Produit scalaire (corrigé des plus).

Transcription

1 Produ scalare (corrgé des lus Eercces géérau sur le rodu scalare 56 a Pour : = le résula es mméda car : S : = alors : = = = = = = ( M Chare : Produ scalare Corrgé des lus - - e cec our ou coule : ( {-} O eu alors chosr e de elle sore que le rodu ( so osf e das ce cas : ( = = M d où le résula b Suosos maea le résula démoré our u eer : e so : ( E vérfa la roréé récédee lors : { } {-} M d'où : = ( M = = La même égalé alquée à ( - doe : ( M e doc e addoa : = = = M so : = M E alqua alors l'hyohèse de récurrece o e dédu que : = M ce qu erme la récurrece 57 a F e so deu sous-esaces vecorels de E de faço mmédae So maea : g e : f F M e faleme : = lors : f ( g( d = 0 usque la foco sous l'égrale es ulle sur [-0] du fa de g e sur [0] du fa de f Doc : F So maea : h F e our ou : la foco f défe ar : [0] f ( = 0 [- ] f ( = h( f es affe sur [ 0] avec : f ( = h( e : f (0 = 0 La foco f so coues sur [-] e ulles sur [0] doc aaree à F Par coséque : f ( h( d = 0 = h ( d f ( h( d e : 0 0 M h ( d = f ( h( d d'où : 0 h d f h d h ( ( ( ( où M désge u maora de h sur le segme [-] S o fa edre vers o e dédu que : = 0 0 ( d h 0 M

2 O erme e dsa que h es coue e osve sur le segme [-0] doc y es ulle Faleme : h doc : F e faleme : F = b F e e so as sulémeares das E car la foco cosae égale à e eu se décomoser comme somme d'u éléme de F e d'u éléme de 'éa as ulle e 0 O a doc c : F F E 58 a S o oe ϕ : P a P( d ϕ es clareme ue forme léare sur E o ulle usque le olyôme cosa égal à a our mage : ϕ ( = d = = d doc so oyau c'es-à-dre H es u hyerla de E O eu auss récser la décomoso d'u olyôme P suva : E = H Vec( E effe s : P = P H λ alors : P( d = PH ( d λ d = 0 λ e doc : = λ P( d P H = P λ b So : Q H lors : P E P( d = P H ( d λ d = 0 λ d avec : P = P H λ das la décomoso récédee Doc o a be : = P ( d P( d d avec l'eresso de λ rouvée au-dessus c O dédu de l'égalé récédee que : P E P( d P( d α = 0 = P( [ α ] d avec : α = d La foco : a Q ( α es alors coue sur [-] e orhogoale à ous les olyômes Le héorème de Weersrass more alors que cee foco es ulle sur [-] E effe : ( d = ( ( ( P ( d ( P ( d = ϕ ( ( ( P ( d ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ usque l aure erme es ul du fa de l orhogoalé de ϕ e de [] e : 0 ϕ ( d ϕ( ϕ( P ( d M su ϕ P Chare : Produ scalare Corrgé des lus - - [ ] E comme la quaé maorae ed vers 0 quad ed vers o e dédu que : ϕ ( d = 0 ϕ éa alors coue e osve sur [-] elle y es ulle e ϕ auss Doc : Q ( = α mas cec es ossble our u olyôme que s : α = 0 so : Q = 0 Doc : H = {0} 59 a Noos la marce de u das la base B lors : u( e = a e = ( e u( e e = = usque la base B éa orhoormale o recoaî as les coordoées de u(e das cee base Doc : r( u = a = ( e u( e = = b Deu ossblés alors se résee : so ous les élémes dagoau de so uls e : ( e u( = 0 ce qu réod à la queso so ce es as le cas e l ese alors u erme o ul sur la dagoale mas auss écessareme au mos u aure de sge corare usque la somme de ces élémes vau 0 ureme d : ( e u( > 0 e : ( e u( < 0 O cosdère alors la foco roosée : défe de [0] das ar : e e e

