STI - 1N6 - FONCTION DERIVEE ET APPLICATIONS COURS (1/5)

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1 STI - 1N6 - FNCTIN DERIVEE ET APPLICATINS CURS (1/5) L dérvton consttue l'oectf essentel du progrmme d'nlyse de premère ; cet oectf est doule : - Acquérr une onne dée des dfférents spects de l dérvton en un pont ; - Exploter les énoncés du progrmme concernnt les fonctons dérvées pour l'étude des fonctons ; II est mportnt que les élèves pussent prtquer l dérvton pendnt une durée suffsnte ; l convent donc d'order ce chptre ssez tôt dns l'nnée. Le progrmme comporte uss une pproche de l noton de lmte en 0 d'une foncton : l s'gt de permettre ux élèves d'cquérr une premère dée de cette noton et de fournr un lngge commode pour ntrodure l dérvée. Il n'y ps leu de s'ttrder sur l noton de lmte ; l défnton de lmte pr (ε ; α) et l noton de contnuté sont hors progrmme, de même que tout exercce de recherche de lmte. PRGRAMMES Lmte en 0 d'une foncton : Lmte en 0 des fonctons h ï h, h ï h², h ï h 3, h ï h.. Introducton de l notton lm f(h) dns le cs d une lmte fne. h 0 Dns ce cs, dre que lm h 0 ou encore que f(h) = L + ϕ(h) où lm h 0 f(h) = L sgnfe uss que lm h 0 ϕ(h) = 0. f(h) - L = 0 Dérvton en un pont : Approxmton pr une foncton ffne, u vosnge de 0, des fonctons que à h ssocent (1 + h)², (1 + h) 3 1,, 1 + h ; spect géométrque. 1 + h Lorsque, u vosnge de 0, f( + h) peut s'écrre sous l forme f( + h) = + Ah + hϕ(h) vec lm ϕ(h) = 0, on dt que l h 0 foncton f dmet A pour nomre dérvé u pont ; Aspect géométrque : tngente. Aspect mécnque : vtesse. Lmte en zéro du tux de vrton f( + h). h CMMENTAIRES Pour cette ntroducton, on s'ppuer sur des expérmenttons numérques et grphques portnt sur les fonctons de référence c-contre. Pour donner une dée du cs générl on peut dre, pr exemple, pour le cs où lm f(h) = 0, que f(h) < 10-1, 10-2, 10-9, 10 -p, dès que h est h 0 ssez pett. Il convent de comner l'expérmentton (grphque et numérque) et le rsonnement ; on mettr en vleur sur quelques exemples l'nfluence de l tlle de l'ntervlle sur l qulté de l'pproxmton. n montrer uss que cette étude permet d'pprocher, pr exemple, x ï x² u vosnge de 2. Sur les exemples étudés, on n'héster ps à ndquer que des h expressons telles que 3h + h², tendent vers 0 lorsque h tend 1 + h vers 0 ; l est nutle de formuler des énoncés sur les lmtes reltfs à l comprson et ux opértons sur les lmtes. Le texte c-contre suggère une démrche pour l'ntroducton du nomre dérvé ; le professeur peut dopter un utre chox. Quel que sot ce chox, l convent de mettre en vleur, à trvers l'étude de quelques exemples smples, les dfférents spects de cette noton mentonnés dns ce texte. n prendr notmment des exemples ssus de l mesure de grndeurs géométrques et physques (re, volume, pussnce, ntensté...) ou de l ve économque et socle (popultons, prx...). L'étude de ponts sngulers, tels que x ï x en 0 ou x ï hors progrmme. x en 0, est Equton crtésenne de l tngente u pont d scsse. n oserver que, pour construre l tngente, l sufft de connître son coeffcent drecteur, c'est-à-dre f () ; le recours à l'équton crtésenne est nutle. Dérvton sur un ntervlle. Foncton dérvée : Dérvée d'une somme, d'un produt pr une constnte, d'un produt, d'un nverse, d'un quotent. Dérvée de x ï x n (n enter reltf) et de x ï x. Dérvée de t ï f(t + ). Applcton à l'étude du comportement locl et glol des fonctons (résultts dms) S f est dérvle sur I et dmet un mxmum locl (ou un mnmum locl) en un pont dstnct des extrémtés de I, lors f ()=0 S f est dérvle sur l'ntervlle I et s l dérvée f est nulle sur I, lors f est constnte sur I. S f est dérvle sur I, et s f est postve sur I, lors f est crossnte sur I. S f est dérvle sur [;], où <, et s f est à vleurs strctement postves sur [;], lors f est strctement crossnte sur [;] et, pour tout élément de [;] l'équton = dmet une soluton et une seule dns [;]. Énoncés nlogues pour les fonctons décrossntes. Les élèves dovent connître les règles de dérvton et svor les pplquer à des exemples ne présentnt ucune complcton technque, tels que x + 1 x ou x, ou encore x(x 1)². Pour les fonctons x² + 1 composées t ïf(u(t)), le progrmme se lmte u cs où u(t) = t +. Les démonstrtons de ces règles ne sont ps u progrmme. L notton dfférentelle peut être donnée en lson vec les utres mtères, ms ucune connssnce à ce suet n'est exgle en mthémtques. En lson vec l'ensegnement des utres dscplnes, on htuer les élèves à lre le tleu des dérvées dns les deux sens, en employnt le lngge des prmtves, ms ucune connssnce à ce suet n'est exgle en mthémtques. n mettr en vleur les nterpréttons grphques et cnémtques des énoncés de ce prgrphe. n pourr mettre en évdence l'utlté des hypothèses à l'de de quelques contre-exemples très smples llustrés pr des grphques. n oserver d'ord que, s f est crossnte sur I, lors f est postve sur I.

