LENTILLES SYSTEME CENTRE

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1 LENTILLES SYSTEME CENTRE. Letilles mices Parmi toutes les letilles, il e existe u certai ombre qui peuvet être décrites par u modèle simple : il s agit des letilles mices. Ue letille mice est ue letille dot l épaisseur au cetre est petite devat les rayos de courbure des dioptres qui la limitet (e<<r et e<<r ). La validité du modèle augmete avec la meilleure réalisatio de cette coditio. Défiitios et représetatio schématique : Axe optique : droite qui joit les cetres des deux dioptres limitat la letille. Si l u des dioptres est pla c est la droite perpediculaire à ce dioptre qui passe par le cetre de l autre dioptre. Cetre optique : poit où l axe optique coupe la letille supposée ifiimet mice (il s agit là d ue approximatio puisqu ue letille a toujours ue épaisseur). Réprésetatio schématique de la letille mice covergete Axe optique de la letille (droite passat par les deux cetres). : cetre optique de la letille Réprésetatio schématique de la letille mice divergete Axe optique de la letille (droite passat par les deux cetres). : cetre optique de la letille Stigmatisme des letilles mices : Les letilles mices sot des systèmes optiques stigmatiques approchés. Le stigmatisme est d autat meilleur que l o est proche des coditios de Gauss : Les rayos du faisceau icidet fot des agles petits avec l axe optique, Les rayos du faisceau icidet traverset la zoe cetrale de la letille (zoe de dimesios faibles par rapport aux rayos des dioptres). Dès que l o s éloige des coditios de Gauss apparaisset des aberratios. Si ous pesos aux verres de luettes, ous remarquos que la première coditio de Gauss e sera pas bie respectée quad le sujet regardera sur les côtés, l aberratio sera das ce cas ue aberratio d astigmatisme des faisceaux obliques, ous y reviedros. Paul JEAN

2 . Letilles mices covergetes oyers : U faisceau parallèle doc issu d u poit lumieux T à l ifii, après traversée de la letille mice covergete, coverge e u poit T. T est doc l image de T à travers la letille. Ce poit T est placé sur le foyer image pricipal de la letille. dit que ce foyer est réel car les rayos passet par. T aisceau lumieux issu d u poit T à l ifii aisceau coverge t e T : foyer pricipal image de la letille E déplaçat le poit lumieux T sur l axe optique, il existe ue positio telle que le faisceau émerget soit u faisceau parallèle. Le poit T est alors placé sur le foyer objet pricipal de la letille. Ce foyer est réel car les rayos partet de T. : foyer pricipal objet de la letille T aisceau lumieux issu d u poit T aisceau émerget parallèle L image T du poit lumieux T est alors située à l ifii. Distace focale et vergece : f = distace focale objet f = distace focale image f < 0 f > 0 Ses + oriete otre schéma das le ses de propagatio de la lumière. La distace focale image est alors positive et la distace focale objet égative. Elles sot égales lorsque le milieu des deux côtés de la letille est le même (ce qui pour ous est le cas, le verre de luette est placé das l air). défiit la vergece de la letille par la relatio : ( idice du milieu émerget) V = = ( letille das l' air) f ' f ' Paul JEAN

3 où V est e dioptrie (δ ) si f est exprimée e mètres. Pour ue letille covergete, la vergece est doc positive. Très souvet e optique luetterie, o cotiue à parler de la puissace du verre au lieu de parler de sa vergece : survivace du passé 3. Letilles mices divergetes oyers : U faisceau parallèle doc issu d u poit lumieux T à l ifii, après traversée de la letille mice divergete, diverge e semblat veir d u poit T. T est doc l image de T à travers la letille. Ce poit T est placé sur le foyer image pricipal de la letille. dit que ce foyer est virtuel car les rayos e passet pas par (leurs prologemets se coupet e ). : foyer pricipal image de la letille T aisceau lumieux issu d u poit T à l ifii aisceau diverget semblat veir du poit T Pour que le faisceau émerget soit parallèle, il faut que le faisceau icidet soit coverget puisque la letille fait diverger u faisceau lumieux. Le faisceau icidet qui va doer e émergeat u faisceau parallèle aurait covergé e T s il ay avait pas eu la letille. Ce foyer est virtuel car seuls les prologemets des rayos passet par T. aisceau lumieux qui aurait covergé au poit T : foyer pricipal objet de la letille T aisceau émerget parallèle L image T du poit lumieux T est alors située à l ifii. Distace focale et vergece : Paul JEAN 3

