Cours 12 : Corrélation et régression

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1 Technques d analyses en psychologe Cous 1 : Coélaton et égesson Table des matèes Secton 1. À Washngton, ce sont les cgognes qu appotent les bébés... Secton. Statstque de coélaton... Secton 3. Coélaton smple Calcule du Test su le coeffcent de coélaton de Peason La dote de égesson Test su la pente de la égesson... 8 Secton 4. Coélaton multple Calcule du R... 9 Secton 5. Concluson Execces... 1 Lectues Suggéée : Howell, chapte 9.1 à 9.8, et 9.10, pus chapte 15, 15.1 et Objectfs Pouvo éalse des coélatons ente deux vaables et compende la sgnfcaton d un ndce de coélaton. Pouvo teste s une coélaton est sgnfcatvement dfféente de zéo; pouvo fae des tests d hypothèses su la pente de la égesson. Cous 1. Coélaton et égesson 1

2 Technques d analyses en psychologe Secton 1. À Washngton, ce sont les cgognes qu appotent les bébés. L'étude des coélatons ente deux vaables est un domane qu peut pafos évéle beaucoup su les mécansmes sous-jacents. Pa exemple, chez les conducteus automobles, l exste une tès fote coélaton ente le fat de posséde un téléphone cellulae et le nombe d'accdent automoble. Évdemment, la cause de cette coélaton est tès smple: les conducteus qu palent dans leu cellulae sont beaucoup mons attentfs à la oute et ont donc des éactons plus lentes en cas de dange, ce qu augmente la pobablté d'accdents. On peut pesque de que la possesson d'un cellulae cause un accossement des accdents. Cependant, toutes les coélatons ne sont pas auss facles à compende. À Washngton, un jounalste a découvet qu'l exste une tès fote coélaton ente le fat d'avo un nd de cgogne su sa demeue et le fat d'avo des enfants. D'où la concluson (eonée) que les cgognes appotent les bébés. En fat, pou compende cette coélaton, l faut fae nteven un gand nombe de facteus ndects (qu n'ont pas été nclus dans la echeche du jounalste) qu ont auss un effet su le fat d'avo des enfants: Pou avo un nd de cgogne, l faut une chemnée et donc, une mason. Les masons sont tès dspendeuses dans cette égon des États-Uns. Les couples asés sont plus à même d'avo des enfants aux États-Uns que les couples plus pauves. Tout ces facteus ms ensemble monte que le fat d'avo un nd de cgogne ne démonte seulement que le couple est plus asé, et donc, plus à même d'avo des enfants. La pésence d'une cgogne est un sgne tès ndect, et cetanement pas la cause, du nombe d'enfants. Secton. Statstque de coélaton Qu entend-t-on pa coélaton? Supposons deux échantllons su un goupe, pa exemple, quotent ntellectuel et hablté en lectue. On s attend à ce que ces deux mesues vaent ensembles. C est à de que s une pesonne a un scoe élevé su une mesue, l aute mesue devat auss ête élevée. Invesement, s une pesonne a un scoe fable su une mesue, l aute devat auss ête fable. Dans ce cas, les mesues sont dtes postvement coélée. Imagnons pa opposton, deux autes mesues, l hablté en lectue et le temps pou le un passage donné. Dans ce cas-c, on s attend plutôt à ce qu une pesonne avec un scoe élevé dans l hableté en lectue monte un scoe pett (apde) en lectue, et vce-vesa. Dans ce second cas, les mesues sont dtes négatvement coélée. La coélaton est une statstque qu caactése l exstence ou l absence d une elaton ente deux échantllons de valeus pse su un même goupe de sujets. Le coeffcent de coélaton pemet de quantfe cette elaton 1- pa le sgne de la coélaton (postve et négatve), et pa la foce de cette coélaton. Le degé de coélaton, comme nous le veons plus lon, se mesue su une échelle de 0 à 1. Zéo sgnfe une totale absence de coélaton ente les deux mesues, alos que 1 sgnfe une coélaton pafate, c est à de que connaîte la valeu d une mesue nous pemet de connaîte exactement la valeu de l aute. Les llustatons de la Fgue 1 (appelées «scatteplot» quand on lluste une mesue en foncton d une aute mesue) donnent quelques valeus possbles pou le coeffcent de coélaton. Cous 1. Coélaton et égesson

