- COURS béton armé - Eurocode 2

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1 - COURS béton armé - Eurocode UX Callement. Jutcaton v à v de l E.L.U.R. de poutre de ecton rectangulare et en «Té»oume à l eort tranchant Bblographe Poerpont de M : J-M. Jaeger - T. Genet - C. Boleau - F. Lebrun cour ECP (dapotve expérmentaton) te SETEC TPI ércaton de contrante tangentelle uvant l eurocode Henr Thoner Franco Lev et Pero Marro annale de l ITBTP n 508 novembre 99 et n pplcaton de l eurocode. Calcul de bâtment en béton Jean-rmand Calgaro et Jacque Cortade Pree de l école de Pont et Chauée Poutre en béton : eort tranchant et belle d appu Jacque Cortade te : btp.equpement.gouv.r Tome 7 Concepton et calcul de tructure de bâtment L Eurocode pratque Henr Thoner Pree de l école de Pont et Chauée S vou détecte de erreur (et l y en a), merc de ben voulor me le communquer à l adree : chrtan.albouy@actouloue.r

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3 SOMMIRE HYPOTHÈSES...6 COMPORTEMENT EXPÉRIMENTL D'UNE POUTRE EN B.. SOUS L'CTION DE L'EFFORT TRNCHNT :...6 JUSTIFICTION IS IS DE L'E.L.U.R. DES PIÈCES PRISMTIQUES SOUMISES À DES SOLLICITTIONS TNGENTES POUTRE EN BÉTON RMÉ DE SECTION RECTNGULIRE DONT LE FERRILLGE EST CONSTITUÉ UNIQUEMENT D RMTURES LONGITUDINLES EN PRTIE INFÉRIEURE...8 NOTTIONS UTILISÉES...0 MODÉLISTION : (TREILLIS DE RITTER-MÖRSH)..... ELBORTION D UN MODÈLE STBLE RELTIONS ENTRE L EFFORT TRNCHNT ET LES EFFORTS DNS LES MONTNTS ET LES DIGONLES DU TREILLIS (RMTURES D ÂME DROITES) DÉTERMINONS L EFFORT DNS UN MONTNT : DÉTERMINONS L EFFORT DNS UNE DIGONLE (BIELLE): MODÉLISTION : (TREILLIS DE RITTER-MÖRSH) RMTURES D ÂME INCLINÉES...4 ÉTUDE D'UN TRONÇON ÉLÉMENTIRE:...4 FORCE DE TRCTION DES RMTURES LONGITUDINLES DUE À L EXISTENCE DE L EFFORT TRNCHNT SPECT NORMTIF DÉTERMINTION DU DÉCLGE PR H. THONIER ( TOME 7 CONCEPTION ET CLCUL DES STRUCTURES DE BÂTIMENTS PGE 50)...7.LIMITES DE CISILLEMENT PROCÉDURES GÉNÉRLES DE ÉRIFICTION À L RÉSISTNCE À L EFFORT TRNCHNT CLUSE 6..()P PRINCIPES DE ÉRIFICTION À L EFFORT TRNCHNT, POUTRES DE HUTEUR CONSTNTE... ÉLÉMENTS NE NÉCESSITNT PS D RMTURES D EFFORT TRNCHNT PRISE EN COMPTE DU BÉTON: ÉLÉMENTS NE NÉCESSITNT PS D RMTURES D EFFORT TRNCHNT EN FLEXION COMPOSÉE FLEXION SIMPLE UTRE FORME DE {6..}...4 ÉLÉMENTS POUR LESQUELS DES RMTURES D EFFORT TRNCHNT SONT REQUISES EFFORT TRNCHNT RÉSISTNT : SPECT RÉGLEMENTIRE ÉLÉMENTS POUR LESQUELS DES RMTURES D EFFORT TRNCHNT SONT REQUISES MÉTHODE DES BIELLES D INCLINISON RIBLE DÉTERMINONS : EFFORT TRNCHNT DE CLCUL POUNT ÊTRE REPRIS PR LES RMTURES D EFFORT TRNCHNT TRILLNT À L LIMITE D ÉLSTICITÉ DE CLCUL DÉTERMINTION DES RMTURES D EFFORT TRNCHNT DROITES : MÉTHODOLOGIE DÉTERMINTION DE IL FUT DONC DÉTERMINER CONDITION SUR L IRE DE L SECTION D RMTURES D EFFORT TRNCHNT MX...3 CLCUL ET CHOIX DES EFFORTS TRNCHNTS...33 DISPOSITIONS CONSTRUCTIES RELTIES UX RMTURES D EFFORT TRNCHNT...37 EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 3/94

4 .5. CONSTITUTION D UN COURS D RMTURES TRNSERSLES...37 FIGURE 8 BIS: DIERSES FORMES DE CDRES, ÉTRIERS ET ÉPINGLES LE POURCENTGE MINIMUM D RMTURES D EFFORT TRNCHNT EST DONNÉ PR L ÉQUTION : 9..(5) L ESPCEMENT MXIML...38.RÉPRTITION DES RMTURES TRNSERSLES POSITION DE L PREMIÈRE NPPE CHOIX DE L SECTION D RMTURES : DÉTERMINTION DES ESPCEMENTS...39 EXEMPLES EXEMPLE EXEMPLE SECTION RECTNGULIRE «PPLICTION DE L EC CHP.0» EXEMPLE 3 SECTION EN TÉ PPLICTION DE «L EC CHP.8 POUTRE ISOSTTIQUE DE 4 M DE PORTÉE, PLQUES D PPUI DE 400 MM»...44 ORGNIGRMME DE CLCUL DES RMTURES D EFFORT TRNCHNT EN FLEXION SIMPLE : DONNÉES ORGNIGRMME DE CLCUL DES RMTURES D EFFORT TRNCHNT : MÉTHODE DES BIELLES D INCLINISON RIBLE : POUR UN EFFORT TRNCHNT MODÉRÉ (CS COURNTS), ORGNIGRMME SIMPLIFIÉ DE CLCUL DES RMTURES D EFFORT TRNCHNT : ORGNIGRMME SIMPLIFIÉ DE CLCUL DES RMTURES D EFFORT TRNCHNT : TRNSMISSIONS DIRECTES ÉLÉMENTS POUR LESQUELS DES RMTURES D EFFORT TRNCHNT SONT REQUISES. 6..3(8), SPECT RÉGLEMENTIRE JUSTIFICTION 6..(8) TRNSMISSION DIRECTES : (PPUI MONOLITHIQUE ET PLQUE D PPUI) DIGRMME DE L EFFORT TRNCHNT RÉDUIT. PPUI SOUPLE (EN TENNT COMPTE DES TRNSMISSIONS DIRECTES)...54 DÉTERMINONS LE DIGRMME ENELOPPE DE L EFFORT TRNCHNT (PPLICTION NUMÉRIQUE)...55 CS OU L BIELLE D BOUT EST TROP COMPRIMÉE...59 LES SUSPENTES À PRÉOIR U NIEU DES PPUIS INDIRECTS...60 CISILLEMENT LE LONG DES SURFCES DE REPRISE GÉNÉRLITÉS ET MÉTHODE DE CLCUL POUR UN PLNCHER CONFECTIONNÉ À PRTIR DE PRÉDLLES, ÉTUDE DE L SURFCE DE REPRISE DE L RETOMBÉE PRÉFBRIQUÉE D UNE POUTRE CS DES DLLES CONFECTIONNÉES À PRTIR DE PRÉDLLES SNS RMTURES DE COUTURE...65 CISILLEMENT À L JONCTION ÂME-MEMBRURES.: CISILLEMENT À L JONCTION ÂME-MEMBRURE. CS DE MEMBRURE (OU TBLE) COMPRIMÉE POSITION DU PROBLÈME MODÉLISTION : DÉTERMINTION DES RMTURES TRNSERSLES À L JONCTION ÂME-MEMBRURE ÉRIFICTION DES BIELLES DE BÉTON COMPRIMÉ: CISILLEMENT À L JONCTION ÂME-MEMBRURE. MEMBRURE (OU TBLE) TENDUE SECTION DES RMTURES TRNSERSLES À L JONCTION ÂME-MEMBRURE ÉRIFICTION DES BIELLES DE BÉTON COMPRIMÉ: MODÉLISTION : RMTURES MINIMLES RMTURES RÉGLEMENTIRES : CISILLEMENT ENTRE MEMBRURE ET ÂME COMBINÉ À L FLEXION TRNSERSLE...7 EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 4/94