3 [0] ϕ( = u( e ( e e ( e ( E déveloa cee eresso avec la léaré de u e la bléaré du rodu scalare o cosae qu elle es olyomale e (de degré au lus doc es coue sur [0] De lus : ϕ ( 0 ( u( e e < 0 e : ϕ ( ( u( e e > 0 doc ϕ s aule sur [0] e la valeur de as = = rouvée four le veceur cherché vérfa : (u( = 0 e o ul usque (e e es lbre c Rasoos alors comme roosé ar récurrece sur S u es u edomorhsme d u esace euclde E de dmeso el que : r(u = 0 alors sa marce das more quelle base de E es ulle de alle doc à dagoale ulle Suosos le résula démoré our ou esace euclde de dmeso : e so u u edomorhsme d u esace euclde E de dmeso ( el que : r(u = 0 O a rouvé avec la queso récédee u veceur das E o ul que l o eu dvser ar sa orme our ober u veceur e el que : (u( = 0 O comlèe alors e ue base orhoormale ( de E Das cee base la remère coloe de la marce de u commece ar 0 usque : = = u( = a = ( u( = ( u( = 0 * La marce de u das cee base a alors our forme ar blocs : = où es de alle * ' La marce a ue race ulle usque : r( = 0 e corresod à u edomorhsme u de l esace : euclde : E = Vec( que l o mu du rodu scalare du ar celu de E Doc l ese ue base orhoormale ( de E das laquelle la marce de u es à élémes dagoau uls Noos 0 cee derère marce e P la marce de assage de ( à ( lors : 0 = P - P e u rodu ar blocs doe : 0 0 * * = = 0 P * ' 0 P 0 P 0 P * 0 so be ue marce à dagoale ulle ce qu erme la récurrece Esaces vecorels eucldes e sous-esaces vecorels 60 Pour u veceur de E l eresso de F ( es : F ( = ( usque la base ( es orhoormale S o ramèe cee égalé à so écrure marcelle das la base B e e aela M la marce de F das cee même base B alors : M = ( = ( = ( = ( = = = = e ulsa le fa que l eresso du rodu scalare das B es caoque usque la base es orhoormale e que la quaé ( es scalare e commue avec oue marce Doc : M ( M ( = 0 = O e dédu que : M ( = 0 us faleme : M = = Proeceurs orhogoau 6 Pour : = le résula es vra E effe s : ( < 0 alors les deu veceurs so o uls e cosue chacu ue famlle lbre Suosos maea le résula vra our ue valeur de : doée So ( vérfa la roréé roosée Pusque ous les veceurs so o uls o eu cosdérer la roeco orhogoale sur Vec( e : = = Chare : Produ scalare Corrgé des lus - 3 -

