Etude des effets de la rotation sur les champs cinématique et thermique d une turbulence homogène cisaillée

Transcription

1 Etude des effets de la rotaton sur les champs cnématque et thermque d une turbulence homogène csallée Besma CHEBBI, Mounr BOUZAIANE * & Taeb LILI Laboratore de Mécanque des Fludes, Faculté des Scences de Tuns * (auteur correspondant : mbouzaane@yahoo.fr) Résumé Dans ce traval, nous étudons les effets de la rotaton sur l évoluton des champs cnématque et thermque d une turbulence homogène csallée. Cette étude est menée selon deux démarches dfférentes. La premère est analytque et consste en la résoluton des équatons d évoluton de l écoulement dans le cas d un fort csallement S. La deuxème consste en la fermeture au second ordre des équatons d évoluton de l écoulement et leur ntégraton numérque. Les solutons analytques ont montré un comportement asymptotque d équlbre des grandeurs admensonnelles cnématques et thermques alors que seul le modèle a confrmé ce comportement. Nomenclature b j K p R R S tenseur ansotrope de Reynolds énerge cnétque turbulente, u m s u j fluctuaton de la vtesse u = ( u ) / u tenseur de Reynolds, ms, m s fluctuaton de la presson, Nm U, gradent de la vtesse moyenne, j Ω nombre de rotaton R = u flux thermque turbulent, Cms - S nombre du Rchardson admensonnel Symboles grecs R=R(+R) csallement moyen s δ j s Symbole de roneer S gradent de température moyenne d T Cm - S Ω Taux de rotaton, s d x t temps, s fluctuaton de la température, C varance de la fluctuaton de la T température moyenne, C température, C, / = ( ), C U vtesse moyenne, ms τ = St temps admensonnel. Introducton L étude d une turbulence homogène csallée demeure l un des cas classques d évaluaton des modèles au second ordre. C est à l ade de ces modèles au second ordre que nous avons étudé des dfférentes confguratons d une turbulence homogène csallée en présence d une stratfcaton stable Bouzaane et al []. S le champ cnématque d une turbulence homogène csallée a été largement étudé par les auteurs, le champ thermque n a pas fat

2 l objet de nombreux travaux les dernères années. Ce c consttue la motvaton essentelle de ce traval en plus du large domane d applcaton de la rotaton dans la nature entre autre les courants océanques et les lmtes atmosphérques ans que dans les systèmes mécanques et thermques ndustrels tels que les turbomachnes. Il est essentel auss de précser que ce traval est une extenson d une étude antéreure que nous avons menée [] au cas de la rotaton. Nous commençons au paragraphe par présenter les équatons générales des corrélatons doubles decrvant l'écoulement turbulent consdéré. Au paragraphe 3, nous effectuons une résoluton analytque des équatons d évoluton dans le cas d un csallement mportant. Au paragraphe 4, une modélsaton au second ordre est abordée et une forme admensonnelle des équatons est obtenue et est suve par l ntégraton numérque des équatons dfférentelles et la présentaton des prncpaux résultats.. Equatons générales Nous rappelons dans ce paragraphe les équatons générales des tensons de Reynolds u u, j des flux thermques turbulents u, de l'énerge cnétque turbulente K et de la varance de la fluctuaton de la température. Dans le cadre d'une modélsaton conventonnelle au second ordre, ces équatons se présentent sous les formes suvantes [3] [4] : u j = P j + Φj εj () = P + Φ ε () En consdérant la trace de l'équaton (), nous obtenons l'équaton d'évoluton de l'énerge cnétque turbulente K = u u / d K = P ε (3) L'équaton de la varance de la fluctuaton du scalare est assocée aux équatons (), () et (3) et peur être écrte sous la forme: d = P ε (4) Dans ces équatons les termes notés P sont des termes de producton dus aux gradents cnématques et thermques moyens: U U j P = u u u u ( ε u u + ε u u ) Ω x x j j m j jm m U P = u u ε Ω u u x m m T P = u u ( S δ δ + ε Ω ) u m m x (5) (6) (8)

3 P = T u x (9) Les termes notés ε sont les termes de dsspaton dus aux effets moléculares. Les termes notés φ sont les termes de corrélaton fasant ntervenr la fluctuaton de presson. φ = ( pu + pu ), φ = p, (0) j, j j, 0 0 A ce nveau du traval, l est essentel de rappeler que deux démarches ont été abordées pour résoudre les équatons générales de l écoulement. La premère est analytque et elle fera l objet du paragraphe suvant, alors que la seconde est numérque et consstera en une ntégraton numérque des équatons d évoluton de l écoulement et elle fera l objet du paragraphe Solutons analytques dans le cas où sont néglgés les effets de de vscosté et de presson En turbulence homogène et dans le cas d un csallement mportant, Holt et al. [5] ont noté dans leurs résultats de smulaton numérque drecte que les effets de presson et de vscosté sont néglgeables. Tenant compte de cette hypothèse, nous pouvons consdérablement smplfer les équatons d évoluton décrvant l écoulement. En néglgeant les termes de corrélaton fasant ntervenr les fluctuatons de la presson et les termes de dsspaton, les équatons d évoluton se présentent sous les formes smplfées suvantes: = S ( R ) u u () = 4 RSu u () d u3 = 0 (3) u = S ( R ) u u RSu u (4) d u = u u S + ( R ) S u (5) d u = u u S RS u (6) d = us (7) Un système de sept équatons dfférentelles lnéares, paramétré par le nombre de rotaton R, est obtenu. La transformée de Laplace est utlsée pour le résoudre. Les solutons, des grandeurs turbulentes, obtenues ont perms de confrmer le comportement asymptotque des grandeurs admensonnelles cnématques : composantes b, b et b du tenseur d ansotrope et thermques:

4 u = u ' ', u u '/ S =, 3 = (8) q '/ S En partculer le coeffcent de corrélaton assocé au flux thermque turbulent u et le rapport des flux thermques turbulents tendent vers des constantes quand le temps admensonnel τ = St devent très grand : ( ) = u D., u S D ( ) / / q 4R τ u D e 4R τ u D e ( ) = ( ) (9) Ic les coeffcents D ne dépendent que des valeurs ntales des grandeurs turbulentes, du nombre de rotaton R et du nombre de Rchardson R. Une deuxème démarche de résolutons des équatons d évoluton de l écoulement fera l objet du paragraphe suvant. 4. Modélsaton au second ordre, résoluton numérque et résultats Les termes de corrélaton presson déformaton φ j et presson température φ sont les termes essentels à modélser dans les équatons d'évoluton des tensons de Reynolds et des flux thermques turbulents. Des formes modélsées des équatons d évoluton des dsspatons cnématques et thermques sont auss assocées. Dans ce traval, deux parm les modèles les plus utlsés dans la lttérature sont retenus. Le modèle classque de Launder-Reece et Rod (LRR) [6] (modèle) est retenu pour les champs cnématque et thermque. Le modèle élaboré de Sarar, Spezale et Gats (SSG) [7], n ayant pas eu une extenson au champ thermque, sera couplé au modèle LRR des phénomènes thermques et consttuera le modèle. Une forme admensonnelle des équatons d évoluton de l écoulement est obtenue après leurs modélsatons. Les grandeurs admensonnelles cnématques [8] et thermques ctées au paragraphe 3 substtuent les grandeurs turbulentes. Un système de sept équatons dfférentelles non lnéares est obtenu. Dans le but de ne pas alourdr la présentaton de ce paper, seules les équatons d évoluton des grandeurs admensonnelles thermques sont présentées: d b ε b C ε b = C (.8 3 R) + ( R) + dτ 3 S 4 S ( b + ) b + b C b ε ε + ( C) rc (0) S b 3 S + b b + d b = + 3R.8 + ( R 0.) 3 () dτ 3 3 ( b + ) ( b + ) 3 3

5 d = + ε + + ε () dτ S S 3 ( b ) 3 rc 3b 3 3 Les coeffcents C, C sont des coeffcents numérques assocées aux modèles [4]. L ntégraton numérque effectuée par la méthode de Runge-Kutta d ordre 4, est poursuve vers des ntervalles de temps τ = St suffsamment grands a perms d obtenr les valeurs d équlbre des grandeurs admensonnelles cnématques et thermques présentées aux tableaux suvants. Il est auss essentel de précser à ce nveau de traval que le cas d une turbulence sotrope se tradut par des composantes b j nulles du tenseur d ansotrope de Reynolds b et par la sute les deux modèles retenus se ramènent au même modèle et les résultats d une turbulence sotrope ne peuvent pas être retenus dans cette étude consacrée à une turbulence homogène csallée. b b b ε / KS 3 R= 0,00 0,9-0,090-0,83 0,8 0,484 0,346 0,658 R= 0,50-0,9-0,30-0,45 0,06 0,88 0,3 0,54 R=,00.. 4,5-0,63 6,3 Tableau : Valeurs d équlbre prédtes par le modèle ( LRR) b b b ε / KS 3 R= 0,00 0,0-0,47-0,64 0,67 0,98 -,,44 R= 0,50 0,537-0,0-0,365 0,387 0,6 -,46,7 R=,00 0,809-0,35-0,550 0,06.. -,8.. R=-0,50-0,040-0,3-0,66 0,7 0,46 -,56,8 R=-,00-0,7-0,3-0,9 0,309,35 -,63 0,93 R=-,50-0,56-0,64-0,40 0, Tableau : Valeurs d équlbre prédtes par le modèle (SSG+LRR) Nous constatons d après ces deux tableaux que le modèle a prédt des valeurs d équlbre seulement pour les valeurs R=0,5 et R=0,0 du nombre de rotaton. Ces résultats confrment auss les lmtes du modèle classque (modèle ) dans la prédcton des écoulements présentant une certane ansotrope. Cette défallance est due d une part au fat que le modèle classque est un modèle lnéare et ne content pas des termes en b j tradusant réellement l ansotrope de l écoulement [4] et d autre part à la formulaton mathématque même de ce modèle basée sur des relatons smples dtes de contrantes cnématques [4]. Le modèle, contenant des termes en b j et dont la formulaton est soumse à des relatons plus strctes de réalsablté, a prédt des valeurs d équlbre pour presque toutes les valeurs du nombre de rotaton R retenue dans ce traval. Il a auss montré que l ansotrope de l écoulement augmente en présence de la rotaton et une forte ansotrope attendue est observée pour le nombre admensonnel de rotaton R égal à,0. La valeur maxmale des composantes d ansotrope b j attent 0,809. Une ansotrope mons forte est constatée pour les valeurs négatves du nombre de rotaton. Sur ces mêmes tableaux, sont auss présentées les valeurs d équlbre des grandeurs admensonnelles,, 3. La dfférence est nette entre les résultats des deux modèles Le modèle SSG retenu pour le champ cnématque est d un grand apport sur le champ thermque. Ce modèle n ntervenant pas explctement dans les équaton d évoluton décrvant

