Exercices 8. Analyse asymptotique

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1 Eercices 8 Aalyse asymptotique Relatios de comparaiso pour les foctios et les suites, développemets limités et applicatios 8 Aalyse asymptotique 1 1 Relatios de comparaiso 2 2 Développemets limités 3 3 Applicatio au formes idétermiées 4 4 Applicatio à l étude locale des foctios 6 5 Applicatio au équatios différetielles 6 6 Idicatios 7

2 1 Relatios de comparaiso 1 [ Ue petite comparaiso ] id Soiet a > 1 et b > 1 Comparer et a b 2 [ Ue salve d équivalets ] id Détermier u équivalet simple des suites défiies par : ; 2 1 ; r + 3 ; π arcsi ; 5 l 1 + e 2 1/ ; e e ; arccos si π ; ; 3 [ X PC-2013 ] id Soit u 0 défiie par u 0 R et N, u +1 = u u 2 1 Discuter le comportemet asymptotique de u 0 e foctio de u 0 2 O suppose que u 0 ]0,1[ Motrer que u 1 4 [ U développemet asymptotique ] id Motrer que pour tout N, l équatio l = admet ue uique solutio das ]0,1] que l o ote u Motrer que u = e + e 2 + o e 2 5 [ X PC-2013 ] id Soit f la foctio défiie par f : [e,+ [ l 1 Motrer que f réalise ue bijectio de [e,+ [ sur lui-même 2 Motrer que f 1 + l 6 [ Développemet asymptotique d ue suite défiie eplicitemet ] id Soit β R Pour tout etier aturel o ul, o pose u = e β Détermier u développemet asymptotique à deu termes de u e + LLG PCSI 2 Eercices 8 2

3 7 [ U classique ] id Soit s 0 ue suite de réels de limite ulle telle que s + s O suppose que s est décroissate, motrer que s Prouver que ce résultat est e défaut si s 0 est pas décroissate 8 [ Ue suite récurrete ] id Soit u 0 défiie par u 0 > 0 et u +1 = u k Motrer que u + puis que u + k=0 2 9 [ Itersectios de la courbe de la tagete et de la première bissectrice ] id 1 Motrer que pour N, ta = admet ue uique solutio u das ] π 2 + π, π [ 2 + π 2 Détermier u équivalet de u 3 O pose, pour tout N, v = u π Prouver que v 0 coverge et calculer sa limite l 4 Détermier u équivalet de v l 5 E déduire u développemet asymptotique à 3 termes de u 10 [ X PC-2013 ] id 1 Soit N Motrer qu il eiste u uique R tel que e = O le ote 2 Prouver la covergece de 0 puis détermier u équivalet de 11 [ X PC-2013 ] id Soit défiie par 0 R + et N, +1 = + 2 Détermier u équivalet de 2 Développemets limités 12 [ Trois petits DL ] id Détermier u DL 2 0 des epressios suivates : 1 f = arcta 1 1 ; 2 g = cos si ; π 3 h = l ta 4 cos LLG PCSI 2 Eercices 8 3

4 13 [ Quelques calculs ] id Détermier les DL 0 suivats : pour = 2 ; 2 l1 + l1 + pour = 3 ; si 3 ep pour = 4 ; pour = 2 14 [ Le cotre-eemple de Cauchy ] id Soit N Détermier u DL 0 de f = e 1/2 15 [ Calculs plus astucieu ] id 1 Pour tout etier, calculer le DL 0 de l k 2 Pour tout etier, calculer le DL 0 de l k=0 k! 3 Détermier le DL 6 0 de 2 e t 2 /2 dt 16 [ DL d ue bijectio ] id Soit f : R R la foctio défiie par e 2 1 Prouver que f est ue bijectio Justifier que f 1 admet u DL 0 pour tout N 2 Calculer le DL 5 0 de f 1 3 Applicatio au formes idétermiées 17 [ Approimatios de f ] id Soit f : R R de classe C 2 Soit 0 R Détermier la limite e 0 de f 0 + h + f 0 h 2f 0 h 2 18 [ L iévitable du gere ] id a Soiet a,b et c das R 1/ + Étudier le comportemet e + de f = + b 1/ + c 1/ 3 LLG PCSI 2 Eercices 8 4

5 19 [ Mies PC-2014 ] id Détermier la limite e + de f : +1/ / 1 20 [ Posé au mies ] id Étudier le comportemet asymptotique de u = 21 [ Supplice de la grade roue ] id Calculer lim taπ/4 π π cos + si [ Où s arrêter? ] id 1 Détermier lim 0 si 4 si 23 [ Ue FI itégrale ] id 1 + Détermier la limite e 0 de ϕ = 24 [ X PC-2012 ] id si 1 + si 3 sit dt Détermier la limite quad ted vers 0 de f : 1 25 [ X PC-2011 ] id Détermier la limite de la suite de terme gééral u = [ The limit show ] id t si2t 1/t dt 1/si π 1+ 2 Étudier le comportemet asymptotique des epressios suivates : cos ; 2 e cosh ; 3 l ; l [ X-PC 2012 ] id Soit f : R R dérivable e 0 telle que f 0 = 0 Pour tout etier aturel, o pose k u = f k=1 Étudier le comportemet asymptotique de u 1 2 LLG PCSI 2 Eercices 8 5

