Bulletin officiel spécial n 8 du 13 octobre 2011

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1 Aexe Programme de l eseigemet spécifique et de spécialité de mathématiques de la série écoomique et sociale et de l eseigemet de spécialité de mathématiques de la série littéraire L eseigemet des mathématiques au collège et au lycée a pour but de doer à chaque élève la culture mathématique idispesable pour sa vie de citoye et les bases écessaires à so projet de poursuite d études. Le cycle termial des séries ES et L permet l acquisitio d u bagage mathématique qui favorise ue adaptatio aux différets cursus accessibles aux élèves, e développat leur ses critique vis-à-vis des iformatios chiffrées et, plus largemet, e les format à la pratique d ue démarche scietifique. L appretissage des mathématiques cultive des compéteces qui facilitet ue formatio tout au log de la vie et aidet à mieux appréheder ue société e évolutio. Au-delà du cadre scolaire, il s iscrit das ue perspective de formatio de l idividu. Objectif gééral Outre l apport de ouvelles coaissaces, le programme vise le développemet des compéteces suivates : mettre e œuvre ue recherche de faço autoome ; meer des raisoemets ; avoir ue attitude critique vis-à-vis des résultats obteus ; commuiquer à l écrit et à l oral. Raisoemet et lagage mathématiques Comme e classe de secode, les capacités d argumetatio et de logique fot partie itégrate des exigeces du cycle termial. Les cocepts et méthodes relevat de la logique mathématique e fot pas l objet de cours spécifiques mais preet aturellemet leur place das tous les champs du programme. De même, le vocabulaire et les otatios mathématiques e sot pas fixés d emblée, mais sot itroduits au cours du traitemet d ue questio e foctio de leur utilité. Il coviet de prévoir des temps de sythèse, l objectif état d atteidre ue boe maîtrise e fi de cycle termial. Utilisatio d outils logiciels L utilisatio de logiciels, d outils de visualisatio et de simulatio, de calcul (formel ou scietifique) et de programmatio chage profodémet la ature de l eseigemet e favorisat ue démarche d ivestigatio. E particulier lors de la résolutio de problèmes, l utilisatio de logiciels de calcul formel limite le temps cosacré à des calculs très techiques afi de se cocetrer sur la mise e place de raisoemets. L utilisatio de ces outils iterviet selo trois modalités : par le professeur, e classe, avec u dispositif de visualisatio collective ; par les élèves, sous forme de travaux pratiques de mathématiques ; das le cadre du travail persoel des élèves hors de la classe. Diversité de l activité de l élève Les activités proposées e classe et hors du temps scolaire preet appui sur la résolutio de problèmes essetiellemet e lie avec d autres disciplies. Elles erichisset la culture scietifique das différets domaies : historique, écoomique, artistique, etc. De ature diverse, elles doivet etraîer les élèves à : chercher, expérimeter, modéliser, e particulier à l aide d outils logiciels ; choisir et appliquer des techiques de calcul ; mettre e œuvre des algorithmes ; raisoer, démotrer, trouver des résultats partiels et les mettre e perspective ; expliquer oralemet ue démarche, commuiquer u résultat par oral ou par écrit. Des élémets d épistémologie et d histoire des mathématiques s isèret aturellemet das la mise e œuvre du programme. Coaître le om de quelques mathématicies célèbres, la période à laquelle ils ot vécu et leur Miistère de l'éducatio atioale, de la Jeuesse et de la Vie associative > 1 / 10