5 .40. MÉTHODE PPROCHÉE CS D'UN CHRGEMENT EXCENTRÉ TORSION TBLEU LEUR DE NOTE 3 :...8 NNEXES JUSTIFICTION DE L EXPRESSIONS DE : EFFORT TRNCHNT DE CLCUL POUNT ÊTRE REPRIS PR LES RMTURES D EFFORT TRNCHNT TRILLNT À L LIMITE D ÉLSTICITÉ DE CLCUL { 6.3 } JUSTIFICTION DE L EXPRESSION DE { 6.4 } UTRE FORMLISTION POUR L RECHERCHE DES ÉQUTIONS ÉTUDE STTIQUE : SYSTÈME DE ÉQUTIONS EXPRESSION DE EFFORT TRNCHNT DE CLCUL MXIML POUNT ÊTRE SUPPORTÉ SNS PROOQUER L ÉCRSEMENT DES BIELLES DE BÉTON RMÉ ; EXPRESSION DE EFFORT TRNCHNT DE CLCUL POUNT ÊTRE REPRIS PR LES RMTURES D EFFORT TRNCHNT TRILLNT À L LIMITE D ÉLSTICITÉ DE CLCUL RELTIONS SI MÉTHODOLOGIE POUR DES RMTURES ERTICLES REPRÉSENTTION GRPHIQUE CONCLUSION...94 EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 5/94

6 Hypothèe Secton 6 et 9 élément en béton armé (pa de précontrante) α c. de hauteur contante h cte dan le ca contrare vor 6... en lexon mple, on peut condérer l expreon oratare : 0, 9d. armature d eort tranchant drote : α 90. Comportement expérmental d'une poutre en B.. ou l'acton de l'eort tranchant : Tro type de rupture. Fgure EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 6/94

7 / 3 P P Schéma mécanque et dagramme de ollctaton aocé. P P / 3 P P P M P / 3 P / 3 Fgure EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 7/94

8 JUSTIFICTION IS IS DE L'E.L.U.R. de pèce prmatque oume à de ollctaton tangente 6... Poutre en béton armé de ecton rectangulare dont le errallage et conttué unquement d armature longtudnale en parte néreure. Cette poutre et ollctée par de charge unormément réparte. Sur la gure, ont repréenté le dagramme de ollctaton : eort tranchant et moment de lexon. p h y x p M L 0 L 8h L p 8 dagramme du moment de lexon L p 5 p L p dagramme de l'eort tranchant Fgure. Dagramme de l eort tranchant et du moment de lexon La rétance de matéraux nou apprend que ou l acton du moment de lexon pot, la poutre et ollctée en compreon dan la parte upéreure et en tracton dan la parte néreure. Dan le one tendue, comme la rétance du béton à la tracton et able, on ne peut pa compter ur lu pour la repre de l eort de tracton donc l et néglgé dan le calcul. Cet eort de tracton dot être repr par un matérau compatble bon en tracton c et-à-dre l acer, d où la me en place d armature longtudnale. Ce premer modèle ( membrure dtante de ) (Fgure ) permet de comprendre comment eectue la repre du moment de lexon ma pa celle l eort tranchant. p F M h F td p h EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 8/94

9 Fgure 3. Premère modélaton de la poutre en béton armé Flexon mple : F F td M F F td Le paramètre géométrque et appelé bra de lever, paro on utle la valeur approchée oratare : 0,8h pour le poutre de ecton rectangulare. Lor d'ea ur une poutre B. (vor gure 4). an armature d âme, on contate l'apparton de ure nclnée, celle-c délmtent de prme de béton nclné à envron 45 ollcté en compreon mple, ce prme ont appelé belle. Ce ure apparaent d abord au vonage de appu et e propagent enute ver la one centrale de la travée. Montron qu l y a une corrélaton entre l ntenté de l eort tranchant et l apparton et la propagaton de ce ure. Lor d'ea ur une poutre B.. an armature d âme, on contate l'apparton de ure nclnée, cellec délmtent de prme de béton nclné à 45 envron ollcté en compreon mple, ce prme ont appelé BIELLES. S nou olon un élément de volume tué dan la one tendue d une poutre oume à un eort tranchant. Sur la g. c-deou, cet élément et tué proche de l appu gauche, l eort tranchant y et négat. On peut montrer qu l et oum unquement à de contrante tangente u. On montre qu une dagonale et comprmée tand que l autre et tendue. S nou aon varer l ntenté du chargement. p u Lorque la contrante de tracton (qu et au égale en ntenté à la contrante tangente) attent la rétance de tracton du béton σ u ctm, l e produt une ure enblement nclnée à 45. Complément : vant l apparton de ure S Ω contrante ( ) g ( hc ) ( Ω ), la RDM (ecton homogénéée et béton tendu néglgé) permet de détermner la G bra de lever ; I G h b 0, b 9 S Ω Moment tatque / axe paant par G (le g de la ecton homogénéée) pour la ecton G hc homogénéée retrente au béton comprmé. I Ω Moment quadratque / axe paant par G (le g de la ecton homogénéée) pour la G ( ) h ecton totale homogénéée. prè l apparton de ure à 45, le modèle précédent n et plu valde, l aut condérer un arc outendu par le armature longtudnale. Une redtrbuton d eort ntaure dan la poutre. d u u ure u tracton σ u u u compreon σ u u u u Fgure 4 EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 9/94

10 membrure comprmée en d'apparton de ure belle Fgure 5 Notaton utlée Ftd F valeur de calcul de l eort de tracton dan le armature longtudnale. valeur de calcul de l eort de compreon dan le béton dan la drecton de l axe longtudnal de l élément. F valeur de calcul de l eort pour le montant tendu repréentant le armature d eort tranchant. F d bd eort normal de calcul dan la belle de béton comprmé. b plu pette largeur de la ecton compre entre la membrure tendue et la membrure comprmée. (gure 6) α valeur abolue de l angle de armature d eort tranchant avec la lgne moyenne de la poutre (orgne ouet). Cadre vertcal : α 90 valeur abolue de l angle d nclnaon de belle de béton avec la lgne moyenne de la poutre. (orgne et). bra de lever de orce normale nterne, en lexon mple on peut adopter 0,9 d claue 6..3.(). d hauteur utle de la ecton. b b Fgure 6. Largeur b à condérer EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 0/94

