Lycée J. CURIE Terminale S Année scolaire

Transcription

1 Lycée J. CURIE Termiale S Aée scolaire COURS Chap 10 P Chute verticale d u solide I. Champ de pesateur I.1. Force de pesateur Sur Terre et à so voisiage, u objet est soumis à ue force de pesateur appelé so poids P. Cette force se cofod avec la force d attractio gravitatioelle F, que la Terre exerce sur l objet. E réalité, il existe etre les deux forces u petit écart, dot o e tiedra pas compte e classe de Termiale ; cet écart est dû au mouvemet de rotatio de la Terre et à l attractio gravitatioelle des astres voisis. Les caractéristiques du poids P sot : - origie : le cetre de gravité de l objet - directio : la verticale du lieu - ses : du haut vers le bas - itesité : P = mg. Avec P e N, m e kg et g, itesité de la pesateur au lieu cosidéré e N.kg -1 ou m.s - (d après la deuxième loi de Newto ) Remarque : L itesité de la force de gravitatio exercée par la Terre sur u objet de masse m est doée par la relatio : mterre m F G. E réalité, il existe etre cette force et le poids u petit écart, dot o e tiet pas compte e TS. Il est dû au mvt d Terre objet de rotatio de la Terre et à l attractio gravitatioelle des astres voisis. I.. Champ de pesateur La pesateur se faisat ressetir das tout l espace autour de la Terre, o dit qu il existe u champ de pesateur. Ce champ est vectoriel, puisqu e chaque poit il a ue valeur, ue directio et u ses. Le vecteur g, appelé champ de pesateur, est défii par la relatio : P = mg La directio et le ses du champ de pesateur sot les mêmes que celles du poids. P So itesité (ou sa valeur) ecore appelée itesité de la pesateur est : g = et comme F = P, il viet m mterre g G, où G est la costate de la gravitatio uiverselle d Terreobjet D après l expressio précédete, g déped de la distace Terre-objet et varie doc : - avec l altitude, - avec la latitude du lieu cosidéré du fait de la o rotodité de la Terre, et de sa rotatio. Toutefois la variatio de l itesité du champ de pesateur est égligeable das u domaie où les dimesios excèdet pas quelques kilomètres. O retiedra pour g à la surface de la Terre la valeur 9,80 m.s -. Localemet le champ de pesateur est cosidéré comme uiforme. Le vecteur g y est alors le même, e directio, ses et itesité e tout poit. II. Forces exercées par u fluide II.1. Forces de frottemets A la surface d u objet e mouvemet das u fluide, apparaisset des forces de frottemet s opposat au mouvemet. Ces forces sot modélisées par u vecteur global f dot les caractéristiques sot : - origie : le cetre d iertie G - directio : la verticale - ses : opposé au mouvemet - itesité : f = kv où k est ue costate qui déped de la forme de l objet et de la ature du fluide, et u ombre, etier ou o, qui déped etre autre de la vitesse de l objet. Chap 10 P Page 1 sur 5

2 O distigue essetiellemet e classe de Termiale deux types de frottemets fluides: pour des vitesses faibles, et des objets de petites dimesios, = 1 et f k v. Ce type d écoulemet du fluide autour de l objet fait peser à celui de l eau sortat letemet d ue bouteille peu icliée (écoulemet appelé lamiaire A) pour des vitesses élevées, et des objets de dimesios plus importates, =. Ce type d écoulemet du fluide autour de l objet fait et f = - k' v peser à celui de l eau sortat d ue bouteille retourée (écoulemet turbulet B, où des turbuleces apparaisset à l arrière). Das les deux cas le coefficiet k déped de la ature du fluide et de l objet (surface, profile, ) II.. Poussée d Archimède Qu il soit immobile ou e mouvemet, u objet placé das u fluide est soumis de la part du fluide à des forces de pressio qui tedet à le faire «remoter». La résultate des forces exercées par u fluide (liquide ou gaz) sur u objet partiellemet ou etièremet immergé est appelée poussée d Archimède, otée. C est ue force répartie, et de cotact. Le vecteur poussée d Archimède a pour caractéristiques : - Poit d applicatio : le cetre de poussée C qui est le cetre de gravité du fluide déplacé - Directio : verticale - Ses : vers le haut - L itesité correspod au poids du volume de fluide déplacé : = fluide V g. est e Newto (N), fluide e kilogramme par mètre cube (kg.m -3 ), V le volume du solide immergé das le fluide e mètre cube (m 3 ) et g l itesité de la pesateur e ewto par kilogramme (N.kg -1 ) Remarque : o peut égliger la poussée d Archimède devat le poids de l objet, si P 10 3 Ce qui est le cas de la plupart des objets placés das l air. Toutefois pour des objets creux ou e matériaux peu deses, la poussée d Archimède doit être prise e compte (ballo sode, balle de teis de table, motgolfière ). III. Chute verticale sas frottemets : chute libre III.1. Défiitio U solide est dit e chute libre s'il 'est soumis qu'à so propre poids P Das le vide la chute est toujours libre. Par cotre das u fluide la chute sera cosidérée comme libre si les forces de frottemets et la poussée d Archimède sot égligeables devat le poids de l objet. C est le cas, par exemple, pour ue bille d acier chutat das l air sur ue courte durée. III.. Equatios du mouvemet Le système étudié est u objet (bille) de masse m. Das le cas gééral, o suppose qu au départ so cetre d iertie possède ue vitesse iitiale v 0 verticale. Le référetiel d étude est u référetiel terrestre cosidéré comme galilée vu la courte durée de la chute. Remarques : - v 0 peut être dirigé vers le haut ou vers le bas. Sur l axe vertical *Oz) la coordoée du vecteur vitesse iitiale peut doc être positive ou égative, v 0z = v 0. - Si le système est lâché sas vitesse iitiale alors v0 0 Aalyse physique : Le bila des forces extérieures appliquées sur le système : D après la deuxième loi de Newto : Chap 10 P Page sur 5