2 cotributio fait partie itégrate du bagage culturel de tout élève ayat ue formatio scietifique. La présetatio de textes historiques aide à compredre la geèse et l évolutio de certais cocepts. Fréquets, de logueur raisoable et de ature variée, les travaux hors du temps scolaire cotribuet à la formatio des élèves et sot essetiels à leur progressio. Ils sot coçus de faço à predre e compte la diversité et l hétérogééité de leurs aptitudes. Les modes d évaluatio preet égalemet des formes variées, e phase avec les objectifs poursuivis. E particulier, l aptitude à mobiliser l outil iformatique das le cadre de la résolutio de problèmes est à évaluer. Orgaisatio du programme Le programme fixe les objectifs à atteidre e termes de capacités. Il est coçu pour favoriser ue acquisitio progressive des otios et leur péreisatio. So pla idique pas la progressio à suivre. A titre idicatif, o pourrait cosacrer eviro deux tiers du temps à l aalyse et le reste aux probabilités et à la statisitque. Les capacités attedues idiquet u iveau miimal de maîtrise des coteus e fi de cycle termial. La formatio e s y limite pas. Les capacités attedues das le domaie de l algorithmique d ue part et du raisoemet d autre part sot rappelées e fi de programme. Elles doivet être exercées à l itérieur de chaque champ du programme. Les exigeces doivet être modestes et coformes à l esprit des filières cocerées. Miistère de l'éducatio atioale, de la Jeuesse et de la Vie associative > 2 / 10

3 1. Aalyse U des objectifs de ce programme, comme e classe de première, est de doter les élèves d outils mathématiques permettat de traiter des problèmes relevat de la modélisatio de phéomèes cotius ou discrets. O poursuit l étude des suites géométriques pour lesquelles o aborde la otio de limite, ce qui peut coduire à différets types de questioemet, otammet philosophique ou écoomique. O cosolide l esemble des foctios mobilisables, erichi des foctios expoetielles et de la foctio logarithme épérie. Les foctios expoetielles sot l occasio d évoquer le passage d ue situatio discrète à ue situatio cotiue. La otio de covexité est itroduite et étudiée essetiellemet das u cadre graphique. Elle est largemet utilisée e écoomie, e particulier pour des problèmes de coût ou de redemet croissat et décroissat. Efi, s ajoute le ouveau cocept d itégratio qui, bie que modestemet abordé et développé, demeure u cocept fodametal de l aalyse. Suites Coteus Capacités attedues Commetaires Suites géométriques. Limite de la suite (q ), q état u ombre réel strictemet positif. Suites arithméticogéométriques. Notio de cotiuité sur u itervalle Recoaître et exploiter ue suite géométrique das ue situatio doée. Coaître la formule doat 1 + q + K + q avec q 1. Détermier la limite d ue suite géométrique de raiso strictemet positive. État doé ue suite (q ) avec 0 < q < 1, mettre e œuvre u algorithme permettat de détermier u seuil à partir duquel q est iférieur à u réel a positif doé. Traduire ue situatio doée à l aide d ue suite arithmético-géométrique. Exploiter le tableau de variatio pour détermier : - le ombre de solutios d ue équatio du type f ( x) = k ; - le sige d ue foctio. Le tableur, les logiciels de géométrie dyamique et de calcul sot des outils adaptés à l étude des suites, e particulier pour ue approche expérimetale de la otio de limite. O détermie, sas soulever de difficulté, la limite de la somme 1 + q + K + q quad 0 < q < 1. Le comportemet lorsque ted vers + de la somme des premiers termes de certaies suites géométriques fourit u exemple de suite croissate ayat pas pour limite +. O évoque les aspects historiques et philosophiques de cette questio e présetat quelques paradoxes classiques. Toute idicatio doit être doée das l étude des suites arithmético-géométriques. O se limite à ue approche ituitive et o admet que les foctios usuelles sot cotiues par itervalle. La propriété des valeurs itermédiaires est présetée graphiquemet ; o coviet que les flèches obliques d u tableau de variatio traduiset la cotiuité et la stricte mootoie de la foctio sur l itervalle cosidéré. O admet qu ue foctio dérivable sur u itervalle est cotiue sur cet itervalle. Miistère de l'éducatio atioale, de la Jeuesse et de la Vie associative > 3 / 10

