BTS C.G B) Retour au problème concret: Le nombre d'appartements commercialisé est nécessairement un entier entre 2 et 20.

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1 BTS CG 996 Eercce : (0 pots) Ue agece mmoblère evsage de commercalser u programme de costructo d'appartemets Deu projets lu sot soums: Projet P : Le coût de producto de appartemets ( eter et 0 )est doé e mllos de fracs (MF) par f( ) = l ( 3, + ) Projet P : Le coût de producto de appartemets ( eter et 0 )est doé e mllos de fracs (MF) par g ( ) = l ( 04, + ) Das les deu cas le pr de vete evsagé pour u appartemet est de F sot 0,5 MF Le chffre d'affares prévsble pour les vetes de appartemets est doc h ( ) = 05, A) Etude théorque: ) a) Calculer la dérvée f' de la focto f défe sur [ 0 ; ] par f( ) = l ( 3, + ) E dédure le tableau de varato de f sur [ 0 ; ] b) Calculer la dérvée g' de la focto g défe sur [0 ; par g ( ) = l ( 04, + ) E dédure le tableau de varato de g sur [ 0 ; ] c) Doer das u tableau les valeurs décmales approchées à 0 - près des mages par f et par g des eters, 4, 6, 9,, 5, 0 d) ) Tracer avec so sur le même graphque, les courbes représetatves des foctos f, 0 ; h ( ) = 05, g, h, où pour tout élémet de [ ], Utés graphques: cm sur l'ae des abscsses cm sur l'ae des ordoées B) Retour au problème cocret: Le ombre d'appartemets commercalsé est écessaremet u eter etre et 0 ) Utlser le graphque précédet pour: a) Détermer le ombre d'appartemets correspodat au même coût de producto pour les deu projets b) Détermer le ombre mamum d'appartemets dot o peut evsager la costructo pour chacu des deu projets s le coût de producto est lmté à 3,6 MF ) Retrouver par le calcul les résultats de ) a) et du ) b) 3 ) Pour chaque projet, le bééfce réalsable par l'agece est égal, pour les vetes de appartemets, au chffre d'affares dmué du coût de producto a) Eprmer e focto de les bééfces B( ) et B ( ) réalsables par l'agece avec respectvemet les projets P et P b) Calculer les valeurs décmales approchées à 0 - près de B ( 6), B ( 6), B ( 0), B ( 0) c) Comparer la retablté des projets P et P das le cas où le ombre d'appartemets vedus est eclusvemet 6 ou 0 ] Page sur

2 4 ) E utlsat les représetatos graphques et les calculs qu précèdet pour 6 a) Précser, selo les valeurs de, le projet garatssat à l'agece le bééfce le plus élevé b) Précser, pour chaque projet, les valeurs de pour lesquelles le bééfce est au mos égal à 3 MF Page sur

