2 Somme ou différence de fonctions
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- Thérèse Marion
- il y a 5 ans
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1 Fiche ANA00 - Méhodes d inégraion Nous reprenons les principales méhodes classiques d inégraion. Les méhodes d inégraion numérique ne son pas raiées ici. Chaque cas es illusré par un ou plusieurs eemples. Cerains eemples fon inervenir plusieurs méhodes. En effe, il es imporan de comprendre que oues ces méhodes formen un ensemble, e qu il fau savoir uiliser oues les armes disponibles. Noons, enfin, que souven plusieurs méhodes son possibles e que ceci n a pas pour bu d offrir des recees magiques qui foncionnemen à ous les coups. On doi donc simplemen s en servir comme ouils e aide-mémoire. - Inégrale immédiae Il s agi de l applicaion simple e immédiae des formules que l on peu rouver dans n impore quel formulaire. Eemple : m d m C m Eemple : cos d sin C Eemple : e d e C Somme ou différence de foncions L inégrale d une somme es la somme des inégrales Eemple. d d d d ln C Beaucoup de siuaions peuven se ramener à une somme de foncions ) Quoien de polynômes Quand le degré du numéraeur es plus grand que le degré du dénominaeur, on effecue la division euclidienne reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page de 8
2 Soi à inégrer la fracion raionnelle : f () / g () où f () es un polynôme de degré m e g () un polynôme de degré n avec m > n, on effecue la division euclidienne de f () par g () Eemple. : d d ln C Eemple d d ln C Eemple d d ln C ) Produi de polynômes Pour un produi de polynômes, on disribue. Eemple.5 d d C Eemple.6 d d C Eemple d d d C reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page de 8
3 Composée de foncion Si on peu arriver à idenifier un faceur comme éan la dérivée de l aure, la soluion es presque immédiae. Formule : ' h' g g d h g C Eemple. : Méhode d C 4 g g Car on a : 4 h' h 4 ' On pouvai aussi procéder comme sui d d C 4 Car d d Méhode Les composées de foncion peuven êre vues comme un cas pariculier de subsiuion Revenons à l eemple. Dérivée de I d. On pose : d d e on remplace 4 I d C reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page de 8
4 Eemple. : Méhode g ' e g e e d lne C car on a e h' h ln On pouvai aussi procéder comme sui : e d e d lne C car d e e d e e Méhode e ' e d On pose : e + d e d d ln ln e C e On doi parfois faire des ajusemens numériques pour faire apparaîre la dérivée cherchée. Eemple. : Ajusemen numérique ' 5 5 I d 6 d u On pose : u du 6 d I u C Eemple.4 : Ajusemen 5 ' I d d ln 5 C 5 5 Noe : 5 es oujours 0 0, donc la valeur aboslue n'es pas nécessaire. Ou encore : On pose 5 d d d d I d ln ln 5 C 6 reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 4 de 8
5 On doi parfois réarranger la foncion. (L écrire d une aure façon) Eemple.5 : ln ' ln I d ln d. On pose ln d d I d ln C ln Ou encore I d ln d ln ln C Eemple.6 : an ' an d an d. On pose : an d d cos cos cos an I d C an Ou encore an d d an an C cos Eemple.7 : Eemple.8 : ' d 4 d 4 d d 4 4 C Noe : On aurai pu aussi simplemen développer le produi. I ln arcan C I d On remarque que : ' e aussi que d d I d d Noe : es résolu à l'eemple 6.. reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 5 de 8
6 On doi parfois ne considérer qu une parie d un faceur. Eemple.9 : Eemple.0 : arcan ' e arcan arcan arcan I d e d e C Ajusemen numérique Dérivée de cos cos cos I e d e d sin sin cos. On pose : cos cos.sin Ou encore cos d d I e d e e C cos cos cos cos I e sin d e sin cos d e d cos e C reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 6 de 8
