Suivi de cultures par télédétection spatiale

Transcription

1 Unté de Bométre et Intellgence Artfcelle Suv de cultures par télédétecton spatale Sébasten Déjean Ingéneur-maître IUP Mathématques Industrelles Calcul Scentfque et Statstque, promoton 997 Ingéneur de recherche Laboratore de Statstque et Probabltés, Unversté Paul Sabater / 30

2 Culture, satellte : quel rapport?? / 30

3 Enjeux du suv de culture Prévson de producton Geston des marchés de matères premères agro-almentares Producton = Surface * Rendement Surface : détermnaton du POS Rendement : suv des cultures 3 / 30

4 Des mages satelltes Europe, Meteosat Washngton, Ikonos Toulouse, Spot 5 4 / 30

5 Une sére d mages Synthèses décadares, SPOT 4, Végétaton, Camargue /06/00 0/09/00 /06/00 0/07/00 /07/00 /07/00 0/08/00 /08/00 /08/00 0/09/00 5 / 30

6 Contrantes technques SPOT 4 / HRVIR Ekrafane (Nger) (7 aout 998) SPOT 4 / Végétaton résoluton 0 m - fréquence mensuelle résoluton km - fréquence quotdenne Comproms Précson / Fréquence 6 / 30

7 Dstnguer dfférents types de sol CCT : Centre Canaden de Télédétecton CCT : Centre Canaden de Télédétecton Mesures de réflectance 7 / 30

8 Synthèse Producton = Surface * Rendement Surface : détermnaton du POS Images précses Rendement : suv des cultures Images fréquentes 8 / 30

9 Et s nous parlons de! 9 / 30

10 Les données CCT : Centre Canaden de Télédétecton 0 / 30

11 Les données : pour un pxel Evoluton temporelle du LAI pour un pxel 6 Indce de surface folare (LAI) , 0,4 0,6 0,8,,4 Temps en 000 degré-jour / 30

12 Les données : pour pluseurs pxels Evoluton temporelle du LAI pour 0 pxels 8 Indce de surface folare (LAI) , 0,4 0,6 0,8,,4-4 Temps en 000 degré-jour / 30

13 Ordre de grandeur d un problème réel Zone d étude : 30 à 40 km de côté Image de résoluton klométrque : ~ 500 pxels Durée du suv : ~ 6 mos Utlsaton de synthèse décadare (à la place des mages quotdennes) : ~ 0 dates d acquston Problème : ajuster 500 courbes sur 0 ponts chacune 3 / 30

14 Un modèle LAI ( t, β ) = K e b ( t + a ( t Tc ) e Tr ) β= ( K, a, b, Tc, Tr) Paramètres : Modèle logstque K Modèle exponentel K=8 LAI 3 a b a = 6 b= Tc=0.5 Tr=.5 0 Tc 0 0, 0,4 0,6 0,8,,4,6 Tem ps en 000 degré-jour Tr 4 / 30

15 Estmaton Problème : pour chaque pxel, détermner pour quelles valeurs des paramètres le modèle s ajuste le meux aux données. Valeurs élevées Objectf : cartographer (projeter sur une carte) les valeurs des paramètres pour dentfer des zones «partculères». Valeurs fables (rrgaton?) 5 / 30

16 Et s nous parlons de! 6 / 30

17 Régresson lnéare : les données X Y 0 30,5 0 40,5 0 38,4 30,5 40 4,7 50 9, ,5 70 9, 80 89, , , Problème : trouver un modèle de Y en foncton de X Quelle est l équaton de cette drote? 7 / 30

18 Régresson lnéare : nterprétaton Estmaton par mondres carrés : c est la drote qu mnmse la somme des carrés des dstances notées en pontllé rouge / 30

19 Régresson lnéare : estmaton Equaton de régresson Y = a0+ ax Y= a0+ ax Μ Y= a0+ ax Modèle + + ε ε + ε Erreur Mnmser mnmser la somme des carrés des résdus ( ˆ ) a a, 0 ˆ tel que = [ ] Y ( aˆ + a x ˆ ) 0 sot mnmum 9 / 30

