Détermination automatique de la taille du pas de temps pour les schémas implicites en dynamique

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1 Page de ire. Déermiaio auomaique de la aille du pas de emps pour les schémas implicies e dyamique o liéaire. Auomaic ime-seppig algorihms for implici schemes i o-liear dyamic. Ludovic Noels LTAS - Milieu Coius e Thermomécaique, Uiversié de Liège, Chemi des Chevreuils, 4 Liège, Belgium el mail Laure Saiier LTAS - Milieu Coius e Thermomécaique, Uiversié de Liège, Chemi des Chevreuils, 4 Liège, Belgium el mail Jea-Philippe Poho LTAS - Milieu Coius e Thermomécaique, Uiversié de Liège, Chemi des Chevreuils, 4 Liège, Belgium el mail Jérôme Boii SNECMA Moeurs Egieerig Divisio, Cere de Villaroche, 7755 Moissy-Cramayel, race el mail Tire coura (8 car avec espace

2 Déermiaio auomaique de la aille du pas de emps pour les schémas implicies e dyamique o liéaire. Pour les problèmes caracérisés par de fores o-liéariés, aisi que des phéomèes d impacs e de coacs, ue sraégie d iégraio à pas de emps variables es pariculièreme iéressae. Ces phéomèes so recorés lors de l éude dyamique d ue ieracio aube-carer, l eemple le plus criique éa la pere de l aube. Ue sraégie d iégraio à pas de emps cosa doe rareme saisfacio du fai qu il es praiqueme impossible de déermier ue durée de pas qui e coduise pas à la divergece ou à u coû de calcul prohibiif. Ue gesio auomaique du pas de emps, qui ie compe de l hisoire récee des accéléraios das le corps cosidéré, es proposée. E fai, l algorihme es basé sur la mesure de l erreur d iégraio des équaios d équilibre. Cela perme d iégrer correceme les phéomèes rasioires avec u pas de emps rès log (e régime ou rès pei (lors de la pere d aube, e garaissa ue boe précisio e u emps de calcul raisoable. De plus, u algorihme qui décide auomaiqueme de recalculer ou o, la marice Hessiee es proposé. Ce algorihme perme d évier u ombre impora de remises à jour de cee marice, ce qui perme de réduire le coû de calcul ou e assura la covergece. Efi, u crière de divergece des iéraios es proposé. Afi d illusrer l efficacié des algorihmes préseés, des simulaios umériques so préseées. Il s agi aussi bie de problèmes académiques que de problèmes idusriels (coacs aubes carer. élémes fiis / dyamique / implicie / o liéaire / pas de emps / auomaique Auomaic ime-seppig algorihms for implici schemes i o-liear dyamic. Variable sep sraegies are specially well suied o deal wih problems characerized by high o-lieariy ad coac/impac. Boh pheomea are ypical of dyamic simulaios of he ieracios bewee a urbie blade ad is casig, he mos dramaic eample beig blade loss. Cosa sep size sraegies do o give saisfacory aswer for his kid of problems, sice i is very difficul, if o impossible, for he user o fid a appropriae ime sep ha does o lead o divergece or geerae eremely cosly compuaios. A auomaic ime seppig algorihm is proposed, which akes io accou he rece hisory of acceleraios i he bodies uder cosideraio. More precisely, he adapaio algorihm is based o esimaors of he iegraio error of he differeial dyamic balace equaios. This allows for adapaio of he ime sep o capure correcly he rasie pheomea, wih characerisic imes which ca rage from relaively log (i regime o very shor (blade loss, hus esurig precisio while keepig he compuaio cos o a miimum. Addiioally, he proposed algorihm auomaically akes decisios regardig he ecessiy of updaig he age mari or soppig he ieraios, furher reducig he compuaioal cos. As a illusraio of he capabiliies of his algorihm, several umerical simulaios of boh academic ad idusrial (he coac/impac bewee a urbie blade ad he casig problems will be preseed. fiie elemes / dyamic / implici / o-liear / ime seppig / auomaic

3 Nomeclaure emps (s b force volumique (N m -3 V( volume coura du corps (m 3 B CO CT marice dérivée des focios de forme limie du compeur pour la réducio du pas de emps limie du compeur pour l augmeaio V volume iiial du corps (m 3 VALR rappor du coû d ue iéraio avec réacualisaio de la marice Hessiee e du coû sas réacualisaio du pas de emps veceur des posiios odales (m C T marice agee d amorisseme veceur des viesses odales (m s - (N s m - veceur des accéléraios odales f veceur des forces de surface (N m - (m s - e erreur d iégraio M premier paramère libre de podéraio ERRO Erreur d iégraio maimale des deriers pas ava réducio du pas ERRT Erreur d iégraio maimale des deriers pas ava augmeaio du pas i veceur des forces ieres (N du erme d ierie das l iervalle [, ] deuième paramère libre de podéraio des forces das l iervalle [, ] e veceur des forces eeres (N β premier paramère de Newmark K T marice agee de raideur (N m - M marice des masses (kg N marice des focios de formes PRCU olérace sur l erreur d iégraio r résidu o dimesioel de l équaio d équilibre R veceur résidu (N RAPRES rappor ere deu résidus o dimesioels successifs RAT muliplicaeur de deu pas de emps REJL erreur maimale d iégraio olérée S marice Hessiee (N m - S( surface courae du corps (m S surface iiiale du corps (m SEUIL erreur d iégraio sous laquelle la aille du pas peu êre augmeée γ secod paramère de Newmark pas de emps : - (s δ seuil de olérace du résidu o dimesioel r ε erreur d iégraio d u sysème liéaire à u degré de liberé η paramère pour modifier la aille du pas de emps ρ masse volumique courae du sysème (kg m -3 ρ masse volumique iiiale du sysème (kg m -3 σ eseur de Cauchy (N m - ω pulsaio d u sysème liéaire à u degré de liberé (s - pulsaio o dimesioelle (ω 3

