Dénombrement - Combinatoire Cours

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Sébastien Lafontaine
il y a 8 ans
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1 Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples que ous verros est la formule du biôme de Newto. Commeços par ous itéresser à deux exemples très simples. Exemples : O effectue trois tirages successifs de pile ou face. Les différets tirages possibles sot,,,,,,,, soit tirages possibles. Si o s itéresse, par exemple, aux tirages avec au mois ue fois pile, o s aperçoit qu il y e a 7 sur 8. O peut égalemet préseter la liste des tirages sous forme d u arbre : Les différets tirages sot alors représetés par chacu des huit chemis de l arbre. Remarques importates!! Ici, l ordre d apparitio de ou est importat et il peut y avoir des répétitios. Malheureusemet, les situatios où o peut faire la liste exhaustive de toutes les possibilités sot assez rares. Si o cherche à compter le ombre de codes secrets (par exemple, de carte bleue) à 4 chiffres, il est hors de questio de faire la liste de tous les codes possibles. E revache, chaque chiffre du code est etre 0 et 9, soit 10 possibilités. Comme o a 4 chiffres das le code, o a au total possibilités. Aisi, il existe que codes à 4 chiffes différets. 1

Les différets tirages possibles sot,,,,,,,, soit 2 3 8 tirages possibles. Si o s itéresse, par exemple, aux tirages avec au mois ue fois pile, o s aperçoit qu il y e a 7 sur 8.

2 1 Rappels sur les esembles Défiitio Soit E u esemble et A et B deux sous-esembles de E. O défiit A B : {x E, x A ou x B}, A B : {x E, x Aet x B}, E\A : A : {x E, x A}. Défiitio O suppose à préset que E est fii i.e. qu il e posséde qu u ombre fii d élémets. O appelle ce ombre le cardial de E et le ote Card(E). ropriété O a les égalités suivates : Card(A B)Card(A)+Card(B) Card(A B), Card(E\A)Card(E) Card(A). 2 Arragemets Commeços tout d abord par rappeler la défiitio de la foctio factorielle. Défiitio Soit u etier aturel. O défiit le ombre!, appelé factorielle, par! ( 1) ( 2) ar covetio, 0!1. Ex : O a 3!3 2 16, 5! Défiitio Soit et p deux etiers tels que p. O cosidère E u esemble à élémets : E {e 1,...,e }. U arragemet à p élémets parmi est ue liste ordoée de p élémets disticts parmi les élémets de E. O parle aussi de liste sas répétitio à p élémets parmi. 2

$ropriété O a les égalités suivates : Card(A B)Card(A)+Card(B) Card(A B), Card(E\A)Card(E) Card(A). 2 Arragemets Commeços tout d abord par rappeler la défiitio de la foctio factorielle.$

3 Remarques importates!! Ici, l ordre est importat mais il y a pas de répétitios. ropriété Si E est u esemble à élémets alors le ombre de liste sas répétitio de p élémets de E est doé par : ( 1) ( 2) ( (p 1) ) ( 1) ( 2) ( p+ 1) )! ( p)!. Démostratio. O utilise u raisoemet par cases : 1 er élémet 2 ième élémet 3 ième élémet... p ième élémet possiblités ( 1) possibilités ( 2) possiblités... ( p + 1) possibilités O a possiblités pour choisir le premier élémet de la liste, puis comme o a pas droit aux répétitios, o a plus que ( 1) choix possibles pour le deuxième élémet, et aisi de suite jusqu au p ième élémet pour lequel, o a ( p+ 1) possibilités. Aisi le ombre total de telles listes est bie! ( p)!. Exercice résolu O dispose d ue ure coteat trois boules différetes, umérotées 1, 2 et 3 et o e tire deux (sas remise) parmi les trois. Combie de tirages différets peut-o effectuer? Solutio : U tirage correspod à u arragemet de deux élémets parmi trois. E effet, l ordre de tirage est importat mais o effectue le tirage sas remise doc il e peut y avoir 3! de répétitios. O a doc 6 tirages possibles. Das ce cas, o peut ecore faire la (3 2)! liste exhaustive de ces différets tirages, par exemple sous forme d arbre. Remarques importates!! U raisoemet du même type permet de voir facilemet que si o cosidère des listes de p élémets avec répétitios, alors le ombre de ces listes est de p. 3

O utilise u raisoemet par cases : 1 er élémet 2 ième élémet 3 ième élémet... p ième élémet possiblités ( 1) possibilités ( 2) possiblités.