20 Régresson lnéare : notaton matrcelle Equaton de régresson (forme matrcelle) Y=Xβ+ ε Mnmser Y = a0+ ax Y= a0+ ax Μ Y= a0+ ax + ε + ε + ε Y = x x a Μ ΜΜ a Y x 0 ε ε + Μ ε [ ] ( β )( ' Y ( ˆ ˆ ) Y-X Y-Xβ ) a0+ a x = Dérvaton matrcelle XY ' X' Xβ= 0 ˆ β= ˆ ( X ' X) XY ' 0 / 30

21 / 30 Régresson lnéare : extensons - Régresson lnéare multple p p x a x a x a x a a Y ε = Λ =Xβ+ε Y Y X X X ' ) ' ( ˆ β = - Régresson non lnéare? X =? x a x a a Y ε = ) log( ) exp( 0 =Xβ+ε Y Y X X X ' ) ' ( ˆ = β? X = - Régresson non lnéare? x a a Y ε + + = 0 =Xβ+ε Y Y X X X ' ) ' ( ˆ = β? X =

22 Régresson non lnéare : les données X Y 0, 6,3 0, 3,6 0,3,9 0,4,5 0,5, 0,6 0,7 0,7 0,3 0,8 0,4 0,9 0,3 0, , 0,4 0,6 0,8, Equaton de la courbe? / 30

23 Régresson non lnéare : estmaton Modèle ( ) β + Y = f, x ε = [ ] Y f( ˆ, β x ) Trouver βˆ tel que sot mnmum Problème : pas de formule matrcelle, pas de soluton analytque (explcte) Soluton : utlser un algorthme numérque de mnmsaton de type Newton-Raphson 3 / 30

24 Régresson non lnéare : résoluton numérque Algorthme de Newton Algorthme de Newton-Raphson : généralsaton au cas multdmensonnel 4 / 30

25 Estmaton des paramètres pour chaque pxel Soluton : estmer les paramètres séparément pour chaque pxel Inconvénents : estmaton peu fable s peu de données pour certans pxels nfluence de valeurs aberrantes pxels tratés ndépendamment 5 / 30

26 (Maxmum de) Vrasemblance Y Y = a0 + a x + = f ( β, ) + x ε ε ε ~Ν( 0,)..d. f Densté de probablté pour π ε ( ) ε = exp ε Vrasemblance : produt des denstés pour chaque observaton V ( ) ( ) ( ) n =Π Y (, ) n f β x Y f( β, x ) β,x exp = KΠ exp π = = Maxmser la vrasemblance Maxmser la Log-vrasemblance L ( β,x ) = [ ( )] = ( ) LogV β,x Log( K) Y f( β, x ) n = mondres carrés 6 / 30

27 Modèle non lnéare à paramètres aléatores Y j β ε j = ~ ~ ( ) β f x N p N j, ( β, Γ) ( ) 0, σ + ε j Notatons : ndce sur les pxels j : ndce sur les dates f : modèle de crossance x : varables explcatves (t) ( ( ) ) Y / β ~ N f x β, σ j j, Écrture équvalente β ( ) Paramètres globaux : θ β, Γ, σ ~ N p ( β,γ) = Paramètres ndvduels : β 7 / 30

28 MNLPA : calcul de la vrasemblance V ( ) d ( ) ( ) ( ) Y py / p j θ, β β β = I = Problème : calcul d une ntégrale Propostons : lnéarsaton du modèle de crossance approxmaton numérque de l ntégrale (Monte Carlo, quadrature gaussenne) 8 / 30

29 MNLPA : pour ou contre? POUR CONTRE Tratement smultané de l ensemble des pxels Len entre les pxels à travers une dstrbuton de probabltés Complexté des calculs Robustesse (valeurs aberrantes, données brutées, fable nombre de dates) 9 / 30

30 C est fn! Des questons? 30 / 30