doc ue limite e ; cette limite est égale à π = f est doc itégrable sur ], + [ car f est de sige fixe et l itégrale possède ue limite e Nous savios déjà que f était itégrable sur ], + [ car fx l x x 63 N, atax π La série de foctios x R atax R est doc ormalemet covergete f défiie sur R par fx = atax est cotiue sur R = x R atax = u x R est de classe C u x = + x Soit a > Pour x a et N, u x = u x + a sur I a =], a] [a, + [, la série u coverge uiformémet car ormalemet La restrictio de f à I a est doc de classe C Soit x R Soit 97

104 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS a >, x < a I a est u voisiage de x doc f est dérivable e x et est cotiue e x f est doc de classe C sur R et pour tout x o ul ous avos f x = = = + x t [, + [ R est décroissate itégrable t + t x x dt t + t x + x puis dt t + t x f x + x + t + t x = t tx + t x A dt t + t x = Nous e déduisos = [ lt l + t x = A l + x + A x + x puis e utilisat l iégalité écrite précédemmet f x dt t + t x ] A dt t + t x = l x l x 64 Posos pour N u x = x six u x x Pour x < la série x est absolumet covergete doc u x est absolumet covergete x six f défiie par fx = est bie défiie sur ], [ = Pour N, u est de classe C u x = x six + x cosx u x x + x La série u x est absolumet covergete et pour x <, = u x = = x six + = x x cosx Soit a ], [ Soit x [ a, a] N, u x a + a La covergece de la série u est doc uiforme sur [ a, a] Soit x ], [ Soit a ], x [ [ a, a] est u voisiage de x La restrictio de f à ce voisiage est doc de classe C et x [ a, a], f x = = u x f est doc dérivable e x et f est cotiue e x f est doc de classe C et x ], [ f x = = u x Joseph Di Valeti Exercices corrigés 98

105 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Nous obteos doc x ], [, f x = Pour x ], [, Nous avos doc = x six = doc f x = = = x expix = x expix = = x expix x expix x six + x expix x x x cosx + puis + six x x cosx + et x cosx = six + x cosx x x x cosx + = Soit g la foctio défiie sur ], [ par gx = ata de classe C et = x cosx = x expix x exp ix x expix x cosx x x x cosx + x si x g est x cosx g six + x cosx x cosx x six cosx + x six x = x cosx + x E simplifiat ous obteos g x = f x f =, g = doc f = g et x ], [, = x six = ata x si x x cosx Soit x [, ] x cosx + x six e s aule pas car il faudrait x six = et x cosx = Il existe doc M > tel 8 que x [, ], x x cosx + M Posos pour x [, ], A x = x k sikx k= A x = Im x expix x expix x expix = x six x+ si + x + x + six x x cosx + Pour x [, ] ous avos doc A x 3 M Utilisos à ouveau la trasformatio d Abel vue plus haut Nous obteos : q x k sikx = k q + A qx q p A p x + k A k x k + k=p k=p q x k sikx k 3 M q + + q p + k = 6 k + Mp k=p k=p Soit ε > Soit N N, N 6 Nous avos pour tout couple p, q d etiers Mε 8 E étudiat les variatios de x x x cosx + ous e déduisos que M est voisi de,

106 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS q x k sikx aturels o uls, N p q k ε k=p La série de foctios x [, ] x six R est doc uiformémet covergete sur [, ] et sa somme est ue foctio cotiue sur cet itervalle x six x six Il viet doc pour x [, ], = ata x cosx = + E particulier 9 si si = ata = π et cos = si si = ata = + cos = E soustrayat les égalités précédetes ous obteos p= sip + p + = π 4 65 La série de Riema coverge pour x > x Soit a > Pour x I a = [a, + [, x a La série de foctios cotiues x I a R coverge ormalemet doc uiformémet La x somme est doc cotiue Soit x > Soit a ], x [ La restrictio de f : x ], + [ R x = à I a, qui est u voisiage de x est cotiue doc f est cotiue e x f est doc cotiue La série alterée + coverge car la valeur absolue du terme gééral x ted vers e décroissat lorsque x > Pour x le terme gééral e coverge pas vers doc cette série coverge si et seulemet si x > Nous avos de plus pour x > N k+, k x + x k=+ Soit a > pour x a ous avos N k+, k x La série + a k=+ 9 E utilisat les séries de Fourier, ous prouvos facilemet que pour x ] π, π[, x + = six et = pour x ], π[, π x = + = + six doc = = si et π + = = si

107 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS de foctios cotiues x [a, + [ + R coverge ormalemet doc uiformémet La somme est doc cotiue Nous motros alors x comme précédemmet que la foctio g défiie sur R + + par gx = est cotiue Soit x > t [, + [ R est décroissate itégrable Nous avos tx dt + doc les iégalités t fx + dt x t c est-à-dire x x fx + Nous e déduisos fx x lim fx = + x + Supposos x > N = + x = N = N + x = x doc évidemmet x + x = + x Chacue des sommes est covergete doc gx = x fx + + De même N = = N x = N + x = = ous obteos alors + x + x fx = fx + + et ous e déduisos fx gx = fx x + x x = puis gx = fx x fx = x x gx Cette relatio 3 permet de prologer f sur ], [ 66 E utilisat le critère de d Alembert ous e déduisos que la série x coverge si et seulemet si x < E effet pour x le terme gééral e ted pas vers Pour x <, x + = x + x + doc lim = et la série coverge x + x absolumet Soit x ], [ g : t R + x t R est cotiue décroissate lim t + t gt = doc g est itégrable Pour t [, +], g+ gt g ; gtdt fx g + Soit le chagemet de variable t R + u = t lx R + gtdt 3 Lorsque x ted vers ous avos x = exp x l = x l + ox puis = x l + ox c est-à-dire math x x l x x Nous e déduisos gx l g est cotiue e doc g = l Nous retrouvos là u x résultat cou ; si ous l utilisios ous obtiedrios u équivalet de fx lorsque x ted vers

108 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Nous obteos Nous e déduisos fx 67 Pour x, shx gtdt = + exp u du = lx π x lx sgx exp x lim + série de terme gééral shx Soit x > Posos, pour t, gt = g est cotiue décroissate ité- shtx grable doc gtdt fx g + + shx π lx est absolumet covergete pour x = doc la gtdt E utilisat t [, + [ u = exptx [expx, + [ ous obteos gtdt = x expx u du u = u u + doc gtdt = expx x l expx + Lorsque x ted vers à droite ous avos expx expx + = x + x + x + 6 ox + x + x + ox expx expx + = x + x + x 6 + ox x/ + ox = x expx l = lx l x expx + + ox Lorsque x ted vers à droite shx = x x 6 + ox Lorsque x ted vers à droite o a lx x + l x + x Nous e déduisos fx + ox fx lx x x + lx x Soit, pour x, ] R + N, hx = expx shx h est de classe C, h x = expx gtdt = lx x + + l x shx chx shx x + ox + l x x + ox + x + ox h x a le sige de thx h est décroissate Pour x et ous avos expx shx e sh La série de foctios x expx shx R coverge uiformémet expx Pour, lim = Nous e déduisos x + shx lim expx x + shx = puis =

109 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS lim expxfx = Nous avos doc fx x + exp x x + 68 Soit N, exp x + = exp x exp x + Notos u x = exp x + u x N, coverge vers si et seulemet si x R + exp x La série alterée de terme gééral coverge car la valeur absolue du terme gééral décroit et coverge vers Nous avos de plus k exp kx k + x exp + + k=+ La série de foctios cotiues x R + exp x R coverge uiformémet et a pour somme ue foctio cotiue N,, x R +, exp x + La série de foctios cotiues x R + exp x + R coverge ormalemet doc uiformémet et a pour somme ue foctio cotiue La foctio f défiie sur R + par exp x est cotiue + = 69 Soit, pour x, R N, u x = l + x π u x = x π + o Posos fx = = Lorsque ted vers +, La série u x est doc covergete l + x π Soit A > Pour x I A = [ A, A] ous avos u x A La covergece de la série u est doc uiforme sur I A Soit x R Soit A >, A > x I A est u voisiage de x La restrictio de f à I A est cotiue doc f est cotiue e x puis f est cotiue sur R L applicatio g défiie sur [, + [ par gt = l + x est décroissate t π cotiue itégrable doc gtdt fx g + E itégrat par parties ous obteos gtdt = l + x + x dt π x + t π 3 gtdt

110 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS x dt x + t π = x du π π + u = x π π π ata x x Fialemet gtdt = l + x + x π π π π x ata Nous e déduisos, pour x >, l + x + x π π π π x ata fx x π π π x ata π Lorsque x ted vers +, ata = x π x + o doc x x π π π x ata = x + o x Lorsque x ted vers + lx est égligeable devat x doc fx + x π l Soit x R Soit N x π l + x π x x + Posos, pour x, v x = et v x = π La série v est ue série ormalemet covergete de foctios cotiues doc sa somme défiit ue foctio cotiue h sur R h = π = doc hx 6 x 6 puis 3 fx x = x 6 3 Soit ϕ la foctio π-périodique défiie sur R telle que sa restrictio à [ π, π] soit défiie par ϕx = chαx où α est u réel o ul ϕ est cotiue de classe C par morceaux ϕ est développable e série de Fourier π π ϕx cosxdx = α shαπ πα + doc pour x [ π, π], chαx = shαπ απ E particulier chαπ = shαπ απ + + = = α shαπ πα + α shαπ πα + Pour t R ous avos doc cht sht = + t + t t + π = x t t + dt = l + x π π cosx Nous e déduisos ce que ous savios déjà l existece de x cht sht dt = l + x π = x cht shx shx sht dt = l doc x R, l = x x = x cht sht dt l + x π = fx et 4

111 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 7 a x, R N πx πx, si Soit N Pour x [, + [ ous avos + si πx x [, + ] si R πx π + est ue série de foctios cotiues covergeat ormalemet doc uiformémet La somme de la série défiit doc ue foctio cotiue πx si est défiie sur R+ et la foctio f défiie sur R + par >x fx = πx si est cotiue par morceaux >x b E utilisat le résultat précédet ous e déduisos fx = si π et lim x + fx = + = + = + Le saut de la foctio f e N est doc égal à lim x + = + π + si = si c Soit N Soit x [, + [ π = si L applicatio g défiie sur [ +, + [ par gt = si cotiue décroissate, car πx t π + + = π ; gt g est itégrable + π π + = πx si est t t + π x 4t doc Nous avos pour +, g + gtdt g doc πx dt fx πx + πx dt si si + si + t + + t E utilisat t [ +, + [ u = πx ] ] t πx, ous obteos si dt = du + πx πx πx +Ex siu + t u πx π +Ex siu siu lim du = du x + u u πx lim si = x + Ex + Il est alors clair que fx Nous e déduisos fx x x + πx x 6 et fx x + x 5 π siu du u

112 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 7 a La série de terme gééral exp xa est ue série alterée covergete car la valeur absolue du terme gééral ted vers e décroissat dès que x > et a N croissate strictemet positive de limite ifiie Nous savos alors que le reste d ordre vérifie la relatio k exp xa k exp xa + k=+ fx = exp xa est bie défii pour x > = Soit A > Pour x A, k exp xa k exp Aa + k=+ La série x [A, + [ exp xa R, de foctios cotiues, est uiformémet covergete et a pour somme ue foctio cotiue Soit x R + Soit A ], x [ [A, + [ est u voisiage de x La restrictio de f à ce voisiage est cotiue doc f est cotiue e x f est doc cotiue sur R + Chaque foctio x [, + [ exp xa R est cotiue, itégrable exp xa dx = a + k k exp xa k dx = a k k= k= La série alterée de terme gééral croissate strictemet positive et a pour limite + a est covergete car a N est Pour x >, + + k exp xa k dx exp xa + dx = k=+ a + E appelat f x = k exp xa k, ous obteos lim + Nous avos doc k= ft f tdt = et fxdx = lim + = a f tdt = b Supposos N, a = Nous obteos exp x + dx = c est-à-dire = dx expx + = l 6 = = a +

113 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Supposos N, a = Nous obteos exp x + dx = c est-à-dire = dx chx dx = ata = π 4 dx chx dx = ata = π 7 L applicatio t ], [ ft = ft t e l t lim t t t l t t lt l t t = R est cotiue + doc lim t ft = f est prologeable par cotiuité =, doc lim tft = f est itégrable t + Pour 3 t ], [ ous avos l t = = t + + Soit < a E itégrat par parties ous avos [ ] t lt a + dt = t + t lt + a a + dt [ ] t + [ ] t + = lt a t E faisat tedre a vers ous obteos lt + dt = + 3 La série de terme gééral est covergete doc + 3 lt l t dt = t = Pour x fixé, la suite de terme gééral l ulle la série alterée de terme gééral l fx = fx = = = l l = l + x + f + + x est bie défii + x + = = l l a + x est décroissate, de limite + x est doc covergete + x + + x + 3 E fait, e utilisat la covergece des séries alterées, il est simple de vérifier que l égalité est vraie aussi pour t = 7

114 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 74 La suite de terme gééral l + est décroissate de limite ulle + x La série l + coverge e tat que série alterée doc = l + + x Nous e déduisos fx + + x l x x lx l est décroissate coti- dt t k dt k= t + car t R + t R + ue Nous e déduisos l + γ γ + γ = + + l + Nous savos 33 que x ], + [, l + x x ; ous e déduisos N, l + + puis γ + γ La suite γ N La sé- décroissate ; état miorée par elle est covergete de limite γ k + + Autre méthode γ = k l + k k= Lorsque ted vers + ous avos + l = + o rie + l est doc covergete et γ = l = dt La foctio ζ est défiie sur ], + [ Soit s > t = + s+ = + doc ζ + s dt s+ t s+ Posos u s = + dt t = + s+ = s+ t s+ dt Soit s fixé, s Posos pour t, ft = t s+ t est + + dt t s+ f est de classe C, f t = ts s + t s+ Supposos t 3 lt > doc s lt > s ; l + s s doc s lt > l + s c est-à-dire t s s + > f est doc strictemet croissate sur [3, + [ Nous e déduisos, pour 3, s+ < + soit ecore s car l est cocave 8

115 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS s+ + s+ < + < La série 3 u est doc ormalemet covergete sur I = [, + [ Elle défiit ue foctio cotiue sur I et e particulier + lim u s = s + = = dt c est-à-dire t lim u s = s + l + = γ = = dt t = doc lim ζs + = γ s+ s s + s 75 exp tt dt =! doc exp t a! t x dt = a x = La série de terme gééral a x état covergete ous pouvos appliquer le théorème d échage séries itégrales et coclure : + a x a = exp t =! t x dt = 76 coverge si et seulemet si α > Soit alors α > Posos, m + α N pour m N, S m = m + = + α α Pour t [k, k + ], ecore m+ dt t α =m+ k + α t α k doc + α + k dt α m t α + k=m+ α m + S m α α m puis S α m k=p+ m + + k dt α p t + α k=p α m α S m coverge si et seulemet si α > d où le résultat demadé m N Nous pouvos effectuer ue autre démostratio de ce résultat Supposos α > m + m Pour m, N, m + α m α Avec les otatios précédetes ous obteos S m m α S m est covergete m N Supposos α Soit N N, N m N m + m α m + m α m = α α m α = = 9 α = k α = K m α soit

116 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Nous e déduisos 34 S m α m S α m est alors le terme gééral d ue série divergete ; d où à ouveau le résultat demadé 77 a Si x <, lim + exp xα = + ; la série f x est alors divergete f = doc la série f est divergete Supposos x > L applicatio t R + exp xt α R est cotiue, décroissate lt exp xt α = t α lt α x doc α t α lim t + lt exp xt α = puis lim t + t exp xt α = L applicatio t R + exp xt α R est itégrable Nous obteos doc N, f k x + exp xt α dt + exp xt α dt k= La série à termes positifs f x est doc covergete f est défiie sur R + Soit a > Pour x a, f x f a La covergece de la série f est doc ormale sur [a, + [ La restrictio de f à [a, + [ est doc cotiue car les f le sot a état 35 quelcoque strictemet positif ; f est cotiue sur R + b La covergece de la série est uiforme sur [, + [ lim f x = x + Soit lim f x = Nous e déduisos lim fx = x + x + c Soit le chagemet de variable t R + u = xt α R + Il s agit d u C difféomorphisme doc exp xt α dt = α x α Γ α E utilisat les iégalités écrites plus haut ous avos α Γ x α fx α α Γ + x α α Fialemet fx x + α x α Γ α 78 a Soit, pour, x N R +, u x = exp α x β Si α alors la suite de terme gééral u x e coverge pas vers Supposos doc α > lim + u x = La série exp α x β est covergete b x R + exp α x β R + est cotiue 34 Si α ous avos + α m α 35 Soit x > Soit a ], x [ La restrictio de f à I = [a, + [ est cotiue ; I est u voisiage de x doc f est cotiue e x puis, x état quelcoque strictemet positif, f est cotiue sur R +

117 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS lim x + exp α x β = si β > exp α si β = si β < Nous supposos doc β > u est alors prologeable e ue foctio cotiue sur R + lim x + x u x = doc u est itégrable u xdx = exp α x β dx E utilisat le chagemet de variable x R + t = α x β R +, ous obteos u xdx = α β β exp tt β dt = α β β Γ β La série α α β coverge si et seulemet si > Das ce cas, la foctio f est itégrable et ous avos β + + exp α x β α dx = β β Γ = α β β Γ ζ β β = = Réciproquemet Nous avos vu e itroductio de ces exercices que l implicatio utilisée ici est ue équivalece La réciproque est e fait immédiate E effet Supposos f itégrable N x, N R + N, u x fx doc N u x dx N N, coverge 79 Pour t >, = = fxdx ; soit N = u xdx u xdx doc la série de terme gééral Fialemet, f est itégrable si et seulemet si < β < α = exp t = exp t exp t = expt E itégrat par parties ous obteos N, La série + est covergete doc 3 t + expt dt = x exp x 8 Supposos x < lim = La série + l divergete Si x = la série est clairemet covergete fxdx t exp tdt = 3 = 3 x exp x l u xdx est alors exp x l Supposos x > lim = exp x < + l + E utilisat le critère de d Alembert ous e déduisos la covergece de la

118 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS série Fialemet la série x exp x l coverge si et seulemet si x 8 a Notos pour, x N R, u x = x exp x Pour x = la série u x coverge absolumet Si x R, u +x u x = + u + x exp x ; lim + u x = exp x < La série u x coverge absolumet Elle coverge doc absolumet pour tout réel x S est défiie sur R b u = exp doc la suite de foctios u N e coverge pas uiformémet vers et la série e coverge doc pas uiformémet et bie évidemmet e coverge pas ormalemet Supposos x [a, + [ où a R + est fixé d x exp x = x exp x Soit N N, N dx a Les applicatios u, pour N, sot décroissates sur [a, + [ de limite e + Nous e déduisos sup x [a, + [ u x = u a La série u coverge doc ormalemet puis uiformémet sur [a, + [ Nous e déduisos que S est cotiue sur R c Soiet x R et z = exp x ], [ Nous obteos doc = = z = z = z = x exp x = x exp x exp x z z x exp x exp x S est pas cotiue e x x3 x exp x 8 a Pour x R, la suite coverge clairemet 36 vers! N La covergece est-elle uiforme? f est de classe C Pour N, f x = x x exp x Nous e! déduisos, x N R +, f x f = exp! 36 Par exemple, e utilisat le critère de D Alembert, la série x coverge pour tout x R ;! o peut aussi remarquer que la série etière a u rayo de covergece ifii x l x l! = l k lim l k + x k k= = doc lim l x l! = +

119 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS E utilisat la formule de Stirlig ous obteos f + π lim f = doc la suite f + N coverge uiformémet vers b La série de terme gééral f x coverge pour tout x R Sa somme est égale à Supposos que la série coverge uiformémet N, lim f x = x + Nous devrios doc avoir = lim f x = lim f x = x + x + = = La covergece de la série est doc pas uiforme 83 f : t R + ltht R est cotiue lim t + x ltht = f est doc itégrable sur ], ] tht = exp t + exp t Lorsque t ted vers + ous avos tht = exp t + oexp t puis ltht = exp t + oexp t t + exp t f est doc itégrable sur [, + [ f est alors itégrable sur R + exp + x Pour x R +, Sx = + + La série exp + x x R + R + + est ormalemet doc uiformémet covergete Pour x < le terme gééral e ted pas vers doc la série diverge S est défiie sur R +, cotiue Cosidéros le chagemet de variable t R + u = exp t ], ] Il s agit d u C difféomorphisme Nous obteos u J = lthtdt = u l + u u Pour u <, l = + u Supposos u [, ] α = covergete doc 84 Notos u = u l = u + u du u + + puis u l u + du = du = = u = + u = + ; la série + = J si si Lorsque ted vers +, u si u + α est qui est pas de sige fixeutilisos la trasformatio d Abel déjà vue plus haut ; ous e déduisos que la série de terme gééral si coverge 3

120 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS u si = si si Lorsque ted vers +, u si = si si + si + o c est-à-dire u si = si + O = O La série de terme gééral u est doc covergete N 85 Soit N N Posos S N = u k Appelos q la partie etière de N m S N = mq k= S N = me N m u k = k= mq k= u k + k + N k=+me N m q j= mq q m u k u k = u k+mj + k= N γ N + ln + x k= k= j= x 37 Nous obteos mj N γ q + l E m m k= q u mj N N m < E Nm Nm N N m doc l < l E l m m N l m N ln ; l l N m ln doc lim N + m N + N + ln = Pour que la suite S N coverge il faut avoir + x m = c est-à-dire x = m Supposos x = m Lorsque N ted vers +, l N m = l j= N m m N + o ; e repre- N at les calculs précédets ous obteos lorsque N ted vers + lm m N N + o l E ln lm Nous e déduisos N m N lim l E ln = lm puis lim N + m S N = lm N + Par exemple coverge vers l, 6 37 Je rappelle u résultat, déjà vu lors de l étude des suites, que la suite γ N de terme gééral l est covergete de limite u élémet oté γ appelé costate k k= + + l d Euler E effet γ + γ = k N k+, k dt k + k t = l k Nous e déduisos que la suite γ N + doc γ l + l > car x >, l + x x ; de plus est décroissate miorée doc covergete 4

121 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS coverge vers l = exp + l + doc lorsque ted vers +, + + = exp l + l + + o = exp l + + o = + l + ol De même, = l + ol doc + + = l + ol c est-à-dire l Il viet alors u l + α E utilisat l exercice cocerat les séries de Bertrad ous e déduisos que la série u coverge si et seulemet si α > 87 a f : x R + + x R est cotiue + x x + x état supérieur à, la foctio f est itégrable b + x x = C k k x + C = + x k= Nous e déduisos N, + x + x lim + x = exp x, x R + R est itégrable sur + + x R + Le théorème de covergece domiée permet d e déduire lim f xdx = + x dx + [ π [ c Cosidéros le chagemet de variable t, tat R + qui est u C difféomorphisme Nous obteos alors f xdx = Notos I = π π N, ] π I = [sit cost = I I cost dt cost dt E itégrat par parties ous obteos, pour π + sit cost dt Fialemet I = π et pour N, I = I 5

122 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 88 a Nous e déduisos doc N, I = π k= Pour N ous avos doc I = π! 4! π k k Par u calcul aalogue avec J = cost + dt ous obteos J = et pour N k, + J = J doc J = k + = 4! +! Relatio vraie aussi pour = I J I + Nous e déduisos + + = Il viet alors I lim + Nous e déduisos I π + k= j= J = c est-à-dire :! 4! lim + Nous obteos doc ϕ b k = a j + k= + π lim + f xdx = π exp x dx = π ϕ a k = a j ϕk j=+ϕk j= k= I I + I J! = 4! π + lim ϕ = +, la série a état supposée covergete ous e + déduisos b k = a j lim + k= lim + j= La série b est doc covergete et = b = b Notos, pour N, A = {p N, ϕp } est fii car ϕ est strictemet croissate doc vérifie p N, ϕp p Soit alors N le plus grad élémet de cet esemble A Comme ous l avos vu précédemmet, a j = j= La somme ϕn j= a j + j=+ϕn j=+ϕn a j = N b k + k= j=+ϕn = a j a a j est remplacée par lorsque ϕn = Das le cas où ϕn < ous avos a j ϕn sup a k ϕn + ϕn sup +ϕn k j=+ϕn k +ϕn a k Si p N ϕp + ϕp N est borée, il existe M N tel que ϕn + ϕn M et doc + ϕn + ϕn + M + M 6

123 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS N, ϕn + ϕn sup k +ϕn a k M sup a k k + M Soit ε > Il existe A N tel que pour N, A a ε M Pour A + M, a j ε c est-à-dire j=+ϕn lim a j = + j=+ϕn b état covergete ous e déduisos que la série a est covergete 89 Soit p N, p > ϕ Soit E = {k N, ϕk p} E possède u plus petit élémet ; ce plus petit élémet k est strictemet positif et vérifie doc ϕk p > ϕk Nous e déduisos p > ϕ, k N, ϕk < p ϕk + k est uique car sio, e supposat k > k, ous avos ϕk ϕk + doc ϕk + < p et ϕk + p ; d où l uicité u ϕk u p u ϕk+ ϕk + ϕp+ j=+ϕ u j = p k= ϕk+ j=+ϕk u j p k= ϕk + ϕk ϕk + ϕk + ϕk Posos v k = ϕk + Si v k k N e coverge pas vers alors la série diverge Si v k k N coverge pas vers alors l v k v k c est-à-dire k + ϕk + l ϕk v k > La série de terme gééral v k est de même ature k + ϕk + que la série de terme gééral l doc de même ature que la suite ϕk de terme gééral lϕk qui ted vers + La série proposée est doc divergete 38 9 a Soit x R f x + T = x+t +a f tdt a x+t Nous savos 39 que si f ue foctio cotiue par morceaux est T -périodique alors a+t a ftdt = T ftdt doc 38 Pour ϕ = Id N ous coaissios déjà le résultat 39 a+t T a+t a a+t a ftdt = ftdt = ftdt = a a a T ftdt + ft + T dt = a T ftdt + ftdt + a+t ftdt + ftdt T ftdt car f est T -périodique ; doc a ftdt = 7 T ftdt

