6. Analyse statistique de la houle réelle

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1 6 - Aalyse statistique de la houle réelle 6. Aalyse statistique de la houle réelle 6.. Itroductio Le coporteet des odes à la surface de la er et des océas relève, de toute évidece, bie ois de l'aalyse déteriiste, que de l'aalyse stochastique qui est l'étude du calcul des probabilités appliqué au traiteet des statistiques. Il est doc raisoable d'étudier les aspects stochastiques des états de er, aisi que ceux des réposes des ouvrages, structures, avires et egis aris qui y sot souis. Ue telle approche est écessaireet souise à des hypothèses siplificatrices qui perettet, sous réserve qu'elles soiet vérifiées, la ise e œuvre de l'outil athéatique. Ces hypothèses de base coceret, bie sûr, la odélisatio des états de er, ais aussi celle de la répose des ouvrages, structures, avires et egis aris. Das ce qui suit, les processus aléatoires serot supposés être stables (ou statioaires), ergodiques et liéaires. Ils e fot iterveir que des variables gaussiees idépedates. 6.. Décopositio d'ue houle irrégulière e houles siples L'eseble de la théorie stochastique de la houle réelle repose sur l'hypothèse fodaetale que la déivelée η(m;t) de la surface libre d'ue houle irrégulière peut être cosidérée coe état la soe d'ue ifiité d'odes siusoïdales siples, chacue se propageat avec sa célérité propre qui 'est foctio que de sa période et de la profodeur d'eau. E supposat que l'axe des abscisses x coïcide avec la directio de propagatio, la déivelée de la surface libre peut doc se ettre sous la fore géérale : H x t i (6.) η( M; t) = si π + ψ i λ i= Aisi, e u poit M fixé, la déivelée de la surface libre est supposée pouvoir s'écrire coe la soe d'u très grad obre de foctios aléatoires idépedates variat siusoïdaleet avec le teps dot les phases ϕ i sot des gradeurs aléatoires uiforéet réparties das l'itervalle [,π]: (6.) η( t) = a ( ω t + ϕ ) si i= i i i i i Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6 - /

2 6 - Aalyse statistique de la houle réelle Cette forulatio suppose ipliciteet que le processus aléatoires est liéaire. C'est à dire que les iteractios etre les différetes houles siples qui coposet la houle irrégulière sot égligeables, ce qui est pratiqueet toujours vérifié pour des profodeurs pas trop petites avec des hauteurs de houle pas trop grades. Par ailleurs, il est à oter qu'e eau peu profode, des groupeets de vagues sot souvet observables, ce qui est e cotradictio avec la répartitio des phases supposée aléatoire et uifore das l'itervalle [,π]. E supposat le processus ergodique, il est possible d'idetifier la oyee teporelle de la foctio aléatoire η(m;t) avec sa oyee statistique ou spatiale. E otat respectiveet d'u poit et de deux poits les dérivées teporelles preière et secode de la déivelée il e résulte que les espéraces athéatiques ou oyees teporelles des trois foctios sot ulles : (6.3) η( t ) = ( η t ) = ( η t ) = Ce qui e pred e copte i la liitatio de hauteur par le déferleet, i les dissyétries du profil de la houle dues à sa cabrure. Par ailleurs, les oyees quadratiques des trois foctios s'expriet à partir des différets oets d'ordres pairs du processus : η( t)( η t ) = η ( t) = a i = i= η = ω i i = i= 4 η ( t) = ω i ai = 4 ( η )( η ) i= (6.4) ( t) a η( t)( η t) = ω i ai = t t = i= Le théorèe de Lyapouov stipule que lorsque leur obre ted vers l'ifii, la distributio d'ue soe de foctios aléatoires idépedates ted vers ue loi orale de variace. Aisi, pourvu que soit asse grad, η(t) et ses dérivées teporelles preière et secode suivet des lois orales cetrées de variaces respectiveet égales à, et 4. La desité de probabilité qui est la probabilité que la déivelée soit coprise etre deux valeurs et +d, s'écrit doc : (6.5) Prob[ ( t) < + d] = li dt = P( ) d = exp η π = d Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6 - /