3 Eercce : (0 pots) L'objet de l'eercce est l'étude de dfférets aspects du foctoemet d'ue etreprse de prêt à porter Les partes A, B, C sot dépedates Les résultats déftfs serot doés sous forme de valeur décmale approchée à 0 près A) Le servce qu gère les commades a relevé pour les aées passées ue moyee de 5 erreurs pour 00 commades O suppose que la varable aléatore X qu mesure le ombre d'erreurs pour 00 commades sut la lo de Posso de paramètre 5 ) Détermer la probablté de déombrer pour ue sére de 00 commades : a) 5 erreurs eactemet b) mos de 5 erreurs c) au mos 5 erreurs ) Détermer le plus pett eter k tel que la probablté d'avor mos de k erreurs sot supéreure à 0,9 B) A l'ateler de coupe, deu maches M et M découpet les pèces ; celles-c sot stockées sas dstcto de proveace La mache M découpe 60 % des pèces ; 5 % de ces pèces sot défectueuses La mache M découpe 40 % des pèces ;,5 % de ces pèces sot défectueuses O otera E l'évéemet " la pèce a été découpée par la mache M " O otera E l'évéemet " la pèce a été découpée par la mache M " O otera D l'évéemet " la pèce est défectueuse " l) O prélève au hasard ue pèce de la producto totale a) Quelle est la probablté de prélever ue pèce défectueuse proveat de M? b) Quelle est la probablté de prélever ue pèce défectueuse proveat de M? c) E dédure que la probablté de prélever ue pèce défectueuse est 0,04 ) O prélève ue pèce, o s'aperçot qu'elle est défectueuse Calculer la probablté qu'elle provee de M? 3) A la sorte de l'ateler de coupe o prélève au hasard, successvemet et avec remse, 0 pèces Quelle est la probablté d'avor au plus pèces défectueuses? C) Les pèces be découpées almetet l'ateler de couture où elles sot assemblées Les artcles as obteus subsset u cotrôle à la sorte de cet ateler Pour apprécer la qualté de la producto, le cotrôleur cherche à évaluer le pourcetage p d'artcles o commercalsables Pour cela l prélève au hasard et avec remse des échatllos de talle, cette talle état pette devat la producto totale O suppose que la varable aléatore F qu, à tout échatllo, assoce le pourcetage d'artcles p( p) o commercalsables, sut la lo ormale, N p, ( où p est le pourcetage cou d'artcles o commercalsables das la producto totale Page 3 sur

4 l) Le cotrôleur prélève u échatllo de 5 artcles et costate que 0 e sot pas commercalsables : a) Détermer le pourcetage f d'artcles o commercalsables de cet échatllo b) Détermer ue estmato de p, par tervalle de coface cetré e f avec le coeffcet de coface 95 % ) Quelle dot être la talle mmale ( est u ombre eter) de l'échatllo prélevé pour que, avec le coeffcet de coface 95 %, le pourcetage p sot de 8 % à % près? Page 4 sur

5 GEST CORRECTION N 5 Pots-clés I) B) ) a) Le ombre d'appartemets correspodat au même coût de producto est l'abscsse du pot d'tersecto des courbes représetatves des foctos f et g, otées C f et C g O cojecture que = 8 b)le ombre mamum d'appartemets correspodat à chacu des projets P et P, dot o peut evsager la costructo s le coût de producto est lmté à 3,6 MF désge la plus grade abscsse α du pot M de C f, (respectvemet de C g ) tel que que M sot stué e dessous du pot P de coordoées ( α; 36 )( E effet la drote horzotale d'équato y = 3,6 est représetatve d'ue focto de coût costat égal à 3,6 MF) O cojecture que pour le projet P( respectvemet P ) le ombre mamum d'appartemets est α = ( respectvemet α = 9 ) Cofrmato par le calcul : a) Le ombre d'appartemets correspodat au même coût de producto est la soluto de l'équato : f( ) = g( ) f()= g() équvaut à: l( 3, + ) = l( 04, + ) ; La focto l est ue bjecto, cec équvaut doc à : 3, + = 04, + C'est à dre: 04, 3, = 0 Ue factorsato 3, mmédate doe alors: ( 04, 3, ) = 0 = 0ou = = 8 La soluto = 0 est à 04, rejeter car o cherche 0 ; D'où:= 8 [ ] b) Résolvos les équatos f( ) 36, ( ) et g ( ) 36, ( ) 36, ( ) équvaut à l( 3, + ) 36, 3, + e ( car la focto epoetelle, comme la e focto l, est ue focto crossate); O résout et o trouve: 4, Le 3, plus grad eter vérfat la derère égalté est doc 3, 6 ( ) équvaut à l( 04, ) 36, 04, e Cec équvaut à :, e , 04, Falemet, 36, 36, + + e s et seulemet s: 04, aturel vérfat la derère double égalté est 9 3 ) a) B( ) = h( ) f( ) = 05, l( 3, + ) B ( ) = h( ) f( ) = 05, l( 04, + ) 36, 36, 36, e ; or 04, e e Le plus grad eter 04, 04, b) Tableau de valeurs arrodes à 0 - près par défaut( cho volotare) 6 0 B () -0,0,50 B () 0,6,8 c) Pour 6 appartemets vedus le projet P 'est même pas retable, le projet P lu est préférable Pour 0 appartemets vedus le projet P est préférable au projet P ( car,5 >,8) Page 5 sur