124 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS f x + T = x+t +a f tdt a x+t = x f tdt + x+a f tdt + x+t +a f tdt a a a x+t x x+a = f tdt + x+a f tdt + T f tdt a a a T = x+a f tdt = f x a x Par costructio, pour N, f est de classe C et p, N, p f p x = f a x p + a f x p Chaque foctio f appartiet à E Toute foctio cotiue périodique défiie sur R est uiformémet cotiue 4 Pour, x N R, f x = x+a f tdt doc il existe θx [, ] a tel que f x = f x + θxa Pour N,, pour tout x R il existe θ x [, ] tel que x f x f x = f x + θxa f x = a θxf x + θ xa Il existe θ x [, ] tel que f x = a f x + a f x x = f x + θ xa Pour N, f est cotiue périodique doc borée sur R Nous e déduisos, pour, f f soit fialemet pour N, f f De même, pour p, f p x = a f p x + a f p x = f p x + θ xa Nous avos alors f p f p p E faisat le même raisoemet qu au dessus, ous avos pour p +, f p x f p x a f p+ Les séries k=p+ f p k p+ f p p x f k x p+ sot ormalemet doc uiformémet covergetes = f p x f p p x 4 Soit g ue foctio T -périodique cotiue défiie sur R La restrictio de g à [, T ] est uiformémet cotiue doc pour ε > il existe α > que l o peut supposer strictemet iférieur à T tel que pour tout couple x, y [, T ] o ait x y α gx gy ε x y Soiet x et y deux réels vérifiat x y x + α Soiet p = E et q = E T T pt x < pt + T, qt y < qt + T pt x y x + α x + T < pt + T Il viet doc p q p + Posos x = x pt et y = y pt x [, T ] et y [, T ] et x y α Nous avos doc gx gy = gx gy ε g est bie uiformémet cotiue 8

125 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS La suite f p coverge uiformémet doc la suite f N, p N coverge et a pour limite ue foctio ϕ de classe C 9 a L équatio différetielle y = y + ux a pour solutio les foctios v défiies sur R + par vx = C expx + expx x ut exp tdt avec C R u est borée doc x R + ux exp x R est itégrable Si C ut exp tdt alors vx = et v est pas borée Nous devos doc avoir C = vx = expx vx u expx x ut exp tdt x lim x + exp tdt = u ut exp tdt c est-à-dire v est bie borée et v u E utilisat la relatio v = u + v ous e déduisos v u Soit alors x, y R + L iégalité des accroissemets fiis coduit à vx vy u x y L applicatio v est doc Lipschitziee et e particulier uiformémet cotiue Il existe doc bie u et u seul élémet v de X vérifiat v = u + v b Comme ous l avos vu précédemmet, l uique solutio de l équatio v = u + v est défiie par vx = expx x ut exp tdt L applicatio u X v X est clairemet liéaire Nous avos vu que l o a v u ; T est doc cotiue de orme au plus égale à T = x R + expx x exp tdt = doc T = c u est uiformémet cotiue Soit ε > Il existe α > tel que pour tout couple x, y R + o ait x y α ux uy ε Soit x R + T u ux = expx T u ux ε x+α expx exp tdt x x ut ux exp tdt + u expx x+α = ε exp α + u exp α exp tdt Il viet alors T u u ε + u exp α ε lim + + u exp α = ε doc il existe N N e dépedat ε que de ε tel que pour tout etier N o ait + u exp α ε 9

126 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Cela sigifie lim T u u = soit ecore lim T u = u + + d Pour chaque N, T u est ue foctio dérivable de X ; la suite T u N coverge vers u doc tout élémet u de X est adhéret à l espace D des foctios dérivables de X D est doc bie dese das X 9 a g = ϕ est l applicatio dot la dérivée ième est f et telle que pour tout k {,, } g k = E utilisat la formule de Taylor avec reste itégral ous obteos x k x gx = k! gk + x t g tdt c est-à-dire! k= x gx = x t ftdt! ϕ est bie à valeurs das E ϕf est de classe C ϕ est clairemet liéaire ϕf = sup x [, ] x ftdt f ϕ est doc cotiue de orme au plus égale à La foctio costate égale à a pour orme ϕx = x doc ϕ = Nous e déduisos ϕ = ϕ x fx f x t x dt = f!!! f Nous e déduisos ϕ E repreat la foctio costate égale à ous e déduisos! comme précédemmet pour ϕ que ϕ =! b L C E est complet doc la série ϕ coverge absolumet et est doc covergete das L C E La somme de la série est Id E ϕ + Il suffit pour cela de calculer Id E ϕ ϕ et ϕ Id E ϕ E effet soit u L C E v L C E u v L C E et v L C E v u L C E sot cotiues doc lim u ϕ k = lim u ϕ k ; de même + + k= k= lim ϕ k u = lim ϕ k u + + k= Id E ϕ ϕ k = k= De même alors k= k= + = ϕ k ϕ k = Id E ϕ + k= k= ϕ k Id E ϕ = k= = + ϕ k ϕ k = Id E ϕ + Il viet k= Id E ϕ ϕ k = Id E et de même Joseph Di Valeti Exercices corrigés k= k= ϕ k Id E ϕ = Id E

127 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Id E ϕ est iversible et d iverse c Pour g E, f = Id E ϕ g est, d après ce que ous avos vu précédemmet, u élémet de E Il vérifie bie évidemmet f ϕf = g c est-à-dire pour toute foctio g E il existe ue uique foctio f E k= ϕ k telle que pour tout x [, ], gx = fx E fait la foctio f solutio est défiie par x [, ], fx = gx + expx x x ftdt gt exp tdt E effet f g x = f gx + gx = fx et f g = 93 Soit, k N N, k C k k k! v = C k k uk Cosidéros la suite de foctios ϕ k k N défiies sur [, + [ k= à valeurs das L C E mui de la orme iduite par la orme défiie sur E par ϕ k = si k > et ϕ k = C k k uk si k Pour k, ϕ k k! u k Cette iégalité est évidemmet vérifiée lorsque k > La série k! u k est covergete doc la série ϕ k est ormalemet covergete ; ous e déduisos L C E état complet lim + k= k= ϕ k = ϕ k = k= Id E + u lim ϕ k + Soit k fixé Soit > k Nous obteos Fialemet lim Id E + u + = + k= lim ϕ k = + k! uk k! uk = expu Remarque : pour utiliser les résultats que ous utilisos ici il est écessaire de savoir que L C E est complet dés que E l est ; il est aussi écessaire d utiliser les résultats cocerat les limites et les séries de foctios Ces résultats ot été vus das d autres chapitres 94 Soit A M C ue matrice Soit a l edomorphisme caoique associé à A das la base caoique de C Soit χ a le polyôme caractéristique de a E N écrivat χ a = λ k X p k où les λ k sot deux à deux disticts et les etiers k= p k o uls ous e déduisos C = N E k avec E k = Kerλ k Id C a p k k=

128 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS Notos a k l edomorphisme de E k iduit par la restrictio à E k de a N χ a = χ ak k= Soit x o ul apparteat à E k a k x = λx x E k, ax = λx c est-àdire a λ k p k x = et ax = λx p k pk a λ k p k x = Cp j k λ k pk j a j x = Cp j k λ k pk j λ j x j= Nous e déduisos p k j= j= C j pk λ k p k j λ j = c est-à-dire λ λ k p k = doc λ = λ k a k a doc pour polyôme caractéristique λ k X q k E teat compte N de la relatio χ a = χ ak ous e déduisos que χ ak = λ k X p k Chaque k= k= espace E k a doc pour dimesio p k E choisissat das chaque E k ue base de trigoalisatio de a k ous e déduisos qu il existe ue base de C das laquelle la matrice de a est diagoale par blocs ; chaque bloc état du type λ k I pk +T k où T k est ue matrice triagulaire supérieure apparteat à M pk C et a diagoale ulle Soit T = t i,j i,j Np M pk ue matrice triagulaire supérieure à diagoale ulle Notos t i,j,l l élémet d idices i, j de la matrice T l t i,j est ul pour i j p t i,j, = t i,k t k,j est doc ul pour i j + Supposos avoir motré que jusqu au rag h < p, t i,j,h est ul pour i j + h t i,j,h+ = p t i,k,h t k,j est doc ul pour i j + p Le résultat est doc vrai pour tout h p et e particulier t i,j,p est ul pour i j p ce qui est toujours vrai doc T p = T est doc ilpotete Nous obteos doc que toute matrice apparteat à M C est semblable a ue matrice diagoale par blocs ; chaque bloc état du type λ k I pk + T k où T k est ue matrice triagulaire supérieure ilpotete Reveos à otre exercice Soit A la matrice de f das ue base de E A est semblable a ue matrice diagoale par blocs ; chaque bloc état du type λi p + T où T est ue matrice triagulaire supérieure ilpotete et λ o ul Nous cherchos à détermier ue matrice B telle que expb = A Das le calcul de A m, les blocs restet stables ; il suffit doc pour prouver le résultat demadé de prouver que si o se doe ue matrice du type λi p + T où T est ue matrice triagulaire supérieure ilpotete et λ u ombre complexe o ul, il existe ue matrice M telle que expm = λi p + T Soit α C Soit M M p C ai p et M commutet doc 4 expai p + M = expa expm λ état o ul il existe a C tel que expa = λ k= 4 Voir exercice ; exercice uméro page 9

129 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS expm = λi p + T exp am = I p + µt = I p + T avec µ = λ Il suffit doc de démotrer qu il existe ue matrice N M p C telle que p expn = I p +T Soit N = k+ T k k Motros que expn = I p +T k= Motros d ue maière plus géérale que l applicatio exp de M p C das M p C est différetiable Soiet A et H deux matrices ; o peut supposer H Soit N, Motros que l o a A + H = A + A i HA i + ε H avec ε H H C A k k i= Pour = ous avos A + H = A + A i HA i + Pour = ous avos A + H = A + AH + HA + H Supposos le résultat vrai jusqu au rag A + H + = A + + A i+ HA i + Aε H + HA = A + + i= i= k= C k H k k= + HA i HA i + Hε H i= A i HA i + HA i HA i + Hε H + Aε H i= i= ε + H = HA i HA i + Hε H + Aε H i= ε + H H A + H C A k k + H C A k k+ i= k= = H + H C k + C k A k k= k= k= + H C A Nous obteos doc ε + H H C+ A k k + C A H C+ A k k Le résultat est doc prouvé au rag + ; il est vrai pour tout N, Nous pouvos e fait majorer ε H par H + A Cette majoratio est vraie aussi pour = expa+h expa= = avec ε H H + A! [A+H A ]= =! k= A i HA i +ε H i= 3

130 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS = +! ε H + H = exp + H Nous obteos fialemet! = lorsque H ted vers expa + H expa = = A i HA i + o H! i= exp est doc différetiable ; la différetielle de exp e A est l applicatio H M p C A i HA i! = i= Nous pouvos faire ue autre démostratio E choisissat la base e,, e p costituée des matrices E k,l et ie j,q ous pouvos cosidérer A A comme ue applicatio de R p das M p C Si ous appelos x,, x p les coordoées d u élémet A de M p C, la dérivée partielle d idice k de la applicatio A A est e k la dérivée partielle d idice k de la applicatio A A est e k A + Ae k Nous motros par récurrece que la dérivée partielle d idice k de la applicatio A A p est A i e k A p i La cotiuité des applicatios dérivées partielles permet de i= coclure que A A est de classe C et la différetielle de cette applicatio p p est défiie par H M p C A i h k e k A p i M p C k= p i= c est-à-dire H M p C A i HA p i M p C Nous retrouvos le résultat précédet Soit t R Posos ft = p k= i= k+ t k T k et gt = expft k f et g sot de classe C et ft commute avec f t Nous obteos doc g t = dexpftf t = f t! ft = f t expft = f tgt = p f t = k+ t k T k k= p p I p + tt f t = k+ t k T k + k+ t k T k+ k= p = k+ t k T k + k= k= p k t k T k = T k= Nous e déduisos f t = T I p + T Posos F t = I p + tt exp ft F t = T exp ft f ti p + tt exp ft = 4

131 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS F est doc costate ; il existe ue matrice M telle que F t = M c est-à-dire I p + tt exp ft = M Pour t = ous obteos M = I p doc I p +T exp f = I p = I p +T exp N Nous e déduisos expn = T d où le résultat demadé Nous pouvos faire ue autre démostratio Repreos les otatios précédetes Les élémets commutat etre eux ous p avos gt = k= k+ exp k t k T k k+ Soit u k t = exp t k T k = k u t = p j= k+j+ k j j! p j= k+j k j j! t kj T kj t kj+ T kj+ = k+ t k T k u k t p Nous e déduisos g t = gt k+ t k T k Nous termios comme plus haut k= 5

132 CHAPITRE 3 CORRIGÉS SÉRIES, SÉRIES DE FONCTIONS 6

133 Chapitre 4 Séries etières Détermier les rayos de covergece des séries suivates l z, comportemet sur le bord du disque de covergece, a z, a = exp x dx,, comportemet sur le bord du disque du covergece, cos π + + z, [ + ] e z, z, cos z,!z, α cos z, ata α z, a z,, a est la ième décimale de Soit f :]a, b[ R, a < < b f de classe C, N, f x x k O pose, pour x ]a, b[ et N, R x = fx k! f k Soit x fixé, x [, b[, motrer que la suite R x N coverge et que l applicatio x [, b[, R x R est croissate x E déduire que f est développable e série etière à l origie sur [, b[ puis sur ] c, b[ avec c = mi a, b 3 Soit f ue foctio défiie sur ue partie D o vide de C Soit a D adhéret à D \ {a} a est dit poit d accumulatio de D fz fa Si lim existe alors f est dite dérivable e a et o ote f a cette z a z a limite Si f est dérivable e tout poit de D f est dite dérivable et o ote f l applicatio qui à a D associe f a Soit p N O dit que f est p fois dérivable sur D si pour tout k N, k p, f k est dérivable ; la dérivée de f k état otée f k+ Si f est dérivable à tout ordre elle est dite ifiimet dérivable Soit a z ue série etière de rayo de covergece R > O pose pour f désige f k=

134 CHAPITRE 4 SÉRIES ENTIÈRES z C, z < R, fz = = a z Soit z C, z < R Motrer que f est dérivable e z ; vérifier que pour tout etier ous avos a =! f z 4 Soit a z ue série etière de rayo de covergece R > O pose pour z C, z < R, fz = = a z Soit r ], R[ ; motrer a = πr π f r expiθ exp iθdθ E déduire, si Mr = max fz, a Mr z =r r Applicatio Supposos f borée sur C, développable e série etière de rayo de covergece ifii Motrer qu alors f est costate 5 Soit E u espace de Baach Cosidéros ue série covergete à termes das E, a Pour t [, ] et N, o pose f t = a t Motrer que la série f coverge uiformémet sur [, ] 6 Soit R le rayo de covergece de la série etière a z Quel est le rayo de covergece de la série etière a z? 7 Soit R > le rayo de covergece de a z Soit, pour N, S = Quel est le rayo de covergece R de la série S z? 8 Soit ue suite a N vérifiat : a =, a pour et = a = a p Motrer que lim fz =, où fz = a z z R z = Soit la suite b N défiie par : b = a et pour, b = a + b k a k Motrer que le rayo de covergece de b z est R Soit gz = = k= b z Vérifier : gz fz = fz Motrer R = 9 Soit a z ue série etière de rayo de covergece R > Soit u N ue suite telle que N, u et lim u + + u = l Quel est le rayo de covergece de a u z? C est-à-dire u espace vectoriel ormé complet 8 p=

135 CHAPITRE 4 SÉRIES ENTIÈRES Soit a z ue série etière de rayo R > Soit z C tel que z = R Supposos a z covergete Motrer que a z t coverge uiformémet pour t [, ] O pourra utiliser ue trasformatio d Abel déjà vue das les chapitres précédets Applicatio : soiet u et v deux séries réelles ou complexes covergetes Soit w le terme gééral de la série produit de Cauchy des deux séries précédetes O suppose que la série w coverge + + Motrer la relatio w = u v = = Soit a N ue suite réelle positive décroissate de limite ulle Motrer que a x a u rayo de covergece ifii O suppose a divergete O pose, pour x R, fx = = a x Motrer que x lfx est pas itégrable sur [, + [ O miorera x [ ] e e f sur :, a a + Soit f ue applicatio défiie sur u voisiage de das C à valeurs das C O suppose f développable e série etière à l origie et f Motrer que est développable e série etière à l origie f 3 Soit f ue applicatio défiie sur u ouvert U de C à valeurs das u ouvert V de C Soit g ue applicatio défiie de V das C O suppose U et f =, f et g développables e séries etières à l origie ; séries etières de rayos respectifs R et R strictemet positifs Motrer que l applicatio g f est développable e série etière à l origie Soit f ue applicatio défiie sur u ouvert U de C à valeurs das C O suppose U, f = a et f développable e série etière à l origie de rayo strictemet positif Motrer que f l origie = est développable e série etière à 4 O défiit la suite complexe u N par la doée de u et pour N, u + = u k u k O suppose que la série etière u x a u rayo de k= covergece > Calculer sa somme et e déduire la valeur de u 5 Soit a ue série covergete de somme A O pose pour N, A = a k a Motrer que les rayos de covergece des séries etières a! t et 9 k=

136 CHAPITRE 4 SÉRIES ENTIÈRES 6 Soit A! t sot ifiis Soit t R, o pose : ft = = Motrer : f t = g t gt ; e déduire : t R, t a A! t, gt =! t = fu exp udu = gt ft exp t b Motrer : lim gt ft exp t=a puis lim t + t + t fu exp udu=a c E chageat u peu les hypothèses, peut-o avoir ue démostratio plus rapide? = u x ue série etière de rayo de covergece, de somme fx sur ], [ O suppose : lim fx = S et lim u = x + a Soiet N, x [, [ et S = u k k= Motrer : S fx x ku k + k= b E déduire que lim S f = + k=+ ku k x k c Motrer alors que la série u coverge et a pour somme S π 7 Soit A M R ue matrice atisymétrique Motrer que pour tout t R, expta SO +π 8 O pose pour N, a = six dx Détermier le rayo de covergece de la série etière a z Étude du comportemet au bord du disque de covergece 9 Quel est le rayo de covergece de la série etière : + Étudier la covergece pour z = R Quel est le rayo de covergece de la série etière : exp siz Quel est le rayo de covergece de la série etière siπ α z? Quel est le rayo de covergece de la série etière : Nature de la série pour z = R 3 z siπ + α z

137 CHAPITRE 4 SÉRIES ENTIÈRES 3 Quel est le rayo de covergece de la série etière et d sot deux réels strictemet positifs Calculer la somme de la série k= x où a a + kd 4 a Soit f ue foctio borée de [, ] das R O pose pour, t N [, ], g t = t ft Motrer : g coverge uiformémet sur [, ] f dérivable e, f = f = b Gééralisatio : Soit a z ue série etière de rayo telle que a et a diverge O ote pour t [, [, ϕt = = a t i Quel est le comportemet de ϕ e? ii Soit f défiie de [, ] das R, cotiue O pose pour, t N [, ], g t = a t ft Motrer g coverge uiformémet sur [, ] lim ftϕt = t < iii Que se passe-t-il si f est défiie que sur [, [? 5 a Motrer que + sixt cht dt = x x + + = b À-t-o le même type de résultat avec c Motrer t p + cht dt = p! = 6 Motrer que pour tout x réel, fx = t xt dt est défii Détermier le développemet e série etière de f 7 Calculer S = 8 Soit fx = l origie = = + p+ expixt dt? cht ; cosidérer la série x Motrer que f est développable e série etière à x + 9 Développer e séries etières les foctios f suivates défiies par : fx où fz = six, cosx chx, x asix, l x cosa + x x, sitx exp t + t dt, z shα z z chα + x x expt sit dt, t t siθ θ cosθ x α >, z C, ata 3 dt, l + t, ], π [,

138 CHAPITRE 4 SÉRIES ENTIÈRES π dt x ] x sit, ata + x taα α z z + π, π [, 3 Soiet a z et b z deux séries etières de rayos de covergece respctifs R > et R > Que dire du rayo de covergece de la série a b z? 3 Soit a N ue suite complexe O pose : b + =, b = a Si a z a pour rayo R, quel est celui de b z? 3 Motrer les égalités suivates : l x + x dx = +, = = = x + e x dx = 3 = 33 Calculer les sommes des séries suivates, où P C[X] : z 3 + 3!, z !, z !, P z,! = = = P z 34 Soit R > le rayo de covergece de a z Quel est celui de a! z? O pose, pour z R, F z = Motrer que si z < R alors = = a! z a z = F zt exp tdt 35 O défiit la suite u N par u = et pour N, u + = u + +u + a Motrer que le rayo de covergece de la série u x est O pourra motrer que l o a u + b Calculer la somme de la série ; e déduire la valeur de u 36 Soit f ue applicatio cotiue défiie de R das R O suppose qu il existe a ], [ tel que x R, fx = axfax Motrer que f est développable e série etière sur R 37 Quel est le rayo de covergece, R, de la série etière cos x? Étude pour x = R 38 Soit f ue applicatio cotiue défiie de [, ] das R + O suppose f Posos pour N a = t ftdt Étude de la série etière a x, calcul de la somme O supposera f = puis o motrera que, pour f, a 39 O pose F x = = t cosx et ft = 3 π dx t cosx + f

139 CHAPITRE 4 SÉRIES ENTIÈRES Développer f e série etière à l origie E déduire la valeur de l itégrale π cosx dx 4 Soit la suite a N telle que N, a O suppose lim et lim a + = l l, l R + a + Quel est le rayo de covergece de la série etière a z? = + a + a = l 4 O cosidère les deux suites u N et v N vérifiat N, u + = u v et v + = u + v u v Calculer les sommes des séries etières! x et! x 4 Développer e série etière à l origie la foctio défiie par fx = exp = 43 Développer e série etière la foctio défiie par fx = 44 Développer e série etière à l origie x 45 Soit f défiie par fx = expx à l origie la foctio f x π sixt exp t + t dt x x l + xsit dt exp t dt Développer e série etière si + a 46 Calculer la somme de la série etière x + où a est u réel + = x 47 Soit fx = ata Développer f e série etière à l origie x 48 Soit p N Détermier le rayo de covergece de la série etière : z p + Écrire la somme de la série sous forme itégrale Calculer cette somme pour p = 4 et z réel 49 O pose a = k=+ k k et o étudie la série etière a x Calculer sa somme Détermier le rayo de covergece, étudier le comportemet au bord de l itervalle de covergece 5 O pose fx = exp u sixu du u Motrer que f est développable e série etière sur ], [ Calculer les coefficiets du développemet Exprimer f à l aide des foctios usuelles 33

140 CHAPITRE 4 SÉRIES ENTIÈRES 5 Soit fx, y = s écrit : l origie = Calculer gx = Motrer que sur u ouvert à préciser, fx, y x y xy a yx où les foctios a sot développables e séries etières à a = x! π O pourra calculer : f r expiθ, r exp iθdθ [ 5 Soit fx = + ] x! = Motrer que fx x + e expex 53 Combie y a-t-il de possibilités d obteir avec des jetos marqués et 3? 54 Peut-o prologer t R + ch t t R à R pour e faire ue foctio développable e série etière sur R? 55 La foctio f défiie par fx = x 4 est-elle développable e série etière à l origie? 34

141 Chapitre 5 Corrigés séries etières Remarque cocerat la règle de d Alembert Nous savos que si ue suite u N de ombres complexes est o ulle à partir d u certai rag et si la suite de terme gééral u + a ue limite u strictemet iférieure à alors la série u est absolumet covergete, si la suite de terme gééral u + a ue limite strictemet supérieure à alors u la série u est divergete car le terme gééral e ted alors pas vers Si la limite est égale à ous e pouvos pas coclure E revache, si la suite de terme gééral u + a pas de limite ous e pouvos rie dire u Si ous cosidéros alors la série etière u z la suite u N ayat les mêmes propriétés qu au dessus, si la suite de terme gééral u + a ue limite, l, apparteat à R alors le rayo de covergece de la série etière u e questio est égal à, e coveat que si l = + alors R = l Supposos N, u =! et u + = +! u + = u +, u + u + = Nous e pouvos doc pas coclure à l aide de la règle de d Alembert Nous pouvos cepedat écrire : u k z k = k! z k + z k +! z k De même + k= u k z k = k= k= k! z k + z k= k= k +! z k La série etière! ζ a u rayo de covergece ifii doc z C la série etière u z coverge ; elle a doc u rayo de covergece ifii O peut aussi utiliser la règle de Cauchy qui est pas au programme et qu il O peut remplacer complexes par élémets d u espace vectoriel ormé complet e remplaçat module par orme k=

142 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES faudrait doc auparavat justifier Quelle est-elle? Si la suite de terme gééral u a ue limite strictemet iférieure à alors la série u est absolumet covergete, si la suite de terme gééral u a ue limite strictemet supérieure à alors la série u est divergete car le terme gééral e ted alors pas vers Si la limite est égale à ous e pouvos pas coclure E revache, si la suite de terme gééral u a pas de limite ous e pouvos rie dire E effet Supposos lim u = l [, [ Soit ε > tel que l + ε < + Soit N N tel que pour N o ait u l ε Il viet alors, pour N, u l + ε La série de terme gééral l + ε est covergete doc la série u Supposos est absolumet covergete u = l ], + ] Il existe N N tel que pour tout lim + etier au mois égal à N, u A où A > La série u est bie divergete Supposos que la suite u N dot les termes sot tous o uls à partir d u certai rag est telle que la suite de terme gééral u + possède ue u limite l [, + ] Cosidéros d abord le cas l ], + [ Soit ε ], l[ Soit N N tel que pour tout etier N au mois égal à N o ait l ε u + u l + ε l ε N+p p+ u + l u + ε p+ soit ecore =N u N l ε p+ un+p+ u N l + ε p+ Nous e déduisos N+p+ un l ε lim p + p+ N+p+ N+p+ u N+p+ N+p+ un l + ε p+ N+p+ N+p+ un l ε p+ N+p+ N+p+ = lim un l + ε p+ N+p+ = l + ε p + doc il existe u etier M tel que pour tout etier p au mois égal à M ous ayos l ε N+p+ un l ε p+ N+p+ et N+p+ un l + ε p+ N+p+ l + ε Fialemet il existe u etier N tel que pour tout etier au mois égal à N o ait l ε u l + ε c est-à-dire lim u = l + Lorsque l =, ous écrivos u + u l + ε et ous cocluos comme précé- ] [ l Il suffit de choisir ε, 36

