PROCESSUS DES RESTAURANTS CHINOIS ET LOI D EWENS
|
|
- Brian Cloutier
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 PROCESSUS DES RESTAURANTS CHINOIS ET LOI D EWENS DJALIL CHAFAÏ, YAN DOUMERC, ET FLORENT MALRIEU Résumé. O étude ue sute aléatore à valeurs das les permutatos d esembles fs, appelée processus des restaurats chos. Ce processus est relé à la lo d Ewes be coue e combatore élémetare. Ce processus et cette lo costtuet e quelque sorte u aalogue pour les permutatos du processus de Posso et de la lo de Posso, plus classques e théore des probabltés. O s téresse à la dsposto de clets umérotés, 2, etc veat successvemet s asseor das u restaurat chos magare autour de tables crculares umérotées, 2, etc et toutes de capacté fe. O ote S l esemble des permutatos de {,..., } et Π l esemble des parttos de {,..., }. Avat de décrre précsémet commet s obtet la dsposto D des premers clets autour des tables, o assoce à D ue permutato σ S as qu ue partto p Π, de la faço suvate : la décomposto e cycles de σ est obteue par lecture das le ses horare des uméros des clets de D à chaque table ; les blocs de p sot les supports des cycles de σ.e. les clets de chaque table de D. Par exemple, s D 6 est comme das la fgure alors σ 6 =, 6, 32, 45 = et p = {{, 6, 3}, {2, 4}, {5}}. D 6 = Fgure. Exemple de cofgurato D 6 du restaurat avec 6 clets réparts e 3 tables. La permutato σ ecode toute l formato coteue das D. E revache, la partto p s obtet à partr de la permutato σ e cosdérat le support des cycles, et cotet doc mos d formato car la dsposto précse des clets sur chaque table est perdue. Décrvos mateat l évoluto récursve de la sute D. Le premer clet s assot à la premère table. Supposos asss les premers clets aux tables,..., K, où K désge le ombre de tables occupées par les premers clets. Le clet + a le chox etre s asseor etre deux clets quelcoques déja attablés ou be s asseor à la ouvelle table de uméro K +. Il pourrat effectuer ce chox avec équprobablté. Par souc de gééralté, o attache u pods à chaque place etre deux clets, u pods à la ouvelle table et le clet + chost ue place avec ue probablté proportoelle à so pods. Comme l y a places dspobles etre tous les clets déjà asss, la probablté que le clet + s asseot à l ue de ces places est + tads que la probablté de s asseor à ue ouvelle table est +. Le chox équprobable correspod doc au cas partculer =. As, ous avos déf ue sute D à laquelle correspodet des sutes σ et p toutes aléatores. Das ue premère parte, ous exameros avec précso le mécasme d évoluto des sutes σ, p et d autres sutes assocées. Das ue deuxème parte, ous e explcteros les los à fxé, mettat e évdece la famle des los Date: verso tale: 0 ma 202, révso: 3 septembre 202. Mauscrt soums à RMS La Revue de la Flère Mathématque.
2 2 DJALIL CHAFAÏ, YAN DOUMERC, ET FLORENT MALRIEU d Ewes paramétrées par 0 et dot l équprobablté sur S correspod au cas =. Ef, ous regarderos certaes proprétés asymptotques de la décomposto e cycles : ue lo des grads ombres et u théorème cetral-lmte serot doés pour le ombre de cycles as qu u remarquable résultat de covergece e lo de la talle des cycles. Notos que ce mécasme d évoluto provoque l apparto de pettes tables, et celles-c peuvet subsster au cours du temps tout cela déped du paramètre.. Évoluto markovee Ue sute X 0 aléatore à valeurs das u espace au plus déombrable est dte markovee lorsqu elle vérfe, à partr d ue doée tale X 0, ue relato de récurrece d ordre du type X + = fx, ɛ + pour tout 0, où ɛ + est dépedate de ɛ,..., ɛ et de X 0. E terprétat comme u temps dscret, cec sgfe que pour décder de so état futur X + la sute a beso que de coaître so préset X et d effectuer u chox aléatore ɛ + dépedat de so passé. As, l évoluto de X est détermée par so état tal X 0 et les probabltés de trasto P x, y = PX + = y X = x.e. les probabltés de sauter de l état x à l état y à l stat. Les sutes markovees costtuet des processus d évoluto stochastques «sas mémore». Il s agt d u aalogue probablste des sutes récurretes ou des équatos dfféretelles... Les permutatos σ. La sute D est markovee, et ɛ + correspod au chox de la place par le clet +. L applcato φ : D σ état bjectve, l évoluto de σ est auss markovee predre f σ, ɛ = φfφ σ, ɛ. Elle se caractérse doc etèremet par la doée de so état tal σ = et de ses probabltés de trasto : + s σ s obtet e sérat + das l u des cycles de σ, Pσ + = σ σ = σ = + s σ s obtet e ajoutat le cycle + à ceux de σ, 0 so. Remarque. Remoter le temps. Voc u exemple de début de trajectore de la sute aléatore σ, qu mèe au σ 6 de l troducto : σ =, σ 2 = 2, σ 3 =, 32, σ 4 =, 32, 4, σ 5 =, 32, 45, σ 6 =, 6, 32, 45. O remarque mmédatemet qu l est possble de remoter le temps : σ se dédut de σ + e elevat + du cycle où l se trouve qutte à supprmer ce cycle s l est d ordre. Plus gééralemet, pour tout et tout σ S +, l exste u uque σ S tel que Pσ + = σ σ = σ > 0. Il s agt là d ue proprété commue à tous les processus dot le préset trasporte tégralemet le passé ce est évdemmet pas le cas de toutes les sute markovees. Il est amusat d observer que le mécasme d évoluto markove sas mémore empêche pas la coservato tégrale du passé. Remarque.2 Numérotato des tables. Les cycles sot umérotés par ordre crossat du plus pett élémet o ecore utlsé das les cycles précédets..2. Les parttos p. S ψ est l applcato qu à ue permutato assoce la partto doée par sa décomposto e cycles alors p = ψσ. Mas ψ état pas bjectve, le caractère markove de σ e se trasmet pas a pror à p : pour détermer p +, la coassace de σ est suffsate mas celle de p pourrat e pas l être car p cotet mos d formato que σ. E l espèce, l se trouve malgré tout que p + = ψσ + = ψfσ, ɛ + = gp, ɛ + pour ue focto g be chose. As, la sute
