2 a) La variable aléatoire X suit la loi normale d espérance =50 et d écart-type donc la variable aléatoire =

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1 Termiale S Mai 2014 Amérique du Nord Exercice 1 (5 poits) Das cet exercice, tous les résultats demadés serot arrodis à 10 3 près. Ue grade eseige de cosmétiques lace ue ouvelle crème hydratate. Partie A : Coditioemet des pots Cette eseige souhaite vedre la ouvelle crème sous u coditioemet de 50 ml et dispose pour ceci de pots de coteace maximale 55 ml. O dit qu u pot de crème est o coforme s il cotiet mois de 49 ml de crème. 1. Plusieurs séries de tests coduiset à modéliser la quatité de crème, exprimée e ml, coteue das chaque pot par ue variable aléatoire X qui suit la loi ormale d espérace µ = 50 et d écart-type σ = 1,2. Calculer la probabilité qu u pot de crème soit o coforme. 2. La proportio de pots de crème o coformes est jugée trop importate. E modifiat la viscosité de la crème, o peut chager la valeur de l écart-type de la variable aléatoire X, sas modifier so espérace µ = 50. O veut réduire à 0,06 la probabilité qu u pot choisi au hasard soit o coforme. O ote σ ' le ouvel écart-type, et Z la variable aléatoire égale à a. Préciser la loi que suit la variable aléatoire Z. X 50. σ ' b. Détermier ue valeur approchée du réel u tel que ( Z u ) = 0,06 c. E déduire la valeur attedue de σ '. P. 3. Ue boutique commade à so fourisseur 50 pots de cette ouvelle crème. O cosidère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d atteidre l objectif fixé et doc que la proportio de pots o coformes das l échatillo est 0,06. Soit Y la variable aléatoire égale au ombre de pots o coformes parmi les 50 pots reçus. a. O admet que Y suit ue loi biomiale. E doer les paramètres. b. Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots o coformes ou mois de deux pots o coformes. Partie B : Campage publicitaire Ue associatio de cosommateurs décide d estimer la proportio de persoes satisfaites par l utilisatio de cette crème. Elle réalise u sodage parmi les persoes utilisat ce produit. Sur 140 persoes iterrogées, 99 se déclaret satisfaites. Estimer, par itervalle de cofiace au seuil de 95 %, la proportio de persoes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème. Partie A 1 La variable aléatoire X suit la loi ormale d espérace =50 et d écart-type =1,2 «le pot est o coforme» : ( <49) ( <49)=0,5 (49< <50) 0,202 Aisi la probabilité qu u pot soit o coforme est 0,202 2 a) La variable aléatoire X suit la loi ormale d espérace =50 et d écart-type doc la variable aléatoire = suit la loi ormale cetrée réduite (espérace 0 ; écart-type 1) b) d après la calculatrice O a : ( )=0,06 pour 1,555 c) <49 50< 1 < d où, avec la q2b, = 1,555 " 0,643

2 3 la variable aléatoire $ suit ue loi biomiale de paramètres 50 et 0,06 E effet, pour u pot : ("pot o coforme")=0,06 et ("pot coforme")=0,94 b) «la boutique reçoit 2 ou mois de 2 pots o coformes» :($ 2) ($ 2)=($ =0)+($ =1)+($ =2) = ,06 0, ,06 0, ,065 0,94 36 =0, ,06 0, ,06 5 0, , ,19+0, ,652 Aisi, la probabilité de recevoir au maximum 2 pots o coformes est de 0,652 Partie B Itervalle de cofiace : 7 =140 8 = 44 3 Coditios : =99 5 7(1 8)=41 5 : ; =<8 1 7 ; > , ,7916 D où =A0,622 ;0,792B Aisi, au seuil de 95%, o peut estimer que la proportio de persoes satisfaites appartiet à l itervalle A0,622 ;0,792B Exercice 2 (6 poits) O cosidère la foctio f défiie sur A0 ;+ A par 8(D)=5E F 3E 5F +D 3 O ote C f la représetatio graphique de la foctio f et D la droite d équatio y = x 3 das u repère orthogoal du pla. Partie A : Positios relatives de C f et D Soit g la foctio défiie sur l itervalle A0 ;+ A par g( x ) f ( x ) ( x 3 ) 1. Justifier que, pour tout réel x de l itervalle A0 ;+ A, g( x ) > La courbe C f et la droite D ot-elles u poit commu? Justifier. =. 1 Pour tout D de A0 ;+ A : G(D)=8(D) (D 3)= =5E F 3E 5F =E F (5 3E F ) D 0 D 0 E F E E F 1 3E F 3 5 3E F 2 5 3E F >0 De plus E F >0 D où E F (5 3E F )>0 Aisi, pour tout réel Dde A0 ;+ A, o a : G(D)>0 2 pour tout réel Dde A0 ;+ A, o a : G(D)>0 d après la q1 8(D) (D 3)>0 8(D)>D 3

