Heuristique basée sur la mémoire adaptative pour le problème de tournées de véhicules sélectives

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1 Heursque asée sur la mémore adapae pour le prolème de ournées de écules séleces Mad Kemaem LOGIQ Insu Supéreur de Geson Indusrelle Sfax, Tunse. Frédérc Seme LAMIH-ROI ISTV Unersé de Valencennes Valencennes, France Ha Cacou LOGIQ Insu Supéreur de Geson Indusrelle Sfax, Tunse Résumé - Nous présenons dans ce arcle une méode approcée, asée sur la mémore adapae, pour la résoluon du Prolème de Tournées de Vécules Séleces SVRP). Nous commençons par la défnon du prolème. Ensue nous précsons le prncpe général de nore approce ans que ses prncpales caracérsques. Nore méode a monré ses capacés pour résoudre le SVRP e peu êre consdérée comparale aux eursques précédemmen proposées dans la léraure. Mos clés : Transpor, VRP, SVRP, STSP, Heursque, recerce aoue, mémore adapae. 1 Inroducon Dans ce arcle, nous présenons une eursque pour la résoluon approcée du Prolème de Tournées de Vécules Séleces PTVS) ou Selece Vecle Roung Prolem SVRP). Le SVRP es une arane du Prolème de Tournées de Vécules aec Gans PTVG). Le SVRP peu êre défn comme su: So G=V, E) un grape comple, où V= { 1, 2,, n } es l ensemle de n sommes, 1 e n représenen des dépôs. E es l ensemle des arrêes de G. So g ³ 0 le gan de caque somme de G aec g 1 = g n = 0. So d j les dsances relan caque deux sommes e j de V. Le SVRP consse à déermner un ensemle P = { p 1,...,p m } de m ournées élémenares assoces a m écules conenan cacune les sommes 1 e n comme somme de dépar e somme d arrée. Les m ournées son denfées de elle sore que la dsance de cacune ne dépasse pas une longueur lme L e le gan oal récolé par l ensemle des m ournées so maxmsé. Une des caracérsques du SVRP es donc que ous les sommes peuen ne pas êre sés. Dans la léraure, le SVRP a éé raé de façon approcée par Cao e al. en 1996 [1], Hao e al. en 2005 [5] e Arce e al. en 2007 [4] sous le nom du "Team Oreneerng Prolem" TOP) lorsque deux dépôs dfférens son consdérés. Un cas parculer du SVRP, où les deux dépôs son confondus, esraé par Cacou e al. en 2005 [12,13]. Les premères enaes de résoluon exace du TOP on éé effecuées par Bousser e al. en 2005 [9]. Dans la sue de ce arcle, nous décrrons le processus général de nore eursque à mémore adapae à la secon 2. A la secon 3 nous déallons les dfférens élémens de l eursque proposée, pus nous présenons les résulas numérques oenus à la secon 4. Fnalemen nous conclurons à la secon 5. 2 Descrpon générale de l eursque Nore eursque es asée sur le concep de la mémore adapae. Ce concep a éé ulsé fréquemmen pour résoudre pluseurs prolèmes d opmsaon don le plus proce du SVRP es le Prolème de Tournée de Vécules aec conranes de Capacés CVRP). 2.1 Prncpe Nore eursque su le prncpe de la méode appelée BoneRoue proposée par Taranls e Kranouds pour résoudre le CVRP [11]. Ce prncpe consse à socer, nalemen, un ensemle de soluons dans une mémore, pus à générer à caque éraon une soluon en manpulan les soluons socées dans la mémore. Cee mémore es mse à jour, d'une façon dynamque, en nrodusan les nouelles soluons générées. La dfférence majeure enre la méode ulsée par Roca e Tallard [10] e celle ulsée par Taranls e Kranouds [11], c'es que la premère ulse unquemen une mémore de