4 = y ( avec : ( = ( = ( = λ e : y Vec( O remarque alors que : λ = ( < 0 Pus : ( = ( y y λ λ Chare : Produ scalare Corrgé des lus < ( y y = ( λ λ 0 Doc ar hyohèse de récurrece oue sous-famlle de ( veceurs de la famlle (y y es lbre ar eemle (y y Doc la famlle ( y y comme réuo de deu famlles lbres ssues de deu sous-esaces vecorels orhogoau es ecore ue famlle lbre Ef la famlle ( es ecore lbre car : (α α K (α α = 0 ([α α λ α λ ] α y α y = 0 doc o e dédu que : α = = α = 0 us e revea à la remère égalé éa o ul o erme avec : α = 0 Les veceurs oua des rôles symérques o e dédu que c es valable our ue sous-famlle quelcoque ce qu erme la récurrece 6 a S e Y so das F alors e Y admee ue esérace doc le rodu Y auss b F es o vde usqu l coe la foco ulle (0 adme be ue esérace F es clus das F So : (Y F e : (λµ lors (λ µy es ue foco de Ω das e : ( λ µ Y = λ λ µ Y µ Y Pusque Y e Y admee ue esérace cee derère quaé auss e F es sable ar combaso léare Doc F es u sous-esace vecorel de F c L alcao ψ roosée es be défe de F das d arès la queso De lus elle es clareme symérque (le rodu es commuaf das e bléare ar léaré de l esérace Par alleurs : F ψ ( = E( e éa osve so esérace es égaleme osve Ef s our : F o a : 0 = ψ ( = E( = ( Ω P( = ar la formule de rasfer alors : (Ω P( = = 0 Doc : s : (Ω P( = 0 alors la seule valeur das (Ω es 0 e es ulle s : (Ω P( = = 0 alors es o ulle (usqu elle red la valeur o ulle alors qu o a oura : ψ ( = 0 Mas l équvalece roosée a as de ses usque le fa que ψ so u rodu scalare ou as e eu as déedre de l éléme de F sur lequel o l évalue E revache o eu rooser : «ψ es u rodu scalare sur F s e seuleme s : ω Ω P({ω} 0» E effe : s la codo es vérfée alors Ω éa déombrable : F (Ω ( = es clus das Ω doc es déombrable e comme réuo au lus déombrable de sous-esemble de Ω o eu calculer P ( = comme la somme d ue sére à ermes srceme osfs doc o ulle doc ψ es défe das ce cas s la codo es as vérfée alors o eu rouver ω das Ω el que : P({ω} = 0 e la foco : = {ω} défe de Ω das es o ulle so carré adme ue esérace e : E ( = E( = P( ω 0 P( ω = 0 0 = e ψ es as défe { ω} { ω} { } { } 0 d L alcao (dcarce de éa borée elle es d esérace fe e : E( = P( = 0 P( = 0 P( = De lus e usque : = es be das F De même es das F e doc egedré ar e das F es u sous-esace vecorel de F = S maea o calcule : ψ = E( cee esérace es ulle car : 0 (

5 Doc la famlle es orhogoale e éa o vde dsc de Ω les focos e so o ulles Cee famlle forme doc ue famlle lbre e doc ue base orhogoale de La famlle ( = forme alors ue base orhoormale de ψ ( ψ ( Ef : B Ω ( = ψ ( ψ ( B B E comme : ψ ( B = E( B = E( B = P( B e : ψ ( = E( = E( = P( o e dédu que : ( B = P( B P( B = P ( B P ( B P( P( e O e dsose lus c de base orhoormale our Pour déermer (Y o cherche doc : Z = α β Ω el que : ( Y Z O ermer cee derère codo ar : ψ ( Y ( α βω = ψ ( Y ( α βω Ω = 0 O abou alors au sysème : E( Y α β = 0 so : α E ( β E( = E( Y E ( Y α β = 0 so : α E ( β = E( Y E( Y E( E( Y cov( Y cov( Y O rouve as : α = = e : β = E( Y E( E( E( V ( V ( cov( Y D où : ( Y = ( E( E( Y V ( f Pusque e Ω admee ue esérace ar léaré (Y auss Pus : ( Y ( Y doc es e arculer orhogoale à Ω e : ψ ( Y ( Y = 0 = E(( Y ( Y = E( Y ( Y = E( Y E( ( Y d où faleme : Ω E( Y = E( ( Y Ω Procédé de ram-schmd dsace à u sous-esace vecorel 63 S o oe : (B M ( ( B = r( B alors : = r( = a e la bore féreure Chare : Produ scalare Corrgé des lus B cherchée es alors obeue comme dsace mmale au carré de la marce à l esace des marces symérques réelles Or : M ( = ( S ( (marces symérques e asymérques réelles E effe : ((MN ( S ( (M N = r( MN = - r(mn = (N M = r( NM = r(nm = r(mn e doc : (M N = 0 usque c es u ombre égal à so oosé Pus o décomose la marce roosée suva la somme drece récédee : = ( ( de faço classque e la roeco orhogoale de sur S ( es alors : ( = ( La quaé cherchée vau alors : f ( a m d( M S ( R = S ( = ( = 4 Faleme : f = ( a m ( a a M S ( R 4 < 64 So doc ( ue famlle lbre de veceurs de E e oos : F = Vec( Pour : E o eu décomoser e : = F avec : F e : F F La dsace de à F es alors : d( F = ( = = où ( es la roeco orhogoale de sur F D aure ar : ram ( = ram( F = ram( ram( F F