7 4 Décomposiion en fracions raionnelles Méhode à reenir f Pour inégrer des fracions raionnelles de la forme g, ) Si de degré du numéraeur es plus grand que le degré du dénominaeur, on commence par faire la division euclidienne. ) Si le degré du numéraeur es plus pei que le degré du dénominaeur, a. On regarde si on peu ransformer en une somme. b. On regarde si on peu faire apparaîre au numéraeur la dérivée du dénominaeur c. Sinon, on décompose en fracions raionnelles. Rappel sur la décomposiion en fracions raionnelles. Un polynôme P peu oujours se décomposer sous la forme d un produi de faceurs du premier degré e de faceurs du second degré, c es-à-dire sous la forme n m a b c e son des racines es de 4 es de simples de muiplicié muliplicié n muliplicié m rinôme don le <0 Muliplicié p Eemples 4. e son des racines de muliplicié 4 es de muliplicié e de muliplicié es de muliplicé es de muliplicé es de muliplicé es un rinôme du second degré 0 La somme des mulipliciés doi êre égale au degré du polynôme p Commen décomposer? f Pour oue forme g où f ( ) e g ( ) son des polynômes raionnels en peu se décomposer en fracions raionnels. (Si le degré de f es supérieur à celui de g on effecuera d abord la division euclidienne) reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 7 de 8
8 Eemples 4. A B 0 e son de muliplicié A B C muliplicié es de muliplicié fracions. Aenion : le degré du numéraeur augmene à chaque erme. A B C D E ermes ermes Le numéraeur es de degré car le dénominaeur es de degré A B C erme erme Commen déerminer les coefficien A,B,C,D.? Les coefficiens A,B,C,D son déerminés par idenificaion. Eemple 4. : A B C On me au même dénominaeur e on le supprime : A B C A B C Il suffi mainenan de choisir des valeurs de façon adéquae. Si A 0 A Si 0 C C Si B B La fracion se décompose donc selon : reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 8 de 8
9 Eemples d inégraion Une fois la décomposiion faie, l inégraion es facile : Eemple 4.4 d d d Eemple 4.5 : I d 4 4 On décompose : Ajusemen ' d d d 4 C 4 ln ln arcan a b c 4 4 a b c Les deu numéraeurs doiven êre égau pour oues valeurs de : Si 4b b 4 Si c c Si a a 4 d d d I ln C 4 reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 9 de 8
10 Eemple 4.6 : 8 a b c I d d d 8 a b c a b c Le numéraeurs doiven êre égau pour oues valeurs de Si 5 7c c 5 Si 0 b 5 b Si a4 a 5 5 I d d d d d I ln arcan 5ln 5 I ln arcan C Noe : d es résolu à l'eemple. 8 Eemple 4.7 : I d A B C A A B A B C A A A B B A B C C d d d I ln ln C reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 0 de 8
11 5- Par subsiuion C es une des méhodes les plus efficaces e donc la plus uilisée. Quelques changemens de variable ypes R désigne une fracion raionnelle Forme de foncion Changemen de variable d f a b u a b d du a f a b c b u a d du n f ' f u f du f ' d f u du u d f u d udu n n f R a b n n u a b d u du a f an u an d du u f e u e d du u f a u a d du uln a sin f R a u a d a d cos cos f R a u aan d aan d f R a uasin d acos d a fr b n c d n a b u c d Formule 5 : ' f d f g g d reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page de 8
12 Eemple 5. : I d 5 Posons :, g g ' I d d d C I C C Eemple 5. : d dy dy I Posons y e e d dy d e e y y dy dy d y y y y e I ln ln y y y y e y y I ln e C Les subsiuions à opérer ne son pas oujours évidenes. Cependan ceraines son assez classiques. Eudions quelques eemples. 5 - Les subsiuions rigonomériques Pour les formes en Remplacer par Donc d sin cos cos a cos a a a d a a an a an d d a asin a cos d reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page de 8
13 Eemple 5.. : sin arcsin I d I sin cos d cos d d cos d cos Uilisons Carno : cos cos I d d cos d sin sin cos 4 I arcsin. C NOTE : Cee inégrale es imporane. On la rerouve noammen pour le calcul de l aire d un cercle. Eemple I d Posons : sin d cos d sin cos I cos d d d sin sin co 9 Or sin cos I arcsin arcsin Eemple 5.. : I d Posons : an d an d an an I an d d an cos.an d d cos d d cos.an cos sin cos Soi I le premier erme e I le deuième. C reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page de 8
