Corrigé feuille d exercices 4
|
|
- Maximilien Joly
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Aée 008/009 MIME LM5-Suites et Itégrales Groupes Corrigé feuille d exercices Suites Covergece de suites Exercice Ue suite u N est pas croissate, si o N, u + u est vérifiée c est à dire : la suite u N est pas croissate si N, tel que u + < u Ue suite u N est décroissate si N, u + u et doc l éocé précédet est pas équivalet à celui de u N décroissate Exercice Soit N, + + = + + = + = Soit ɛ > ɛ équivaut à + ɛ Or + ɛ ɛ + ɛ Fialemet, ɛ > 0, N = Nɛ E ɛ coviet, tel que, N, + + ɛ Exercice Soiet a > 0 et N, u = a = a = exp l a Fialemet, quad +, u Exercice O pose ɛ = l > 0 La suite u N coverge vers l, il existe doc, N 0 N tel que pour tout N 0, u l l Or u l l équivaut à l u l l O obtiet doc, pour N 0, l l u et fialemet, l u Exercice 5 Supposos que la suite u N soit statioaire ie 0 N 0, u = u 0 Ceci implique que ɛ > 0, 0 N, 0, 0 = u u 0 ɛ doc u N coverge Supposos que la suite u N soit covergete et à valeurs etières et que la suite e soit pas statioaire ie 0 N, 0, u u 0 ce qui équivaut à 0 N, 0, u u 0 > 0 et comme u N est à valeurs etières, la derière propositio est équivalete à 0 N, 0, u u 0 Soit ɛ =, puisque u N coverge vers ue limite qu o ote l R, il existe N, tel que, pour tout k, u l Or, u N est pas statioaire doc il existe tel que u u 0 D où, u u u l + l u + = d où la cotradictio doc u N covergete et à valeurs etières implique que u N est statioaire De cette équivalece, o déduit que la limite d ue suite covergete à valeurs etières est etière
2 Exercice 6 a Motros qu il existe q, c R, tels que, pour tout N, u + c = qu c Soit N, u + c = qu c u a q + b + cq = 0 Comme q, c e doivet pas dépedre de, o peut predre q tel que a q = 0 c est à dire que q = a O obtiet par coséquet, b+ca = 0 c est à dire c = b a La suite v N défiie par, pour N, v = u + b a est doc géométrique de raiso a Soit N, comme v N est géométrique, v = v 0 a Si a <, la suite v N coverge b vers 0 Si a < alors u N coverge vers a b O va motrer par récurrece que pour tout N, u = a u 0 + a i b Soit N et soit P la propositio u = a u 0 + a i b Iitialisatio : O pose =, u = au 0 + b, or, a u 0 = au 0 et i=0 i=0 0 a i b = b La propositio P est doc vraie Hérédité : O suppose que P est vraie pour u certai rag, motros que P + est vraie Par défiitio de u N, u + = au + b, par hypothèse de récurrece, o obtiet, u + = aa u 0 + a i b + b = a + u 0 + a i+ b + b = a + u 0 + a j b + b i=0 Fialemet, u + = a + u 0 + i=0 a j b et P + est vraie j=0 Coclusio : P est vraie, de plus, P vraie implique que P + est vraie, doc, par le pricipe de récurrece, P est vraie quelque soit N O réécrit la formule précédete, pour N et si a, u = a u 0 + b a a = a u 0 b a i=0 j= + b a b O coclut que, si a <, u N coverge vers a, si a > alors u N coverge vers + si u 0 b > 0, vers si u 0 b b < 0 et a a a si u 0 = b la suite est costate a Si a <, la suite u N e coverge pas Exercice 7 Soit N, w + = u + = u + = u = u = w La suite w N est u suite géométrique de raiso Comme w N est géométrique de raiso, pour N, w = w 0 = que, pour tout N, u = + + Pour N, T = 9 et S = T + + O coclut que, + Exercice 8 O motre, par récurrece que, pour tout, u > Iitialisatio Comme, u = >, la propriété est vraie au rag iitial lim T = 9 + et O déduit lim S = +
3 Hérédité Supposos que, pour u certai rag, u >, motros que u + > Par hypothèse de récurrece, u >, or u > = u > 0 = u > 0 = u u > 0 = u > u + etu > = u u + > = u + > O coclut que u > = u + > Coclusio La propriété est vraie au rag iitial u > et u > = u + > doc, par le pricipe de récurrece, u > pour tout La suite u N est bie défiie puisque u > >, pour tout La suite v N est bie défiie d après la questio précédete Soit, v + v = u + + u + u + O e déduit : u v + v = u + u + u + u u u + u u Puis, v + v = u u + u = u u = u u u = La suite v N est arithmétique de raiso O e déduit que, pour tout, v = + v = + = Par coséquet, pour, v = u + u = v u = u + = u v = v + = u = v + v v sio u + = u = ce qui evidemmet faux O coclut que, pour tout, u = + et doc u coverge vers La suite v est arithmétique de raiso doc, pour, S = vers + quad ted vers + + +, elle ted Exercice 9 Soiet x R et N Soit k {,, } o a Ekx kx Ekx + doc kx Ekx kx Par coséquet, kx Ekx kx ce qui implique que, puis que, x k Ekx x k + x Ekx + x efi que, x + Ekx Or x + et x + tedet vers x vers x x + quad ted vers + O coclut, par le théorème de comparaiso théorème des gedarmes, que quad ted vers + Ekx ted