2 STI - 1N6 - FNCTIN DERIVEE ET APPLICATINS CURS (2/5) I. TANGENTE A UNE CURBE Sot f une foncton dérvle en x 0. n ppelle tngente à l coure représenttve de f u pont x 0 l drote pssnt pr le pont A(x 0 ; f(x 0 )) et de coeffcent drecteur f (x 0 ). u L foncton f : x ï x 3 dmet u pont (2 ; 8) une tngente dont le coeffcent drecteur est Sot f une foncton dérvle en x 0. L coure représenttve de f dmet u pont A(x 0 ; f(x 0 )) une tngente dont l équton rédute est : y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) L tngente à f : x ï x 3 dmet u pont A(2 ; 8) dmet pour équton : y = 12(x 2) + 8 y = 12x y = 12x 16 II. SENS DE VARIATIN D UNE FNCTIN Sot f une foncton dérvle sur un ntervlle I de Y. S f (x) est strctement postve pour tout x de I, lors f est strctement crossnte sur I S f (x) est strctement négtve pour tout x de I, lors f est strctement décrossnte sur I Sot f(x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 6. n clcule l foncton dérvée : f (x) = 2(3x 2 ) + 3(2x) 12 = 6x 2 + 6x 12 n étude le sgne de f (x) = 6x 2 + 6x 12 = ² 4c = 6² 4 6 (-12) = = 324 = 18² Les deux solutons sont x 1 = 2 6 = = 1 et x = 2 6 = = -2 Et le sgne de f (x) est donc donné pr : x f (x) f(x)