14 I cos dsin d sin sin sin car sin sin arcan d I Posons : an d d e cos cos d d d I. d ln an cos sin ln ln an cos sin cos car an e comme cos cos arcan sin I ln ln ln ln C I I I C NOTE : L'inégraion par parie perme d'arriver au résula beaucoup plus E finalemen : ln rapidemen. Voir eemple 7.8 reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 4 de 8
15 5 - Les foncions rigonomériques 5 : Cas pariculier : cos p ou sin p On linéarise la foncion en uilisan les formules d Euler : i i e e cos e on applique le binôme de Newon. i i e e sin i Eemple 5... : I sin 4 d On linéarise : 4 i i 4i ii ii ii 4i 4 e e e e e e e sin i i i i i i i 4i i i e e e e 6 4 cos4 cos I cos4 cos d sin 4 sin C : Cas pariculier : cos p.sin q On va envisager les cas suivans :. p ou q =. p e q son différens de a. p e q son pairs ou impairs mais égau (p = q) b. p e q son pairs mais différens (p q) c. p es impair ou bien q es impair n Si p ou q égal : on es alors dans le cas f '. f d Eemple 5.. : 4 5 I cos.sin d sin C Si p e q son différens de e p p p on revien sur le cas cos ou sin q : on uilise la relaion sin. cos sin e reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 5 de 8
16 Eemple 5.. : I sin cos d sin cos sin 4 d 4 d cos 4 sin 4 d sin 4 C Eemple 5..4 : I cos sin d sin 8 d Par les formules d'euler, il es facile de linéariser sin. Voir Eemple.. On obien : I sin 6 sin cos6 cos 8 d cos6 9cos C Si p e q son pairs e différens de avec p q : on ransforme le sinus en p cosinus ou réciproquemen e on revien sur le cas cos ou sin p Eemple 5..5 : I sin cos d cos cos d cos cos d 4 cos cos 4 4cos 8 On linéarise : 6 cos cos 6 6cos 4 5cos 0 sin 6 sin 4 sin I cos6 cos4 cos d 6 sin 6 sin 4 sin C Si p es impair, on pose sin arcsin e d d ou Si q es impair, on pose cos arccos d d reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 6 de 8
17 Eemple 5..6 : Eemple 5..7 : I cos sin d On pose : sin arcsin d 5 5 I d sin sin d 5 5 sin 5 sin ou encore I sin cos 7 C I cos sin d On pose : cos arccos d cos 5cos I d d cos 05 ou encore après linéarisaion : C 5 I cos cos cos5 cos 7 C : Foncions raionnelles en cos, sin e an Foncion raionnelle en an. f R an On pose an arcan d d Eemple 5... : an I d. On pose : an arcan d d an an I d d ln ln C an reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 7 de 8
18 Règles de Bioche dans le cas des fracions raionnelles en sin e cos Soi f es foncion raionnelle de la forme R cos,sin, alors Si f d f d, on pose cos d sin d Si f d f d, on pose sin d cos d Si f d f d, on pose an d d an d cos Foncion raionnelle e elle que f Rd f Rd Auremen di f es IMPAIRE Eemple 5... : cos cos cos I d. Remarquons que d d. sin sin sin On pose cos arccos d d I. d d d d ln ln cos ln sin cos ln sin C ou encore I cos ln sin C Foncion raionnelle e elle que f R d f Rd On pose : sin arcsin d d Eemple 5... : cos cos cos I d. Remarquons que d d sin sin sin On pose : sin arcsin d d I. d d d u sin C u sin reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 8 de 8
19 Foncion raionnelle de période ou si f R d f Rd On pose : an arcan d d Eemple : I d. Remarquons que d d cos cos cos On pose an arcan d d En enan compe que cos : an I. d d d arcan an C Cas général : fracion raionnelle en f R sin,cos On uilise les subsiuions suivanes : On pose : arcan an e d d cos sin an Eemple : sin cos an I d d d sin cos an ln ln an an a b 0 a a b c Or b c b a c c 0 I d an ln an ln an an ln sin cos C reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 9 de 8
20 Eemple : I d. On pose : an arcan d d cos I d d d arcan 4 arcan an C 5 4 : Cas pariculier : Produi de faceurs cos a e sin a Uiliser les formules de Simpson inverses : sin a cosb sin sin a b a b sin a sinb cosa b cosa b cos a cosb cosa b cosa b Eemple : sin sin 7 cos 4 cos0 sin 4 I d sin0 d 4 0 sin 4 sin Formes pariculières e subsiuions algébriques Rappel : Dans de nombreu cas, il es nécessaire de savoir ransformer la forme canonique a b c a y sous la forme Eemple 6. Transformer 4 5 reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 0 de 8