4 3 ermutatios A préset, ous allos ous itéresser plus particulièremet au cas où p. Défiitio Soit u etier aturel et E u esemble de élémets. Ue permutatio de E est ue liste des élémets de E. Autremet dit, ue permutatio est de E est ue faço de rager les différets élémets de E. Ex : Si E {a,b,c,d}, alors (a,b,c,d) et (a,c,d,b) sot deux permutatios de E. Remarques importates!! Ici aussi, l ordre est importat mais il y a pas de répétitios. ropriété Soit E u esemble de élémets. Le ombre de permutatios de E est doé par!. Démostratio. Là ecore, o peut faire u raisoemet par cases : 1 er élémet 2 ième élémet 3 ième élémet... ième élémet possiblités ( 1) possibilités ( 2) possiblités... 1 possibilité O a possiblités pour choisir le premier élémet de la liste, puis ( 1) choix possibles pour le deuxième élémet, et aisi de suite jusqu au derier élémet pour lequel, o a plus qu ue seule possibilité. Aisi le ombre total de permutatios est bie!. Remarques importates!! Ue permutatio est e fait ue liste sas répétitio de élémets de E, et doc e utilisat les résultats de la partie précédete pour p, o obtiet bie qu il y a! ( )!!! telles listes. 0! Exercice résolu Combie y a-t-il de faços de placer huit persoes autour d ue table? Solutio : O cherche les ombre de permutatios d u esemble à 8 élémets. Il y a doc 8! faços de placer 8 persoes autour d ue table. 4

! Ici aussi, l ordre est importat mais il y a pas de répétitios. ropriété Soit E u esemble de élémets. Le ombre de permutatios de E est doé par!. Démostratio.

5 4 Combiaisos Défiitio Soit et p deux etiers aturels tels que p. O cosidère E u esemble à élémets. Ue combiaiso de p élémets parmi est u sous-esemble de cardial de E. Ex : Si E {a,b,c}, alors les combiaisos de 2 élémets de E sot {a,b},{a,c} et {b,c}. Remarques importates!! Das ce cas, o e tiet pas compte de l ordre et il y a pas de répétitios. ropriété Le ombre de combiaisos de p élémets d u esemble à élémets est! p p!( p)!. O ote parfois ce ombre C p et o dit p parmi. Démostratio. O cosidère E u esemble à élémets : o souhaite déombrer les parties de E à p élémets.! O sait déjà qu il y a listes ordoées sas répétitios à p élémets. Or chaque combiaiso de p élémets permet de costituer p! listes ordoées : c est le ombre de permutatios d u ( p)! esemble à p élémets. O peut doc e déduire que le ombre de combiaisos à p élémets est Nombre de listes ordoées à p élémets p Nombre de permutatios à p élémets! ( p)! p!! p!( p)!. 5

ropriété Le ombre de combiaisos de p élémets d u esemble à élémets est! p p!( p)!. O ote parfois ce ombre C p et o dit p parmi. Démostratio.

6 Exercice résolu O tire 5 cartes d u jeu de 32 et o appelle ue mai l esemble de ces 5 cartes. 1) Combie y a-t-il de mais de 5 cartes? 2) Combie y a-t-il de mais coteat exactemet deux cœurs? 3) Combie y a-t-il de mais coteat au mois u roi? Solutio : 1) Ue mai de 5 cartes représete e fait ue combiaiso de 5 cartes. E effet, o e tiet pas compte de l ordre das lequel o reçoit les cartes et o e peut pas avoir deux fois la même carte! Doc le ombre total de mais de 5 cartes vaut ) ( our ) fabriquer ue mai avec exactemet 2 cœurs, il faut choisir 2 cœurs parmi ( 8, ) soit 8 24 puis il reste 3 cartes à choisir parmi les 24 qui e sot pas des cœurs, soit. Au 2 3 fial, o a doc mais avec exactemet 2 cœurs ) our détermier le ombre de mais avec au mois u roi, o peut compter celles avec exactemet u roi, puis celles avec exactemet deux rois, et aisi de suite puis tout ajouter. E fait, il est plus simple de compter le ombre de mais avec aucu roi, ( puis ) de le soustraire du ombre total de mais. Le ombre de mais sas roi est de 28 5 et doc le ombre de mais avec au mois u roi vaut ropriétés des coefficiets biomiaux ropriété Soit et p deux etiers aturels tels que p. O a 1,,, 1 et p p Démostratio. représete le ombre de partie à zéro élémet parmi ; or la seule partie à zéro élémet est 0 6