6 le champ thermque a perms d amélorer les résultats obtenus par le modèle de LRR quand l est retenu à lu seul pour les champs cnématque et thermque et a perms d obtenr des valeurs d équlbre pour 4 des 6 valeurs retenus pour le nombre de rotaton R. La rotaton affecte clarement le champ thermque et c est essentellement le coeffcent de corrélaton qu semble le plus touché par la rotaton. La valeur d équlbre de ce coeffcent double en passant de R=0,0 à R=0,50. Une aberraton est auss constatée pour la valeur du nombre de rotaton R=,0. La valeur du coeffcent de corrélaton dépasse l unté. Cette aberraton est explquée s on rappelle que le modèle classque (LRR) n est pas soums à des condtons strctes de réalsablté. Ce modèle n est soums qu à des relatons smples dtes contrantes cnématques. 5. Concluson Dans ce traval, nous avons étudé le comportement asymptotque d équlbre des grandeurs admensonnelles cnématques et thermques. Deux démarches ont été retenues. La premère est analytque et a conssté en la résoluton des équatons d évoluton de l écoulement dans le cas d un fort csallement se tradusant par des termes de vscosté et de presson néglgeables. Les solutons obtenues ont montré un comportement asymptotque d équlbre des grandeurs admensonnelles cnématques et thermques. La deuxème est numérque et basée sur une modélsaton au second ordre de l écoulement. Deux modèles parm les plus connus dans la lttérature et notés c modèle et modèle sont retenus. L ntégraton numérque des équatons d évoluton de l écoulement écrtes sous une forme admensonnelle a été effectuée par la méthode de Runge-Kutta d ordre 4. L ntégraton numérque poursuve vers des ntervalles de temps suffsamment grands a montré que le modèle (SSG+LRR) est celu qu confrme le comportement asymptotque d équlbre des grandeurs admensonnelles pour quatre des sx valeurs du nombre de rotaton. Le modèle (LRR) ne confrme que rarement ce comportement, montre auss une aberraton physque dans sa prédcton de l écoulement. La modélsaton du champ thermque à l ade des modèles plus élaborés de Shh et Lumley d une part et de Craft et Launder d autre part pourrat consttuée une extenson de ce traval. Références [] M.Bouzaane, H.Ben Abdallah, T.Ll A second order modelng of a stably stratfed sheared turbulence submtted to a non vertcal shear, Journal of turbulence. (004) [] M.Bouzaane, T.Ll Prédcton des états d équlbre d un champ thermque turbulence homogène, Internatonal journal of thermal scences.4, (00), [3] J.R.Rstorcell, J.L.Lumley, R.Abd Rapd pressure correlaton representaton consstent wth the Taylor-Proudman theorem materally-frame-ndfferent n the D lmt, Insttute for computer applcatons n scence and engneerng (ICASE), NASA Langley research center, Hampton, VA368.(998) [4] A.Cadou Contrbuton à l étude de modèles de turbulence au second ordre, Thèse de doctorat, École centrale de Nantes. (996) [5] S. E. Holt, J. R. Koseff, J. H. Ferzger, A numercal study of the evoluton and structure of homogeneous stably stratfed sheared turbulence, J. Flud. Mech. 37, [6] B. E. Launder, G. Reece, W. Rod, Progress n the development of a Reynolds stress closure, J. Flud Mech. 68, (975), [7] C.G.Spezale, S.Sarar, T.B.Gats Modelng the pressure stran correlaton of turbulence an nvarant dynamcal systems approach», NASA Langley research center, Hampton, Vrgna (990) [8] C.G.Spezale, N.M.G.Mhrs On the predcton of equlbrum states n homogeneous turbulence, J.Flud Mech,.09, (989),