11 Modélaton : (Trell de Rtter-Mörh).. Elaboraton d un modèle table Pour un chargement compoé de orce ponctuelle, on peut magner une modélaton comme ndqué ur la gure c-deou. vôute de décharge arc trant Fgure 6. Modélaton de la poutre en béton armé pour deux charge ponctuelle able S nou remplaçon le charge unormément réparte par de orce ponctuelle régulèrement epacée, nou pouvon magner une modélaton tenant compte de la ymétre. charge ponctuelle ymétrque et aocé une voûte ou-tendue ma une eule et table, celle qu repoe ur le appu d extrémté ; le autre ne ont pa équlbrée, le charge vertcale ne peuvent pa être tranme aux appu (l armature longtudnale ne peut reprendre que de eort normaux donc horontaux). Cette modélaton par une tructure ntable et repréentée ur le gure uvante. 45 Fgure 6. Modélaton de la poutre en béton armé dépourvue d armature d eort tranchant par une tructure (ntable) compoée d arc ou-tendu. EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n /94

12 Fgure 6. Modélaton de la poutre en béton armé dépourvue d armature d eort tranchant par une tructure table compoée d arc ou-tendu uperpoé. Cela tend ver la modélaton d un arc ou-tendu. S nou remplaçon le charge unormément réparte par de orce ponctuelle régulèrement epacée, nou pouvon magner une modélaton tenant compte de la ymétre. Le chéma mécanque et repréenté (c. gure 7). Montron que ce modèle et ntable. Détermnon le degré d hypertatcté (noté L) de la poutre trell correpondant à la poutre en béton armé conectonnée an armature d eort tranchant. Le barre ont artculée au nveau de tou le nœud. Fgure 7. Trell aocé à la modélaton de la poutre en béton armé dépourvue d armature d eort tranchant mécanme tructure ntable La membrure comprmée comprend 6 barre, la membrure tendue comprend 7 barre, 8 dagonale ot barre en tout : L - 3b, le nombre d nconnue total obtenu en olant tou le nœud et égal à : 57 d où L L < 0, c et un mécanme donc ntable, on peut le remarquer ur la gure 7, le trell et conttué de 6 panneaux ormant de parallélogramme (lequel ont déormable). Cette tructure et à rejeter par le projeteur ou à tranormer. Pour rgder ce panneaux, l audrat placer 6 dagonale qu ont c vertcale, on le appelle alor de montant. S nou plaçon de montant conttuant le dagonale de parallélogramme : nou avon l égalté n b + 3 (n nombre de nœud et b nombre de barre) relaton de ytème matérel conttué de trangle, la tructure et otatque donc table. L 0. (gure 8) Ce montant repréentent le armature d eort tranchant qu l aut mpératvement dpoer dan la poutre pour aurer a tablté. EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n /94

13 Fgure 8. Trell aocé à la modélaton de la poutre en béton armé avec armature d eort tranchant vertcale. On modéle le onctonnement mécanque d une poutre en béton armé comme celu d un trell que l on nomme trell de Rtter-Mörch. Le barre d un trell ont ollctée unquement à de eort normaux ot de compreon ot de tracton. En béton armé, la barre comprmée et appelée belle, la barre tendue trant. Ce trell et conttué : D une membrure qu repréente le béton comprmé en parte upéreure de poutre ; D une membrure tendue conttuée de acer longtudnaux ; De dagonale conttuée de belle de béton nclnée d un angle : 45 ; De montant conttué par le armature d eort tranchant vertcale ; Le membrure reprennent le moment de lexon. Le dagonale et montant reprennent l eort tranchant. On montrera en étudant le trell que le montant ont tendu et le dagonale (belle de béton) comprmée. Le montant tendu conttuent le armature d âme ou d eort tranchant. Pour de raon de aclté de montage de la cage d armature elle ont vertcale (90 ) ma elle pourraent être nclnée, l Eurocode permet une nclnaon de 45 à 90. Fgure 9. Trell aocé à la modélaton de la poutre en béton armé avec armature d eort tranchant nclnée S nou plaçon de dagonale nclnée, nou avon au l égalté n b + 3, la tructure et otatque donc table. L 0 (gure 9).3. Relaton entre l eort tranchant et le eort dan le montant et le dagonale du trell (armature d âme drote) Le chéma mécanque aocé à la poutre en béton armé unormément chargée et repréenté gure 0. p p p p p p 45 L 5 5 p Fgure 0. Schéma mécanque aocé à la poutre en béton armé unormément chargée repréentée gure..3..détermnon l eort dan un montant : Utlon la méthode de Rtter : pratquon une coupure, celle-c dot couper le montant étudé et le membrure (vor gure ) EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 3/94

14 B F C F td 45 F d cot Fgure. Détermnaton de eort dan le montant La ecton drote condérée et oume au moment de lexon entre B + et C -. Pour de armature d eort tranchant drote F M et l eort tranchant lequel et contant Le montant et tendu. Entre B + et C -, l'eort tranchant et donc "repr" par le montant tendu potonné en C (conttué d un cadre et éventuellement d étrer ou d épngle).3..détermnon l eort dan une dagonale (belle): Utlon la méthode de Rtter : pratquon une coupure entre le nœud B et C coupant une dagonale (belle) et le membrure (gure ) F bd n F bd B F C F td cot Fgure. Détermnaton de eort dan le dagonale (belle) Ca de belle nclnée de : Ca de belle à 45 F b Entre B + et C -, l'eort tranchant compreon de belle augmente lorque dmnue. F b n et donc "repr" par la belle de béton. On remarque que l eort de.4. Modélaton : (Trell de Rtter-Mörh) armature d âme nclnée Étude d'un tronçon élémentare: On étudera unquement un tronçon de poutre comprenant une belle de béton. EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 4/94

15 C On dént donc le eort dan une ecton quelconque : α belle cot cot α ( cot + cot α ) B - F dan la membrure comprmée - F td dan la membrure tendue - F pour la dagonale tendue. F c, belle eort normal dan la belle de béton comprmé rmature armature d eort tranverale tranchant rmature d eort tranchant armature tranverale α C Ftd C'' F B F F C C' Fc,belle Utlon la méthode de Rtter : coupure entre le nœud C et C La ecton drote condérée et oume à M et. Sot l eort tranchant entre le pont C et B. On peut établr la relaton entre l eort tranchant et l eort normal dan la dagonale tendue repréentant le armature d eort tranchant : F nα Pour de armature d eort tranchant drote F Entre C et B, l'eort tranchant et donc "repr" par la dagonale tendue (cadre, étrer ou épngle) Utlon la méthode de Rtter : coupure entre le nœud et C, ot l eort tranchant. Ca de belle nclnée de F c,belle Ca de belle à 45 F Entre et C, l'eort tranchant et donc Ftd B "repr" par la belle de béton. On remarque que l eort de compreon de belle augmente lorque dmnue. D aprè l artcle 6..3(5), dan le one ou l n y a pa de dcontnuté de (par exemple, pour une charge réparte), la détermnaton de armature d eort tranchant ur une longueur élémentare l cot peut être eectuée en utlant la plu pette valeur de ur cet ntervalle. Cela revent à condérer un décalage de la courbe enveloppe théorque d eort tranchant de : l cot ; Cette longueur et égale à la projecton horontale de C. c,belle Inclnaon de belle Dan le ca de poutre, l angle de belle de béton avec la bre moyenne et lmtée par : En lexon mple cot, 5 Inclnaon de armature d eort tranchant ot 45 (6.7a NF) L angle α de armature d eort tranchant avec la lgne moyenne dot être tel que : 45 α 90. En pratque α 90 n ().. 9..() EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 5/94