6 Commetare: Il faut réfléchr avat de répodre 'mporte quo!!!! 4 ) D'après les graphques et les calculs précédets, a) Pour = 7, P est plus retable que P car C g est e dessous de C f, ce qu correspod à g ( ) < f ( ) ce qu etraîe g ( ) > f ( ) d'où: h ( ) g ( ) > h ( ) f ( ), c'est à dre B( ) > B( ) Pour = 8 les projets doet la même retablté pusque les coûts de producto sot detques Pour 9, P est plus retable que P car C g est au dessus de C f, ce qu correspod à g ( ) > f ( ) ce qu etraîe g ( ) < f ( ) d'où: r = 8, c'est à dre B( ) < B( ) b) o résout e recherchat graphquemet pour quelles abscsses la dfférece h()- f() ( respectvemet h()-g() pour le projet P ) est supéreure ou égale à 3 MF, c'est à dre mesure au mos 3 = 6cm sur le graphque As: Pour { ; ; ; ; ; ; } le bééfce pour le projet P est au mos de 3 MF f est au mos de 3 MF Pour le bééfce pour le projet P Commetare mportat : O peut avor u doute pour =5 Cette valeur état acceptée lors de la correcto du BTS, e fat seul le calcul de B (5) permettat de tracher! B ( 5), 99 y=h() B() B() y=f() 3,6 y=g() II) ) Les valeurs approchées de t à 0 - près par défaut sot das le tableau suvat: Aée Page 6 sur

7 Rag de l'aée Producto (e kg) y t = l y 5,5 5,70 5,68 6,06 6, 6,8 6,4 6,55 6,68 6,77 ) Tous les résultats sot : 0 0 = 55; = 385; = 5, 5; σ =, t = 6, 78; t = 383, 43 4; t = 6, 78; σ = 0, ; t = 35, 64 r = 0, ; t = 0, , 388 t 0 à 0 - près par défaut( cho du correcteur), le coeffcet de corréléto r est r 099, Nous savos( cause toujours)que: " Plus r est proche de e valeur absolue, plus l'ajustemet léare est justfé"; les varables et t sot dépedates léaremet( ou s vous préférez fortemet lées par ue relato du type: t = 04, + 538, ) relato qu est l'équato de la drote d'ajustemet de t e, otée D t / Commetare: Certas d'etre vous 'accordet aucue mportace à ce gere de otato, D t /, et s'eposet au sactos les plus lourdes de la part de correcteurs potlleu Ils 'écrvet même pas correctemet ue équato de cette drote ) c) Pusque t = l y et que t = 04, + 538,, alors: l y= 04, + 538, y= e 0, 4+ 5, , 04, y e e 04, = 8, 76 e 0, 4 5, 38 = e e Remarque : les réels u et v recherchés sot doc: u=8,76 et v= 0,4 Toutefos o peut oter que l'o peut écrre: 04, 04,,, pusque e = e 5, y = ( ) 3 ) La producto de chocolat dépassera pour la premère fos,5 t, sot 500 klos s et 04, + 538, seulemet s est soluto de l'équato: e 500 ( β) ou s vous préférez l 500 5, 38 0, 4 + 5, 38 l 500 ( δ) ; o obtet: 3, 75 La premère fos est 04, doc pour = 4, c'est à dre e l'a 000 ( 996 pour t = 0 doc) Page 7 sur