3 6 - Aalyse statistique de la houle réelle Les différets teres qui itervieet das cette expressio sot atérialisés sur la figure 6.. Figure 6. : Probabilité que la déivelée soit coprise das l'itervalle [,+d] Aalyse vague par vague Les deux foctios aléatoires η(t) et ( η t ) état, par costructio, statistiqueet idépedates (η( t)( η t ) = ), la desité de probabilité de leur couple (η(t), ( η t ) ) s'obtiet par siple produit des deux lois. D'où : + (6.6) P(,) = exp π Passage par u iveau doé La probabilité que la déivelée passe par u iveau doé par valeurs croissates [, [ est égale au produit de l'espérace athéatique de la fréquece de cet évéeet par le teps dt pedat lequel il se produit, ce qui ipose la relatio d = dt. Il viet doc : + (6.7) Prob[ η( t) < + d; ( η t)] = P(,) dd = E[ ] dt Aisi, après avoir replacé d par so expressio e foctio de dt, ce qui red l'itégratio iédiate, il e résulte les égalités suivates : E (6.8) E[ ] = E[ ] = [ ] + - = exp π La période de passage de la déivelée au iveau par valeurs croissates ( up-crossig) s'écrit doc : Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6-3 /

4 6 - Aalyse statistique de la houle réelle (6.9) () = E[ ] = π exp uc + La logueur d'ode associée à cette période s'obtiet e rearquat que les oets correspodat à ue forulatio e obre d'ode sot doés e foctio des oets de la forulatio e pulsatio par : (6.) ω k ω = = g g Elle est doc défiie par la relatio : (6.) λuc() = πg 4 exp Passage par le iveau oye De êe que précédeet, la probabilité que la déivelée passe par le iveau oye η(t)= par valeurs croissates ( η t) [, [ s'obtiet iédiateet : + (6.) Prob[ η( t) < + d; η( t)] = P(,) dd = E[ ] dt D'où les égalités suivates : E (6.3) E[ ] = E[ ] = [ ] + - = π La période de passage de la déivelée au iveau oye par valeurs croissates (ero up-crossig) s'écrit doc : (6.4) = E[ ] = π uc + La logueur d'ode associée à cette période état alors défiie par : (6.5) λ uc = πg 4 Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6-4 /

5 6 - Aalyse statistique de la houle réelle Passage par u extreu U iu relatif de la déivelée est défii coe u passage de la dérivée η( t ) par éro par valeurs décroissates ( η t) ], ]. Les deux foctios aléatoires η( t ) et ( η t ) état, par costructio, statistiqueet idépedates, il résulte iédiateet de ce qui précède que : E (6.6) E[ ] = E[ ] = [ ] + - = π 4 d'où la période qui sépare e oyee le passage etre deux ia cosécutifs : (6.7) = E[ ] = + π La logueur d'ode associée à cette période état alors défiie par : 4 4 (6.8) λ = πg Distributio des extrea Il s'agit désorais de déterier, e tere de probabilités, les valeurs de la déivelée lorsqu'elle passe par u iu relatif. Il faut doc pour cela cosidérer la probabilité d'u eseble de trois foctios gaussiees (η(t), η( t ), ( η t ) ). Or, si les deux couples de foctios (η(t), η( t ) ) et ( η( t ), ( η t ) ) sot respectiveet idépedats, il 'e va pas de êe du couple (η(t), ( η t ) ) puisque η( t)( η t) =. Das ces coditios, la desité de probabilité des trois foctios aléatoires gaussiees se présete sous la fore suivate : (6.9) P(,,) = exp ( π ) Avec : 3 (6.) = 4 La probabilité que la déivelée η(t) soit iale, avec doc η( t ) = et ( η t ) < das l'itervalle [,+d] s'écrit aisi, avec d = dt : (6.) G( ) d P(,,) ddd = Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6-5 /