16 Force de tracton de armature longtudnale due à l extence de l eort tranchant.5. pect normat (7) 6..3(7) II convent que le armature longtudnale tendue oent capable de réter à l'eort de tracton upplémentare généré par l'eort tranchant La orce de tracton de armature prncpale et donc repréentée par l expreon M M,max Ftd mn + Ftd ; Ftd ( cot cot α ) avec 0, 9d {6.8} Ftd Cela équvaut à admettre un décalage de la courbe enveloppe de moment de a ( cot cot α ) l Fgure 6.5 : Modèle de trell et notaton dan le ca d élément comportant de armature d eort tranchant B F d α 0,9d [ cot cot α ] N M F td D C F td [ cot cot α ] membrure comprmée B belle C membrure tendue D armature d'eort tranchant b b N M F F td F F td F td [ cot cot α ] α nα cot α eort dan l'armature d'eort tranchant cot α cot n cot eort dan la belle F td ( cot cot α ) cot α cot EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 6/94

17 Jutcaton Dan la ecton drote de la poutre (vor g 6.5), l âme et oume d une part à un eort tranchant et d autre cot cot α part en raon de l extence de belle et armature d eort tranchant à un eort normal ( ) L équlbre de la ecton drote en projecton ur la lgne moyenne entraîne l extence d eort complémentare dan le membrure. F cot cot α {6.8} repréente la contrbuton de l eort tranchant à l eort normal applqué à la td ( ) membrure tendue (armature longtudnale) Une contrbuton dentque et applquée à la membrure comprmée qu en trouve oulagée d autant. M L eort dan l armature à l abce x e détermne à partr du moment tué à L eort de tracton upplémentare dan le armature longtudnale F td ( x ) ( + ) ( ) M M x al M x al Ftd al cot cot α 0, 9d ot ( ) Pour de armature d eort tranchant drote a l cot x + : F ( x) al td ( x + a ) l Pour Pour cot, 5 al, 5 cot al 0, 5.6. Détermnaton du décalage par H. Thoner ( tome 7 concepton et calcul de tructure de bâtment page 50) Sot un trell multple conttué de n trell élémentare. cot + cot α n Sur le tronçon condéré B, on uppoe contant. L epacement de cour d armature tranverale : [ ] Le egment B 3 de longueur conttue la membrure tendue de n trell élémentare trell n 3 trell n 3 C 3 trell n 3 B 3 C trell n trell n x C trell n B B Hypothèe : On condère que chacun de trell reprend un même moment M ( x ) de lexon :, le n chox de M ( x ) peut e juter par le at que l on e place en écurté en condérant la valeur du moment la plu grande ot en C ur le tronçon condéré B. ( cot + cot α ) cot cot α Ftd dan la membrure tendue en ommant le eort normaux détermné pour chacun de Détermnon l eort trell élémentare. Cet eort exte au pont d abce x 0 Pour le trell n : M C ( x) n M EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 7/94

18 M C ( x ) M Pour le trell n : n M C M ( x ) 3 Pour le trell n 3 : n MC M ( x ( ) ) Pour le trell n : n M C M ( x ( n ) ) Pour le trell n n : n n F td [ M ( x) + M ( x ) + M ( x ) + M ( x 3) M ( x ( ) ) M ( x ( n ) ) ] n n Ftd M ( x ( ) ) n n Sot M m M ( x ( ) ) : M m repréente le moment correpondant à l eort F td dan la membrure au n pont d abce x0 M F m td Sot M m ( x ) ; l abce correpondant au moment M m et ourn par la oncton nvere x ( M ) n M a M ( x ( ) ) Détermnon l abce a correpondant à m n Hypothèe : on at l hypothèe que ur le tronçon condéré M et une oncton ane : M ( ) ( ) ( ) ( 0) M ( x) M x M 0 0.x x ( 0) pour l abce x M ( x) M ( 0) ( 0). x pour l abce x M ( x ) M ( 0) ( 0).( x ) pour l abce x ( ) M x M 0 0. x ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) n n ( x ( ) ) [ M ( 0) ( 0).( x ( ) ) ] n.m ( 0) n. ( 0).x + ( 0).. ( ) n M n n n n a n M n ( x ( ) ) n.m ( 0) ( 0)[ n.x] + ( 0) n n. ( n ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( n ) x M 0 0.x + 0. n M ( n ) M M ( ) ( ) ( ) ( n ) 0 0.x + 0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( n ) 0 M 0 0.x + 0. a x En remplaçant et x par leur expreon : [ cot + cot α ] x cot n ( n ) ( n ) [ ] ( n ) ( n ) a x cot cot + cot α cot cot α n n n ( 0) m a cot + n cot α n Pour détermner F td dan la membrure tendue (armature longtudnale tendue) dan une ecton drote, l aut condérer le moment dan une ecton élognée de a. a correpond au décalage de la courbe de moment pour tenr compte de l eort tranchant. Cette expreon dot être comparée avec celle mpoée par l EC : a l ( cot cot α ) EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 8/94

19 cot Pour de cour d armature vertcaux : a + n n a cot n 3 a cot cot α 4 4 n 3 a cot cot α 3 3 n a cot cot α n 8 8 ( cot cot α ) a a l expreon EC cot cot α + a + Formon le rapport : n n cot cot α + a cot cot α n > l cot cot α Ce rapport et toujour upéreur à, donc l expreon donnée de l EC n et pa écurtare. a vec de cour vertcaux + a n a Ce rapport et max. pour n ot l a l a al cot Cherchon n mn ; n cot / Pour être toujour du côté de la écurté, l audrat adopter : a al n [ cot ] / / 0, 75d 0, 9d / 0, 75d, mn mn max cot EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 9/94

20 . Lmte de callement.7. Procédure générale de vércaton à la rétance à l eort tranchant claue 6..()P La vércaton de la rétance à l eort tranchant eectue unquement à l ELU. On dént: et l'eort tranchant agant de calcul. Rd,c et l eort tranchant rétant de calcul de l'élément en l'abence d'armature d'eort Tranchant. Rd, et l eort tranchant de calcul pouvant être repr par le armature d'eort tranchant travallant à la lmte d'élatcté (de calcul yd). Rd,max et la valeur de calcul de l'eort tranchant maxmal pouvant être repr par l'élément, avant écraement de belle de compreon. Dan le élément de hauteur varable, on dént également (vor Fgure 3) : c et la valeur de calcul de la compoante d'eort tranchant de la orce de compreon, dan le ca d'une membrure comprmée nclnée. td et la valeur de calcul de la compoante d'eort tranchant de la orce dan l'armature tendue, dan le ca d'une membrure tendue nclnée. c td Fgure 3 : Fg :6. de l EN 99--: Compoante d'eort tranchant dan le ca d'élément de hauteur varable Claue 6..() La rétance à l'eort tranchant d'un élément comportant de armature d'eort tranchant et égale à : Rd Rd, + c + td (6.) Claue 6.. (3) Dan le one de l'élément où Rd, c, aucune armature d'eort tranchant n'et reque par le calcul. et l'eort tranchant agant de calcul dan la ecton condérée, réultant de charge extéreure applquée et de la précontrante (armature adhérente ou non). Dan le ca d'élément de hauteur varable c td Rd, c Claue 6.. (4) Même lorque aucune armature d'eort tranchant n'et reque, l convent de prévor un errallage tranveral mnmal comme ndqué en 9... Ce errallage mnmal peut être om dan le élément tel que le dalle (plene, nervurée ou alvéolée) lorqu'une redtrbuton tranverale de charge et poble. Le errallage mnmal peut également être om dan le élément econdare (lnteaux de portée m par exemple) qu ne contrbuent pa de manère gncatve à la rétance et à la tablté d'enemble de la tructure. EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 0/94