3 PROCESSUS DES RESTAURANTS CHINOIS ET LOI D EWENS 3 p est be markovee, et ses probabltés de trasto sot doées par b + s p s obtet e ajoutat + au bloc b de p, Pp + = p p = p = + s p s obtet e ajoutat le sgleto { + } à p, 0 so. Remarque.3 Mootoe e. Plus est grad, plus les clets ot tedace à s asseor à ue table vde plutôt que de rejodre ue table occupée. À l extrême, s = 0, o a p = {{,..., }} tads que s = alors p = {{},..., {}}. Be sûr, cette mootoe e est seulemet probablste : u p obteu avec peut avor plus de blocs qu u p obteu avec même s > de la même maère que je peux obter face et mo vos ple même s os pèces offret respectvemet des probabltés 0,9 et 0, de ple! O parle das ce cas d ordre stochastque, cf. [SS]..3. Les effectfs A. Défssos le vecteur A = A,,...,..., A, des effectfs de p par A, = ombre de tables ou de cycles, de blocs de cardal de D resp. de σ, de p de telle sorte que A, =. Comme pour p, o a A = ψp où cette fos ψ : p «vecteur des effectfs de p». Be que ψ e sot pas bjectve, A est à ouveau markovee. De plus, s a N, a N + et e est la base caoque de R +, les trastos de A sot doées par : a + s a = a, 0 + e + e avec, PA + = a A = a = + s a = a, 0 + e, 0 so..4. Le ombre de tables K. Notos K le ombre de tables occupées de D s be que K = ombre de cycles de σ = ombre de blocs de p = A,. La sute K est aléatore et K + K pred ses valeurs das {0, }. Comme au paragraphe précédet, K = ψp où ψ : p p est pas bjectve mas c ecore, la sute K est tout de même markovee de trastos doées par PK + = K + = +, PK + = K = +. Ue autre faço de décrre cette évoluto est d trodure { s le clet + s asseot à ue ouvelle table, ξ = 0 so. Alors o a K = ξ + + ξ et les ξ sot dépedates et de los doées par Pξ = = +, Pξ = 0 = +... Il s agt là d ue applcato du crtère de Dyk, qu assure que certaes mages de sutes markovees sot ecore markovees, cf. [BMP, p. 2].
4 4 DJALIL CHAFAÏ, YAN DOUMERC, ET FLORENT MALRIEU.5. Les soltares. La varable aléatore S = A, est le ombre de clets soltares de D,.e. le ombre de pots fxes de σ. La sute A, est markovee de trasto + s s = s + s attabler seul à ue table vde, s PS + = s + S = s = s + 0 so. s s = s rejodre la table d u soltare, s s = s rejodre ue table comptat 2 clets ou plus.6. Table uque. La varable aléatore A, vaut ou 0 selo qu l y a ue seule ou pluseurs tables. La sute A, est décrossate et markovee de trastos PA +,+ = 0 A, = 0 =, PA +,+ = 0 A, = = +. Das toute la sute, ous utlseros la otato 2. Los à fxé x = xx + x + 2 x + = Γx +, x 0 =. Γx 2.. Les permutatos σ. O dspose du théorème suvat cocerat les permutatos σ. Théorème 2. Lo d Ewes sur S. Pour tout σ S, o a Pσ = σ = Kσ où Kσ est le ombre de cycles de σ. Démostrato. La formule est vrae pour =. Supposos-la vrae pour. Sot σ S +. Il exste u uque σ S tel que Pσ + = σ σ = σ > 0. S Kσ = Kσ + alors Pσ + = σ σ = σ = / + et s Kσ = Kσ alors Pσ + = σ σ = σ = / +. Das les deux cas, o a be ce qu coclut la récurrece. Pσ + = σ = Pσ = σ Pσ + = σ σ = σ = Kσ, Remarque 2.2 Smulato de la lo uforme par algorthme de Fsher-Yates-Kuth [Kh]. Le cas partculer = correspod à la lo uforme sur S, c est-à-dre la lo accordat ue probablté /! à chaque permutato. Ce processus fourt doc u algorthme pour smuler la lo uforme sur S. Cet algorthme revet e fat à multpler à drote par des traspostos. E effet, rappelos que s σ S, s τ =, j désge la trasposto, j avec, j, et s c et c j sot les cycles de σ coteat et j respectvemet, alors la décomposto e cycles de la permutato στ s obtet à partr de celle de σ e fusoat c et c j e et j s c c j ou be e scdat e deux c s c = c j. L algorthme de smulato de la lo uforme sur S cosste à préset à calculer le produt de traspostos U U où U,..., U sot dépedates, avec U k de lo uforme sur {,..., k} pour tout k otos que U peut être oms car PU = =. Voc l mplémetato de l algorthme e pseudo-code : for k from to ; do v[k] := k; edfor for k from dowto 2; do := rad,k; swapv[],v[k]; edfor Cet algorthme remarquablemet smple est cou sous le om de Fsher-Yates shuffle ou Kuth shuffle. Sa complexté est léare e. L algorthme alteratf cosstat à trer ombres réels dépedats et équdstrbués a ue complexté de l ordre de l, cf. [MR]. D autre part, l algorthme alteratf cosstat à effectuer trages sas remse das {,..., } est mos commode à mplémeter effcacemet car l faut ter compte des élémets déjà trés.
5 PROCESSUS DES RESTAURANTS CHINOIS ET LOI D EWENS Les parttos p. Cette secto est cosacrée à l étude des parttos p. Théorème 2.3 Lo d Ewes sur Π. Sot p Π. E otat p le ombre de blocs de p et b p le fat que b sot u bloc de p, o a Pp = p = p b!. Démostrato. Sot E l esemble des élémets σ S dot la décomposto e cycles correspod à p. Il y a k! cycles d ordre k d u esemble à k élémets doc E = b p b!. Esute pour tout σ E doc ce qu est la répose. Pp = p = σ E b p Pσ = σ = p Pσ = σ = p E, Remarque 2.4 Lo d Ewes et lo uforme sur Π. Quelle que sot la valeur de, la lo d Ewes sur Π est jamas la lo uforme pour 3. E effet, otos Alors p = {{}, {2},..., {}}, q = {{, 2}, {3},..., {}}, et r = {{, 2,..., }}. Pp = p =, Pp = q =!, et Pp = r =. As, Pp = p e vaut Pp = q que pour = et das ce cas Pp = p Pp = r. Remarque 2.5 Cojugaso. Le théorème 2. motre que la lo de σ e déped que du ombre de cycles de σ doc qu elle est varate par cojugaso. Cec assure que, codtoellemet à p = p, la lo de σ est uforme sur l esemble des permutatos dot la décomposto e cycles correspod à p, ce qu correspod à l évdece tutve d varace par permutato des clets à chaque table Lo uforme sur les parttos. La remarque 2.4 ous cte à étuder la lo uforme sur Π, qu accorde à chaque partto ue probablté /B où B = Π est le -ème ombre de Bell. O a B 0 = par coveto, B = et B 2 = 2, et B + = B k, 2. k k=0 formule qu se démotre e examat les k élémets qu apparteet pas au même bloc que +. E trodusat la sére formelle GX := B =0! X, u produt de Cauchy motre que G X = expxgx, ce qu doe GX = expexpx. O recoaît la trasformée de Laplace de la lo de Posso de paramètre. As, les ombres de Bell sot les momets de cette lo de Posso, ce qu doe la formule de Dobsk : Notos par alleurs que B = e B = k=0 k= k k!. 2.2 { } k où la otato etre accolades désge le ombre de parttos à k blocs d u esemble à élémets otato de Kuth pour le ombre de Strlg de secode espèce. O dspose de la formule de récurrece { } { } { } { } { } = + k avec codtos au bord = et = k k k car pour chosr ue partto de {,..., +} ayat k blocs, l faut et l sufft sot de chosr ue partto de {,..., } ayat k blocs et de la compléter avec le bloc sgleto { + }, sot d ajouter l élémet + à l u des k blocs d ue partto de {,..., } ayat k blocs. S X est ue varable aléatore de lo de Posso de paramètre λ alors EX = k= { k } λ k e partculer EX = B s λ =.
