Planche n o 6. Séries numériques. Corrigé

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1 Plache o 6 Séries umériques Corrigé Exercice o Pour, o pose u l ère solutio u l ++, u existe l + +O +O O Comme la série de terme gééral,, coverge série de Riema d exposat α >, la série de terme gééral u coverge ème solutio Puisque ++ ted vers quad ted vers, + Comme la série de terme gééral coverge Pour, o pose u u >,, coverge série de Riema d exposat α >, la série de terme gééral u +, u existe et de plus u,, diverge et est positive, la série de terme gééral u diverge l + Pour, o pose u Pour, u > et + + lu ll + l l+o l l + l + l + ll+o Comme la série de terme gééral Doc u e lu e ll l Comme la série de terme gééral l,, diverge série de Riema d exposat α et est positive, la série de terme gééral u diverge e 4 Pour, o pose u llch u existe pour lch l l et u l > Vérifios alors que la série de terme gééral,, diverge La foctio x x lx est cotiue, croissate et l strictemet positive sur ], [ produit de deux foctios strictemet positives et croissates sur ], [ Doc, la foctio x est cotiue et décroissate sur ],[ et pour tout etier supérieur ou égal à, x lx + l x lx dx Par suite, pour, l + + x lx dx dx ll+ ll x lx Doc, la série de terme gééral l est divergete Aisi, u est positif et équivalet au terme gééral d ue série divergete La série de terme gééral u diverge c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

2 5 Pour, o pose u Arccos u existe pour De plus u O e déduit que u siu si > La série de terme gééral 6 Pour, o pose u ère solutio Arccos / + +o est divergete Doc, la série de terme gééral u diverge! u existe et u pour u + u +!! + D après la règle de d Alembert, la série de terme gééral u coverge ème solutio Pour, <! 5!!! 5! est le terme gééral d ue série umérique covergete 7 Pour, o pose u cos > Esuite Puis l cos l cos l cos e u est défii pour car pour, + +o +o 4 +o et doc u e lcos/ e e +o e o e < La série de terme gééral e est divergete et doc la série de terme gééral u diverge 8 l π Arcta + Doc, la série de terme gééral u diverge π/ l π Arcta + + π + π Arcta π < ], π [ et doc cos x 9 Pour, o pose u + cos x dx Pour, la foctio x cos x [, + cos x dx est cotiue sur π ] et positive et doc, u existe et est positif De plus, pour, u π/ + dx π c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

3 π La série de terme gééral coverge et doc la série de terme gééral u coverge π si 4 + si cos +O puis Par suite, π si 4 + l l+o < u e si π 4 + l l l+o e l La série de terme gééral diverge et la série de terme gééral u diverge l + +o et doc u e e +o e + +o La série de terme gééral e diverge et la série de terme gééral u diverge + l l + l o 4 +o +o e > 8 4 +o Aisi, u < Puisque la série umérique de terme gééral coverge, il e est de même de la série umérique de terme gééral u Exercice o Si P est pas uitaire de degré, u e ted pas vers et la série de terme gééral u diverge grossièremet Soit P u polyôme uitaire de degré Posos P X +ax +bx+c u + a + + /4 + a + b + c +O b + a 9 + a +O / + b a 9 +O Si a, u e ted pas vers et la série de terme gééral u diverge grossièremet Si a et b, u b u est doc de sige costat pour grad et est équivalet au terme gééral d ue série divergete Doc la série de terme gééral u diverge Si a et b, u O Das ce cas, la série de terme gééral u coverge absolumet E résumé, la série de terme gééral u coverge si et seulemet si a et b ou ecore la série de terme gééral u coverge si et seulemet si P est de la forme X + X+c, c R Pour, posos u αs Pour, c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

