ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

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1 CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS D ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES OPTION SCIENTIFQUE MATHEMATIQUES II Aée 26 La présetatio, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets etrerot pour ue part importate das l appréciatio des copies. Les cadidats sot ivités à ecadrer das la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils e doivet faire usage d aucu documet : l utilisatio de toute calculatrice et de tout matériel électroique est iterdite. Seule l utilisatio d ue règle graduée est autorisée. Le problème a pour objet l étude de quelques propriétés cocerat le ombre de racies réelles d u polyôme de degré, ( > ), à coe ciets réels xés ou aléatoires. Das les parties II et III, les polyômes cosidérés sot à coe ciets réels et o pourra cofodre polyôme et foctio polyomiale associée. Pour toute foctio dérivable sur so domaie de dé itio, la dérivée de ue large mesure, idépedates. est otée. Les quatre parties du problème sot, das Partie I : Nombre de racies réelles d u polyôme du secod degré à coe - ciets aléatoires O cosidère das cette partie, deux variables aléatoires réelles X et X dé ies sur le même espace probabilisé (; A; P ), idépedates et de même loi. Pour tout! de, o cosidère le polyôme Q! d idétermiée y, dé i par : Q! (y) = y 2 + X (!)y + X (!) O désige par M(w) le ombre de racies réelles de Q!.. Motrer que l applicatio M qui, à tout! de associe M(!), est ue variable aléatoire dé ie sur (; A; P ). 2. Soit Z ue variable aléatoire dé ie sur (; A; P ), qui suit ue loi de Beroulli de paramètre p (p 2]; [). O suppose das cette questio que X et X suivet la même loi que 2Z. (a) Détermier la loi de X. /5

2 (b) Détermier la loi de M et calculer so espérace E(M). Das les questios suivates, o suppose que X et X suivet ue même loi expoetielle de paramètre =2. O pose : Y = 4X ; Y = X 2; Y = Y + Y, et o ote F Y ; F Y, et F Y, les foctios de répartitio de Y, Y et Y, respectivemet. 3. Motrer que l o a, pour tout x réel F Y (x) = p e x=2 si x > si x 6 et F Y (x) = si x > e x=8 si x < E déduire l expressio d ue desité f Y de Y et d ue desité f Y de Y. 4. Soit g la foctio dé ie sur R + par g(t) = p t exp t p t, où exp désige la foctio expoetielle. (a) Etablir la covergece de l itégrale impropre + Z g(t)dt. (b) E déduire qu ue desité f Y de la variable aléatoire Y est doée, pour tout x réel, par : 8 + Z >< 32 ex=8 g(t)dt si x < f Y (x) = + Z >: 32 ex=8 g(t)dt si x > 5. O désige par la foctio de répartitio d ue variable aléatoire qui suit la loi ormale cetrée réduite. (a) Justi er la validité du chagemet de variable u = p t das l itégrale impropre (b) E déduire que e foctio de. + Z g(t)dt = 4 p e + Z (c) Motrer que, pour tout réel x positif, o a : f Y (x) = x + Z g(t)dt. e v2 =2 dv, et doer, pour tout réel x égatif, l expressio de f Y (x) p 2e 8 p x e x= (d) Détermier la loi de M et so espérace E(M) (o fera iterveir le ombre (). Partie II : Suites de Sturm Soit u etier supérieur ou égal à, et soit P (X) = X + a X + + a X + a u polyôme ormalisé (a = ) doé, à coe ciets réels. O suppose que toutes les racies réelles de P sot simples. L objectif de cette partie est de décrire u algorithme permettat de détermier le ombre de racies réelles de P apparteat à u itervalle doé [a; b]. O associe au polyôme P la suite (R i ) i> de polyômes dé ie de la maière suivate : R = P; R = P, et pour tout etier j tel que R j+ 6=, le polyôme R j+2 est l opposé du reste de la divisio euclidiee de R j par R j+. Si R j+ =, o pose R j+2 =. 2/5