4 Coteus Capacités attedues Commetaires Foctios expoetielles Foctio x q x a avec q > 0. Relatio foctioelle. Foctio expoetielle x a e x. ( ) e u x Dérivée de x a où u est ue foctio dérivable. Foctio logarithme épérie Relatio foctioelle. Covexité Foctio covexe, foctio cocave sur u itervalle. Covexité et ses de variatio de la dérivée. Coaître l allure de la représetatio x graphique de la foctio x a q selo les valeurs de q. Coaître la dérivée, les variatios et la représetatio graphique de la foctio expoetielle. Utiliser la relatio foctioelle pour trasformer ue écriture. Calculer la dérivée d ue foctio de ( ) la forme x a e u x. Coaître la dérivée, les variatios et la représetatio graphique de la foctio logarithme épérie. Utiliser la relatio foctioelle pour trasformer ue écriture. Résoudre ue équatio de la forme x = k sur ] 0 ;+ [ avec k ] 0;+ [ et N. Recoaître graphiquemet des foctios covexes, cocaves. Utiliser le lie etre covexité et ses de variatio de la dérivée. Ces foctios sot présetées comme u prologemet cotiu des suites géométriques. O admet que ces foctios sot dérivables sur R et trasformet les sommes e produits. O fait observer à l aide d u logiciel qu etre toutes les foctios expoetielles, ue seule semble avoir 1 pour ombre dérivé e 0. L existece et l uicité de cette foctio sot admises. Le ombre e est l image de 1 par cette foctio. O étudie des exemples de foctios de la forme x a e u(x) otammet avec u (x) = k x ou u (x) = k x 2 ( k > 0 ), qui sot utilisés das des domaies variés. La otio géérale de composée est hors programme. Pour tout réel x > 0, le réel l x est y l uique solutio de l équatio e = x, d icoue y. O défiit aisi la foctio logarithme épérie. Ue foctio dérivable sur u itervalle I est dite covexe sur cet itervalle si sa courbe représetative est etièremet située au-dessus de chacue de ses tagetes. O met e évidece ces otios sur les 2 foctios de référece : x a x, x a x, x a e x, x a l x. Le lie etre covexité et ses de variatio de la dérivée est cojecturé puis admis. O peut utiliser le sige de la dérivée secode. Miistère de l'éducatio atioale, de la Jeuesse et de la Vie associative > 4 / 10

5 Coteus Capacités attedues Commetaires Poit d iflexio. Recoaître graphiquemet u poit d iflexio. U poit d iflexio est u poit où la représetatio graphique traverse sa tagete. O met e évidece cette otio sur la 3 foctio x a x. Positios relatives des courbes représetatives des x foctios x a e, x a l x et x a x. Itégratio Défiitio de l itégrale d ue foctio cotiue et positive sur [ a, b] comme aire sous la courbe. O s appuie sur la otio ituitive d aire recotrée au collège et sur les propriétés d additivité et d ivariace par traslatio et symétrie. Notatio b f ( x) dx. a Théorème : si f est cotiue a, b, la et positive sur [ ] foctio F défiie sur [ a, b] par = x a F( x) f ( t) dt est dérivable sur [ b] a, et a pour dérivée f. Primitive d ue foctio cotiue sur u itervalle. Théorème : toute foctio cotiue sur u itervalle admet des primitives. Itégrale d ue foctio de sige quelcoque. Liéarité, positivité, relatio de Chasles. Valeur moyee d ue foctio cotiue sur u itervalle. Détermier des primitives des foctios usuelles par lecture iverse du tableau des dérivées. Coaître et utiliser ue primitive de u( x) x a u' ( x)e. Calculer ue itégrale. Calculer l aire du domaie délimité par les courbes représetatives de deux foctios positives. Ue primitive F de la foctio cotiue et positive f état coue, o a : b f ( x)dx = F( b) F( a). a O fait predre cosciece aux élèves que certaies foctios comme x a e x2 ot pas de primitive «explicite». b La formule f ( x)dx = F( b) F( a), a est étedue aux foctios cotiues de sige quelcoque. Les otios d aire et de moyee sot illustrées par des exemples issus des scieces écoomiques. Miistère de l'éducatio atioale, de la Jeuesse et de la Vie associative > 5 / 10