3 Technques d analyses en psychologe Fgue 1 : Cnq ensembles de données de plus en plus coelés On peut concevo le coeffcent de coélaton comme un ndce de la qualté de la dote déale passant pa les ponts (ou encoe comme la pente quand les valeus des deux vaables ont étés nomalsée -tansfomée en cote z). Les moyennes des deux vaables sont alos zéo. et la vaance est 1. Les données autant de que de s étendent vasemblablement ente 3 et +3. On se end compte que dans le cas où 0, les valeus élevées pouaent ête autant assocées à des valeus élevées qu à des valeus basses. Et vce-vesa. La melleue pédcton possble de ne dépend pas de la connassance de. La connassance de ne donne aucune nfomaton su. Comme on le vot, le nuage de pont devent de plus en plus étot au fu et à mesue que le coeffcent devent élevé. Quand est à son maxmum (1), les données tansfomées de sont pafatement pédtes pa les données tansfomées de, c est à de. Dans le cas où -1, la elaton est toujous vae, sauf pou un sgne mons :. Il faut cependant fae attenton de ne pas confonde coélaton et causaton. Le fat que l hablté en lectue sot fotement coélée avec le quotent ntellectuel ne sgnfe pas que l hablté en lectue détemne le Q. I. de l ndvdu. Et vce-vesa. Il ave auss pafos que ce ne sot pas deux V. D. qu soent mses en coélaton, mas plutôt une V.D. avec une vaable ndépendante, telle la condton dans laquelle se touve le sujet. Dans ce dene cas, la V.I. est toujous mse su l axe des abscsses. Secton 3. Coélaton smple Nous noteons le coeffcent de coélaton ente deux échantllons et. Il est auss souvent appelé le coeffcent de coélaton de Peason, du nom de son nventeu, pou le dstngue d autes ndces de coélatons (tel le coeffcent de Speaman) Calcule du Pou calcule le coeffcent de coélaton, l faut pemèement pouvo calcule la covaance ente deux échantllons. On se appelle que la vaance (non basée) se calcule comme sut : Cous 1. Coélaton et égesson 3

4 Technques d analyses en psychologe 1 ( ) n 1 La covaance est une mesue de la vaance pésente dans deux échantllons smultanément. L dée étant que s les deux échantllons covaent, la covaance devat ête gande, alos que s ls ne covaent pas, la covaance devat ête modéément fable. Une façon d attende cette mesue est d utlse le podut des dfféences, comme sut : 1 n 1 ( )( ) Dans cette équaton, s tend à ête tès supéeu à sa moyenne en même temps que, la somme sea gande, ndquant une fote covaaton. La mesue de covaaton est expmée en unté de fos l unté de. Dans le peme exemple c-haut, la covaaton seat expmé en pont de Q.I pa mots lus. Pou élmne ces untés, on peut dvse pa les écats types des échantllons ps ndvduellement. Cette dvson a auss pou ésultat de nomalse la covaance ente 1 et 1, ce qu est donc l ndce de coélaton souhaté: ( ( ) )( ) ( ) Ce que nous avons en fat, c est un ato ente comben de vaaton les deux mesues ont en commun dvsée pa la quantté de vaaton qu elles pouaent avo au plus. S on élève au caé, donne la quantté de vaance en commun ente les deux échantllons. On pale auss souvent de «poucentage de la vaance explquée», ca s on pend le pont de vue que, dsons, explque les ésultats obtenus en, une cetane quantté de vaance en explque la vaance en, et cette quantté est donnée pa. Autement dt, s nous connassons la vaable, l ncettude à popos de la vaable est édute de moté. Une aute façon d lluste la vaance explquée est sous la fome d un dagamme de Venne. Dans ce cas, on peut vo en teme de supeposton de cecles Exemple. Fgue : Deux epésentatons d une coélaton moyenne et fote Sot une echeche où un checheu dése examne la elaton qu l peut exste ente l hablté en lectue () et le nombe d heues de lectue pa semane (). est mesué en laboatoe à l ade d un test d hablté en lectue alos que est estmé pa les sujets euxmêmes. 10 sujets ont été échantllonnés. Les ésultats sont : Cous 1. Coélaton et égesson 4