4 Exercice 0 Soiet N et x R Par défiitio de la partie etière, Ex x Ex + ce qui etraie, x Ex x E divisat par o ul, o obtiet, x Ex coclut e utilisat le théorème de comparaiso que, Ex x Puis, e faisat tedre vers +, o ted vers x quad ted vers + Comme, pour tout x R, pour tout N, Ex Z, Ex Q, pour tout N Par coséquet, u N est à valeurs das Q et pour tout x R, la suite u x N défiie par u x = Ex pour N coverge vers x, et le réel x est limite de ratioels Exercice La suite w N défiie par, pour N, w = u + u coverge vers l 0 Par défiitio, e posat, ɛ = l > 0 car l <, il existe 0 N, N, 0 = u + u l l ce qui etraie, pour 0, De plus, l + < car l < Soit maiteat, 0, u = D où, u + u l + l u u E utilisat, et, o déduit que, u u u = = l + l u 0+ 0 k=0 u 0 u 0+k+ u 0+k = l + 0 l + u 0 l + pour tout 0 Or coverge vers 0, doc, pour tout ɛ > 0, il existe doc N, 0 l + écessairemet 0 tel que, pour tout N, implique que u ɛ O coclut que u N coverge vers 0 Il suffit d adapter la méthode de E remarquat qu ici, e posat, ɛ = l > 0, car l >, il existe 0 N, pour tout N, 0 = u + u l l puis que, l u + u l et efi, < l + u + u 0 l + O motre grâce à la derière iégalité que u, pour tout 0 Comme, 0 l + ted vers + quad ted vers +, o déduit que, pour tout A R, il existe N N, N 0, pour tout N, N +, doc u N diverge 0 l + = A u et u N ted vers
5 Comme l <, o peut repredre 0 tel que soit vérifiée l 0 + k l + De plus, la suite est covergete série géométrique de raiso k=0 N strictemet iférieure à, elle doc de Cauchy, pour tout, ɛ, il existe tel que, pour tout, 0 l + m k l + k l + m, etiers, m, = ɛ, ce qui est k=0 k=0 équivalet à m, = 0 maxm, l + k=mim,+ k l + ɛ Soit ɛ > 0, soit N tel que soit vérifiée O pose N = max 0,, soiet, m, etiers, tels m maxm, maxm, que m, N O a doc v v m = u k u k = u k k=0 k=0 k=mim,+ u k, k=mim,+ par l iégalité triagulaire k 0 l + Or, k mim, + N 0 doc u k pour tout k {mim, +,, maxm, } puis e sommat o obtiet, maxm, 0 maxm, u k l + k l + k=mim,+ k=mim,+ Comme, m, N, o a et o e déduit que v v m ɛ E coclusio, la suite v N est de Cauchy das R doc covergete Exercice Covergece La sous-suite N costituée des élémets de rags pairs est costate, égale à alors que la sous-suite N costituée des élémets de rags impairs est costate, égale à - La suite N possède deux sous-suites qui e tedet pas vers la même limite, elle diverge! Soiet N et a > 0 +! a = a qui coverge vers 0, o coclut, e utilisat + a l Exercice 0 que ted vers 0! N a +! Soit N, =! suite coverge vers 0 N Soit N, + k, or, pour tout k {,, }, k d où,! et fialemet, la = exp l + Or, + ted vers quad ted vers +, par cotiuité de la foctio logarithme, l + ted vers l quad ted vers + et efi par cotiuité de la foctio expoetielle, exp l + ted vers 0 quad ted vers + 5 Soit, = = O déduit, par croissace du logarithme sur R +, que l l, puis e multipliat par positif, l l et efi, par croissace de l expoetielle, exp l exp l O coclut 5
