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- Robert Pruneau
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1 Araud de Sait Julie Trempli pour la prépa Thème 3 : trempli biomial Itroductio Voici quelques objectifs de ce thème : recotrer quelques exemples de déombremet se familiariser avec les coefficiets biomiaux acquérir certaies techiques de calcul relatives aux sommes biomiales. Das le texte, si N, o appelle «factorielle» oté!, le ombre! = 1 2 avec la covetio 0! = 1. Par exemple, 4! = = 24 = 4 3!. Si u esemble E possède u ombre fii d élémets, o appellera cardial de E, ce ombre d élémets oté Card E. Par exemple, Card{4, 7, 9} = 3. I U peu de déombremet 1 U exemple itroductif : ombre de tiercés possibles Cosidéros ue course hippique avec 14 chevaux au départ. Trouver le tiercé gagat cosiste à trouver das l ordre le podium, c est-à-dire les trois premiers chevaux. 1. Combie y-a-t-il de tiercés possibles? 2. Combie y-a-t-il de tiercés possibles das le désordre? 2 Déombremet de listes (ordoées), otio de p-liste Si E est u esemble, ue p-liste d élémets de E est ue liste ordoée de p élémets de E. Par exemple, (5, 3, 7, 5) est ue liste de 4 élemets de l esemble {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 1. O cosidère l esemble E costitué des élémets a, b et c, c est-à-dire E = {a, b, c}. Écrire tous les couples (o parle aussi de 2-liste) possibles d élemets de E. Écrire aussi toutes les 3-listes (o parle de triplet) d élémets de E. Combie y-a-t-il de 5-listes d élémets de E? Écrire aussi toutes les 3-listes d élémets disticts de E. 2. Combie y-a-t-il d etiers à trois chiffres dot tous les chiffres sot pairs? 1/5
2 Araud de Sait Julie Trempli pour la prépa 3. Notio de permutatio. O appelle permutatio d u esemble E à élémets, ue -liste d élemets disticts de E. Détermier les permutatios de E = {a, b, c}. Quel est le ombre de permutatios d u esemble à élémets? 4. Soit E u esemble à élémets. Combie y-a-t-il de p-listes d élémets disticts 1 de E? O pourra exprimer le résultat à l aide de factorielles. 3 Et si l ordre des élémets e compte pas? Les ombres «p parmi». O modélise par des esembles et o pas par des listes car das u esemble l ordre des élémets e compte pas, aisi l esemble {1, 2, 3} est le même que l esemble {1, 3, 2}. Le résultat pricipal est le suivat, ous le démotros. Propositio 1 Soit E u esemble à élémets. Le ombre de parties de E à p élémets vaut! ( p)!p!. 1. Quelques exemples : (a) Nombre de grilles possibles au loto : trouver les bos uméros d ue grille à 49 uméros. (b) Combie d équipes de Volley puis-je faire avec les 10 élèves du trempli? (c) Quelle est la probabilité que deux élèves de ma classe soiet és le même jour de l aée? (d) Nombre de diagoales das u polygoe à côtés. (e) Combie de palidromes à 351 chiffres? (f) Nombre d etiers à 6 chiffres ayat exactemet 3 chiffres pairs. (g) O distribue ciq cartes d u jeu de 32 cartes à u joueur, celui-ci dispose doc d ue mai de 5 cartes. Commet modélise t-o ue mai? Détermier le ombre i. de mais possibles, ii. de mais coteat exactemet 3 cartes de coeur, iii. de mais coteat exactemet 2 cartes de pique et 2 cartes de trèfle, 2. Iterprétatio «biomiale» des ombres «p parmi». O lace ue pièce de moaie 10 fois et o compte le ombre de fois où face a été obteue. Quel est le ombre de «tirages» possibles coduisat à 3 «faces» parmi les 10 (o pourra dessier u arbre)? 1. O parle das ce cas d arragemet. 2/5
3 Araud de Sait Julie Trempli pour la prépa II Utilisatio de la formule du biôme de Newto! Défiitio 2 Soit N. O pose = ( )!! si 0 et = 0 sio. Ces ombres sot appelés des coefficiets biomiaux. O sait déjà que les coefficiets biomiaux sot des etiers, malgré leur «apparece de ratioels». 1 Propriété des coefficiets biomiaux. 1. Doer pour N, les valeurs de ( ( 0), 1, 1),. 2. Symétrie : démotrer que =. 3. Relatio du triagle de Pascal : démotrer que =. O déduit de cette derière propriété u calcul récursif des coefficiets biomiaux que l o dispose das u tableau dit triagle de Pascal. 2 La formule du biôme de Newto 1. Lorsque je développe le polyôme (x + 1) 5, quel est le ombre de termes e x 3? 2. La formule : Soit a et b des réels et N. Développer (a + b) 2, (a + b) 3 puis (a + b). 3. Développer (x + 1) 5 et (x 1) Soit f la foctio polyomiale défiie sur R par f(x) = (2 + 3x 2 ) 15. Détermier le degré de f aisi que so terme de degré Quelques sommes classiques 1. Déduire de la formule du biôme de Newto, les sommes suivates : =0 et =0( 1) ( ). 2. (a) Motrer que pour et p etiers aturels o uls tels que p, o a p p = 1 p 1. E déduire les sommes suivates :, ( 1) +1. (b) Calculer aussi =0 = /5 =0
4 Araud de Sait Julie Trempli pour la prépa 3. Applicatio aux calculs des momets d ordre 1 et 2 d ue loi biomiale 4. Polyômes de Tchébychev (a) Détermier u polyôme P de degré 2, tel que pour tout x R, cos(2x) = P(cos x). (b) Soit x R. Développer (cos x + i si x) 3 puis détermier sa partie réelle. E déduire u polyôme P de degré 3, tel que pour tout x R, cos(3x) = P(cos x). 4/5
5 Araud de Sait Julie Trempli pour la prépa III U joli problème : distributio aléatoire de cadeaux Des amis se réuisset. Chacu emmèe u petit cadeau. O décide de distribuer à chaque persoe u cadeau, mais de faço aléatoire. Les deux sous-sectios permettet de répodre au questios suivates : quel est le ombre moye de persoes qui aurot pour cadeau celui qu ils ot emmeé? quelle est la probabilité que chaque persoe obtiee u cadeau qui est pas celui qu il a emmeé? 1 Nombre moye de poits fixes O tire au hasard ue permutatio de {1,..., }, o la ote σ (o suppose que toutes les permutatios de {1,..., } ot la même probabilité d être tirées). Pour i {1,..., }, o ote X i la variable aléatoire valat 1 si est u poit fixe pour σ (c est-à-dire si σ() = ) et 0 sio. 1. Quelle loi suit la variable aléatoire X 1? Et X 2? 2. Que représete la variable aléatoire X X? E déduire le ombre moye de poits fixes d ue permutatio. 2 Nombre de déragemets O appelle déragemet de {1,..., } ue permutatio de {1,..., } qui a aucu poit fixe. O ote d le ombre de déragemets de {1,..., }. O pose d 0 = Détermier d 1, d 2, d Pour {1,..., }, o ote A l esemble des permuatios de S qui admettet exactemet poits fixes. Expliquer pourquoi Card(A ) = d. 3. E déduire que! = =0 d. 4. E déduire ue expressio de d à l aide de d 0, d 1,..., d E déduire u algorithme permettat de calculer par récurrece les ombres d. 6. Calculer d 10, e déduire la probabilté que chaque persoe obtiee u cadeau différet de celui qu il a emmeé lorsqu il y a dix persoes. 7. Comparer avec 1 e. 5/5
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