6 6 - Aalyse statistique de la houle réelle + Elle est égale au produit de la probabilité qu'u iu existe E( ) par la probabilité f()d que ce iu soit copris das l'itervalle [,+d] : (6.) f ( ) d G( ) d E( ) dt = + La desité de probabilité de la cote des ia s'écrit doc : (6.3) f ( ) = exp ε ε + exp. 5+ erf π ε ε ε expressio das laquelle ε est u obre apparteat à l'itervalle [,] qui est appelé largeur de bade : (6.4) ε = = + E( ) + E( ) 4 La foctio de probabilité de répartitio des ia s'obtiet alors e itégrat l'expressio (6.3) sur l'itervalle [,[ : (6.5) F( ) f ( ) d = ce qui se calcule aalytiqueet pour coduire au résultat suivat : (6.6) [ ε ε ] F( ) = + 5. erf ε + exp ε 5. + erf ε ε expressio das laquelle erf(x) désige la foctio erreur défiie par : x t (6.7) erf ( x) = exp dt π Plusieurs cas sot doc à evisager selo la valeur de la largeur de bade : Si la largeur de bade est ulle, chaque crête est ecadrée par deux passages par le iveau oye. outes les crêtes ot doc ue cote positive. Les ia suivet ue loi de Rayleigh. Ce odèle correspod à ue houle siusoïdale odulée e aplitude. Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6-6 /

7 6 - Aalyse statistique de la houle réelle Si la largeur de bade est égale à l'uité, les crêtes ot des cotes de sige quelcoque ce qui traduit ue agitatio cofuse. Le phéoèe est gouveré par la loi de Gauss. Les cas iterédiaires correspodet soit à des er coplèteet forée (.6 à.8) ou à des houles qui se propaget e dehors de leur oe de géératio (. à.4) Répartitio des hauteurs de vagues Valeurs stochastiques de répartitio des ia La valeur oyee du ièe quatile des plus grades observatios des pics est, das la pratique, du plus grad itérêt. La probabilité que le ièe des pics ζ soit supérieurs à la valeur ζ, est doée par : (6.8) P [ ] F ( ) ζ ζ = ζ = Cette expressio iplicite 'est alheureuseet pas susceptible d'être résolue aalytiqueet, et u calcul uérique s'ipose pour déterier la valeur deζ. La oyee des valeurs supérieures à ζ la forule de la oyee : s'obtiet esuite e appliquat (6.9) ζ f ( ζ ) dζ = ζf ( ζ ) dζ ζ ζ soit ecore après ue itégratio par partie : (6.3) ζ = ζ + F ζ dζ ( ) Là ecore, ue itégratio etièreet aalytique est difficileet evisageable, et le recours au calcul uérique est iévitable. Il est cepedat itéressat de rearquer que puisqu'il s'agit de la recherche des plus grades valeurs des pics, les arguets des foctios erf(x) sot, dès que le sigal possède des aplitudes élevées, asse grads pour que celles-ci soiet développables e séries asyptotiques. Ceci suppose toutefois que ε e soit pas égal à l'uité, et 'e soit pas sas doute pas o plus trop proche (ε<.9). Il viet alors, e e coservat que le preier tere : ζ Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6-7 /

8 6 - Aalyse statistique de la houle réelle (6.3) ε ζ exp d'où la valeur approchée de ζ qui e résulte : (6.3) ζ l ( ε ) O retrouve, ici, lorsque la largeur de bade est ulle, l'expressio classique obteue e faisat l'hypothèse d'ue distributio de Rayleigh! Ce qui s'explique e rearquat que si la largeur de bade est stricteet iférieure à l'uité, c'est la coposate correspodat à la loi de Rayleigh qui gouvere le coporteet asyptotique des grades valeurs. De êe, e e coservat que le preier tere du développeet e série asyptotique das l'expressio (6.3), il viet : (6.33) ζ ζ + π ε 5. erf ζ soit ecore e replaçat ζ par so expressio tirée de (6.3) : (6.34) ζ ( ε ) + π ε 5 ( ε l. erf l ) E e coservat que les deux preiers teres de la série alterée du développeet asyptotique de la foctio erreur, et e e preat que la oitié du secod (accélératio de covergece), il e résulte ue boe approxiatio, légèreet par excès, de la valeur cherchée : (6.35) ζ ( ε l ) + ( ε ) 4 ( ε l ) l Hauteurs particulières La hauteur crête à creux H d'ue vague est défiie coe la différece des cotes extrêes atteites de part et d'autre d'u passage par le iveau oye. Il s'agira de la hauteur "ero up-crossig" si ce passage se fait par valeurs croissates, et de la hauteur "ero dow-crossig" das le cas cotraire. Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6-8 /