6 2. Probabilités et statistique O approfodit le travail e probabilités et statistique meé les aées précédetes. Afi de traiter les champs de problèmes associés aux doées cotiues, o itroduit les lois de probabilité à desité. La loi ormale permet d iitier les élèves à la statistique iféretielle par la détermiatio d u itervalle de cofiace pour ue proportio à u iveau de cofiace de 95 %. Cette partie se prête particulièremet à l étude de problèmes issus d autres disciplies, otammet des scieces écoomiques et sociales. Le recours aux représetatios graphiques et aux simulatios est idispesable. Coteus Capacités attedues Commetaires Coditioemet Coditioemet par u évéemet de probabilité o ulle. Notatio P A (B). Notio de loi à desité à partir d exemples Loi à desité sur u itervalle. Loi uiforme sur [a, b]. Espérace d ue variable aléatoire suivat ue loi uiforme. Costruire u arbre podéré e lie avec ue situatio doée. Exploiter la lecture d u arbre podéré pour détermier des probabilités. Calculer la probabilité d u évéemet coaissat ses probabilités coditioelles relatives à ue partitio de l uivers. Coaître la foctio de desité de la loi uiforme sur [a, b]. O représete ue situatio à l aide d u arbre podéré ou d u tableau. O éoce et o justifie les règles de costructio et d utilisatio des arbres podérés. U arbre podéré correctemet costruit costitue ue preuve. Le vocabulaire lié à la formule des probabilités totales est pas u attedu du programme, mais la mise e œuvre de cette formule doit être maîtrisée. Cette partie du programme se prête particulièremet à l étude de situatios cocrètes. Les exemples étudiés s appuiet sur ue expériece aléatoire et u uivers associé Ω, mui d ue probabilité. O défiit alors ue variable aléatoire X, foctio de Ω das R, qui associe à chaque issue u ombre réel d u itervalle I de R. O admet que X satisfait aux coditios qui permettet de défiir la probabilité de l évéemet { X J} comme aire du domaie : { M ( x, y) ; x J et 0 y f ( x) } où f désige la foctio de desité de la loi et J u itervalle iclus das I. Toute théorie géérale des lois à desité et des itégrales sur u itervalle o boré est exclue. L istructio «ombre aléatoire» d u logiciel ou d ue calculatrice permet d itroduire la loi uiforme sur [0,1]. La otio d espérace d ue variable a, b est itroduite à aléatoire à desité sur [ ] cette occasio par b t f ( t) dt. O ote que a cette défiitio costitue u prologemet das le cadre cotiu de l espérace d ue variable aléatoire discrète. Miistère de l'éducatio atioale, de la Jeuesse et de la Vie associative > 6 / 10

7 Coteus Capacités attedues Commetaires Loi ormale cetrée réduite N (0,1). Coaître la foctio de desité de la loi ormale N (0,1) et sa représetatio graphique. Coaître ue valeur approchée de la probabilité de l évéemet { X [ 1,96;1,96 ]} lorsque X suit la loi ormale N (0,1). Pour itroduire la loi ormale N (0,1), o s appuie sur l observatio des représetatios graphiques de la loi de la variable aléatoire Z = X p où p( 1 p) X suit la loi biomiale B (, p) et cela pour de grades valeurs de et ue valeur de p fixée etre 0 et 1. Loi ormale N (μ,σ 2 ) d espérace μ et d écart-type σ. Itervalle de fluctuatio Utiliser ue calculatrice ou u tableur pour obteir ue probabilité das le cadre d ue loi ormale N (μ,σ 2 ). Coaître ue valeur approchée de la probabilité des évéemets suivats : { X [ μ σ, μ + σ ]}, { X [ μ 2 σ, μ + 2σ ]} et { X [ μ 3 σ, μ + 3σ ]}, lorsque X suit la loi ormale N (μ,σ 2 ). Coaître, pour assez grad, l itervalle de fluctuatio asymptotique (*) au seuil de 95 % : p(1 p) p(1 p) p 1,96, p + 1,96 où p désige la proportio das la populatio. À ce propos, o peut faire référece aux travaux de Moivre et de Laplace e les situat das ue perspective historique. Ue variable aléatoire X suit la loi N (μ,σ 2 ) X μ si suit la loi ormale N (0,1). σ O se limite à ue approche ituitive de la otio d espérace. O exploite les outils logiciels pour faire percevoir l iformatio apportée par la valeur de l écart-type. La coaissace d