4 f = distace focale objet f = distace focale image Ses + oriete otre schéma das le ses de propagatio de la lumière. La distace focale objet est alors positive et la distace focale image égative. Elles sot égales lorsque le milieu des deux côtés de la letille est le même. La vergece de la letille : V = f ' est doc égative. 4. Vergece et relatio de cojugaiso Vergece de la letille mice : Coupe de la letille das u pla coteat les deux cetres des calottes sphériques Ses + C et C : cetres des deux dioptres sphériques. R et R : rayos des deux calottes sphériques e : épaisseur au cetre (mesurée sur la droite qui joit les deux cetres des calottes). Pour des raisos de lisibilité du dessi, l épaisseur e est pas petite par rapport aux rayos des dioptres. : idice du milieu extérieur : idice du matériau de la letille. La vergece, défiie pour les coditios de Gauss, d u dioptre sphérique est : N D = SC avec : idice du milieu d' icidece N : idice du milieu d' émergece La vergece d ue letille mice est égale à la somme des vergeces des dioptres qui la limitet. Paul JEAN 4

5 vergece du dioptre d' etrée : vergece du dioptre de sortie : vergece de la letille D = ( D = ( Das le cas du schéma : S C S C ) R R > 0 ) SC > 0 D D = SC = SC S C S C = R S C = R D est exprimée e dioptries (δ) lorsque R et R sot exprimés e mètres. Pour l opticie : Le verre de luettes a toujours pour milieu extérieur l air d idice, la vergece de la letille deviet : D = ( ) R R Voyos l utilité des verres à haut idice à partir d u exemple. Verre coverget de +4δ pour u hypérope : face avat +8 δ, face arrière -4 δ Avec u rma (Essilor) d idice,5 la face avat a u rayo de 6,5 cm et la face arrière u rayo de,5 cm ; l épaisseur au cetre pour u verre de 60 mm (trachat) est de 4 mm Avec u Liéis (Essilor) d idice,74 la face avat a u rayo de 9,5 cm et la face arrière u rayo de 8,5 cm ; l épaisseur au cetre pour le même diamètre est de,55 mm. Avec le haut idice, o a u verre mois cambré et plus fi. Distaces focales : f = f ' = f ' = f D D Aberratios géométriques : E fait si les rayos s écartet de la zoe cetrale de la letille, la vergece correspodat va augmeter. Si l o a u faisceau parallèle utilisat ue trop grade surface de la letille, les rayos e covergerot pas exactemet tous au poit mais passerot tous das ue petite zoe. omme cette aberratio l aberratio géométrique. Pour les verres de luettes, cette aberratio e pose pas de problème car le faisceau etrat das l œil est limité par la taille de la pupille ( à 8mm de diamètre). Le faisceau utile à la visio e traverse doc qu ue zoe restreite du verre de luette et l o peut cosidérer pour cette petite zoe que la vergece reste costate. Elle est bie sur pas rigoureusemet la même au cetre du verre (regard droit devat) ou lorsque l o regarde sur le bord du verre mais ue variatio d accommodatio de l œil permet de compeser. Relatios de cojugaiso : Il s agit de la relatio permettat de relier la positio du poit objet et de so poit image (poits cojugués par rapport à la letille mice). A : poit objet A : image de A à travers la letille mice : cetre optique de la letille Paul JEAN 5

6 et : foyers objet et image de la letille D : vergece de la letille Milieu ambiat : air d idice = (situatio habituelle pour l opticie). Milieu extérieur : air dot l idice est égal à A A pose gééralemet : p = A et p' = A' p' p = D p et p' e mètres, D e dioptries 5. Costructio de l image Pour costruire l image d u poit objet à travers ue letille mice, o utilise deux des trois rayos dot o coaît le comportemet lors de la traversée de la letille : Le rayo issu du poit objet et passat par le cetre optique est pas dévié U rayo issu du poit objet et parallèle à l axe optique de la letille émerge e passat par le foyer image pricipal U rayo issu du poit objet et passat par le foyer objet pricipal émerge parallèlemet à l axe optique de la letille peut avoir : u poit objet réel : les rayos du faisceau icidet provieet du poit objet ou u poit objet virtuel : les rayos du faisceau icidet auraiet covergé e ce poit s il y avait pas eu la letille. Vous pouvez vous demader ce que peut sigifier u objet virtuel, il suffit d imagier que devat la letille, il y avait u autre système optique créat u faisceau covergeat e u poit et que vous avez placé la letille e avat de ce poit. De même l image pourra être : réelle : les rayos émergets passet réellemet par le poit image virtuelle : les rayos émergets semblet proveir de ce poit. Voir la costructio : Pour ue letille covergete : - de l image d u objet réel situé au-delà du foyer objet. covrir - de l image d u objet réel situé etre le foyer objet et le cetre optique coriv Pour ue letille divergete : - de l image d u objet réel DivRIV Paul JEAN 6