2 soluons de onnes qualés e la deuxème accepe en plus les soluons de moyennes e de mauases qualés. Une grande mporance es aruée à la façon aec la quelle les nouelles soluons seron générées. La méode de généraon des nouelles soluons, ulsée dans BoneRoue, es conenue dans son appellaon qu es à l'orgne du mo Os Bone selon la ermnologe anglase) représenan une séquence de sommes caîne). En effe, son prncpe es d'exrare les Bones en commun enre les soluons de la mémore, ensue, de consrure une nouelle soluon en paran de l'ensemle des Bones exras. Ces Bones doen sasfare deux crères fxés par l'ulsaeur a saor la alle des Bones à exrare TB le nomre des sommes de la caîne) e la fréquence FB mnmale requse de l'apparon d'une Bone dans les soluons de la mémore. 2.2 Processus général L eursque, proposée dans ce arcle, su un processus gloal décr dans ce qu su. Elle commence à générer un ensemle de soluons nales en ulsan la méode à deux pases proposée par Cacou e al pour la résoluon du SVRP [12,2]. Ces soluons son de moyennes qualés, l eursque acuelle applque une procédure de recerce aoue sur caque soluon afn d amélorer d aanage sa qualé. Les soluons amélorées par la procédure aoue sonrées selon leurs qualés e socées dans la mémore des soluons. Les pases déjà menonnées son applquées une seule fos, les procanes pases seron répéées an que le crère d arrê n es pas sasfa. Éape 1: Générer un ensemle de soluons pour le SVRP par la méode à deux pases proposée par Cacou e al. [12,2]. Éape 2: Amélorer les soluons générées par une méode de recerce aoue. Éape 3: Socer les soluons générées dans la mémore des soluons. Répéer les éapes suanes an que le crère d'arrê n'es pas sasfa Éape 4: Exrare les Bones en communs enre les soluons de la mémore en respecan les paramères TB e FB de alle e de fréquence mnmale des Bones. Éape 5: Ulser la méode à deux pases pour générer une nouelle soluon en consdéran les Bones exraes. Éape 6: Ulser une méode de recerce aoue pour amélorer la soluon exrae. Éape 7: Élmner de la mémore la soluon de mauase qualé. Éape 8: Insérer dans la mémore la soluon générée par l'éape 6. Fgure 1. Scéma général de l eursque à mémore adapae En respecan les paramères TB e FB, nore eursque exra les Bones de alle TB qu fguren au mons FB fos dans l ensemle des soluons de la mémore. En consdéran les Bones comme éan des sommes du grape, la méode à deux pases [12,2] es applquée pour générer une nouelle soluon au SVRP. Cee soluon es amélorée par la procédure de recerce aoue ulsée lors de la généraon des soluons nales. La soluon de plus mauase qualé, socée dans la mémore, sera remplacée par la nouelle soluon même s cee dernère es de mauase qualé e à condon qu elle ne so pas déjà présene dans la mémore. La mémore des soluons sera rée e une nouelle exracon des Bones aura leu. Le processus de nore eursque s arrêe dés qu un nomre d éraons sans améloraon es aen. Le processus général de nore eursque es décr par la fgure 1. 3 Déals de l eursque Dans cee secon nous présenons en déal les procédures e les élémens, ulsés dans nore eursque, déjà menonnés dans son scéma général. 3.1 Généraon des soluons nales Comme déjà menonné, l eursque commence par la généraon d un ensemle de TM soluons du SVRP pour les socer dans la mémore, aec TM la alle de la mémore. Cee pase es assurée par la méode à deux pases pour la résoluon du SVRP proposée par Cacou e al. [12,2]. Brèemen, cee méode consse à consrure sur le grape G une paron de m classes en ulsan la méode d agrégaon auour des cenres moles appelée - means) éudée dans un cadre formel par Dday en 1971 [8]. Pour des rasons de performance la méode de classfcaon ulsée par Cacou e al. ulse la dsance de Maalanos comme mérque d éaluaon. Une des caracérsques de la méode -means es que la soluon fnale dépend des cox naux des cenres des classes. En deuxème pase, l eursque applque une eursque de rouage sur caque classe de la paron fourne. Cee procédure a éé proposée par Gendreau e al. [3] pour résoudre le Prolème du Voyageur de Commerce Sélecf STSP). En résolan le STSP sur caque classe, nous oenons une soluon gloale pour le SVRP en consdéranoues les ournées. Afn d aor dfférenes soluons, nore eursque applque la méode à deux pases TM fos aec des cox aléaores unformes des cenres naux des classes lors de l applcaon de la méode -means. 3.2 Procédure d améloraon aec la recerce aoue Les soluons du SVRP fournes par la méode à deux pases son de qualés moyennes. En effe, l effcacé de la méode à deux pases a éé monrée unquemen pour les prolèmes du SVRP à un seul dépô ou à deux dépôs rès proces. Afn de reméder à ce prolème, nous aons proposé une procédure asée