9 6 - Aalyse statistique de la houle réelle Figure 6. : Répartitio statistique des hauteurs de vagues au large Certaies hauteurs particulières sot utilisées pour caractériser u état de er. Il est à oter que le passage des iveaux des pics aux hauteurs fait apparaître u coefficiet deux etre les deux gradeurs H=ζ. L'expériece otre que la répartitio statistique des hauteurs de houle suit asse fidèleet ue loi de Rayleigh coe le otre la figure 6.. Cela sigifie que les pics des hauteurs crête à creux des vagues sot coteus das ue gae de fréquece de faible largeur de bade (ε<<), et que, das le cas gééral, leur étude doit être eée à partir de la loi de Rayleigh. Das ces coditios, la foctio desité de probabilité des hauteurs crête à creux qui représete la probabilité pour que la hauteur ait ue valeur coprise ete H et H+dH s'écrira doc d'après (6.3) avec ε= : (6.36) p ( H ) H H H dh = H f d = exp 4 8 dh Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6-9 /

10 6 - Aalyse statistique de la houle réelle Hauteur oyee La hauteur oyee est la oyee de toutes les hauteurs de l'eregistreet. (6.37) H = li Hi = Hp H dh = ( ) π i= Hauteur quadratique oyee La hauteur quadratique oyee (root-ea-square) est la racie carrée de la oyee des carrés des hauteurs d'u eregistreet : (6.38) H rs Hi i = li = Elle correspod à la hauteur que devrait avoir chacue des coposates siusoïdales du sigal si elles véhiculaiet toutes / ièe de la totalité de l'éergie de l'état de er. Elle s'exprie doc, e foctio du oet d'ordre éro, sous la fore : (6.39) H = = 3H rs Hauteur sigificative La hauteur sigificative (sigificat value) est la oyee du tiers des plus grades hauteurs. Pour des raisos de coodités, la hauteur "sigificative" H s est habituelleet défiie par l'expressio (6.4) qui correspod au cas particulier de la distributio de Rayleigh, et costitue u ajorat de H 3 pour les largeurs de bade o ulles. (6.4) H = H 3 = 4 = H = 6 H s rs Hauteurs ayat ue chace sur d'être dépassées La hauteur édiae est la hauteur qui a ue chace sur deux d'être dépassée. (6.4) H = l = l H =. 94 H rs Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6 - /

11 6 - Aalyse statistique de la houle réelle De êe la hauteur qui a ue chace sur dix d'être dépassée est : (6.4) H = l = l H = 7. H La oyee des ces hauteurs s'écrit alors : (6.43) H = 8. H =. 3H rs rs Hauteur la plus probable La hauteur la plus probable correspod au iu de la foctio desité de répartitio p(h), et s obtiet e aulat sa dérivée : (6.44) H = = H = 8. H p rs Hauteur de la plus grade vague L'espérace athéatique de la hauteur iale H d'u eregistreet de vagues doit aturelleet être légèreet iférieure à la valeur H qui correspod à la oyee des / ièe hauteurs d'u échatillo plus iportat de valeurs. D'après l'expressio (6.8), la probabilité que la variable H pree ue valeur supérieure à H est doée par la foctio de probabilité de répartitio des pics : (6.45) Prob[ H H] = F H La probabilité que les valeurs de l'eregistreet, supposées idépedates, que pred la variable H, soiet toutes iférieures à H est alors : (6.46) Prob[ < ] = H H F H La probabilité qu'au ois ue de ces valeurs, qui sera la plus grade, dépasse H est doc doée par : (6.47) Prob[ ] = H H F H Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6 - /