4 < S+ p p p p p S et doc, S S Par suite, u S α o Pour tout réel α, la série umérique de terme gééral u coverge u R, N, u > Par suite,, < u < O e déduit que lim u et par suite u > La série de terme gééral u diverge 4 O sait qu il existe ue ifiité de ombres premiers Notos p N la suite croissate des ombres premiers La suite p N est ue suite strictemet croissate d etiers et doc lim p ou ecore lim p Par suite, < p l et les séries de termes gééraux et l sot de même p p p ature Il reste doc à étudier la ature de la série de terme gééral l Motros que N N, l N l p Soit Alors < et la série de terme gééral p p, N, est ue série géométrique covergete de somme : p p Soit alors N u etier aturel supérieur ou égal à et p < p < p la liste des ombres premiers iférieurs ou égaux à N Tout etier etre et N s écrit de maière uique p β pβ ln où i,, β i α i E et deux etiers lp i disticts ot des décompositios distictes Doc l p p l car N, l l p i i p l N α p i i α l l p i i > p β α,, β α p β N Or lim l et doc l N p La série de terme gééral l diverge et il e est de même de la série de terme gééral p, pβ Ceci motre qu il y a beaucoup de ombres premiers et e tout cas beaucoup plus de ombres premiers que de carrés parfaits par exemple 5 Soit N Posos a p p ++a +a où i,p, a i {,,,9} et a p Alors c p+ Détermios p est e foctio de O a p < p+ et doc p Elog Doc p c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés 4 http ://wwwmaths-fracefr

5 Par suite, u N, u Elog+ α l α l α et la série de terme gééral u coverge si et seulemet si α > séries de Bertrad Redémotros ce résultat qui est pas u résultat de cours La série de terme gééral l est divergete voir o, 4 Par suite, si α, la série de terme gééral divergete car, l α l Soit α > Puisque la foctio x x l α est cotiue et strictemet décroissate sur ],[, pour, x l α x l α x dx puis, pour, e sommat pour, l α x l α x dx x l α x dx α l α l α Aisi, la suite des sommes partielles de la série à termes positifs, de terme gééral terme gééral 6 Soit l α coverge α l α l α est l α, est majorée et doc la série de u + u la + + b < d après u théorème de croissaces comparées et d après la règle de d Alembert, la série de terme gééral u coverge 7 lim u π 4 π 4 Doc u tau + a a a +O + a +O Par suite, la série de terme gééral u coverge si et seulemet si a 8 La foctio x x / est cotiue et croissate sur R + Doc pour, pour N : ce qui fourit Doc u 9 Pour, x / dx 5 5/ x / dx / / 5 +5/ et doc + x / dx / a +O x / dx / + x / dx 5/ 5 + x / dx puis 5 α > La série de terme gééral u coverge si et seulemet si 5 5 α < ou ecore α > 7 u + α + α + α α + α ++ α + α > c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés 5 http ://wwwmaths-fracefr

6 Comme + α Si α >, α, si α, o a α et la série de terme gééral u diverge < u + e l+ α α l + α car l + α terme gééral d ue série de Riema covergete, α et, puisque α >, la série de terme gééral u coverge Fialemet, la série de terme gééral u coverge si et seulemet si α > Exercice o Pour N, π π + π π u si si si π si + π La suite si est alterée e sige et sa valeur absolue ted vers e décroissat La série de + N terme gééral u coverge doc e vertu du critère spécial aux séries alterées Attetio, la suite + est pas décroisate à partir d u certai rag u N + +O +O La série de terme gééral coverge e vertu du critère spécial aux séries alterées et la série de terme gééral O est absolumet covergete O e déduit que la série de terme gééral u coverge u l + +O Les séries de termes gééraux respectifs et O / / sot covergetes et la série de terme gééral est divergete Si la série de terme gééral u covergeait alors la série de terme gééral u O covergerait ce qui est pas Doc la série de terme gééral u / diverge Remarque La série de terme gééral u diverge bie que u soit équivalet au terme gééral d ue série covergete 4 Pour x ],[, posos fx lx x f est dérivable sur ],[ et x > e, f x lx < x l Doc, la foctiofest décroissate sur[e,[ O e déduit que la suite est ue suite décroissate et coverge vers Mais alors la série de terme gééral l coverge e vertu du critère spécial aux séries alterées 5 Si degp degq, u e ted pas vers et la série de terme gééral u est grossièremet divergete Si degp degq, u O et la série de terme gééral u est absolumet covergete domp Si degp degq, u covergetes et la série de terme gééral u coverge domq + O E résumé, la série de terme gééral u coverge si et seulemet si degp < degq 7 e! puis pour,!e ++!! + + u est alors somme de deux termes gééraux de séries!! c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés 6 http ://wwwmaths-fracefr