6 que, ted vers + quad ted vers + N 6 Soit N, + = exp l + E utilisat u développemet limité pour assez grad, o obtiet l + = + o De plus, o = o ted vers 0 quad ted vers + Fialemet, exp l + = exp + o, d où, + ted vers N exp quad ted vers + Mootoie Soit, = = Or doc > 0 O déduit que, + est strictemet décroissate Soit N, = D où, est du sige de Or, = + + =, par + coséquet est strictemet croissate + N Soit N, + = + = Comme > , o déduit que, + est strictemet décroissate Exercice O applique u théorème du cours qui affirme qu ue suite u N coverge ssi les suites u N et u + N coverget et ot la même limite La suite u 6 N est ue sous-suite de u N qui coverge vers l doc u 6 N coverge vers l Mais, u 6 N est aussi ue sous-suite de u N qui coverge vers l doc u 6 N coverge vers l, la limite d ue suite état uique, l = l E utilisat, u 6+ N qui ue sous-suite de u N et de u + N qui coverge vers l, o motre que l = l O déduit que l = l, et doc u N et u + N ot même limite ce qui implique que u N coverge Soit P, l esemble des ombres premiers, c est u esemble ifii Pour P, o pose v = Pour tout k, pour tout, o pose v k = 0, ce qui implique que les suites, v k coverget vers 0, pour tout k Soit la foctio φ défiie par, pour N, φ est le ième ombre premier O a alors vφ coverge vers N O a costruit ue sous-suite qui e covergeait pas vers 0, doc la suite v N e coverge pas Exercice a Soit ɛ > 0 La suite u N coverge vers l, alors, il existe 0 N tel que pour tout N, N 0 = u l ɛ De plus, il existe N, pour tout N, = 0 u k l ɛ O pose, N = max 0,, et soit N etier u k l = u k l = u k l u k l, e utilisat, l iégalité triagulaire Or u k l = 0 u k l + u k l Comme, le premier terme de la k= 0+ 6
7 somme est majoré par ɛ et le secod terme de la somme est majoré par ɛ 0 et comme ɛ 0 0 et que 0 0, ɛ et fialemet, u k l u k l ɛ + ɛ = ɛ b O pred la suite u = pour tout N Comme u N et v N coverget, elles sot borées O a doc, il existe U, V R +, pour tout N, u U et v V Soit ɛ > 0 soit N, N N tel que pour tout N, N = u u < ɛ v v < U + V N De plus, UV + uv N et ɛ U + V et N = N UV + uv coverget vers 0, il existe, N, N N N, tel que, pour tout N, N = N UV + uv ɛ et N = N UV + uv ɛ Soit maiteat, maxn + N, N, N, u k v + k uv u k v + k uv, grâce à l iégalité triagulaire Or, u k v + k uv = N k= N + u k v + k uv + N k= N + Par ailleurs, u k v + k uv u k v + k uv O a aussi N + + u k v + k uv + N k= N + N k=n + u k v + k uv u k v + k + uv N UV + uv et u k v + k + uv N + + UV + uv UV + uv = N UV + uv L etier est plus grad que N, ceci implique que N UV + uv ɛ, comme est aussi plus grad que N, ceci etraie que N UV + uv ɛ De plus, N k=n + N k=n + N k=n + N k=n + N k=n + u k v + k uv u k v + k uv + uv + k uv + k u k uv + k + uv + k v u k uv + k + uv + k v u k uv + k + N k=n + uv + k v 7
8 L etier est plus grad que N et N, o e déduit que, N N + + V ɛ U + V + N N + + Uɛ U + V = N N U + V ɛ U + V Fialemet, u k v + k uv ɛ + N N ɛ ɛ, état plus grad que la somme et N + N est positif Soit ɛ > 0 La suite u N coverge vers l, alors, il existe 0 N tel que pour tout N, 0 = u l ɛ De plus, il existe N, pour tout N, = 0 C u k k l ɛ O pose, N = max 0,, et soit N etier Cu k k l = Cu k k l Or, e utilisat le biôme de Newto, + = C k k k = C k = D où, Cu k k l = C k u k l C u k k l, e utilisat, l iégalité triagulaire Or C u k k l = 0 C u k k l + C u k k l Comme, le premier terme de la somme est majoré par ɛ Pour le secod terme de la somme, o a k= 0+ k= 0+ C k k=0 C k =, d où, comme pour tout k = 0 +,,, u k l ɛ, o a C u k k l C k ɛ O e déduit que, k= 0+ k=0 C u k k l ɛ = ɛ k= 0+ Fialemet, Cu k k l C u k k l ɛ + ɛ = ɛ u La suite coverge vers l > 0, par cotiuité du logarithme sur R u u +, l N u N uk coverge vers ll D après, l coverge vers ll O e déduit que, u k lu lu 0 ll puis que lu ll Par cotiuité de l expoetielle, o coclut que, u / = exp lu expll = l Suites adjacetes N Exercice 5 O va motrer que les deux suites sot adjacetes Motros que u N est croissate Soit N, u + u = > 0 La suite u +! N est, par coséquet, strictemet croissate Motros que v N est strictemet décroissate Soit N, v + v = + +!! maiteat que = +! +! + < 0 La suite v N est doc décroissate Motros lim u v = 0 Soit N, u v = +! d où, lim u v = 0 + 8