5 Technques d analyses en psychologe sujets Moyenne Écat type Pou calcule la covaance à l ade d une calculatce, l n exste malheueusement pas de touche «covaance». Il faut donc pépae les données en calculant manuellement les temes ( ) ( ). Ce que l on fat dans le tableau suvant : sujets ( ) ( ) ( ) ( ) Moyenne Écat type ( n 1) Dans la denèe colonne, nous ne calculons pas l écat type ca l s agt déjà de dévatons à la moyenne. Il faut en fae la somme pus dvse pa (n 1) pou obten la covaance. Nous Cous 1. Coélaton et égesson 5

6 Technques d analyses en psychologe obtenons donc C est à de une coélaton postve tès poche de 1. Est-elle sgnfcatve? 3.. Test su le coeffcent de coélaton de Peason Losqu on veut teste s un coeffcent est sgnfcatf, on pose en fat l hypothèse nulle que le coeffcent est zéo. Il exste une démonstaton qu ndque que le coeffcent se dstbue nomalement autou de zéo s la vaance est stable pou un donné. La vaablté du coeffcent autou de zéo est nconnue. Cependant, la vaance qu este à explque (1 - ) est un bon estmateu de la vaance du coeffcent. Ces ndcateus nous pemettent de constue un test, semblable au test t (nomalté du numéateu, et vaance estmée au dénomnateu). a.1. Postulats Les scoes ndvduelles se dstbuent nomalement et la vaance ente les scoes, quand s accoît este constante. a.. Hypothèses et seul Les hypothèses sont de la fome : H 0 : 0 H 1 : 0 Il s'agt d'un test bdectonnel. Dans ce cas, l faut utlse un test bdectonnel et donc épat α en deux. Un test uncaudal est auss possble s les hypothèses de echeches pédsent un sgne pécs au coeffcent de coélaton. Dans ce cas, le test qu sut ne dot pas utlse la valeu absolue. Le seul α est lbe (souvent 5%). a.3. Cheche le test Le test est de la fome : ejet de H 0 s n > s(α/) dans lequel la valeu se dstbue comme un t avec (n ) degés de lbeté. n Ic, n est le nombe d obsevatons dans les échantllons et. On soustat pa deux ca le calcul du coeffcent nécesste le calcul de deux moyennes. Pou note exemple pécédent, un egad dans la table t nous donne comme valeu ctque s (5%/) avec 8 degés de lbeté :.306. Cous 1. Coélaton et égesson 6

7 Technques d analyses en psychologe a.4. Applque le test et conclue Nous calculons La valeu obtenue n 8 est ben plus gande que la valeu ctque. Nous pouvons ejete H 0 et conclue qu l exste bel et ben une coélaton sgnfcatve ente l hablté en lectue et le nombe d heues de lectue pa semane appoté pa les sujets, et que cette coélaton est postve (t(8) 7.60, p <.05) La dote de égesson Sot la stuaton où nous obsevons bel et ben une coélaton sgnfcatve ente un échantllon et un échantllon. L étape suvante est de quantfe la elaton. Pa exemple, pou chaque changement d une unté en, de comben change la valeu attendue en? Une façon d y paven est de éalse un scatteplot des données, pus de touve la dote déale qu tavese le meux les données. La dote la plus poche de tous les ponts est appelée la dote de egesson. Comme toujous, l équaton d une dote est donnée pa : b + a dans laquelle b est la pente de la dote, et a, l odonné à l ogne (l endot où la dote coupe l axe des ). Il exste une méthode smple pou calcule ces paamètes de la dote de égesson. En effet, la pente (le degé d élévaton de en foncton de ) est donnée comme le appot de la covaance su la vaance des. Donc : b S le est déjà dsponble, on peut gagne du temps avec la fomule équvalente : b Pou touve l odonnée à l ogne, on note qu en utlsant les moyennes comme un couple de valeus possbles, on obtent : a b ou encoe a Dans note exemple pécédent, on touve que b et que a b Donc, on touve que pou chaque pont d accossement dans les, les s accossent de pès de 0. unté. De plus, s est zéo, on s attend à ce que sot de pès de 1.4. Faîtes le gaphque des données et de la dote de égesson, et véfez que les valeus sont appopées. Cous 1. Coélaton et égesson 7