3 Aisi la courbe Q R est strictemet au-dessus de la droite D, la courbe et la droite ot aucu poit commu. Partie B : Étude de la foctio g O ote M le poit d abscisse x de la courbe C f, N le poit d abscisse x de la droite D et o s itéresse à l évolutio de la distace MN. 1. Justifier que, pour tout x de l itervalle A0 ;+ A, la distace MN est égale à g( x ). 2. O ote g ' la foctio dérivée de la foctio g sur l itervalle A0 ;+ A. Pour tout x de l itervalle A0 ;+ A, calculer g' ( x ). 3. Motrer que la foctio g possède u maximum sur l itervalle A0 ;+ A que l o détermiera. E doer ue iterprétatio graphique. 1 STD ;8(D)U Q R W(D ;D 3) X SW =Y(D D) 5 +T8(D) (D 3)U 5 =YT8(D) (D 3)U 5 = 8(D) (D 3) =8(D) (D 3) [\] 8(D)>D 3 =G(D) 2 Dérivée Pour tout D de A0 ;+ A G(D)=5E F 3E 5F G " (D)=5( E F ) 3( 2E 5F )= 5E F +6E 5F =E F ( 5+6E F ) 3 sige de ^ (_) 5+6E F =0 E F = 5 6 D =l5 6 D = l5 6 D =l E F >0 E F > 5 6 D >l5 6 D< l5 6 D<l6 5 D 0 l` E F 5+6E F G (D) E >0 sur Tableau de variatio de la foctio G D 0 l` G (D) + 0 G(D) G0l` 1 +

4 Gal 6 5 bgal5 6 b5ecd`3e 5cd` Aisi, la foctio G admet u maximum pour D l` et ce maximum vaut 5 5 Iterprétatio graphique La foctio G modélise la distace MN, distace etre la droite et la courbe. O e déduit que la distace MN est maximum lorsque les poits S et W ot pour abscisse l` et l écart maximum est 5, soit eviro 5 2,1.f. Partie C : Étude d ue aire x. 0 O cosidère la foctio A défiie sur l itervalle A0 ;/ A par ( ) = ( ) ( 3 ) A x f t t dt 1. Hachurer sur le graphique ci-dessous le domaie dot l aire est doée par A(2). 2. Justifier que la foctio A est croissate sur l itervalle A0 ;/ A. 3. Pour tout réel x strictemet positif, calculer A( x ). 4. Existe-t-il ue valeur de x telle que A( x ) = 2? 1 hachurage 5 g2h 8ii3ji C est l aire du domaie limité par les droites d équatio D 0 ;D 2 et etre la droite et la courbe Q R 2 F gdh 8ii3ji h Giji La foctio g a pour dérivée la foctio G Das la partie A, o a prouvé GDI0 sur A0 ;/ A O e déduit g " DI0 sur A0 ;/ A Aisi, la foctio g est strictemet croissate sur A0 ;/ A F

5 3 Pour tout D de A0 ;/ A F gdh 8ii3ji F h 8ii3ji F h 5E k 3E 5k ji < Ek E5k > a5e F / 3 2 E5F ba5/ 3 2 b F 7 2 5EF / 3 2 E5F 4 Méthode 1 La foctio g est cotiue et strictemet croissate sur A0 ;/ A, doc sur A0 ;2B Doc A est ue bijectio de A0 ;2B sur so image A0 ;g2b De plus 2 A0 ;g2b g22,8 Doc l équatio gd2 admet ue uique solutio das A0 ;2B Méthode 2 : O résout gd EF / 3 2 E5F 2 710E F /3E 5F 4 310E F /3E 5F 0