6 6 DJALIL CHAFAÏ, YAN DOUMERC, ET FLORENT MALRIEU S S,k désge le ombre de surjectos de {,..., } das {,..., k}, alors o dspose égalemet de la formule explcte suvate, qu peut s obter grâce au prcpe d cluso-excluso : { = k} S,k = k k k j j. k! k! j 2.4. Smulato de la lo uforme sur Π. Par aaloge avec les permutatos, l est aturel de chercher à costrure ue sute markovee q où q est uforme sur Π, obteue e sérat aléatoremet selo ue lo à détermer das q. Démotros par l absurde que cela est mpossble. Pour tout q Π, otos s q Π la partto obteue e supprmat de q. O aurat alors s q = q, et doc Pq = q = Pq = s qpq = q q = s q. Pour u q Π fxé, o somme sur tous les q Π tels que s q = q pour obter q Π :s q=q Pq = q = Pq = q. Comme q et q sot uformes sur Π et Π respectvemet, o obtedrat, pour tout q Π, q + B = B, ce qu est faux. As, l exste pas d algorthme récursf de smulato de la lo uforme sur Π cosstat e ue serto aléatore de à chaque étape. E revache, l est possble d obter, e utlsat les formules 2. et 2.2, deux algorthmes de smulato de la lo uforme sur Π. Algorthme tré de la formule 2.. O smule d abord le cardal du complémetare du bloc coteat, pus o chost les élémets de ce complémetare, pus o parttoe ce complémetare. Plus précsémet, sot K ue varable aléatore preat la valeur k {0,..., } avec probablté k Bk /B. Codtoellemet à K, o chost ue parte S de {,..., } à K élémets de faço équprobable. Codtoellemet à S, o chost récursvemet ue partto p de S de lo uforme sur l esemble des parttos de S. Alors p = {p, {,..., }\S} est ue partto de {,..., } suvat la lo uforme. Comme S <, cec fourt l algorthme aocé, qu peut s écrre de maère récursve ou tératve. Évdemmet, l covéet de cet algorthme est le calcul des B k par récurrece. Algorthme de Stam tré de la formule 2.2. Cet algorthme est décrt das [Kh2]. O chost u eter M aléatore pus o attrbue à chaque élémet de {,..., } ue couleur aléatore allat de à M et o cosdère la partto dot les blocs sot les élémets de même couleur. Plus précsémet, o décde que M est aléatore et pred la valeur m N avec probablté m /m!eb la somme de ces probabltés vaut grâce à 2.2. Codtoellemet à M, soet C,..., C les couleurs respectves de,...,, choses de maère..d. selo la lo uforme sur {,..., M}. O costrut à préset la partto aléatore p Π e décdat que et j sot das le même bloc s et seulemet s C = C j. Alors p sut la lo uforme sur Π car pour tout p 0 Π à k blocs, o a Pp = p 0 = Pp = p 0 M = mpm = m = m=k m=k mm m k + m 2.5. Les effectfs A. Cette secto est cosacrée à l étude des effectfs A. m =. m!eb B Théorème 2.6 Lo d Ewes sur les effectfs. Pour tout N et tout a,..., a N vérfat a + 2a a =, o a PA, = a,..., A, = a =! aj. 2.3 a j! j Démostrato. Sot a,..., a N fxé vérfat a + 2a a =. Notos F l esemble des p Π dot les effectfs assocés sot a,..., a. O a F =! j! aj a j!. Esute, pour tout p F, o a b! = b p j! aj et b = a + a a.