4 . Iroducio. Les problèmes o liéaires peuve êre résolus par deu ypes d algorihmes : les implicies e les eplicies. Pour les algorihmes eplicies, les élémes de la soluio au emps e dépede que de la soluio au emps, alors que pour u algorihme implicie, ils dépede aussi (implicieme d aure élémes de la soluio au emps elle même. Dès lors, le problème doi êre résolu iéraiveme. La écessié d avoir u schéma sable (amorisseme posiif d ue perurbaio iiiale impose des resricios pour ces deu familles d algorihme. E effe, moyea u choi adapé des paramères d iégraio, la durée du pas de emps peu êre beaucoup plus grade pour u schéma implicie que pour u schéma eplicie. Le ombre oal de pas de emps es alors plus faible, e malgré u coû de calcul plus impora par pas (vea de l iversio de la marice Hessiee e du ombre d iéraios par pas, le emps de calcul es gééraleme plus faible pour u schéma implicie. Si le pas de emps es choisi rop pei, le emps de calcul devie rès oéreu, alors que si il es choisi rop grad, la soluio obeue es pas assez précise ou le calcul diverge (lors de la résoluio des équaios d équilibre. Dès lors, la durée du pas de emps doi êre judicieuseme choisie, e puisque le problème évolue avec le emps, le pas de emps doi évoluer avec le problème. U schéma de gesio auomaique es doc la seule soluio coduisa à ue précisio accepable e u emps de calcul rédui. Pour u problème idusriel, do le ombre de degrés de liberé es impora, l opéraio la plus coûeuse de l algorihme implicie es l évaluaio e l iversio de la marice Hessiee. Lorsque le problème es o liéaire, cee marice chage à chaque iéraio, mais les iéraios de Newo-Raphso peuve parfois coverger même si l aciee marice iversée es uilisée. Cepeda, il es écessaire de recalculer e d iverser régulièreme la marice Hessiee sous peie de divergece des iéraios. Das ue sraégie habiuelle, cee réacualisaio a lieu pour chaque première iéraio d u ouveau pas e pour des uméros d iéraios choisis par l uilisaeur. Mais si cee réacualisaio a pas lieu assez souve, le problème diverge, alors que das le cas coraire, le coû de calcul es beaucoup plus élevé. Puisque le problème évolue avec le emps, u algorihme qui choisi si la marice doi êre réacualisée ou o perme d écoomiser u emps de calcul impora. Même si la marice Hessiee es régulièreme recalculée, les iéraios peuve quad même diverger. Le pas de emps doi alors êre rejeé puis rédui. U problème es de déermier le mome où les iéraios diverge. Classiqueme, l uilisaeur fouri u ombre maimum d iéraios au-delà duquel les iéraios so cosidérées comme aya divergé. Si ce ombre maimal es rop grad, ceraies iéraios so iuiles quad la divergece a eu lieu après quelques iéraios. Par core, s il es rop pei, u pas peu-êre 4

5 rejeé alors que le problème coverge leeme. Il es dès lors iéressa de déermier la divergece e focio de l évoluio du résidu. Cela es d aua plus vrai que le ombre maimum d iéraios perd de so ses quad la marice Hessiee es pas remise à jour à chaque iéraio. E effe, le ombre d iéraios qui amèe la covergece déped du ombre de remise à jour. Cee coribuio propose ue gesio auomaique de la durée du pas de emps basée sur la mesure de l erreur d iégraio. L algorihme préseé modifie la durée du pas de emps seuleme si des chagemes physiques e durables se produise das l évoluio du problème. L esimaio de l erreur es redue idépedae des paramères, aisi que du schéma d iégraio uilisés. Trois esimaeurs de l erreur so comparés. U algorihme décida si la marice Hessiee doi êre réévaluée e iversée es alors proposé. Le crière de décisio es basé sur l évoluio du résidu avec les iéraios. Efi, u crière de divergece, aussi basé sur l évoluio du résidu, es implémeé. Des problèmes académiques aisi qu idusriels so alors préseés afi d illusrer l efficacié des algorihmes proposés.. Iégraio umérique des problèmes rasioires... Équaios d équilibre. La modélisaio du ype élémes fiis (discréisaio spaiale, codui à u sysème couplé d équaios du secod ordre [-5] : e (, (, i ( R M où R es le veceur résidu, le veceur des posiios odales, le veceur des viesses odales e le veceur des accéléraios odales. M es la marice des masses, i le veceur des forces ieres e e le veceur des forces eérieures. Ces deu veceurs so o liéaires e à cause des phéomèes de plasicié, de coac ou ecore des o-liéariés géomériques. Le sysème d équaios ( es compléé par les deu sysèmes de codiios iiiales : ( ad ( ( Les forces ieres e eeres so défiies par (N es l marice des focios de forme e B sa dérivée : 5

