Cours de mathématiques M.P.S.I.

Transcription

1 Cours de mathématiques MPSI D'après les cours de M De Grarut Heriet Queti Ausseil Lucas Perard Arsèe Philipp Maxime

2 Détermiats 1 Applicatios multiliéaires 11 Applicatios p -liéaires Défiitio : Soiet E,F deux K-ev, p N Ue applicatio f : E p F est dite p -liéaire si elle est liéaire par rapport à chacue de ses variables : i 1, p, y,z E, K, f x 1,,x i 1,yz,x i1,,x p = f x 1,,x i 1,y,x i1,,x p f x 1,,x i 1,z,x i1,,x p Défiitio : O ote L p E,F l'esemble des applicatios p -liéaires de E p das F 1 Applicatios symétriques Défiitio : Ue applicatio p-liéaire est dite symétrique si elle est ivariate quad o échage deux vecteurs : i, j 1, p, i j, x 1,,x p E p, f x 1,,x i 1,x i,x i1,,x j 1,x j,x j1,,x p = f x 1,,x i 1,x j,x i1,,x j 1,x i,x j1,,x p O otat la traspositio i, j p, o a : f x 1,,x i,,x p = f x 1,,x i,,x p Comme les traspositios egedret le groupe symétrique, o obtiet : S, x 1,,x p E p, f x 1,,x p = f x 1,,x p 13 Applicatio atisymétrique ou alterée Défiitio : Ue applicatio f p -liéaire est dite alterée si x 1,,x p E p, i, j 1, p, i j, x i = x j f x 1,, x i,, x j,, x p =0 F Ue applicatio f p -liéaire est dite atisymétrique si x 1,,x p E p, i, j 1, p, i j, f x 1,,x i,,x j,,x p = f x 1,,x j,,x i,,x p Propositio : Soit f ue applicatio p-liéaire f est atisymétrique f est alterée : x 1,,x p E p, i j, si x i =x j f x 1,,x i,x i,x p = f x 1,,x i,x i,x p car f est atisymétrique Doc f x 1,,x p =0 F doc f est alterée : i, j 1, p, i j, x 1,,x p E p =0 =0 f x 1,,x i x j,, x i x j,,x p = 0 F = f x 1,,x i,,x i,,x p f x 1,,x j,,x j,,x p f x 1,,x i,,x j,,x p f x 1,,x j,,x i,,x p Doc f x 1,,x i,,x j,,x p = f x 1,,x j,,x i,,x p doc f est atisymétrique Soiet f ue applicatio atisymétrique ou alterée, i, j 1,, i j, =i, j x 1,,x p E p, f x 1,,x i,,x j,,x p = f x 1,,x j,,x i,,x p = f x 1,,x i,,x j,,x p Si est le produit de k traspositios o obtiet : f x 1,,x p = 1 k f x 1,,x p = f x 1,,x p

3 Propositio : L'esemble des applicatios p-liéaires symétriques forme u sous-espace vectoriel de L p E, F L'esemble des applicatios p-liéaires atisymétriques forme u sous-espace vectoriel de L p E, F 14 Image d'ue famille liée par ue applicatio alterée Propositio : Soiet f : E p F ue applicatio p-liéaire alterée, x 1,,x p ue famille liée Alors f x 1,,x p =0 F x 1,,x p est liée, o peut doc supposer que x 1 Vectx,,x p : a,,a p K p 1 tel que x 1 = k= f x 1,,x p = f k= p a k x k,,x p =a f x,x,,x p p a k x k a k f x k,,x k,,x k a p f x p,,x p =0 F =0 F =0 F =0 F Détermiat d'ue famille de vecteurs das ue base 1 Problème Positio du problème : Soiet E u K -ev de dimesio, f : E K ue applicatio -liéaire et alterée, B=e 1,,e ue base de E, X =x 1,, x ue famille de vecteurs de E, A=M B X c'est-à-dire j, x j = a i, j e i Que vaut f X? Cas particulier : Si l'o a =, x 1 =a 1,1 e 1 a,1 e, x =a 1, e 1 a, e f x 1,x = f a 1,1 e 1 a,1 e, a 1, e 1 a, e =a 1,1 a 1, f e 1,e 1 a 1,1 a, f e 1,e a,1 a 1, f e,e 1 a,1 a, f e,e =a 1,1 a, a,1 a 1, f e 1,e = a 1,1 a 1, a,1 a, f e 1,e f e déped que des coordoées des x i das la base B et de f e 1,e Cas gééral : f x 1,,x = f a i,1 e i,, a i, e i Quad o développe, o obtiet termes, uls dès qu'il y a deux vecteurs idetiques Il e reste alors que les! termes obteus e permutat e 1,,e f x 1,,x = a 1,1 a, f e 1,,e = a 1,1 a, f e 1,e S S Défiitio : O appelle détermiat de la famille X das la base B et o ote X = S a 1,1 a,