7 PROCESSUS DES RESTAURANTS CHINOIS ET LOI D EWENS 7 Le résultat découle alors du lemme 2.3 pusqu l doe PA, = a,..., A, = a = a+ +a Pp = p = F p F ce qu est le résultat après smplfcato des factorelles. j! aj, Remarque 2.7 Cotrate et dépedace. La forme produt de la formule 2.3 pourrat fare crore que les composates A,,..., A, sot dépedates mas l e est re à cause de la cotrate A, + +A, =. E revache, cette cotrate est e quelque sorte le seul obstacle à l dépedace des A, comme e témoge le théorème suvat. Théorème 2.8 Descrpto possoee de la lo d Ewes. Sot Z ue sute de varables aléatores dépedates telle que Z sut ue lo de Posso de paramètre /. Alors la lo de A,,..., A, est la lo codtoelle de Z,..., Z sachat que Z + 2Z Z = : PA, = a,..., A, = a = PZ = a,..., Z = a Z + 2Z Z =. Démostrato. Sot a,..., a N. S a + 2a a alors les deux membres de l égalté à prouver sot uls. So, e otat W = PZ + 2Z Z =, o a PZ = a,..., Z = a Z + 2Z Z = = W PZ = a,..., Z = a, Z + 2Z Z = = W PZ = a,..., Z = a = W PZ j = a j = Z e /j a j! j = V PA, = a,..., A, = a où V = W exp j aj!. Or deux los de probablté dfférat d ue costate multplcatve sot égales, d où le résultat. Remarque 2.9 Formule accessore. Au passage, la preuve précédete fourt V =.e. PZ + 2Z Z = = exp j!, ce qu est pas facle à prouver drectemet Le ombre de tables K. La lo de K s obtet de faço élémetare. E effet, Pσ = σ = Kσ =. σ S σ S E otat c,k le ombre de σ S ayat exactemet k cycles, o a c,k k = = k=0 Cec est la focto géératrce be coue des c,k que ous avos retrouvée smplemet e arguat qu ue somme de probabltés vaut! Mateat, e utlsat et e remplaçat par t das 2.4, l vet Théorème 2.0 Focto géératrce de K. Et K = PK = k = c,k k k= PK = kt k = t. 2.5
8 8 DJALIL CHAFAÏ, YAN DOUMERC, ET FLORENT MALRIEU Par detfcato das 2.4 et das 2.5, l vet c,k = coeffcet de t k das tt + t + = sym k, 2,..., où sym k est la k-ème focto symétrque élémetare, et PK = k = coeffcet de t k das le polyôme t = k sym k, 2,...,. La formule K = ξ + + ξ permet faclemet d accéder à l espérace et à la varace : EK = k=0 + k et VarK = k= k + k Remarque 2. Autre méthode. Le théorème 2.0 aurat auss pu être prouvé e utlsat la formule K = ξ + + ξ et l dépedace : Et K = E t ξ = Et ξ = t 0 Pξ = 0 + tpξ = t + = + = t Soltares. Posos G t = Et S. La règle d évoluto de S permet d écrre G + t = s N PS = set S+ S = s = PS = s + ts+ + s + ts + s + ts s N = t + + G t + t + G t = G t + t + G t G t Das le cas =, o vot par récurrece que t k G t =. k! k=0 Das ce cas, S est le ombre de pots fxes d ue permutato de S équprobable. Comme sa focto géératrce est la trocature d ordre de la focto géératrce d ue lo de Posso P, ses momets factorels jusqu à l ordre sot ceux de la lo de Posso P 0 k, ES S S k + =. Par chagemet de base das R [t], les momets usuels jusqu à l ordre sot auss ceux d ue lo de Posso P. Remarque 2.2 Formule classque. E développat la focto géératrce e pussace de t et e detfat, o retrouve la formule classque k PS = k =, k! =0 qu s obtet habtuellemet par la formule du crble de Pocaré prcpe d cluso-excluso. O peut amélorer l detté sur les momets de S = A, : s les varables aléatores Z sot dépedates et suvet des los de Posso P/, alors les momets factorels jots de A,,..., A, sot exactemet ceux de Z,..., Z jusqu à u certa ordre : E = E {m+ +m }, A [m], Z [m] où x [m] = xx x m +. La démostrato de ce résultat dû à Watterso se trouve par exemple das le lvre [ABT]. L étude de A, motre que cette formule possoee e subsste pas quad Table uque. Ic, peu de choses à dre tellemet la lo de A, est smple : A, = ξ 2 ξ et A, sut ue lo de Beroull de paramètre PA, = = Pξ 2 =... = ξ = 0 =. + =2
9 PROCESSUS DES RESTAURANTS CHINOIS ET LOI D EWENS 9 3. Comportemet asymptotque 3.. Le ombre de tables K. Les formules 2.6 as qu ue comparaso sére-tégrale permettet de motrer le lemme suvat. Lemme 3. Espérace et varace asymptotques du ombre de tables. O a EK VarK l O peut précser cec par ue covergece e probabltés. quad +. Théorème 3.2 Comportemet asymptotque du ombre de tables e probablté. La sute K / l coverge e probabltés vers, ce qu sgfe que ε > 0, lm P K + l > ε = 0. Démostrato. Par l égalté de Markov et le lemme 3., pour tous ε > 0 et 2, K P l > ε VarK + EK l 2 ε l 2 = O = o. l Remarque 3.3 Covergece presque sûre. O peut raffer ce résultat e établssat ue covergece presque sûre, sot par ue méthode de martgale, sot e motrat que la sous-sute K 2 / l2 coverge presque sûremet, pus e procédat par ecadremet. Théorème 3.4 Comportemet asymptotque e lo du ombre de tables. O a K = K l l lo N 0, + où N 0, désge la lo ormale cetrée rédute de moyee 0 et de varace. Démostrato. Le crtère de covergece e lo basé sur les foctos géératrces est appropré. E effet, la focto géératrce G de K état doée par le théorème 2.0, celle de K se calcule faclemet : G t = Et K = t l G t u = t /u Γ + tu Γ Γ + Γt u où u = l. E utlsat u 0, t u, + a x x e a et la formule de Strlg Γx 2πx x /2 e x quad x +, l vet faclemet G t exp lt + t u u 2. u U développemet lmté d ordre 2 prouve que lt u + t u u 2 lt 2 /2, ce qu assure que lt G 2 t exp = Et N, 2 où N sut ue lo N 0,. Ef, la covergece des foctos géératrces assure celle des los Effectfs des pettes tables. O dspose du théorème suvat cocerat les pettes tables. Théorème 3.5 Covergece e lo de A,,..., A,k. Fxos k N. Lorsque +, le vecteur aléatore A,,..., A,k coverge e lo vers la lo du vecteur aléatore Z,..., Z k où Z,..., Z k sot dépedates et Z sut ue lo de Posso de paramètre /. C est-à-dre que pour tout a,..., a k N k, Démostrato. Pour 0 l m, posos lm PA, = a,..., A,k = a k = PZ = a,..., Z k = a k. + T l,m = l + Z l+ + + mz m avec T m,m = 0. Sot a,..., a k N k, a = a + + ka k et a. O a PA, = a,..., A,k = a k = PZ = a,..., Z k = a k T 0, = = PZ = a,..., Z k = a k, T 0, = PT 0, = = PZ = a,..., Z k = a k PT k, = a PT 0, =
10 0 DJALIL CHAFAÏ, YAN DOUMERC, ET FLORENT MALRIEU La focto géératrce de T k, est φx = Ex T k, = Ex Z = où =k+ =k+ C k, = exp exp x =k+. = C k, exp =k+ E otat [x l ]gx le coeffcet de x l das le développemet e sére etère e 0 de gx, o a PT k, = a = [x a ]φx. As, e posat u a = C k, PT k, = a, o a : u a = [x a x ] exp =k+ = [x a ] exp = [x a ] exp O a alors recours au lemme suvat. Lemme 3.6. S ψ est ue focto etère =k+ x x exp k x = [x a ] x ψx où ψx = exp [x l ] x ψx = l! =0 Preuve du lemme. Posos x = h. Alors, pour x <, x ψx = h ψ h = = = =0 l=0 ψ x l + =0! =0 l=0 l! ψ h =! l x l = l ψ l,! l! =0 l=0 k ψ. x. x j ψ x! + x l ψ +l! l l terverso des sommes état justfée par la covergece absolue de la sére double précédete. =0 As, e mettat a e facteur, o a u a = a a! v a où v a = a ψ. a! Esute, à fxé et quad l +, l l O peut auss motrer cf. [W, Théorème 5.3.] que v a = ψ + o Comme ψ = exp k, l vet PT k, = a = =0 = l l l 0. a a! exp quad +. k + o.