3 sur la recerce aoue pour amélorer les soluons fournes par la méode à deux pases. La méode d améloraon proposée su les prncpes de ases de la recerce aoue. En effe, l'algorme commence la recerce par la soluon nale P à l'ade de la méode à deux pases. Ensue l nalse les paramères els que le nomre d'éraons maxmal ertmax, la alle de la lse aou Tl, les fréquences d'aspraon, d'nensfcaon e de dersfcaon fa, f e fd e déclare P comme la melleure soluon oenue P. Après les éapes d'nalsaon, l'algorme répèe une procédure aoue an que le nomre d'éraons er n'aen pas ertmax. La procédure aoue consse à cosr le melleur osn W de la soluon P dans son osnage. S W es melleure que la melleure soluon renconrée P alors W es consdérée comme la melleure soluon renconrée e le compeur des éraons es ms à zéro. Des procédures d'aspraon, d'nensfcaon e de dersfcaon son applquées s respecemen) le nomre d'éraon enregsré er es dsle par fa, f, fd. Enfn, er do êre ncrémené par 1 e P sera remplacée par sa melleure soluon osne W même s cee dernère n'amélore pas la melleure soluon renconrée P. Le scéma général de la procédure d améloraon es décr par la fgure 2. Éape 1: So la soluon P de gan oal G P) générée par la méode la méode à deux pases. Éape 2: Inalser la melleure soluon renconrée P = P, le nomre d'éraon maxmal ertmax, fréquences d'aspraon fa, de dersfcaon fd, d'nensfcaon f, la alle Tl de la lse aou lse. Répéer les éapes de 3 à 9 jusqu'à er=ertmax W de P du Éape 3: Séleconner le melleur osn osnage défn, Éape 4: Déclarer comme aou les arus du mouemen prs en consdéraon lors du passage de P à W, Éape 5: S G W ) > G P ) alors P : = W e er=- 1, Éape 6: S er es dsle par fa alors applquer aspraon, Éape 7: S er es dsle par f alors applquer nensfcaon, Éape 8: S er es dsle par fd alors applquer dersfcaon, Éape 9: P : = W, er++. Fgure 2. Scéma général de la procédure d améloraon aec la recerce aoue Le passage d'une soluon P à une soluon osne W su une srucure de osnage en précse. Au déu de l'algorme aou, une procédure es applquée une seule fos pour déermner pour caque somme { } Î V - 1, n l'ensemle V ~ conenan ses pp plus proces sommes. Pour une soluon courane P = { p,..., 1 p,..., p m } un osn W es oenu en supprman un somme p de sa ournée p pus en léran un aure somme q de l ensemle V ~ p s'l apparen à une ournée p de la soluon courane. Après la suppresson, une enae d'améloraon aec écange sera applquée dans le u d'augmener les gans des ournées. L écange es effecué enre les sommes non sés par P y comprs les sommes lérés. S la permuaon aou à une augmenaon du gan de la ournée, elle es aldé e la procédure passe à un aure somme; snon, elle n es pas consdérée e la procédure passe à un aure somme de la ournée courane ou d'une aure ournée s nécessare. La procédure d écange es sue par une aure procédure d'améloraon aec nseron. Elle consse à essayer d'nsérer l'un des sommes resans non sés) dans l'une des ournées de la soluon récupérée après la permuaon. Il es à noer que la aldaon d'une permuaon ou d une nseron n'es effecuée que dans le cas où ces dernères ne olen pas la conrane de longueur e le gan de la ournée acuelle augmene naurellemen dans le cas d'nseron). La léraon d'un somme ans que les procédures d'améloraon seron applquées sur caque somme de caque ournée de la soluon P aec ous les sommes de son ensemle V ~. A caque fos la soluon osne W oenu sera examnée, dans le cas où elle fourn la melleure soluon du osnage elle sera sauegardé dans W comme éan le melleur osn de la soluon P e ses deux couples d'arus =, p = p ) e p ' = q, p ' = p ) comme éan les sommes e ' son lérés respecemen) des