4 Défiitio : O ote E l'esemble des formes -liéaires alterées sur E Propositio : est ue forme -liéaire alterée o ulle X E P, X K doc est ue forme L'applicatio p i : x j a i, j est liéaire et l'applicatio : z 1, z,, z z 1 z z est - liéaire Doc est -liéaire est o ulle car B =1 : E effet, e j =0e 1 1e j 0e, doc a i, j = i, j B = 1, 1,, mais seule la permutatio e e doe pas 0 : S Aisi, B =e e1,1 e, =1 doc est o ulle Soiet i, j 1,, i j, et X=x 1,,x E tel que x i =x j X = a 1,1 a, = a 1,1 a, a 1,1 a, S A S A Soiet =i, j et : A S A S A, = = = A X = A = A =1 = 1 doc est bijective a 1,1 a i,i a j, j a, A a 1,1 a i,i a j, j a, a 1,1 a i,i a j, j a, A a 1,1 a j,i a i, j a, Or, x i =x j doc : { a j,i=a j, j ( j ème coordoées du vecteur x i =x j ) a i, j =a i,i ( i ème coordoées du vecteur x j =x i ) Doc X =0 doc est alterée Corollaire : dim E =1 f E, X E, f X = X f B Notos = f B K ( f est ue forme) : O a alors f = Doc E =Vect dim E=1 ( est o ulle) Chagemet de base Soit E u K-ev de dimesio, B et B ' deux bases de E, X E ' E, doc ' X = ' B X Si X =B ' o obtiet alors : ' B ' =1= ' B B ' ' B et B ' sot o uls et iverses l'u de l'autre 3 Caractérisatio des bases Théorème : Soiet E u K-ev de dimesio, B ue base de E, X E X est ue base de E X =0 : Det X B X =1 X 0 : Par l'absurde, si X est liée : o a alors X =0 (propositio du 14) : Impossible Doc X est libre et de cardial =dim E, il s'agit doc d'ue base de E

5 3 Détermiat d'u edomorphisme 31 Ivariace par chagemet de base Soit E u K-ev de dimesio, B=e 1,,e ue base de E, u L E ub=ue 1,,ue Soiet B ' ue autre base de E, et f telle que X E, f X = ' ux f E doc f X = X f B Si X=B ' : o obtiet f B '= ' ub '= B ' f B = B ' ' ub = B ' ' B ub = ub Défiitio : O appelle détermiat de u et o ote Det u= ub u X = X ub =Det u X 3 Propriétés Propriétés : 1 u,v L E, Det u v= uvb =Det u vb=det udet v u L E, K, Det u=det Id u=det IdDet u= Det u Théorème de caractérisatio des automorphismes : Soit E u K-ev de dimesio, u L E u est u automorphisme Det u 0, et alors Det u 1 = 1 Det u Soit B ue base de E u est u automorphisme ub est ue base de E ub 0 Det u=0 Detu u 1 =DetId=1 Det u 1 = 1 Detu Det est u morphisme du groupe GLE, vers le groupe K,, surjectif et o ijectif =Det Détermiat d'ue matrice carrée 41 Défiitio Défiitio : Soit A M K=a i, j O peut associer à A : ue famille de vecteurs de K Si o ote B la base caoique de K, A= M B C 1,,C u edomorphisme de K tel que A=M B u O a alors C 1,,C = M B u O défiit alors Det A= a 1,1 a, S