6 Mas comme : F F = Vec( le deuème erme de cee somme es ul (comme o l a vu das l eercce 40 D aure ar das le remer déerma de ram usque es orhogoal à F ous les ermes de la remère coloe à arr du deuème so uls : ( = 0 e : ( 0 ( L ( ram( = = ( ram( M M M 0 ( ( L L ( ( ram( d( F = = ( = ram( d où : Marces symérques réelles marces symérques réelles osves 65 a La marce éa symérque e réelle elle es dagoalsable b Pusque H es de rag l ese au mos ue coloe o ulle e oues les aures coloes de H so rooroelles à cee coloe S o oe alors U celle coloe arculère alors : v H = v U où H désge la coloe de la marce H S maea o oe V la marce coloe formée à arr des valeurs v récédees o cosae que : U V = H e ravalla ar eemle ar blocs (ou coeffce ar coeffce Ef U e V e euve êre rooroelles car so o aura successveme : λ V = λu us : H = λu U e : H = H so H symérque ce qu es eclu c S es orhogoal à U e à V (our le rodu scalare caoque das M ( alors : U = V = 0 e : = U V V U = 0 Doc s es veceur rore de assocé à la valeur rore α e s es orhogoal à U e V α = 0 Mas l éude récédee more de lus que s : 3 alors ou veceur o ul de Vec(UV es veceur rore de assocé à 0 Comme ef : Im( Vec(UV usque : M ( = (V U (U V l es clar que le la : P = Vec(UV es sable ar H Or das la base (UV de P la marce de l edomorhsme caoqueme assocé à es : ( U V V ' = U ( U V Le olyôme caracérsque de erme de rouver ses deu valeurs rores (réelles qu so : λ = ( U V ± U V ± e ces valeurs so o ulles car les veceurs U e V so o coléares U V Les esaces rores assocés so : Vec( m esaces qu so be orhogoau U V Faleme : s : = o a rouvé les deu sous-esaces rores de e leurs valeurs rores assocées s : 3 l y a ros valeurs rores (les deu récédees e 0 e ros sous-esaces rores (les deu droes récédees e Vec(UV 66 C es e fa u eercce élémeare S o oe λ λ les valeurs rores réelles osves de alors : de( = λ λ e : r( = λ λ D aure ar la foco logarhme es cocave e doc : l( λ l( λ e e rea l eoeelle (qu es crossae : = = d où le résula ( λ λ λ λ Chare : Produ scalare Corrgé des lus - 6 -

7 67 a Pour : M ( o a : S 0 doc : S = S = = S S = = = S b Il es mméda que s : S = 0 alors : S = 0 0 e : S S ( Récroqueme s : S = 0 alors : M ( S 0 e : S = 0 d où : S = 0 68 a O sa que : S S ( P O( D Dag ( S = PD P D éa dagoale alors our mar ou éléme dagoal de D adme ue race ème réelle uque Noos la marce cosuée de ces races èmes (das le même ordre lors : = D e : (P P = P P = PD P = S ureme d e oa : R = P P o a : R = S E o cosae mmédaeme que : R = P P = P P = R e R es symérque réelle b S S es das S ( alors les élémes dagoau de la marce D récédee so des réels osfs E effe : λ S(S M ( 0 S = λ Mas o a de lus : S 0 doc : Chare : Produ scalare Corrgé des lus = S = λ = λ e éa o ul o e dédu : λ 0 Doc o eu cosuer la marce avec les races èmes osves des élémes dagoau de S e oser à ouveau : R = P P lors : R = R comme récédemme e R es symérque R = P P = S = M ( R = (P (P = Y Y λ y 0 où les λ so les valeurs rores de S e où o a ose : Y = P e doc : R S ( Faleme o a rouvé : R S ( elle que : R = S c Das le cas arculer où : = o obe que : S S ( R S ( R = S S : S S ( alors R versble e : R S ( car les valeurs rores de S e doc celles de R so srceme osves E effe le calcul fa das la queso b more que : S λ S(S avec u veceur rore assocé alors : λ = > 0 D où : M ( 0 R = Y Y = λ y > 0 avec les même oaos que das la = queso b e l égalé es garae ar le fa que les λ so ous o uls e qu l y a au mos u des y qu es o ul usque : ( 0 (Y = P 0 Faleme das ce cas o a be : R S ( 69 S R réod au roblème éa symérque réelle elle es dagoalsable Noos alors r e s les edomorhsmes caoqueme assocés à R e S e lus gééraleme das la sue o aellera ar des mauscules les marces (carrées ou coloes caoqueme assocées au edomorhsmes e veceurs désgés ar des muscules S o oe µ µ les valeurs rores de r e E (r E (r ses sous-esaces rores assocés alors : E (r 0 R = µ e : R = µ = µ 0 car R es de lus osve Doc : µ 0 e les valeurs µ so dsces deu à deu De lus o a auss : E (r S = R = µ O e dédu que : µ es valeur rore de s E (r E (s µ Or es la somme drece des E (r e les sous-esaces E (s so égaleme e somme drece e µ cee somme es cluse das =