ournées p e p. Enfn, e lors de la sélecon du melleur osn W, les couples, p ) e, p ) son déclarés aou pendan ' ' Tl. Nous aons déeloppé la lse aoue lse sous forme d une marce de alle n m). Lors de la déclaraon d'un aru, p ) comme un élémenaou lse, p ) es ms à er+tl. Tan que lse, p ) er le mouemen défn par l'aru >, p ) es consdéré aou. De cee façon la érfcaon de l'nerdcon d'un mouemen es plus rapde que l'ulsaon d'une lse FIFO. A caque fa éraons la procédure d'aspraon es applquée e elle consse à prendre caque couple d'arus aou, p ) e effecuer des enaes de d écange du somme aec les sommes de la ournée

4 p de la soluon acuellep, ou en des enaes d'nseron s cela ne ole pas la conrane de longueur maxmale. A caque f éraons sans améloraon, une procédure d'nensfcaon es applqué dans le u d'amélorer la soluon courane. Cee pase consse à applquer sur caque ournée de la soluon courane l'algorme Genus proposée par Gendreau e al. [6] pour résoudre le Prolème de Voyageur de Commerce TSP). L'algorme Genus perme de corrger, dans la mesure du possle, caque ournée afn de rédure sa longueur. La réducon des longueurs des ournées peu engendrer l'nseron d'aure sommes qu ne fguren pas dans la soluon e d ndure une augmenaon du gan oal. Après fd éraons sans améloraon e lors de l'écec de la procédure d'nensfcaon, une procédure de dersfcaon es appelée. Cee procédure consse à cosr les deux ournéesp1ep 2 de gans les plus fales dans la soluon acuelle. Ensue, l s'ag de couper caque ournée à son mleu e de reconnecer les canes générées en applquan le prncpe de la recerce locale 2-op proposée par Ln [7]. Après cee ransformaon, s l'une des deux ournées modfées dépasse la longueur maxmale L, une procédure de correcon de roue sera applquée. Cee procédure consse à élmner le somme de la ournée p an que la longueur de la ournée ole la longueur maxmale L, aec ïì d j-1) j + d j j+ 1) - d = arg maxí j ïî g j 3.3 Exracon des Bones j-1) j+ 1)," j p ïü Îp ý ïþ L exracon de l ensemle des Bones en commun enre les soluons de la mémore ce fa de la façon suane. En commençan par la soluon P de melleure qualé e par sa ournée p de plus grand gan, les TB premers sommes de la ournée p seron séleconnés. Ensue, une pase de recerce, dans les aures ournées, perme d denfer la présence de la séquence des sommes séleconnés. S cee séquence des TB sommes exse au mons FB fos dans la mémore de soluon, elle es séleconnée parm les Bones en commun e la procédure passe au TB sommes suans de la ournée p de la soluon P. Snon, une aure séquence de sommes sera séleconnée en décalan la séquence acuelle par un seul somme. Tou ce raemen es applqué sur oues les ournées des soluons selon l ordre décrossan de leurs qualés. Il es mporan de noer que dans le cas où la soluon générée exse déjà dans la mémore conenan les soluons e afn d éer le prolème de cyclage, la procédure d exracon des Bones commence par la deuxème soluon de melleure qualé e non plus par la premère. 3.4 Consrucon d une nouelle soluon Après l exracon des Bones, la consrucon d une nouelle soluon es assurée par la méode à deux pases en consdéran les Bones exras e les aures sommes du grape. La parcularé de cee pase résde dans le fa qu l fau conserer l nformaon fourne par les Bones déjà exras. De ce fa, l fau conserer à la mesure du possle la srucure de ces Bones dans la nouelle soluon générée. Pour cela e aan d applquer la méode à deux pases, nore eursque consdère les Bones, prées de leurs exrémés Ex1 e Ex2, comme éan des sommes noés. Un noueau grape es donc généré or fgure 3). Fgure 3. Transformaon du grape Fgure 4. Caracérsques du grape ransformé Ce noueau grape possède de nouelles caracérsques els que les dsances e les gans assocés aux ancens e aux noueaux sommes. Pusque caque Bone prée de ses exrémés es consdérée comme un somme, sa se par une ournée ndu une dsance supplémenare dans sa longueur. Pour cela, cee nformaon do êre nrodue mplcemen lors de la défnon des caracérsques du noueau grape. Afn de conserer les Bones dans la nouelle soluon, l fau fare de sore que s l une des exrémés d un Bone es sé par une ournée, ous les aures sommes d un Bone soen sés. Pour ce fare nous aons défn les nouelles caracérsques du noueau grape comme su or la fgure 4): Les dsances d enre les sommes non élmnés rese ncangées. Les dsances j d e un somme non élmné enre caque noueau somme n éan pas une des