7 Tableau récapitulatif : Letille covergete B B A A A A bjet réel Image réelle reversée bjet réel Image virtuelle droite B A A bjet virtuel Image réelle Letille divergete B A A A A bjet réel Image virtuelle droite bjet virtuel Image réelle droite B A A bjet virtuel Image virtuelle reversée Gradissemet trasversal : Paul JEAN 7

8 appelle gradissemet trasversal le rapport etre la taille de l image et la taille de l objet. démotre que l o a : A' B' A' g = = AB A 6. Système cetré Le modèle de la letille simple est pas suffisat pour résoudre tous les problèmes d optique géométrique que l o recotre e visio. Il existe des verres épais (verres pour aphaques) et le cas de systèmes composés de multiples dioptres ayat le même axe de symétrie (par exemple l œil humai). Pour traiter ces problèmes, les physicies ot «iveté» u modèle : le système cetré qui permet de calculer la positio de l image d u objet et sa taille. Comme ous l avos vu pour la letille simple ce système est applicable que das les coditios de Gauss. Les élémets cardiaux du système cetré (poits pricipaux, poits odaux, foyers, vergeces) serot calculés à partir des dioptres costituat ce système. La marche des rayos lumieux etre le dioptre d etrée et le dioptre de sortie e pourra être coue avec ce modèle mais ce est pas u problème pour ous opticies puisque ce qui ous importera sera la positio des images et leur taille. Le modèle du système cetré I I' Axe optique u N u u ' Poits pricipaux: objet H, image H'. Les plas pricipaux sot des plas cojugués correspodat à u gradissemet liéaire de (HI = H'I'). Poits odaux: objet N, image N'. Les poits odaux sot des poits cojugués correspodat à u gradissemet agulaire de. (Le rayo icidet passat par N a pour rayo émergeat le rayo parallèle passat par N'). Relatio de Lagrage Helmholtz appliquée aux poits pricipaux: si u = ' si u' Comme ous cosidéreros toujours être das les coditios de Gauss, si u est sesiblemet égal à u (rd) et la relatio s'écrit: u = ' u'. oyers : Système cetré de vergece D Distace focale objet f et foyer pricipal objet : f = H = D Paul JEAN 8

9 ' Distace focale image f et foyer pricipal image : f ' = H ' ' = D Comme das le cas d ue letille si la vergece est positive, f<0,f >0, et sot réels : le système cetré est u système coverget. Avec ue vergece égative le système sera diverget. Relatio de cojugaiso: Système cetré de vergece D. Système cetré A A' relatio de cojugaiso ' + = D HA H ' A' gradissemet liéaire Associatio de systèmes cetrés : idice du milieu objet, N: idice du milieu itermédiaire, ': idice du milieu image. H ' A' γ = ' HA N H H' H H' ' d d = H' H Système cetré de vergece D Système cetré de vergece D Vergece D du système cetré équivalet à l'associatio des deux systèmes cetrés: d D = D + D D D N Positio des poits pricipaux du système équivalet: H H d D = N D H ' H ' d D = ' N D U dioptre sphérique est u système cetré dot les poits pricipaux objet et image sot cofodus avec le sommet du dioptre. La letille simple est u cas particulier de système cetré, les poits pricipaux et les poits odaux sot cofodus e cetre optique de la letille. Costructio de l image d u poit objet : Cette costructio se fait à partir de rayos dot la marche est coue comme ous l avos fait das le cas d ue letille mice. Pour le système cetré : Le rayo issu de B passat par ressort parallèle à l axe du système (e pas oublier le gradissemet au iveau des plas pricipaux) Le rayo issu de B et parallèle à l axe ressort e passat par Das le cas particulier ou l idice du milieu objet et l idice du milieu image sot les mêmes (système cetré placé das l air), le rayo issu de B arrivat e H, ressort parallèlemet à partir de H (e vertu de la relatio de Lagrage Helmholtz appliquée aux poits pricipaux). Sur le schéma, le système cetré est coverget et l objet réel. costate que l o a ue image réelle reversée. Paul JEAN 9

10 B A H H A [H] [H ] Paul JEAN 0