Module d inertie appelé aussi moment quadratique de la section de la poutre en. y L 28 pouces x. P=1,94 livre

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1 7 ANNEXES DE CALCULS A CALCUL DU «SPINE» D UNE FLECHE ALUMINIUM L : P : d : I : E : A.1 Calcul de la déformaion de la flèche Noaions pour le calcul du «spine» : Longueur enre les deu poins d appuis en mères. Poids appliqué au cenre de la poure en Newons. déformaion de la poure en mères. Module d inerie appelé aussi momen quadraique de la secion de la poure en Module de Young en Pascal (1 pascal = 1 Newon par y : Dérivée seconde de la déformaion y par rappor à. m ) 1. M f : Momen fléchissan dans une secion de la poure en Nm (Newon mère). 4 m. y L 8 pouces d P=1,94 livre Figure A.1 : Disposiif epérimenal de la mesure du «spine» Noaions pour la flèche d e : Diamère eérieur du ube en mère d i : Diamère inérieur du ube en mère e : Epaisseur du ube en mère L f : Longueur de la flèche en mère Le calcul de la déformaion d une poure es géré par l équaion différenielle suivane : EI ymf (A.1) Isolons la poure à une abscisse A une abscisse le momen fléchissan vau : L P Pour Mf (A.) Pour L L Mf L P 1 En résisance des maériau, le module de Young relie la conraine à la déformaion. Nous renvoyons ici le leceur au ouvrages raian de la déformaion isosaique des poures. Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15

2 8 Pour calculer la déformaion de cee poure, il suffi de considérer l abscisse jusqu à la moiié de la porée. Sur ce inervalle, nous allons appliquer l équaion différenielle régissan la déformaion de la poure. L Avec nous aurons : 1 1 P y Mf y EI EI Afin d obenir la dérivée première, inégrons cee équaion par rappor à. Pour y L 1 P d EI y P a1 EI L la dérivée de la déformaion es nulle (angene horizonale) ce qui donne : a 1 PL 16E I Mainenan afin d avoir la déformaion, inégrons la dérivée première : L P L y d 4EI 4 P L y a 4EI 4 Au débu de la poure ( ), la déformaion es nulle ( y ) ce qui donne a. L la déformaion au cenre de la poure a lieu pour. P L L P L L PL y y y (A.) 4EI 4 8 4EI E I Nous ne considérerons pas le signe, qui es ici convenionnel e prendrons comme déformaion au cenre de la flèche : PL 1 y (A.4) 48E I Pour l aluminium le module de Young vau E7 1 Pa Pour le bois 1 E 1 Pa Pour des fibres de carbone 1 E 41 Pa Par rappor à une flèche en bois, une en aluminium sera 7 fois plus rigide e une carbone, 4 fois plus rigide que le bois. 1 Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15

3 9 A. Module d inerie. Nous allons mainenan eprimer le module d inerie pour des cylindres pleins e creu. d d e e d i Module d inerie par rappor à la droie 4 d I 64 Figure A. : Module d inerie d un cylindre Module d inerie par rappor à la droie I d d e i Figure A. : Module d inerie d un cylindre creu Pour une déformaion eprimé en mère le module d inerie es en 4 m. A..1 Calcul pour une flèche aluminium Ce ype de flèche es caracérisé par deu nombres. N 1 : Nombre indiquan le diamère de la flèche en soiane-quarième de pouce N : Nombre donnan l épaisseur en millième de pouce Les informaions son le diamère e l épaisseur :,54 N1,54 N de e di de e 64 1 Calcul direc du module d inerie A parir de ces données conformémen à la Figure A., nous aurons : 4 4 I de di (A.5) 64 Eemple flèche Ici N1 18 e N 14. de 7,14mm di 11 4 I 4, m 6,4mm e,6 mm Nous renvoyons le leceur au ouvrages de résisances des maériau. Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15