8 3.4. Test su la pente de la égesson Technques d analyses en psychologe Il va de so que s la égesson est sgnfcatve, cec ndque que la pente b dffèe de zéo. Cependant, l exste cetanes stuatons où on voudat savo s la valeu obtenue pou b est égale à une cetane valeu défne à po pa une théoe. a.1. Postulats Avec les mêmes postulats que pou le coeffcent de coélaton, on peut constue une valeu mplquant la dfféence ente la pente obtenue et la pente attendue pa la théoe qu sot dstbuée comme une statstque t. L utlsaton de la table t vent du fat que la vae vaance des valeus possbles de la pente n est pas connue, mas estmée à pat des données. a.. Hypothèses et seul Les hypothèses sont de la fome : H 0 : b b 0 H 1 : b b 0 où b 0 est une valeu foune à po pa une théoe. Un test uncaudal est auss possble s les hypothèses de echeches pédsent un sgne pécs au coeffcent de coélaton. Dans ce cas, le test qu sut ne dot pas utlse la valeu absolue. Le seul α est lbe (souvent 5%). Supposons dans note exemple que l on veulle savo s la pente peut ête de ¼ exactement. a.3. Cheche le test Le test est de la fome : ejet de H 0 s b b 0 n > s(α) b b0 dans lequel la valeu se dstbue comme un t avec (n ) degés de lbeté. n Ic, n est le nombe d obsevatons dans les échantllons et. On soustat pa deux ca le calcul du coeffcent nécesste le calcul de deux moyennes. Pou note exemple pécédent, un egad dans la table t nous donne comme valeu ctque s(5%) avec 8 degés de lbeté :.306. Cous 1. Coélaton et égesson 8

9 Technques d analyses en psychologe a.4. Applque le test et conclue b Nous calculons La valeu n 8 obtenue est ben plus gande que la valeu ctque. Nous pouvons ejete H 0 et conclue que la pente est sgnfcatvement nféeue à ¼ (t(8)3.05, p <.05). Cec pemet de ejete la théoe qu pédt une pente de ¼. Secton 4. Coélaton multple Jusqu à pésent, nous n avons consdéé que des coélatons ente deux vaables. Il exste auss des cas où tos vaables ou plus sont mplquées. Pa exemple, pou péde le evenu famlal d un ndvdu (Z), les ndcateus Degé de scolaté () et Revenu des paents (), ps ndvduellement n explquent peut-ête qu une pate de la vaance, alos que losque les deux sont ps en consdéaton smultanément, une ben melleue pédcton peut ête attente. Vo la Fgue 3 qu lluste les contbutons de la vaance explquée de chaque vaable su les autes : Z 0.5 Z.50 Z.35 Une façon de consdée ce dagamme de Venne est de egade la matce des coélatons en penant les vaables deux pa deux, ce qu on appelle une tables d ntecoélaton : Cous 1. Coélaton et égesson 9 Z Cependant, cette table ne épond toujous pas à note queston pusqu elle contnue à pende les pédcteus un pa un. Nous souhatons péde Z étant donné un couple et connu smultanément. Pou y ave, nous utlsons un ndce de coélaton multple R Calcule du R Fgue 3 : Repésentaton d une coélaton pou tos vaables L ndce de coélaton multple (pou plus de deux vaables) est epésenté pa un R majuscule pou le dfféence du cas patcule où l n y a qu un total de deux vaables. Tout comme le, l ndce R va de plus 1 à 1. Pou évte les confusons, on utlse les ndces

