Fonctions de Bessel : comportement à l infini

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1 Prépa. Agrég écri d Analyse, avril 23. Foncions de Bessel : comporemen à l infini 1. Éude au moyen de l équaion différenielle Voir Chaerji volume 3, secions 2.6 e 2.7. On suppose que n es un enier e que y es soluion sur l inervalle ouver (, + ) de l équaion de Bessel d ordre n, 2 y () + y () + ( 2 n 2 ) y() =. Si on pose z() = y(), on rouve facilemen pour la foncion z la nouvelle équaion différenielle (1) z () + ( 1 n2 1/4 ) 2 z() =. Dans cee équaion différenielle de la forme z () + q() z() =, le erme q() = 1 n2 1/4 2 end assez vie vers 1 à l infini, ce qui fai espérer que les soluions de cee équaion perurbée seron proches à l infini des soluions bien connues de l équaion z +z =, équaion qui correspond au cas q = 1. C es ce que nous allons monrer dans cee première secion. Le résula de la proposiion qui sui es valable pour oue soluion y de l équaion de Bessel d ordre n (où n es un enier ), mais on va s inéresser surou à la soluion pariculière donnée par la foncion de Bessel J n, qui es à un muliple près la soluion de l équaion de Bessel d ordre n qui rese bornée quand. On rappelle que, J n () = + k= ( 1) k (/2)2k+n k! (k + n)!. Proposiion 1. Pour ou enier n, il exise deux consanes λ n e ϕ n elles que J n () = λ n cos( ϕ n ) + O( 3/2 ) lorsque +. Dans la secion 2, on calculera les valeurs de λ e ϕ par une aure approche. 1

2 Par la ransformaion usuelle qui fai passer d une équaion différenielle du second ordre à un sysème différeniel du premier ordre, on se ramènera à parir de l équaion (1) à un sysème différeniel du ype ( ) Z () = ( A + E() ) Z() où Z es une foncion vecorielle définie sur un inervalle [, + ), A une marice fixée de aille d d, e E() une foncion à valeurs maricielles, qui es peie, au sens que E = + E() d < +. Dans la suie, la norme d une marice sera la norme subordonnée à la norme euclidienne sur d. On suppose de plus que A es réelle anisymérique, ce qui enraîne que l exponenielle e sa es une marice orhogonale pour ou s réel ; en effe, la ransposée (e sa ) = e sa = e sa es bien l inverse de la marice e sa (on noe B la ransposée d une marice B, carrée ou non). Cherchons une soluion du sysème ( ) sous la forme Z() = e A V() ; on doi avoir ce qui se ransforme en A e A V() + e A V () = Z () = A Z() + E() Z(), V () = e A E() e A V(). Posons B() = e A E() e A ; on a B() = E() puisque la marice e A es orhogonale, c es-à-dire qu elle défini une isomérie de d muni la norme euclidienne. Lemme. Si B() es coninue de [, + ) dans M d () e si B = + B() d < +, oue soluion V du sysème différeniel V () = B()V() sur l inervalle [, + ) end vers une limie V( ) lorsque +, e de plus, V() V( ) e B V( ) + B(s) ds. Preuve. On commence par vérifier que V rese borné, en éudian N() = V()V(), le carré de la norme du veceur V(). On vérifie que N () = 2 V()V (), ce qui donne N () = 2 V()B()V() 2 B() V() 2 = 2 B() N(). Il es facile de résoudre cee inéquaion différenielle (c es le lemme de Gronwall si on veu) : si on pose b() = B(s) ds, on voi que la foncion ϕ() = e 2b() N() es décroissane puisque ϕ () = 2b ()ϕ() + e 2b() N () 2 B() ϕ() + 2 B() e 2b() N() =. On en dédui que, N() e 2b() ϕ( ) = e 2b() N( ). 2