9 O coclut que les suites u N et v N sot adjacetes et doc lim u = lim v + + O pose e = lim u Supposos, e Q, il existe a Z et b N, b > tels que e = a O pose + b b x = b! e Or, o a b! = bb +!, pour tout N doc pour tout N,! =0 b b! N, de plus, b!e = ab! N O coclut que x Z E outre, comme la suite! =0 b u N est strictemet croissate, e! est strictemet positif, d où x N =0 N b N Par ailleurs x = b! lim N +! que l o peut réécrire, x = b! lim! N +! Soit N N, N > b +, b! N =b+! =0 = b! = =0 Mais, pour tout k, 0 < b + k < b + b +! + b +! + b + N b! b + + b + b + + NN b + 0 < M, doc, pour tout M N, M >, M b + k < b + doc b + + b + b + + NN b + < b + + b + N b N N b b!! < k = b + = b + b + b =b+ b + N b b + =b+ N b + + b + E cosidérat la limite quad N ted vers +, o obtiet, x < puisque b > O coclut b que x N et x ]0, [ ce qui est absurde doc e est irratioel Exercice 6 Soit, pour N, P, la propositio u u + v + v O va motrer, par récurrece que, pour tout N, P est vraie Iitialisatio = 0 Comme, u 0 v 0, u = u 0 + v 0 u 0 + u 0 = u 0 = u 0 et u = u 0 + v 0 u 0 + u 0 + v 0 = u 0 + v 0 + v 0 = u 0 + v 0 = v E utilisat ecore ue fois que u 0 v 0, v = v 0 + u 0 v 0 + v 0 = v 0 O coclut que, u 0 u v v 0, d où, P 0 est vraie Hérédité Supposos que P est vraie pour u certai rag et motros que, P + est vraie Par hypothèse de récurrece, u u + v + v De u + v +, o déduit que, u + = u + + v + que u + = u + + v + v + u + + u + + v + u + + u + = u + + v + + v + = u + De u + v +, o déduit que, v + = v + + u + v + + v + = v + O coclut que, u + u + v + v +, d où P + est vraie = u + et = u + + v + = 9
10 Coclusio La propositio P 0 est vraie, de plus, P vraie implique que P + est vraie, o coclut, par le pricipe de récurrece, que P est vraie quelque soit N Soit N, v u = v + u u v = v u = v u O a motré, pour tout N, O va motrer, par récurrece que, v u = v u = v u 5 v 0 u 0 Iitialisatio = D après, 5, o a v u = v 0 u 0 et doc la propositio est vraie pour le rag iitial Hérédité Supposos que la propositio est vraie pour u certai rag, motros qu elle est vraie au rag + D après, 5, o a, v + u + = v u, or d après l hypothèse de récurrece, v u = v 0 u 0 et o déduit que, v + u + = + v 0 u 0 = v 0 u 0 La propositio est doc vraie au rag + Coclusio La propositio est vraie au rag iitial =, de plus, si la propositio est vraie au rag, alors la propositio au rag +, d après le pricipe de récurrece, la propositio est vraie pour tout N Fialemet, pour tout N, v u = v 0 u 0 et doc, la suite v u N coverge géométriquemet vers 0 D après et, o déduit que u N et v N sot adjacetes et doc u N et v N coverget vers la même limite E utilisat, o déduit que u N est croissate et majorée par v 0 par exemple doc elle coverge Par ailleurs, v N est décroissat et miorée par u 0 par exemple doc elle coverge Exercice 7 O va motrer par récurrece que, pour tout N, a 0, b 0 Iitialisatio Pour = 0, par défiitio de a et b, o a a 0 = a 0, et b = b 0 Hérédité Supposos que la propositio est vraie pour u certai rag, motros qu elle est vraie au rag + D après l hypothèse de récurrece, a 0 et b 0, doc a b est bie défiie et a + existe et est positive e tat que racie carrée De plus, a 0 et b 0 implique que a + b 0 La propositio est doc vraie au rag + Coclusio La propositio est vraie au rag iitial = 0 et si la propositio est vraie au rag, alors la propositio est vraie au rag +, d après le pricipe de récurrece, la propositio est vraie pour tout N d où a 0 et b 0 pour tout N Soit N, b a = a + b a b = a + b a b = a + b 0 O coclut que, pour tout N, b a Soit N Comme, a b et que x : x est croissate sur R +, a + a = a b a a a a = a a = 0 O coclut que a + a, pour tout N Soit N Comme, a b, b + b = a + b que b + b, pour tout N b b + b b = b b = 0 O coclut Soit N, b + a + = a + b b b a a b + a a b = b a = b a b + a b + a = 0