143 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES demmet ; pour l = + ous écrivos < A u + u l + ε et ous cocluos comme précédemmet Cela sigifie que si la suite de terme gééral u a pas de limite il e sert à rie d essayer d utiliser le critère de d Alembert + l + lim + l est égal à Soit z = expiθ avec θ mod π Notos pour N, S θ = S θ = exp i + θ = Le rayo de covergece de la série k= expikθ = expiθ expiθ expiθ si θ si Nous avos doc S θ θ Soit p, q N avec p < q Notos U p,q θ = Nous obteos U p,q θ = q =p l S =p q =p q =p si θ l z l expiθ + l + S E regroupat les termes il viet U p,q θ = S q q lq S q p p lp + S l + l + Nous e déduisos U p,q θ si θ q lq + q p lp + l + l + =p doc U p,q θ si θ p lp lim p + si θ = doc, grâce au critère de Cauchy, la série de terme p lp gééral expiθ est covergete l Pour z = ous avos ue série de Bertrad que ous avos déjà recotrée et qui diverge z la série etière de terme gééral est doc covergete sur le bord du l disque sauf pour z = Supposos N E utilisat le chagemet de variable x [, + [ u = x [, + [ ous e déduisos a = exp x dx = exp uu du u [, + [, u ; a existe lim exp uu = exp u doc e utilisat le théorème de covergece + u 37

144 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES domié ous e déduisos lim a = + exp u du = A > u Le rayo de covergece de la série etière a z est égal à La suite a N est clairemet décroissate, de limite ulle E utilisat la même trasformatio 3 qu à l exercice précédet, ous e dédui- q sos a expiθ si θ a p Comme précédemmet, la série coverge =p doc au bord sauf pour z = où elle diverge cosπ + + z z doc pour z <, la série etière de terme gééral cosπ + + z est absolumet covergete et a u rayo de covergece au mois égal à Lorsque ted vers + ous avos + + = O doc cosπ 3π + + = + si 8 + O + 3π = 8 + O Pour z = la série coverge comme somme d ue série alterée dot le module décroit et coverge vers et d ue série absolumet covergete Pour z = la série diverge comme somme de la série divergete de terme gééral K avec K < et d ue série covergete Le premier exemple ous permet de coclure ce que ous savios déjà que le rayo de covergece R est au mois égal à ; le secod exemple permet de coclure que ce même rayo est au plus égal à Le rayo de covergece est doc égal à Lorsque ted vers +, + e = exp l + e = e + O e + + Le rayo de covergece de la série = + lim l + =, lim lim + ++ e z est égal à + + l + = doc =, lim = et lim + + Le rayo de covergece de la série etière z est égal à = 3 Trasformatio d Abel 38

145 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Posos A = k= N, A si Supposos p, q N, p < q q k=p q k=p cosk k cosk k = q k=p cosk = Re expi expi = expi k A k A k = = p A p + q q A q + si p k=p q k=p k A k q k=p A k k k + k + A k cos + si si lim p + si p = doc, e utilisat le critère de Cauchy, la série cosk k est covergete cos = + cos doc la série etière cos z est divergete pour z = Le rayo de covergece de cette série est doc au plus égal à cos z z La série etière de terme gééral, pour, z a pour rayo de covergece doc le rayo de covergece de la série etière de terme gééral, pour, cos z est 4 au mois égal à Il est doc égal à +!z + Pour z C, = + z +!z { lim + si z < + z + = + si z la série de terme gééral u z =!z u = coverge doc pour z < et 4 La série de terme gééral, pour, cos est covergete E effet cos = + cos k cosk = Re exp k= k cosk cos k= i + π + si +π si +π + π si +π = cos + si +π E utilisat la méthode précédete, ous e déduisos que la série de terme gééral, pour, cos est covergete 39

146 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES diverge das le cas cotraire E tat que série etière, so rayo de covergece est égal à Lorsque ted vers +, α l cos = α + O 4 α Notos, pour N, a = cos Lorsque ted vers +, a + = exp a + α + α + O 4 α A = + α + α + O = α α 3 + O 4 α 4 α si α > 3 Nous e déduisos lim A = + si α = 3 a + lim = + a si α > 3 e si α = 3 si α < 3 si α < 3 Le rayo de covergece de la série etière de terme gééral, pour, a z est doc égal à + lorsque α > 3, e lorsque α = 3 et lorsque α < 3 π si α > ata α α si α < + π 4 si α = ata + α Nous e déduisos lim = Le rayo de covergece de la + ata α série etière de terme gééral, lorsque, ata α est égal à Soit a la ième décimale de La suite a N est ue suite d etiers doc e coverge 5 pas vers sauf à être ulle à partir d u certai rag mais alors serait u ombre décimal ce qui est faux Le rayo de covergece de la série etière a z est doc au plus égal à a z 9 z la rayo de covergece de la série etière 9z est égal à doc celui de la série etière a z est doc au mois égal à La rayo de covergece est doc égal à 5 Ue suite d etiers qui coverge est costate à partir d u certai rag E effet : Supposos qu u telle suite u N coverge de limite l Soit ε = Il existe N N tel que pour tout etier 4 o ait N l 4 u l + [ 4 L itervalle l 4, l + ] est de logueur et cotiet au 4 plus u seul etier ; doc il e cotiet u et u seul et la suite u N est costate à partir d u certai rag 4

147 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES R x est défii par la relatio fx = k= x ]a, b[, R x = x+ +! f + + R + x Pour x [, b[ ous avos doc R + x R x k= x x k k! f k +R x Nous avos doc La formule de Taylor coduit à x ]a, b[, R x = x t f + tdt! Pour x [, b[ ous avos doc R x La suite R x N est décroissate miorée par doc coverge de limite au mois égale à Soit N R x = f x k x k! f k = f x k x k! f k+ = xr x =!! xr x R x = x x t f + tdt xx t f + tdt! x La dérivée de x ], b[ R x x x ], b[ R x x est croissate k= x x t tf + tdt est x ], b[ xr x R x x + k= doc R x = fx f f est croissate doc x ], b[ R x R aussi x Soit x [, b[ Il existe y ]x, b[ Nous avos alors R x R y Pour y x x fixé lim = et lim + y R y R doc x ], b[, lim R x = + + x k R = doc pour x [, b[ fx = lim + k! f k Soit x [, c[ Nous e déduisos x [, b[ et x ]a, ] Posos gx = fx + f x k N, g k x = f k x + k f k x Pour k pair g k x et pour k impair g k x = f k x f k x car x x O peut doc appliquer à g la démostratio précédete Nous e déduisos x [, c[, f x = x [, c[, f x = = = = = x! g = x! f x! f x! f soit ecore = = x! f x + +! f + 4

148 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Doc x [, c[, f x = = x f! Nous avos bie pour x ] c, ], fx = x ] c, b[, fx = = x! f = x! f puis f est doc développable e série etière à l origie ; le rayo de covergece de la série est au mois égal à mi a, b 3 Soit fz = = a z La série a u rayo de covergece R > Soit z C/ z < R Pour z < R et z z, fz fz = z z z z z z k= = a z z z z z k z k Soit α > tel que le disque D cetré e z de rayo α soit iclus das le disque ouvert de covergece Soit z D z z +α < R Das ces coditios z z z z z + α k z k z + α k= Soit ρ ], R[ Cosidéros la série a ρ Soit r ]ρ, R[ Nous savos que ρ lim a r = lim = doc lim + + r a ρ = Le rayo de covergece R de la série etière a z est doc au mois égal à R ; état + doé que a z a z ous avos R R doc R = R La série z + α est doc covergete et la série z z z D a C coverge uiformémet z z fz fz z z Nous e déduisos lim = lim a = a z f z z z z z z z z = = est doc dérivable e z Nous avos doc z C, z < R f z = = + a + z Le rayo de cette derière série état égal à R, f est dérivable et il est immédiat que f est ifiimet dérivable Supposos f p z = f p+ z = = = a,p z alors + a +,p z doc a,p+ = + a +,p avec a, = a + p! Nous e déduisos a,p = a +p La relatio est vraie pour p =! Supposos là vraie jusqu au rag p + + p! + p +! a,p+ = + a +,p = + a ++p = a +p+ +!! 4

149 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Le résultat est vrai au rag p + Fialemet f p z = E particulier f p = p!a p Nous avos bie 6 fz = = = + p! a +p z! f z! 4 Le rayo de covergece de la série etière a z est égal à R > Nous e déduisos qu alors pour tout réel r [, R[ la série de terme gééral a r est absolumet covergete Nous e déduisos que pour p N la série t R a r expi pt C est ormalemet doc uiformémet covergete Nous pouvos doc écrire : π + a r expi pt dt = = c est-à-dire π = π fr expit exp iptdt = πr p a p Si r ], R[ alors p N, a p = πr p Posos 7 Mr = max fz ; alors z =r π π a r expi ptdt fr expit exp itdt fr expit exp iptdt πmr πr p a p πmr c est-à-dire a p Mr r p Si f est développable e série etière à l origie, de rayo de covergece ifii et si f est borée alors il existe M R + tel que pour tout réel strictemet positif r o ait p N, a p M r p Pour p N costate 8 M lim p + r = doc pour p p N ous avos a p = et f est 5 Utilisos la trasformatio d Abel que ous avos vue das les prélimiaires 6 Voir le livre Complémets de cours pour avoir des prologemets sur les foctios complexes dérivables 7 Mr existe car t [, π] fr expit R + est cotiue 8 Das le livre complémet de cours sur ce même site ous démotros le résultat suivat : Soit f ue foctio défiie sur u ouvert U dérivable holomorphe sur U f est ifiimet dérivable sur U et pour tout z U f est développable e série etière e z le rayo de covergece de la série etière état au mois égal au rayo du plus grad disque cetré e z iclus das U d Admettos doc ce résultat ici Soit P = a k X k C[X] u polyôme o costat de degré k= k= d Supposos que ce polyôme e possède aucue racie Posos pour z C fz = P z f est dérivable sur C P z = a d z d d a k a d z d k doc lim z + P z = f est doc borée développable e série etière de rayo ifii ; f est alors costate ce qui est cotradictoire doc P possède au mois u zéro puis possède d zéros 43

150 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES La série a état covergete posos, pour N, R = R = k= a La suite R N coverge vers k=+ N, a = R R Soit p et q deux etiers aturels, p < q q q q q a t = R R t = R t R t =p = =p q =p R t + =p =p a Notos q q R t = R p t p R q t q + R t + t =p Soit ε > Il existe u etier aturel N tel que pour N, N R ε Pour t [, ] et pour p et q au mois égaux à N + ous avos : q R q p t p R q t q + R t + t ε t p + t q + t t + = t p ε ε =p L iégalité est vraie aussi pour p = q Nous e déduisos que pour tout ε > il existe M N tel que pour tout p, q N q, t [, ], M p q a t ε La covergece de la série est bie uiforme sur [, ] 6 Si R est le rayo de covergece d ue série etière alors cela équivaut au fait que pour tout ombre complexe z de module strictemet iférieur à R lim a z = et pour tout ombre complexe z de module strictemet supérieur à R la suite de terme gééral a z e coverge pas vers + Soit z C, z < R Soit ζ C ue racie carrée complexe de z lim a ζ = + doc lim a ζ = = lim a z = + + Soit z C, z > R Soit ζ C ue racie carrée complexe de z La suite de terme gééral a ζ e coverge pas vers et d ailleurs comme ous l avos déjà rappelé est pas borée doc La suite de terme gééral a ζ = a z e coverge pas vers Le rayo de covergece de la série etière a z est égal à R 7 Nous savos que si les deux séries u et v coverget absolumet alors la série de terme gééral w = u k v k = v k u k coverge absolumet k= k= + + et w = u v les séries sot à coefficiets complexes = = = =p E particulier si u z et v z ot pour rayos respectifs R et R > alors la série etière w z où w = u k v k = v k u k possède u 44 k= =p =p k=

151 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES rayo de covergece au mois égal à mir, R S = a p doc le rayo de covergece, R, de la série S z est au p= mois égal au miimum de celui de la série etière z, c est-à-dire, et celui de la série etière a z R mi, R Pour z < mi, R, = a z = z = S z Cosidéros la série etière de terme gééral S z et celle dot tous les termes, α z, sot uls sauf les deux premiers respectivemet égaux à et z Le terme gééral de la série etière produit est u z avec u = S k α k u = S = a Pour, u = S S = a Nous e déduisos alors R mir, + = R et pour z < R, = a z = z Fialemet R R Supposos R Nous avos alors R R doc R = R = k= S z Supposos R > Nous avos alors R Soit a = avec a > R = a a S = a+ a a soc S a + a R = Soit a = R = + S =, S =! N, S = + R = + k= Das le cas R > R [, R]! = + k= k! k! =! 8 N, a doc b [, ] Supposos que jusqu au rag o ait b [, ] b + = a + + b k a + k [, + k= a k] [, ] Doc N, b [, ] E k= particulier la série etière b z a u rayo de covergece au mois égal à Cosidéros ue suite b N de réels etre et avec b = Soit c N la suite défiie par N, c = b k a k Le rayo de covergece de la série k= etière c z est au mois égal à c =, c = b a = a, pour c = a + b k a k Notos R et R les rayos de covergeces respectifs des séries etières a z et b z 45 k=

152 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Pour z < mir, R, = + c z = a z + = b z D après l hypothèse faite, pour, c = b doc e otat gz = = = b z ous avos gz = + gzfz Supposos R > Les limites lorsque z R ted vers à gauche éxistet et vérifiet g = + g ce qui est faut doc R puis R = 9 Soit ε > Soit N N tel que pour N o ait l ε u + l + ε Pour u N ous avos doc l ε N+ u k+ u k l + ε N+ c est-à-dire pour k=n N +, u N l ε N u u N l + ε N ; relatio vraie aussi pour = N Supposos l = Nous avos pour N, u u N ε N Soit z C, z < R ε Notos ρ = z ε < R Pour N ous avos a u z u N ε N a ρ Par hypothèse la série de terme gééral a u z est doc covergete Le rayo de covergece de la série etière u a z est doc au mois égal à R ε Soit alors z C Soit ε > tel que ε < R ε La série etière u a z est doc covergete le rayo de covergece est égalà + Supposos l > Soit z C, z < R l z ε existe Notos ρ = z l + ε < R R Soit ε > vérifiat < ε < l D après le choix de z E repreat ce qui a été vu plus haut ous e déduisos qu il existe N N tel que pour tout N, N u a z u N l + ε N a ρ la série de terme gééral u a z est doc covergete et le rayo de covergece de la série etière u a z est au mois égal à R l Soit z C, z > R R Soit ε > vérifiat < ε < l D après le choix de z l z ε existe Notos ρ = z l ε > R Il existe N N tel que pour tout N, N u a z u N l ε N a ρ La série de terme gééral u a z est doc divergete et le rayo de covergece de la série etière u a z est au plus égal à R l Fialemet le rayo de covergece de la série etière u a z est égal à R l Nous avos déjà répodu à la première questio à l exercice uméro 5 Cosidéros la série etière de terme gééral u z et celle de terme gééral 46

153 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES v z Ces deux séries etière ot, d après les hypothèses de covergece, u rayo de covergece au mois égal à Le rayo de covergece de la série etière de terme gééral w z est doc au mois égal à et pour tout + + z C, z < u z v z = w z = = = D après le résultat précédet les trois foctios x [, ] x [, ] = v x C et x [, ] e calculat la limite e à gauche ous e déduisos l égalité + + u v = w = = = = = u x C, w x C sot cotiues doc Soit x R ε >, ε < x La suite a N coverge vers doc il existe N N tel que pour N, N a ε Nous e déduisos a x < La série de terme gééral a x est doc covergete et le rayo de covergece de la série etière a x est égal à + Motros u résultat prélimiaire Soit u N ue suite réelle décroissate de limite ulle Supposos que la série u u + est covergete N u u +, u u + = u u N+ u doc la série u u + = coverge q u k u k+ = u p u q+ doc k=p vers pu p = k=p pu k u k+ k=p covergete ous e déduisos Soit N ku k u k+ = k= série u coverge k=p u k u k+ = u p car u N coverge ku k u k+ La série u u + état lim p + k=p ku k u k+ = puis lim pu p = p + u k u + Nous e déduisos qu alors la k= Doc si la série u diverge alors la série u u + diverge aussi et état à termes réels positifs ku k u k+ = + f défiie sur R par fx = = Joseph Di Valeti Exercices corrigés lim + k= a x est cotiue ; elle est clairemet croissate 47

154 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES sur R + Soit alors x e ap [ e a p, e a p+ ] e fx f soit fx a p a = a p e e p Soit N N tel que a p e N existe car la suite a N coverge vers Pour tout etier aturel p, p N a p e e e a p+ x lfxdx p a p+ dx x = p e a p a p+ e a p+ e a N e e ap p ka k a k+ k=n La série a état divergete ous e déduisos, d après ce qui a été démotré plus haut, lim p + e ap lfxdx = + x x lfx est doc pas itégrable sur [, + [ x f est défiie sur u voisiage de, V C, à valeurs das C, développable e série etière à l origie f état supposé o ul ous pouvos, quitte à multiplier f par ue costate o ulle, supposer f = Soit R > le rayo de covergece de la série etière défiissat f au voisiage de Soit W u disque cetré e de rayo R ], R[ iclus das V Supposos que pour z W o ait fz = = a z avec a = Nous recherchos ue suite b N telle que la série etière b z ait u rayo de covergece R strictemet positif et vérifie z V W, z < R, + fz = b z où V est u voisiage de sur lequel f e s aule pas V = existe car f est o ul et f est cotiue e + + Nous devos doc avoir a z b z = doc b = et pour N, = = a k b k = c est-à-dire b = k= bie défiie a k b k La suite b N est Soit r ], R[ La suite a r N est borée Soit M u majorat de cette suite Motros que N, b r MM + Le résultat est vrai pour = car b = a Supposos le résultat vrai jusqu au rag b + r + = a + r + ak r k b + k r + k b + r + M + le résultat k= k= k= M M + k = M + M M + M 48 = MM + d où

155 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Soit ρ < r ρm + Posos a = ], [ Pour N, M + r ρ b ρ = b r MM + ρ ρm + = M = Ma r r r La série b ρ est doc covergete et le rayo de covergece de la série etière b z est strictemet positif f à l origie est bie développable e série etière 3 Pour R >, otos D R le disque ouvert cetré e de rayo R Notos u disque ouvert de rayo ρ iclus das V D R z U D R, fz = z z V D R, gz = = b z Nous savos que la série etière que la série etière = = = a z a z a le même rayo de covergece a z Posos pour z U D R, f z = z = a z f est cotiue et doc aussi f : z U D R f z Notos W = f D R f état cotiue W est u ouvert coteat + z W f z ρ z W, z a z f z ρ doc f z V D R = + k + k Pour z, a z = α k, z et a z = β k, z E effet = = = = ous savos que la série produit de Cauchy de deux séries etières, = = u z v z, de rayos respectifs R et R strictemet positifs a u rayo de covergece R > au mois égal au miimum des deux rayos R et R et pour z C, z < mir, R u z v z = w z = = = avec N, w = u p v q p+q= { pour = Das otre exemple ous avos doc α, = β, = pour N k N, α k+, = α k,j a j, k N, β k+, = β k,j a j j= j= k, N N, α k, β k, 49

156 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Cosidéros la série double Pour z W, p= β,p z +p = f z f z R doc la série double coverge α,p z +p = p= + b α,p z +p p= Motros u résultat prélimiaire Soit la suite double a p,q p,q N Supposos que la série a p,q coverge de somme S p ; supposos que la série q S p coverge alors la série a p,q coverge de somme S q, la série S q p p q + + coverge et a p,q = a p,q = a p,q p= q= q= p= k= p+q=k Commeços par le cas d ue suite positive Notos, pour toute partie fiie J de N, S J a = a p,q Soit N et soit J = {,, } N S J a = a p,q p,q p,q J S p p= p= S p = S Soit J ue partie fiie de N Il existe N tel que J J ; S J a S J a S Les S J a sot majorés ; otos alors S le réel positif S = sup S J a Il viet J immédiatemet S S S état la bore supérieure de l esemble des S J a ous e déduisos que pour tout ε > il existe J ue partie fiie de N vérifiat S ε S J a S Il existe p, q N tel que J {,, p } {,, q } = J p,q Les réels a i,j état positifs ous e déduisos S état la bore supérieure S Jp,q a S S J a + ε S Jp,q a + ε k= De même, pour p p et q q ous obteos S Jp,q a S S Jp,q a + ε p p p p état fixé lim S J p,q a = S k doc S k S S k + ε puis e calcu- q + lat la limite lorsque p ted vers +, qui existe par hypothèse, ous avos S S S ε Il viet immédiatemet S = S Nous avos doc S = sup S J a J p Soit J = {,, p} {q} S J a = a i,q S doc a p,q est covergete ; i= p otos S q la somme de cette série E repreat le calcul précédet ous obteos S ε S j S Doc a p,q = a p,q q + + j= p= q= Soit N Notos J = {p, q N, p + q } La suite J N est croissate Soit J ue partie fiie de N Il existe p, q tel que J J p,q Il est immédiat que ous avos J p,q J p +q doc pour toute partie fiie J de N k= q= k= p= 5

157 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES il existe u etier aturel N tel que J J N et pour tout N au mois égal à N, J J Nous e déduisos S J a S JN a S J a Soit ε > Soit J associé tel que S ε S J a Pour tout etier N ous avos S ε S J a S J a S c est-à-dire lim S J a = S + Reveos au cas où les a i,j e sot pas de sige fixe Par hypothèse a p,q q q q coverge car elle coverge absolumet et a i,q a i,q doc la série de terme gééral série p Soit N q= i= a p,q est covergete Nous avos aussi la covergece de la a p,q et de la série de terme gééral + a i,j i= + a i,j i= j= j= a i,j = i= a i,j i= j= j= p= + i= = j=+ a p,q i= + i= a i,j j=+ + a i,j i= j= D après les résultats précédets ous e déduisos doc i= De même a i,j i+j + j= j= a i,j = lim + + i= i= a i,j i= a i,j = lim + j= a i,j i= a i,j = j= i+j> i,j a i,j j= i+j> i,j D après les résultats vus plus haut il viet d où le résultat prouvé 9 a i,j = lim i= lim + j= a i,j doc a i,j i= j= + a i,j = i= j= a i,j a i,j + i+j a i,j = i= i+j + a i,j Reveos à otre questio E appliquat ce que ous veos de voir ous e déduisos que pour z 9 Il e serait pas écessaire de refaire cette démostratio si les familles sommables avaiet été coservées das le programme de mathématiques Das le complémet de cours qui est aussi sur ce site, l utilisatio des foctios holomorphes 5 j=

158 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES g fz = = c z avec c = p+q= b q α q,p Soit f ue applicatio défiie sur u ouvert U de C à valeurs das C O suppose U, f et f développable e série etière à l origie de rayo strictemet positif Notos pour z <, gz = fz = f g f fz f Notos f z = z f fz g est dévelop- f pable e série etière à l origie, f =, f est développable e série etière à l origie Il existe α > tel que pour z < α et z U o ait f z < doc pour z U D α, g fz est bie défii Nous avos fz = g f z doc f est développable e série etière à l origie 4 Supposos que la série etière u z a u rayo de covergece R > Notos, pour z < R, fz = avec N, v = = u k u k k= u z Il viet, pour z < R, fz = Par hypothèse N, u + = v ous e déduisos = = v z u + z = fz c est-à-dire fz u = zfz La restrictio à l itervalle réel ] R, R[ est solutio de l équatio, e y, xy y + u = Pour 4xu doc e particulier pour < x 4 u, y = ± 4xu x Pour x =, y = u Motros que la foctio f défiie par f = u et pour < x < 4 u par fx = 4xu x est la solutio Supposos qu il existe A et B avec A B {} = ] [ 4 u, tel 4 u que pour x A, fx = + 4xu et pour x B, fx = 4xu x x e peut être adhéret à A car la restrictio de f à A a ] pas de ] limite e Il existe doc α > tel que [ α, α] \ {} B Soit r,, 4 u r = sup{α, [ α, α] \ {} B} Si r < alors a = r ou a = r est 4 u adhéret à A et à B Les restrictios de f à A et à B doivet avoir la même permet d obteir ue répose plus précise à cette questio 5

159 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES limite e a ce qui est faux Fialemet f est bie la foctio proposée ] x [ 4 u,,!u 4u x = 4 u! x doc x ] 4 u, 4 u [, fx = = =!u + +! x Nous e déduisos N, u =!u + +! 5 a Les suites a N et A N sot borées car covergetes ; la première de limite la secode de limite A Le rayo de covergece des séries etières a! t et A! t sot au mois égaux à celui de la série etière! t ; ils sot doc ifiis D après les propriétés des séries etières, pour tout réel t car le rayo de covergece est ifii ous avos f t = De même g t = = A + t! Fialemet g t f t = = = a! t = = A + a + t A =!! t = gt = a + t! b La dérivée e t de l applicatio t gt ft exp t est égale à g t f t gt ft exp t = ft exp t g = f = a doc t R, t fu exp udu = gt ft exp t c Soit u N ue suite complexe de limite ulle Soit ε > Soit N N tel que pour N, N u ε Notos pour t R, ϕt = u N! t u! t + ε = = u =! t =N+! t Nous avos doc pour t R +, ϕt exp t lim t + o ait N = N = N = u! t exp t + ε u! t exp t + ε = ε Il existe doc T R + tel que pour t T u! t exp t + ε = ε ε c est-à-dire lim ϕt exp t = t + E réécrivat la relatio de récurrece ous e déduisos 53 k= C k +C k+ + C k = + + +

160 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES = A A t = gt A expt! Si ous appliquos ce résultat avec u = a ou avec u = A A il viet ft exp t = et lim gt exp t = A lim t + Fialemet lim t + t + gt ft exp t = A E utilisat la relatio démotrée plus haut ous e déduisos t lim t + d Supposos que a soit absolumet covergete fu exp u du = A a! t exp tdt = a Nous pouvos doc appliquer le théorème cocerat les échages itégrales et séries et ous obteos le fait que t R + ft exp t R est itégrable et 6 a S fx = ftexp tdt = = uk x k k= a! t exp tdt = k=+ u k x k = a = A k x k = x x j doc pour x [, [, x k k x i= Pour k > ous avos < k Fialemet S fx x ku k + k= k=+ ku k x k b Soit ε > La suite de terme gééral u coverge vers doc il existe N N tel que pour N o ait N u eε Pour N, + < doc k = + puis k=+ pour N, ku k k eε + k=+ lim k u k = Il s agit de la moyee de Césaro que ous pouvos + k= prouver de la maière suivate : Soit x N ue suite à valeurs das u espace vectoriel ormé covergete vers Soit ε > Soit N N tel que pour N o ait N x ε x k k= N k= x k + N + ε 54