10 Technques d analyses en psychologe tel : R Z, pou ndque que l on cheche à péde Z à pat des valeus smultanée de et. De la même façon, R Z, ndque le poucentage de la vaance de Z explqué pa et. Penons comme exemple une étude où l on veut détemne la elaton ente la qualté des pogammes qu une pesonne écoute (selon son évaluaton pesonnelle) et le px de son équpement, pou détemne le nombe d heue que cette pesonne va passe devant la télévson pa semane Z. Nous supposons que le checheu a déjà obtenu les coélatons smples, Z et Z pou chaque pa (, ), (, Z ), et (, Z ). Le R multple se calcule comme sut : R Z, Z + Z Z Z Un coeffcent de coélaton multple s ntepète de la même façon qu un égule dans le cas d un poblème à deux vaables. De plus, l est auss possble de teste des hypothèses concenant R, tel H 0 : R 0. Nous n allons pas ente dans les détals. Cependant, un bon logcel d analyse statstque va appote s le R obtenu est sgnfcatf ou non. De la même façon, une dote de égesson passant pa les tplets de ponts est auss possble. L dée étant de péde les Z suvant une équaton de la fome : Z bz, + bz, + a Une chose mpotante à vo dans cette équaton est que l effet de et de sont addtfs, c est à de que affecte Z ndépendamment de. Autement dt, ce modèle stpule qu l n exste pas d nteacton ente les facteus et su la vaable dépendante Z. Cet hypothèse se teste à l ade d une ANOVA. S l nteacton A B est sgnfcatve, l faut smplement ne pas fae de égesson multple lnéae. Le facteu b Z, est le ato ente comben d unté Z change pou chaque unté de changement dans quand est tenu constant. Pace que chacun de ces coeffcents epésente seulement une poton de la pédcton de Z, ls sont appelés coeffcents de coélaton patelle. Les équatons pou calcule les pentes des effets de chaque vaable ndvduelle sont donnés pa : Exemple. b b Z, Z, Z Z Z Z Cous 1. Coélaton et égesson 10 Z Z Sot la echeche où l on veut détemne la elaton ente la qualté des pogammes qu une pesonne écoute (selon son évaluaton pesonnelle) et le px de son équpement (en $), pou détemne le nombe d heue que cette pesonne va passe devant la télévson pa semane Z (en heues). Le checheu a obtenu ces tos mesues su un échantllon de 50 pesonnes (non pésentés). La moyenne des obsevatons est 5 (cote), 05 $, Z 18 heues.la

11 Technques d analyses en psychologe vaance (non basée) des obsevatons est :. (cote), 88.0 $, Z 11.8 heues. Il obseve les coélatons smples.750, Z.894et Z.918. Il egade en peme le coeffcent de égesson multple R : R Z, Z Z Z Z Pès de 94% de la vaance est explquée quand on consdèe et smultanément, ce qu seat sgnfcatf s on egadat un lstng d odnateu. Les coeffcents de coélaton patelle sont b b Z, Z, Z Z Z Z Z Z Avec les valeus moyennes, on touve l odonnée à l ogne, a : a Z b Z, b Z, Étant données ces dfféentes valeus, nous pouvons péde le temps passé devant la télévson s le px de la télévson et la cote des pogammes écoutés sont connus. Pa exemple, s un ndvdu appote écoute des émssons qu l cote 3 et que son équpement coûte 100$, on s attend à ce qu l passe heues pa semane devant la télévson. Secton 5. Concluson Cous 1. Coélaton et égesson 11

12 Technques d analyses en psychologe Execces 1. So une odonnée à l ogne de 1, une pente de.5. Calculez la valeu attendue de s vaut : a) 0 b) 10 c) sujets ont été mesués su vaables. La somme des poduts des dstances ente chacune de ces valeus et leu moyenne espectve est de La covaance est de : 3. Quel est le poucentage de la vaance de explquée pa s la coélaton est de La pente de égesson de su étant de et la pente de égesson de su étant de 0.890, calculez le coeffcent de coélaton. 5. La covaance étant de 85, la vaance de de 96, et la vaance de 11, calculez le coeffcent de coélaton. 6. Sot {55, 100, 307, 150} et {5, 3, 6, 3}, a) Calcule les moyennes b) Calcule les vaances non-basées c) Calcule la covaance d) Calcule le coeffcent de coélaton e) La coélaton est-elle sgnfcatve (α 5%)? f) Calcule la pente de égesson g) Calcule l odonnée à l ogne. 7. Sot {8, 1, 13, 7, 16} et {3, 4, 9,, 1}, a) Calcule les moyennes b) Calcule les vaances non-basées c) Calcule la covaance d) Calcule le coeffcent de coélaton e) La coélaton est-elle sgnfcatve (α 5%)? f) Calcule la pente de égesson g) Calcule l odonnée à l ogne. 8. Une echeche menée pa un collègue vous append que le len ente la vaable et est : Pouvez-vous péde la valeu de la vaable à pat de la valeu de? 9. Une fote coélaton de su suggèe que cause? Cous 1. Coélaton et égesson 1

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