6 ( ( } { ] [, V T i dv B σ (3 ( ( ( } { ] [ } { ] [, S T V T e ds f N dv b N ρ (4 L epressio (4 regroupe ous les ypes de charges (appliquées direceme ou provea de déplacemes imposés ou ecore de coacs, e la marice cosisae des masses s écri : (5 ( ] [ ] [ ] [ ] [ V T V T dv N N dv N N M ρ ρ.. Schéma implicie : le schéma -gééralisé du rapèze. Le schéma le plus répadu pour iégrer ( es le schéma gééralisé du rapèze[6]. Das ce schéma, les posiios e les viesses so calculées à parir d ue accéléraio moyee obeue à parir des accéléraios au emps e au emps. Il vie doc : ( γ γ (6 β β (7 ou, écri aureme : β β (8 γ β γ β β γ (9 Le sysème d équaios ( se réécri : ( (, e i e i M M M M R ( Cee forme géérale a éé iroduie par Chug e Hulber [6]. Des choi pariculiers des paramères coduise au schémas bie cous [,,6] : 6

7 M pour le schéma de Newmark M pour le schéma de Hilber-Hughes-Taylor pour le schéma de Wood-Bossak-Ziekiewicz La sabilié icodiioelle des schémas aisi qu ue précisio au secod ordre es acquise pour les problèmes liéaires [,,6] si : γ M β 4 M ( M ( Ces lois réécries pour le schéma de Newmark doe : γ β 4 ( γ ( Les schémas classiques écessie < < / (c es-à-dire évaluer les forces das l iervalle [, ], mais il eise pas de loi similaire pour M, le erme de podéraio des forces d ieries: Il peu même êre égaif, il s agi alors d erapoler au emps pluô que d ierpoler. La résoluio iéraive du sysème ( écessie d abord l élimiaio des accéléraios e des viesses du emps à parir des relaios (8 e (9. Il fau alors défiir la marice Hessiee : S β M M γ C K T T β (3 où K T, C T so respeciveme la marice agee des raideurs e la marice d amorisseme. Elles so défiies par : K C T T i e ( (4 i e ( (5 7

8 Le résidu de l iéraio i se défii par : R M M i M ( i( i i e( i i,, ( i e M (6 E uilisa les relaios (3 à (6, la résoluio iéraive du sysème (8,9, peu s écrire : S R (7 Les iéraios so arrêées quad le résidu adimesioel r devie iférieur au seuil de olérace δ. La relaio suivae es alors vérifiée: r e R i < δ (8.3. Schéma implicie : le schéma -gééralisé du poi milieu (SMG. Ue aleraive au schémas précédes es u schéma du poi milieu pour lequel l accéléraio es cosae sur le pas de emps [3,5]. Das ce cas les équaios du mouveme ( so résolues au emps: ( - avec >, c es à dire : R e (, (, i M (9 où [ ] ( ( ( La soluio iéraive du sysème o liéaire (9 écessie l évaluaio de la marice Hessiee du sysème : 8

9 S M C T K T ( ( Précisos quelques différeces ere le schéma -SMG e les schémas de la famille- : Toues les forces (même celles de coacs so eaceme esimées au emps pluô que d êre moyeées ere les valeurs des emps e comme das (. Ce schéma es idépeda de, l accéléraio fiale provie d u pos raieme de (9 : (3 Pour, le schéma -SMG correspod à u schéma de Newmark avec γ e β.5. Ce schéma es codiioelleme sable avec u for amorisseme umérique. Cepeda, ce schéma s es moré efficace quad le paramère a éé choisi supérieur à l uié, c es-à-dire lorsque l évaluaio des forces se fai hors de l iervalle [, ]. 3. Corol Auomaique de la durée du pas de emps. 3.. Iroducio. Ue méhode relaiveme simple proposée par Poho [3] repose sur u ombre opimal d iéraios. Si le ombre d iéraios dépasse ce ombre opimal d iéraios, la durée du pas de emps es réduie alors que das le cas coraire, la durée es augmeée. Givoli e Heisberg [7] propose de modifier la durée du pas de emps pour garder la différece ere deu posiios successives iférieure à ue limie doée. Géradi [8] (figure esime l erreur d iégraio à parir du sau d accéléraio e du sau d ierie ere deu emps successifs mulipliés par le carré du pas de emps. Cee erreur es divisée par ue cosae dépeda des posiios iiiales e par l erreur moyee d u sysème liéaire à u degré de liberé. L erreur doi êre iférieure à ue olérace doée. Si elle es plus grade, le pas es rejeé e sa durée es divisée par deu. Si l erreur es iférieure à la olérace mais supérieure à sa moiié, le pas es accepé e divisé par le rappor, à la puissace u iers, ere l erreur e la demi olérace. Si l erreur es iférieure au seizième de la olérace, le pas de emps es doublé. Pour Cassao e Cardoa [9], le corôle du pas de emps es le même que pour Géradi, mais l erreur es calculée qu à parir du sau d accéléraio e es pas adimesioalisée par ue cosae (posiios iiiales mais par u erme évolua avec le emps. Hulber e Jag [] (figure 9