3 . Motrer qu il existe u etier k (k > 2), tel que R k =. O ote R m (m > ), le derier polyôme o ul de la suite (R i ) i>. Das toute cette partie, o pose : 8>< >: R = S R R 2 R = S 2 R 2 R 3. R m 2 = S m R m R m R m = S m R m 2. (a) Motrer que s il existe u etier j de [[; m ]] et u réel x tels que R j (x ) = R j+ (x ) =, alors P (x ) = P (x ) =. (b) E déduire que le polyôme R m admet pas de racie réelle. (c) Soit j u etier de [[; m ]]. Motrer que si x est ue racie réelle de R j, alors R j (x )R j+ (x ) <. 3. Soit s = (s ; s 2 ; : : : ; s t ) ue t-liste (t > 2) de ombres réels o tous uls. O ôte de s tous les élémets uls e préservat l ordre, et o obtiet aisi ue p-liste (p 6 t) bs = ( bs ; bs 2 ; : : : ; bs p ). O appelle ombre de chagemets de sige de s, le ombre d élémets de l esemble E dé i par : E = fi 2 [[; p ]]; = bs i ds i+ < g: Si p =, o dit que le ombre de chagemets de sige est ul. Par exemple, si s = (; 3; ; 5; 3; 2), o a : bs = (3; 5; 3; 2), et le ombre de chagemets de sige est égal à 2. Pour tout réel x, o ote respectivemet C (x); C 2 (x) et C(x), le ombre de chagemets de sige du couple (R (x); R (x)), de la m-liste (R (x); R 2 (x); : : : ; R m (x)), et de la (m + )-liste (R (x); R (x); R 2 (x); : : : ; R m (x)). O désige par x ue racie réelle du polyôme P. (a) E étudiat les variatios de P au voisiage de x, motrer qu il existe u réel > tel que, si h 2]; [, o a : C (x + h) C (x h) =. (b) À l aide de la questio 2.c, motrer qu il existe u réel 2 > tel que, si h 2]; 2 [, o a : C 2 (x + h) = C 2 (x h) (o distiguera les deux évetualités : soit, x est racie d aucu des polyômes R ; R 2 ; : : : ; R m, soit, il existe u etier j de [[; m ]] tel que R j (x ) = ). (c) Déduire des deux questios précédetes que pour = mi( ; 2 ) et h 2]; [, o a C(x +h) C(x h) =, et que si a et b sot deux réels qui e sot pas racies de P et qui véri et a < b, alors le ombre de racies réelles de P das [a; b] est égal à C(b) C(a). 4. (a) Soit ue racie (réelle ou complexe) de P. Motrer que si jj >, alors jj 6 jj ja k j. E déduire, pour toute racie de P, l iégalité : jj 6 + j k j. (b) Ecrire e fraçais, u algorithme permettat de détermier le ombre de racies réelles de P. k= 5. O dé it e Pascal cost =..., Type tab=array[..] of real; Var T : tab ; Ecrire ue foctio Pascal dot l e-tête est Fuctio bchgs(t:tab):iteger qui doe le ombre de chagemets de sige das la suite de réels (T[], T[2],..., T[] ). O tiedra compte du fait que le tableau T peut coteir des élémets uls. La foctio bchgs utilisera que le tableau T et aucu autre tableau auxiliaire. O expliquera e fraçais la démarche utilisée. k= 3/5