11 Par ailleurs, a est positif et a b, par la croissace de la racie carrée, o obtiet b a 0 doc 0 b a b, puis, b a b + a, ce qui implique que b a 0 b + a Fialemet, b + a + = b b a a b + a b a pour tout N Par u raisoemet par récurrece, o motre que b a b a puis o déduit que lim b a = 0, grâce à la questio, o coclut que a + N et b N sot adjacetes et par coséquet, a N et b N coverget vers la même limite qu o ote Ma, b 5 Si a 0 = b et b 0 = a, a et b sot ichagés, les suites sot ichagées et la limite est doc ichagée et doc Ma, b = Mb, a Soit λ > 0, pour N, a + = λ a b La foctio racie carrée état cotiue a b N coverge vers Ma, b = Ma, b car a 0 ce qui implique par passage à la limite que Ma, b 0 et a + N coverge vers Mλa, λb, par uicité de la limite, Mλa, λb = λma, b Exercice 8 + Soit N, u + u = + + x dx = + + k l + k + l = + + l + x dx = + dx x Or, pour tout x [, +], x + et < + doc, u + u = d où u N est décroissate Soit N, v + v = dx x + k l + + k + l + = + l = + + dx 0 x + + Or, pour tout x [ +, + ], x et + < + doc, + + v + v = + + dx 0 d où v x N est croissate lim u v = lim l + = Les suites u N et v N sot adjacetes, elles coverget vers la même limite que l o ote γ Comme u N est décroissate, γ u = l = et comme, v N est croissate, γ v = l Suites récurretes Exercice 9 O va motrer par récurrece que, pour tout N, u > 0 Comme u 0 = > 0, la propositio est vraie au rag iitial Supposos que la propopositio est vraie pour u certai rag et motros que la propositio est vraie au rag + Comme, u > 0, u + = u + u > 0 et doc u > 0 = u + > 0 O coclut que, la propositio est vraie au rag iitial, par ailleurs, si la propositio est vraie au rag, alors la propositio est vraie au rag +, o coclut par le pricipe de récurrece que, pour tout N, u 0 et doc la suite est bie défiie =
12 Soit N, u + u = u > 0 et par coséquet u N est croissate Supposos que u N soit majorée Puisqu elle est croissate, u N coverge vers u réel que l o otera l et l u 0 = La foctio x : x +, est cotiue sur [, + [ Le réel l vérifie doc x l = l + = l l = 0 ce qui est absurde et doc u N est pas majorée et doc ted vers + quad ted vers + Exercice 0 O va motrer, tout d abord, que la suite est bie défiie Il suffit de motrer que l esemble [0, + ] est stable par la foctio g défiie par, pour x [, + ], gx = + x Soit x 0, comme la foctio racie carré est croissate, gx = x + d où, gx [0, + [ L esemble [0, + [ est stable par g et u 0 [0, + [, o coclut que la suite u N est bie défiie Par ailleurs, g est croissate, e tat que composée de foctios croissates, o e déduit que u N est mootoe Pour coaître la mootoie de u N, il suffit d étudier le sige de u u 0, or u u 0 = 0 0, et o coclut que u N est croissate Résolvos, l équatio l = gl Mais, l = gl l = + l l l = 0 et l 0 Le polyôme x x a pour racie positive, + 5 O coclut que l = gl l = + 5 > Motros que l esemble [0, l] est stable par g Comme g est croissate, g[0, l] = [g0, gl] = [, l] L esemble [0, l] est stable par g, u 0 [0, l] doc pour tout N, u [0, l] La suite u N est croissate et majorée, elle coverge vers u réél que l o ote u Comme g est cotiue, gu = u et u 0 O coclut que u = l = + 5 Exercice La foctio f est défiie ssi 6 x 0 ce qui équivaut à x 6 La foctio est décroissate e tat que composée d ue foctio décroissate et d ue foctio croissate Efi, fx = + x 6 + fx 0 lim x Motros que l esemble [ 0, 6] est stable par f Comme f est décroissate, f[ 0, 6] = [f6, f 0] = [0, 6] L esemble, [ 0, 6] est iclus das l esemble de défiitio de f et stable par f doc la suite u N est bie défiie Soit N, u + = 6 u = 6 u 6 u + = u 6 u + Or, 6 u +, u d où, 6 u + u Par u raisoemet par récurrece, o motre que, pour tout N, u u 0 Fialemet, u N coverge vers 0 ce qui implique que u N coverge vers Exercice La foctio f est défiie ssi x 6 Il faudrait motrer que [ 6, + ] est stable par f, pour tout x 6, fx 0 ce qui implique que [ 6, + ] est stable par f O coclut que, comme u 0 6, la suite u N défiie u + = fu existe Comme, 6 + x est positive, fx = x = x 0 De plus, 6 x 0 implique que x 0 d où, 6 + x x 0 Soit P le polyôme x x 6 P a pour discrimiat 6 = + = 5 P a pour racies + 5 = 6 = et 5 = =