5 exrémés ou un noueau somme aleur nfn d = d = ). Les dsances noueau somme d ex1 e d ex 2 prennen la enre caque e ses exrémés ex 1 e ex2 prennen la moé de la dsance de la caîne forman le noueau somme. Les gans des sommes non élmnés son ncangés. Le gan g d un noueau somme prend la somme des gans des sommes forman la Bone correspondane. Les gans des exrémés d un noueau somme son annulés g = g 0 ). ex1 2 = ex Lors de l applcaon de la méode à deux pases sur le noueau grape, s l un des sommes es séleconné, cela n es possle qu après sélecon de l une de ses exrémé ex1 ou ex2. Après la se de ce somme la méode cos olgaoremen l aure exrémé pour sorr. Tou cela es du à l nroducon de la dsance nfn e du gan nul. De cee façon, nous conserons la forme des Bones dans la soluon générée. La ransformaon d un grape G de alle n en un grape G présene un aanage dans cerans cas. En effe, le nomre de sommes n du noueau grape G es déermnée comme su : n' = n + NB 3 - TB)) aec NB es le nomre des Bones exraes. Donc, dans le cas où TB es supéreur à 3 la alle du grape es rédu. 4 Résulas expérmenaux Après un cerans nomre de ess numérques, nous aons fxé les paramères de nore eursque comme n / 5 m), FB :=2, su : TM :=5, TB := é ù Tl := n m) / 2, ertmax :=5 lors de la généraon des soluons nales e ertmax :=2 lors de l améloraon de la nouelle soluon générée, fa :=1, fd := ertmax/2, f :=ertmax/4, le nomre d éraon maxmale ermax sans améloraon de l eursque es fxé à 10. Nous aons esé nore eursque sur une macne Inel Penum 4, 3 Gz e de 512 Mo Ram. Nous aons ulsé les 353 nsances encmar du pulées par Cao e al. [1]. Ces nsances son de dfférenes alles n=102, 100, 66, 64, 62, 33, 32, 21 e pour m=2, 3, 4 ournées. Pour n e m fxés un sous-ensemle d'nsances es oenu en aran la longueur maxmale L d'une ournée. Arce e al. [4] on proposé quare eursques e on monré que celles asées sur la recerce à osnage arale comme éaen les melleures eursque. En effe, celle nommé "FasVNS" es consdérée comme le melleur comproms au pon de ue qualé de soluon e du emps de calcul. Par conre celle nommée "SlowVNS" fourn des soluons melleures mas au ou d un emps de calcul mporan. Ces deux méodes son consdérées comme les melleures en se comparan aux méodes déjà exsanes dans la léraure. Pour cela nous comparons les résulas oenus à ceux fourns par ces deux méodes. FVNS SVNS MA N M G o G o G o Toal Taleau 1. Résumé des résulas numérques Le aleau 1 présene un résumé des résulas numérques fourns par nore méode. Il présene, pour caque aleur de n fxé, les oaux des gans oenus par l'approce pour des dfférenes aleurs de m e L. Unquemen les aleurs maxmales oenues par "FasVNS" e "SlowVNS" son consdérées. Le aleau 2 présene pour caque alle de prolème le emps d exécuon moyen es maxmum correspondan à caque méodes. Nous consdérons les noaons suanes : SVNS : Les résulas correspondan à "SolowVNS". FVNS : Les résulas correspondan à "FasVNS". MA : Les résulas correspondan à nore approce. G o : La somme des gans oenus par l ensemle des nsances T moy : Le emps moyen pour la résoluon de l ensemle des nsances de alle correspondan T max : Le emps maxmum pour la résoluon d une nsance de alle correspondan. Rao : mesure la performance de la méode en enan compe de la macne sur laquelle esesée. Toal : correspond au gan oal oenu en résolan oues les nsances par la méode correspondane.