21 Claue 6.. (5) Dan le régon où de armature d'eort tranchant en quantté uante de telle orte que > Rd, c ( Rd,c étant donné par l'expreon (6.)), l convent de prévor (vor l'expreon (6.)). Claue 6.. (6) Il convent qu'en tout pont de l'élément, la omme de l'eort tranchant agant de calcul (an réducton due aux tranmon drecte aux appu) et de contrbuton de membrure, - c - td, ot néreure ou égale à la valeur maxmale adme Rd,max (vor 6..3). + Rd,max + c td c td Rd, max Rd.8. Prncpe de vércaton à l eort tranchant, poutre de hauteur contante.. La vércaton à l eort tranchant eectue unquement à l ELU.. Le règlement et baé ur la comparaon de l eort tranchant de calcul noté.. à 3 valeur de calcul de eort tranchant rétant. 6.. Rd,c Eort tranchant rétant de calcul de l élément an armature d eort tranchant ; Rd,max Eort tranchant de calcul maxmal pouvant être repr par l élément avant écraement de belle debéton comprmée; Rd, Eort tranchant de calcul pouvant être repr par le armature d eort tranchant travallant à la lmte d élatcté ; Rd Eort tranchant de calcul pouvant être upporté par un élément avec armature d eort tranchant. (la contrbuton de armature d âme) S Rd, c l convent de prévor de armature d eort tranchant mnmale elon le ndcaton de l artcle 9... Ce errallage mnmal peut être om dan le élément tel que le dalle (plene, nervurée ou alvéolée) lorqu'une redtrbuton tranverale de charge et poble. Le errallage mnmal peut également être om dan le élément econdare (lnteaux de portée m par exemple) qu ne contrbuent pa de manère gncatve à la rétance et à la tablté d'enemble de la tructure. S > Rd, c l convent de prévor de armature d eort tranchant de manère à vérer la relaton : mn, et vérer le pourcentage mnmal ndqué en 9.. [ ] Rd,max Rd, Dan le ca où le armature d eort tranchant eraent néceare, la norme actuelle utle la méthode de belle d nclnaon varable. Dan ce ca, on optme l nclnaon de belle. 45 Elle ne prend pa en compte la contrbuton oratare econdare du béton à la repre de l eort tranchant. Elle condut à une économe d armature d eort tranchant ma peut exger plu d armature longtudnale. Dan le ca d une charge non tuée à la parte upéreure de la poutre, l aut prévor de upente pour tranmettre correctement cette charge EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n /94

22 Élément ne nécetant pa d armature d eort tranchant Ce ont prncpalement de dalle, de emelle upercelle, Rd, c.9. Pre en compte du béton: S le charge applquée p ont able, la poutre et table. Le expérmentaton le montrent, le béton partcpe à la repre de l'eort tranchant. Dan le ca d une poutre an armature d eort tranchant, le belle d appu et la membrure comprmée orment une voûte de décharge ou-tendue par le armature longtudnale jouant le rôle de trant et mantenant l écartement de naance de la voûte. Cet arc ou-tendu et une tructure table et repoe ur le appu d extrémté. La hauteur de la voûte étant able, le eort normaux ont trè mportant. La capacté portante de la voûte outendue et lée à la rétance à la compreon du béton (pour la voûte) et à l are de la ecton de armature tendue (trant). (vor gure 4) Le élément en béton armé an armature d eort tranchant ont eentellement le dalle an que de élément econdare (lnteaux de portée néreure à m par exemple) qu ne contrbuent pa de manère gncatve à la rétance et à la tablté d'enemble de la tructure. vôute de décharge arc trant Fgure 4. Modélaton de la poutre en béton armé pour de charge unormément réparte able : Élément onctonnant comme une voûte ou-tendue. Pour un chargement compoé de orce ponctuelle, on peut magner une modélaton comme propoé ur la gure 5. vôute de décharge arc trant Fgure 4. Modélaton de la poutre en ba pour deux charge ponctuelle able La capacté de rétance au callement : eort tranchant rétant de calcul en l abence d armature d eort tranchant et noté :. Rd, c De ea ont at apparaître de dérence enble entre le réultat expérmentaux et théorque. Ce dérence ont d autant plu marquée que l eort tranchant et plu able. Le ea montrent qu l y a un décalage à l orgne qu et dû en grande parte au at que tant que le béton n et pa uré, l équlbre la grande majorté de. EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n /94

23 Tout e pae en at comme l armature d âme n avat à équlbrer qu une parte de l eort tranchant notée S. avec. Rdc S u Rd, c courbe expérmentale Rtter Mörh le drote ont parallèle courbe théorque modèle de Rtter Mörh membrure comprmée F F eort dan l armature d eort tranchant Remarque : La méthode de belle d nclnaon varable ne prend pa en compte explctement la repre d une parte de l eort tranchant par le béton. Cependant, lorqu l n y a pa de dcontnuté de l eort tranchant, l EC permet de calculer le epacement de cour en eectuant un décalage du dagramme de l eort tranchant de : cot. On peut montrer que la modélaton en trell condut un décalage de : 0, 5 cot. On pourrat pener que le complément : 0, 5 cot et dû à la repre par le béton..0. Élément ne nécetant pa d armature d eort tranchant Rd, c Rd,c et d orgne expérmentale, le paramètre pr en compte ont : la rétance caractértque du béton à la compreon ck ; le dmenon de pèce k ; le pourcentage de armature longtudnale l ; la préence d un eort normal (en lexon compoée) σ cp ;.0.. En lexon compoée ( 00 ) 3 ( N ) Rd,c CRd,ck l ck + k σ cp bd ( N ) Rd,c [ v + k ] b d aleur mnmale mn σ cp {6..a} {6..b} { ( ) } ( N ) 3 On peut au l écrre : Rd,c max vmn k σ cp ; CRd,ck 00 l ck kσ + + cp bd {6..} ck en MPa 00 k mn + ; ( mm ) d Le pourcentage l d acer longtudnal de lexon : l l 0, 0 bd l : re de la ecton de armature tendue, prolongée d une longueur upéreure à la ecton condérée. ( l bd étant la longueur d ancrage de calcul) b : et la plu pette largeur de la ecton drote dan la one tendue, en mm. N σ cp < 0, en MPa c d + lbd au delà de N et l eort normal agant dan la ecton drote, dû aux charge extéreure applquée et ou à la précontrante (en Neton, N > 0 en compreon) en lexon mple N 0 c are de la ecton drote de béton en mm k 0, 5 ; C Rd,c 0, 8 γ C EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 3/94

24 v mn 0, 034 / ck γ C pour le dalle bénécant d un eet de redtrbuton tranverale ou le ca de charge condéré. v mn 0, / k ck γ C poutre et dalle autre que celle c-deu v mn 0, 035 / ck γ C vole Pour le élément précontrant vor 6..() et (3) (5) Lorque le armature d eort tranchant ne ont pa reque, pour le calcul de armature longtudnale, dan le régon urée en lexon, l convent de décaler la courbe enveloppe de moment de : a l d dan la drecton déavorable (vor 9...3()) or (6) pour le tranmon drecte. lbd ecton condérée l bd ecton condérée d l l l ecton condérée l bd 45 d Fgure 6.3 : Dénton de l dan l'expreon (6.).0.. Flexon mple utre orme de {6..} ( N ) ( 00 ) 3 v b d C k b d {6..} mn Rd,c Rd,c l ck EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 4/94