8 E eama les dmesos de ces dfféres sous-esaces o cosae que : E (r = E (s µ De lus s e eu admere d aure sous-esace rore e doc aucue aure valeur rore ureme d les valeurs µ so les valeurs rores de s e E (r les sous-esaces rores assocés E cocluso s o rered λ λ les valeurs rores de s e E (s les sous-esaces rores assocés alors r e eu valor que : E (s r( = λ r éa déf sur cee famlle de sous-esaces de do la somme drece doe l es déf sur e ce de faço uque L edomorhsme r éa uque la marce caoqueme assocée es égaleme uque Marces orhogoales 70 a O remarque our commecer que : Comme : S( la marce (I es versble e : = ( I ( I ( I ( I = I U Cosdéros alors la orme caoque das M ( assocée au rodu scalare caoque lors : = r( = r( I = e : ( I ( I = doc la sue ( I ed vers 0 vec ue orme d algèbre ar eemle o e dédu que (U ed vers 0 car : N( U N ( I N(( I Remarque : o eu avec du recul dre dreceme que (I - éa cosae o e dédu dreceme que (U ed vers 0 b Ea borée (queso a la sue ( eu coverger Suosos qu elle coverge vers ue lme M lors : M ( la sue ( ed vers M e la sue ( coverge égaleme vers M Mas s écrva ( elle coverge auss vers M Doc : M ( M( = 0 arasse alors deu ossblés : M 0 e : M ( M 0 e das ce cas : = ce qu codura à u veceur rore de assocé à la valeur rore ce qu es eclu M = 0 mas la sue ( e eu edre vers 0 usque : = qu e ed as vers 0 Cocluso : la sue ( dverge 7 a S o calcule la orme eucldee caoque des ros coloes de o rouve : C = a b c = ( a b c ( a b b c c a = S D aure ar les rodus scalares des coloes deu à deu doe : 3 ( C C = a b b c c a = σ σ Il es alors clar que : ( O(3 (S σ = e : σ = 0 (σ = 0 e : S {-} b Il suff de regarder l fluece qu a la codo sulémeare : de( = Or : de( = a b c 3 a b c = ( a b c 3( a b c( a b b c c a = S 3 S σ e au beso e rasoa ar double mlcao o obe aséme : ( SO(3 (σ = 0 e : S = c Les ros coeffces so races de P s e seuleme s : P = ( a( b( c so s e seuleme s e égala les coeffces das les deu eressos de P : S = (ermes e σ = 0 (ermes e abc = - (ermes cosas Cosdéros alors la foco olyomale f dédue de P Chare : Produ scalare Corrgé des lus - 8 -

9 O a : f ( = 3 e f s aule e 0 e 3 4 Comme de lus : f(0 = f( = l éude des varaos de f sur more que cee foco a ros races réelles s e seuleme s : f(0 0 e : f( 0 so : [0 ] Cocluso : ( SO(3 (abc races de P avec : [0 ] so ecore : 7 4 ( SO(3 ( [0 ] el que a b e c so les races de : P = 3 7 Chare : Produ scalare Corrgé des lus - 9 -