12 6 - Aalyse statistique de la houle réelle La probabilité que le iu H soit copris das l'itervalle [H, H+dH] est la desité de probabilité de H. Elle s'obtiet doc par dérivatio : Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6 - /

13 6 - Aalyse statistique de la houle réelle (6.48) Prob[ H < H H + dh] = F H d dh F H dh L'espérace athéatique du iu s'écrit alors : H (6.49) E( H ) H F df H = E e coservat que le preier tere du développeet asyptotique de (6.6), chacu des oôes peut être itégré, et leur série coverge vers ue expressio coue. Aisi, e désigat par γ la costate d'euler qui vaut approxiativeet.57757, la hauteur la plus grade vague probable correspodat à u eregistreet de hauteurs crête à creux s'écrit (M.S. Loguet-Higgis /95/) : (6.5) H l( ε ) + γ ( ε ) l Le tableau 6. doe les relatios etre les différetes hauteurs e foctio du obre de vagues. 5 5 H /H H /H rs H /H s ableau 6. : rapport etre la hauteur iale espérée et les hauteurs quadratique oyee et sigificative e foctio du obre de vagues. Lorsque la largeur de bade du spectre est suffisaet grade pour 'être pas égligeable, les différetes valeurs caractéristiques variet. La figure 6.3 otre l'évolutio des valeurs exactes, obteues e résolvat uériqueet l'équatio (6.8) puis e itégrat uériqueet l'expressio (6.3) e foctio des paraètres et ε. Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6-3 /

14 6 - Aalyse statistique de la houle réelle Cas d'u spectre large Figure 6.3 : Evolutio des valeurs de H différetes valeurs de. / e foctio de ε pour 4 outefois, e raiso de sa siplicité, la forule correspodat à la loi de Rayleigh cotiue d'être utilisée de aière systéatique, d'autat plus qu'elle est pessiiste et que so usage va doc, e gééral, das le ses de la sécurité Valeurs stochastiques des ia pedat ue durée doée : valeurs extrêes à court tere Certaies opératios aries e peuvet être eées à bie que das des coditios de cale relatif. E d'autres teres, l'excursio iale d'u paraètre de répose ou de la hauteur de la houle recotrée e doit pas dépasser ue certaie valeur pedat la durée de ces opératios. Il s'agit doc ici de déterier la probabilité α pour que la plus grade valeur, crête à creux, que pred ue variable aléatoire X pedat u eregistreet d'ue durée sigificative doée ds, dépasse ue valeur Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6-4 /

15 6 - Aalyse statistique de la houle réelle ( doée X α ). Das la pratique, ds est de l'ordre de vigt iutes à ue heure. D'après le paragraphe 6.4., la probabilité que la variable X pree ue valeur supérieure à X est doée par la foctio de probabilité de répartitio des pics : ( ) ( ) (6.5) Prob[ X X α α ] = F( X ) La probabilité que toutes les valeurs, supposées idépedates, que pred la variable X au cours de l'eregistreet de durée ds, soiet iférieures à X est alors : (6.5) Prob[ X < X ] = [ F( X )] La probabilité qu'au ois ue de ces valeurs, qui sera la plus grade, otée X, dépasse X est doc doée par : (6.53) Prob[ X X ] = [ F( X )] La probabilité α qu'u iu X soit supérieur à X s'écrit doc : (6.54) α = [ F( X )] Cette équatio peut alors se ettre sous la fore explicite suivate : (6.55) F( X ) = [ α] Si la probabilité α est petite, il deviet possible de développer le biôe e série pour 'e garder, ue fois de plus, que le preier tere : (6.56) α F( X ) De plus, si ε 'est pas trop proche de l'uité (ε <.9), il est possible de e garder que le preier tere du développeet de F( X ), ce qui coduit à ue solutio approchée seblable à celle de (6.3) : (6.57) X l α ε Le obre de ia recotrés est obteu e faisat le quotiet de la durée sigificative par la période des ia. d'où les expressios approchées suivates e foctio de uc ou de : Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6-5 /