21 On ajoue e on reire le Mere le coeff on prend le coeff du en évidence du,que l'on divise par e que l'on me 4 au carré Eemple 6. Il apparaî un carré parfai On me en évidence On fai renrer le coeff dans le carré 4 4 qui es de la forme cherché e : Formes en p q Si p 4q 0, ransformer en forme u Eemple 6.. : 4 d I d d 4 On pose : u du d d du du 4 du I arcan u u u I arcan C arcan C reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page de 8
22 Si p 4q 0, décomposer en fracions raionnelles. (En effe, le dénominaeur peu se facoriser) Eemple 6.. : d 4 d 4 I ln d C : Formes en a b c ou en A B a b c Pour les formes R, a b c rinôme sous forme canonique e on es ramené à cas : où R es une fracion raionnelle, on me le On pose sin u u u On pose u cosh u On pose u sinh NOTE : seul le premier cas fai parie du programme Mah 6. Ce qui implique que a 0 e c 0 Eemple 6.. : 4 7 I d d d Posons : u du d d du I u du Cee inégrale a éé résolue à l'eemple 5.. arcsin I u u arcsin u 7 C 4 arcsin reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page de 8
23 Eemple 6..4 : 4I ' 4 d d I d d 4 I d d d d d d I arcsin arcsin 5 5 Finalemen : 5 I 4arcsin C a b 6- : Pour les formes du ype n, on pose n y a b Eemple 6.. : I d Soi y y dy d 4 y y dy y y I y y dy C y I C 8 4 Eemple 6.. : I d On pose : d d I... d I C reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page de 8
24 6-4 : Pour les formes en a b n c d, on pose n a b c d Eemple 6.4. : I d Soi : d d I Décomposons : d a b c d a b c d Si 4b b Si 4d d Si 0 0 a c a c a 9 Si 8 8a c 9a c c d d d d I ln ln ln ln ln C reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 4 de 8
25 7 - Inégraion par paries C es une méhode rès puissane e donc souven uilisée. Ce procédé s'applique pour calculer les primiives des foncions suivanes : Produi d'une foncion polynomiale par un sinus, un cosinus, une foncion eponenielle ou une foncion logarihme. Produi d'une eponenielle par un sinus ou un cosinus. Foncions rigonomériques réciproques. (Mah 6h) Ceraines racines carrées. Ceraines formes pariculières Eemples : e, ln, cos,sin cos, e sin,ln, arccos,... Formule :. '. '. f g d f g f g d Le choi de f e g' es dicé par le fai d obenir une inégrale plus simple que celle de dépar. Si ce n es pas le cas, il suffi de permuer les epressions. Eemple 7. : ' f f I. e d I e e d e e C g ' e g e Eemple 7. : f f ' I cos d I sin sin d sin cos C g ' cos g sin Eemple 7. : f ln f ' (On a inérê à faire disparaîre leln) I ln d g ' g I ln d ln d ln C 4 reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 5 de 8
26 Eemple 7.4 : On peu devoir appliquer plusieurs fois de suie l inégraion par paries. f f ' I e I e e d g ' e g e f f ' g ' e g e On applique une deuième fois la méhode I e e e d e e e e C Eemple 7.5 : Polynôme de degré zéro f ln f ' I ln d ln d g ' g I ln d ln d ln C Eemple 7.6 : I arcsin d f arcsin f ' g ' g I.arcsin.arcsin C I.arcsin d. arsin d d Eemple 7.7 : f f ' I d g' g I d arcsin C reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 6 de 8
27 Eemple 7.8 : L inégraion par paries perme souven de grosses simplificaions. Reprenons l eemple 5... f f ' I d g ' g d I ln C Table formule Eemple 7.9 : On revien parfois à l inégrale de dépar. I e.sin d ' f e f e g ' sin g cos ' f e f e g ' cos g sin I e cos e cos d I e cos e sin e sin d I e cos e sin I C'es une simple équaion en I e I e cos e sin I sin cos C On revien à l'inégrale de dépar reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 7 de 8
28 Eemple 7.0 : (Plus complee) I sin ln d d y y Soi y ln dy d dy e dy I sin y e dy u sin y u ' cos y y y Par paries : I e sin y e cos y dy y y v' e v e u cos y u ' sin y Par paries : y y v' e v e y y y y y I e sin y e cos y sin y e dy e sin y e cos y I y I e sin y cos y I sin ln cosln reussir@proimus.be Inégraion Mah 6 Page 8 de 8
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