7 Pour,!! est u etier divisible par et est doc u etier pair que l o ote K Pour, o obtiet si!πe si K π++π+π Détermios u développemet limité à l ordre de + + +!!! + si! quad ted vers!! Maiteat, pour +,!! + et doc + O e déduit que +!! + +!!!! + o Il reste o !! π +!! o +o π Fialemet, si!πe + si +o + π + si!πe est somme de deux termes gééraux de séries covergetes et la série de terme gééral si!πe coverge Si p, si p π p!πe p et la série de terme gééral sip!πe coverge absolumet Exercice o 4 + D après u théorème de croissaces comparées, o Par suite, la série de terme gééral + coverge er calcul Soit S + Alors S + + S S + O e déduit que S ème calcul Pour x R et N, o pose f x Soit N f est dérivable sur R et pour x R, x f x x +x c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés 7 http ://wwwmaths-fracefr

8 Par suite, pour N et x R\{} x +x f + x x +x x x + x x x+ +x + x Pour x, o obtiet Pour, et quad ted vers l ifii, o obtiet de ouveau S Puis o 8 La série proposée est doc covergete de somme o o Pour N, o a +j +j puis + +j + +j + +j+j et + +j + +j + +j +j 4 Par suite, et doc e+e j +e j +j +j!!,! e+ej +e j e+e +i +e i e+e / Ree i / e+e / cos! e+ cos e 4 Soit o + + somme télescopique + c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés 8 http ://wwwmaths-fracefr

9 5 l + +O Doc la série de terme gééral l + coverge Posos S l + puis pour, S l + Puisque la série coverge S lim S lim S p+ avec p S p+ p+ l + p l + l + + p l l++l+ l et quad p ted vers, o obtiet S l + ] 6 Si a, π [ a alors, pour tout etier aturel, ], π [ a Esuite, l cos l +O O a et doc cos > et la série coverge Esuite, a a l cos l cos si a l a l si + l sia a produit télescopique + si l sia + a sia l a a ], π [ a, l cos l 7 Vérifios que pour tout réel x o a thx thx +th Soit x R x sia a a si a si ch x + sh x 4 ex + e x + e x e x ex + e x chx et shxchx ex e x e x + e x ex e x shx puis Par suite, pour x R, thx ce qui reste vrai quad a a th thx +th x shxchx ch x+sh x shx chx thx thx thx Mais alors, pour a R et N th a tha th a tha a, th a th a th a somme télescopique c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés 9 http ://wwwmaths-fracefr

10 Exercice o 5 Il faut vérifier que u a R, Pour N, posos S < u u ++u }{{ } S S th a tha a u Pour N, o a + u car la suite u est décroissate Puisque la série de terme gééral u coverge, lim S S et doc lim u Esuite, < +u + +u u +u Doc les suites des termes de rags pairs et impairs extraites de la suite u N coverget et ot même limite à savoir O e déduit que lim u ou ecore que u o Cotre exemple avec u o mootoe Pour N, o pose u positive et u vers O a doc pas Exercice o 6 p si si est u carré parfait o ul La suite u est sio p < Pourtat, p u p p et la suite u admet ue suite extraite covergeat lim u Soit σ ue permutatio de, Pour N, o pose S S S + σ + σ 4+++ car les etiers σ,, sot strictemet positifs et deux à deux disticts Si la suite S coverge, o doit avoir lim S S ce qui cotredit l iégalité précédete Doc la série de terme gééral σ,, diverge Exercice o 7 Pour N, posos v l+u, w u +u et t Si u, alors u v même ature u D autre part, pour N, +u e t u puis +u e u et t sot aussi de même ature u σ dx +x e w Das ce cas, les séries de termes gééraux u, v et w sot de t u et doc t u Les séries de termes gééraux Si u e ted pas vers, la série de terme gééral u est grossièremet divergete Puisque u e v, v e ted pas vers et la série de terme gééral v est grossièremet divergete Das ce cas aussi, les séries de termes gééraux sot de même ature De même, puisque w u <, o a u w et w e peut tedre vers +u w Efi, puisque u e ted pas vers, il existe ε > tel que pour tout etier aturel N, il existe N N tel que ε dx u ε Pour cet ǫ et ces, o a t +x e > foctio cotiue, positive et o ulle et la suite t e ted pas vers Das le cas où u e ted pas vers, les quatre séries sot grossièremet divergetes c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

11 Exercice o 8 Pour N, posos u +! u + +!! e Soit N! O a < déduit que o 4 u o o Doc O e o o o 4 4 Fialemet +! e! o 4 Exercice o 9 Pour N, posos u si π + D après la formule du biôme de Newto, + A +B où A et B sot des etiers aturels U calcul cojugué fourit aussi A B Par suite, + + A est u etier pair Doc, pour N, u si A π π si π Mais < < et doc O e déduit que u π terme gééral d ue série géométrique covergete Doc la série de terme gééral u coverge Exercice o Pour N u, o a u et doc u coverge, la série de terme gééral coverge Exercice o Pour, v Doc, pour u + Comme la série terme gééral u + u + +u +u +u +u +u +u et d autre part v +u c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