6 FVNS n T moy Rao T max Rao , , , , , , , , ,2 -- 1, ,1 -- 1, ,0 -- 0,0 -- SVNS n T moy Rao T max Rao ,9 20,3 1118,0 9, ,9 30,0 911,0 10, ,9 4,7 394,0 13, ,9 16,9 310,0 15, ,2 67,9 19,0 19,0 32 7,8 59,8 22,0 22,0 21 0,0 -- 1,0 -- MA n T moy Rao T max Rao ,7 6,2 329,6 2, ,2 7,1 197,1 2, ,1 1,2 91,0 3, ,8 5,7 97,1 5,2 33 8,3 58,7 23,5 25,0 32 7,2 58,5 24,1 25,6 21 2,9 -- 5,7 -- Taleau 2. Résumé des emps d exécuon CPU En oseran le aleau 1, nous remarquons que pour la majoré des classes d nsances nore approce es melleure que "FasVNS" e mons onne que "SlowVNS". En moyenne, la qualé des soluons oenues par MA es à 99.93% des qualés des soluons oenus par SVNS elle dépasse FVNS de 0.09%. Au pon de ue emps d exécuon, nous remarquons que MA es neemen mons rapde que FVNS e plus rapde que SVNS, sauf pour quelques excepons pour les prolèmes de pees alles. Vue la non-conformé des macnes où les ess on éé effecuée, nous aons ulsée la relaon, pour calculer le rao enre les performances des macnes, ulsée par Prns pour éaluer dfférens algormes de résoluon du VRPC [14]. Selon le logcel d éaluaon de performance "SSofware Sandra Sandard", nore macne fonconne aec une performance P =3705 Mflops e celle ulsée pour eser "FasVNS" e "SlowVNS" une performance P =3492 Mflops. Nous aons prs "FasVNS" comme méode de référence e nous aons calculé le rao pour caque méode selon la formule suane : Ta Pa Raoa = T P a aec T a le emps d exécuon de la méode que nous oulons éaluer e T es le emps d exécuon de la méode de référence "FasVNS". En enan compe de ces raos e malgré la dfférence enre les macne, MA es consdérée plus rapde que SVNS pusque ces raos son neemenrès nféreurs à ceux de SVNS. Au pre des cas, nore approce nécesse quare mnues pour résoudre une nsance face à 2 mnues pour FVNS e 10 mnues pour SVNS. En fn, nous pouons dre que nore approce présene un noueau comproms enre la qualé de soluon e le emps d exécuon pour SVRP. 5 Concluson Dans ce arcle nous aons présené une approce eursque qu comne une méode à deux pases e une procédure de recerce aoue au sen d un processus d une recerce à mémore adapae pour la résoluon du prolème de ournées de écules séleces. Expérmenalemen, nous aons pu oserer que nore approce produ des soluons de onne qualé e peu êre consdérée comme un noueau comproms en la comparan aux aures méodes déjà déeloppées pour résoudre le SVRP. Références [1] I.-M. Cao, B.L. Golden, E.A. Wasl: "Te Team Oreneerng Prolem". European Journal of Operaonal Researc, ol 8, pp , [2] H. Cacou, M. Kemaem, F. Seme. "Le Prolème de Tournées de Vécules Séleces: exensons de l approce asée sur l algorme - means", Meaeursquse, Hammame, Tunse, noemre, [3] M. Gendreau, G. Lapore, F. Seme : "A Tau Searc Heursc for e Undreced Selece Traellng Salesman Prolem", European Journal of Operaonal Researc ol 106, pp , [4] C. Arce, A. Herz, M.G. Speranza : "Meaeurscs for e Team Oreneerng Prolem", Journal of Heurscs, ol 13, pp 49-76, [5] H. Tang, E. Mller-Hoos : "A Tau Searc Heursc for e Team Oreneerng Prolem", Compuers and Operaon Researc, ol 32, pp , [6] M. Gendreau, A. Herz, G. Lapore : "New nseron and posopmzaon procedures for e raellng salesman prolem". Operaons Researc, ol 40, pp , 1992.

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