10 esime l erreur à parir du sau d accéléraio muliplié par le carré du pas de emps. L erreur es divisée par u erme qui déped de la différece des posiios. Le corôle du pas es caracérisé par deu paramères (TOL e TOL e par u compeur d ide maimal LCOUNT. Si l erreur es supérieure à TOL, le pas de emps es rejeé e sa durée réduie. Si l erreur es iférieure à TOL mais supérieure à TOL, le pas es accepé e sa durée es gardée cosae. Si l erreur es iférieure à TOL, le pas es accepé. Si cela se produi LCOUNT fois successiveme, la durée du pas es augmeée. Le compeur évie des chagemes idésirables du pas provea de la aure périodique de l erreur. Dua e Ramakrisha [] calcule aussi l erreur à parir du sau d accéléraio muliplié par le carré du pas de emps. Elle es adimesioalisée par la orme maimale du veceur posiio pour les précédes pas. L iervalle emporel es divisé e sousdomaies regroupa chacu u cerai ombre de pas de emps de aille cosae. Chaque fois que ous les pas de emps d u sous-domaie o éé calculés, ue erreur moyee de ce sous-domaie es calculée. Cee erreur moyee perme de calculer le pas de emps pour le sous-domaie suiva. L algorihme de corôle auomaique du pas de emps proposé ici es basé sur le schéma de Géradi, [8]. Néamois, pour eir compe des o-liéariés du problème, le pas de emps es modifié que si des chagemes physiques e durables du problème ierviee. Aisi, le pas e réagi pas à des modes umériques. Le pas de emps déermié es alors cosa pour plusieurs pas successifs. De plus, l esimaeur de l erreur basé sur le sau des forces d ieries (proposé par Géradi [8] e basé sur des problèmes liéaires es comparé à u esimaeur basé sur le sau d accéléraio (éabli e oue gééralié. Il apparaîra que pour des problèmes o liéaires, ue héorie liéaire es plus oujours adéquae. 3.. Esimaeur de l erreur. L esimaio de l erreur provie de l erreur de rocaure des équaios (6 e (7 ou ( e (. E effe, l erreur du développeme es du roisième ordre: 3 e O( O(. Il vie doc : 6 6 e 6 (3 Das u premier emps, cee erreur doi êre redue idépedae du problème. Elle es doc adimesioalisée ( es le veceur des posiios iiiales : e 6 (4

11 Afi d obeir u esimaeur de l erreur d iégraio qui puisse êre uilisé pour ous les schémas (le schéma -gééralisé du rapèze ou le schéma -gééralisé du poi milieu (SMG, aisi que pour ou choi des paramères d iégraio (, M, β, γ ou, e ce sas modifier la olérace sur l erreur (secio 3.3., l epressio (4 doi êre divisée par ue référece. Cee référece es l erreur moyee (sur ue période pour u sysème liéaire à u degré de liberé. Pour u pas de emps cosa, e défiissa la pulsaio ω, la pulsaio adimesioelle es alors doée par ω. Les équaios (8 à ( peuve se réécrire pour ce problème : M M ω γ γ β β ( ( ( ( (5 ou ecore : A ( (6 avec : ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( β γ β γ γ β γ β β β M M M M M M M D A D ialeme, il vie : cos( si( cos( ] ( [ I A ω ω ω (7 Efi l epressio (4 pour u sysème liéaire à u degré de liberé s écri :

12 ( β ω ω ( 6 cos( si( ( 6 M e (8 La référece es l erreur moyee pour ue période, elle e oée ε e s écri : ω π π ω ε d e (9 E uilisa l epressio (9 das le calcul (8, la référece s écri : ( ( ( [ ] β π ε M (3 Si M, la relaio calculée par Géradi [8] pour le schéma HHT es rerouvée. L epressio (3 es éablie pour le schéma -gééralisé du rapèze, pour le schéma -gééralisé du poi milieu (SMG, le sysème (5 es remplacé par : ² ² q ω (3 Dès lors, la marice A( das l epressio (6, 7 devie : ( ( ( ( γ A (3 Efi, l erreur de référece (3 se réécri :

13 ( ε [ ( ] 3 π [ ] 4 (33 L erreur (4 es alors divisée par ε (epressio (3 ou (33 pour avoir ue epressio idépedae du schéma uilisé. Cepeda, doi êre cou pour esimer ε. Pour u sysème liéaire à u degré de liberé, di pas de emps représee avec ue boe précisio ue période. Dès lors la pulsaio adimesioelle de référece es défiie par k,6, e il vie : e 6 ε ( k (34 Pour des sysème liéaire, Géradi a démoré [8] que l erreur peu êre évaluée par l epressio suivae : e 6 ε T ( [ M ] k T [ ( M ] (35 Cee erreur perme de filrer les modes de haues fréqueces (comme les modes umériques. Cepeda, e o liéaire, aucu avaage a éé observé (cas académiques e par rappor à l epressio (34. Ue aure possibilié, cosise à garder le erme de module maimum pluô que le module du veceur (Cassao e Cardoa [9], pour évaluer l erreur. L erreur e 3 es alors défiie par (ddl éa le ombre de degrés de liberé : e 3 6 ε ( ma ( k j, ddl j ma i, ddl ( i (36 Ces rois idicaeurs de l erreur sero comparés das les applicaios umériques Corôle de la durée du pas de emps. L erreur obeue doi êre de l ordre de gradeur d ue olérace défiie par l uilisaeur PRCU. Ue faible valeur de PRCU amèe ue boe précisio des calculs mais u emps de calcul impora. Ue valeur plus élevée de PRCU doe ue mois boe précisio mais le emps de calcul es rédui. Si la olérace PRCU 3