3 Pour tous les objets e chute libre, l accélératio est idépedate de la masse de l objet et égale à l itesité du champ de pesateur Traitemet mathématique : Le repère d espace orthoormé est (O,i,j,k) (fig ci-cotre). La positio iitiale de G correspod à l origie O du repère. La projectio de la relatio vectorielle a G g sur les axes du repère doe les résultats suivats : La détermiatio des costates d itégratio k 1, k, k 3 se fait e teat compte des coditios iitiales à t= 0, soit Les équatios horaires du mouvemet s obtieet par itégratio de : La détermiatio des costates d itégratio k 4, k 5, k 6 s effectue à partir de coditios iitiales, à t = 0, soit : Fialemet, o obtiet les équatios horaires du mouvemet : x(t) = z(t) = OG() t y(t) = Le mouvemet de G est bie vertical et rectilige (puisque x(t) et y(t) sot uls). De plus il est uiformémet accéléré puisque so accélératio est costate. Chap 10 P Page 3 sur 5

4 III.3. Importace des coditios iitiales Toutes les chutes libres obéisset à la même loi ( a G g ). Si les trajectoires parcourues selo les situatios sot différetes, c est parce que les coditios iitiales sot différetes : par exemple ue balle lacée verticalemet et vers le haut commece d abord à moter du fait de la coditio iitiale, s arrête, puis desced. La décélératio (phase motate puis l accélératio (phase descedate) ot lieu avec la même accélératio g. Au pla mathématique, les coditios iitiales itervieet das la détermiatio de la valeur de la costate d itégratio, à chacue des étapes de la résolutio de l équatio différetielle. IV. Chute verticale avec frottemets IV.1. Equatio différetielle du mouvemet O s itéresse au mouvemet du système (bille) de masse m de volume V et de masse volumique bille, lâchée sas vitesse iitiale das u fluide de masse volumique fluide. Le référetiel d étude est terrestre cosidéré comme galilée. Le bila des forces extérieures appliquées à la bille est le suivat : D après la deuxième loi de Newto o a : (1) Comme le mouvemet a lieu que verticalemet, o choisit u repère d espace (O, k) avec u axe [Oz) vertical, orieté vers le bas. La positio iitiale de G correspod à l origie O du repère (fig ci-cotre). Les coordoées des vecteurs forces et du vecteur accélératio das ce repère sot : La relatio vectorielle (1) deviet par projectio sur [Oz) : Soit : Ou ecore : équatio différetielle du mouvemet. IV.. Résolutio par la méthode d Euler Pour résoudre cette équatio différetielle du premier ordre e v(t), o utilise la méthode d Euler qui doe ue valeur approchée de v(t). Elle suppose de coaître les coditios iitiales, les doées relatives au fluide et à la bille (k, m, fluide et solide ) et de déduire par u calcul itératif, les valeurs successives de la vitesse au cours du temps. ρ Pour simplifier l écriture de l équatio différetielle, o pose: fluide k A = g(1 - ) et B = ρ m l équatio bille deviet alors : dv = A - B v ( t ) E preat u itervalle de temps t petit (le pas d itératio),o peut écrire : dv v = A - B v ( ) t soi t v = (A - B v ( t)) t = v( t t ) - v(t) t = Δv Δt o a alors : Chap 10 P Page 4 sur 5

5 Les différetes valeurs de la vitesse v au cours du temps sot : à t 0 = 0, v = v 0 valeur coue. à t 1 = t 0 + t v 1 = v 0 + v = v 0 + (A - Bv 0 )t à t = t 1 + t v = v 1 + v = v 1 + (A Bv 1 )t etc pour les valeurs suivates Ces calculs successifs permettet d obteir à l aide d ue calculatrice ou d u tableur la courbe v = f(t). Remarque : choix du pas d itératio La méthode est d autat plus précise que le pas d itératio t est plus faible. Pour des τ m résultats satisfaisats o choisit gééralemet Δt où τ = est la costate de 10 k temps. IV.3. La vitesse limite Sur la courbe représetée, la vitesse pred, ue fois le régime iitial (trasitoire) écoulé, ue valeur costate. Cette vitesse est appelée vitesse limite v lim. Pour détermier sa valeur, deux méthodes peuvet être evisagées : - La méthode graphique. - La méthode aalytique : quad la vitesse deviet costate : dv(t) = 0, l équatio différetielle deviet alors : soit : Et doc : V lim = IV.4. Types de force de frottemet La détermiatio du ombre das l expressio de la valeur de la force de frottemet f = kv se fait par comparaiso etre la courbe expérimetale et les courbes théoriques obteues par la méthode d Euler, pour des valeurs différetes de (fig ci-cotre). Das l exemple de la figure, la force de frottemet fluide est du type f = kv puisque les courbes théorique et expérimetale sot quasi cofodues. Chap 10 P Page 5 sur 5