ue expressio algébrique de la foctio de desité de cette loi est pas u attedu du programme. O illustre ces otios par des exemples issus des scieces écoomiques ou des scieces humaies et sociales. La variable aléatoire F qui, à tout échatillo de taille, associe la fréquece, pred ses valeurs das l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % avec ue probabilité qui s approche de 0,95 quad deviet grad. O admet le résultat ci-cotre, qui est coforté grâce à la simulatio. Avec les exigeces usuelles de précisio, o pratique cette approximatio dès que 30, p 5 et (1 p) 5. E majorat 1,96 p(1 p), o retrouve l itervalle de fluctuatio préseté e classe de secode. La problématique de prise de décisio, déjà recotrée, est travaillée à ouveau. Miistère de l'éducatio atioale, de la Jeuesse et de la Vie associative > 7 / 10

8 Estimatio Bulleti officiel spécial 8 du 13 octobre 2011 Coteus Capacités attedues Commetaires Itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0,95(*). Niveau de cofiace. Estimer ue proportio icoue à partir d u échatillo. Détermier ue taille d échatillo suffisate pour obteir, avec ue précisio doée, ue estimatio d ue proportio au iveau de cofiace 0,95. Les attedus de ce paragraphe sot modestes et sot à exploiter e lie avec les autres disciplies. O éoce que p est élémet de l itervalle 1 1 f, f + avec u iveau de cofiace de plus de 95 %, où f désige la fréquece observée sur u échatillo de taille. Avec les exigeces usuelles de précisio, o utilise cet itervalle dès que 30, p 5 et (1 p) 5. La simulatio de sodages sur tableur permet de sesibiliser aux fourchettes de sodage. Il est importat de oter que, das d autres champs, o utilise l itervalle f (1 f ) f (1 f ) f 1,96, f + 1,96 qu il est pas possible de justifier das ce programme. (*)Avec les otatios précédetes : U itervalle de fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire F au seuil 0,95 est u itervalle détermié à partir de p et de et qui cotiet F avec ue probabilité d autat plus proche de 0,95 que est grad. 1 1 Pour ue valeur de p fixée, l itervalle aléatoire F, F + cotiet, pour assez grad, la proportio p à estimer avec ue probabilité au mois égale à 0,95. U itervalle de cofiace pour ue proportio p au iveau de cofiace 0,95 est la réalisatio, à partir d u échatillo, d u itervalle aléatoire coteat la proportio p avec ue probabilité supérieure ou égale à 0,95, itervalle aléatoire détermié à partir de la variable aléatoire F qui, à tout échatillo de taille, associe la fréquece. Les itervalles de cofiace cosidérés ici sot cetrés e la fréquece observée f. Miistère de l'éducatio atioale, de la Jeuesse et de la Vie associative > 8 / 10

9 Algorithmique E secode, les élèves ot coçu et mis e œuvre quelques algorithmes. Cette formatio se poursuit tout au log du cycle termial. Das le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sot etraîés à : décrire certais algorithmes e lagage aturel ou das u lagage symbolique ; e réaliser quelques-us à l aide d u tableur ou d u programme sur calculatrice ou avec u logiciel adapté ; iterpréter des algorithmes plus complexes. Aucu lagage, aucu logiciel est imposé. L algorithmique a ue place aturelle das tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivet être e relatio avec les autres parties du programme (algèbre et aalyse, statistiques et probabilités, logique), mais aussi avec les autres disciplies ou le traitemet de problèmes cocrets. À l occasio de l écriture d algorithmes et de programmes, il coviet de doer aux élèves de boes habitudes de rigueur et de les etraîer aux pratiques systématiques de vérificatio et de cotrôle. Istructios élémetaires (affectatio, calcul, etrée, sortie) Les élèves, das le cadre d ue résolutio de problèmes, doivet être capables : d écrire ue formule permettat u calcul ; d écrire u programme calculat et doat la valeur d ue foctio, aisi que les istructios d etrées et sorties