13 O a doc P = x + x, P est du sige de - à l extérieur des racies doc égatif sur ], [ [, + [ et positif sur [, ] Sur l esemble, [0, + [, o a 6 + x x = 6+x x 0, o a doc fx x 0 x + x 0 si x [0, + ] O coclut que fx x est égatif si x ], [ [, + [ [0, + [ = [, + [ et positif si x [ 6, 0] [, ] [0, + [ = [ 6, ] La foctio f est croissate sur [ 6, + [, e tat que composée de foctios croissates, o a, par coséquet, f[ 6, ] = [f 6, f] = [0, ] [ 6, ], d où [ 6, ] stable par f et f[, + [ = [f, lim fx[= [, + [, d où [, + [ stable par f x + O suppose que u 0 [ 6, ], comme f est croissate, u N est mootoe De plus, sur [ 6, ], fx x, o a doc u = fu 0 u 0 doc u N est croissate et majorée par, ce qui implique que u N coverge vers u réel qu o otera l Par ailleurs, f est cotiue, par coséquet, fu N coverge vers fl Comme u + N est ue sous-suite de u N, elle coverge vers l O a par coséquet l = fl et l 0, la suite u N état positive O coclut que l est la racie positive de P c est à dire Exercice O pose E = {u = u N C N u + = au + + bu } Soit la foctio φ de E das C défiie par, pour u E, φu = u 0, u L esemble E est u espace vectoriel Motros que φ est u isomorphisme vers C Soeit c C et u, v E, φcu + v = cu 0 + v 0, cu + v = cu 0, u + v 0, v = cφu + φv La foctio φ est doc liéaire Soit u E, tel que φu = 0 c est à dire que, u 0 = u = 0 Par récurrece double, o motre que, u = 0, pour tout N Par coséquet, φu = 0 = u = 0 doc φ est ijective Soiet c, d C, o pose u 0 = c et u = d, puis, pour, u + = au + + bu O a doc u E et φu = c, d La foctio φ est doc surjective Fialemet, φ est u isomorphisme de E vers C E est u espace vectoriel de dimesio de E a Motros que, r N, r N forme ue famille libre de E Motros d abord que, pour i =,, ri N appartiet à E C est à dire, pour tout N, r + i = ar + i + b Soit P, pour N, la propositio r + i = ar + i + bri Motros, par récurrece que P est vraie pour tout N Comme r i est ue racie de x = ax + b, o ri = ar i + br0 i = ar i + b La propositio P 0 est vraie Supposos que P est vraie pour u certai rag et motros que P + est vraie Par hypothèse de récurrece, r + i = ar + i + bri E multipliat par r i, o obtiet, r + i = ar + i + br + i et P + est vraie E coclusio, comme P 0 est vraie, P vraie implique que P + est vraie, par le pricipe de récurrece, P est vraie quelque soit N Soiet α, β C tels que αr + βr = 0 pour tout N Supposos α, β 0, 0 E preat, = 0, o obtiet α = β Puis pour =, αr + βr = αr αr = 0 D où, r = r puisque α 0 Or r et r sot distictes, o e déduit que α, β = 0, 0 Fialemet, r N, r N est ue famille libre de E r N, r N est ue famille libre de cardial, doc elle forme ue base et E = {λr + µr N : λ, µ C} b Le complexe r est l uique racie du polyôme x ax b doc r = a E utilisat le résultat du a, o a r + = ar + + br, pour tout N O a, r N E a + Doc, pour tout N, r + = ar + + br a a +, De plus, = d où, a + a + = a Par coséquet, r + = ar + Doc, + r + = r + + r + = ar + + br + r + = ar + + br + ar + = a + r + + br O coclut que, r N E
14 Motros que, r N, r N forme ue famille libre de E Soiet α, β C tels que αr + βr = 0 quelque soit N Pour =, αr + βr = 0, d où, α = β Pour =, αr + βr = αr αr = αr = 0, r est o ul d où, α = 0 puis β = 0 Fialemet, r N, r N forme ue famille libre de E et puisque E et u espace vectoriel de dimesio, r N, r N est ue base de E et E = {λ + µr N : λ, µ C} a Soit P le polyôme, x x + 8 Les racies sot et La suite u s écrit alors λ + µ Pour calculer λ et µ, o sait que u 0 = u = d où, u 0 = = λ + µ et u = = λ + µ O déduit que µ = λ et que = λ + λ = λ + Fialemet, λ = et µ = et efi, la suite u s écrit et la suite u coverge vers 0 b Posos w N = u + v N = = = = = = = 0 O coclut que + + = Soit N, w + = u = u + u = = u u + = w + w Le polyôme x x + a pour racie double La suite w N est égal à w 0 + w w 0 N or, w 0 = u et w = u + 0 Comme w N = u + v N alors u N = w v N o e déduit que, u N diverge vers
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **
Plus en détailLimites des Suites numériques
Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet
Plus en détailCHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES
CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.