8 Classe: GEST durée h CONTRÔLE N 5 bs Lud 4/0/97 I ( BTS CG 996 modfé) ( 4 pots ) Ue agece mmoblère evsage de commercalser u programme de costructo d'appartemets Deu projets lu sot soums: Projet P : Le coût de producto de appartemets ( eter et 0 )est doé e mllos de fracs (MF) par f( ) = l ( 35, + ) Projet P : Le coût de producto de appartemets ( eter et 0 )est doé e mllos de fracs (MF) par g ( ) = l ( 05, + ) Das les deu cas le pr de vete evsagé pour u appartemet est de F sot 0,6 MF Le chffre d'affares prévsble pour les vetes de appartemets est doc h ( ) = 06, A) Etude théorque: ) a) Calculer la dérvée de la focto f défe sur [ 0 ; par f( ) = l ( 35, + ) E dédure le tableau de varato de f sur [ 0 ; ] f' ] b) Calculer la dérvée g' de la focto g défe sur [0 ; par g ( ) = l ( 05, + ) E dédure le tableau de varato de g sur [ 0 ; ] c) Doer das u tableau les valeurs décmales approchées à 0 - près des mages par f et par g des eters, 4, 6, 9,, 5, 0 ) Tracer avec so sur le même graphque, les courbes représetatves des foctos f, 0 ; h ( ) = 06, g, h, où pour tout élémet de [ ], Utés graphques: cm sur l'ae des abscsses cm sur l'ae des ordoées B) Retour au problème cocret: Le ombre d'appartemets commercalsé est écessaremet u eter etre et 0 ) Utlser le graphque précédet pour: a) Détermer le ombre d'appartemets correspodat au même coût de producto pour les deu projets b) Détermer le ombre mamum d'appartemets dot o peut evsager la costructo pour chacu des deu projets s le coût de producto est lmté à 3,6 MF ) Retrouver par le calcul les résultats de ) a) et du ) b) 3 ) Pour chaque projet, le bééfce réalsable par l'agece est égal, pour les vetes de appartemets, au chffre d'affares dmué du coût de producto a) Eprmer e focto de les bééfces B( ) et B ( ) réalsables par l'agece avec respectvemet les projets P et P ] Page 8 sur

9 b) Calculer les valeurs décmales approchées à 0 - près de B () 5, B () 5, B ( 0), B ( 0) c) Comparer la retablté des projets P et P das le cas où le ombre d'appartemets vedus est eclusvemet 5 ou 0 4 ) E utlsat les représetatos graphques et les calculs qu précèdet pour 5 a) Précser, selo les valeurs de, le projet garatssat à l'agece le bééfce le plus élevé b) Précser, pour chaque projet, les valeurs de pour lesquelles le bééfce est au mos égal à 3 MF Page 9 sur

10 II (6 pots) La producto de chocolat (e kg) d'ue etreprse de cofsere pour les d derères aées est doée par le tableau suvat : Aée Rag de l'aée Producto (e kg) y O pose t = l y Détermer les valeurs de t à 0 près par défaut Représeter les pots de coordoées (, t) (utés graphques : abscsses, cm pour ue aée ordoées, orge à 5 et cm pour représeter u écart de 0,) Pour cette questo o pourra utlser les résultats fours par la calculatrce O doera les coeffcets avec ue précso de 0 - a Détermer le coeffcet de corrélato léare ; terpréter le résultat b Détermer ue équato de la drote d'ajustemet de t e par la méthode des modres carrés c E dédure ue relato etre y et de la forme y = u e v ( u et v serot arrods à 0 - près) 3 E supposat que l'évoluto reste la même au cours des prochaes aées, détermer à l'ade de la questo e quelle aée la producto de chocolat dépassera pour la premère fos ue toe et deme ANNEXE ( Etrat du formulare offcel de Mathématques: BTS Comptablté Gesto) Ajustemet affe par la méthode des modres carrés: ( ) S, y =,, est ue sére statstque à deu varables et y, o rappelle que : la moyee de est : = ; la varace de est : V( ) = σ = ( ) = ; la covarace de et y est : cov( y, ) = σ y = ( )( y y) = y y; Page 0 sur

11 le coeffcet de corrélato léare etre et y est : ( y ) r = cov, σσ y ; y = a+ b où: a = σ y y ; = a' y + b' où: a' = σ σ σ y Page sur