3 D après l hypohèse du lemme, la foncion posiive b end en croissan vers B à l infini, donc N e V resen bornés, avec, V() e b() V( ) e B V( ). Pour erminer, on a pour V( 2 ) V( 1 ) = V (s) ds 1 2 sup V() B(s) ds, 1 ce qui monre que V vérifie la condiion de Cauchy à l infini, donc converge vers un veceur limie V( ). En faisan passer à la limie la majoraion précédene, on obien V( ) V( 1 ) = + ce qui ermine la démonsraion du lemme. 1 V (s) ds e B V( ) + 1 B(s) ds, Une fois le lemme éabli, on obien facilemen la proposiion qui sui, qui va nous confirmer que les soluions d un cerain sysème perurbé son proches à l infini de soluions du sysème sans perurbaion. Proposiion 2. On suppose que E() es coninue de [, + ) dans M d (), que E = + E() d < +, e que A es une marice réelle anisymérique ; pour oue soluion Z du sysème différeniel Z () = (A + E()) Z() sur l inervalle [, + ), il exise un veceur v d el que +, Z() e A v e E Z( ) E(s) ds. Preuve. On a déjà di que si on pose Z() = e A V(), alors V vérifie le sysème différeniel V () = B()V(), avec B() = e A E() e A, qui a la même norme que E() ; d après le lemme, V() end vers un veceur v = V( ) quand end vers l infini, e de plus V() v e B V( ) + B(s) ds = e E Z( ) + E(s) ds. Il ne rese plus qu à muliplier V() v par la marice orhogonale e A pour erminer la preuve de la proposiion 2. On voi ainsi que oue soluion du sysème perurbé par E() es asympoe à une soluion du sysème Z = AZ. evenons aux équaions (1) qui corresponden au cas des foncions de Bessel. On pose pour z soluion de l équaion (1) z Z() = () ; z() l équaion différenielle (1) pour z fourni le sysème différeniel Z 1 + (n () = 2 1/4) 2 Z(). 1 3

4 On es dans le cas couver par la proposiion 2, avec ( 1 (n A = ; E() = 2 1/4) 2 1 Prenons = 1. On a bien + E() d < +, e de plus le majoran de l erreur 1 + E(s) ds = n 2 1/4 + es de l ordre de 1. Par ailleurs si v = (v 1, v 2 ), e A cos() sin() = ; e A v = sin() cos() ). ds s 2 = n2 1/4 v1 cos() v 2 sin(). v 1 sin() + v 2 cos() Si z es soluion de l équaion (1), le veceur Z = (z, z) vérifie la conclusion de la proposiion 2, c es à dire que Z() e A v = O(1/) pour un cerain v 2. En pariculier, la deuxième coordonnée z() de Z() es proche de la deuxième coordonnée de e A v, donnée par v 1 sin() + v 2 cos() = λ cos( ϕ), pour cerains λ, ϕ calculables à parir de v 1, v 2. Si on applique les résulas obenus à la foncion de Bessel J n, on obien l énoncé suivan : pour ou enier n, il exise deux consanes λ n e ϕ n elles que Jn () = λ n cos( ϕ n ) + O(1/), lorsque +. On obiendra les valeurs exaces de ces consanes, pour n =, par une méhode différene dans la secion qui sui. 2. Éude au moyen de la définiion inégrale Un cas pariculier de la méhode de la phase saionnaire Voir Zuily Queffélec, Chapire IX, secion VI.2. Soi z un nombre réel posiif fixé ; on sai que la foncion x e z2 x 2 /2 es la ransformée de Fourier de la probabilié gaussienne γ z sur définie par dγ z (x) = 1 e x2 /(2z 2 ) dx z. Soi d aure par a une foncion réelle sur, Lebesgue-inégrable ainsi que sa ransformée de Fourier â ; on sai que a es en fai coninue sur e que x, a(x) = 1 e ixy â(y) dy. La formule d échange a b = â b (qui es une conséquence immédiae de Fubini) donne (2) z >, e z2 x 2 /2 a(x) dx = 1 z e x2 /(2z 2) â(x) dx. On considère mainenan dans C le quar de plan ouver Ω = {z C : z = a + ib, a, b, b < a}. 4