3 STI - 1N6 - FNCTIN DERIVEE ET APPLICATINS CURS (3/5) III. EXTREMUM S f est dérvle sur I et dmet un extremum locl (mxmum ou mnmum) en un pont x 0 dstnct des extrémtés de I, lors f (x 0 ) = 0 Sot f(x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 6. n constte sur le tleu de vrton de f qu elle dmet un mxmum locl en -2 et un mnmum locl en 1. Et on constte que : f (-2) = 6 (-2)² + 6 (-2) 12 = = 0 et f (1) = 6 1² = = 0 Attenton : L récproque n est ps vre : l exste des fonctons qu dmettent une dérvée nulle en un pont sns pour utnt vor un extremum en ce pont. Cel sgnfe que l coure dmet une tngente horzontle ms sns chnger de sens de vrton. n dt lors qu on un pont d nflexon. IV. EQUATIN DE LA FRME f(x) = Sot f est dérvle sur [ ; ], vec < : S f est à vleurs strctement postves sur [ ; ], Et s pprtent à [ ; ] Alors l'équton f(x) = dmet une soluton et une seule dns [ ; ]. S f est à vleurs strctement négtves sur [ ; ], Et s pprtent à [ ; ] Alors l'équton f(x) = dmet une soluton et une seule dns [ ; ]. Soluton de f(x) = n consdère l foncton f : x ï x² x 3 sur l ntervlle [0 ; 3] n détermne f (x) = 2x 1 n étude le sgne de f : 1 x 0 2 f (x) + f est strctement postve sur [2 ; 3] f(2) = 2² 2 3 = -1 et f(3) = 3² 3 3 = 3 0 [f(2) ; f(3) ] Alors d près le théorème, l équton f(x) = 0 dmet une soluton et une seule dns [2 ; 3]. 3 Soluton de f(x) =

4 STI - 1N6 - FNCTIN DERIVEE ET APPLICATINS CURS (4/5) Remrques : Pour utlser ce théorème l fut en vérfer que f est dérvle sur [ ; ] snon f est strctement crossnte f(x) = rsque de ne ps vor de (décrossnte) sur [ ; ] snon soluton. f(x) = rsque d vor pluseurs solutons. [ ; ] snon f(x) = n ur ps de soluton. V. EXEMPLE D ETUDE D UNE FNCTIN Voc l mrche à suvre pour étuder une foncton f défne sur un ntervlle [ ; ]. Le ut ultme de cette étude est le trcé de l coure C représentnt f, vec un mxmum de rensegnements. 1. Clcul de l dérvée de f En essynt de l mettre sous forme fctorsée, ou sous l forme P(x) où P et Q sont fctorsés. Q(x) n évter de développer, en prtculer les dénomnteurs, surtout s ce sont des «crrés». 2. Etude du sgne de f S f est sous l forme x + Pett tleu de sgne. S f est sous l forme x² + x + c clcul du dscrmnnt et nterprétton. S f est un quotent, on étude le sgne du numérteur et du dénomnteur. En prtculer, on se souvendr que s l un des deux est un crré, l est touours postf. S f content des fonctons cos et/ou sn, on ser rmené à l résoluton d néqutons trgonométrques (le cercle peut être très utle) où l on ouler ps que cos x et sn x sont touours comprs entre -1 et Tleu de vrton de f n trdut l étude du sgne de l dérvée : f (x) > 0 f(x) crossnte et f (x) < 0 f(x) décrossnte. Qund f (x) = 0, cel sgnfe que C dmet une tngente horzontle (mxmum, mnmum ou pont d nflexon). Ne ps ouler de clculer les vleurs de f ux ponts remrqules (ornes de l ensemle de défnton, mxmum ) 4. Recherche des ponts d ntersecton de l coure C vec les xes (x) et (y) Intersecton de C vec (x) : n cherche le(les) nomres x 0 tel que f(x 0 ) = 0 C coupe (x) u(x) pont(s) de coordonnées (x 0 ; 0) Intersecton de C vec (y) : n clcule f(0) C coupe (y) u pont de coordonnées (0 ; f(0)) 5. Tngentes à l coure ux ponts remrqules n connît déà les tngentes horzontles (vor 2. et 3.)

5 STI - 1N6 - FNCTIN DERIVEE ET APPLICATINS CURS (5/5) n détermne l (les) tngente(s) u(x) pont(s) d ntersecton vec les xes, détermné(s) dns le 4. en utlsnt l formule y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ) 6. Constructon de l coure Trcer les deux xes, en respectnt en l échelle donnée dns l énoncé, et en restregnnt l xe (x) à l ensemle de défnton de l foncton. Plcer les ponts d ntersecton vec les xes, les mxmums, mnmums, ponts d nflexon. Construre les tngentes (nutle de trcer «entèrement» l drote, se contenter du pett morceu utour du pont de tngence). Construre l coure en lssnt utnt que possle, et évtnt les ponts nguleux.