Plus en détail. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1
Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.
Plus en détailEtude de la fonction ζ de Riemann
Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
Plus en détailExo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X
Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour
Plus en détailChapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détailSéries réelles ou complexes
6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés
Plus en détailSolutions particulières d une équation différentielle...
Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod
Plus en détailx +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite
Plus en détail1 Mesure et intégrale
1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice
Plus en détailProcessus et martingales en temps continu
Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de
Plus en détailSuites et séries de fonctions
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de
Plus en détailComportement d'une suite
Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer
Plus en détailIntégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :
Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détail14 Chapitre 14. Théorème du point fixe
Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de
Plus en détailLes Nombres Parfaits.
Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie
Plus en détailSéquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire
Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa
Plus en détailDénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions
Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter
Plus en détailConvergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9
Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios
Plus en détail4 Approximation des fonctions
4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailPolynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.
Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités
Plus en détailIntroduction : Mesures et espaces de probabilités
Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,
Plus en détailDeuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES
DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces
Plus en détailGroupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que
Plus en détailDes résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières
Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received
Plus en détailExercices de mathématiques
MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris
Plus en détailLES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.
Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la
Plus en détail2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul
Plus en détailSTATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES
STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie
Plus en détailDénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices
Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.
Plus en détailSÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1
Plus en détailFEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue
Plus en détailUNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4
UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»
Plus en détailStatistique descriptive bidimensionnelle
1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets
Plus en détailChap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)
Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie
Plus en détailChaînes de Markov. Arthur Charpentier
Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.
Plus en détailEXERCICES : DÉNOMBREMENT
Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris
Plus en détailSTATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES
STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................
Plus en détailII LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009
M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted
Plus en détailCours de Statistiques inférentielles
Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios
Plus en détail16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.
16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme
Plus en détailSéries numériques. Chap. 02 : cours complet.
Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm
Plus en détailPROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales
PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières
Plus en détailTRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )
RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude
Plus en détailDETERMINANTS. a b et a'
2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio
Plus en détailcapital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...
Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1
Plus en détailConsolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe
Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das
Plus en détailCours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE
Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-
Plus en détailIntégrales dépendant d un paramètre
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Iégrales dépeda d u paramère Covergece domiée Exercice [ 9 ] [correcio] Calculer les limies des suies do les ermes gééraux so les suivas : a) u = π/4
Plus en détailPROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS
PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS ET APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES J. L. NICOLAS Cet article expose sup 3 e quelques iter'f~reces etre les pr'obl~res dloptimisatio e hombres etiers et la th~or-ie
Plus en détailProcessus géométrique généralisé et applications en fiabilité
Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR
Plus en détail55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.
55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique
Plus en détailChapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction
Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats
Plus en détailLE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe
Plus en détail20. Algorithmique & Mathématiques
L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus
Plus en détailFormation d un ester à partir d un acide et d un alcool
CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailUniversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015
Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailContribution à la théorie des entiers friables
UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN
Plus en détailStatistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1
Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques
Plus en détailc. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives
Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailModule 3 : Inversion de matrices
Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que
Plus en détailLe marché du café peut être segmenté en fonction de deux modes de production principaux : la torréfaction et la fabrication de café soluble.