4 Calcul du module d inerie à parir des données du consruceur Une aure soluion es d uiliser les nombres N 1 e N pour calculer le module d inerie, dans ce cas, il fau eplicier le diamère inérieur à parir du diamère eérieur e de l épaisseur e i e e e e e I d d d d e 4 8d e4d e d e 16e L épaisseur éan peie devan le diamère de la flèche nous allons négliger les ermes en e e 4 e, nous aurons : 4 4 e i e e I d d 8d e4d e (A.6) Les valeurs son eprimés ici en mères, formulons les à parir de N 1 e N. Par définiion N 1 es en pouces divisé par 64, soi :, N1 de de N1,54 64 Pour N qui quanifie l épaisseur du ube c es en pouces divisé par 1., 54 1 N e e N,54 1 En reporan ces relaion dans (A.6) il vien : 4 4 e i 1 1 I d d a N N a N N avec a 1,71 15 a,4891 (A.7) 1 1 avec I b N N b N N Eemple flèche Pour cee flèche : N1 18 e N b 6,51 16 b 1,1971 (A.8) Un calcul eac du module d inerie par la relaion (A.5) donne 11 4 I 4, m. La relaion simplifiée, (A.8) uilisan les valeurs du consruceur N 1 e N fournie : 11 4 I 4,717 1 m Cee approimaion donne une erreur de l ordre du 1,1% ce qui es suffisan au regard des olérances de fabricaion des flèches. Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15

5 1 A. Calcul du «spine» PL 1 Reprenons la relaion (A.4) donnan la déformaion de la flèche : y 48E I Pour calculer le «spine» d une flèche, il fau eprimer sa déformaion y en pouces e muliplier par mille : 1 P L 1 spine,54 48E I Le poids P, la porée L son définis par le disposiif epérimenal (cf. Figure A.1), le module de Young dépend du maériau. Avec l epression du module d inerie (relaion (A.5)) 1 P L spine avec I,54 48E de di (A.9) I 64 1 P L 64 spine,54 48E 4 4 de di 7,41981 spine d 4 4 e di 7 (A.1) (A.11) Si l on veu eprimer le «spine» à parir des données du consruceur N 1 e N, reprenons la relaion (A.8) I bn1n b N1 N Nous obenons : 1 P L 1 spine,54 48E bn1 N b N1 N spine 9 1 (A.1) 17,1415N1N, 9117N1 N Eemple Flèche Pour une flèche ; N1 18 e N 14 un calcul eac par l inermédiaire de la relaion (A.11) donne un «spine» de 8. L uilisaion direce des valeurs de 1 N e N, avec la relaion (A.1), donne un «spine» de 84, ce qui es correc (erreur de 1, %). Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15

6 B FLAMBEMENT D UNE FLECHE B.1 Définiion e calcul du flambage Lorsque l on soume une poure à deu forces opposées dans l ae de celle-ci, il eise une valeur criique F F pour laquelle la poure s incurve, cf. Figure B.1. c F y y m F L f Figure B.1 :Déformaion d une poure en compression Nous allons, comme dans le A.1 Calcul de la déformaion de la flèche, calculer la déformaion de la poure. Soi y la déformaion de la poure à une abscisse. Le momen fléchissan pour cee abscisse vau : M F y f. (B.1) Reprenons la relaion (A.) EI y M f, nous aurons ici : EI yfy Soi : EI y Fy (B.) Cee équaion différenielle à une soluion sinusoïdale de la forme : n a sin L 1 y Le coefficien n représene ici l ordre de muliplicié de la déformaion, cf. Figure B.. (B.) n=1 n= n= Figure B. : Muliplicié du flambemen Nous prendrons ici n 1. Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15