161 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES N Nε lim x k + = ε + Il existe doc N N tel que k= N Nε N, > maxn, N x k + ε k= Nous avos doc x k ε puis lim k x k = + k= k= Nous obteos fialemet lim ku k + eε = ε + Il existe alors N N tel que l o ait pour tout etier au mois égal à N, ku k + eε ε puis pour N, S f ε k= c est-à-dire lim S f = + c f possède ue limite à gauche, égale à S, e doc lim f = S + puis lim S = S c est-à-dire série u coverge et a pour somme S + 7 A M R est ue matrice atisymétrique réelle c est-à-dire A+ t A = Nous avos démotré das le chapitre 4 Espaces euclidies, préhilberties exercice uméro 3 page 9 qu ue matrice atisymétrique réelle est orthogoalemet semblable à ue matrice B du type suivat : B = Diag p, B,, B q bi = p + q où chaque matrice B i pour i N p est du type b i où b i Si A = alors les B i e figuret pas das la décompositio, si deta alors seules les matrices B i figuret das la décompositio cela est possible que das le cas où est pair A s écrit doc A = P B t P où P est ue matrice orthogoale k N, ta k = P tb kt P car P est ue matrice orthogoale L applicatio M M R P M t P M R est cotiue doc N N lim N + k! tp M t P k = P lim N + k! tmk t P c est-à-dire k= k= expta = P exptb t P exptb = Diagexpt p, exptb,, exptb q expt p = I p Calculos exptb i k N, B i k = k b k I et B i k+ = k b k+ B i Nous obteos doc k tb k k tb k+ exptb i = I + k= k! k +! k= k= costb sitb = costbi + sitbb i = sitb costb B i 55

162 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES exptb est bie u élémet de SO et doc expta SO +π +π 8 a = six dx = siu π π π siu du = u u + π du π siu u + π siu et lim π + u + π = siu doc e utilisat le 9 théorème de covergece domiée ous e déduisos Fialemet a + π La série etière a z a doc pour rayo Pour z =, a + π la série est doc divergete lim + a π = Supposos z = expit a z = a expiπ + t Utilisos à ouveau la trasformatio d Abel déjà utilisée de ombreuses fois La suite de terme gééral a coverge vers et décroit ; e effet π a + a = siu du doc la série u + + π u + π coverge Fialemet la série coverge sur le bord du disque de covergece sauf e + = exp exp o lorsque ted vers + Pour pair, + exp exp + Pour impair, + exp exp + Soit z < e ; lim + z = + Soit z > 4 e ; lim + z = + + Le rayo de covergece de la série etière + Pour z = e, z est égal à e lim exp z = doc le terme gééral de la série e ted pas + vers et celle-ci diverge sur le bord du disque de covergece Nous savos que la suite si N est dese das [, ] Nous avos déjà vu das le chapitre cocerat les groupes et sous-groupes exercice uméro 44 page 65 que l esemble, G, des réels { + kπ} avec, k Z est dese das R Soit alors ε > Il existe ue ifiité de couples, k Z tels que ε < +kπ < ε ue ifiité de et ue ifiité de k Il existe doc car si ε < + kπ < alors < + kπ < ε ue ifiité de couples, k Z tels que < + kπ < ε ue ifiité de et ue ifiité de k 56

163 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES E particulier pour tout ε > il existe ue ifiité d etiers aturels vérifiat si > ε Soit alors Mat a R, a > E utilisat le résultat e précédet avec ε = + la > ous e déduisos qu il existe ue ifiité d etiers aturels tels que si > la c est-à-dire expsia > Il existe ϕ ue applicatio strictemet croissate de N das N telle que N, expsiϕa > lim + expsiϕ = + La suite de terme gééral exp sia est pas borée Le rayo de covergece de la série etière exp siz est au plus égal à La suite de terme gééral e exp si est borée doc le rayo de covergece de la série etière e exp siz est au mois égal à Fialemet Le rayo de covergece e de la série etière exp siz est égal à e ] [, Soit k u etier aturel, k 8ε Soit ε 4 [ + k ε, ] + k + ε a pour logueur ε + 4k ε + ε > doc cotiet u etier Nous e déduisos que pour tout k N, k 8ε il existe N, + k ε + k + ε Nous e déduisos 3 k N, N, siπ cosεπ E particulier pour Supposos que e soit pas das N Soit x = + kπ ], ε[ avec < Il existe ue ifiité d élémets de G de la forme p + qπ avec p < das l itervalle ], x[ sio il existerait u etier positif r vérifiat r + sπ ], ε[ Pour p fixé, le ombre d élémets de la forme p + qπ ], x[ est fii car p π < q < x p L u des p est strictemet iférieur à Il existe doc u couple π p, q Z tel que p < et < y = p + qπ < x < x y < ε x y = p + k qπ avec p > Il existe doc r, s N Z tel que < r + sπ < ε Soit a R + Soit ε > Soit efi y = + kπ avec, k N Z et < y < ε a Notos N = E Ny a < Ny + y doc a N knπ < ε L esemble G, des réels y { + kπ} avec, k N Z est dese das R + Motros que la suite si N est dese das [, ] [ Soit x [, ] Soit α π, π ] siα = x Soit ε > Motros qu il existe N tel que si siα < ε sia sib = a b a + b si cos a b E utilisat le résultat précédet ous e déduisos qu il existe ue ifiité de N et de k Z tels que a < + kπ < a + ε doc vérifiat si x < ε D où le résultat demadé 3 Nous pouvos e fait démotrer que l esemble des valeurs d adhérece de la suite siπ Soit a N [ ], est [, ] et soit ε ], [ 4 Soit k N, k 5 6ε L itervalle d extrémités a + k et a + k + ε a pour logueur εa + 4k + ε ε + 4k + ε > ε + 54ε + ε = εε + 5 > Il existe doc u etier 4 57

164 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES ε = 4, il y a ue ifiité d etiers aturels tels que siπ Soit alors a si π z C, a = z > lim = + La suite de terme gééral z + α α est doc pas borée et le rayo de covergece de la série est au plus égal à siπ z α z α z Supposos z < lim = doc le rayo de + α covergece de la série est au mois égal à Fialemet le rayo de covergece de la série est égal à Lorsque ted vers +, + = + = + + o Nous obteos alors lorsque ted vers +, siπ + = π + o siπ + + π Le rayo de covergece de la série siπ + z est le même que celui α de la série etière de terme gééral π +α z Le rayo de covergece est doc, e utilisat le critère de d Alembert par exemple, égal à Étudios le comportemet au bord du disque de covergece Pour z = il π s agit d étudier la série de terme gééral expit + o +α +α où t R Lorsque + α le terme gééral de la série e ted pas vers et celle-ci diverge Supposos + α > Pour α > doc absolumet covergete Supposos < α siπ + α Pour z = le terme gééral de la série est égal à + π la série est +α π + o ; la +α +α série diverge Plaços-ous fialemet das le cas < α et z = expit avec t ] π, π[ La série dot le terme gééral est expito lorsque ted vers +α + coverge absolumet aturel ] das [ cet itervalle ; c est-à-dire ε,, k N, k 4 8ε, N, a k ε + a Doc siπa siπ k siπa + πε c est-à-dire siπ πε π + a siπa siπa + πε siπa = si cos πε [ ] Nous faisos le même raisoemet lorsque a, D où la coclusio 58

165 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Notos pour N, S = k= k expikt = + expi + t + expit S + cost N, π expit = S π +α S +α π La suite de terme gééral décroit et coverge vers Soiet m et deux +α etiers aturels o uls, m k π expikt k = π S +α k k π S +α k k +α k=m = k=m = k=m k=m S k π S k k +α π k +α k=m k=m π k + +α π S k k + +α π + S S π +α m m +α Nous e déduisos k π expikt k +α k=m π + cost k π + π +α k + +α + π +α m +α k=m π = + cost m +α π lim = + + cost m +α E appliquat le critère de Cauchy ous e déduisos que la série de terme π gééral expit coverge lorsque t ] π, π[ et < α +α 3 Notos pour N, b = a + kd k= b + = b a + + d doc lim b + = + b E utilisat le critère de d Alembert ous obteos que le rayo de covergece de la série etière b x où a et d sot deux réels strictemet positifs est égal à + Notos pour x R, fx = doc dxf x + afx = = = b x f est de classe C dxf x = d + ab x = + = = b x = + xfx db x f est doc ue foctio de classe C défiie sur R, solutio de l équatio différetielle dxy + a xy = Soit I l u des deux itervalles R + ou R Pour x I, les solutios de l équatio homogèe associée à l équatio sot 59

166 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES les applicatios λϕ où ϕ : x I λ x a x d exp et λ R d E utilisat la méthode de la variatio de la costate ous obteos e cherchat ue solutio du type uxϕx ous obteos u x = dx x a d exp x d Notos ε = ± = sgx Ue solutio particulière de défiie sur I est alors défiie par g : x I ε a x x d x d exp t a d exp t dt d d x t a d exp t dt est bie défii car a d d > x x R t a d exp t d E itégrat par parties ous obteos dt est cotiue, ulle e x t a d exp t dt = εda d x ad exp x + x t a d exp t dt d a d x Pour x, t a d exp t x dt d t a d dt, x pour x, t a d exp t dt x x d exp t a d dt doc das tous les d x cas t a d exp t dt x d exp d d aa + d x a d + x Nous e déduisos t a d exp t εd dt d x a x a d Fialemet gx x a Les solutios de sot doc défiies par x I gx + λϕx Pour λ o ul les foctios précédetes ot ue limite ifiie e doc seule g est solutio de prologeable par cotiuité e Nous e déduisos x R, fx = ε a x x d x d exp t a d exp d Par exemple pour a = d = ous obteos x R, fx = x x exp x t d exp t dt = expx x dt ; f = a ; f = 4 a Si la série g de foctios cotiues coverge uiformémet alors sa somme, S, est ue foctio cotiue S doit exister doc f coverge ce qui écessite f = Pour t [, [ ous avos St = ft f = ft t t La cotiuité de S e implique la dérivabilité de f e et ft f S = = lim = f t t Supposos f = f = 6

167 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES la série g coverge sur [, ] Motros que la covergece est uiforme q S p,q t = g k t = ftt p tq p+ S p,q t t p ft f t t k=p ft f lim = doc pour ε > doé il existe α ], [ tel que t t pourt ] α, [ o ait ft f t ε Nous avos doc pour t ] α, [ S p,q t ε S p,q = La cotiuité de f implique qu il existe M ε tel que pour t [, ] α], ous ayos ft t M ε Pour t [, ] α], ous avos S p,q t α p M ε lim p + αp M ε = doc il existe N ε N tel que pour p N et pour t [, α] o ait S p,q t ε Fialemet il existe N ε N tel que pour q tout couple p, q d etiers o ait t [, ], q p N t k ft ε k=p g coverge uiformémet sur [, ] b i Par hypothèse ϕ est défiie sur [, [ les coefficiets a état positifs la foctio ϕ est croissate doc possède ue limite, l, réelle ou égale à + e Soit N t [, [, ϕt a k t k E calculat la k= limite e à gauche ous obteos N, l a k Si l est réel alors la série a est covergete ce qui est faux doc l = + et lim ϕt = + t k= ii La série g doit coverger doc si f cela est impossible ; il faut doc avoir f = Chaque applicatio g est cotiue e ; la covergece état uiforme la somme ϕf est cotiue e et lim ϕtft = + t = lim a t ft t = = a f = Supposos lim ϕtft = t Soit ε > Soit α ], [ tel que pour t [ α, [ o ait ϕt ft ε Pour t [ α, [ ous avos doc Soit alors t [, α] f 6 q a t ft ϕt ft ε k=p est cotiue sur [, ] doc est borée

168 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES q a t ft f k=p q a α k=p la covergece de la série implique l existece de N N tel que pour q p, q N, q p N f a α ε Nous avos doc k=p q pour t [, ] et pour q p N g k t ε k=p La covergece de la série est bie uiforme iii L hypothèse lim ϕtft = implique écessairemet que f a pour t limite e à gauche car ϕ a pour limite + O peut alors prologer f e lui doat la valeur e Posos g t = a t ft pour t [, [ et g = et, e utilisat le résultat précédet, la série g coverge uiformémet sur [, ] ; ous e déduisos que g coverge uiformémet sur [, [ E utilisat les résultats cocerat la covergece uiforme ous e déduisos que si f ue limite e à gauche alors ϕf a ue limite, l, e à gauche, la série a l coverge et a pour somme lim ϕtft t Nous e déduisos comme plus haut l = et lim ϕtft = t La covergece uiforme de la série g implique que pour ε > il existe N ε N tel que pour tout p, q, t N N [, [ o ait q q p N ft a k t k ε E particulier ft a k t k ε lim t ε k=n 5 a Pour t >, sixt cht =N+ doc k=p k=n a k t k = doc il existe α ], [ tel que t [ α, [ ft ε f a doc ue limite ulle e L équivalece précédete a doc ecore lieu = + cht = exp + t Doc = = exp + t sixt exp + t sixt =N+ = N+ sixt exp N + 3t + exp t exp + t sixt exp N + 3t et 6

169 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES =N+ exp + t sixt dt exp N + 3tdt = N + 3 sixt lim t =, t R + sixt R est cotiue doc itégrable t + cht cht Chaque foctio t R + exp + t sixt R est itégrable Nous avos doc N sixt cht dt k= exp + t sixt dt N + 3 c est-à-dire sixt N cht dt = lim exp + t sixt dt N + k= + x mm] exp + t expixtdt = Im = + ix x sixt Fialemet cht dt = x x + + = b E repreat le calcul précédet ous obteos expixt dt = cht Supposos x < expixt dt = cht = + + ix x = ixt dt! cht L applicatio t R + ixt C est cotiue itégrable! cht ixt! cht x! t exp t doc ixt! cht dt x t exp tdt = x! La série x est covergete doc expixt ix dt = cht! = ix t dt =! cht = Supposos à ouveau x < p= t cht p p + ix dt c est-à-dire + p + ix = ix p =

170 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES p ix p + + = x p + p + x = x Lorsque p ted vers +, p + p + x = O p Nous pouvos appliquer le théorème cocerat les séries doubles et e déduire : + p ix + p = p + + i x puis p + + p= = = p= + p ix + p = p + + i x c est-à-dire p + + p= p= = = = p + p + ix = + = p= ix t dt =! cht p= p= p i p + + = p= x soit ecore p i x p + + L uicité du développemet d ue foctio e série etière coduit alors p à :! p + = t + cht dt 6 Posos, pour t ], ], ut = expxt lt et u = lim t + ut = u est cotiue sur [, ] doc f est bie défiie sur R x t lt x, t R ], ], ut =! = Soit p N doé Pour q N, otos I q = t p lt q dt lim tlt q = t + doc I q est bie défiie Soit a ], ] E itégrat par parties, pour p, q N N, ous avos [ ] t t p lt q p+ dt = a p + ltq q t p lt q dt a p + a E calculat la limite lorsque a ted vers ous e déduisos I q = q p + I q puis, I état égal à p +, I q = q q! p + q+ x t lt Fialemet dt = x! + + l état de sige fixe sur ], ], u = x t lt! dt = x + + Pour x, u + = x + + doc u + x u + et lim = u + + u + e + u Nous pouvos doc appliquer le théorème cocerat l échage des itégrales et des sommes de séries et e déduire que pour tout x R ous avos 64

171 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES fx = = x Pour x ], [ ous avos Nous avos doc 3 = x 3+ = x x dx = + 3 = x x x x = a 3 x + bx + c E multipliat par x et e substituat à x + x + x ous obteos a = E multipliat par x et e calculat la limite e + 3 ous obteos b = 3 Efi e choisissat x = ous obteos c = 3 x x = 3 3 x + x + 6 x + x Ue primitive de l applicatio x x x x 3 l x + 6 lx + x + = = 3 3 l ata x+ 3 est doc l applicatio 3 x + 3 ata π 3 Ue valeur approchée de cette somme est :, Notos u x = x + Soit E = {x R, x N, } = R \ Z La série alterée de terme gééral u x est covergete car > max, x u x décroit et coverge vers Notos pour x E fx = = u x u est de classe C sur E Pour p N, u p x = p+ p! x + p+ E utilisat les propriétés des séries alterées ous avos pour + x k=+ u p k x up +x = p! x + + p+ Soit a R Soit x E, x a Soit > a + x + a doc u p k x p! up +x = a + + p+ k=+ La covergece de la série est doc uiforme et la restrictio de f à E ]a, + [ est de classe C a état quelcoque ous e déduisos que f est de classe C Nous avos la relatio p, x N E, f p x = 65 = p+ p! x + p+

172 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Soit x ], + [ Posos gx = = u x E repreat le même raisoemet que plus haut ous e déduisos que g est de classe C sur ], + [ et p, x N ], + [, g p p+ p! x = x + p+ = E utilisat la formule de Taylor avec reste itégral ous avos p g k gx = x k + x x t p g p+ tdt k! p! k= La covergece de la série défiissat g k état uiforme sur l itervalle fermé d extrémités et x avec x > ous avos x x x t p g p+ tdt = +p+ x t p p +! dt t + p+ Supposos x < +p+ p + xp+ x p = x p+ x = x t p t + p+ dt p + p+ x x t p dt = xp+ p+ La série de foctios p N xp+ R coverge uiformémet doc p+ x p+ lim p + = + x p+ lim = p+ p + p+ = = Nous e déduisos : lim p + = lim p + p! x x t p g p+ tdt = Supposos < x < x x t p +p+ p + dt t + p+ p + t x p dt = x p+ + x p+ x + x p+ p Pour 4, x p+ x p! + x = x p+ + x p! + x x + x La série de foctios p N x p+ p! + x R coverge uiformémet doc p+ x p+ p! + x = + x p+ lim = p+ p + p! + x p+ Nous e déduisos lim p + p! Nous avos doc pour x <, x ], [ x + x = t x p g p+ tdt = = + + x = p= g p x p p! R est développable e série etière à l origie doc 66

173 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES x ], [ = x + Nous avos fialemet x ], [, fx = R est développable e série etière à l origie p= a p x p avec a p = Nous pouvos faire ue autre démostratio de ce résultat + Soit N Pour x ], [, x + = p x p p+ p= + +p x p Cosidéros la série double p= +p x p p+ = covergete et = = p= p+ = p+ p+ x x ; x coverge doc la série double est x + +p x p + +p x p = p= p+ p= = p+ La série de terme gééral coverge ; ous avos doc + +p x p + +p x p = + c est-à-dire p+ p+ = p= p= = = + +p x p x ], [, fx = p= = p+ si x 9 Pour x R, = cosx x x x R, cosx x = x = x! = = + x +! expix + exp ixexpx + exp x cosx chx = 4 expi + x + expi x + exp i + x + exp i x = 4 La foctio expoetielle est développable e série etière de rayo ifii doc x R, cosx chx = i + + i + i + + i x 4! = Lorsque est impair a = i + + i + i + + i est ul i + = i, i = i a p = p+ i p + i p a p est ul pour p impair ; a 4q = q 4 q+ Fialemet x R, cosx chx = x ], [ x q= 4 q q x 4q 4q! R et x ], [ asix R sot deux ap- 67

174 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES plicatios développables e séries etières à l origie de rayos de covergece égaux à Le produit est doc développable e série etière de rayo de covergece au mois égal à Si le rayo est strictemet supérieur à alors la somme de la série défiit ue foctio cotiue e doc f : x ], [ asix R possède x ue limite réelle e ce qui est pas le cas doc la foctio proposée est développable e série etière de rayo de covergece égal à f est de classe C f x = x x fx + x doc x ], [ x f x xfx = Il existe ue suite a N telle que x ], [ fx = impaire f x = = = + a x = + a x La relatio etre f et f coduit à = a x = a x = L uicité du développemet e série etière ous doe alors k= a x +, car f est a = et N, + a = a Les coefficiets a sot tous o uls a k k et = a k k + Il viet alors N, a =! +! k= Nous e déduisos x ], [, asix = +! x +! x+ Soit f la foctio défiie sur R par fx = lx x cosa + f est dérivable et f x cosa x = x x cosa + X cosa La fractio ratioelle à coefficiets complexes se décompose e élémets simples ; ous obteos : X X cosa + X cosa X X cosa + = X expia + X exp ia Pour z C, z < ous avos z expia = exp ia + z exp ia = exp i + az De même = + z exp ia = expi + az E additioat ous obteos = + z cosa z z cosa + = [ cos + a] z = = 68

175 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Étudios la covergece de la suite de terme gééral cosθ Si θ mod π la suite est costate et coverge vers Si θ π mod π, cosθ = et la suite diverge Supposos, pour θ mod π, que cette suite coverge vers l cos + θ = cosθ cosθ siθ siθ, cos θ = cosθ cosθ + siθ siθ E additioat ous e déduisos l = l cosθ cosθ état différet de ous obteos l = puis, siθ état o ul lim + siθ = Cela est impossible car si + cos = La suite de terme gééral cosθ e coverge pas sauf das le cas cosθ = où elle est costate Das tous les cas la suite de terme gééral cosθ e coverge pas vers Nous aurios pu ous limiter à cela pour coclure 4 plus rapidemet que la série de terme gééral cosθ est divergete Nous e déduisos que le rayo de covergece de la série etière [ cos + a] z est égal à Pour x ], [ ous avos x t cosa t t cosa + dt = lx x cosa + x, t R, = = sixt exp t + t = cos + a x + = + = = cosa x t+ exp t + t x + +! Notos, pour x R fixé, u t = t+ exp t x + + t +! u est cotiue, itégrable sur R + u t dt = x + +! x + +! La série de terme gééral Nous e déduisos que pour x <, sixt exp t + t dt = t + exp t + t dt t + exp tdt = x + u t dt coverge doc pour x < = Notos pour N, b = t+ exp t + t dt t + exp t + t dt b b + = t + exp tdt = +! x + +! 4 Supposos que la suite cosθ N coverge vers Nous e déduisos lim cosθ = = lim + + cosθ = Nous aboutissos à ue cotradictio La suite cosθ N e coverge pas vers 69

176 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES b k b k+ = b b + = k= N, b + = b t R, expt t k k +! doc k= k k +! k= = = t La foctio est alors prologeable par coti-! uité e Nous savos que la covergece d ue série etière est uiforme sur tout itervalle fermé boré iclus das l itervalle ouvert de covergece doc x expt x x R, dt = t! = Comme précédemmet, t R, x R, x sit t = = sit x + dt = t + +! = t ], [, l + t = = x t +! doc Nous savos que si deux foctios f et g sot développables e séries etières à l origie de rayos de covergece respectifs R et R et vérifiet x ] R, R [, fx = = a x et x ] R, R [, gx = = b x alors la foctio fg est développable e série etière de rayo de covergece R au mois égal au plus petit des deux réels R et R et vérifie : x ] R, R[, fxgx = c x avec N, c = a k b k = Ici, a = b = et pour tout etier aturel o ul, a = b = Nous k k e déduisos c =, c = et, c = k k k= k k = k + doc, c = k k E fait la série etière = k= k= x coverge uiformémet sur [ a, ] pour tout a [, [ E effet, la covergece est uiforme sur [ a, a] d après les propriétés des séries etières Pour x [, ], la suite de terme gééral x est décroissate car x + Joseph Di Valeti Exercices corrigés et doc x+ + x = + x 7

177 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Nous e déduisos N, k=+ k k x k x+ + + La somme de la série défiit doc ue foctio cotiue sur ], ] et l = lim l + t = + t = Nous avos bie t ], ] l + t = x = Lorsque ue série etière de rayo de covergece R R + coverge e R, alors la série etière coverge uiformémet sur l itervalle [, R] Pour t [, ], Notos S = = k=+ a R t coverge par hypothèse a k R k La suite S N coverge vers Soiet p et q deux etiers aturels o uls avec p < q q q q a k R k t k = S k S k t k = k=p k=p k=p S k t k+ q = S p t p S q t q + S k t k+ t k k=p q S k t k Pour ε > il existe u etier N tel que pour N R ε q a k R k t k ε q t q + t p + t k t k+ = εt p ε k=p k=p La série a k R k t k coverge uiformémet sur [, ] et défiit ue foctio cotiue sur cet itervalle c + c = + k + + = + k k= k= La suite c N est décroissate et coverge vers doc la série alterée de terme gééral c est covergete Nous avos doc pour tout x apparteat à ], ], l + x = = c x k=p z shα z chαz + = z expα z exp α Pour z < exp α ous avos z expα z exp α = Doc pour z < exp α ous avos 7 = expα exp α z + z shα z chαz + = shαz =

178 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Posos fx = siθ ata cosθ x π siθ π + ata cosθ x si si si x < cosθ x = cosθ x > cosθ lim fx = π π x cosθ + = lim fx = π f est cotiue sur R f est de x cosθ classe C sur A = R\{cosθ} Pour x A ous avos f siθ x = x cosθx + f possède ue limite e cosθ doc f est de classe C sur R ; de dérivée e tout poit x de R, f x = siθ x cosθx + = i Pour x < ous avos siθ x cosθx + = i siθ x cosθx + x expiθ x exp iθ = Pour x ], [ ous avos doc fx = expiθ exp iθ x = = = si θ x siθx Commeços par redémotrer u résultat déjà vu de ombreuses fois Notos, pour N, I = π sit dt E utilisat le théorème de covergece domiée ous e déduisos lim I = + Soit N, E itégrat par parties ous obteos π sit dt = [ costsit ] π + π costsit dt c est-à-dire I = I I soit ecore I = I La suite I N est décroissate ; ous avos doc + + = I + I + puis I I I + lim = + I I = π, I = N, I = I et +I + = I + Nous obteos doc N, I = π!! et I + =! +! I = I + π + I Nous avos l équivalece 5 suivate I π + 5 Nous pouvos obteir cette équivalece e utilisat la formule de Stirlig : 7

179 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES! + Reveos à otre exercice t ], [, = t x ], [ = I t doc π x sit = + La série de terme gééral pour x < doc π π I x = π dt x sit = + I x sit π sit dt = I x est covergete =!! 4 x La suite de terme gééral I est décroissate et coverge vers doc la série précédete coverge e x = ± E utilisat le résultat démotré plus haut, ous e déduisos que l égalité précédete est vraie pour x E utilisat le critère de d Alembert ous obteos que le rayo de covergece de la série est égal à x Posos pour x ], [ fx = ata taα f est de classe C et + x f siα x = x + x cosα + Nous avos déjà développé e série etière ue telle foctio Nous avos obteu pour x < f x = i x expiα + π x exp iα + π = = siαx E itégrat etre et x ous obteos fx = α = si αx z z + = + i i z 4z + i 4z i i + i = z 4 zi 4 + zi Pour z < ous avos + i + i z 4 zi 4 + zi = i 4 i + + i z = si = 4p, p N a = i 4 i + si = 4p +, p N + i = si = 4p +, p N si = 4p, p N e π 73