16 6 - Aalyse statistique de la houle réelle ds (6.58) X l ε = α ds l α uc La oyee des valeurs supérieures à X s'obtiet ecore d'ue aière siilaire à ce qui a été fait précédeet au oye des forules (6.34) et (6.35). A oter que s'il s'agit d'ue excursio crête à creux, il faut ultiplier par deux la valeur de l'aplitude iale Les groupeets de vagues U groupeet de vagues est u trai de vagues successives dot les hauteurs sot supérieures à u seuil doé. A partir d'observatios réalisées au large du Japo, Y. Goda /976,983/ a is e évidece que les occurreces de groupeets de vagues supérieures à H 3 ou à H / sot plus obreuses que leur probabilité obteue e supposat l'idépedace des vagues successives et la distributio de leurs hauteurs suivat la loi de Rayleigh. Sur l'observatio de 5 vagues jeues répartis e 7 eregistreets, groupeets de 3 vagues successives supérieures à H 3 ot été recesés alors que la distributio de Rayleigh 'e prévoyait que trete. Ces observatios ot égaleet otré que, das 75% des cas, la plus haute vague de chaque eregistreet apparaît das u groupeet de à 7 vagues de hauteurs supérieures à H 3. Il est doc clair que la corrélatio etre les hauteurs de deux vagues successives 'est pas ulle et que l'hypothèse d'idépedace des vagues 'est pas toujours vérifiée. D'après les travaux de H. Rye /974/ la corrélatio etre les hauteurs de vagues successives est plus iportate avat le iu de la tepête, lorsque l'état de er est ecore e cours de foratio, qu'après. Les coditios d'apparitio des groupeets de vagues e sot toujours pas bie coues, et de obreuses recherches se poursuivet sur ce sujet. Il s'agit la d'u poit fodaetal car les coséqueces des groupeets de vagues sur la teue des structures ou des ouvrages à la er dépasset souvet celles ihéretes à la siple superpositio des effets de chaque vague prise isoléet. Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6-6 /

17 6 - Aalyse statistique de la houle réelle 6.5. Houles de projet Les valeurs extrêes des sollicitatios dues à l'eviroeet jouet u rôle capital das la coceptio d'u ouvrage aritie ou d'ue structure offshore dot la durée auelle d'idispoibilité ou dot le risque de ruie est étroiteet associé au frachisseet d'ue valeur critique, par exeple, e tere d'agitatio ou de cotraite. L'igéieur est doc cofroté au problèe de l'estiatio des valeurs extrêes associées à u iveau de risque doé et à ue période coesurable avec la durée de vie de l'ouvrage. Il a doc besoi de défiir ue houle de projet, c'est à dire la hauteur et la période sigificatives ou iale de la houle pour laquelle il va eer ses calculs et effectuer ses essais. Le plus souvet, ces statistiques sot obteues à partir de doées portat sur les ia du processus Forules epiriques Lorsque les coditios géographiques s'y prêtet, il est possible de défiir ue hauteur de houle iale réaliste, et doc pas trop ajorate, pouvat exister sur u site doé Hauteur liitée par la profodeur C'est d'abord le cas lorsque la profodeur h est relativeet faible pour que les houles soiet écrêtées par le déferleet. La hauteur iale à predre e copte peut être alors doée par le critère de M.A. Cowa /874/ : (6.59) H =. 78 h ais, das certais cas, cette valeur théorique peut être dépassée coe le laisse prévoir le critère de déferleet de J.A. Battjes /974/ qui otre que ce rapport peut atteidre., voire.3 et plus! Hauteur liitée par le fetch C'est égaleet le cas lorsque le fetch sur lequel la er peut se lever est bie idetifié. La hauteur iale de la houle à predre e copte peut alors être défiie à partir de différetes forules epiriques preat e copte le fetch F et la vitesse iale du vet W qui peut y souffler et sa durée iale D (forules de Bretscheider ou de Hassela). Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6-7 /