7 Dérivons l équaion (B.) correspondane à la déformaion. y a 1 cos L L f Dérivons à nouveau, il vien : ya1 sin L f L Reprenons l epression (B.) du momen fléchissan e celle de la déformaion (B.) : EI yfa1sin L f Reporons dans le premier erme l epression de la dérivée seconde (B.4) (B.4) EI a 1 sin Fa 1 sin L EI F Lf f L f L f Cee epression donne la force criique à parir de laquelle une déformaion de flambemen s amorce. Fc EI (B.5) L f B. Flambemen d une flèche aluminium Les deu nombres caracérisiques du diamère e de l épaisseur éan donné par le consruceur, le module d inerie peu êre facilemen calculée cf. A..1 Calcul pour une flèche aluminium page 9. Connaissan le module E de Young E, pour l aluminium e la longueur L de la flèche, le calcul du module d inerie se fera par l inermédiaire des relaions (A.5) ou (A.8). Un calcul direc de la force criique de flambemen à parir des diamères d e e d i donne : E Fc de di ici F 64 c es eprimé en Newons. L f La force ce flambemen criique en kgf es la suivane : de d F i c,4581 (B.6) kgf L f Si l on désire eprimer cee force à parir des nombres N 1 e N nous uilisons, pour eprimer le module d inerie, la relaion (A.8). bn1n b N1 N F c E L f cn Que l on mera sous la forme : 1 N c N1 N 4 F c 4,781 c avec L 5 f c 8,791 Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15

8 4 Pour une force criique eprime en kgf nous aurons : dn 1N d N1 N F c kgf Lf avec d 4,971 d 8, (B.7) B. Flambemen d une flèche carbone Les données d une flèche en carbone se réduisan à sa déformaion donné par son «spine» nous allons calculer la force criique. L : Disance des appuis pour l éablissemen du «spine» L f : Longueur de la flèche Calculons ou d abord le «spine» par l inermédiaire de la relaion (A.9) 1 P L 1P L spine ce qui donne : EI,54 48EI 1, 19spine Connaissan le poids P, Reprenons l epression (B.5) de la force criique de flambage : Fc EI e reporons le produi E I L f 1P L 1 Fc 1, 19spine Lf La charge P de 1,94 livres correspond à P 8,699 N la longueur enre appuis de 8 pouces vau L=,711 m ; nous obenons une relaion de la forme : 4,5161 c avec F c en newons L f spine F c F c, soi L f spine ou, Fc kgf Lf spine avec F c en kgf (B.8) Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15

9 5 C INTRODUCTION AUX CALCULS DE TRAJECTOIRES Pour calculer, la rajecoire d un corps, il fau résoudre l équaion fondamenale de la dynamique qui relie l accéléraion e la masse de celui-ci, au forces qui sollicien le solide en mouvemen. Équaion fondamenale de la dynamique : Force Masse accéléraion (C.1) Ainsi, un corps qui n es soumis à aucune force aura une accéléraion nulle, sa viesse sera consane e sa rajecoire sera reciligne. Dans la phase de propulsion, la corde fournira une force de propulsion décroissane qui donnera à la flèche une accéléraion, à la fin de cee phase, la flèche aura une viesse iniiale V. Dans la phase balisique, la viesse de la flèche diminuera, e celle-ci aura une rajecoire en cloche. Duran cee phase, seuls le poids e les froemens de l air sollicieron la flèche. D CALCUL DE LA PHASE DE PROPULSION DE LA FLECHE D.1 Calcul de la viesse de libéraion de la flèche Reprenons l évoluion de la force de propulsion en foncion de la posiion de la corde duran la décoche. F a y F Avec cee décroissance linéaire de la force de propulsion lorsque la ension de la corde varie enre zéros e A ; l epression F prend la F F Fa A forme suivane : a. (C.) Figure D.1 A L idée de base pour calculer la viesse de la flèche es de considérer que l énergie poenielle de la corde es égale, au peres près, à énergie cinéique de la flèche. Les peres éan principalemen dues au froemens des branches dans l air e au vibraions dissipées dans l arc. Noons W p l énergie poenielle de la ension de la corde ; sachan que l énergie d une force se déplaçan es égale à celle-ci muliplié par son déplacemen ; l énergie poenielle sera l inégrale de la force de la corde sur la longueur d armemen «A». A Wp F d ; En eplician la forme de A Fa Wp Fa d A Wp Fa A F par son epression (C.) nous aurons : A A Wp Fa A Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15