14 es rop grade, le pas de emps amèe ue erreur iférieure à PRCU, mais e perme pas au iéraios de coverger. Dès lors si u problème de covergece apparaî (figure 3, l algorihme rédui auomaiqueme PRCU (boîe. Si les iéraios coverge, l algorihme essaye d ajuser la durée du pas de emps pour avoir ue erreur égale à la moiié de PRCU. Trois possibiliés peuve se préseer (boîe : L erreur es supérieure à PRCU/. Elle es cosidérée comme éa rop grade. Afi d assurer ue boe précisio, la durée du pas de emps doi êre réduie. L erreur es iférieure à ue limie SEUIL. Elle es cosidérée comme éa rop peie. Afi de s assurer que le emps de calcul rese rédui, la durée du pas doi êre augmeée. L erreur es das l iervalle [SEUIL ; PRCU/]. La aille du pas de emps perme d avoir ue boe précisio e u emps de calcul cour. Eamios das u premier emps le cas où l erreur es rop grade (boîe 3. La aille du pas de emps doi alors êre réduie. Cepeda, afi d évier des chagemes iuiles du pas, ous ous assuros que la variaio de l erreur provie d ue évoluio physique e durable du problème. Le pas de emps es alors rédui seuleme après u ombre (CO de pas successifs qui amèe ue erreur supérieure à PRCU/. Ce ombre CO peu êre pris égal à rois. Le faceur de réducio du pas déped de l erreur maimale (ERRO des CO pas successifs. Géradi [8] a démoré que pour u sysème liéaire à u degré de liberé, le faceur qui doi muliplier le pas de emps pour rameer l erreur e à PRCU/, s écri : η RAT PRCU η [ ; 3] (37 e Pour des sysèmes o liéaires, η peu sorir de ce iervalle. Pour s assurer que le pas es suffisamme rédui, η es pris plus pei que deu. Le faceur qui muliplie la durée du pas es alors : RAT[½ PRCU/ERRO] /3. Cepeda, s il survie u chageme rapide das la physique du problème (comme ue pris de coac, u impac, le pas de emps es pas immédiaeme adapé à cause du compeur. C es pourquoi, si l erreur e es supérieure à PRCU, la durée du pas es immédiaeme réduie. Elle es mulipliée par RAT[½ PRCU/e] /3. Efi, si l erreur e es supérieur à ue limie REJL, le pas es rejeé (alors que das les cas précédes il éai accepé e es muliplié par: RAT[ ½ PRCU/e] /3. La limie REJL peu êre prise égale à,5prcu. 4

15 Si l erreur es plus peie que ½ PRCU mais plus grade que SEUIL, la durée du pas es gardée cosae (boîe 4. Eamios maiea le cas où l erreur es rop peie (boîe 5. La durée du pas peu êre augmeée sas dégrader la précisio de la soluio. Afi d évier des modificaios iuile, u aure compeur es irodui. Si CT pas successifs amèe ue erreur iférieure à SEUIL, la durée du pas es alors augmeée. Soi ERRT l erreur maimale des CT pas. Pour e pas augmeer rop la durée du pas, l eposa η de l équaio (37 es pris supérieur à rois. Le faceur muliplia la durée du pas es alors RAT[½ PRCU/ERRT] /5. U icovéie de l iroducio du compeur apparaî quad la physique du problème s adouci (les forces eeres dimiue. E effe, SEUIL es pris pei (PRCU/6 par eemple, e CT relaiveme grad (5 par eemple pour assurer ue boe précisio. Das ces codiios, la durée du pas augmee leeme. Pour dimiuer le coû des calculs, SEUIL peu êre augmeé (muliplié par,3 par eemple e CT dimiué (à 4 puis pas eemple quad la durée du pas augmee. Bie eedu, ue fois que la durée du pas doi êre réduie, les paramères SEUIL e CT repree leur valeur iiiale, à savoir respeciveme PRCU/6 e 5. Das cerais problèmes (raslaio à viesses cosae, l erreur es ulle. Pour évier ue divisio par zéros, ERRT es limié (à SEUIL/ par eemple. Pour compléer le schéma (boîe à 5, il fau remarquer que: Les paramères ICO e ERRO so réiiialisés à leurs valeurs iiiales si le schéma passes par la boîe, 4 ou 5, e les paramères ICT e ERRT aussi si le schéma passe par la boîe, 3 ou Remise à jour de la marice Hessiee. Pour les problèmes o liéaires, lorsque la marice Hessiee es pas remise à jour, les iéraios coverge plus leeme que quad la marice Hessiee es réacualisée à chaque iéraio. Pour cerais pas, le phéomèe de divergece peu même se produire. Dès lors, le crière de réacualisaio doi cosidérer deu fais : La covergece des iéraios doi êre assurée. Ne pas réadaper la marice Hessiee doi réduire le coû oal des calculs. E fai, u pei problème avec de fores o liéariés peu coverger e u rès pei ombre d iéraios quad la marice Hessiee es recalculée e iversée à chaque iéraio mais e beaucoup plus d iéraio das le cas coraire. Quad le ombre de degré de liberé es rédui, ue iéraio sas réacualisaio es pas foreme mois cher qu ue avec réacualisaio. Le coû oal des calculs es alors mois élevé quad 5