18 6 - Aalyse statistique de la houle réelle Période de retour d'u évéeet La période de retour associée à la valeur H d'ue variable aléatoire H est l'espérace athéatique du obre d'uités de teps (ois, aée ) séparat deux occurreces successives de l'évéeet H. D'après cette défiitio, l'évéeet H H se réalisera, e oyee, ue et ue seule fois pedat chaque période choisie. Sous réserves : que le phéoèe observé soit statioaire (si est copté e uités iférieures à l'aée, cette hypothèse qui peut être ise e défaut par des phéoèes saisoiers coe les cycloes), que les réalisatios successives de H pedat l'uité de teps soiet statistiqueet idépedates, la période de retour peut s'exprier e foctio de la probabilité F(H ) que H soit supérieur ou égal à H. La probabilité de s'écrit e effet : (6.6) p( ) = F( H )[ F( H )] H D'où, copte teu de l'égalité ( x) = l'expressio de la période de retour: = x (6.6) = E ( ) = p ( ) = F ( H ) [ F ( H )] = = = valable si x <, F( H ) La probabilité que soit iférieur à ue valeur doée s'écrit alors : (6.6) Prob[ ] = p( ) = F( H ) [ F( H )] = [ F( H )] = Aisi, si est la durée de vie souhaitée d'u ouvrage, et si la période de retour choisie pour so diesioeet est, la probabilité E qu'il subisse u doage associé à l'occurrece d'au ois u évéeet H H pedat la durée s'écrit, e e cosidérat que les valeurs de asse grades : = (6.63) E = Prob[ ] = exp De êe, la période de retour à predre e copte pour que la probabilité de doage au cours de la durée de vie e dépasse pas le seuil E est : Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6-8 /

19 6 - Aalyse statistique de la houle réelle (6.64) l( E) / 5 5 E ableau 6. : Probabilités d'u évéeet e foctio du rapport etre la période de retour et la durée de vie souhaitée. Le tableau 6. otre claireet que, pour liiter réelleet le risque à u faible iveau, la période de retour d'u évéeet provoquat la ruie de l'ouvrage doit être égale à plusieurs fois sa durée de vie. outefois, lorsque l'effet de durée du risque, ou l'effet de répétitio du phéoèe pred ue sigificatio iportate, il est plus ratioel de foder la défiitio de la période de retour sur la otio de durée cuulée. La houle de période de retour ~ est alors défiie coe la houle dot la ~ hauteur H est atteite et dépassée e oyee pedat ue durée cuulée de 4 heures au cours d'ue durée totale égale à ~. Aisi, e expriat ~ e aées, sa probabilité d'occurrece est défiie par : (6.65) F( H ~ ) = ~ Méthode probabiliste Pour déterier la période de retour d'ue hauteur de houle doée (hauteur iale ou hauteur sigificative, durée cuulée ou o, ), ou la hauteur de houle associée à ue période de retour doée, (houles déceale H, ciquateale H 5, ceteale H, ), il suffit de coaître la probabilité F(H ) que H soit supérieur ou égal à H. Coe le otre la figure 6.4, sur u diagrae sei-logarithique, pour u lieu d'observatio doé, les poits représetatifs de la hauteur iale e foctio de la probabilité d'occurrece s'aliget. C'est la loi de Larras : (6.66) H = H Alog( F( H )) Expressio das laquelle H désige le "bruit de fod" qui peut être très faible, voire ul. Il viet, e iversat cette relatio : H H (6.67) F( H ) = exp Alog e H = exp. 3 H A Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6-9 /

20 6 - Aalyse statistique de la houle réelle Les paraètres H et A de cette loi sot déteriés par ajusteet au ses des oidres carrés à partir des observatios sur le site cosidéré. Figure 6.4 : extrapolatio des hauteurs iales aux grades périodes de retour. aturelleet, pour pouvoir procéder à ue extrapolatio coveable sur des périodes logues, il est écessaire de disposer, pour le site cosidéré, de esures cotiues pedat au ois deux à trois aées, et, si possible, plus. C'est sas doute pour cela que la houle de projet augete souvet sesibleet pedat les études. Cette approche qui peut être utilisée, à coditio de disposer de doées directioelles, e teat copte des icideces, e fourit alheureuseet pas d'idicatio sur la période des houles Méthode du reouvelleet Lorsque la durée des observatios est trop courte, il reste possible, sous certaies hypothèses, d'obteir ue estiatio idirecte des périodes de retour des houles iales à partir des iforatios les plus sigificatives sur les probabilités des fortes houles, c'est à dire les hauteurs de houle iales de chaque tepête supérieures à u seuil doé. Cette éthode de déteriatio de la houle de projet dite "par reouvelleet" a été ise au poit par le L..H. (EDF Chatou). Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6 - /