25 ( 00 ) 3 b d max v ;C k mn Rd,c l ck en lexon mple pour le poutre et dalle portant dan un en : / bd / l mn + ; max 0, 053 mn + ; ( mm ) ( mm ) ck ;, mn ;, ck γ C d d bd en lexon mple pour le dalle portant dan en : 3 bd / 00 l max 0, 034 ck ; 0, 8 mn + ; 00 mn ; 0, 0 ( mm ) ck γ C d bd (5) Lorque le armature d eort tranchant ne ont pa reque, pour le calcul de armature longtudnale, dan le régon urée en lexon, l convent de décaler la courbe enveloppe de moment de : a l d dan la drecton déavorable (vor 9...3()) (par exemple le dalle) ttenton al cot /, lorque le armature d eort tranchant ont reque. or (6) pour le tranmon drecte. 3 EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 5/94

26 Élément pour lequel de armature d eort tranchant ont reque > Rd, c Eort tranchant rétant : Rd mn(rd, ;Rd,max ).. pect réglementare 6..3() (3) (4) S le armature d eort tranchant ont nclnée Rd, yd ( cot + cot α ) nα { 6.3 } α b ν ( cot + cot α ) ( + cot ) Rd,max c { 6.4 } L are eectve maxmale de la ecton de armature tranverale,max yd α cν {6.5} b nα S le armature d eort tranchant ont vertcale Rd, d yd cot {6.8} Rd,max α b ν c ( tan + cot ) { 6.9 },max yd α cν {6.} b EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 6/94

27 .. Élément pour lequel de armature d eort tranchant ont reque > Rd, c Méthode de belle d nclnaon varable 6..3 Dan le ca de poutre, en lexon mple, l angle de belle de béton avec la bre moyenne et lmtée 5 par cot, 45 ot Ca de belle nclnée à {6.7N} largeur de la belle ( cot + cot α ) n α ( cot + cot α ) cot cot α ( cot + cot α ) Jutcaton de Rd, max Eort tranchant de calcul maxmal pouvant être upporté an provoquer l écraement de belle de béton armé ; α b ν ( cot + cot α ) ( + cot ) Rd,max c La largeur de la belle de béton et égale à : ( cot + cot α ) n cot + cot α n.b L are de la ecton drote : ( ) La contrante de compreon de belle de béton ne dot pa dépaer σ c ν ; L eort normal maxmal dan la belle et : ( + ) Cela correpond à un eort tranchant b ν cot cot α n ( ) ( ) b ν cot + cot α n n b ν cot + cot α n Or Rd,max n ( + cot ) expreon donnée par EC : vec d où l expreon théorque : α b ν b ν ( cot + cot α ) ( + cot ) Rd,max ( cot + cot α ) ( + cot ) Rd,max c { 6.4 } α c : coecent tenant compte de l état de contrante dan la membrure comprmée. Rd, Pour α xé, cherchon la valeur de qu rende maxmum max ( cot + cot α ) ( + cot ) Rd,max c c ( ) α b ν α b ν cot + cot α n { 6.4 } EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 7/94

28 Rd,max c ( ) α b ν n co + n cot α d Rd,max d [ ] α cbν co + n cot α [ co + n cot α ] 0 cot cot α cot ( 80 α ) Pour de armature drote : α 90 ; α S le armature ont vertcale Rd,max b ν ( tan + cot ) { 6.9 } cot n ( tan + cot ) ( + cot ) Pour cot, 5 Rd,max. ot 45 {6.7N} n et une oncton croante de, l en et de même pour n Rd,max b ν { 6.9 }. Cette condton pourrat dénr la largeur Il aut que l eort tranchant applqué ot tel que Rd, max mnmale de l âme de la poutre, en e xant une valeur de 45 ou connaant le corage détermner l nclnaon de la belle. n Pour 45, Rd, max et maxmum Rd,max b ν > Rd,max b ν alor l aut redmenonner le corage ou augmenter la rétance du béton pour obtenr Rd, max EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 8/94

29 .3. Détermnon : Eort tranchant de calcul pouvant être repr par Rd, le armature d eort tranchant travallant à la lmte d élatcté de calcul L eort dan un cour d armature tranverale et donné par yd ; pour n cour l eort et donné par n yd. Nou avon vu la relaton entre l eort tranchant et l eort dan la dagonale tendue du trell α F ; nα belle cot C ( cot + cot α ) ( + cot α ) cot α B n n nα Rd, yd nα ; Rd, yd ca de belle nclnée à achant que repréente l epacement de cour conécut, meuré uvant la bre moyenne, le nombre de cour et : ( cot + cot α ) n cot Rd, yd nα Rd, yd ( cot + cot α ) nα { 6.3 } Il erat poble d optmer la valeur de α pour rendre mnmum la ecton de armature tranverale, cependant du at du coût upplémentare de man d œuvre, cela n a pa d ntérêt pratque. S le armature ont vertcale {6.8} Rd, yd cot Cette expreon xe an la ecton d armature néceare et l epacement On remarque que pour xé, Rd, et une oncton décroante de. On remarque que pour Rd, xé, et une oncton croante de. Sot la ecton de brn conttut d un cour d'armature tranverale dan une ecton drote.. are eectve maxmale de la ecton de armature d eort tranchant L are eectve maxmale de la ecton de armature d eort tranchant et donnée par la relaton :, max ca de barre nclnée :,max yd α cν {6.5} b nα ca de barre drote Pour 45, n,max yd α cν {6.} b ; cot Rd, max b ν Rd, Rd,max yd et maxmum EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 9/94

30 .4. Détermnaton de armature d eort tranchant drote : Méthodologe Méthode baée ur l nclnaon varable de belle cot, 5 45 hyp : armature d âme drote 90 α ; tructure non précontrante α repréente l eort tranchant de calcul. On a montré que plu et able, plu la ecton d armature d eort tranchant néceare et able, ma en contreparte la compreon de belle augmente an que la valeur du décalage de la courbe de moment (ce qu entraîne une augmentaton de armature longtudnale). Le prncpe conte à nclner le belle ur l horontale d un angle le plu pett poble pour rédure en contrôlant la contrante dan la belle S et able, cot, 5 Rd, max.. S et élevé, et détermné par Rd, max S et trè élevé, comme 45,l aut redmenonner ou augmenter la rétance du béton, détermné par Rd, max. max c tout.4.. Détermnaton de Rd, c S Rd, c l convent de prévor de armature d eort tranchant mnmale elon le ndcaton de l artcle 5.4, à l excepton de ca dén en 6.. (4) et 9.. (5) en lexon mple :: ( 00 ) 3 ( N ) Rd,c max v mn ;C Rd,ck ck bd {6..} S > Rd, c le armature d eort tranchant ont reque. mn ; Nou devon vérer : [ ] Rd Rd Il aut donc que Rd, ne pue en aucun ca dépaer la valeur de Rd, max pour que le cadre attegnent leur lmte élatque, ot Rd,max Rd, Rd,max Rd, On poe : avec {9.4} b. b v v v yd ψ Détermnaton de Rd,max : Rd,max b ν ( tan + cot ) { 6.9 } ; cot n ( tan + cot ) ( + cot ) Rd,max b v Rd,max v Rd,max ; cot Rd,max n ( tan + cot ) ( + cot ) S, 8 cot, 5 ; S 45 cot ;, 5 + 0, 4 tan + cot ( tan + cot ) ( ), 9 0, 345 cot, , 5, Rd, max EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 30/94