180 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Le rayo de covergece de la série etière a z est égal à car pour z >, le terme gééral e ted pas vers Nous pouvos aussi dire que si le rayo est strictemet supérieur à alors la somme de la série défiit ue foctio cotiue sur le disque ouvert de covergece et la foctio doit posséder ue limite e par exemple ; ce qui est faux 3 Soiet R et R deux réels strictemet positifs Soit a ], R R [ ] [ a Soit a, R Posos a = a ] [ a, R Si R = + ou R = + R a R le raisoemet précédet s applique avec a R = ou a R = Il existe doc deux réels strictemet positifs a < R et a < R tel que a a = a Soit alors z C, z < R R Soit a ] z, R R [ Soiet α ], R [ et α ], R [ tels que α α = a lim α = et lim α = doc + + lim b a = La série a b z est covergete ; ous e déduisos que + le rayo R de la série etière a b z est au mois égal à R R Nous e pouvos obteir u meilleur résultat Supposos a = lorsque est pair et ul sio ; supposos b = lorsque est impair et ul sio R = R = et pour tout N, a b = doc R = + De même supposos a = lorsque est pair et égal à avec a > a sio et supposos b = lorsque est impair et égal à avec b > b sio R =, R = a b est égal à a lorsque est impair et à b das le cas cotraire R = mia, b et R R = O peut doc obteir des rayos preat toutes les valeurs supérieures à das le cas où R = et R = + ous pouvos aussi obteir diverses valeurs pour R Par exemple a =!, b = b! avec b R + R =, R = + a b = b et R = b Avec b =! a b = et R = +! 3 Si R est le rayo de covergece de la série a z alors la série a z coverge absolumet lorsque z < R et diverge lorsque z > R La rayo de covergece de la série etière b z est égal à R 3 Soit x [, [ Nous avos + x = + x = f : x ], ] x lx R est cotiue ; N, doc f est itégrable 74 lim xx lx = x +

181 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Soit a ], [ E itégrat par parties ous avos : [ ] x lxdx = a + x+ lx a + a [ = + x+ lx + x+ E calculat la limite e à droite ous avos La série de terme gééral l x + x dx = + Pour x R + = x + e x = = x ] a x lx dx est covergete doc x exp + x f : x R + x exp + x R est cotiue x lxdx = + lim x + x x exp + x = doc f est itégrable E itégrat deux fois par parties ous obteos la série de terme gééral 33 z x + e x dx =! = x exp + xdx = est covergete doc = + 3 = 3 a u rayo de covergece ifii z C, expz = + 3 = z!, Soit j = i expjz = j z j z, expj z =!! = = pπ + cos k Z, p = 3k 3 π + j + j = + cos k Z, = 3k, de même 3 + j + + j + k Z, = 3k et + j + j k Z, = 3k + Nous e déduisos expz + expjz + expj z = + j 3 + j 3 z 3 + 3! = 3z 3 3! = De même expz + j expjz + j expj z = et expz + j expjz + j expj z = 75 = = 3z ! 3z 3 3! =

182 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES k Soit k N Calculos! z par covetio = pour tout N = E utilisat le critère de d Alembert ous obteos le fait que le rayo de l covergece de la série est égal à + La famille X j à laquelle j= l N k o adjoit le polyôme est ue base de C k [X] l Notos, pour l N, P l le polyôme X j et P le polyôme k k k N, X k = a j,k P j doc k! = P j a j,k! j= j= P j si j > =! si j j! k k + z j Nous e déduisos! z = a j,k z j = j! Soit alors P = = = P z =! = j= j= =j k a j,k z j expz N b i X i Ė utilisat les otatios précédetes ous obteos i= N k a j,k b k z k expz k= j= Par exemple 3 + = z z z z + =!! z3 + 3! z! z + z! = = = z 3 + 3z z + expz p Notos, pour p N, R p = X + k et P = N, R p = p!c+p p k= Comme 6 pour z R, z C, z <, p N, = = j= p! z = + R p+ p z Le résultat est vrai pour p = Supposos-le vrai jusqu au rag p + p +! z p z = p + + R p z z = = E utilisat les résultats cocerat les séries produit ous e déduisos que le terme gééral a z de la série produit des deux séries etières = = p + R p z 6 E regardat le livre, sur ce même site, cocerat les foctios holomorphes vous retrouverez ce résultat de maière aturelle 76

183 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES et = z est défii par a = p + R p k = p +! k= C p p+k k= +p C p p+k est le coefficiet de Xp du polyôme + X k c est-à-dire du polyôme + X+p+ Il s agit doc du coefficiet de X p+ du polyôme X + X +p+ c est-à-dire C+p+ + p +! + p +! Nous e déduisos a = p +! = = R p+!p +!! Le résultat est doc prouvé au rag p + Il est vrai pour tout etier p k Comme ous l avos vu à l exercice précédet, k = a j,k P j = P j z = = Soit P C[X], P = P j + jz +j = N b j X j j= Nous e déduisos z C, z <, = = k= j= k= + j! z +j = z j j!! z j+ P z = N k= Exemple P = + + P = + + = + + z = = + + z + + = b k k j= a j,k + z + + = z z 3 + z z + z = + z z 3 j!z j z j+ z 34 Nous savos que si ue série etière a u rayo R > alors pour tout ombre complexe z de module strictemet iférieur à R la série coverge absolumet et e particulier la suite de terme gééral a z coverge vers Pour tout ombre complexe z de module strictemet supérieur à R la série diverge et la suite de terme gééral a z est pas borée 7 Soit z C Soit r ], R[ 7 Soit E l esemble des modules des ombres complexes tels que la suite de terme gééral a z soit borée E Soit R R la bore supérieure de E Supposos R Soit r [, R[ Il existe r ]r, R[ E a r = a r r doc Il existe M R+ r tel que N, a r M doc r a r M r La série de terme gééral M r r est covergete doc la série de terme gééral a r est absolumet covergete Si R < +, soit r ]R, + [ Par hypothèse la suite de terme gééral a r est pas borée doc la série de terme gééral a r est divergete R est le rayo de covergece de la série z < R a z absolumet covergete 77 =

184 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES a! z = a r z Soit M u majorat de la suite de terme gééral a r! r N, a z z! z M La série de terme gééral est absolumet covergete doc la série de terme gééral a! r! r! z l est aussi Le rayo de covergece de cette série est doc égal à + t R a! z t exp t C est cotiue itégrable a +! z t exp tdt = a z, a! z t exp t dt = a z La série a z est covergete pour z < R doc z C, z < R, a F zt exp tdt =! z t exp tdt = a z = 35 a u = u = et pour N, u + = + u + u + = u, = u Supposos avoir prouvé l iégalité u p p+ pour tout p N + u + u u + u = + + L iégalité est doc démotrée pour tout N u z z Le rayo de covergece, R, de la série etière a z est bie au mois égal à b Notos Sz la somme de la série etière a z Pour z < mir, ous avos = u + z + = = z + + = = u z + + = u + z + Nous obteos la relatio Sz z = z + z + z Sz + zsz z + z + c est-à-dire Sz = z + z z = z + z + + z z z + z + + z z = 9 + z z z Le rayo de covergece est doc gal à et Sz = 9 = z + 3 = + z Nous e déduisos N, u = = z z > R a z N est pas borée lim a z = z R + a z covergete z R Nous aurios pu défiir E comme l esemble des modules des ombres complexes z tels que la suite de terme gééral a r ted vers et prouver que la bore supérieure de cet esemble est ecore R 78

185 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES 36 Nous recherchos l existece d ue suite b N telle que la série etière b x ait u rayo de covergece, R, strictemet positif et telle que la somme fx de la série vérifie fx = axfax Cette relatio est bie défiissable car pour x < R, ax < R fax = = b a x axfax = = = = axfax = b + b a x b a x = = = b a + x + b a x b b a x La coditio recherchée est doc N, b = b b a b = a a b Fialemet il viet N, b = b k= a k a k c est-à-dire b E utilisat le critère de d Alembert ous obteos lim = doc la + b série etière de terme gééral b x a u rayo de covergece ifii et f est développable e série etière sur R D après l hypothèse faite sur f, N, fx = a k x fa x Soit x réel fixé lim + a x = Il existe N N tel que pour N o ait N a x < l a x + a x La série l a x est doc covergete c està-dire lim l a k x = l R N + k=n Nous e déduisos lim a k x = expl La suite de terme gééral + k=n + a k x est doc covergete Nous la otos a k x k= Nous obteos, puisque f est cotiue e, x R, fx = f k= k= + k= a k x Nous retrouvos le fait que l esemble des solutios f est u espace vectoriel de + dimesio et ous avos la relatio a k a k x = + x a k k= = k= 37 N, cos x x 79

186 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES lim + + = doc d après le critère de d Alembert et la caractérisatio du rayo de covergece d ue série ous obteos R cos k Z, π 3 + kπ π 3 + kπ À quelle coditio existe-t-il pour k N u etier aturel vérifiat π π 3 + kπ 3 + kπ π Il suffit pour cela que 3 + kπ π 3 + kπ 8kπ > c est-à-dire > 3 Cette coditio est réalisée pour k N Supposos x > Nous avos doc k N, N, cos soit ecore cos x kπ π 3 lim k + kπ + π 3 borée et la série x kπ π 3 kπ + π 3 = + doc la suite de terme gééral cos x est pas cos diverge pour x > Le rayo de covergece de la série etière cos est doc égal à Étudios le cas x = Soit N Posos N = + E N cos k=n +N k +N k=n N π + π 3 + π π et N = E 3 dt t = + N N π + π 3 π π π + π = 3 π π 3 3 π + π + π π 3 3 = 8 π 3 π + π + + π π 3 3 Le derier terme est équivalet, lorsque ted vers +, à π 3 Le critère de Cauchy permet doc de coclure à la divergece de la série 38 Supposos f = f est cotiue doc pour ε > il existe α ], [ vérifiat t [α, ], ft ε α t ftdt t ft dt + ε t dt α Nous e déduisos t ftdt f α + + ε + lim + α+ = doc il existe N N vérifiat N, N f α + ε 8

187 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Nous e déduisos pour N + a ε c est-à-dire Reveos au cas gééral + a = + = + t ft fdt + + f t ft fdt + f E utilisat le résultat précédet ous e déduisos + a lim + a = + + f Le rayo de covergece de la série etière a x est doc le même que celui de la série etière x c est-à-dire Soit x C, x < a x = t x ftdt = = t x ft f x La série de terme gééral f x est covergete doc la série de foctios t [, ] t x ft R coverge uiformémet ; ous e déduisos a x = t x ftdt = = = + t x ft dt = = Supposos x = expiθ a x = lim + t ft = pour t [, [ doc ft + tx dt t expiπ + θft dt t ft f, lim + t ftdt = Supposos π + θ mod π c est-à-dire x E utilisat la trasformatio d Abel, vue au début de ce livre, état doé que la suite de terme gééral t ftdt est décroissate et coverge vers et que borée alors la série a x coverge Pour x =, a x + expiθ + π est k= f La série a x diverge 39 ft est défii si et seulemet si t < Notos u x = t cosx u = t La série de foctios u coverge ormalemet pour t < Nous obteos aturellemet, pour tcosx <, F x = t cosx π Pour t < ous avos doc ft = cosx dx t = f est doc développable e série etière de rayo R Si le rayo est strictemet plus grad que alors la série défiit ue foctio 8

188 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES cotiue e et f possède ue limite réelle à gauche e [ π [ E utilisat le chagemet de variable x, u = ta x R + puis u u R + v = R + ous obteos t ft = π dx + tcosx dx = du + u t +u = du t + u + dv = t + v = π t lim ft = + Le rayo de covergece de la série est doc égal à Par t ailleurs ous avos pour t < ft = π k + + k= t! = Fialemet il viet ft = π + = π!! t L uicité du développemet e série etière coduit doc à cosx dx = π!! Nous retrouvos facilemet alors que le rayo de covergece de la série défiissat f est égal à 4 lim a + z + + a z = l l z et de même lim a +3 z +3 + a + z + = l l z Les rayos de covergece des séries etières a z et a + z + sot doc égaux à R = l l Le rayo de covergece de la série etière somme des deux séries etières est doc au mois égal à R Pour z > R, la suite de terme gééral a z e ted pas vers doc la suite de terme gééral a z e ted pas vers et la série etière a z a pour rayo de covergece l l 4 N, u + = u + u + v = u + u + u + u = u + 3u L équatio caractéristique r r+3 = a pour racies +i et i Nous e déduisos N, u = 3 a cosθ + b siθ avec cosθ = et 3 siθ = 3 u = a, u = a + b Il viet doc a = u et b = v Nous obteos de la même maière v + = u v + v + = v + v v + v + = v + 3v N, v = 3 v cosθ + u siθ 8

189 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES u K 3, v K 3 les rayos de covergece des deux séries etières sot ifiis u v Posos, pour x R, fx =! x et gx =! x = = f u + x = x =! = = De même g x = fx + gx u v x = fx gx! y Soit A = La résolutio de l équatio différetielle z fx f coduit à = expta avec f = u gx g et g = v Les valeurs propres de A sot ± i Nous obteos doc A = i i i + i i i expta = i i exp i t exp + i t Nous obteos doc expt cost sit sit cost Fialemet ft = expt u cost v sit et gt = expt u sit + v cost y = A z i i Nous pouvios employer ue autre méthode de résolutio f x = f x fx+gx = f x fx+f x gx = f x 3fx L équatio caractéristique associée est r r + 3 = Il viet alors fx = expxa cosx + b six f = a = u, f = a + b = f g = u v Nous obteos le même résultat qu au dessus x 4 Pour x, fx = exp = + x = Pour x <, x = + + p= dérivée ième e x de x x La série de terme gééral p +! x p car p!! p +! p!! +! x +p ! x+ x! x + est la valeur de la coverge et a pour somme

190 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES + +! x + La série de terme gééral ce derier terme est x covergete E utilisat le résultat vu au début de ce chapitre, cocerat la compositio de deux foctios développables e séries etières, ous avos : Soit la suite double a p,q p,q N Supposos que la série a p,q coverge de somme S p ; supposos que la série q S p coverge alors la série a p,q coverge de somme S q, la série S q p p q + + coverge et a p,q = a p,q = a p,q p= Nous obteos exp q= x x q= = + p= k= k p= k= k=p+q k! k p!p!k p +! xk+ f est développable e série etière de rayo de covergece au mois égal à Si le rayo est strictemet supérieur à alors la série défiit ue foctio cotiue e et f possède alors ue limite fiie à gauche e ce qui est faux Le rayo de covergece de la série est doc égal à k k! k Posos, pour k, a k = k p!p!k p! = p= p= a = x Nous obteos exp = a k x k x k= Remarque f vérifie f x = k p +! Cp k fx et f = f restreite à ], [ x est l uique solutio défiie sur ], [ valat e et solutio de l équatio différetielle x y = y Recherchos ue suite a N telle que la série etière a x ait u rayo de covergece strictemet positif et dot la somme vérifie la relatio vérifiée par f Nous devos avoir a = et = + a + x = a x + = a x = et a x = Nous e déduisos a = a =, N, + a + + a + a = 43 t [, π ], + xsit > 84 x ou x < et t [, π ], sit < x x ou x < et x >

191 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES [ π ] Pour x ], + [, t, l + xsit R est cotiue Que se passe-t-il pour x =? Lorsque t ted vers π π π π 3, lcost = l t + o [ 6 π [ t, lcost R est itégrable f est doc défiie sur [, + [ [ Pour x, t [, ], π [, lcost l+xsit l+sit doc l + xsit lcost [ π [ L applicatio g : t, x, [, ] l + xsit R est cotiue doc l applicatio f est cotiue sur [, ] = précédete de la va- Pour x < ous avos l + xsit = = xsit + x + + ; La série de foctios + riable t coverge doc uiformémet et ous e déduisos : x + π fx = sit + dt + = xsit + + Nous avos de ombreuses fois calculé l itégrale proposée ; ous obteos π! fx = +! x+ Notos a = π! +! ; a + = + a + 4 La série etière a x + a pour rayo de covergece π Nous avos déjà vu que sit dt π + doc a π + La série précédete coverge doc pour x = et pour x = Comme ous l avos déjà vu ous e déduisos que l égalité fx = vraie pour x [, ] g est de classe C ; g t, x = sit x Soit a fixé Pour x a >, g x + xsit f est doc de classe C sur ], ] et f x = = t, x sit asit π a x + est doc sit dt Le chage- + xsit met de variable t u = tat coduit à f x = + u + x + u du u + u + x + u = x + u + x + u u 85

192 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Nous obteos doc f x = π x + x + x puis fx = π x t + t dt + t E utilisat le chagemet de variable t v = + t ous obteos +x fx = π + v dv = π l + + x l La relatio précédete défiit fx pour x [, ] car f est cotiue sur [, ] Il viet x [, ], l +! + x l = +! x+ E particulier f = π l = f = πl + l = = = = π! +! et π! +! E retrachat ces deux relatios ous obteos l + 4! = + 4! = sixt exp t 44 x R, t R + R est cotiue ; + t x, t R R +, sixt exp t + t exp t La foctio f défiie par fx = x, t R, sixt exp t + t = = sixt exp t + t dt est défiie sur R t+ x + exp t + t +! Notos u t = t+ x + exp t + t +! t + exp t x + u t dt = + t +! t + exp t dt + t u t dt x + Pour x < la série de terme gééral u t dt] coverge Nous e déduisos que x ], [, fx = u tdt = = t + exp tdt = +! doc = t + exp t + t dt x + +! f est doc développable e série etière à l origie ; le rayo de covergece de la série est au mois égal à 86

193 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES sixt exp t Notos gx, t = + t g est cotiue ; g t cosxt exp t x, t = ; g x + t x, t x t exp t g x x, t = t sixt exp t ; g + t x, t x t exp t f est doc de classe C sur R et fx f x = sitx exp tdt = Im expix tdt = x + x Soit R le rayo de covergece de la série etière à l origie défiie plus haut La somme des deux séries de f et f a u rayo de covergece R R x Il est égal au rayo de covergece de la série etière défiissat + x Nous e déduisos R = puis R = 45 f défiie par fx = expx x exp t dt est ue foctio impaire défiie sur R produit de deux foctios développables e séries etières de rayos de covergece ifiis f est doc développable e série etière de rayo de covergece ifii x R, f x = xfx + Il existe ue suite a N telle que x R, fx = x R, f x = f x = = = = a x + + a x Nous obteos la relatio + a x = + = a x Par uicité du développemet e série etière ous obteos a = et N, + a = a c està-dire N, a = 4! +! Remarque fx = + = x! la otatio précédete, a = + j= Nous obteos doc la relatio j= = x + Nous e déduisos, avec +! j j! j!j + j j + Cj X j+ = X doc x dx = 4! +! = 46 Pour x <, 4! +! = j j! j!j + π j= cost + dt si + a x x + Le rayo de covergece 87

194 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES de la série etière est doc au mois égal à La série dérivée a le même rayo de covergece que la série iitiale Redémotros u résultat déjà vu cocerat les limites évetuelles des suites de termes gééraux si + a, a R Supposos cosa = La suite de terme gééral si + a est la suite ulle qui coverge vers Supposos cosa = a = π + kπ, k Z et si + a = k La suite si + a N coverge dos vers ou vers - Plaços ous das le cas où cosa doc sia Supposos lim + si + a = l R Das ces coditios lim si a = l et lim si + 3a = l + + si + 3a = si + a cosa + sia cos + a, si a = si+a cosa sia cos+a E additioat il viet l = l cosa doc l = Das ces coditios cos + a =, lim + car sia, ce qui est faux car cos + si = Doc sauf pour le cas a = pπ, p Z ou a = π + pπ, p Z la suite de terme gééral si + a e coverge pas et e particulier e coverge pas vers Le seul cas où elle coverge vers est le cas a = pπ, p Z La série etière si + ax + a doc u rayo de covergece égal à sauf das le cas a = pπ, p Z, où la série est ulle si + a x + a doc aussi u rayo de covergece égal à sauf + das le cas a = pπ, p Z, où la série est ulle Notos, pour N, A = sik + a avec a modπ k= A = Im expk + ia k=p k= expi + a = expia expia si + a = exp + a sia N, A Utilisos à ouveau la trasformatio d Abel sia q sik + a q A k A k = Nous e déduisos, pour p < q, k + k + q sik + a k + k=p q Fialemet k=p k=p = A q q + A q p p + + sik + a k + k=p k + A k k + 3 Le critère de Cauchy per- sia p + met doc de coclure à la covergece de la série si + a + Comme ous l avos déjà vu plus haut, ous e déduisos que la série etière 88

195 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES si + a x + coverge uiformémet sur [, ] et défiit doc ue + foctio cotiue sur cet itervalle Supposos a pπ, p Z Pour x <, otos fx la somme de la série etière L applicatio z C Imz R est cotiue doc + f x = Im expi + ax expia = Im x expia f x = = + x sia x cosa + x 4 x cosa + x 4 = x x cosa + x + x cosa + + x sia x cosa + x = 4 sia x x cosa + + x + x cosa + x cosa x x cosa + = sia + sia Nous e déduisos qu ue primitive, sur R, de x + x sia x cosa + x est 4 x x cosa x + cosa ata + ata sia sia Rappel Soiet u et v deux réels atau + atav = π uv = et u >, atau + atav = π uv = et u < x cosa x + cosa = x = sia sia x cosa x + cosa ϕ : x R ata + ata R sia sia est strictemet mootoe car sa dérivée est strictemet positive Supposos a ], π[ a a a ϕ = ata cota ata ta = π a = π ϕ est impaire doc ϕ = π ] Nous e déduisos ϕ], [ = π, π [ E chageat a e a, ous obteos le même résultat Pour x = ous x cosa x + cosa x sia avos ta ata + ata = sia sia x doc fialemet pour x < ous avos x cosa x + cosa x sia ata + ata = ata et sia sia x x ], [, fx = x sia ata x 89

196 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Autre démostratio x cosa x + cosa x sia ta ata + ata = doc sia sia x x R \ {, }, kx {,, } tel que x cosa x +cosa x sia fx = ata +ata = ata +kxπ sia sia x Sur ], [, ous obteos la cotiuité de k doc k est costate et f état ul ous avos 8 x ], [, fx = x sia ata x Compte teu de ce que ous avos vu précédemmet, ous e déduisos x sia lim x ata si + a = = sgsia π x + 4 = 47 Sur ], [ f défiie par 9 x fx = ata est dérivable de dérivée f x défiie pas f x = + x + x 4 f est développable e série etière de rayo de covergece au mois égal à x ], [, f x = x 4 + x 4+ c est-à-dire = = f x = a x avec a = cos π = Re ii 4 = x cosa x +cosa x sia 8 Pour x R \ {, }, ata +ata ata sia sia x = kxπ Par cotiuité, ous ed déduisos que k est costate sur chacu des itervalles ], [, ], [ et ], + [ lim kx = sga, lim x x + Nous obteos fialemet fx = kx = sga ata x sia x π sga pour x ], [ π 4 sga pour x = ata x sia x pour x ], [ π 4 sga pour x = ata x sia x + π sga pour x ], + [ 9 Il s agit d u cas particulier de l exercice précédet pour a = π 4 Nous aurios pu écrire + x + x 4 = + i + ix + i ix puis + x + + x 4 = = ii + + i i x ii + + i i = Re ii = Re exp i π exp i π Nous obteos alors 4 le résultat 9

197 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES a = doc la série etière défiissat f a pour rayo de covergece et celle défiissat f aussi a Nous obteos alors x ], [, fx = + x+ =p a + = A q q + A p a La série de terme gééral est covergete E effet + N A N = a = N Re ii = Re i N+ N ; a = = = q q a + =p q p + + =p q + + q p + + = A =p + = p + La série vérifie le critère de Cauchy et est doc covergete Nous avos déjà vu lors des exercices précédets que la série coverge alors uiformémet sur [, ] ; de même, état impaire, sur [, ] La somme défiit ue foctio cotiue sur [, ] lim fx = π + x Nous e déduisos a + = π = 48 E utilisat le critère de d Alembert ous e déduisos que le rayo de covergece de la série etière x p + est égal à p + = t p dt Soit z C, z < La série de terme gééral z est cover- p + gete = = zt p dt = La série de terme gééral zt p est covergete doc z C, z <, + zt p dt dt = p + z Fialemet p + z = zt p Supposos z R Supposos < z < Soit a R +, a 4 = z at = 4 4 at at + + a t Ue primitive de t dt zt 4 = 4a l est t at 4 4a l + a ataa + a a = + at at Supposos < z < Soit a R +, a 4 = z + at = + a t 4 4a t + a t + + a t 4a t a t a ataat

198 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES + a t 4a t + a t + = a t + a 4a a t + a t + + 4a t + a de même t + a t 4a t a t + = a t a 4a a t a t + + 4a t a t + Ue primitive de t est doc + at 4 t 4a l a t + a t + a t a + t + a ata a t a t dt zt = 4 4a l a + a + a a + + a ata a a Pour z =, dt zt 4 = Remarque pour z, t C R, zt 4 e s aule que das le cas où z R + Soit u C u 4 R + u R ir Soit f l applicatio défiie par ft = a + ibt où a, b R f est cotiue sur R et possède doc ue primitive sur R a + b t a ft = a + ib a + b t at + + i a + ib + a +b b a +b t a Ue primitive, F, de f est défiie par t a + ib la + b t at + + i a a + ib ata + b t a b Soit u = a + ib C avec a et b o uls Soit z = u 4 zt = 4 4 ut ut + 4 iut iut Nous e déduisos qu ue primitive, sur R, de t zt est 4 t u 8u l t + Reut + + i u u t Reut + 8u l t + Imut + u t Imut + + i u 4u ata t Reu + i u Imu 4u ata t + Reu Imu + u 4u ata t + Imu + u Reu 4u ata t Imu Reu Si z R +, ous pouvos choisir u R + racie quatrième de z Das ce cas ue primitive est défiie sur l u des trois itervalles ouverts e coteat pas u et Nous avos vu ce résultat plus haut u Si z R, ous pouvos choisir u = 4 + i z Das ce cas ous pouvos b 9

199 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES appliquer ce que ous veos d obteir et ue primitive sur R de t zt 4 u est t 8 u l t + Reut + u + u t Reut + 4 u ata t + Reu Reu u + 4 u ata t Reu Reu Nous retrouvos les résultats vus précédemmet 49 a = k=+ k k est bie défii car la série alterée k k k coverge Les deux séries etières x et x ot pour rayo de covergece La série etière produit a pour terme gééral b défii par b =, N k, b = k k= Nous savos que pour x ], ] l + x = x = E particulier l = Nous avos doc b = a + l = Pour x < ous obteos + b x = x = = = Nous obteos doc = x = l + x x a x = l + x + l x La série e peut coverger pour x = car sio la somme serait cotiue e De même elle e peut coverger e - Le rayo de covergece de la série est égal à 5 Pour x R, la foctio g : u R + exp u sixu R est cotiue, prologeable par cotiuité sur R + e ue foctio g, domiée sur [, + [ u par u exp u qui est itégrable f défiie par fx = exp u sixu du u x + est défiie sur R u R, g u = exp uu +! = x + exp uu x + +! du = + La série de terme gééral x + + Voir par exemple l exercice uméro 5 coverge pour x < doc pour x < 93