5 On vérifie facilemen que l ensemble Ω es invarian par la ransformaion z 1/z, e que e z 2 = a 2 b 2 > pour ou z Ω ; on a encore e z 2 quand z es dans l adhérence Ω, ce qui perme de voir que e z2 x 2 /2 = e (e z 2 )x 2 /2 1 pour ou x réel e z Ω ; puisqu on a supposé a inégrable, on peu poser pour ou z Ω f(z) = z e z2 x 2 /2 a(x) dx ; pour les mêmes raisons, puisque â es inégrable, on peu poser pour ou z Ω \ {} g(z) = 1 e x2 /(2z 2) â(x) dx ; (il y a mainenan un problème pour z =, qui n exisai pas pour la foncion f). On voi (avec le héorème de Lebesgue) que ces définiions donnen deux foncions f e g coninues sur Ω \ {}. Il es facile de voir que ces deux foncions f e g son holomorphes dans l ouver Ω, en uilisan le héorème usuel d holomorphie sous l inégrale ; elles son donc égales dans Ω puisqu elles coïnciden pour ou z réel > d après (2). On a aussi en prolongean par coninuié à l adhérence de Ω z Ω \ {}, z e z2 x 2 /2 a(x) dx = 1 e x2 /(2z 2) â(x) dx. Lorsque z + avec z Ω, on voi que e x2 /(2z 2) end vers 1 en resan dominé en module par 1 ; l inégrabilié de â e le héorème de Lebesgue donnen alors (3) lim z e z2 x 2 /2 a(x) dx = 1 â(x) dx = a(). z,z Ω Inroduisons ξ = e iπ/4 = (1 + i)/ 2, qui es dans Ω e vérifie ξ 2 = i. Pour ou >, le poin z = ξ es dans Ω e on obien comme cas pariculier de ce qui précède (4) lim ξ e ix2 /2 a(x) dx = a(), + ce qui s écri aussi e ix2 /2 a(x) dx ξ a() = e iπ/4 a() lorsque +. En uilisan la demi-droie conjuguée on aura de même e ix2 /2 a(x) dx ξ a() = e iπ/4 a() lorsque +. 5

6 Comporemen à l infini de la foncion de Bessel J On va appliquer ce qui précède à la foncion de Bessel J. On écri J () = On commencera avec l éude de i cos(θ) e dθ π/2 π/2 = 3π/2 π/2 e i cos(θ) dθ ; i cos(θ) e dθ sur ce inervalle la dérivée sin(θ) de la foncion phase θ cos(θ) possède un seul zéro, à savoir θ = (au poin la phase es saionnaire ). On considérera ensuie l inervalle [π/2, 3π/2] sur lequel on aura à nouveau un unique poin criique pour la phase, le poin θ = π. Chacun de ces deux poins criiques fera, après un pei changemen de variable, apparaîre le phénomène éudié dans le paragraphe précéden, mais avec des paramères différens. Il es donc naurel de découper le problème en deux morceaux présenan une singularié unique. En fai il es echniquemen plus rusé de procéder à un découpage plus doux, du ype pariion de l unié. On considère donc une foncion ϕ 1 de classe C e -périodique sur, elle que ϕ 1 (θ) = 1 au voisinage de θ = e ϕ 1 (θ) = au voisinage de θ = π ; on défini ensuie ϕ 2 par l égalié ϕ 1 (θ) + ϕ 2 (θ) = 1 pour ou θ. Alors On pose On écri I 1 () = e i π J () = π I 1 () = e i cos(θ) ( ϕ 1 (θ) + ϕ 2 (θ) ) dθ. e i cos(θ) ϕ 1 (θ) dθ. e i(cos(θ) 1) ϕ 1 (θ) dθ = e i π π. e 2i sin2 (θ/2) ϕ 1 (θ) dθ. On pose x = 2 sin(θ/2), qui es bien monoone sur l inervalle ( π/2, π/2) éudié ; la bijecion réciproque, définie sur l inervalle image I = ( 2, 2), es donnée par la relaion θ = f(x) = 2 Arcsin(x/2) ; la foncion f es de classe C sur l inervalle I (elle es en fai développable en série enière sur ce inervalle). L expression de I 1 () devien I 1 () = e i 2 e ix2 /2 2 ϕ 1 (f(x)) 1 x2 /4 dx. On remarque que ϕ 1 (f(x)) s annule au voisinage de x = 2 e de x = 2, parce que ϕ 1 es nulle au voisinage de ±π : si ϕ 1 es nulle sur [π ε, π + ε], où < ε < π, alors η = 2 sin(ε/2) vérifie < η < 2, e ϕ 1 (f(x)) es nulle sur les deux inervalles ouvers ( 2, η) e (η, 2) ; ceci perme de définir une foncion a de classe C sur, à suppor compac, elle que (5) a(x) = ϕ 1(f(x)) 1 x2 /4 6