10 6 L énergie duran la propulsion aura l epression simple suivane : A Wp Fa (D.1) Ce résula éai prévisible puisque l inégrale calculée correspond à la surface sous-endue par F qui es ici un riangle recangle de base A e de haueur F a. À la fin de la propulsion, la flèche es animée d une viesse V e l énergie cinéique de celle-ci 1 vau : W mv (D.) Les peres par froemens e vibraions conduisen à ce qu une parie de l énergie poenielle soi ransmise à la flèche ; noons cee efficacié, avec évidemmen 1. Nous aurons : W Wp, les relaions (D.1) e (D.) donnen : A 1 W Fa mv, ce qui donne pour la viesse de la flèche : V FA m a (D.) D. Calcul de la dynamique de propulsion La flèche éan encochée e reposan sur son suppor flèche son poids se répari sur ces deu poin. Par conre dans la direcion o la flèche es soumise à la force de propulsion F. L équaion régissan le mouvemen s écri : m F propulsion (C.) : F m a Fa A soi en eplician la force de y F Masse m en kg Figure D. F F m ma a a Nous pouvons vérifier que pour A, valeur de l armemen, l accéléraion devien nulle, puisque c es le momen de libéraion de la flèche. Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15

11 7 Cee équaion a éé résolue par des echniques d inégraion numériques conformémen au schéma bloc suivan : Figure D. Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15

12 8 E CALCUL DE LA PHASE BALISTIQUE DE LA FLECHE E.1 Inroducion Dans nore cas, la flèche es soumise à deu forces, son poids qui la fera descendre vers le bas, e les froemens de l air qui raleniron sa course. Nous prendrons, pour décrire le mouvemen de la flèche, un repère orhonormé oy dans lequel nous formulerons, dans les direcions vericales e horizonales, l accéléraion, la viesse e le déplacemen, cf. Figure E.1. y Viesse V() Posiion de la corde L'arc au repos Figure E.1 : Repère de calcul de la rajecoire de la flèche Noaions pour le mouvemen de la flèche : : Le déplacemen dans le plan horizonal en foncion du emps. : Dérivée première du déplacemen qui correspond à la viesse dans la direcion horizonale o. y : Déplacemen dans le plan verical en foncion du emps dans la direcion vericale oy. y y : Dérivée seconde du déplacemen qui correspond à l accéléraion dans la direcion horizonale o. : Dérivée première du déplacemen qui correspond à la viesse dans la direcion vericale oy. : Dérivée seconde du déplacemen qui correspond à l accéléraion dans la direcion vericale oy. Noaions relaives à la flèche : Fa : Force de froemen dans l air s opposan au mouvemen de la flèche C : Le coefficien de froemen dans l air de la flèche g : Accéléraion de la pesaneur : Masse spécifique de l air en kg m Pour un ir sous un angle, écrivons l équaion fondamenale de la dynamique (C.1) en la projean sur les aes horizonau e vericau o e oy. Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15