200 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES ous avos fx = = x + + = atax Motros qu e fait f = ata R est cotiue, itégrable Pour tout x R, u R + exp u sixu u x R, u R + g x, u = exp u cosxu est cotiue x domiée par u exp u itégrable Nous e déduisos que f est de classe C et vérifie x R, f x = exp u cosxudu = Re expix udu Ue primitive de u expix u est u exp u expix u ix x R, f x = Re = puis fx = f + atax ix + x f = doc x R, exp u sixu du = atax u 5 fx, = est pas développable e série etière à l origie x Pour y, fx, y = y x +y L applicatio x fx, y est développable e série etière à l origie pour x + y y < Il s agit bie y d u ouvert de R R \ {} doc d u ouvert de R, image réciproque de ], [ par la foctio cotiue x, y x + y y Pour x, y das cet ouvert ous avos fx, y = La dérivée ième de l applicatio y ], [ R est l appli- y + catio y ], [ l origie Nous avos y ], [,! y = + y y + x R Elle est développable e série etière à y = + Cp+y p + Nous avos doc, das les mêmes coditios, e otat a y = p= + y y, + + Pour y C avec y < ous avos ecore la relatio y + = Cp+y p E effet, celle-ci est vraie pour = Supposos-la vraie jusqu au rag + y + = + y p Cp+y p p= p= 94 p=

201 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES + y y = + + p= a p y p où ap p! p! = α,p = p k= C +kc p k avec la covetio Cj i = pour i > j Nous obteos doc pour x, y C, x + y y < et y <, + fx, y = α,p y p x = p= Supposos x, y C avec x = r expiθ et y = r exp iθ avec r, θ R Pour y < et x + y + y <, la série α,p y p x coverge doc, avec les hypothèses faites, la série p= c est-à-dire pour r < p= α,p r p+ coverge pour r < et r < r + r Pour r < fixé, la série de terme gééral α,p r p+ expi pθ coverge ormalemet, doc uiformémet, par rapport à θ E particulier, π + a p π r p+ a p expi pθ dθ= r p+ expi pθdθ p! p! p= p= = π a r! + r exp iθ r exp iθ + r expiθ + r r + r Pour r < ous avos + r r < doc la série de terme gééral r p= α,p r + expi pθ est ormalemet covergete de la variable θ Nous e déduisos π fr expiθ, r exp iθdθ = Fialemet π = fr expiθ, r exp iθdθ = La série etière produit a pour terme gééral π + α,p r + expi pθ dθ p k= C k+ est le coefficiet de X das le polyôme das le polyôme + X + Xp+ X C k+ p= π a = r! p + X k+ c est-à-dire le coefficiet de X k= soit ecore le coefficiet de X + das le polyôme + X +p+ ; il s agit bie de C++p Le résultat est vrai au rag + ; il est doc vrai pour tout N 95

202 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Calculos directemet, pour r <, π fr expiθ, r exp iθdθ fr expiθ, r exp iθ = r r cosθ + > π π dθ fr expiθ, r exp iθdθ = r r cosθ + θ Le chagemet de variable θ [, π[ t = ta R + est u C difféomorphisme doc ous obteos π dt fr expiθ, r exp iθdθ = 4 r + r + t + r r + r + r + et r r + sot strictemet positifs doc π fr expiθ, r exp iθdθ = Fialemet a = a = r =! r =! r 6r + Nous pouvos remarquer que = 4 + r4 6r + + π r4 6r + r +r+ r r+ t r +r+ r r+ r4 6r + et pour r < = 3, r 6r + = r 3 5 Pour 3 x [, ], x x x l + x x + x3 3 E utilisat ce qui précède ous e déduisos pour N, l + + c est-à-dire 3 3 l puis pour x R +, e exp x +! + + x! exp exp e e exp 3 Le rayo de covergece de la série etière ex! x! r 3+ est égal à + doc la 3 O peut étudier les variatios de x l + x x + x x3 x et x l + x x + 3 x ou cosidérer la série alterée défiissat l + x pour x ], ] = 96

203 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES série etière + a pour rayo de covergece + et la foc-! [ + ] x est défiie sur R! tio défiie par fx = x = Pour x [, ] ous avos expx + x doc exp Posos pour x R, gx = ε = g = et pour x, g x = expx x x expt Nous avos doc gx = dt t Soit ε > ε expt x expt ε dt + dt t t x! g est dérivable et g x = expt dt + ε t ε x x =! exptdt expt dt + ε expx t = lim exp x ε expt dt + ε x + t expx = ε doc il existe A > x expt tel que pour x A o ait exp x dt ε c est-à dire t gx = oexpx lorsque x ted vers + ex pour x R ous avos = expex e! e = Nous e déduisos que pour x R +, e expex fx e expex + 3 e gex fx expex + e e e 3 gex E utilisat ce que ous ve- e os de démotrer ous e déduisos fx x + e expex 53 Pour obteir il faut p jetos marqués et q jetos marqués 3 avec p+3q = Il faut détermier le ombre N d etiers p tels qu il existe q vérifiat p + 3q = Cosidéros les deux séries etières x et x 3 La première série a pour terme gééral a x avec a = et a + =, la secode série a pour terme gééral b x avec b 3 = et b 3+ = b 3+ = La série produit de Cauchy de ces deux séries a pour terme gééral c x avec c = a i b j = = N i+j= p+3q= 97

204 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES Pour x < ous avos = x = x et + x 3 = x 3 E décomposat e élémets simples ous obteos x x 3 = 4 x + 6 x x i 3 9x j + i 3 9x j Pour x < ous avos doc + x x 3 = π 9 si x 3 = Nous e déduisos N = π 9 si 3 = Pour = 3p, N = p p + 3 Pour = 3p +, N = p + 4 p 3 Pour = 3p +, N = p p E examiat la parité de p ous obteos N6q = q +, N6q + = q, N6q + = q +, N6q + 3 = q +, N6q + 4 = q +, N6q + 5 = q + 54 Pour t R +, cht t = = t 3! Pour t R, t 3 = t 3 = t t t 3! = + t t = cos t t = cost t! = = { cht t lorsquet R+ La foctio défiie sur R par ft = cost est déve- t lorsquet R loppable e série etière à l origie ; le rayo de covergece de la série etière état égal à + 55 fx = x 4 Posos u = x = sit avec t gu = u et ht = t si h est de classe C, h =, h = Pour u ], [, g u u = u u lim g u = doc g est de classe C sur [, [ u + u La dérivée de l applicatio ϕ : u u [, est l applicatio π ] Notos 98

205 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES u u + u u u u Lorsque u ted vers ous avos ϕ u = C sur [, [ et doc aussi g 4 u + ou ϕ est doc de classe h t = costg u, h t = cost g u sitg u = 4 ht = 4 gu Nous avos doc u [, [, 4 u g u 4ug u + gu =, g =, g = Existe-t-il ue série etière a u de rayo strictemet positif, R, dot la somme est au voisiage de égale à gu? Nous devos avoir pour u [, R[ [, [, = a u = soit ecore 4 a u = = 4 a u = a a u = 4a u + = Nous obteos doc N, a = et a +3 = a Notos b = a + N, b + = b 4k + 4k + 3 Les coefficiets b sot tous o uls doc b + = b 4k + k + 3 k= 4 + 4! 4k + 4k + 3 = 4 + +!, = ! k= k= Nous avos doc N 4!, b = ; relatio vraie aussi pour 6 +!! = Lorsque ted vers +, e utilisat la formule de Stirlig, ous avos b e π + = exp l + lim = + + e Fialemet b + 4 π 3 R = et comme ous l avos déjà vu la série coverge uiformémet sur [, ] g état cotiue sur [, ], l uicité de la solutio de l équatio différetielle Joseph Di Valeti Exercices corrigés 99

206 CHAPITRE 5 CORRIGÉS SÉRIES ENTIÈRES coduit à u [, ], gu = b u + puis x [, ], fx = = = b x 4+

207 Chapitre 6 Séries de Fourier a Soit u N ue suite d élémets d u espace vectoriel ormé E Pour N, otos S = u k et pour N, σ = S k k= O suppose que u N est borée et que la suite σ N est covergete Motrer que la suite S N est covergete de même limite σ, que la suite σ N Pour cela, motrer b i Pour < m, m S m m σ = mσ m σ m σ + k= m k=+ k u k ii E déduire η >, N ε N, N, N η σ σ η et m > N η, S m σ η + η m m + A, où A est u majorat des u c Soit f ue foctio π-périodique défiie de R das C cotiue par morceaux O ote S f la somme partielle d ordre de la série de Fourier de f O ote, pour N, σ f = S k f k= Vérifier la relatio σ f = α+π ft si x t π α si dt x t fx + + fx Notos, pour x R, f = σ f Motrer la relatio f = π siu [fx + u fx++fx u fx ] du π siu E déduire lim f = + d Motrer que si f est cotiue alors la suite f N coverge uiformémet vers

208 CHAPITRE 6 SÉRIES DE FOURIER e E déduire que si c f Z est borée alors la série de Fourier de f coverge vers f E déduire que si f est cotiue et si c f Z est borée alors la série de Fourier de f coverge uiformémet vers f Soit f ue foctio impaire, π-périodique, défiie sur R t ], π[, ft = Motrer que f est développable e série de Fourier, quel est ce développemet? 3 Soiet les foctios π-périodiques défiies sur R Pour x ] π, π[, fx = chαx α R, x, x 4, x 3, x expx, expx Motrer que les foctios f sot développables e séries de Fourier, quel sot ces développemets? E déduire les sommes des séries : + α,,,,, 4 4 +, 4 + α, +, +, +, 4 Soit f ue foctio π-périodique défiie sur R : x [ π, ], fx = ; x [, π ], fx = x; x ]π, π], fx = Motrer que f est développable e série de Fourier, quel est ce développemet? Écrire la formule de Parseval 5 Soit f ue foctio π-périodique défiie sur R, telle que : pour x [ π, ], fx = ; pour x ], π], fx = xπ x Motrer que f est développable e série de Fourier, quel est ce développemet? Écrire la formule de Parseval 6 Soit f la foctio π-périodique défiie sur R dot la restrictio à [ π, π] est défiie par t cosαt où α / Z Motrer que f est développable e série de Fourier, quel est ce développemet? Détermier cotaαπ, puis u développemet e produit ifii de sit Refaire le même exercice avec ch αx, α R Trouver u développemet e produit ifii de sht 8 7 Soit f ue foctio π-périodique, défiie de R das C, de classe C p, p O ote S f = c fe où t, R Z, e t = expit k= Motrer : f S f est égligeable devat : p N 8 Soit f ue applicatio défiie sur R, π-périodique défiie pour t [ π, π] par ft= t π Développer f e série de Fourier Calculer =, + =, + 9 Soit b N ue suite réelle décroissate, covergete vers Motrer : t R b sit R coverge uiformémet sur R b = o = 4

209 CHAPITRE 6 SÉRIES DE FOURIER O pourra étudier k=+ π t ], π], p = E et étudier t b k si k π Pour la réciproque o pourra choisir 4 +p k=+ b k sikt et état majorée grâce à ue trasformatio d Abel k=+p+ b k sikt ; la derière Soit a C, a / [, ] Soit b la racie de plus petit module de z az+ = z a Soit gz = z cost + z, soit ft = a cost Vérifier que ft = b gb Développer g e série etière à l origie b b Développer f e série de Fourier π cost c E déduire la valeur de I = dt, N a cost π cost Exemple : calculer I = dt, N, θ > chθ + cost a Soit t R Développer l applicatio λ C e série λ cost + λ etière, à l origie b E déduire pour λ < λ cost + λ = λ cost λ cost + λ + + λ cost c Soit ft = Fourier λ λ cost + = avec λ < Développer f e série de cost E déduire pour λ, la valeur de l itégrale λ cost + λ dt Soit f : R C, π-périodique, cotiue par morceaux Soiet a f et b f les coefficiets de Fourier de la foctio f Motrer que les séries a f et b f sot absolumet covergetes O pourra utiliser l iégalité de Cauchy-Schwarz 3 Soiet f et g deux applicatios cotiues par morceaux défiies de R das C π-périodiques O pose hx = = c fc g expix + = π c fc g exp ix Justifier que hx est la somme de deux séries absolumet covergetes Motrer que h est cotiue ] π ] 4 Soit x, Soit f x ue applicatio de R das C cotiue, ulle sur [x, π], paire, valat e, affie sur [, x] 3

210 CHAPITRE 6 SÉRIES DE FOURIER Développer f x e série de Fourier si kx E déduire les valeurs de : ; k k= k= si 4 kx k 4 5 Soit f : R C, de classe C sur [, π], f = fπ = et Motrer qu il existe ue suite α N telle que : t [, π], ft = = α sit et = α = π π f t dt = 6 Soit r [, [ Soit E l espace vectoriel sur C des applicatios à valeurs das C, défiies sur R, cotiues par morceaux, π-périodiques Motrer qu il existe ue foctio P r telle que f E, θ R, = r c f expiθ + π = r c f exp iθ = π Calculer P r tdt et motrer la relatio : π r c f expiθ = fθ + + fθ lim r < Z π π ftp r θ tdt 7 a Soiet f et g deux applicatios π-périodiques défiies de R das C, π cotiues par morceaux O pose f * gx = fx tgtdt π O suppose que l ue des deux foctios, g ou g, est cotiue ; motrer que f * g est ue applicatio cotiue, π-périodique b Comparer c f * g et c fc g c Soit ft = t sur ] π, π[, f π-périodique ; calculer c f * f et f * f 8 Soit fx = = cosx 3 Motrer que f est pas dérivable e O pourra π comparer à la somme calculée jusqu à N = E x calculer fx f et 9 Soit f ue applicatio développable e série etière de rayo R > Soit gt = fr expit r < R Calculer c g Soit f ue applicatio défiie sur u ouvert de C, développable e série etière à l origie de rayo de covergece R > Pour z = r expiθ, r ], R[, o pose g r cosθ, r siθ la partie réelle de fz Calculer les coefficiets de Fourier de θ gr cosθ, r siθ ; e déduire : Refz = π π r z gr cosθ, r siθ r expiθ z dθ pour z < r Phéomèe de Gibbs O cosidère la foctio π-périodique, impaire défiie sur R telle que pour x ], π[, fx = π x 4

211 CHAPITRE 6 SÉRIES DE FOURIER a Calculer la somme partielle d ordre, S f, de la série de Fourier de f Étudier les variatios de la foctio : x R S fx = g x b Soit a k = k + + π, soit p = E Pour k N p, motrer que g a k g a k E déduire la relatio g x g π +, puis π sit N, x [, π], g x dt = A t c Soit x fixé das ], π[, étudier la limite de la suite g x N et celle de π la suite g ; coclure + N Soit f : R C, π-périodique, cotiue, de classe C par morceaux O suppose coue la série de Fourier de f ; quelle est celle de la foctio g défiie par gx = fx cosx? 3 Soit, pour x R, fx = = six Motrer que f est cotiue sur ] π, π[ d p sipx Calculer E déduire f O utilisera ue trasfor- dx p matio d Abel p= 4 Soit f ue foctio cotiue de [ π, π] das R, f π = fπ Soit g ue applicatio affie par morceaux et cotiue, π périodique, vérifiat g π = gπ = fπ Calculer c g E déduire qu il existe ue costate A dépedat de g telle que : c g A et que les séries c g et c g sot absolumet covergetes Motrer, e utilisat le théorème de Dirichlet, que la série de Fourier de g coverge vers g et que cette covergece est ormale Motrer, e approchat f par g et sas faire de cercle vicieux, que f est limite uiforme d ue suite de polyômes trigoométriques 5 Soiet f et g deux foctios cotiues, π-périodiques défiies de R das C dot les coefficiets de Fourier sot égaux Motrer que l o a : f = g Soit f ue foctio cotiue, π-périodique O suppose que les coefficiets de Fourier trigoométriques d ordre impair sot tous uls motrer que f est π-périodique ] 6 a Soit θ π, π [ Développer e série etière au voisiage de la x foctio f défiie sur ], [ par : fx = ata + x taθ b Soit x ], [ Développer e série de Fourier la foctio g défiie sur R, π-périodique vérifiat g π = gπ = π et dot la restrictio à 5

212 CHAPITRE 6 SÉRIES DE FOURIER x ] π, π[ est défiie par gθ = ata + x ta 7 a Soit m N Pour t [, π], o pose ft = m k= θ exp i t + kπ mπ O ote f la foctio périodique de période π dot la restrictio à [, π] est f Vérifier que f est cotiue, de classe C par morceaux sur R π b i Soit c = exp itftdt le coefficiet de Fourier d idice π de la foctio f c E utilisat le chagemet de variable défii par t = πu k+mπ, démotrer l égalité c = exp i π m m m exp i π m u du ii Pour tout etier q Z o pose u q = mq+ iπu v q = mq exp du m m mq+m Démotrer les égalités : c q = u q, c q+ = exp mq iπu exp m du et i π m v q iii Démotrer que les séries u q + u q et q + v q sot absolumet covergetes et que l o a : q q v f = u + u q + u q exp i π + m v q + v q q= q= i Étudier la covergece de l itégrale impropre ii Démotrer que l itégrale impropre J = expiπy dy y expiπx est covergete iii Démotrer que l o a f = J m + exp i πm iv E écrivat la relatio précédete das le cas particulier m =, calculer la valeur de J v E déduire, pour m N, la valeur de Gm = 8 O pose, pour x R, fx = = cosx l m k= exp i πk m Quel est l esemble de défiitio de f? Motrer que f est itégrable sur ], π[ Motrer que f est développable e série de Fourier Joseph Di Valeti Exercices corrigés 6

213 Chapitre 7 Corrigé séries de Fourier a Soit u N ue suite d élémets d u espace vectoriel ormé E Pour N, otos S = u k et pour N, σ = S k b k= La suite σ N est la moyee de Césaro de S N Nous avos déjà vu das le livre cocerat les suites que si la suite S N coverge de limite l alors la suite σ N coverge de limite l Nous evisageos ici ue réciproque N, σ = S k doc pour < m, mσ m σ = m S k k= Pour m = + la relatio m S m = mσ m σ + k= m k=+ est vérifiée Supposos cette relatio vraie jusqu au rag m m+ m + σ m+ σ + k u k = mσ m σ + m k=+ k=+ k=+ k u k k u k + m + σ m+ mσ m + m u m+ = m S m + m u m+ + m + σ m+ mσ m = m S m+ + S m+ = m + S m+ La relatio est vérifiée au rag m + Celle-ci est doc vraie pour tout m > m k=+ k m k = k + k= m m m + Pour m > ous avos doc m m S m σ m σ m σ + σ σ + A Soit η > Il existe N η N tel que pour m > N η o ait Si la suite est réelle et a pour limite l = + ou alors σ N a aussi pour limite l

214 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER m S m σ m+η + m A m η +η + m A Nous avos bie m > N η, S m σ η + η m m + A, où A est u majorat des u η Cherchos à redre m ε, m ε e gardat N η m Nous devos doc obteir mε Pour que existe et vérifie + ε η + ε mε N η il suffit d avoir m > + ε N η et m > η + ε + ε Fialemet il suffit d avoir m > + ε N η, ε ε η > et m > + ε ε + η ε ε η Choisissos ε = ε = K η Il viet K >, m > + K ηk + η K η Choisissos K = et η < Il ous suffit d avoir m > + ηn η et e majorat le umérateur de + K ηk + η K η par + < 6, il suffit d avoir m > 6 η Fialemet, pour m > 3N η > + ηn η, m > 6 η ous obteos S m σ η + η + A η ; η état strictemet iférieur à il viet S m σ η + + A Soit ε > Soit η ], [ vérifiat η + + A ε Soit N N, N > 3N η et N > 6 η Pour tout etier aturel m N ous avos S m σ ε La suite S m m N coverge vers σ Remarque Remplaços la suite u N par ue suite de foctios Supposos que la suite σ N coverge uiformémet vers σ Das la démostratio que ous veos de faire, N η e déped que de η et pas de la variable associée à la foctio S S il existe u majorat A de u alors la covergece de la suite S N est uiforme vers σ c Soit x R c k f expikx = π k= k= α+π α ft expikx tdt Pour expix t, expi + x t expikx t = exp ix t expix t k= si +x t = si x t 8

215 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER Nous avos alors c k f expikx = π k= Pour expiu, k + u si k= α+π α si ft = Im exp i u = si u si u Nous obteos doc σ f = α+π π α +x t si x t dt expiu expiu E choisissat f = ous avos σ f = doc = α+π si x t π α si x t ft si x t si x t Il viet alors : fx + + fx f = σ f = α+π fx + + fx ft si x t π α si x t Choisissos α = x π Découpos l itégrale e deux itégrales ; l ue etre c π et x et l autre etre x et x + π das la première itégrale utilisos le chagemet de variable u t = x u et das la secode u t = x + u Nous obteos π si u f = π fx u dt fx + + fx dt si u si u si u du + π fx + + fx fx + u du π soit ecore f = π siu fx u+fx+u fx+ fx du π siu [ π ] Notos, pour u,, gu = fx u+fx+u fx+ fx ] lim gt = g est cotiue e Soit ε > Soit η π [, tel que u + pour u [, η] o ait gu ε f état cotiue par morceaux est borée Nous obteos doc f ε π siu du + 4 f π siu du π siu π siu η dt 9

216 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER E repreat la relatio = α+π si x t π α si dt ous obteos = x α x t siu du = π siu du π x α π siu π siu Nous obteos alors f ε + 4 f π siη ε lim f = ε doc Il existe u etier N tel que π siη N, N ε + 4 f π ε c est-à-dire lim siη f = + d Si f est cotiue, elle est uiformémet cotiue Repreos la démostratio précédete L élémet η > itroduit das cette démostratio e déped plus de x car f est uiformémet cotiue La covergece de la suite f N est bie uiforme e E utilisat le résultat vu plus haut, ous e déduisos que si c f Z est borée alors La série de Fourier de f coverge vers f Si ous supposos f cotiue et c f Z borée alors la suite σ f N coverge uiformémet t c f expit Z est borée uiformémet doc e utilisat tous les résultats précédets ous e déduisos que la série de Fourier de f coverge uiformémet vers f f π-périodique, défiie sur R, impaire et vérifiat pour t ], π[, ft = est de classe C par morceaux ; elle est doc développable e série de Fourier et vérifie t R, ft = = π sitdt = π π + + Nous e déduisos ft = b sit avec N, b = π = E particulier, pour t ], π[, π 4 = + + π 4 = = + si + π = 4 si + t + π = = π sitdt si + t et par exemple Les applicatios f π-périodiques défiies sur R dot les restrictios à ] π, π[ vérifiet ft = chαt ou t ou t 4 ou t 3 sot cotiues et de classes C par morceaux ; celles défiies par ft = t expt ou expt sot de classes C par Nous savios déjà que atat = = + t+ doc π + 4 = ata = + =

217 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER morceaux Toutes ces foctios sot développables e séries de Fourier La restrictio de f à [ π, π] est défiie par ft = chαt π chαt costdt = π π π Re expα + it + exp α + itdt ] π = [ expi + αt π Re + i + α π expi αt i α Nous obteos doc chαt costdt = α shαπ π πα + Nous avos doc pour t R, ft = shαπ απ + = α shαπ πα + t [ π, π], chαt = shαπ απ + cost puis α shαπ π = α + cost La restrictio de f à [ π, π] est défiie par ft = t Pour N, e itégrat deux fois par parties ous obteos π t costdt = 4 et ous avos π t costdt = π Nous e π π 3 déduisos t R, ft = π cost = E particulier pour t [ π, π] ous avos t = π cost La restrictio de f à [ π, π] est défiie par ft = t 4 Pour N, e itégrat quatre fois par parties ous obteos π t 4 costdt = 8 π 6 et ous avos π π 4 π Nous e déduisos t R, ft = π = E particulier pour t [ π, π] ous avos t 4 = π π 6 cost 4 = = 8 π 6 4 t 4 costdt = π4 5 cost La restrictio de f à [ π, π] est défiie par ft = t 3 π t 3 costdt = π3 π Pour N, e itégrat par parties ous obteos π t 3 costdt = 6 π + π π 4 Nous e déduisos t R, ft = π = 6 π + π 4 cost

218 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER = π3 4 +6π + = cost+ 4 π = 4 cos+t E particulier pour t [ π, π] ous avos t 3 = π π cost+ 4 π + cos+t 4 = = La restrictio de f à ] π, π[ est défiie par ft = t expt et ous posos fπ = π shπ Z, c = π ft exp itdt = π t exp itdt π π π π = [ ] π π i t exp it i = chπ + i + shπ + i π + N, a = c + c, b = ic c Nous e déduisos a = chπ + shπ π + et N, b = chπ + 4 shπ + π + Nous obteos doc t R, ft = chπ shπ chπ + shπ π + π + = π chπ 4 shπ + π + sit cost La restrictio de f à ] π, π[ est défiie par ft = expt et ous posos fπ = chπ Z, c = π ft exp itdt = π exp itdt π π π π = + i shπ π + N, a = shπ et N, b π + = shπ π + Nous obteos doc t R, ft = shπ π + shπ π = + cost + sit Das le premier développemet e choisissat t = puis t = π ous obteos = shαπ απ + α shαπ π = + α puis

219 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER chαπ = shαπ απ = + α shαπ π Nous e déduisos : shαπ απ = + α α shαπ α R, et = = + α + α απ chαπ shαπ = α shαπ + α Les séries de foctios α R + α R N sot ormalemet covergetes doc et N α R + α R lim α + α = + et lim α = = = E utilisat les relatios précédetes ous avos = = = lim α shαπ απ α shαπ = lim απ chαπ shαπ α α shαπ = π E choisissat α = ous obteos : = + = shπ π shπ et = = = π α = + = π chπ shπ = shπ Nous avos pour t ] π, π[, t expt = chπ shπ + π + chπ shπ cost + π + = chπ 4 shπ sit et + π + π shπ = chπ shπ chπ + shπ π + π + Pour t = ous avos = chπ shπ + π = chπ shπ π = chπ shπ π + = = chπ shπ + π + chπ shπ + 4 shπ + π + π + = chπ shπ π shπ shπ π π 4 shπ π + E utilisat la relatio défiissat t 4 ous e déduisos pour t =, = π π = 48 = 4 3