6 4 Propriétés Propriétés : L E M Soit : K est u isomorphisme O obtiet : u M B u 1 A, B M K, Det A B=Det ADet B A M K, K, Det A= Det A Théorème : A M K, A est iversible Det A 0, et alors Det A 1 = 1 Det A Propositio : A M K, Det t A=Det A Soit A M K, A=a i, j, Det t A= S k =1 S Soit : S 1 t A=a' i, j a' k,k = S k=1 a k, k = 1 a 1 k,k S k=1 est bijective, e effet S, = 1 = 1 S O a alors, sachat que 1 = : Det t A= S k=1 a k, k =DetA Avec cette propositio, o peut effectuer aussi des opératios sur les liges du détermiat Propriété : Soit A la matrice : a 1,1 a 1, 0 Alors Det A=a 1,1a, a, = k =1 0 0 a, a k,k Det A= a k,k S k=1 Si e, alors k 1, tel que kk Pour le démotrer, supposos que ce 'est pas le cas : k 1,, kk O a alors : 11 1=1 = = O obtiet =e, ce qui cotredit l'hypothèse de départ Doc la propriété est vraie k k a k,k =0 k=1 a k,k =0 Doc Det A=e k=1 a e k,k = k=1 Ce résultat se vérifie aussi pour ue matrice triagulaire iférieure, à l'aide de Det t A=Det A a k,k

7 Propositio : 1,1 0 Soit A=a B 0 A est ue matrice par blocs de dimesio, la matrice B est de dimesio 1 O a alors Det A=a 1,1 Det A= S a 1,1 a, Si 1 1, alors a 1,1 =0 Doc Det A= a 1,1 a, a, S 1=1 se restreit doc e ue permutatio de,, et comme b i, j =a i1, j 1, o peut écrire : Det A=a 1,1 b 1,1 b 1, 1 =a 1,1 (e effet, = car et ot les mêmes iversios) S 1 Ce résultat se gééralise : Det A C 0 B p q p q =Det A 5 Calcul pratique d'u détermiat 51 Opératios élémetaires Soit A=a i, j = C 1 C 1 L Soit B=e 1,,e la base caoique de K Det A= C 1,,C = L 1,, L = L Propriétés : 1 C 1,, C i,,c = C 1,,C i,,c C 1,,C i,,c j,,c = C 1,,C j,,c i,,c 3 S, C 1,,C = C 1,,C 4 C 1,,C i C j,,c = C 1,,C i,,c Propositio : détermiat de Vadermode : Soiet a 0,, a K O appelle détermiat de Vadermode et o ote Da 0,,a le détermiat : a0 a0 a 0 1 a 1 a 1 a 1 Da 0,, a = 1 1 a a a O a : Da 0,, a = a i a j ij