11 PROCESSUS DES RESTAURANTS CHINOIS ET LOI D EWENS Cec vaut e partculer pour k = 0 et a = 0 e fat, le reste o est ul das ce cas comme le motre la remarque 2.9. O obtet doc PT k, = a PT 0, = par ue ouvelle applcato de la formule de Strlg. = a! + o a! E partculer, le ombre de pots fxes S = A, coverge e lo vers Z de lo de Posso de paramètre, le ombre de traspostos A,2 coverge e lo vers Z 2 de lo de Posso de paramètre /2, etc. Il est remarquable qu asymptotquemet les A, k deveet dépedats etre eux. Cec a été démotré qu à k fxé et resterat valable pour u k tedat vers l f avec tat que k = o, cf. le lvre [ABT]. Le ombre de cycles de grade talle e saurat être possoe comme le motre l exemple qu sut de A, {0, } qu ted presque-sûremet vers Table uque. La sute A, est décrossate et à valeurs das {0, }. Cosdéros le premer stat évetuellemet + où A, = 0, sot T = f{ : A, = 0}. O a alors, pour tout, PT > = PA, = =. + =2 Comme la sére + dverge, o a lm + PT > = 0.e. PT = + = 0. Doc A, est ulle à partr d u certa rag. Par comparaso avec ue tégrale, o peut faclemet motrer que, PT > costate quad Restaurat de Feller Pour tout, le restaurat chos fourt le tableau tragulare aléatore A,k k. D après le théorème 2.6, pour tout, la e lge A,,..., A, de ce tableau sut la lo d Ewes de talle. Pour tout k, le théorème 3.5 assure la covergece e lo de A,,..., A,k quad. Feller a proposé ue méthode de costructo d u autre tableau tragulare aléatore, pour lequel la e lge sut égalemet la lo d Ewes, pour tout, et pour lequel, pour tout k, o a cette fos-c covergece presque sûre de A,,..., A,k quad. Remarque 4. Couplage. Soet µ et µ 2 deux los de probabltés. O appelle couplage de µ et µ 2 tout couple X, X 2 de varables aléatores défes sur u même espace de probablté tel que X est de lo µ et X 2 de lo µ 2. Plus gééralemet, et par abus de lagage, o parle de couplage d ue famlle fe ou déombrable de los de probabltés. Le restaurat chos as que la méthode de Feller costtuet deux couplages de la famlle des los d Ewes. Pour cette raso, la méthode de Feller est souvet appelée Feller couplg, qu o appelle c restaurat de Feller pour rester das la gastroome. Le restaurat de Feller est e quelque sorte dual du restaurat chos car les rôles des clets et des tables sot presque versés. Le restaurat de Feller fourt e fat des permutatos aléatores, tout comme le restaurat chos. Plus précsémet, sot ξ ue sute de varables aléatores dépedates de lo de Beroull avec Pξ = = Pξ = 0 = / + cet grédet est detque à celu des restaurats chos.. Pour tout fxé, o cosdère la sute ξ,..., ξ,. O commece par remplr la table avec le clet. S ξ =, o clôt cette table et o commece à asseor le clet 2 à la table 2. S ξ = 0, o chost u clet au hasard parm {2,..., } que l o ajoute à la table. Pus o exame ξ, ξ 2,... e ajoutat des clets choss au hasard parm ceux ecore e attete tat qu o vot des 0 et e fermat la table e cours dès qu o vot u, pour commecer la suvate avec le clet de plus pett uméro o ecore vu. Après lecture de ξ, la permutato costrute σ sut la lo d Ewes. L avatage de ce processus est que la talle de chaque cycle est costate à partr d u certa rag car dès qu ue table est close, elle accuelle plus jamas persoe. Das ce cas, la sute des effectfs complétée par des 0 A,,..., A,, 0, 0,... coverge presque-sûremet vers ue sute A,, A,2,... de varables de Posso dépedates et de paramètres, /2,... Ce couplage permet de précser la dstace e varace totale et la dstace de Wasserste etre les los de A,,..., A,k et de A,,..., A,k et d e doer de boes majorato et morato. Le fat
12 2 DJALIL CHAFAÏ, YAN DOUMERC, ET FLORENT MALRIEU que A,, A,2,... soet des varables de Posso dépedates et de paramètres, /2,... provet alors du théorème précédet mas le prouver drectemet est pas évdet, et ous revoyos à [ABT]. Das la sute fe de varables aléatores de Beroull hétérogèes ξ, la varable aléatore A, est le ombre d espacemets de logueur etre deux cosécutfs et alors les A, sot dépedates de los de Posso de paramètres /. Pour comparaso, s ξ état ue sute de varables aléatores de Beroull homogèes, alors les espacemets seraet de même lo géométrque, et o aurat A, = + pour tout N. Das otre cas, à fxé, la probablté p d u espacemet de logueur etre et + est féreure à 2 / à cause des de début et de f. Cec prouve que p <, et doc qu à partr d u certa rag, l y a plus d espacemet de talle.e. A, <. 5. Éplogue Warre Ewes est u professeur de bologe mathématque é e 937 e Australe. C est à la f des aées 960 qu l découvre la lo qu porte aujourd hu so om, e étudat u problème d échatlloage e géétque des populatos, lé à u célèbre modèle de Fsher et Wrght. Le paramètre apparaît comme u taux de mutato des allèles. Ue sythèse sur le sujet se trouve das so lvre [E], as que das celu de Kgma [K]. De ombreux aspects statstques sot abordés das le cours de Tavaré [T]. Le traval d Ewes a egedré u ombre cosdérable de travaux e bologe quattatve et e probabltés. La lo d Ewes apparaît das ue large gamme de structures aléatores dscrètes dtes logarthmques, allat de la combatore à la théore des ombres. O pourra cosulter à ce sujet le lvre de Arrata, Barbour, et Tavaré [ABT]. Il semble que le processus des restaurats chos dove so om à Ptma et Dub. Il apparaît sous ce om das u cours d Aldous [A]. O peut le reler aux ures de Pólya as qu aux processus de Drchlet. De os jours, le processus des restaurats chos et la lo d Ewes fot désormas parte du folklore d ue théore plus géérale de la fragmetato et de la coalescece. O pourra à ce sujet cosulter les lvres de Kgma [K2], de Berto [B], de Ptma [P], as que de Berestyck [B]. Référeces [A] D. J. Aldous. Exchageablty ad related topcs, volume 7 de Lecture Notes Math., pages 98, Sprger, 985. Notes de cours de la XIIIème École d été de Probabltés de Sat-Flour, été 983. [ABT] R. Arrata, A. D. Barbour, et S. Tavaré. Logarthmc combatoral structures : a probablstc approach. EMS Moographs Mathematcs. Europea Mathematcal Socety EMS, [BMP] P. Bald, L. Mazlak, et P. Prouret. Martgales et chaîes de Markov, Herma, 998. [B] N. Berestyck. Recet progress coalescet theory, volume 6 de Esaos Matemátcos. Socedade Braslera de Matemátca, [B] J. Berto. Radom fragmetato ad coagulato processes, volume 02 de Cambrdge Studes Advaced Mathematcs. Cambrdge Uversty Press, [E] W. J. Ewes. Mathematcal populato geetcs. I, volume 27 de secode édto, Theoretcal troducto. [Kh] D. E. Kuth. The Art of Computer Programmg, volume 2, Addso ad Wesley, 997. [Kh2] D. E. Kuth. The Art of Computer Programmg, volume 4, Addso ad Wesley, 200. Iterdscplary Appled Mathematcs. Sprger, [K] J. F. C. Kgma. Mathematcs of geetc dversty, volume 34 de CBMS-NSF Regoal Coferece Seres Appled Mathematcs. Socety for Idustral ad Appled Mathematcs SIAM, 980. [K2] J. F. C. Kgma. Posso processes, volume 3 de Oxford Studes Probablty. The Claredo Press Oxford Uversty Press, 993. Oxford Scece Publcatos. [MR] R. Motwa et P. Raghava. Radomzed algorthms. Cambrdge Uversty Press, Cambrdge, 995. [P] J. Ptma. Combatoral stochastc processes, volume 875 de Lecture Notes Mathematcs. Sprger, Notes de cours de la XXXIIème École d été de Probabltés de Sat-Flour, jullet 7 24, [SS] M. Shaked et J. G. Shathkumar. Stochastc orders, Sprger Seres Statstcs. Sprger, xv+473 pp. [T] S. Tavaré. Acestral ferece populato geetcs, volume 837 de Lecture Notes Math., pages 88. Sprger, Notes de cours de la XXXIème École d été de Probabltés de Sat-Flour, jullet [W] H. S. Wlf. geeratgfuctoology, Academc Press, 994. D. Chafaï, auteur correspodat Uversté Pars-Est Mare-la-Vallée, UMR CNRS 8050, Frace. URL: E-mal address: djall@chafa.et Y. Doumerc Classes Préparatores aux Grades Écoles, Lycée Gasto Berger, Llle. E-mal address: y.doumerc@yahoo.fr F. Malreu Uversté Rees, UMR CNRS 6627, Frace. URL:
LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe
Plus en détailSemestre : 4 Module : Méthodes Quantitatives III Elément : Mathématiques Financières Enseignant : Mme BENOMAR
Semestre : 4 Module : Méthodes Quattatves III Elémet : Mathématques Facères Esegat : Mme BENOMAR Elémets du cours Itérêts smples, précompte, escompte et compte courat Itérêts composés Autés Amortssemets
Plus en détailII - Notions de probabilité. 19/10/2007 PHYS-F-301 G. Wilquet 1
II - Notos de probablté 9/0/007 PHYS-F-30 G. Wlquet Ue varable aléatore est ue varable dot la valeur e peut être prédte avec certtude mas dot la probablté d occurrece d ue valeur (varable dscrète) ou d
Plus en détailSYSTEME FERME EN REACTION CHIMIQUE
SYSTEME FERME EN REACTION CHIMIQUE I. DESCRIPTION D UN SYSTEME. Les dfférets types de système (ouvert, fermé, solé U système S est formé d u esemble de corps séparés du reste de l uvers (appelé mleu extéreur
Plus en détailCoefficient de partage
Coeffcet de partage E chme aque, la sythèse d'u composé se fat e pluseurs étapes : la réacto propremet dte (utlsat par exemple u motage à reflux quad la réacto dot être actvée thermquemet), les extractos
Plus en détailCHAPITRE 6 : LE BIEN-ETRE. Durée : Objectif spécifique : Résumé : I. L agrégation des préférences. Cerner la notion de bien-être et sa mesure.
TABLE DES MATIERES Durée...2 Objectf spécfque...2 Résumé...2 I. L agrégato des préféreces...2 I. Le système de vote à la majorté...2 I.2 Vote par classemet...3 I.3 Codtos de décso socale et théorème d
Plus en détailIncertitudes expérimentales
U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E 995 Icerttudes érmetales par Fraços-Xaver BALLY Lcée Le Corbuser - 93300 Aubervllers et Jea-Marc BERROIR École ormale supéreure
Plus en détailLimites des Suites numériques
Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet
Plus en détailCOURS DE MATHEMATIQUE FINANCIERE A COURT ET LONG TERME Promotion : Première année de graduat
P R O F E S REPUBLIQUE DEMOCRATIQUE DU CONGO ENSEIGNEMENT SUPEREIEUR ET UNIVERSITAIRE INSTITUT SUPERIEUR DE GESTION INFORMATIQUE DE GOMA /I.S.I.G-GOMA DEVELOPPEMENT ISIG M A T I O N COURS DE MATHEMATIQUE
Plus en détailIntégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :
Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +
Plus en détailLes sinistres graves en assurance automobile : Une nouvelle approche par la théorie des valeurs extrêmes
Les sstres graves e assurace automoble : Ue ouvelle approche par la théore des valeurs extrêmes Nouredde Belagha (*, Mchel Gru-Réhomme (*, Olga Vasecho (** (* Uversté Pars 2, ERMES-UMR78-CNRS, 2 place
Plus en détail" BIOSTATISTIQUE - 1 "
ISTITUT SUPERIEUR DE L EDUCATIO ET DE LA FORMATIO COTIUE Départemet Bologe Géologe S0/ " BIOSTATISTIQUE - " Cours & Actvtés : Modher Abrougu Aée Uverstare - 008 Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC - 008
Plus en détailApplication de la théorie des valeurs extrêmes en assurance automobile
Applcato de la théore des valeurs extrêmes e assurace automoble Nouredde Belagha & Mchel Gru-Réhomme Uversté Pars 2, ERMES-UMR78-CNRS, 92 rue d Assas, 75006 Pars, Frace E-Mal: blour2002@yahoo.fr E-Mal:
Plus en détailExo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X
Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour
Plus en détailLes Nombres Parfaits.
Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.
Plus en détailChapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détail. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1
Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S
Plus en détailDénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices
Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.
Plus en détailOBLIGATION DU SECTEUR PRIVE : EVALUATION ET OUTIL DE GESTION DU RISQUE DE TAUX D INTERET
Jea-Claude AUGROS Professeur à l Uversté Claude Berard LYON I et à l Isttut de Scece Facère et d Assuraces ISFA Mchel QUERUEL Docteur e Gesto Igéeur de Marché Socété de Bourse AUREL Résumé : Cet artcle
Plus en détailFEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue
Plus en détailConception d un outil décisionnel pour la gestion de la relation client dans un site de e-commerce
SETIT 2005 3 RD INTERNATIONAL CONFERENCE: SCIENCES OF ELECTRONIC, TECHNOLOGIES OF INFORMATION AND TELECOMMUNICATIONS MARCH 27-3, 2005 TUNISIA Cocepto d u outl décsoel pour la gesto de la relato clet das
Plus en détailProcessus et martingales en temps continu
Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de
Plus en détailComportement d'une suite
Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer
Plus en détailUne méthode alternative de provisionnement stochastique en Assurance Non Vie : Les Modèles Additifs Généralisés
Ue méthode alteratve de provsoemet stochastque e Assurace No Ve : Les Modèles Addtfs Gééralsés Lheureux Else B&W Delotte 85, av. Charles de Gaulle 954 Neully-sur-See cedex Frace Drect: 33(0).55.6.65.3
Plus en détail1 Mesure et intégrale
1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios
Plus en détailCHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES
CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.
Plus en détailDénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions
Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter
Plus en détailMathématiques Financières : l essentiel Les 10 formules incontournables (Fin de période)
A-PDF OFFICE TO PDF DEMO: Purchase from www.a-pdf.com to remove the watermark Mathématques Facères : l essetel Les formules cotourables (F de érode) htt://www.ecogesam.ac-a-marselle.fr/esed/gesto/mathf/mathf.html#e5aels
Plus en détailConception d un outil décisionnel pour la gestion de la relation client dans un site de e-commerce
Cocepto d u outl décsoel pour la gesto de la relato clet das u ste de e-commerce Nazh SELMOUNE *, Sada BOUKHEDOUMA * ad Zaa ALIMAZIGHI * * Laboratore des Systèmes Iformatques(LSI )- USTHB - ALGER selmoue@wssal.dz
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **
Plus en détailEtude de la fonction ζ de Riemann
Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
Plus en détailEXERCICES : DÉNOMBREMENT
Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris
Plus en détailSéries réelles ou complexes
6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés
Plus en détailGIN FA 4 02 01 INSTRUMENTATION P Breuil
GIN FA 4 0 0 INSTRUMENTATION P Breul OBJECTIFS : coatre les bases des statstques de la mesure af de pouvor d ue part compredre les spécfcatos d u composat et d autre part évaluer avec rgueur les performaces
Plus en détailL Analyse Factorielle des Correspondances
Aalyse de doées Modle 5 : L AFC M5 L Aalyse Factorelle des Corresodaces L aalyse factorelle des corresodaces, otée AFC, est e aalyse destée a tratemet des tableax de doées où les valers sot ostves et homogèes
Plus en détailMesure avec une règle
Mesure avec une règle par Matheu ROUAUD Professeur de Scences Physques en prépa, Dplômé en Physque Théorque. Lycée Alan-Fourner 8000 Bourges ecrre@ncerttudes.fr RÉSUMÉ La mesure d'une grandeur par un système
Plus en détailcapital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...
Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1
Plus en détailGroupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que
Plus en détailUNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4
UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»
Plus en détailSuites et séries de fonctions
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de
Plus en détailRessources pour le lycée général et technologique
éduscol Ressources pour le lycée gééral et techologque Ressources pour le cycle termal gééral et techologque Mesure et certtudes Ces documets peuvet être utlsés et modés lbremet das le cadre des actvtés
Plus en détailLes jeunes économistes
Chaptre1 : les ntérêts smples 1. défnton et calcul pratque : Défnton : Dans le cas de l ntérêt smple, le captal reste nvarable pendant toute la durée du prêt. L emprunteur dot verser, à la fn de chaque
Plus en détailII LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009
M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted
Plus en détailPolynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.
Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités
Plus en détail14 Chapitre 14. Théorème du point fixe
Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de
Plus en détailLES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.
Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la
Plus en détailLa France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe
1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios
Plus en détailÉLÉMENTS DE THÉORIE DE L INFORMATION POUR LES COMMUNICATIONS.
ÉLÉMETS DE THÉORIE DE L IFORMATIO POUR LES COMMUICATIOS. L a théore de l nformaton est une dscplne qu s appue non seulement sur les (télé-) communcatons, mas auss sur l nformatque, la statstque, la physque
Plus en détailChaînes de Markov. Arthur Charpentier
Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.
Plus en détailGEA I Mathématiques nancières Poly. de révision. Lionel Darondeau
GEA I Mathématques nancères Poly de révson Lonel Darondeau Intérêts smples et composés Voc la lste des exercces à révser, corrgés en cours : Exercce 2 Exercce 3 Exercce 5 Exercce 6 Exercce 7 Exercce 8
Plus en détailc. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives
Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice
Plus en détailx +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite
Plus en détailSTATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES
STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................
Plus en détailChapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction
Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats
Plus en détailEstimation des incertitudes sur les erreurs de mesure.
Estmto des certtdes sr les errers de mesre. I. Itrodcto : E sceces epérmetles, l este ps de mesres ectes. Celle-c e pevet être q etchées d errers pls o mos mporttes selo le protocole chos, l qlté des strmets
Plus en détailGENESIS - Generalized System for Imputation Simulations (Système généralisé pour simuler l imputation)
GENESS - Generalzed System for mputaton Smulatons (Système généralsé pour smuler l mputaton) GENESS est un système qu permet d exécuter des smulatons en présence d mputaton. L utlsateur fournt un ensemble
Plus en détailTRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )
RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude
Plus en détailChap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)
Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie
Plus en détail2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul
Plus en détailModule 3 : Inversion de matrices
Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que
Plus en détailDETERMINANTS. a b et a'
2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio
Plus en détail20. Algorithmique & Mathématiques
L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus
Plus en détailIntroduction : Mesures et espaces de probabilités
Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,
Plus en détailPROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales
PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières
Plus en détailUne action! Un message!