16 il y a de fréquees réacualisaios. D aure par, si le problème présee u grad ombre de degrés de liberé e seuleme quelques élémes o liéaires, réduire le ombre de réacualisaios dimiue foreme le coû des calculs. L évoluio du résidu adimesioel r (8, peu idiquer si le problème coverge ou pas. Ta que r dimiue avec les iéraios, le problème coverge même si la marice Hessiee a pas éé remise à jour. U idicaeur pour savoir s il es iéressa de recalculer la marice Hessiee ou o es le rappor VALR ere le emps écessaire à ue iéraio avec remise à jour de la marice Hessiee, e le emps écessaire à ue iéraio sas remise à jour de cee marice. Ce rappor idique le ombre d iéraios sas réacualisaio qui peuve êre avaageuseme remplacées par ue iéraio avec réacualisaio. Cee valeur es u eier (limié ere e 5 par eemple. L algorihme proposé es le suiva : La marice Hessiee es recalculée à la première iéraio si la aille du pas de emps a chagé. Effeciveme, S déped de (3. Il y a dès lors pas de covergece si cee marice es pas recalculée. Si le uméro de l iéraio es supérieur à VALR, elle s effecue avec ue remise à jour de la marice Hessiee. Dès lors les iéraios se fo sas remise à jour, seuleme si cela revie mois cher. Si le uméro de l iéraio es iférieur à VALR, la marice Hessiee es recalculée si le résidu o dimesioel r a pas éé muliplié par u rappor égal à RAPRES VALR/ [,75 ;,95]. Si le résidu o dimesioel r a pas éé divisé par RAPRES, l iéraio suivae se fai avec remise à jour de la marice Hessiee. Idéaleme, cee iéraio repar des valeurs iiiales (,,, o pas de l iéraio précédee, mais bie de la péulième iéraio. Ceraies divergeces des iéraios so alors éviées. Cepeda, pour des raisos praiques, cee derière remarque a pu êre implémeée das MECANO [3], u des codes aya servi à valider les algorihmes proposés. Dès lors, la soluio suivae a éé adopée : Si le résidu adimesioel a pas éé muliplié de RAPRES, l iéraio suivae se produi avec réacualisaio, mais à parir des valeurs de prédicio. Si ue iéraio aya u uméro compris das l iervalle ] ; VALR[ doi se faire avec réacualisaio, les iéraios suivaes se fo avec réacualisaio. La covergece es aisi assurée. Efi, si la derière iéraio du pas précéde s es faue avec réacualisaio, la première iéraio se fai aussi avec réacualisaio. 6

17 Ce algorihme évie aisi u cerai ombre de remises à jour iuiles e d iversios de la marice Hessiee. Pour les peis problèmes avec de fores o liéariés, ce algorihme rese au pire du même pri qu u algorihme avec ue réacualisaio à chaque iéraio. Pour les problèmes avec plus de degrés de liberé, ce algorihme es mois cher qu u algorihme avec lequel l uilisaeur décide des uméros d iéraios avec remise à jour. E fai, l algorihme proposé évie a possible les remises à jour mais réacualise quad cela es écessaire. 5. Crière de divergece. Habiuelleme, l uilisaeur décide d u ombre maimal d iéraios. Si, ue fois ce ombre aei, le résidu adimesioel r es pas deveu iférieur à la olérace δ, le pas es rejeé e sa durée es réduie. Mais lorsque le résidu dimiue leeme, le ombre maimal d iéraios es dépassé ava r deviee iférieur à δ. D aure par, les iéraios peuve diverger après quelques iéraios. Les iéraios suivaes (jusqu au ombre maimal so alors iuiles. Efi, si le problème es résolu sas remise à jour de la marice Hessiee à chaque iéraio, le ombre d iéraio es plus impora que s il y a remise à jour à chaque iéraio. Ue soluio cosise à cosidérer qu il y a divergece si après ciq iéraios avec remise à jour, le résidu adimesioel a pas éé divisé par deu. Il fau cosidérer plusieurs iéraios car, e cas de divergece, le résidu oscille. 6. Eemples umériques. Des problèmes académiques so éudiés das u premier emps. Le schéma du corôle du pas de emps es comparé avec celui, proposé par Poho [3], qui es décri à la secio 3.. Les rois esimaeurs de l erreur so comparés e éa associés à l algorihme développé. Le premier es défii par l epressio (34, le secod par l epressio (35 e le roisième par l epressio (36. Les problèmes éudiés so résolus das le formalisme des grads déplacemes e des grades déformaios. Ces problèmes académiques so modélisé das le code de recherche METAOR [3], das lequel l algorihme de gesio du pas a éé implémeé. Esuie, des problèmes idusriels so éudiés. Les rois algorihmes (pas de emps auomaique, sélecio de la remise à jour de la marice Hessiee e crière de divergece o éé implémeés das le module MECANO de SAMCE [3]. Das la versio commerciale de MECANO, le pas de emps es choisi selo le schéma de Géradi [8]. L uilisaeur défii le uméro des iéraios avec remise à jour de la marice Hessiee, e le ombre 7

18 maimal d iéraio pour chaque pas de emps. Il y a réacualisaio pour chaque première iéraio d u ouveau pas puisque la durée du pas peu chager. Deu problèmes idusriels vea de la SNECMA so calculés par les ouveau algorihmes e par les acies (versio commerciale. Ces problèmes e peuve êre décris avec précisio pour des raisos de cofideialié. Pour cee même raiso, les aes des graphiques e so pas gradués. Néamois, ous sommes auorisés à dire que les problèmes so modélisés e rois dimesios, e compree plusieurs milliers de degrés de liberé. Cerais élémes so o liéaires e modélise des coacs, des rupures Les problèmes so aussi o saioaires. Pour comparer les acies e les ouveau algorihmes, les paramères de précisio (δ, PRCU so pris ideiques. Pour les acies algorihmes, les uméros des iéraios avec remise à jour de la marice Hessiee so choisis afi de miimiser le coû oal des calculs. Plusieurs essais o éé écessaires pour déermier ces paramères sas recorer de divergece malgré u coû le plus rédui possible. 6.. Cas académique : la barre de Taylor. Ue barre cylidrique (propriéés reporées au ableau I avec ue viesse iiiale ere e coac avec u mur. U calcul de référece es défii. Il s agi de la résoluio du problème avec u pas de emps fie e pei (,7 µs. Esuie le problème es résolu avec l algorihme de gesio du pas proposé. Les esimaeurs de l erreur uilisés so successiveme l esimaeur (34, puis (35, e efi (36, respeciveme déoés e, e e e 3. Pour fiir, le problème es aussi résolu par la méhode de Poho [3] (méhode opi, décrie à la secio 3.. Das ous les cas, le problème es résolu par le schéma -gééralisé du poi milieu (SMG, (,. La soluio obeue après 8 µs es illusrée à la figure 4. La coraie obeue avec le ouvel algorihme es similaire à la cofiguraio de référece à,5% près. La différece ere la méhode de Poho e la référece es de l ordre de 5%. Les coûs de calcul so illusrés à la figure 5. Il apparaî qu ue gesio auomaique du pas perme de réduire le emps de calcul. L algorihme proposé irodui % d iéraios (erreurs e e e, ou 5% (erreur e 3 par rappor à la méhode opi. 6.. Cas académique : flambeme dyamique d u cylidre. Ue barre cylidrique creuse (propriéés reporées au ableau II ere e coac avec ue marice rigide (figure 6. Le bord eérieur du cylidre es corai de se mouvoir avec ue viesse cosae. U calcul de référece es défii. Il s agi de la résoluio du problème avec u pas de emps fie e pei (,3 µs. Esuie le 8