écessaires au traitemet. Boucle et itérateur, istructio coditioelle Les élèves, das le cadre d ue résolutio de problèmes, doivet être capables de : programmer u calcul itératif, le ombre d itératios état doé ; programmer ue istructio coditioelle, u calcul itératif, avec ue fi de boucle coditioelle. Notatios et raisoemet mathématiques Cette rubrique, cosacrée à l appretissage des otatios mathématiques et à la logique, e doit pas faire l objet de séaces de cours spécifiques mais doit être répartie sur toute l aée scolaire. Notatios mathématiques Les élèves doivet coaître les otios d élémet d u esemble, de sous-esemble, d apparteace et d iclusio, de réuio, d itersectio et de complémetaire et savoir utiliser les symboles de base correspodats :,,, aisi que la otatio des esembles de ombres et des itervalles. Pour le complémetaire d u esemble A, o utilise la otatio des probabilités A. Pour ce qui cocere le raisoemet logique, les élèves sot etraîés sur des exemples à : utiliser correctemet les coecteurs logiques «et», «ou» et à distiguer leur ses des ses courats de «et», «ou» das le lagage usuel ; utiliser à bo esciet les quatificateurs uiversel, existetiel (les symboles, e sot pas exigibles) et repérer les quatificatios implicites das certaies propositios et, particulièremet, das les propositios coditioelles ; distiguer, das le cas d ue propositio coditioelle, la propositio directe, sa réciproque, sa cotraposée et sa égatio ; utiliser à bo esciet les expressios «coditio écessaire», «coditio suffisate» ; formuler la égatio d ue propositio ; utiliser u cotre-exemple pour ifirmer ue propositio uiverselle ; recoaître et utiliser des types de raisoemet spécifiques : raisoemet par disjoctio des cas, recours à la cotraposée, raisoemet par l absurde. Miistère de l'éducatio atioale, de la Jeuesse et de la Vie associative > 9 / 10

10 Eseigemet de spécialité, série ES L eseigemet de spécialité pred appui sur la résolutio de problèmes. Cette approche permet ue itroductio motivée des otios metioées das le programme. Plusieurs exemples de problèmes sot doés à titre idicatif. L étude de telles situatios coduit à u travail de modélisatio et place les élèves e positio de recherche. Les thèmes abordés sot particulièremet propices à l utilisatio des outils iformatiques (logiciels de calcul, tableur) et à la mise e œuvre d algorithmes. Les graphes probabilistes permettet d étudier des phéomèes d'évolutio simples et de faire u lie avec les suites. Les matrices sot présetées comme des tableaux de ombres. Au même titre que les graphes, elles apparaisset comme des outils pour résoudre des problèmes. Le iveau d approfodissemet des otios est guidé par les besois recotrés das la résolutio des problèmes traités. Les thèmes abordés e doivet pas faire l objet d u développemet théorique. Exemples de problèmes Recherche de courbes polyomiales passat par u esemble doé de poits. Gestio de flux, problèmes simples de partitioemet de graphes sous cotraites : problème du voyageur de commerce, gestio de trafic routier ou aérie, plaig de tourois sportifs, etc. Modélisatio d échages iter-idustriels (matrices de Léotief). Codage par u graphe étiqueté, applicatios à l'accès à u réseau iformatique, recoaissace de codes. Miimisatio d ue gradeur (coût, logueur, durée, etc.). Coteus Matrice carrée, matrice coloe : opératios. Matrice iverse d'ue matrice carrée. Graphes : sommets, sommets adjacets, arêtes, degré d u sommet, ordre d u graphe, chaîe, logueur d ue chaîe, graphe complet, graphe coexe, chaîe eulériee, matrice d adjacece associée à u graphe. Recherche du plus court chemi sur u graphe podéré coexe. Graphe probabiliste à deux ou trois sommets : matrice de trasitio, état stable d'u graphe probabiliste. Phéomèes évolutifs (variatio d ue populatio, propagatio d'ue rumeur ou d'u virus, etc.). Miistère de l'éducatio atioale, de la Jeuesse et de la Vie associative > 10 / 10