31 b v.4.. Il aut donc détermner v S on veut exploter la rétance de belle au maxmum, on écrt : Rd, max Rd,max Rd 0, 5,, max Comparon S > 0, 5 > Rd, max l audrat nclner le belle d un angle > 45 permet pa, alor l aut redmenonner ou augmenter la rétance du béton pour obtenr Pour 45, Rd,max b ν On peut agr ur b ou d (hauteur h ) ou Dan l ntervalle 0 < < 0, 345 drote OB < Rd,max b ν. ce que le règlement ne Rd, max Cec peut e produre lorque, pour de raon archtecturale, nou dpoon d une âme de dmenon exceve. et able. L optmaton belle-armature d eort tranchant n et plu poble. S nou voulon rédure au max. le armature d eort tranchant, l aut chor, 8, ma dan ce ca le armature longtudnale eront plu mportante. Chox cot 5., {6.8} Rd, yd cot {6.8} ψ v yd Rd, Rd, cot, 5 b Rd, Rd,, 5 La valeur de peut être détermnée à partr de l eort tranchant rédut.,r S et élevé, 0, 345 < < 0, 5 arc de cercle BD Dan l ntervalle 0, 345 < < 0, 5 arc de cercle BD (annexe page..) Nou omme dan le condton d attente multanée de l état lmte ultme dan le belle et dan le armature. La lecture du dagramme donne drectement le ecton d armature et la oluton et toujour optmale. et détermné par Rd, max. De n n on en dédut arc [ ] yd ψ v yd ψ n {6.8} b cot Il et préérable d utler rédut. ψ car la valeur de peut être détermnée à partr de l eort tranchant cot EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 3/94

32 utre procédure b ν ( tan + cot ) ( + cot ) poon.b v cot n ( tan + cot ) ( + cot ) cot comme Rd, max et une oncton décroante de cot pour cot ± cot cot + 0 équaton du econd degré en cot cot le produt de racne et, la omme, comme cot > 4 on en dédut cot ψ yd ( + 4 ) b + 4 cot cot, 5 yd ; b cot b v + 4 yd ( 4 ) ( ).4.3. Condton ur l are de la ecton d armature d eort tranchant max. are de la ecton d armature d eort tranchant max.,max yd ν {6.} b,max b ν yd ot l epacement maxmal longtudnal l, max de cour ucce de cadre ou armature d eort tranchant et dén par : pour de armature drote 0, d {9.6N} L epacement maxmal longtudnal, max l 75 b, max ψ max de barre relevée et dén par : 0, 6.d ( cot α ) b, max + {9.7N} Calculon l epacement maxmal tranveral de brn vertcaux dan un cour d armature d eort tranchant et dén par : n 0, 75d ; mm {9.8N}, max Pour de armature drote [ ] t 600 Calculon la ecton d acer mn Le pourcentage d armature d eort tranchant et donné par l équaton : b {9.4} avec : pourcentage (taux) d armature d eort tranchant ecton d un cour d armature d eort tranchant b largeur de l âme de l élément (largeur mnmale de la ecton dan la hauteur utle) epacement de cour d armature d eort tranchant Le valeur mnmale,mn ont donnée dan l nnexe Natonale, vor le tableau 5.5 b. Chox de la ecton d armature :, mn ;,mn max,mn b 0, 75 b d,mn l,max,mn permet de dénr une valeur mn de la ecton d armature d un cour.,mn,mn 0,08 b b yk ck {9.5N} EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 3/94

33 Calcul et chox de eort tranchant L eort tranchant au nu de l appu calculé d aprè la rétance de matéraux era noté :, nu ervra à : vérer la rétance de la belle d about. (g. 8) ; vérer la rétance à la compreon de belle de béton :,nu Rd,max.. Cet eort tranmon drecte L n,nu L e Pour vérer la rétance de l appu lu-même, l aut condérer l eort tranchant l eort tranchant au nu de l appu, nu + le charge applquée drectement ur l appu. S la poutre et oume prncpalement à de charge réparte, l n y a pa leu d eectuer de vércaton à l eort tranchant à une dtance au nu de l appu < d. Il convent de mantenr le armature d eort tranchant reque juqu au drot de l appu. claue 6..(8) or jutcaton 6..(8) Cet eort tranchant rédut, noté,r, era détermné à une dtance d du nu de l appu. Condérer cet eort tranchant rédut tradut qu une parte de charge proche de l appu et tranme drectement, véhculée par la belle d about. Ce charge ne ollctent donc pa le armature de la poutre. Pour la détermnaton de armature d eort tranchant, on pourrat ne pa le repréenter ur le chéma mécanque de la poutre. Dan le one où l n y a pa de dcontnuté de (par exemple, pour une charge réparte), la détermnaton de armature d eort tranchant ur une longueur élémentare cot peut être eectuée en utlant la plu pette valeur de ur cet ntervalle. Cela revent à condérer un décalage (tranlaton horontale) de la courbe enveloppe d eort tranchant de cot. Claue 6..3(5) EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 33/94

34 β p cot ' + 0, 5 p cot p cot p cot p cot p cot ' [ ] p 4 cot + β cot ' pl p[ L a' ] [ ] p 4 cot + β cot ' 3,5 p cot,5 p cot,5 p cot 0,5 p cot a' cot ' nu de l'appu cot ' + 0, 5 cot cot eort tranchant RDM charge un. réparte L L portée utle (de calcul) décalage de 0,5 cot: claue 6..3(5) à moder eort tranchant RDM trell eort dan le montant (cour d'armature tranverale) Remarque : Le dagramme de l eort tranchant dan la travée otatque n et pa modé lorqu on condère la portée aux nu de appu L. n Remarque : L applcaton de la méthode de belle, avec un trell mple, montre que l eort repr par un trant vertcal (ou montant du trell) tué à l abce x et néreur à l eort tranchant théorque à la même abce x pour une poutre chargée unormément. Ce qu gne que la courbe d eort tranchant permettant de détermner le armature d eort tranchant peut être décalée de cot en drecton de eort tranchant croant en valeur abolue. On peut remarquer que le eort dan le montant ont ndépendant de l nclnaon de la belle d about an que de la charge applquée ur le nœud upéreur von de rve. Remarque 3. Sot la modélaton en trell mple en condérant la portée aux nu de appu L n. Condéron la même nclnaon de belle le long de la travée. Fgure 9b Pour une charge réparte unorme, l applcaton de la méthode de belle à un trell mple où toute le belle ont nclnée du même angle, montre que le acer calculé au drot du premer trant à partr de l appu ont calculé avec l eort tranchant correpondant à l abce,5 cot. Cette dtance et la omme du décalage 0,5 cot vu c-deu et de la dtance du er trant au nu de l appu qu vaut cot. On remarque donc que le claue 6..3 (5) (décalage) et 6.. (8) (tranmon drecte) e cumulent. Cependant, on notera que la claue 6..3 (5) de l EC et non écurtare. (On peut au pener que 0, 5 cot correpond à la contrbuton du béton à la repre de l eort tranchant) EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 34/94

35 p cot p cot p cot p cot p cot p cot 5 p cot,nu cot L L portée aux nu de appu nu de l'appu pl 4,5 p cot eort tranchant RDM charge un. réparte 3,5 p cot,5 p cot,5 p cot,5 cot décalage de 0,5 cot: claue 6..3(5) à moder eort tranchant RDM trell 0,5 p cot eort dan le montant (cour d'armature tranverale) Fgure 9b EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 35/94