21 6 - Aalyse statistique de la houle réelle Elle suppose doc que, pour u site doé, toutes les tepêtes caractérisées par ue hauteur H supérieure à u seuil doé H sot coues sur ue durée de plusieurs aées. Par ailleurs, le seuil H est sesé être suffisaet élevé pour que deux tepêtes successives puisset être supposées statistiqueet idépedates. Alors, la probabilité pour que la hauteur iale H soit supérieure à ue valeur H peut s'écrire sous la fore : (6.68) Prob[ H H ] = p( )[ F( H )] Expressio das laquelle p() désige la probabilité qu'il y ait, au cours d'ue aée, tepêtes de hauteur supérieure au seuil et F(H ) la probabilité qu'ue tepête doée ait ue hauteur supérieure à H, sachat qu'elle est au dessus du seuil H. Si F(H ) est proche de éro, ce qui est vérifié sous deux coditios : que l'échatillo de tepêtes observées soit asse iportat, ce qui suppose que la hauteur H du seuil soit asse petite et que la durée d'observatio soit asse logue ; que la hauteur cosidérée H soit asse grade c'est à dire que sa probabilité d'occurrece soit suffisaet petite (vague déceale, treteale, ciquateale ou ceteale) ; alors la relatio (6.68) peut se ettre sous la fore approchée suivate : = (6.69) Prob[ H H ] F( H ) D Expressio das laquelle D est la durée oyee qui sépare deux tepêtes. C'est doc le rapport etre le obre d'aées d'observatio et le obre de tepêtes observées. La période de retour associée à la hauteur H s'écrit alors : D (6.7) F ( H ) A partir d'u obre suffisaet iportat d'eregistreets effectués régulièreet sur u grad obre d'aées, et sachat que la distributio des hauteurs crête à creux suit ue loi qui est asyptotiqueet ue loi de Rayleigh pour u état de er doé, l'estiatio des valeurs extrêes à log tere e devraiet plus poser de problèe. Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6 - /

22 6 - Aalyse statistique de la houle réelle Extrapolatio stochastique La vraie difficulté du problèe proviet de ce que la quatité des doées écessaires, de boe qualité, et réparties sur ue durée suffisate 'existe quasiet pas e dehors des sites côtiers. Il faut alors recourir, das la pratique, à des extrapolatios stochastiques. Des lois asyptotiques sot doc souvet utilisées pour approcher F(H ) au voisiage des valeurs itéressates de H. Le choix des différetes asyptotes 'est pas uique. Il est guidé par l'expériece et l'idée qu'il est, a priori, possible de se faire de la queue de la distributio iitiale. L'asyptote de Weibull coduit à écrire : ( H H ) (6.7) F( H ) exp A Les deux paraètres A et B de la loi doivet être ajustés sur les observatios. A oter qu'elle correspod à la loi de Larras quad B= et à la loi de Rayleigh quad B= ; ais l'expériece otre que l'exposat peut atteidre des valeurs allat jusqu'à 5. La preière asyptote de E.J. Gubel /958/ coduit à écrire : H (6.7) F( H ) exp exp B H A Les deux paraètres de la loi A et H doivet être ajustés sur les observatios, e écrivat les deux relatios suivates à partir de la oyee H M et de l'écart type σ M des M valeurs de l'échatillo observé : (6.73) π A = σ M 6 H + γa = H M Expressio das laquelle γ=.577 est la costate d'euler. Ces expressios perettet d'estier F(H ) à partir d'observatios. Il coviet de oter que l'ajusteet de la loi de Gubel peut se faire graphiqueet puisqu'elle correspod à ue droite das le pla défii par : (l(-l[-f(h )]), H ). Jea Bougis - Igéieur Coseil 665 Opio Page 6 - /