220 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER Sachat que = Pour t = π ous avos π 4 = π π Nous e déduisos = = π ous e déduisos + 4 = π4 9 = = = 4 = 7π4 7 E utilisat la relatio défiissat t 3 ous e déduisos pour t =, = π π + 4 π + 4 = Pour t = π ous avos π 3 = π π 4 π Sachat que E écrivat = = + 4 = = = = = = + 4 = π 6 ous e déduisos = = = = + 4 = π et 4 = + ous e déduisos + 4 = 4 = 7π4 7 E appliquat les résultats vus plus haut ous e déduisos que la foctio g, π-périodique défiie sur R dot la restrictio à [ π, π] est défiie par gt = π t t 4 est développable e série de Fourier et vérifie : t R, gt = π4 3 π E particulier = 7π Nous retrouvos = 4 = = cost 4 4 = 7π4 7 E utilisat la formule de Parseval ous obteos π 7π π t t 4 4 dt = + 48 π 5 c est-à-dire : 8 π 7π 8 35 = 49π = = 48 Il viet doc 8 = 8 = π8 945 E utilisat la formule de Parseval appliquée à la foctio dot la restrictio à [ π, π] et t t, ous avos π t4 = π soit + 4 = π4 4 9 = = 4

221 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER = = = 4 = + 4 = = = = et 4 = = = + 4 Nous e déduisos 8 = et 4 4 Nous obteos alors = 4 = + = + 4 = = = 7π4 + 7 et + = π = 4 pour x [ π, ] [ 4 La foctio f π-périodique défiie sur R par fx = x pour x, π ] ] π ] pour x, π est de classe C par morceaux doc elle est développable e série de Fourier a = π 8 N, a = π t costdt = si π + cos π, π π b = π t sitdt = si π cos π Il viet pour t [ π, π] \ { π π π }, [ ft = π si π + cos π cost π = si π + cos π ] sit π Pour t = π la somme de la série est égale à π π f + f + ; ous obteos π 4 = π π4 π + = = Pour N, a + b = 8 + π 4 π si π 3 π cos π 4 La formule de Parseval ous doe doc : π = π t dt = π = + π = 4 π = E utilisat les résultats déjà vus ous e déduisos : + = 3 π = π π { pour x [ π, ] 5 f π-périodique, défiie sur R par fx = xπ x pour x ], π] 5 = 4 est

222 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER cotiue et de classe C par morceaux ; elle est doc développable e série de Fourier Cette série coverge ormalemet a = π π xπ xdx = π 6 Pour N, a = π π π xπ x cosxdx = xπ x sixdx = π 3 b = π Nous avos doc pour x R, fx = π + + = cosx + π 3 a + b = + + 4, 4 π 6 π Nous avos doc la relatio de Parseval : 8π 4 5 = π π 6 = Nous obteos alors 7π4 7 = 8 = π e utilisat les résultats déjà vus plus haut, = + 6 = π6 96 π = = et six x π x dx = π4 6 Nous e déduisos, = π4 9 : 6 La foctio f π-périodique défiie sur R dot la restrictio à [ π, π] est défiie par t cosαt avec α / Z est cotiue et de classe C par morceaux f est doc développable e série de Fourier ; la série de Fourier de f est ormalemet covergete cosαt cost = cosα + t + cosα t Pour N, a = π cosαt costdt = [ siα + t + siα t π π α + α = α siαπ πα Nous obteos doc t R, ft = siαπ απ E particulier, pour t [ π, π] ous avos cosαt = siαπ απ cosαπ = siαπ απ + + α siαπ π α siαπ π = = 6 + α siαπ π cost puis α soit ecore α = ] π α cost

223 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER cotaαπ = απ + α π cotat t = + = = t t π α que l o peut écrire 3 pour t R \ πz, Soit t ], π[ Pour N, t π π doc la série de foctios cotiues t ], π[ t t π R coverge ormalemet x Nous avos doc cotat t t x t dt = t π = t π dt c està-dire : x cotat t t dt = l x t π π = x Soit a ], π[ cotat six sia dt = l l ous e a t x a x déduisos cotat six dt = l puis t x six x ], π[, l = l x x π = La cotiuité de la foctio logarithme coduit à + x ], π[, six = x x π = Soit alors x ]kπ, k + π[ où k N Posos y = x kπ + k six = y y π = = 3 Soit t ] π, π[ t + t π = p= t p+ π p+ t + π t = p= t p+ π p+ Nous pouvos appliquer les résultats cocerat les séries doubles et ous e déduisos : t + t π = t p+ π p+ p+ puis + t cotat = ζp π p xp p= = Les coefficiets du développemet de t cotat sot ratioels doc pour tout etier p N, ζp = r p π p où r p Q + Par exemple le développemet limité à l ordre 4 au voisiage de de 3 t + 45 t t t t9 + Nous e déduisos ζ = π 6 ζ = 69π π4, ζ4 = t + p= t3 + ot 4 π4 π6 π8 π, ζ4 =, ζ6 =, ζ8 =, ζ = , 7 cotat est t

224 = x kπ CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER + = + kπ x kπ + x π Soit N N, N > + k N + kπ x kπ + x x kπ π = N+k N k N = k x π x π + x π = N k = k x = k x = k x lim N + = = N k = N k = k = N+k π x x x =N k+ = π x N = π N x N+k π π =N k+ =N+ k x π + N kπ = x k = et lim + N kπ N + π x k = N =N k+ π + Nπ x + N kπ + Nπ x + N kπ = doc = + kπ x kπ + x + = k x x π π lim x kπ N N + = Nous obteos le même résultat pour k < Fialemet x R \ πz, six = x + = x π L égalité est alors vraie, compte teu de la défiitio de la covergece d u produit ifii, pour tout réel x Repreos, avec ch, tout ce que ous veos de faire avec cos La foctio f π-périodique défiie sur R dot la restrictio à [ π, π] est défiie par t chαt avec α R est cotiue et de classe C par morceaux f est doc développable e série de Fourier ; la série de Fourier de f est ormalemet covergete chαt cost = Re expα + it + exp α + it Pour N, a = π π Re expα + it + exp α + itdt = [ ] π π Re α + i expα + it + exp α + it α + i = α shαπ πα + Nous obteos doc t R, ft = shαπ απ Joseph Di Valeti Exercices corrigés 8 + α shαπ π = = α + cost

225 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER E particulier, pour t [ π, π] ous avos chαt = shαπ απ chαπ = shαπ απ + + cothαπ = απ + α π cotht t = + = α shαπ π α shαπ π = t t + π = = cost puis α + soit ecore α + α + que l o peut écrire pour t R, Soit A > Pour N et pour t A, de foctios cotiues t R sur [ A, A] Nous avos doc pour x R, c est-à-dire : x cotht t x dt = t t + π R cotht dt = t = t A doc la série t + π π coverge ormalemet l + x π = x t t + π dt Soit a, x R, ax > et a ], x [ x cotht shx sha dt = l l ous e déduisos a t x a x cotht shx dt = l puis t x shx x R, l = l + x La cotiuité de la foctio logarithme coduit à x R, shx = x x π = + + x π L égalité est vraie aussi 4 pour x = 7 Soit g ue foctio de classe C, π-périodique défiie de R das C Nous avos la relatio π = g t exp itdt = i π Nous avos immédiatemet pour ue foctio de classe C p, π π g p t exp itdt = i p gt exp itdt gt exp itdt 4 Cette relatio s obtiet aussi mais il faudrait le prouver e utilisat la relatio + six = x x π et e remplaçat das celle-ci x par ix et e utilisat le fait que = siix = i shx 9

226 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER Il viet doc c f p = i p c f Soit g ue foctio cotiue par morceaux défiie sur R et π-périodique Soit σ = a, a,, a p ue subdivisio de [, π] admissible pour f Soit Z π p ak+ πc f = ft exp itdt = ft exp itdt Sur l itervalle k= [a k, a k+ ] ous pouvos prologer la restrictio de f à ]a k, a k+ [ e ue foctio cotiue Soit alors h ue applicatio cotiue sur u itervalle [a, b] Étudios b a ht exp itdt Commeços par le cas où h est costate, égale à, sur [c, d] [a, b] et ulle sur [a, b] \ [c, d] b Pour Z, ht exp itdt = i exp id exp ic a Si h est e escalier il existe ue subdivisio a,, a p de [a, b] admissible pour h Notos, pour k {,, p }, λ k la valeur prise par h sur ]a k, a k+ [ b e déduisos p ht exp itdt = a b lim + a k= a k ht exp itdt = iλ k exp ia k+ exp ia k Nous Supposos maiteat f cotiue sur [a, b] f est limite uiforme d ue suite f p p N de foctios e escaliers b b ft exp itdt = ft f p t exp itdt + f p t exp itdt doc a a a b b ft exp itdt b ft f p t dt + f p t exp itdt a a a ε Soit ε > Il existe p N tel que f p f b a b b Nous avos doc ft exp itdt ε a + f p t exp itdt a ε D après le résultat précédet, lim + + b f p t exp itdt = ε Il existe a b N N tel que pour tout etier o ait N ft exp itdt ε c est-à-dire lim + b a ft exp itdt = E regroupat ces résultats ous obteos 5 que pour ue foctio g cotiue par morceaux défiie sur R et π-périodique ous avos lim c g = + Pour ue foctio f de classe C p, défiie sur R et π-périodique ous avos b a 5 La preuve de ce résultat est évidemmet plus simple das le cas où g est cotiue et ecore plus simple e itégrat par parties lorsque g est de classe C

227 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER lorsque ted vers +, c f = o p a f = o p ft R ft = et b f = o k=+ p a f coskt + b f sikt puis lorsque ted vers +, La covergece de la série de Fourier de f est ormale pour ue foctio f de classe au mois C Doc pour p =, lim f R f = c est-à-dire + lorsque ted vers +, f R f = o Supposos p Soit ε > et soit N N tel que pour N o ait a f ε et b f ε p k=+ p t dt = p p p Nous obteos doc ε >, t R, N, N ft R ft c est-à-dire lorsque ted vers + f R f = o p 8 L applicatio f défiie sur R, π-périodique telle que pour t [ π, π] ous p ε p ayos ft= t π est paire, cotiue, de classe C par morceaux La série de Fourier de f coverge ormalemet E itégrat par parties, pour N, ous avos a = π t costdt = 4 π t sitdt π π π 3 ] π = 4 [ t cost + 4 π 3 π 3 a = π t dt = 4 π π 3 π costdt = 4 π Nous obteos doc t R, ft = cost π = E utilisat la formule de Parseval ous obteos π t dt = 4 + π π π c est-à-dire 4 = π = π = = π4 9 Pour t [ π, π], t π = 3 4 π = cost E particulier pour t = et pour t = π ous avos = et = π 3 4 π = =

228 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER Nous obteos doc π = + = + = = = = + doc + et π + 6 = = = + = π 8 9 Soit ε > La covergece de la série de foctios t R b sit R état uiforme, il existe N N tel que pour tout couples d etiers p, q o q ait : q p N t R, b k sikt ε E particulier pour N au k=p kπ mois égal à N ous avos t R, b k si 4 ε k=+ La suite b N est décroissate doc pour k compris etre + et ous kπ + π avos b k si b si 4 4 b Nous obteos doc kπ b b k si ε Il viet alors lim 4 b = + k=+ + + b + b doc lim + b + = et b + N coverge vers Supposos que la suite b N soit décroissate et égligeable, lorsque ted vers +, devat la suite N Motros que la série de foctios t R b sit R coverge uiformémet La foctio état impaire et π-périodique ous pouvos ous limiter à [, π] π Supposos t ], π] et posos p = E Notos S t la somme sikt t S t = Im expikt = k= S t si t N b k sikt = k=+ N k=++p expi + t = expit b k S k t S k t = = b N S N t b +p+ S +p t + N k=++p N k=++p si t b k S k t k= si +t si t N k=+p b k b k+ S k t b k+ S k t

229 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER La suite b N état décroissate positive, il viet N N b k sikt b N + b + + b k b k+ = b + si t k=+ k=+ La suite b N ted vers doc e utilisat le critère de Cauchy ous e déduisos la covergece de b sit et b k sikt b + si t k=+ [ π ] La foctio sius est cocave sur l itervalle, doc sur cet itervalle sit + π t Il viet alors b k sikt b π + t k=+ Soit ε > La suite b N coverge vers doc il existe N N tel que pour N, o ait N b k sikt ε π E particulier b k sikt ε π t + k=+ t + p + ε π tp + ε k=++p k=+ Pour N, b ε doc pour k N, k N, ous avos π b k sikt εt +p π b k sikt εpt π ε k=+ Fialemet b k sikt ε La covergece est bie uiforme d où l équi- valece demadée a b b b gb = b b b cost + b = b ba cost = ft z z cost + z = + z expit + z exp it Pour z < ous avos gz = + = expit + exp itz = + = costz b ft = a cost f est de classe C π-périodique f est développable e série de Fourier ; celle-ci est ormalemet covergete Les deux racies de l équatio z az + ot u produit égal à doc elles sot toutes deux de module égal à ou l ue des deux, b, a u module strictemet iférieur à Supposos que les deux racies ot pour module Elles sot respectivemet égales à expiα et exp iα avec α réel Nous avos alors a = cosα doc a [, ] ce qui est pas le cas par hypothèse Nous avos doc b < E utilisat les résultats précédets ous avos 3

230 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER ft = b b gb = + b cost b b = Le développemet e série de Fourier est uique doc π ft costdt = π ft costdt = 4b+ π π π b π cost πb+ Nous e déduisos I = dt = a cost b c Soit θ > Pour a = chθ, ous choisissos b = exp θ E utilisat ce qui précède ous obteos I = π exp + θ = π exp θ exp θ shθ a Supposos sit λ cost + λ = i exp it sit λ exp it expit λ expit Pour λ < ous avos doc + λ cost + λ = i exp i + t expi + tλ sit = si + t = λ sit Si sit =, Nous e déduisos = λ cost + λ = ελ = d dλ ελ = + + ε λ = ε où ε = ± ελ Cette relatio s obtiet à partir du développemet précédet e rempla- si + t çat par la limite e kπ k Z sit b Plaços-ous ecore das le cas où sit est o ul E utilisat le résultat précédet ous avos : λ cost + λ λ cost λ cost + λ si + t si + t cost = λ λ + sit sit = = si + t sit cost = + λ = costλ sit = Das le cas où sit =, λ cost + λ λ cost λ cost + λ 4 = + ελ = ε λ = = = = costλ

231 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER Le résultat est doc vrai pour tout réel t et pour tout ombre complexe λ de module strictemet iférieur à c Soit, pour t R et pour λ <, ft = Le déomiateur s aule pour λ = expit ou λ = exp it ce qui est doc exclus λ cost + λ car λ < f est doc de classe C, paire et π-périodique f est développable e série de Fourier ; cette série coverge ormalemet Nous avos doc t R, ft = a + + a cost Il viet alors t R, costλ = ft λ costft = = = a + + a cost a + λ cost λa cost cost = E écrivat cost cost = cos + t + cos t et e utilisat le fait que la série a est absolumet covergete ous obteos : t R, costλ a = λa + a λ a λa = + a λ a λ a + cost = = L uicité du développemet e série de Fourier coduit à a λa =, N, a λa + + a + = λ Motros u résultat prélimiaire Soit a, b R + R + a + ib u = + ai bu + + ai + bu ai + bu = bu + a u + + ai + bu + bu + a u ai + bu = 4ai b b + a + b ai u + ; ous avos ai b doc + ai bu = b + a + b u 4ai b a + b u bu + ai + ai ba + b u bu + De même + b aiu = b + a + b u 4b ai a + b u + bu + ai + ai ba + b u + bu + Ue primitive de u + ai bu est : 5

232 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER u 4ai b l a +b u bu+ a + a+ib ata +b u b a a De même ue primitive de u + b aiu est : u 4b ai l a +b u +bu+ a + a+ib ata +b u + b a a Nous e déduisos [ du + a + ib u = lim a X + 4 ai + b l + b u + bu + a + b u bu + a + a + ib ata + b u b a + a a a + ib ata + b u + b ] X a a du + a + ib u = π a + ib Lorsque b = le calcul est évidemmet plus simple π dt Cosidéros l itégrale + λ λ cost E utilisat le chagemet de variable t [, π[ u = ta qui est u C difféomorphisme ous obteos π dt + + λ λ cost = du + u + λ λ u +u t R + du = λ + +λ λ u Si + λ = ib avec b réel alors λ = ce qui est exclus λ + λ Re = λ > car λ < λ λ π dt Nous avos doc λ C, λ <, + λ λ cost = π λ E utilisat ce résultat ous obteos a = λ Supposos λ a = a λ = λ λ Motros que pour tout N, a = λ λ Le résultat est vrai pour = et = Supposos-le vrai jusqu au rag E utilisat la relatio a λa + + a = λ ous obteos 4λ λ λ λ λ = a + λ c est-à-dire a + = λ+ λ Nous avos doc bie pour tout etier aturel a = λ λ 6

233 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER π cost π { π pour = Si λ =, + λ λ cost dt = costdt = pour N Le résultat précédet est doc vrai aussi pour λ = Nous obteos doc λ cost+λ = + λ cost λ Fialemet pour λ, C N, λ < ous avos π cost λ λ cost + dt = πλ λ Remarque Nous pouvios utiliser le résultat de l exercice précédet pour obteir la répose à cette questio π Soit, pour Z, c f = ft exp itdt π f état ue foctio π-périodique, cotiue par morceaux défiie de R das C la formule de Parseval s applique et ous avos π π ft dt = c f + = c f + c f D après l iégalité de Cauchy-Schwarz ous avos pour tout couple de - uplet x, y avec x = x,, x C et y = y,, y C x k y k x k y k k= k= k= Nous avos doc c k f c k f k k k= k= k= De même c k f c k f k k k= k= k= Nous e déduisos que les séries de termes gééraux pour N c f et c f sot covergetes et de plus c f + c f + c f + + c f + = = Pour N, a f = c f + c f, ib f = c f c f doc a f c f + c f et b f c f + c f Les séries a f et b f sot doc absolumet covergetes 3 E utilisat l iégalité de Cauchy-Schwarz ous avos pour, p N, c k fc k g c k f c k g k= p k= p k= p f et g sot deux foctios cotiues par morceaux défiies de R das C π- 7 = = =

234 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER périodiques doc o peut appliquer la formule de Parseval à l ue et l autre foctio Nous e déduisos que pour tout réel x hx est la somme de deux séries absolumet covergetes Chaque applicatio x R c fc g expix C est cotiue doc h est cotiue 4 La foctio f x défiie de R das C cotiue, ulle sur [x, π], paire, valat e, affie sur [, x] est cotiue de classe C par morceaux a f x = x π Pour N, a f x = x t costdt π x = π [ t x = cosx sit ] x + π x x sitdt π x f x est développable e série de Fourier ; la série de Fourier de f x coverge ormalemet Nous avos t R, f x t = x π + si x cost πx Pour t = ous obteos = x π + πx = Pour t = x ous obteos = x π + πx Pour t = π ous obteos = x π + πx = = = si x si x cosx si x E utilisat ces trois expressios ous e déduisos : = si 4 x = πx 4, + = si x = πx x, + = si x = x À partir de la derière relatio et e utilisat la relatio = π, = vue das des exercices précédets, ous obteos [ π ] cosx pour x,, = x π = { ft pour t [, π] 5 Soit g la foctio défiie sur [ π, π] par gt = f t pour t [ π, [ Soit alors h la foctio π-périodique dot la restrictio à π, π[ est la restrictio de g à ce même itervalle h est cotiue car f = fπ = Pour t ], π[, h t = f t, pour t ] π, [, h t = f t lim h t = f, lim h t = f h est dérivable e et la dérivée est cotiue e t t + 8

235 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER lim h t = f π, lim h t = f π doc lim h t = f π h est dérivable t π t π + t π e π et la dérivée est cotiue e π h est défiie sur R, de classe C h est développable e série de Fourier ; la série de Fourier de h est ormalemet π covergete c h = ht exp itdt, c h = ic h π π c h = π π ft exp itdt ft expitdt π = i π π ft sitdt = i b h E utilisat les formules de Parseval appliquées à h et h π ht dt = π ft dt = b h π π π π π π b h = π h t dt = π π π ft sitdt f t dt = = = b h h est développable e série de Fourier doc t [, π], ft = Posos pour N α = b h Nous obteos alors t [, π], ft = = 6 Pour r < ous avos = α sit, π = π = r ft expi θ + t = ft π f t dt = r ft expiθ t = + = ous obteos = r expi θ + t r expi θ + t = ft r expi θ + t α b h sit ft r expiθ t et r ft expiθ t f r et r ft expi θ + t f r doc les séries sot ormalemet covergetes de la variable t Nous avos doc π + π r ft ft expiθ t dt = dt et π = π r expiθ t π + π r r expi θ + tft ft expi θ + t dt = π = π r expi θ + t c est-à-dire : π + r c f expiθ + r c f exp iθ dt π = = 9 = π π r ft r cosθ t + r

236 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER Notos P r t = = r c f expiθ + r Nous avos bie r cost + r = f est π-périodique doc π r c f exp iθ = π π π π π ftp r θ tdt ftp r θ tdt = fθ tp r tdt π π π E choisissat f = ous obteos = π P r tdt = π P r tdt π π π π π π fθ tp r tdt = = π π fθ t + fθ + tp r tdt = π = π fθ tp r tdt + π fθ t + fθ + tp r tdt fθ + tp r tdt fθ t fθ + fθ + t fθ + P r tdt +fθ + fθ + fθ t fθ + fθ + t fθ + P r tdt Soit ε > Il existe α ], π[ tel que pour t [, α] o ait fθ t fθ + fθ + t fθ + ε Pour t [α, π] ous avos π P r tdt +πfθ + fθ + r r cost + r r cosα + = r cosα + si α si α π fθ t fθ + fθ + t fθ + P r tdt ε ε α π επ lim r + r si α f = επ doc lim r π π P r tdt + 4 f P r tdt α P r tdt + r si α f = επ + r si α f fθ t fθ + fθ + t fθ + P r tdt = Nous obteos bie lim r < r c f expiθ = fθ + + fθ Z 7 a Rappel : soit F ue applicatio défiie de A I das C I est u itervalle de R et A ue partie o vide de R S il existe ϕ cotiue par morceaux défiie de I das R + itégrable vérifiat x, t A I F x, t ϕt, si pour chaque t I l applicatio 3

237 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER F, t = x I F x, t C est cotiue et si pour chaque x A l applicatio F x, = t I F x, t C est cotiue par morceaux alors l applicatio G défiie par Gx = F x, est défiie sur A et est cotiue Par ailleurs si ue foctio g est ue foctio T -périodique défiie sur R à valeurs das C cotiue par morceaux ous avos pour tout réel a a+t a gtdt = T gtdt Si f et g sot deux applicatios π-périodiques défiies de R das C, cotiues par morceaux ous avos pour x R, π fx tgtdt = x x π ftgx tdt = π I ftgx tdt Nous e déduisos f g = g f x, t R [, π], fx tgt g De même gx tft g Supposos par exemple f cotiue E appliquat le rappel ous e déduisos que f g est cotiue b Soiet f et g deux applicatios cotiues par morceaux défiies de R das C, π-périodiques π π ftgx t exp ixdx dt π π = gx t exp ix tdx ft exp itdt = π π t g état périodique ous e déduisos π π ftgx t exp ixdx dt = = π π π t gx exp ix tdx ft exp itdt gx exp ixdx ft exp itdt π gx exp ixdx ft exp itdt = 4π c fc g Motros que si ϕ et ψ sot deux applicatios cotiues par morceaux défiies de R das C, π-périodiques alors π π π π ϕtψx tdx dt = ϕtψx tdt dx Commeços par le cas où la restrictio de ϕ à l itervalle d extrémités a et b avec a b π est égale à et ulle sur le complémetaire das [, π] de cet itervalle ; de même la restrictio de ψ à l itervalle d extrémités c et d avec c d π est égale à et ulle sur le complémetaire das [, π] de cet itervalle 3

238 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER π π avec Ψx = ϕtψx tdt dx = x π ψtdt Ψ est défiie par Ψx = Examios trois cas a + c π π a+c π π = b ψx tdt dx a π Ψx a Ψx bdx pour π x c π x c + π pour c π x d π d c pour d π x c x + d c pour c x d d c pour d x π a+d π Ψx adx = dx + x a c + πdx + a+c π = d c 4π a c d π d cdx a+d π a + c π et a + d π π Ψx adx = a+d π a + c π et a + d π π Ψx adx = x a c + πdx + a+c = d c 4π a c d a+c d cdx + a+d a+c d cdx a+d π π + x a + d cdx a+c x a + d cdx π + d cdx a+d = d c 4π a c d E faisat de même avec b ous obteos fialemet π Ψx a Ψx bdx = d cb a Nous obteos doc l égalité π π ϕtψx tdt dx = π π ϕtψx tdx dt Par combiaiso liéaire, le résultat est ecore vrai pour le cas où ϕ et ψ sot e escalier Supposos que ϕ soit cotiue par morceaux ϕ est limite uiforme d ue 3

239 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER suite ϕ N de foctios π-périodiques défiies sur Re escalier sur [, π] Pour N, t R, ϕ t ϕt doc ϕ t + ϕt Nous e déduisos ϕ maxmax ϕ k, k, + ϕ Il existe doc ue costate M R + telle que pour tout couple, t N R o ait ϕ M Posos u x = π ψx tϕ t M ψ π ψx tϕ tdt lim ψx tϕ t = ψx tϕt doc + lim u x = ψx tϕtdt = ux + Soit ε > Soit N N tel que pour, t N R o ait ε N ϕ t ϕt π ψ + π ε u x ux = ψx tϕ t ϕt dt π ψ π ψ + ε u N coverge uiformémet sur R vers u Nous e déduisos lim π + π π u xdx = π uxdx ϕ tψx tdx dt = = π π lim + π π π π ψxdx ϕ tdt = Il viet immédiatemet ϕ tψx tdx dt = Nous e déduisos π π ϕtψx tdt dx = π ψx tdx ϕ tdt π π π ψxdx ϕ tdt π ψxdx ϕtdt π ψxdx ϕtdt E supposat maiteat ψ cotiue par morceaux et e refaisat le même raisoemet ous obteos fialemet que pour ϕ et ψ π-périodiques cotiues par morceaux défiies de R das C ous avos la relatio π π π π ϕtψx tdt dx = ψxdx ϕtdt E choisissat ϕt = ft exp it et ψt = gt exp it ous obteos c f g = c fc g c Soit f la foctio défiie sur R, π-périodique et dot la restrictio à [ π, π] est défiie par ft = t E itégrat par parties ous obteos Z, c f = i et c f = Il viet alors c f f = 33