19 problème es résolu avec l algorihme de gesio du pas proposé. Les esimaeurs de l erreur uilisés so successiveme l esimaeur (34, puis (35, e efi (36, respeciveme déoés e, e e e 3. Pour fiir, le problème es aussi résolu par la méhode de Poho [3] (méhode opi décrie à la secio 3.. Das ous les cas, le problème es résolu le schéma -gééralisé du rapèze, ( M -,87 les aures paramères so calculés pour avoir u schéma icodiioelleme sable. La soluio obeue après ms es illusrée à la figure 7. Les coraies obeues avec le ouvel algorihme e l erreur e ou e 3 so praiqueme ideiques à la référece. Qua à l erreur e, il y a coac ere deu boucles. La différece ere la méhode opi e la référece es de l ordre de %. Les coûs des calculs so illusrés à la igure 8. Ue gesio auomaique du pas perme de réduire les coûs de calcul. Das ce eemple, le ombre d iéraios avec l algorihme proposé es 7% iférieur au ombre d iéraios avec la méhode opi. Suie au deu cas académiques préseés, ous pouvos dire que l algorihme préseé es plus précis ou mois oéreu que la méhode opi quad l esimaeur e (34 es uilisé pluô que l esimaeur e (35. L erreur e 3 es plus sévère mais aussi plus chère que e. E fai, l esimaeur e a éé développé pour des problèmes liéaires [8] alors que les idicaeurs e e e 3 rese appropriés pour des cas o liéaires Cas idusriel. Ce problème es résolu par les acies algorihmes (versio commerciale de MECANO e par les ouveau (gesio du pas de emps, remise à jour de la marice Hessiee e crière de divergece. Das les deu cas, la olérace δ du résidu o dimesioel r (8 es pris égal à -3. La olérace PRCU sur l erreur d iégraio es prise égale à -3. Le pas de emps iiial es le même. Avec l acie algorihme, il y a remise à jour de la marice Hessiee au iéraios, 3, 6, 7, 8, 9... La figure 9 more l évoluio du déplaceme d u degré de liberé représeaif avec le emps. Les ouveau algorihmes doe la même soluio que les acies. La figure représee le bila d éergie. Il s agi de la somme des éergies poeielles e ciéiques, de laquelle le ravail des forces eérieures es sousrai. Lorsque ce bila es posiif, de l éergie es crée umériqueme e l iégraio es isable. Par core si ce bila es égaif, de l éergie es dissipée umériqueme ou physiqueme. Si la dissipaio umérique es rop imporae, l iégraio es peu précise. Sur la figure, il apparaî que les ouveau algorihmes produise légèreme plus de dissipaio umérique (mois de,3% 9

20 que les acies algorihmes. Les ouveau algorihmes doe doc ue précisio suffisae. Les coûs respecifs des calculs so doés à la figure. Les ouveau algorihmes réduise le emps de calcul (CPU de 4% par rappor au acies Cas idusriel. Ce problème es résolu par les acies algorihmes (versio commerciale de MECANO e par les ouveau (gesio du pas de emps, remise à jour de la marice Hessiee e crière de divergece. Das les deu cas, la olérace δ du résidu o dimesioel r (8 es pris égal à -4. La olérace PRCU sur l erreur d iégraio es prise égale à -3. Le pas de emps iiial es le même. Avec l acie algorihme, il y a remise à jour de la marice Hessiee au iéraios, 3, 5, 6, 7, 8... La figure représee l évoluio avec le emps de la force sur u degré de liberé représeaif. Les ouveau algorihmes doe la même soluio que les acies. La figure 3 more l évoluio de la durée du pas de emps. Avec le ouvel algorihme de gesio, cee durée es gardée cosae sur de logues périodes. Des remises à jour oéreuses de la marice Hessiee, uiqueme parce que la aille du pas a chagé, so alors éviées. La figure 4 doe le coû des calculs. Les ouveau algorihmes réduise le emps des calculs (CPU à 6% du emps écessaire pour les acies algorihmes. 7. Coclusios. U ouvel algorihme de corôle de la durée du pas de emps a éé préseé. Ce algorihme es basé sur ue mesure de l erreur d iégraio. E iroduisa des compeurs, le pas de emps es modifié seuleme lorsque des variaios durables e physiques du phéomèe dyamique apparaisse. Cepeda, pour des chagemes bruau comme l impac ou le coac, l erreur d iégraio augmee foreme e u seul pas de emps e l algorihme rédui auomaiqueme la aille du pas. E modifia la limie sous laquelle la durée du pas peu êre augmeée, lorsque le problème devie mois criique, la aille du pas peu augmeer rapideme. Ce algorihme doe ue boe précisio avec u emps de calcul rédui, aisi que des pas de emps cosas sur de logues périodes. Si des problèmes de covergece apparaisse, la olérace de l erreur d iégraio es réduie pour adaper le pas de emps à ces problèmes. Des pas de emps oéreu puis rejeés so aisi éviés. Ce algorihme a éé appliqué pour des problèmes académiques avec des coacs e de grades déformaios. Associé à u esimaeur d erreur basé sur le sau d accéléraio (relaio 34, l algorihme a doé ue boe précisio avec u coû faible.