7 pour x ( 2, 2) e a(x) = lorsque x 2. Alors I 1 () = e i e ix2 /2 a(x) dx, e d après le paragraphe précéden, puisque a() = 1, on a pour + I 1 () e i ξ = e i( π/4). Pour le résula final il faudra ajouer I 1 () e I 2 (), e les équivalens son mal adapés à l addiion. Mais en fai on avai obenu à l équaion (4) un résula un peu plus précis, e ix2 /2 a(x) dx = e iπ/4, lim + qui donne par muliplicaion avec la foncion bornée e i ( I1 () e ) i( π/4) =. lim + En procédan de façon analogue avec on obien I 2 () = e i cos(θ) ϕ 2 (θ) dθ ( lim I2 () e ) i( π/4) =. + Finalemen on obien pour J () = (I 1 () + I 2 ())/() que 2 J () cos( π/4) π end vers lorsque +. On a donc idenifié les consanes λ e ϕ inroduies dans le paragraphe 1. En rapprochan les deux résulas, on rouve finalemen que 2 J () = π cos( π/4) + O( 3/2 ) lorsque +. emarque 1. On aurai pu obenir le erme complémenaire en O( 3/2 ) en précisan l erreur dans l équaion (3). En exploian le fai que 1 e ζ ζ lorsque e ζ, on obien pour z Ω \ {} la majoraion 1 e x 2 /(2z 2 ) x 2 2z 2 qui perme d éudier l erreur, sous l hypohèse supplémenaire que x2 â(x) dx < +. Cee hypohèse supplémenaire sera en pariculier saisfaie quand a es C à suppor compac. On aura lim z,z Ω lim z,z Ω z 2 z 2( a() z ( 1 e x 2 /(2z 2 ) ) â(x) dx = 1 e z2 x 2 /2 a(x) dx ) = 2 π x 2 â(x) dx = 2 a (). 7

8 emarque 2. Il es rès facile de faire le même ravail pour oues les foncions J n, pour n enier. On a en effe avec le changemen de variable α = π/2 θ J n () = i sin(α) inα dα e = e inπ/2 i cos(θ)+inθ e dθ Dans l inégrale, le faceur nouveau e inθ ne conribuera qu à changer la foncion a définie à l équaion (5) ; la valeur de a ne sera pas changée au poin criique θ =, mais elle sera mulipliée par ( 1) n au poin criique θ = π. Il fau de plus enir compe du muliple e inπ/2 siué devan l inégrale ; les calculs son laissés au leceur. On remarquera seulemen que pour n = 4k muliple de 4, le premier erme du développemen asympoique de J 4k es idenique à celui de J, 2 J 4k () = π cos( π/4) + O( 3/2 ) lorsque +. On pourra vérifier que. e que J 4k+1 () = 2 π sin( π/4) + O( 3/2 ) lorsque +. J 4k+2 () = J 4k () + O( 3/2 ), J 4k+3 () = J 4k+1 () + O( 3/2 ) emarque 3. Si on end vers l infini par valeurs réelles dans la formule (3), e si on adape l éude précédene à celle de l inégrale (6) J (i) = cos(θ) e dθ, on passe de la méhode de la phase saionnaire à la méhode de Laplace. Une différence es à noer : dans ce nouveau cas, c es le seul poin criique θ = π qui sera imporan pour l éude de l inégrale (6) lorsque +, parce que e cos() = e es bien plus pei que e cos(π) = e lorsque +. La siuaion sera inversée quand ; cee éude en es inuile ici à cause de la parié de J. 8

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