6 3E 5F 10E F /30 3E F 5 10E F /30 E F 1 3 m EF 3 Dl0 1 m D l3 Das A0 ;/ A, l équatio gd2 a pour solutio l3 Méthode 3(si o a pas trouvé 1ou2) : o regarde la table de la foctio A, o a ue valeur approchée Exercice 3 (4 poits) O cosidère u cube ABCDEFCH doé ci-cotre. O ote M le milieu du segmet [EH], N celui de [FC] et uuur 1uuuur P le poit tel que HP = HG. 4 Partie A : Sectio du cube par le pla (MNP) 1. Justifier que les droites (MP) et (FG) sot sécates e u poit L. Costruire le poit L. 2. O admet que les droites (LN) et (CG) sot sécates et o ote T leur poit d itersectio. O admet que les droites (LN) et (BF) sot sécates et o ote Q leur poit d itersectio. a. Costruire les poits T et Q e laissat apparets les traits de costructio. b. Costruire l itersectio des plas (MNP) et (ABF). 3. E déduire ue costructio de la sectio du cube par le pla (MNP). Partie B uuur uuur uuur. L espace est rapporté au repère ( A ; AB, AD, AE ) 1. Doer les coordoées des poits M, N et P das ce repère. 2. Détermier les coordoées du poit L O admet que le poit T a pour coordoées 1 ;1 ; 8. Le triagle TPN est-il rectagle e T? Partie A 1 Das le pla (EFG), les droites (PM) et (FG) e sot pas parallèles, elles sot doc sécates ; o appelle L leur poit d itersectio. 2. a. Les droites (LN), (BF) et (CG) sot coplaaires das le pla (BCG) d où les costructios de T et Q. b. O cherche l itersectio des plas SWo et gpq. r So r SWo W SWo D où rw SWo Das pqtq rw coupe AQtB e T et ApqB e Q u gpq SWo Das wqtx So coupe AwqB e R y gpq SWo Aisi gpq SWoyu

7 3 das (gpqw) (uy) coupe AgwB e S Aisi la sectio du solide par le pla (SWo) est le petagoe Sozu{ Sur ma figure il maque des poitillés et le polygoe : Geogebra joue les récalcitrats!

8 Partie B 1 Das le repère Tg ;gp } ;gx } ;gw } U Sa0 ; 1 2 ;1b Wa1 ; 1 2 ;1 2 b oa 1 4 ;1 ;1b 2 Représetatio paramétrique de (So) droite passat par o0 ;1;11 de vecteur directeur So 3 }~ D = i (So): ƒ = i (i y) =1 0 Représetatio paramétrique de (qt) droite passat par q(1;0 ;1) de vecteur directeur qt } 1ˆ 0 D =1 (qt): =i (i y) =1 O détermie le poit d itersectio r des deux droites D =1 =i " =1 D = 1 ƒ i = i =1 D où r01 ; 5 ;11 D =1 =i " =1 1= 1 ƒ i = i =1 D =1 =i " =1 i =3 ƒ = 5 2 =1 3 3 zo } ~ zw } ~ 5 6 zo }.zw } = = ǹ Le triagle zow est pas rectagle e z Exercice 4 (5 poits, o spécialistes) U volume costat de m 3 d eau est réparti etre deux bassis A et B. Le bassi A refroidit ue machie. Pour des raisos d équilibre thermique o crée u courat d eau etre les deux bassis à l aide de pompes. O modélise les échages etre les deux bassis de la faço suivate : au départ, le bassi A cotiet 800 m 3 d eau et le bassi B cotiet m 3 d eau ; tous les jours, 15 % du volume d eau préset das le bassi B au début de la jourée est trasféré vers le bassi A ; tous les jours, 10 % du volume d eau préset das le bassi A au début de la jourée est trasféré vers le bassi B. Pour tout etier aturel, o ote :

9 a le volume d eau, exprimé e m 3, coteu das le bassi A à la fi du -ième jour de foctioemet ; b le volume d eau, exprimé e m 3, coteu das le bassi B à la fi du -ième jour de foctioemet. O a doc a 0 = 800 et b 0 = Par quelle relatio etre a et b traduit-o la coservatio du volume total d eau du circuit? 3 2. Justifier que, pour tout etier aturel, a+ 1 = a L algorithme ci-dessous permet de détermier la plus petite valeur de à partir de laquelle a est supérieur ou égal à Recopier cet algorithme e complétat les parties maquates (...). Variables est u etier aturel a est u réel Iitialisatio Affecter à la valeur 0 Affecter à a la valeur 800 Traitemet Tat que a < 1100, faire : Affecter à a la valeur... Affecter à la valeur +1 Fi Tat que Sortie Afficher : sur le sujet distribué e classe, il y a ue erreur. La lige affecter à 7 la valeur 7+1 apparait deux fois 4. Pour tout etier aturel, o ote u = a a. Motrer que la suite ( u ) est ue suite géométrique dot o précisera le premier terme et la raiso. b. Exprimer u e foctio de. E déduire que, pour tout etier aturel, \ = O cherche à savoir si, u jour doé, les deux bassis peuvet avoir, au mètre cube près, le même volume d eau. Proposer ue méthode pour répodre à ce questioemet. 1 Coservatio du volume total :\ +Œ = Chaque jour : le bassi A perd 15% et récupère 10% de B après 7 jours :\ après 7+1 jours :\ Ž \ Ž =\ \ Œ =\ 0,10 \ +0,15(2200 \ ) =\ 0,10\ 0,15 \ +330 =0,75 \ +330 = 3 4 \ +330 Variables est u etier aturel a est u réel Iitialisatio Affecter à la valeur 0 Affecter à a la valeur 800 Traitemet Tat que a < 1100, faire : Sortie Affecter à a la valeur 0,75\+330 Affecter à la valeur +1 Fi Tat que Afficher