36 Pour l applcaton de claue 6..(8) et 6..3(5), on pourrat envager le tro nterprétaton uvante : Procédure n. : On ne cumule pa le claue. Cela correpond à d abord écrêter pour tenr compte de tranmon drecte ur la longueur d à partr du nu de l appu ( 6..(8) ) pu pour x > d à eectuer une tranlaton de la courbe de eort tranchant de cot. ( 6..3(5)) Le recommandaton Proeonnelle préconent le non-cumul de claue an précer. Certan auteur utlent la plu avorable économquement de claue. H Thoner utle cette procédure reopréentée c-deou. p u dagramme de chargement ollctant la poutre a L n L e d,nu,r tranmon drecte: claue 6..(8) cot décalage: claue 6..3(5) eort tranchant RDM dagramme d'eort tranchant de calcul (ollctant) - pour détermner l'épure de epacement de cour d'armature d'âme Procédure - pour vérer n. la rétance : à la compreon de belle On cumule le claue, c et-à-dre que l on procède d abord au décalage de la courbe de la courbe de eort tranchant de cot et non partr de l appu pour tenr compte de tranmon drecte. ( 6..(8) ) S on compare cette nterprétaton avec la modélaton en trell : cot ( 6..3(5) modée ou dem-décalage) pu on écrête ur la longueur d à d + 0, 5 cot, 5 cot ot + 0, 5 cot, 5 cot 0, 9 On montre que cette nterprétaton n et écurtare que cot, Cependant, c et le melleur comprom entre écurté et économe, tout en repectant la dtance d à l appu. Procédure n. 3 : On cumule le claue, c et-à-dre que l on procède d abord au décalage de la courbe de la courbe de eort tranchant de cot comme ndqué dan l EN 99--( 6..3(5)) pu on écrête ur la longueur d. ( 6..(8) ) Ren, dan le texte de l EN 99-- n nterdt de cumuler ce dmnuton d eort tranchant. S on compare cette nterprétaton avec la modélaton en trell : d + cot, 5 cot ot + cot, 5 cot 0, 9 On montre que l applcaton du cumul de ce claue n et écurtare que pour : cot,. EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 36/94

37 Dpoton contructve relatve aux armature d eort tranchant.5. Conttuton d un cour d armature tranverale Le armature d eort tranchant peuvent être compoée d une combnaon de : (vor Fg. 8) - cadre, étrer ou épngle entourant le armature longtudnale tendue et la one comprmée ; - barre relevée ; (rare en France) - cadre ouvert, échelle, épngle etc açonné an entourer le armature longtudnale ma correctement ancrée dan le one tendue et comprmée. Dan le poutre, la rétance à l eort tranchant ne peut être aurée par de barre relevée an le concour d armature tranverale ou orme de cadre, étrer ou épngle ; celle-c dovent reprendre au mon β 3 0, 5 ot 50% de. 9..(4) (4) Dan le ca d une charge non tuée à la parte upéreure de la poutre, l aut prévor de upente pour tranmettre correctement cette charge. 6..(9) Il convent que le cadre, étrer et épngle oent ecacement ancré. Un recouvrement ur le brn vertcal tué prè de la urace de l âme et autoré ou réerve que le cadre ne partcpe pa à la rétance à la toron. cadre, épngle, étrer ntéreur B cadre extéreur Fgure 8 Fg : 9.5 : Exemple d armature d eort tranchant cadre ermé à 35 cadre ermé cadre ermé à 90 à plat cadre ouvert cadre ouvrable étrer 80 épngle 80 épngle 35 Fgure 8 b: Dvere orme de cadre, étrer et épngle EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 37/94

38 .6. Le pourcentage mnmum d armature d eort tranchant et donné par l équaton :,mn 9..(5) (5) b nα {9.4} (5) Pourl e armature d âme drote : {9.4} avec : b (4) pourcentage géométrque (taux) d armature d eort tranchant (par rapport à une ecton de béton orthogonale aux armature) ecton d un cour d armature tranverale régnant ur la longueur b largeur de l âme de l élément epacement de cour d armature tranverale α angle ormé par le armature d eort tranchant et l axe longtudnal de la poutre ; le armature ont drote α 90 et n α 0,08 ck La valeur mnmale, mn :,mn {9.5N} yk Le élément pour lequel ce errallage mnmal peut être om ont dén en 6.. (4)..7. L epacement maxmal (6) (7) Tableau 3 : epacement maxmal de armature nclnée L epacement maxmal longtudnal de l, max cour ucce de cadre ou armature d eort tranchant et dén pour de armature drote par : nnexe natonale Pour le poutre de hauteur h 50mm L epacement maxmal longtudnal de b, max barre relevée et : nnexe natonale : Pour le poutre de hauteur h 50mm l, max {9.6N}, max 0, 75d( + l 0, 9d b, max, max cot α ) 0, 6d( + cot α ) {9.7N} l 0, 9d Tableau 4 : epacement maxmal de armature drote l, max de cour l, max 0, 75d L epacement maxmal longtudnal ucce de cadre ou armature d eort tranchant et dén pour de armature drote par : nnexe natonale Pour le poutre de hauteur h 50mm L epacement maxmal longtudnal de barre relevée et : nnexe natonale : h 50mm b, max Pour le poutre de hauteur {9.6N}, max l 0, 9d b,max, max 0, 6d {9.7N} l 0, 9d EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 38/94

39 . Répartton de armature tranverale..8. Poton de la premère nappe Poton de la premère nappe 0 par rapport au nu de l appu, à ne pa conondre avec le premer epacement qu dépend de l eort tranchant. Elle et détermnée emprquement, pour de raon d ecacté du premer cour, on prendra: 0 h mn up ; 70mm ; 6 artcle de annale de l ITBTP n 445 de jun 986 Certan bureaux d étude prennent une valeur oratare par exemple : 50 ou 00 mm elon l mportance de la poutre pour mpler la me en place du premer cour lor de la abrcaton de la cage d armature..9. Chox de la ecton d armature : On peut utler b b b,mn max,mn,mn La quantté obtenue avec l expreon 0, 75,mn b d conttue une valeur mnmum de la ecton d un cour d armature d eort tranchant qu atat la condton d epacement max. ( h > 50mm ) Pour h 50mm, 0, 90,mn b d conttue une valeur mnmum de la ecton. Remarque : vec,mnb l,max, le premer epacement calculé vére > l,max, pour optmer le pod d acer, l aut dmnuer la ecton d armature pour ne pa être pénalé par l epacement maxmum. Il aut vérer que cela ne condut pa à de epacement à l appu trop able eu égard aux dmenon de la poutre. Le chox de et à dmnuer le premer epacement dépae envron 0,h..0. Détermnaton de epacement Pour la détermnaton de autre epacement, on utle ot : La méthode utlant la ute numérque de Caquot ; La méthode générale baée ur le dagramme de l eort tranchant : épure d epacement. En général, la varaton de chacun de tronçon, la repréentaton de et repréentée par un enemble de egment de drote, c et une oncton ane ur ( x) era au un enemble de egment de drote. Le méthode qu content à détermner le epacement ucce eront graphque.(or exercce) La méthode mplée de CQUOT et valable unquement pour le charge réparte. On détermne enute avec l eort tranchant au nu de l appu. Le nombre de répétton 0 + n réel > d On détermne enute avec l eort tranchant à la dtance d du nu de l appu On chot réel tel que: réel théorque dan la ute numérque de Caquot: en cm On détermne enute le nombre de répétton d'epacement n tel que: EUROCODE - Eort tranchant ELU. LT «le Garro» UCH...Ch. LBOUY...n 39/94