Chapitre 4 : Fonction logarithme népérien

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1 I. Logarithme épérie d u réel strictemet positif La foctio epoetielle est cotiue et strictemet croissate sur, à valeurs das 0;. Pour tout réel a de 0; l'équatio e a admet ue uique solutio das.. Défiitio O appelle logarithme épérie d'u réel strictemet positif a, l'uique solutio de l'équatio e a. O la ote l a. Aisi la foctio logarithme épérie, otée l, est la foctio défiie sur 0; par : l : l. Eemple L'équatio e 5 admet ue uique solutio : l5. A l'aide de la calculatrice, o obtiet :,6. Remarque Les courbes représetatives des foctios epoetielle et logarithme épérie sot symétriques par rapport à la droite d'équatio y. TES Lycée Ami

2 2. Coséqueces l 0 l e. Pour tout réel, l e. l Pour tout 0, e. L'équatio e k, avec k 0, admet pour uique solutio l k. Eemples l 2 e 2 Eercice 5 e l e 5 e l l l e Résoudre les équatios et iéquatios suivates : 3 e 0 3l 0 l 2 e e e Relatio foctioelle Théorème Pour tout réel et y strictemet positif, o a : l y l l y. La foctio logarithme épérie trasforme les produits e somme. Soit et y deu réels strictemet positifs. a b Alors il eiste deu réels a et b tels que e et y e. O peut écrire a l et b l y. a b a b y e e e l l l car la foctio epoetielle trasforme ue somme e produit. l y l ab e a b l l y. D où : Coséqueces Pour 0 et y 0, o a : l l pour tout etier relatif, o a : l l O sait que l 2, doc l. l l 0, doc l l l y y l l 0 TES Ga Ami 2

3 d où l l. O sait que l l l l l l y. y y y... l l l... l l. doc fois termes Eercice 2 53 O doe A l 3 et B l 0, 0 3l0 l 5. 2 Ecrire A e somme de logarithmes et B à l aide d u seul logarithme. II. Etude de la foctio l. Dérivée et ses de variatio Théorème La foctio l est dérivable sur l'itervalle 0; et sa dérivée est la foctio iverse sur 0;. Autremet dit, pour tout réel 0,l '. Coséqueces Sur 0;, l ' 0. Doc la foctio l est strictemet croissate sur 0;. Si 0, alors l 0. Si, alors l 0. 0;. Par coséquet l équatio La foctio l est dérivable doc cotiue sur k l k admet ue uique solutio e. Pour tout réel a 0 et b 0, l a l b a b. TES Ga Ami 3

4 Eercice 3 Soit f la foctio défiie sur 0; par : f l. Calculer f ' et costruire le tableau de variatio de f. 2. Calculer f. E déduire le sige de f., puis que 2. s de la courbe représetat la foctio l Pour tout réel de 0;, o a l La foctio l est cocave sur 0;. Eercice e.. Soit f la foctio défiie sur 0; par : l a. Calculer f ' et costruire le tableau de variatio de f. f. l. b. E déduire le sige de f. Coclure. 2. Faire de même pour la foctio g défiie sur 0; par : Eercice 5 Soit f la foctio défiie sur. Calculer f ' et '' f. 0; par : l 2. Coclure sur la coveité de la foctio l. f. f e. III. Equatios avec epoetielle. Recherche de la base de l epoetielle Soit k u ombre strictemet positif cou, et u etier aturel o ul. Das 0;, l'équatio k admet ue uique solutio Le ombre k est la racie -ième de k. k. TES Ga Ami

5 Remarques La racie -ième de k se ote aussi k. Eercice 6 La racie carrée de k est k k 2. La cosommatio e électricité d'u ordiateur est passée de 80 KWh e 200 à 360 KWh e 20. O suppose que la cosommatio a été réduite de faço costate chaque aée. Détermier cette réductio auelle moyee. 2. Recherche de l eposat Soit k u ombre strictemet positif cou. l k O a, pour q 0, q : q k. l q lq l q q e e doc Remarque l q l k q k e e et doc l q l k d où l k. l q Cette formule 'est pas à coaître par cœur. E revache il faut savoir utiliser le logarithme pour résoudre ue équatio de la forme q k. Eercice 7 Ue populatio de bactéries dimiue das la proportio de 5 % par heure. Au bout de combie d'heures la populatio sera-t-elle iférieure ou égale à la moitié de la populatio iitiale? Eercice 8 O place u capital C 0, sas prélèvemet, à u tau d'itérêt composé de % à capitalisatio auelle. O ote C le capital à la fi de la -ième aée.. Quelle est la ature de la suitec? E déduire C e foctio de. 2. Détermier le ombre d'aées écessaire pour doubler le capital placé. TES Ga Ami 5