12 v +u +u somme télescopique Si la série de terme gééral u coverge alors lim u et doc < u l + u Doc la série de terme gééral l+u coverge ou ecore la suite l +u coverge vers u certai réel l Mais alors la suite +u coverge vers le réel strictemet positif P e l Das ce cas, la suite v coverge vers P Si la série de terme gééral u diverge alors la série de terme gééral l +u diverge vers et il e est de même que la suite +u Das ce cas, la suite v coverge vers Exercice o Etudios tout d abord la covergece de la série de terme gééral u S Si u S ted vers alors < u S l u l S S S ls ls Par hypothèse, lim S O e déduit que la série de terme gééral ls ls est divergete car ls ls ls ls Das ce cas, la série de terme gééral u diverge ce qui est aussi le cas si u e S S ted pas vers Doc, das tous les cas, la série de terme gééral u diverge S Si α, puisque S ted vers, à partir d u certai rag o a S α S et doc u S α de terme gééral u diverge S α Si α >, puisque la suite S est croissate, < u S α S S S α S S dx S α S qui est le terme gééral d ue série télescopique covergete puisque cas, la série de terme gééral u S α coverge La série de terme gééral u S α S dx x α α S α S α u S Doc, si α, la série S α, ted vers quad ted vers l ifii Das ce coverge si et seulemet si α > Exercice o Si α <, u α et si α, u + Doc si α, u e ted pas vers La série de terme gééral u diverge grossièremet das ce cas O suppose doréavat que α > Pour tout etier aturel o ul, u u coverge absolumet si et seulemet si α > Il reste à étudier le cas où < α O a u série de terme gééral α α + La suite α α et doc la série de terme gééral α ted vers e décroissat et doc la coverge e vertu du critère spécial aux séries alterées O e déduit que la série de terme gééral u coverge si et seulemet si la série de terme gééral E résumé α coverge ou ecore si et seulemet si α > c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

13 Si α, la série de terme gééral + α diverge grossièremet, si < α, la série de terme gééral + α α diverge, si < α, la série de terme gééral + α est semi covergete, α α si α >, la série de terme gééral + α α coverge absolumet Exercice o 4 Pour N, o ote S la somme des premiers termes de la série cosidérée et o pose H H l+γ+o Soit m N S mp+q + ++ p + mp m p+ ++ mp mq mp q mp + p+ ++ 4p m q+ ++ mq mq H mp H mp +H mq m lmp+γ lmp+γ+lmq+γ+o l+ l Aisi, la suite extraite S mp+q m N coverge vers l+ l p q Il est cou que q q p +o q Motros alors que la suite S N coverge Soit N Il existe u uique etier aturel o ul m tel que m p+q < m +p+q à savoir m E p+q Soit alors ε > S S mp+q m p+ ++ m +p + m q+ + m +q p m p+ + q m q+ + m m m Puisque lim m, il existe N tel que pour, Pour, o a alors m < ε et aussi S m p+q l p l q S l p q l S S mp+q + S m p+q l p l + q m S m p+q l p q l < ε + ε ε O a motré que ε >, N / N, S coverge et a pour somme l+ l p q < ε l+ l p q < ε et doc, la série proposée Exercice o 5 La série proposée est le produit de Cauchy de la série de terme gééral,, par elle même α Si α >, o sait que la série de terme gééral coverge absolumet et doc que la série proposée coverge α c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

14 Si α, pour < < o a < maximum e Doc u α avec α 4 la foctio x x x admet sur [,] u 4 α Comme α, la série proposée diverge α 4 4 Si α <, u α et doc u e ted pas vers Das ce cas, la série proposée diverge grossièremet Exercice o 6 Soit N Doc !! 5 +! + 5 +! 8 e 5e +5e 8 e 5 +! 4e+ + +! 4e+9 Pour N, o a u + + a++ u Par suite +a+u + +u +au + au puis a u +a+u + +au +a+u + a+u +a+u + Si a, N, u Das ce cas, la série diverge + Si a, N, u a +a+u + a a a++u + Si a >, la suite u est strictemet positive et la suite des sommes partielles S est majorée par terme gééral u coverge Il e est de même de la suite a++u + Soit l lim Si l, u + Doc la série de a a++u + l +a+ cotredisat la covergece de la série de terme gééral u Doc l et si a >, u a Si < a <, pour tout N, u + Das ce cas, la série diverge + Exercice o 7 Pour tout etier aturel o ul, < gééral u coverge si et seulemet si p > Exercice o 8 p p p + p O applique la règle de Raabe-Duhamel qui est pas u résultat de cours! Pour N, posos u a+a+a+ p et la série de terme p u + + u a a+ + a+ +O a +O, c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés 4 http ://wwwmaths-fracefr

