L[f(t)] = F(p) = e. b) rampe. at e pt dt= F(p) = F(p) = [ ate pt. p ] F(p) = [ a e p. p a.0.e0. p t. e 1. F(p) = 1/ p ] F(p) = [ e pt p ] e 1.

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1 BTS CIM 2 LA TRANSFORMATION DE LAPLACE ) Définiion A oue foncion réelle du ems f(), on associe une foncion F() de la variable comlexe =σ+jω ar : L[f()] = f e d 2) Quelques ransformées de Lalace a) échelon Γ()= si f() f() [ ] [ ae 2 Γ() a Γ()= si ae ] = a 2 2 L[f()] = b) rame a e d= [ ae ] [ a e e d=[ e ] =[ e e ] = f g ' d=[ fg ] ae d a..e ] [ ae 2 ] f ' g d b) exonenielle décroissane f() τ e -/τ L[f()] = e e d= e d [ =[ e ] e e ] [ ] = c) exonenielle croissane f() τ e [ e [ ] [ e / ] [ - e -/τ / e L[f()]=F()= e [ [ e ] e / ] e d= ] ] = = = = e d e e d

2 d) sinus f() 2j [ e j j ] e 2j [ j 2j [ L[f()]=F()= sin e e d= j e j e d 2j 2j e j e d e j e d 2j j e j ] 2j [ = e j e j ] [ e j e j j = 2 [ e j j ] [ - sin() e) cosinus f() cos() - T T e 2 [ j e j d e d j j e j j ] [ e j ] = 2j[ j j 2j j j = 2j 2 j j e j j 2j j 2 2 = j ] j ] 2 = L[f()]=F()= cos e e d= j e j e d 2 e j e d e j e d j e j ] = 2 [ e 2 e j ] [ e j e 2 j j = e j d e d j j j e j j ] [ e j ] = 2 [ j j 2 j j = 2 j j e j j 2 j 2 2 = j ] j ] 2 2= 2 2 f) sinus décroissan exoneniellemen e - sin() L[f()]=F()= e sin e e d= j e j e d 2j 2j e j e d e j e d 2j [ e j j ] j e [ j ] 2

3 2j [ e j e j ] [ e j e j ] 2j[ j j ] 2j j j = 2 = j j 2j j j = 2j 2j 2 j 2 3) Table des ransformées de Lalace 3

4 4) Proriéés a) linéarié L[α f() + β f2()] = α L[f()] + β L[f2()] = α F() + β F2() b) dérivaion On considère la dérivée au sens des disribuions alors : L[f'()] = F() f( - ) Remarques : si f() es coninue à = alors f( - ) = f( + ) = f() e L[f'()] = F() f() si f() es disconinue à = alors f( - ) f( + ) e il exise une imulsion de Dirac de oids [f( + )-f( - )] à = our f'(), dérivée au sens des disribuions de f(). c) inégraion F L [ f d ] = 4

5 d) héorème du reard Soi une foncion f() causale, c'es à dire f()= ou <. Alors : L[f(-T)] = e -T F() e) ranslaion dans le lan comlexe F(+a) = L[e -a f()] f) héorème de la valeur finale lim f =lim F + (lorsque cee limie exise) g) héorème de la valeur iniiale lim f = f + = lim F + + 5) Transformée de Lalace de l'imulsion de Dirac =lim a a f'() f() a f Γ()= si Γ() Foncion échelon Г() Γ()= si δ() imulsion de Dirac δ() + Rerésene le «oids» de l'imulsion de Dirac =lim f ' = ' a L'imulsion de Dirac es la dérivée, au sens des disribuions, d'une foncion échelon. L'imulsion de Dirac es oujours nulle sauf en = où elle vau +. Par conre, l'aire sous l'imulsion de Dirac es finie, elle es aelée «oids» de l'imulsion (elle vau sur ce exemle). + - a + f ' d=a a == - d Comme = ' On a, si l'on considère la dérivée au sens des disribuions : L[δ()] = L[Γ'()] = L[Γ()]-Γ( - ) = =, que l'on rerouve bien dans la able des ransformées. 6) Imédance oéraionnelle a) définiion Soi un diôle linéaire : i() v() v() = relaion inégro-différenielle de i(), en aliquan la ransformée de Lalace à cee équaion, il vien : Termes dûs aux condiions iniiales dans le diôle V() = Z() I() + V() ou I() = Y() V() + I() Z() es aelée imédance oéraionnelle. 5 Alors : Z = Y = [ V I ] condiions iniiales nulles

6 b) diôles de base Diôle Foncions emorelles i() e u() Transformées de Lalace I() e U() Résisance i() R I() R v() v() = R i() V() V() = R I() Z = Y =V I =R Inducance i() L v() v =L di d V =L Lalace di =L I i - d V =L I Li - L I =V Li - I = V Li - = V L L i - I =Y V i - = V Z i - Z = Y [ = V I ] = L i(-)= I() L Y V Caacié i() q() C v() v = q C i d v = C i d=c v d i d d C v = d d dv i =C d V() Les condiions iniiales son modélisées ar un échelon de couran d'amliude i(-) dv I =C Lalace d I =C [ V v - ] I =CV Cv - CV =I Cv - V = I Cv - = I C C v - V =Z I v - Z =[ V I ] = C v(-)= I() C Z I V() v - i - Échelon de ension d'amliude v(-) 6

7 7) Foncion de ransfer isomorhe a) définiion condiions iniiales enrée e() Sysème linéaire sorie s() Puisque le sysème es linéaire les grandeurs e() e s() son liées ar une équaion différenielle linéaire à cœfficiens consans : d n s d n s d m e d m e a n a d n n a d n s =b m b d m m b d m e En renan la ransformée de Lalace de cee équaion, on obien une relaion de la forme : S =T E F avec T = b b b m m a a a n = N n dû aux condiions iniiales non nulles D T =[ S E ] condiions iniiales nulles T() es la foncion de ransfer isomorhe (ou ransmiance isomorhe, noée arfois H()) du sysème linéaire. Les racines de D() son aelées les ôles de T(). Les racines de N() son aelées les zéros de N(). b) réonse imulsionnelle δ() T() L'enrée es une imulsion de Dirac, la sorie s() es aelée la s() réonse imulsionnelle du sysème linéaire. On monre que : L[s()] = T() Par conséquen, si on connaî la foncion de ransfer isomorhe T() du sysème linéaire, on rouve sa réonse imulsionnelle s() en faisan la ransformaion inverse de Lalace de T(). c) réonse harmonique, foncion de ransfer isochrone ou ransmiance isochrone Lorsque l'enrée e() es un signal sinusoïdal e que l'on s'inéresse à la réonse en régime sinusoïdal ermanen, alors la foncion de ransfer comlexe, T(jω) du sysème linéaire eu-êre obenue à l'aide de la ransformaion suivane : T = j T j T(jω) : foncion de ransfer isochrone (ou ransmiance isochrone) T() : foncion de ransfer isomorhe (ou ransmiance ismorhe) d) sabilié d'une foncion de ransfer Définiion : Un sysème linéaire es sable si sa réonse imulsionnelle end vers lorsque end vers + On obien alors la condiion suivane our T() : Un sysème linéaire, de ransmiance isomorhe T() es sable si ous ses ôles son à arie réelle négaive. Sysème du remier ordre Sysème du deuxième ordre Sysème du roisième ordre T = T sable si τ> T = T 2m 2 sable si ω> e si m> T T = 2 3 sable si α, β, γ > e si αβ > γ 7

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