10 4 Pour tout 7 de Ž =\ Ž 1320 =a 3 4 \ +330b 1320 = 3 4 \ 990 = 3 4 \ = 3 4 (\ 1320) = 3 4 Pour tout 7 de, o a Ž = 3 doc la suite ( ) est géométrique de raiso = 3 et de 1er terme =\ 1320= b) Pour tout 7 de, = = 520 a 3 4 b De plus =\ 1320, Doc \ = Aisi \ = bassi B : Œ =2200 \ = a 3 4 b = a 3 4 b O résout \ =Œ 520 a 3 4 b +1320= a 3 4 b 440=1040 a 3 4 b l l 3 4 2, =a3 4 b l =la3 4 b 7 l =l =l 26 l 3 4 Après 3 jours, les deux bassis aurot le même volume d eau. Remarque : O peut aussi résoudre \ =1100 et/ou faire le lie avec l algo et faire foctioer l algo

11 Exercice 4 (5 poits, spécialistes) U volume costat de m 3 d eau est réparti etre deux bassis A et B. Le bassi A refroidit ue machie. Pour des raisos d équilibre thermique o crée u courat d eau etre les deux bassis à l aide de deux pompes. O modélise les échages etre les deux bassis de la faço suivate : au départ, le bassi A cotiet m 3 d eau et le bassi B cotiet m 3 d eau ; tous les jours, 15% du volume d eau préset e début de jourée das le bassi B est trasféré vers le bassi A ; tous les jours, 10% du volume d eau préset e début de jourée das le bassi A est trasféré vers le bassi B et, pour des raisos de maiteace, o trasfère égalemet 5 m 3 du bassi A vers le bassi B. Pour tout etier aturel, o ote : a le volume d eau, exprimé e m 3, coteu das le bassi A à la fi du -ième jour de foctioemet ; b le volume d eau, exprimé e m 3, coteu das le bassi B à la fi du -ième jour de foctioemet. O a doc a 0 = 1100 et b 0 = Les parties A et B peuvet être traitées de maière idépedate. Partie A 1. Traduire la coservatio du volume total d eau du circuit par ue relatio liat a et b. 2. O utilise u tableur pour visualiser l évolutio du volume d eau das les bassis. Doer les formules à écrire et à recopier vers le bas das les cellules B3 et C3 permettat d obteir la feuille de calcul ci-dessous : A B C 1 Jour Volume bassi A Volume bassi B , , , , ,63 984, ,72 963, ,54 947, ,40 935, ,30 926, ,98 920, ,98 915, ,74 911, ,55 908, ,66 906, ,25 904, ,44 903, ,33 902, ,00 902, ,50 901, ,87 901,13 3. Quelles cojectures peut-o faire sur l évolutio du volume d eau das chacu des bassis? Partie B 0,9 0,15 O cosidère la matrice carrée M 5 = et les matrices coloes R = et X 0,1 0,85 5 O admet que, pour tout etier aturel, X + 1 = M X + R O ote S =. Vérifier que S = MS +R. 900 E déduire que, pour tout etier aturel, X S M ( X S ) + 1 =. a =. b

12 Das la suite, o admettra que, pour tout etier aturel, X S M ( X S ) 2. Motrer que, pour tout etier aturel, = et que 0,6 0,4 0,75 0,6 0,6 0,75 M + =. 0,4 0,4 0,75 0, 4 + 0,6 0, ,75 = ,75 X 3. Valider ou ivalider les cojectures effectuées à la questio 3. de la partie A. 4. O cosidère que le processus est stabilisé lorsque l etier aturel vérifie 1300 a < 1,5 et b 900 < 1, 5. Détermier le premier jour pour lequel le processus est stabilisé. 0