21 Esuie, u algorihme décida si la marice Hessiee doi êre réévaluée a éé proposé. Ce algorihme recalcule cee marice si cela es écessaire à la covergece des iéraios de Newo-Raphso. Das le cas coraire, l aciee marice es uilisée lors du processus iéraif e le emps de calcul es rédui. Efi, u crière de divergece a éé implémeé. Il cosidère que le problème e coverge pas si le résidu adimesioel e dimiue pas avec les iéraios. Nombre d iéraios iuiles so aisi éviées. Les algorihmes proposés (corôle du pas de emps, réacualisaio de la marice Hessiee e crière de divergece o éé implémeés das le module MECANO de SAMCE e deu cas idusriels o éé calculés. La soluio obeue avec les ouveau algorihmes es aussi précise qu avec ceu eisas, mais les coûs so réduis d eviro 5%. Bibliographie [] Belyschko T., Hughes T.J.R., (Edior, Compuaioal Mehods for Trasie Aalysis, Norh Hollad, 983. [] Hughes T.J.R., The iie Eleme Mehod, Preice-Hall, 987. [3] Poho J.-P., Traieme uifié de la Mécaique des Milieu Coius solides e grades rasformaios par la méhode des élémes fiis, Thèse, Uiversié de Liège, 995. [4] Poho J.-P., Hogge M., O relaive meris of implici / eplici algorihms for rasie problems i meal formig simulaio, i : Ieraioal Coferece o Numerical Mehods for Meal ormig i Idusry Vol., Bade-Bade, Allemage, 994, pp [5] Hogge M., Poho, J.-P., Efficie implici schemes for rasie problems i meal formig simulaio, i : Numerical ad Physical Sudy of Maerial ormig Processes NUPHYMAT 96, CEME - Ecole Naioale supérieure des Mies de Paris Sophia-Aipolis, race, 996. [6] Chug J., Hulber G. M., A ime iegraio algorihm for srucural dyamics wih improved umerical dissipaios: he geeralized- mehod, J. of Applied Mechaics 6 ( [7] Givoli D., Heisberg I., A simple ime-sep corol scheme, Commuicaio i Numerical Mehods i Egieerig 9 (

22 [8] Géradi M., Aalyse, simulaio e cocepio de sysèmes polyariculés e srucures déployables, cours IPSI, Paris, 997. [9] Cassao A., Cardoa A., A compariso bewee hree variable-sep algorihms for he iegraio of he equaios of moio i srucural dyamics, Lai America Research ( [] Hulber G.M., Jag I., Auomaic ime sep corol algorihms for srucural dyamics, Compuer Mehods i Applied Mechaics ad Egieerig 6 ( [] Dua A., Ramakrisha C.V, Accurae compuaio of desig sesiiviies for srucures uder rasie dyamic loads usig ime marchig scheme, I. J. for Numerical Mehods I Egieerig 4 ( [] Géradi M., Rie D., Théorie des vibraios. Applicaio à la dyamique des srucures, Masso, Paris, 993. [3] SAMTECH, Mauel d uilisaio de Samcef, v8., Liège, Belgique, 999.

23 Résoluio du sysème au emps Pas refusé, aller au emps - : / oui Calcul de l erreur : e e>prcu oui e>prcu/ o o RAT[ PRCU] 3 e oui e<prcu/6 o.5<rat<.9 RAT RAT :RAT Pas accepé, aller au emps 3

24 Résoluio du sysème au emps Pas refusé, aller au emps - rédui IND oui Calcul de l erreur : e e>tol oui RAT IND e>tol o o IND :IND oui IND LCOUNT o RAT> RAT :RAT Pas accepé, aller au emps 4

25 Iéraios de Newo au emps o Aller e boîe Covergece des ieraios oui Aller e boîe 5

26 RAT/RDOWN : RAT oui Premier pas o PRCU :PRCU/3 Aller au emps 6

27 Calcul de l erreur d iégraio e. oui e>prcu/ o oui e>seuil o Aller e boîe 3 Aller e boîe 4 Aller e boîe 5 7

28 oui e>rejl o RAT PRCU e : RAT ICO ERRO 3 Aller au emps oui e>prcu o ICO :ICO oui ICOCO o RAT PRCU e : RAT ICO ERRO 3 RAT PRCU ERRO : RAT ICO ERRO 3 RAT : RAT ERRO ma(e,erro Aller au emps 8

29 RAT RAT Aller au emps 9

30 3

31 oui ICT :ICT ICTCT o RAT [ PRCU ] 5 ERRT : RAT SEUIL :,3SEUIL ICT : RAT : RAT ERRT: ma(e,errt oui CT5 o CT :4 CT :3 Aller au emps 3

32 «opi» «e» «e» «e 3» «référece» 3

33 «opi» «e» «e» «e 3» «référece» Nombre de pas Nombre d iéraio CPU (,s 33

34 99 mm/s Coac avec froeme (µ. Coac sas froeme 34

35 «opi» «e» «e» «e 3» «référece» 35

36 Nombre de pas «opi» «e» «e» «e 3» «référece» Nombre d iéraios CPU (,s 36

37 37

38 38

39 39