8 Le pricipe est de retracher à chaque coloe la coloe précédete multipliée par a 0 e commeçat par la fi 1 a0 a0 1 a 1 a 1 1 a a a a 1 1 a 1 a 1 a = 1 a 1 a 1 a1 1 a 1 a 1 1 a 1 a a 1 a a 0 a 0 = a1 a0 1 a =a 1 a a Da 1,a,, a =a 1 a a a a 1 a 3 a 1 a a 1 Da,a 3,, a = = a i a j i j 5 Développemet Défiitio : Soit A=a i, j M K, i, j 1, 1 O appelle mieur de a i, j le détermiat de la matrice obteue à partir de A e retirat la lige i et la coloe j O le ote i, j O appelle cofacteur de a i, j, 1 ij i, j Propositio : développemet suivat ue coloe : Soit A=a i, j M K j 1,, Det A= a i, j 1 ij i, j Soiet B=e 1,,e la base caoique de K, C 1,,C les coloes de A Det A= C 1,,C j,,c = C 1,, Il reste à prouver que C 1,,C j 1,e i,c j1,,c = 1 i j i, j a1, 1 a1, j 1 0 a1, j 1 a1, a,1 a, a C 1,,C j 1, e i,c j1,,c = i 1,1 0 a i 1, a i,1 1 a i, a i1,1 0 a i 1, a,1 a, j 1 0 a, j 1 a, a i, j e i,,c = a i, j C 1,, C j 1,e i,c j1,,c O effectue sur les coloes le cycle c c =1,,, j et sur les liges le cycle c l =1,,,i a i,1 ai, ai, j 1 ai, j 1 a i, 0 a 1,1 a 1, a 1, C 1,,C j 1, e i,c j1,,c = 1 0 a i 1,1 a i 1, j 1 a i 1, j 1 a i 1, 0 a i1,1 a i 1, j 1 a i1, j 1 a i1, 0 a,1 a, a, j 1 a, j 1 a, c ccl=1 i, j 1 j 1 1 i 1 De même avec les liges, i 1,, Det A= a i, j 1 i j i, j

9 6 Applicatios 61 Orietatio des bases Défiitio : Soit E u R-ev, B et B ' deux bases différetes de E B ' 0, o a doc soit B '0, soit B ' 0 Si B ' 0, o dit que B et B ' ot la même orietatio Si B ' 0, o dit que B et B ' ot des orietatios cotraires Orieter l'espace, c'est choisir ue base de référece orietée positivemet, dite directe 6 Comatrice Défiitio : O appelle comatrice de A et o ote Com A la matrice des cofacteurs : Com A i, j = 1 i j i, j Propositio : A M K, A Com t t A= Com A A=Det AI t Notos C=A Com A c i, k = t a i, j Com A j,k = a i, j 1 k j k, j 1 er cas : Si k=i : c i,i = a i, j 1 ij i, j =Det A (Développemet suivat la lige i de Det A) ème cas : Si k i : Soit A ' la matrice obteue à partir de A e recopiat la lige i das la lige k A ' a deux liges idetiques Det A' =0 Doc C=Det A I E développat suivat la lige k : Det A ' = a' k, j 1 k j ' k, j 0= a i, j 1 k j k, j =c i, k Corollaire : t Si Det A 0, A 1 Com A = Det A 63 Systèmes de Cramer {a 1,1 x 1 a 1, =b 1 Soit S : système de p équatios à icoues avec secod membre a p,1 a p, =b p Iterprétatios possibles de ce système : Itersectios de p hyperplas affies u : K K L K x 1,, x a 1,1 x 1 a 1, x,, a,1 x 1 a, x Alors S ux =b : équatio liéaire de solutio soit, soit u sous-espace affie de directio Ker u x 1 A=a i, j, X=, B= b1 x Alors S A X =B Das le cas des systèmes de Cramer, c'est-à-dire =p, et avec A iversible, o obtiet X =A 1 B b p

10 Propositio : Das le cas des systèmes de Cramer, et e repreat les élémets défiis précédemmet, les assertios suivates sot équivaletes : 1 b, S admet ue uique solutio Pour b=0, S admet ue uique solutio 3 u est bijective 4 A est iversible ( Det A 0 ) Das ce cas, i, x i = Det A i où la matrice A Det A i est obteue à partir de A e remplaçat la i ème coloe par le secod membre B 1 : Évidet 3 : Ker u={ 0} u ijective u bijective (car u L K ) 3 4 : Évidet 3 1 : ux=b x=u 1 b Uique solutio Notos B=e 1,e,,e la base caoique de K, et C 1,C,, C les coloes de A i, avec C i =B=x 1 C 1 x C x C Det A i = C 1,C,,C i 1, B,C i1,,c = C 1,C,,C i 1, x k C k,c i1,,c = x k C 1,C,,C k,,c =00x i C 1,C,,C i,,c 00=x i Det A k =1 * * * * * k =1 Mis à jour le