E effet, o e tiet pas compte de l ordre das lequel o reçoit les cartes et o e peut pas avoir deux fois la même carte! Doc le ombre total de mais de 5 cartes vaut 32 201376.

7 le vide doc 1. 0 Esuite, o cherche le ombre de partie à 1 élémet : il y e a évidemmet. Doc. 1 Itéressos-ous esuite à. O cherche les parties de E coteat élémets. Or la seule partie à élémet est E lui-même doc 1. uis, o cherche le ombre de partie à ( 1) élémets parmi ; cela reviet ( e) fait à écarter u élémet et o viet de voir qu il y avait faços de choisir u élémet. Doc. 1 Ce raisoemet permet de justifier aussi que ; e effet, choisir ( p) élémets, cela p p reviet à e écarter p. ropriété our tout et p deux etiers aturels, o a p p+ 1 p+ 1 Démostratio. ar défiitio, o a + p p+ 1! p!( p)! +! (p+ 1)!( p 1)! (p+ 1)!+( p)! (p+ 1)!( p)! (+ 1)! (p+ 1)!( p)! (+ 1)! (p+ 1)!(+ 1 p 1)! + 1. p+ 1 O peut égalemet motrer ce résultat de maière u peu plus élégate e utilisat des méthodes de déombremet. O cherche le ombre de parties de (p + 1) élémets parmi ( + 1) élémets. O cosidère E u esemble de (+1) élémets et a u élémet de E. Alors les parties de (p+1) élémets de E sot de deux sortes : celles qui e cotieet pas a : il y e a. Il faut choisir (p+ 1) parmi les élémets de E p+ 1 qui e sot pas a. celles qui cotieet a : il y e a. Il faut choisir p élémets (puisqu o sait déjà qu u élémet p est a) parmi les élémets de E qui e sot pas a. 7

uis, o cherche le ombre de partie à ( 1) élémets parmi ; cela reviet ( e) fait à écarter u élémet et o viet de voir qu il y avait faços de choisir u élémet. Doc.

8 + 1 E coclusio, o a +. p+ 1 p+ 1 p Cette propriété permet d obteir ce qu o appelle le triagle de ascal doat les valeurs des : p ropriété (ormule du biôme de Newto) Soit a,b R et N. O a (a+ b) a + a 1 b+ a 2 b ab 1 + b a b Démostratio. O utilise ue démostratio par récurrece. our N, o pose () : (a+ b) a b. 0 (0) est vraie car (a+ b) 0 1 et a b 0 a 0 b Soit N tel que () est vraie. O a (a+ b) +1 (a+ b)(a+ b) (a+ b) a b 0 a a b + b a b 0 0 a +1 b + a b a b +1 + a b

biôme de Newto) Soit a,b R et N. O a (a+ b) a + a 1 b+ a 2 b 2 + + ab 1 + b a b. 1 2 1 0 Démostratio.

9 (a+ b) +1 [ ] + a b +1 + a +1 + b a b a +1 b a 0 b a b Aisi (+1) est vraie et alors le pricipe de récurrece assure que, pour tout N,() est vraie. Exercice résolu Soit E u esemble à élémets. Détermier le ombre de parties de E. Solutio : our détermier le ombre de parties de E, il faut calculer la somme E effet, les parties de E compte zéro élémet, ou 1 élémet, ou 2 élémet..., ou ( 1) élémets ou élémets. Et pour calculer cette somme, ous allos utiliser la formule du biôme de Newto : 2 (1+1) Doc le ombre de parties d u esemble à élémets est 2. 9

Solutio : our détermier le ombre de parties de E, il faut calculer la somme + + + + +.

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