4 Partie III : U majorat du ombre de racies réelles de P Soit V u polyôme de R tel que V (X) = v m X m +v m X m + +v X +v. O ote V? le polyôme réciproque du polyôme V, dé i par : V (X) = vox m + v X m + + v m X + v m. Soit u etier de N. O cosidère l applicatio T qui, à tout polyôme P de degré, ormalisé, à coe ciets réels, P (X) = X + a X + + a X + a, associe le polyôme T (P ) dé i par T (P )(X) = XP (X). O désige par N (P ) le ombre de racies o ulles de P das l itervalle [ ; ] comptées avec leurs ordres de multiplicité, par N (P ) le ombre de racies de P das ] ; ] [ [; +[ comptées avec leurs ordres de multiplicité, et par N(P ) le ombre de racies réelles de P comptées avec leurs ordres de multiplicité.. (a) Etablir, à l aide du théorème de Rolle, l iégalité : N (P ) 6 N T k (P ) + 2. (b) Pour tout k de N, o pose T k = T T T Motrer que N (P ) 6 N T k (P ) + 2k. (k fois). 2. (a) Motrer que pour tout réel x o ul, o a P? (x) = x P x. (b) Motrer que N (P ) = N (P ) 3. Pour tout réel x et pour tout etier aturel k o ul, o pose : Q k (x) = + a k x + a 2 2 k x a k x Motrer que T k (P )? = k Q k. 4. (a) Etablir, pour tout réel y de [; ], l iégalité : ( y)e y 6. (b) O admet la propriété suivate : soit r et deux réels tels que < r <. O ote D p = fz 2 C = jzj 6 g. Soit U u polyôme de R tel que U() 6=. Soit u réel strictemet positif tel que pour tout z de D p, ju(z)j 6. Alors, le ombre de racies réelles de U comptées avec leurs ordres de multiplicité, das l itervalle [ r; r], est majoré par le réel : l l r ju()j E appliquat cette propriété au polyôme Q k avec r = et = e k=, (k 2 N ), déduire des questios précédetes que pour tout k de N, o a : N (P ) 6 2k + k l (L(P )), avec L(P ) = + X ja i j : (c) Soit la foctio dé ie sur R + par : (x) = 2x +, où est u paramètre réel positif. x i. Etudier les variatios de. ii. Motrer que ( p =2 + ) p 2. iii. E déduire l iégalité : N (P ) p 2 l (L(P )). (d) E supposat a 6=, o démotrerait de même (et o admettra das la suite du problème) que : s L(P ) N (P ) l ja j Coclure e doat u majorat de N(P ), foctio des coe ciets a ; a ; : : : ; a. : i= 4/5

5 Partie IV : Nombre de racies réelles d u polyôme de degré à coe ciets aléatoires Pour etier supérieur ou égal à 2, o cosidère das cette partie, les variables aléatoires réelles X ; X 2 ; :::; X dé ies sur le même espace probabilisé (; A; P ), idépedates et de même loi de Poisso de paramètre, strictemet positif. Pour tout! de, o cosidère le polyôme Q!, d idétermiée y, dé i par : Q! (y) = y + X y + + X (!)y + Soit M (!) le ombre de racies réelles de Q!. O admet que l applicatio M aléatoire dé ie sur (; A; P ). :! 7! M (!) est ue variable. O dé it la variable aléatoire L par : L = 2 + X i. Soit Z = L 2. Rappeler la loi de Z. 2. l aide des résultats de la partie III, motrer que pour tout! de, o a : i= M (!) p 2 p l (Z (!) + 2) 3. Soit h ue foctio de classe C 2, cocave sur R +. Soit W ue variable aléatoire dé ie sur (; A; P ), à valeurs das N. O suppose l existece des espéraces E(W ) et E (h(w )). (a) Motrer que, pour tout couple (x ; x) de réels positifs, o a : h(x) 6 h (x )(x x ) + h(x ). (b) E preat x = E(W ), établir l iégalité suivate : E ((h(w )) 6 h (E(W )). 4. (a) Motrer que la foctio ' dé ie sur R + par '(x) = p l(x + 2) est cocave sur R +. (b) Soit a u réel positif. Motrer que la série de terme gééral p l(k + 2) ak k! 5. (a) Prouver l existece de l espérace E(M ). (b) Motrer que, pour tout réel strictemet supérieur à =2, o a : E(M ) lim!+ = est covergete. 5/5

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