Ue actio! U message! Cotact Master est u service exclusif de relaces automatiques de vos actes vers vos cliets, par SMS, messages vocaux, e-mails, courrier... Il se décleche lorsque vous réalisez ue actio
Plus en détailConsolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe
Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das
Plus en détailstages 2015 paris saint-germain ACADEMY Dossier d inscription
stages 2015 pars sat-germa ACADEMY Dosser d scrpto STAGE de football STAGES 2015 Fche d scrpto à retourer à l adresse suvate Pars Sat-Germa Academy - Frace 159, rue de la Républque - 92 800 Puteaux Tél
Plus en détailSTATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES
STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie
Plus en détailSéquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire
Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa
Plus en détailCours de Statistiques inférentielles
Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios
Plus en détailStatistique descriptive bidimensionnelle
1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets
Plus en détailCompte Sélect Banque Manuvie Guide du débutant
GUIDE DU DÉBUTANT Compte Sélect Baque Mauvie Guide du débutat Besoi d aide? Preez quelques miutes pour lire attetivemet votre Guide du cliet. Le préset Guide du débutat vous facilitera l utilisatio de
Plus en détailLa théorie classique de l information. 1 ère partie : le point de vue de Kolmogorov.
La théore classque de l nformaton. ère parte : le pont de vue de Kolmogorov. La sute de caractères comme outl de descrpton des systèmes. La scence peut être vue comme l art de compresser les données quelles
Plus en détailMÉTHODES DE SONDAGES UTILISÉES DANS LES PROGRAMMES D ÉVALUATIONS DES ÉLÈVES
MÉTHODES DE SONDAGES UTILISÉES DANS LES PROGRAMMES D ÉVALUATIONS DES ÉLÈVES Émle Garca, Maron Le Cam et Therry Rocher MENESR-DEPP, bureau de l évaluaton des élèves Cet artcle porte sur les méthodes de
Plus en détailGérer les applications
Gérer les applicatios E parcourat les rayos du Widows Phoe Store, vous serez e mesure de compléter les services de base de votre smartphoe à travers plus de 10 000 applicatios. Gratuites ou payates, ces
Plus en détailVirtualization. Panorama des solutions de virtualisation sur différentes plate-formes. Laurent Vanel Systems Architect IBM Laurent_vanel@fr.ibm.
rtalzato Paorama des soltos de vrtalsato sr dfféretes plate-formes aret ael Systems Archtect IBM aret_vael@fr.bm.com 2008 IBM Corporato Evolto de la rtalsato des frastrctres Wdows Servers Maframe & U Servers
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus
Plus en détailConvergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9
Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détail3.1 Différences entre ESX 3.5 et ESXi 3.5 au niveau du réseau. Solution Cette section récapitule les différences entre les deux versions.
3 Réseau Le réseau costitue u aspect essetiel d u eviroemet virtuel ESX. Il est doc importat de compredre la techologie, y compris ses différets composats et leur coopératio. Das ce chapitre, ous étudios
Plus en détailOne Office Voice Pack Vos appels fixes et mobiles en un seul pack
Uique! Exteded Fleet Appels illimités vers les uméros Mobistar et les liges fixes! Oe Office Voice Pack Vos appels fixes et mobiles e u seul pack Commuiquez et travaillez e toute liberté Mobistar offre
Plus en détail4 Approximation des fonctions
4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour
Plus en détailQ x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2
Exo7 Nombres complexes Vdéo parte. Les nombres complexes, défntons et opératons Vdéo parte. Racnes carrées, équaton du second degré Vdéo parte 3. Argument et trgonométre Vdéo parte 4. Nombres complexes
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires
Plus en détailDivorce et séparation
Coup d oeil sur Divorce et séparatio Être attetif aux besois de votre efat Divorce et séparatio «Les premiers mois suivat u divorce ou ue séparatio sot très stressats. Votre patiece, votre cohérece et
Plus en détailDeuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES
DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces
Plus en détailPROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS
PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS ET APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES J. L. NICOLAS Cet article expose sup 3 e quelques iter'f~reces etre les pr'obl~res dloptimisatio e hombres etiers et la th~or-ie
Plus en détailStatistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1
Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques
Plus en détailPlan. Gestion des stocks. Les opérations de gestions des stocks. Les opérations de gestions des stocks
Plan Geston des stocks Abdellah El Fallah Ensa de Tétouan 2011 Les opératons de gestons des stocks Les coûts assocés à la geston des stocks Le rôle des stocks Modèle de la quantté économque Geston calendare
Plus en détail1.0 Probabilité vs statistique...1. 1.1 Expérience aléatoire et espace échantillonnal...1. 1.2 Événement...2
- robabltés - haptre : Introducton à la théore des probabltés.0 robablté vs statstque.... Expérence aléatore et espace échantllonnal.... Événement.... xomes défnton de probablté..... Quelques théorèmes
Plus en détailMUTUELLE D&O MUTUELLE D&O. Copilote de votre santé. AGECFA-Voyageurs CARCEPT CARCEPT-Prévoyance CRC CRIS CRPB-AFB
MUTUELLE D&O MUTUELLE D&O Copilote de votre saté AGECFA-Voyageurs CARCEPT CARCEPT-Prévoyace CRC CRIS CRPB-AFB DOMISSIMO-Assuraces DOMISSIMO-Services FONGECFA-Trasport IPRIAC MUTUELLE D&O OREPA-Prévoyace
Plus en détailRECHERCHE DE CLIENTS simplifiée
RECHERCHE DE CLIENTS simplifiée Nous ous occupos d accroître votre clietèle avec le compte Avatage d etreprise Pour trouver des cliets potetiels grâce à u simple compte bacaire Vous cherchez des idées
Plus en détailEtude Spéciale SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT?
Etude Spéciale o. 7 Javier 2003 SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT? MARK SCHNEIDER Le CGAP vous ivite à lui faire part de vos commetaires, de vos rapports et de toute demade d evoid autres
Plus en détailExercices de mathématiques
MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris
Plus en détailINTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES. par. Djalil Chafaï
INTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES par Djalil Chafaï Résumé. E cocevat les mathématiques comme u graphe, où chaque sommet est u domaie, la théorie des probabilités et l algèbre liéaire figuret parmi
Plus en détailGénéralités sur les fonctions 1ES
Généraltés sur les fonctons ES GENERALITES SUR LES FNCTINS I. RAPPELS a. Vocabulare Défnton Une foncton est un procédé qu permet d assocer à un nombre x appartenant à un ensemble D un nombre y n note :
Plus en détailUniversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015
Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détail