6 4 Applicatio à l étude locale des foctios 28 [ Etudes locales ] id Étudier au voisiage de 0 eistece d u prologemet cotiu ou dérivable, positio du graphe par rapport à ue évetuelle tagete les foctios dot les epressios suivet 1 1 f = si ; 1 2 f = 2 si ; 3 f = cos ; 4 f = ; 1 5 f = ; 6 f = [ Ue étude e + ] id Soit f : l1+2 l Détermier le comportemet de f e + Détermier l équatio de la droite asymptote à la courbe e + aisi que les positios de la courbe et de so asymptote e + 30 [ Mies-Pot MP-2012 ] id Détermier le DL 2 0 de f : ta + π 4 1/ta2 Doer l allure de la courbe au voisiage de 0 5 Applicatio au équatios différetielles 31 [ D après ue épreuve CCP MP-2011 ] id O cosidère l équatio E : 2 y 3y = Résoudre E sur R + 32 [ Problèmes de raccord pour ue équatio différetiel ] id Résoudre sur R les équatios suivates : 1 E 1 : y + 1y = 2 ; 2 E 2 : 1 y + y = 2 ; 3 E 3 : y + 1y = 2 LLG PCSI 2 Eercices 8 6

7 6 Idicatios 1 [ Ue petite comparaiso ] O trouve = o a b 2 [ Ue salve d équivalets ] O pourra utiliser cosarcsi = 1 2 au 4 et siarccos = 1 2 au 8 3 [ X PC-2013 ] Cf la méthode classique du cours 4 [ U développemet asymptotique ] Commecer par vérifier que u [ X PC-2013 ] Commecez par remarquer que f 1 = l f 1 pour tout e 6 [ Développemet asymptotique d ue suite défiie eplicitemet ] O trouve u = e/2β β 11βe/2β 1 12 β+1 + o β+1 7 [ U classique ] Coclure par u ecadremet au 1 8 [ Ue suite récurrete ] Trouver ue relatio de récurrece d ordre u vérifiée par u 0 9 [ Itersectios de la courbe de la tagete et de la première bissectrice ] O trouve u = π + π π + o 10 [ X PC-2013 ] O trouve l LLG PCSI 2 Eercices 8 7

8 11 [ X PC-2013 ] O peut devier que Cela reviet à établir que 2 12 [ Trois petits DL ] O trouve : π 1 f = o2 ; 2 g = o 2 ; 3 h = 0 π2 4 + o2 13 [ Quelques calculs ] 1 O a = o 2 2 O a l1 + l1 + = o 3 si 3 O a ep = e e e o 4 4 O a = o 2 14 [ Le cotre-eemple de Cauchy ] Utiliser les croissaces comparées 15 [ Calculs plus astucieu ] Recoaître ue somme géométrique 16 [ DL d ue bijectio ] La foctio f 1 est de classe C O trouve f 1 = o 5 17 [ Approimatios de f ] Écrire la formule de Taylor-Youg à l ordre deu Comme le titre l idique, o trouve f 0 18 [ L iévitable du gere ] O trouve que l epressio ted vers 3 abc lorsque ted vers + 19 [ Mies PC-2014 ] l 2 O a f = O LLG PCSI 2 Eercices 8 8

9 20 [ Posé au mies ] La suite coverge vers e π 3 24 Utiliser des DL pour lever les formes idétermiées 21 [ Supplice de la grade roue ] Log live Taylor! O trouve π 22 [ Où s arrêter? ] O trouve 1/6 23 [ Ue FI itégrale ] Appliquer par eemple! le théorème d itégratio terme à terme des DL 24 [ X PC-2012 ] Utilisez u DL e 0 de la foctio itégrée 25 [ X PC-2011 ] C est ue forme idétermiée, passez au logarithme et utilisez des équivalets 26 [ The limit show ] Ce sot des formes idétermiées : recherchez u équivalet des epressios 27 [ X-PC 2012 ] Eploiter le DL f = 0 f 0 + f 0 + o 28 [ Etudes locales ] Reveir à des ecadremets le cas échéat 29 [ Ue étude e + ] O trouve f = + l [ Mies-Pot MP-2012 ] 1 O trouve f = 0 e + 2e o 2 LLG PCSI 2 Eercices 8 9

10 31 [ D après ue épreuve CCP MP-2011 ] O e trouve aucue solutio sur R + : les solutios sur R + sot toutes prologeables par cotiuité e 0 mais aucue d etre elles est dérivable e ce poit 32 [ Problèmes de raccord pour ue équatio différetiel ] Attetio, o résout toujours ue équatio différetielle sur u itervalle, puis o se pose la questio d u évetuel raccord LLG PCSI 2 Eercices 8 10