II LE MARCHE DU CAFE 1 L attractivité La segmetatio selo le mode de productio Le marché du café peut être segmeté e foctio de deux modes de productio pricipaux : la torréfactio et la fabricatio de café
Plus en détailLa spirale de Théodore bis, et la suite «somme=produit».
Etde d e vrite de l spirle de Théodore, dot issce à e site dot les sommes prtielles sot égles x prodits prtiels. Mots clés : spirle de Théodore, théorème de Pythgore, site, série, polyôme. L spirle de
Plus en détailLes algorithmes de tri
CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS PARIS MEMOIRE POUR L'EXAMEN PROBATOIRE e INFORMATIQUE par Nicolas HERVE Les algorithmes de tri Souteu le mai JURY PRESIDENTE : Mme COSTA Sommaire Itroductio....
Plus en détailUniversité Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME
Uiversité Victor Segale Bordeaux Istitut de Saté Publique, d Épidémiologie et de Développemet (ISPED) Campus Numérique SEME MODULE Pricipaux outils e statistique Versio du 8 août 008 Écrit par : Relu par
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailExamen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot
Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules sera mis à dispositio des cadidats, si écessaire. Etat au 1er mars
Plus en détailProbabilités et statistique pour le CAPES
Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes
Plus en détailUn nouvel opérateur de fusion adaptatif. A new adaptive operator of fusion. 1. introduction
A ew adaptive operator of fusio par Fraçois DELMOTTE LAMIH, Uiversité de Valeciees et du Haiaut-Cambrésis, Le Mot Houy, BP 3, 5933 Valeciees CEDEX 9 fdelmott@flore.uiv-valeciees.fr résumé et mots clés
Plus en détailLa France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe
1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailTélé OPTIK. Plus spectaculaire que jamais.
Télé OPTIK Plus spectaculaire que jamais. Vivez toute la puissace de la télévisio sur IP grâce au réseau OPTIK 1 de TELUS et découvrez-e l extraordiaire potetiel. Télé OPTIK MC vous doe la parfaite maîtrise
Plus en détail3.1 Différences entre ESX 3.5 et ESXi 3.5 au niveau du réseau. Solution Cette section récapitule les différences entre les deux versions.
3 Réseau Le réseau costitue u aspect essetiel d u eviroemet virtuel ESX. Il est doc importat de compredre la techologie, y compris ses différets composats et leur coopératio. Das ce chapitre, ous étudios
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailIntégrales généralisées
3 Iégrles géérlisées Pour ce chpire, les focios cosidérées so priori défiies sur u iervlle réel I o rédui à u poi, à vleurs réelles ou complees e coiues pr morceu. L défiiio e les propriéés de l iégrle
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailUV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1
UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. remy.garadel@utbm.fr ) page SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailLa tarification hospitalière : de l enveloppe globale à la concurrence par comparaison
ANNALES D ÉCONOMIE ET DE STATISTIQUE. N 58 2000 La tarificatio hospitalière : de l eveloppe globale à la cocurrece par comparaiso Michel MOUGEOT * RÉSUMÉ. Cet article cosidère différetes politiques de
Plus en détailINTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES. par. Djalil Chafaï
INTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES par Djalil Chafaï Résumé. E cocevat les mathématiques comme u graphe, où chaque sommet est u domaie, la théorie des probabilités et l algèbre liéaire figuret parmi
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailRégulation analogique industrielle ESTF- G.Thermique
Chapitre 5 Stabilité, Rapidité, Précisio et Réglage Stabilité. Défiitio Coditio de stabilité. Critères de stabilité.. Critères algébriques.. Critère graphique ou de revers das le pla de Nyquist Rapidité
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus
Plus en détailII - Notions de probabilité. 19/10/2007 PHYS-F-301 G. Wilquet 1
II - Notos de probablté 9/0/007 PHYS-F-30 G. Wlquet Ue varable aléatore est ue varable dot la valeur e peut être prédte avec certtude mas dot la probablté d occurrece d ue valeur (varable dscrète) ou d
Plus en détailPrincipes et Méthodes Statistiques
Esimag - 2ème aée 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 15 x y Pricipes et Méthodes Statistiques Notes de cours Olivier Gaudoi 2 Table des matières 1 Itroductio 7 1.1 Défiitio et domaies d applicatio de la statistique............
Plus en détailSommes de signaux : Décomposition de Fourier Spectre ondes stationnaires et résonance
Sommes de sigaux : Décompositio de Fourier Spectre odes statioaires et résoace Das le cours précédet, o a étudié la propagatio des odes moochromatiques mais celles-ci e peuvet pas porter d iformatio ;
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détail