240 f fx = π = π = π π f f x = π = π x+π CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER fx tftdt = π x tftdt = x π x π x+π x π π π π tftdt π π π π f x tftdt = π tfx tdt ftdt π π π x+π x π tftdt f x + tf tdt fx tftdt π π f f est paire π-périodique Supposos x [, π] x+π tftdt = π t dt x+π tt πdt π x π π x π π π = x+π vt dt + x+π π x π π π tdt = x π + πx π 3 Fialemet f f est défiie sur R, π-périodique et pour x [, π] ous avos f fx = π 6 x π Le développemet e série de Fourier coduit alors à x [, π], π 6 x π = = cosx Par exemple pour x = π ous avos π 6 = + avos π 6 π + = = = =, pour x = ous Nous retrouvos des résultats déjà vus de ombreuses fois ; à savoir : = π + et = π 6 = 8 N N N + x cosx = Re expix = Re exp i = La série = cos = N+x si x x R cosx Soiet x ], π] et N = E f fx x = = si Nx = si + 3 π x cosx 3 R N+x si x si Nx si x est ormalemet covergete N cosx = 3 34

241 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER Nous avos doc f fx x N x cosx = π 3 N+x N cosx = 3N si si x = 3 π x f fx Fialemet 3 x π x x π 3 x x si si = x x + x + ox Nous e dédui- 3π x + 3 x Lorsque x ted vers ous avos sos que π x x 3 si x E coclusio lim x + fx f x π 3 si x = f état paire lim x fx f x = + 9 Nous savos que lorsqu ue série trigoométrique coverge uiformémet alors cette série est la série de Fourier de la somme de cette série Posos pour z C, z < R, fz = = λ z f état développable e série etière à l origie, pour r ], R[, la série de foctios t R λ r expit C coverge ormalemet Nous e { lorsque Z déduisos, e posat gt = fr expit, c g = λ r lorsque N Soit z C avec z < r < R z z exp iθ = exp iθ r r = + π = π z r = exp iθ z r expiθ + z exp iθ = r r expiθ z z gr cosθ, r siθ + exp iθ dθ r = π = π Pour r fixé, otos Gθ = gr cosθ, r siθ z r expiθ z r expiθ + z gr cosθ, r siθdθ r expiθ z Notos z = ρ expit Nous obteos alors e preat la partie réelle des deux membres : π ρ gr cosθ, r siθ + cost θ dθ π r = π = π 35 r z gr cosθ, r siθdθ r expiθ z

242 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER La série ρ θ R Gθ cost θ R est ormalemet covergete doc r π ρ gr cosθ, r siθ + cost θ dθ π r = = a G ρ + a G cost + b G sit r = Fialemet a G + = ρ r Gθ = gr cosθ, r siθ = a G cost + b G sit = = π r z π r expiθ z Gθdθ Re α r expiθ Notos α = u + iv ; u, v R Gθ = = r u cosθ v siθ Nous obteos a G = u et pour N, a G = r u, b G = r v E remplaçat das la relatio vue plus haut ous obteos : = ρ u cost v sit = π z < r < R, Refz = π π π r z Gθdθ c est-à-dire pour r expiθ z r z r expiθ z Gθdθ Posos Hθ = Re ifr expiθ = Imfr expiθ E appliquat ce qui viet d être fait ous obteos pour z < r, Imfz = π π pour z < r < R, fz = π r z Hθdθ doc fialemet r expiθ z π r z fr expiθdθ r expiθ z Remarque Nous pouvios utiliser u résultat déjà vu plus haut à l exercice uméro Pour λ < ous avos la relatio π cosθ π λ λ cosθ + dθ = λ λ doc π expiθ si état impaire, π λ λ cosθ + dθ = λ λ Pour ζ < R, fζ = = α ζ Notos z = ρ expit avec ρ < r < R r z Nous obteos r expiθ z = r ρ r + ρ rρ cosθ t 36

243 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER π π r z r expiθ z α r expiθdθ = π π = r ρ r r ρ α r r expiθ t expit ρ cosθ t + ρ dθ r r ρ r α r r z r expiθ z α r expiθ r + ρ r ρ α r ρ expit = α ρ expit r La série θ r z r expiθ z α ρ expiθ C π coverge ormalemet doc pour z < r, fz = π Nous retrouvos le résultat précédet r z fr expiθdθ r expiθ z a f est impaire, π-périodique de classe C par morceaux La série de Fourier de f coverge et x R, = b f six fx + + fx N, b f = π g x = S fx = π ft sitdt = π π k sikx k= Pour x o cogru à modulo π, g x = coskx = Re k= π expix expix expix = π t sitdt = = si x cos +x si x Pour x cogru à modulo π, g x = S est impaire Soit x [, π] g est alors [ ] [ ] 4kπ 4k +π 4k +π 4k +3π strictemet croissate sur, et,, + + [ ] [ ] 4k +π 4k +π 4k +3π 4k +4π strictemet décroissate sur, et, + + avec k etiers tels que les itervalles soiet iclus das [, π] Fialemet, g décroit strictemet sur l itervalle [ ] j + π +, j + π et [ ] jπ croit strictemet sur, j + π + Les miima locaux stricts sot doc obteus e les poits j π pour j E et les maxima locaux stricts sot obteus e les poits j + + π pour j E 37

244 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER k + π b Soit a k = avec k N, k E Soit k N, k E + ak g a k g a k = g tdt, g t = cosjt = Re expijt a k Comme ous l avos vu précédemmet, ous avos doc, pour t mod π, si t g t cos +t = si t sia cosb = sia + b + sia b doc t + t si cos = + si +t si t = cos + t + t si + t cota g a k g a k = ak a k = π + + j= j= cos + t + si + t cota ak a k t si + t cota dt t dt x + k π Avec le chagemet de variable défii par t = ous obteos si + t cota dt + ak t a k = π x + l π six cota dx + + g a k g a k = π + π x + k π six cota dx + + π x + k π six cota dx + π x + k π = six cota dx + π x + kπ six cota dx + Pour k, x+k π π et x+kπ +π cota est décroissate strictemet sur ], π] doc π x + k π six cota dx + π x + kπ six cota dx > + Joseph Di Valeti Exercices corrigés 38

245 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER Nous obteos alors g a k g a k < π Les maxima + relatifs, k π sur [, π], décroisset < kπ + + < kπ Nous e déduisos kπ kπ kπ g < g = g kπ Il viet immédiatemet pour j N, j, k j, g kπ E particulier pour j = k+ ous avos g c est-à-dire g k+ π π kπ g k + g k+ π π k+ j jπ = si k + j k + j= = π k+ k + ; elle est é- La dérivée de t sit est égale à t t gative 6 pour t ], π[ doc t sit t j= kπ g j j kπ g k+ k + k+ jπ k+ j si jπ t cost sit t est décroissate sur ], π[ Posos ht = t cost sit h t = t sit h t sur [, π] doc ht sur [, π] d où la décroissace de t sit t E séparat les termes d idices pairs des termes d idices impairs et e remarquat que le terme d idice k + est ul ous obteos k+ si jπ k j k+ = si p π k+ si pπ k+ j= jπ k+ p= p π k+ pπ k+ kπ kπ Nous obteos doc g g k+ k + Les miima locaux de g sur [, π] sot positifs doc g est positive sur π [, π] Nous avos alors x [, π], g x g + { pour x = Notos ϕt = sit ϕ est cotiue décroissate pour t ], π] t π doc g = π + jπ π ϕ ϕtdt j= 6 La dérivée de t t cost sit est t t sit qui est égative sur ], π[ doc t t cost sit décroit sur ], π[ et est égative sur ], π[ [ [ O peut aussi remarquer que sur,, tat t et sur π 39 [ π, π ], t cost sit <

246 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER π g est impaire et π-périodique doc x R, g x valeur approchée de cette itégrale est,85936 π π c lim g = + + Nous avos vu plus haut que lim + g t = t ], π] lim g t = π t + π t lim = π π t + qui est très éloigé de sit dt Ue t sit dt car il s agit d ue somme de Riema t ft + + ft sit dt t doc pour Si f est ue applicatio défiie de R das C, π-périodique, cotiue, de classe C par morceaux alors la foctio g défiie sur R par gx = cosxfx vérifie les mêmes coditios doc est développable e série de Fourier Les séries de Fourier de f et g coverget ormalemet ; les séries a et b sot absolumet covergetes x R, fx = a + + a cosx + b six Nous obteos doc = x R, gx = a cosx + = a cosx cosx + b six cosx a cosx cosx + b six cosx = a cos + x + a cos x + b si + x + b si x Compte teu des covergeces absolues des séries a et b ous e déduisos, e posat b =, gx = a + + a + + a cosx + b + + b six = La série aisi défiie coverge ormalemet doc il s agit de la série de Fourier de la foctio dot elle est la somme Nous pouvos effectuer ue autre démostratio a g = a f Soit N a g = π ft cost costdt = π ftcos + t + cos tdt π π = a +f + a f De même, e posat b f =, ous avos pour N, b g = π π ft cost sitdt = π = b +f + b f Nous avos doc t R, gt = a f + = π ftsi + t + si tdt a + f + a f cost + b + f + b f sit 4

247 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER 3 Posos, pour N, A = k sikx et A = k= Soiet p et q deux etiers ; p < q q k sikx q = x k A k A k k=p Pour x ] π, π[, k=p = k=p q k=p q A k k k=p A k k + = A q q A p p k sikx = Im k= k= + q k=p expix k k A k k + = Im expix expix + expix Si est pair ous obteos Im expix expix cos +x si x = + expix si x Si est impair ous obteos Im expix expix si +x cos x = + expix si x Das les deux cas ous avos A x cos Nous e déduisos x q k sikx x cos x q + p + k = k + k=p p cos x L iégalité est vraie aussi pour p = q q k sikx Soit a [, π[ Pour x [ a, a] ous avos x p cos a k=p Pour ε > ; soit N N, N ε cos a p, q N q k sikx, x [ a, z], q p N x ε k=p La série de foctios six x [ a, a] R coverge uiformémet et a doc pour somme ue foctio x cotiue six E posat fx =, d après ce que ous veos de voir, fx x = est doc défii sur [ π, π] puis sur R pour x ] π, π[ il existe a ] π, π[ tel que [ a, a] soit u voisiage de x doc f est cotiue e x f est doc ue foctio impaire, π-périodique défiie sur R qui est, d après ce que ous veos de voir, cotiue sur R \ {k + π, k Z} 4

248 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER Posos, pour N k sikx, f x = f est de classe C et k k= f x = k coskx = Re expix k= Pour x ] π, π[ ous avos f x = Re expix expix + expix si x Pour pair, f x si +x = cos = cos +x x cos x cos x Pour impair, f x cos +x = = cos +x + cos x k= cos x Fialemet, f x = cos +x + cos et, pour x < π, x f x = x x cos +t + cos dt t E itégrat par parties ous avos x +t cos cos dt = t + Il viet alors pour x [, π[, x cos +t cos dt t + si +t cos t cos x x + + x + = + x cos x si si t 4 cos t [ + +t si t 4 cos dt t dt + = + f état impair, l iégalité est doc vraie pour tout x ] π, π[ cos t ] x Nous e déduisos immédiatemet lim f x = x f est doc défiie sur R, impaire, + π-périodique, ulle e π et e π et pour x ] π, π[ est défiie par fx = x Nous pouvos vérifier a-posteriori que ce résultat est exact Cosidéros f défiie comme précédemmet f est de classe C par morceaux Elle est développable e série de Fourier 4

249 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER Pour N, b = π π x sixdx = π π π x sixdx = π [ x cosx π ] π π π + π = cosπ = Nous obteos bie le résultat attedu x sixdx cosx dx 4 g est cotiue, de classe C par morceaux E utilisat le théorème de Dirichlet qui se démotre 7 sas utiliser l approximatio des foctios par des polyômes 7 Rappel de la démostratio Motros tout d abord le lemme suivat : Soit f ue applicatio défiie de [a, b] das C, cotiue par morceaux Soit λ R b lim λ ± a ft expiλtdt = E utilisat le chagemet de variable t t, le cas se ramèe au cas + O suppose a < b car sio le résultat est immédiat Supposos que f soit costate, égale à K, sur l itervalle d extrémités c et d, avec b a c d b, ulle das le complémetaire ft expiλtdt = ik expiλd expiλc a λ b ft expiλtdt K Si f est e escalier, elle est combiaiso liéaire d ue famille fiie de λ a foctios aalogues à la précédete Nous avos doc bie das ce cas lim λ ± b a ft expiλtdt = Si f est cotiue par morceaux, f est limite uiforme d ue suite f N d applicatios e escalier ε Soit ε > Soit f N telle que t [a, b], f N t ft b a b N état aisi fixé, soit A R tel que λ A o ait f N tεiλtdt a ε b b b ftεiλtdt a ft f N tεiλtdt a + f N tεiλtdt a b b ft f N t dt + f N tεiλtdt ε + ε = ε a a Le résultat est doc démotré Supposos f cotiue par morceaux sur ]a, b], itégrable sur ]a, b] Soit ε > f état itégrable, il existe α >, α < b a tel que a+α a ft dt ε b a+α ft expiλtdt = a + α b ft expiλtdt + ft expiλtdt a a b D après le résultat précédet il existe A R tel que pour λ A o ait b ft expiλtdt ε a+α + ft expiλt dt ε Le résultat est doc a a a+α ft expiλtdt ε ecore vrai pour ue applicatio cotiue par morceaux sur u itervalle ouvert quelcoque et itégrable sur celui-ci Soit f ue applicatio cotiue par morceaux, défiie de R das C, π-périodique O suppose, 43

250 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER trigoométriques ous e déduisos que g est développable e série de Fourier ; x R, gx = lim c k g expikx + k= π Soit N c g = gt exp itdt π π Soit σ = a = π, a,, a p, a p = π ue subdivisio de [ π, π] telle que la restrictio de g à [a i, a i+ ] soit la restrictio d ue foctio affie Pour pour tout x, qu au voisiage de, à droite, u fx + u fx + u et u fx u fx u sot borées C est le cas par exemple si f est de classe C par morceaux Soit N c k f expikx = π ft expikx t dt π k= k= expikx t défiit ue foctio cotiue, π-périodique Pour x t o cogru à modulo k= π ous avos expikx t = si + x t si x t k= c f expikx = π π ft si + x t k= π si x t dt Le chagemet de variable t x t coduit à c f expikx = x+π fx t si + t π k= x π si t dt Nous savos que l itégrale est la même sur tout itervalle de logueur π doc c f expikx = π π fx t si + t π si t dt k= π π fx t si + t si t dt = = k= π π fx t si + t si t dt + fx t si + t si t dt + π π Fialemet c f expikx = π itπ fx t + fx + t si + t si t dt k= Pour f = ous avos = c f expikx = si + t π itπ si t dt fx + + fx k= π = π c f expikx fx t si + t si t dt fx + t si + t si t dt fx + fx + t + fx fx t si + t si t dt E utilisat l hypothèse faite ous e déduisos que l applicatio fx + fx + t + fx fx t t ], π] si t C est itégrable doc fx + + fx c f expikx = lim + k= Le théorème de Dirichlet est démotré 44

251 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER x [a j, a j+ ], j N p, gx = α j x + β j = ga j+ ga j x + a j+ ga j a j ga j+ a j+ a j Pour Z, aj+ gt exp itdt = i a j β j +α j a j+ exp ia j+ β j +α j a j exp ia j + α j exp ia j+ exp ia j = i ga j+ exp ia j+ ga j exp ia j + α j exp ia j+ exp ia j Nous e déduisos π gt exp itdt = i p ga j+ exp ia j+ ga j exp ia j π j= + α p j exp ia j+ exp ia j j= = gπ exp iπ g π expi + π + α p j exp ia j+ exp ia j j= = α p j exp ia j+ exp ia j j= c g p sup α j La majoratio est évidemmet vérifiée aussi pour = j Nous e déduisos clairemet que les séries c g et c g sot absolumet covergetes La série de Fourier de g coverge doc ormalemet vers g f défiie sur u itervalle fermé boré I est limite uiforme d ue suite de foctios cotiues affies par morceaux E effet f est uiformémet cotiue doc pour ε > il existe α > tel que pour tout couple x, y de poits de I = [a, b] o ait x y α fx fy ε Cosidéros ue subdivisio σ = a = a, a,, a p, a p = b, de I de pas moidre que α Costruisos g cotiue et affie par morceaux telle que fa j = ga j Soit x [a j, a j+ ] fx gx fx fa j + fa j gx ε + x a j fa j+ fa j ε a j+ a j Nous veos de démotrer que pour toute foctio cotiue sur l itervalle fermé boré I, pour tout ε > il existe ue foctio g cotiue, affie par morceaux preat les mêmes valeurs que f aux extrémités de l itervalle I de défiitio et vérifiat x I, fx gx ε Soit f ue foctio cotiue sur I = [ π, π] à valeurs das C Soit ε > 45

252 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER k= et soit g associée à f et à ε comme précédemmet g π = gπ doc g est prologeable e ue applicatio cotiue π-périodique défiie sur R Notos N, x R, g x = c g expikx g est u polyôme trigoométrique et coverge uiformémet vers g Il existe N N tel que pour N et pour x R o ait N g x gx ε Soit x [ π, π] fx g x fx gx + gx g x ε La suite g N coverge uiformémet, sur [ π, π], vers f 5 Soit f ue foctio cotiue, π-périodique défiies de R das C dot les coefficiets de Fourier sot uls D après la formule de Parseval, π π ft dt = = c f + Avec l hypothèse faite ici ous avos c f = π ft dt = f état cotiue ous e déduisos f = Fialemet deux foctios cotiues, π-périodiques défiies de R das C dot les coefficiets de Fourier sot égaux sot égales x 6 a La foctio f défiie sur ], [ par fx = ata + x taθ est de classe C f siθ x = x + x cosθ + siθ x + x cosθ + = i x + expiθ x + exp iθ = exp iθ i + x exp iθ expiθ + x expiθ Pour x < ous avos exp iθ +x exp iθ expiθ + +x expiθ = x exp i+θ expi+θ = + siθ Doc x + x cosθ + = + si+θx = f est doc développable e série etière de rayo de covergece égal à ; f = θ doc x ], [ ous avos fx = θ + siθx b La foctio g est cotiue, π-périodique E utilisat le résultat précédet, ous obteos pour θ π, gθ = θ + + x siθ x Notos ϕθ = siθ = x siθ x La covergece de la série défiissat ϕ est doc uiforme relativemet à θ De même la covergece de la série des 46 = =

253 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER dérivée par rapport à θ est uiforme relativemet à θ ; ϕ est de classe C Nous e déduisos π π x ϕθ sipθ = siθ sipθ dθ π = π π pour p siθ sipθdθ = π p πx p pour p = p π Nous obteos doc ϕθ sipθ = frac p x p p π π Nous retrouvos le fait que la série défiissat ϕθ est sa série de Fourier La foctio, h, π-périodique défiie sur R dot la restrictio à ] π, π[ est défiie par θ θ est de classe C par morceaux dot est développable e série de Fourier Pour N, b h = π π itégrat par parties ous obteos b h = + + θ Nous e déduisos θ ] π, π[, = + siθ gθ = = x = θ siθdθ puis E siθ Cette série est la série de Fourier de g Nous déduisos de cela, que π x θ ata π + x ta siθdθ = x π t + π 7 a f t + π f t = exp i mπ = exp i t m t exp i mπ expit = i sit exp i t m Il est immédiat que l o a f π = f Par costructio, f est de classe C sur ]mπ, m + π[ avec m Z La limite à droite e mπ de f est la limite e de f ; la limite à gauche e mπ de f est la limite e π de f f est cotiue et f = f π doc f est cotiue sur R f est de classe C doc f est de classe C par morceaux f est développable e série de Fourier ; cette série coverge ormalemet b i πu + mπ πu k + mπ = πu mπ m m π + kπ E utilisat le chagemet de variable u t = πu kπ + mπ ous obteos 47

254 π π CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER t + kπ exp it exp i mπ = exp dt i π m k+ m k m Nous e déduisos π exp itftdt = π exp itf tdt π π = exp i π m m = exp ii E posat, pour q Z, u q = mq+m mq exp k= i π m m m i π m u du, v q = m k+ m k m exp exp iπ exp iπ m u iπ m u du m u du du mq+ i mq exp π m u du et e utilisat le résultat précédet, il est immédiat que ous avos c q = u q, c q+ = exp i π m v q iii La covergece ormale de la série de Fourier de f proviet du fait que les séries c et c sot covergetes puisque 8 f est cotiue, de classe C par morceaux ft = c f + k= c k f expikt + c k f exp ikt E séparat, ce qui est faisable car les séries c f et c f sot covergetes, les termes d idices pairs des termes d idices impairs et e remarquat que c k f = exp i πm v +k ous obteos ft = c f + +exp i πm k= + k= u k f expikt + u k f exp ikt v k f expik + t+v +k f exp ik +t [ ] π i 8 Pour Z, c f = ft i π exp itf tdt f désige ici la foctio égale à la dérivée de f e les poits où f est dérivable et importe quoi e les poits, e ombre fii sur [, π], où f est pas dérivable ; ous avos doc c f = ic f E utilisat l iégalité de Cauchy-Schwarz ous obteos, pour N, i i k= k c kf k= k k= c k f et k= k c kf k= k k= c k f Les séries, c f et c f sot covergetes doc les séries c f et c f sot covergetes 48

255 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER c E posat q = + k das la secode somme il viet immédiatemet ft = u f + + exp i πm E particulier f = u f+ q= u q f expiqt + u q f exp iqt + v q f expiq t+v q f exp iq t q= q= i ϕ : t R expiπy y u q f+u q f+exp i πm + q= v q f+v q f C est cotiue expiπy = doc y y ϕ est itégrable sur ], ] E itégrat par parties ous avos pour < a R, a [ ] a expiπy expiπy a dy = y iπ y + iπ expiπy y dy y y [, + [ expiπy y C est cotiue et a pour module y y 3 [ ] a expiπy doc est itégrable ; lim a + iπ = expiπ y iπ L itégrale impropre expiπy dy est bie covergete E re- y vache, ϕ est pas itégrable ii Soiet a et b deux réels ; a < < b b a expiπx dx = a expiπx dx + b expiπx dx E utilisat le chagemet de variable x R + y = x R + qui est u C difféomorphisme, ous obteos b a b expiπx expiπy dx = a expiπy dy + y dy y Compte teu de ce qui a été vu à la questio précédete ous e déduisos que l itégrale impropre et que l o a N u q = q= u + mn+ m N u q + u q = q= expiπx dx = iπu exp m mn+ mn 49 du, expiπx dx est covergete N u q = q= expiπy dy y mn iπu exp du doc m iπu exp m du

256 k=p u + q= u q + u q = CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER iπu exp du m N mn+ iπu N v q = exp du, v q = m m q= q= N mn+ iπu v q + v q = exp du doc m N m q= iπu v q + v q = exp du m q= m m N iπu exp m du E utilisat le chagemet de variable défiit par u = x m ous obteos f = + exp iπm iπu exp du m = m + exp iπm exp iπx dx = m + exp iπm J it iii Pour m =, exp = ij doc J = + i it exp π π iv E coclusio ous obteos m iπk Gm = exp = +i it m m exp +exp iπm π k= 8 Posos pour N et x R, C x = coskx Pour x ], π[ ous avos k= expi + x si +x cos x C x = Re = expix si et e particulier x C x si x Pour p, q N, p < q ous avos q coskx q k lk = k lk C kx C k x q k=p = k=p q k=p k lk C kx q k=p coskx k lk = q lq C qx p lp C p x k=p k + lk + C kx q + k lk C k x k + lk + 5

257 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER Fialemet ous obteos aussi pour p = q q k=p coskx k lk p lp si x L iégalité est vraie Pour x [a, π a] ], π[ la covergece de la série est doc uiforme f est doc défiie sur ], π[ et y est cotiue La série l diverge 9 f est π-périodique doc f est défiie sur R \ πz, cotiue sur cet esemble fπ x = fx ; ous pouvos ous limiter à l étude de f sur ], π] ] [ Soit alors x, Soit N N, Nx > N coskx Posos = E et S N = x k lk S N = k= Notos S = coskx k lk + k= N k= + coskx k lk k= coskx k lk et S = N k= + coskx k lk S k lk l + dt k= t lt = l + ll ll l l = lx doc S ll + l lx x l E utilisat la trasformatio d Abel, qui ous a servi au-dessus, ous obte- os S + l + si x x ] π ] x, doc la cocavité du sius sur cet itervalle coduit à si x π t e t lt R est croissate doc puisque e < x < + ous avos + l + > x l = lx x x π Fialemet S + l + x π lx x = π lx x S N π ll + l lx + l lx puis ] [ x,, fx π ll + l lx + l lx ] [ f est doc itégrable sur, puis, par cotiuité, sur ], π] et efi sur ], π[ 9 Voir les résultats sur les séries de Bertrad 5

258 CHAPITRE 7 CORRIGÉ SÉRIES DE FOURIER Si ous repreos les calculs précédets, ous avos x doc pour k, coskx cos Nous avos alors + S dt cos t lt = cosll + ll cosl lx ll Nous obteos doc S N cosl lx ll + S cosl lx ll π lx ] [ Il viet alors x,, fx cosl lx ll π lx f est doc pas borée π fx cosxdx = lim a + π a a fx cosxdx Pour a fixé das ], π[ la série de foctios défiissat f coverge uiformémet sur [a, π a] doc π a a fx cosxdx = p= cospx cosx dx p lp cospx cosx = cosp + x + cosp x v p a = π a a cospx cosxdx = π a 4 pour p = +p si+pa si pa pour p p Pour p +, v p a p lp = si + pa + p p v pa p lp + p + p p lp p + si pa p lp doc p lp La série de foctios de la variable a coverge doc uiformémet et ous e déduisos lim v p a a + p lp = + lim v p a a p= + p lp Nous obteos doc pour p,, π fx cosxdx = p= π fx cosxdx = La série de Fourier de f a doc pour somme la foctio f π, pour p = ou l Joseph Di Valeti Exercices corrigés 5

259 Idex Produits ifiis,, 7 Séries de Bertrad, 9, 34, 4, 7, 5, 5 Théorème de covergece domiée, Trasformatio d Abel, 7, 85, 86, 88, 99, 3, 9, 38, 43, 56, 8, 88, 3, 5, 5 53