15 et «o sait» qu il existe u réel strictemet positif K tel que u Exercice o 9 K a et π, π π et + π 8 Exercice o Pour N, posos R + ted vers quad ted vers Puisque la série de terme gééral,, coverge, la suite R est défiie et < et puisque la série de terme gééral coverge, la règle de l équivalece des restes de séries à termes positifs covergetes permet d affirmer que ou ecore R R + lim N N + lim N +o N + Plus précisémet, pour N, R surtout e pas décomposer e deux sommes somme télescopique + + Or + puis 6 et doc R c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés 5 http ://wwwmaths-fracefr

16 Esuite 4 +o + et 4 + Puis lim N N ou ecore lim N o NN + et fialemet lim N R lim N N + NN N + +o + 4 +o o o 4 + +o + 6 +o 4 Exercice o est ue série à termes positifs grossièremet divergete ère solutio < car e +o D après la règle de l équivalece des sommes partielles de séries à termes positifs divergetes, p p p p p p La somme est équivalete à so derier terme ème solutio Pour, e déduit que p p p p + + p p p p p p p Doc p p p p +o+o +o p p p p p o O Exercice o Soit p N Pour N \{p}, p p p Doc pour N > p, +p c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés 6 http ://wwwmaths-fracefr

17 N, p Maiteat, N+p N p+ p p p N, p p p +p p N p + N p+ ++ N+p Puisque p est costat quad N varie, N, p Pour N doé, o a aussi N+p lim + p p + p N p, p N+p p p+ N+p, p N p+ est ue somme de p termes tedat vers quad N ted vers N+p N N p+ p p p 4p puis p N, p p N O e déduit que la suite double p p N, p p N p N, p,p N, p et doc N, p p p et doc 4 p π 8 est pas sommable p 4p π 8 Exercice o La suite est alterée e sige et sa valeur absolue ted vers e décroissat Doc la série de terme + N gééral,, coverge e vertu du critère spécial aux séries alterées + Soit N + t t + t + dt t dt +t dt+ +t dt t + Mais +t dt t + dt t + t + dt O e déduit que dt ted vers +t +4 +t quad ted vers et doc que Calculos cette derière itégrale Doc, X + X+X+jX+j X+ X X X t dt X+ + j X+j + j X + X+j X+ + X+ X X+ + [ lt+ lt t++ ] t Arcta l+ π 6 π 6 l+π 9 c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés 7 http ://wwwmaths-fracefr

18 + l+π 9 Exercice o 4 Pour tout etier, o a v v u ce qui reste vrai pour si o pose de plus v Par suite, pour N Mais alors, pour N N, Par suite, v u v v v v v v + v v v + v +v v v N v u v N N v N u v u N v v v / N / v iégalité de Cauchy-Schwarz N / N / Si v >, o obtiet après simplificatio par v puis élévatio au carré N N v 4 u, N / cette iégalité restat claire si v Fialemet, N N v 4 u 4 u La suite des sommes partielles de la série de terme gééral v est majorée Doc la série de terme gééral v coverge et de plus, quad N ted vers l ifii, o obtiet Exercice o 5 Soit N v 4 u Par suite, pour N N, u π 4 + +t dt + t + +t dt t dt +t dt t + +t dt N u N t + +t dt t t N+ +t dt t +t dt+ N+ t N+ +t dt c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés 8 http ://wwwmaths-fracefr

19 Or N+ t N+ +t dt, il e est de même de N+ plus t N+ +t dt t N+ dt N+ Comme ted vers quad N ted vers N+ t N+ +t dt O e déduit que la série de terme gééral u, N, coverge et de u t +t dt t [ t +t ] t +t dt +t dt 4 π 8 π π 8 c Jea-Louis Rouget, 5 Tous droits réservés 9 http ://wwwmaths-fracefr