13 9 E. Cas d une rajecoire sans froemen de l air Dans un premier emps nous ne considérerons pas les froemens de l air. Dans ce cas, la viesse de la flèche dans la direcion horizonale sera consane, par conre, le poids de la flèche fera chuer celle-ci dans la direcion vericale. L équilibre de la flèche e les viesses de celle-ci son donnés Figure E. e Figure E.. y Viesse V() y P mg V sin V V cos Figure E. : Équilibre dynamique de la flèche Figure E. : Décomposiion de la viesse La flèche es soumise à son poids P e se rouve animée à un insan de la viesse V. À l insan iniial, après la phase de propulsion, la viesse es V, elle se décompose suivan l ae horizonal e verical en deu composanes : Sur l ae horizonal o ; V cos e sur l ae verical oy V sin. Analysons mainenan l équilibre dynamique de la flèche ; sans froemen, la seule force eérieure es son poids. Écrivons mainenan l équaion fondamenale de la dynamique sur les aes e oy. E..1 Epressions sur o e oy des accéléraions Ae horizonal o Ici, la relaion (C.1) donne : m Dans la direcion horizonale, l accéléraion es nulle, ce qui implique une viesse consane, siuaion logique en absence de froemens de l air. Ae verical oy Dans cee direcion, le poids de la flèche va conduire à une accéléraion égale à celle de la pesaneur soi : my mg y g La flèche chue avec l accéléraion de la pesaneur, ce qui es normal. E.. Epressions sur o e oy des viesses Pour obenir la viesse, il fau inégrer l accéléraion. Ae horizonal o Comme la viesse es l inégrale de l accéléraion, celle-ci sera consane. Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15

14 4 Elle es égale ici à la viesse iniiale de la flèche projeée sur la direcion o à la fin de la phase de propulsion. V V cos Ae verical oy Pour la viesse dans la direcion horizonale, nous aurons : y gd y V sin g y Vy g Le premier erme correspond à la viesse iniiale qui fai moner la flèche, le second es celui de la chue de la flèche due à la pesaneur. A.1.1 Epressions sur o e oy des déplacemens Pour obenir le déplacemen, il fau inégrer la viesse. Ae horizonal o V cos d Ae verical oy y V sin d g d V cos (E.1) 1 y V sin g (E.) E.. Calcul de l angle de ir e du emps balisique Le fai d avoir négligé les froemens de l air donne des epressions algébriques de la rajecoire simples. Les équaions (E.1) e (E.) nous permeen de vérifier que la flèche es enrainée vers le bas avec l accéléraion de la pesaneur à laquelle s oppose la composane vericale du froemen de l air. Reprenons ces équaions yv sin g V cos 1 Nous allons rechercher l angle, qui pour une disance D aein un poin à l horizonale de la visée. Cela revien réécrire les équaions précédenes sous les formes suivanes : D Vcos 1 (E.) 1 Vsin1 g1 (E.4) Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15

15 41 La relaion (E.) perme de calculer 1 Vsin g1 V sin 1 D V cos 1 D g V cos reporons dans (E.4) il vien : sin Sachan que sincossin il vien : sin Ce qui donne pour l angle 1 gd arcsin V Le emps de parcours es alors obenu par (E.) gd cos V gd V D 1 V cos (E.5) (E.6) E. Cas avec prise en compe des froemens sur la flèche Les relaions précédenes donnen un ordre de grandeur, qui peu êre considéré comme valable sur de coures disances de ir, mais ne sauraien êre employées auremen. Il es impéraif pour avoir plus de précision de prendre en compe les froemens de l air sur la flèche. E..1 Calcul du froemen de l air Les lois de l aérodynamique donnen une force de froemen due à la pénéraion dans l air 1 proporionnelle au carré de la viesse. Fa CS V (E.7) E.. Équilibre dynamique de la flèche Avec une force de froemen l équilibre dynamique de la flèche es donné Figure E.4. La décomposiion de la viesse e oy, cf. Figure E.5. Fa V correspond au dérivées des déplacemens sur les aes o y F a Viesse V() P mg Figure E.4 : Équilibre dynamique de la flèche Figure E.5 : Décomposiion de la viesse Duran la rajecoire, l inclinaison de la flèche par rappor à l horizonale varie. La force de froemen peu se décomposer : Sur o : F cos e sur oy F sin a a Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15

16 4 Sachan sin sin e que cos cos, le cosinus sera oujours posiif e le sinus aura le signe de. Dans la direcion horizonale, la force de froemen sera oujours négaive e s opposera au mouvemen. Dans la direcion vericale, lorsque la flèche mone la force de froemen es négaive e lorsque la flèche descend ( ) la force de froemen sera posiive. Nous rerouvons là, une évidence, la force de résisance de l air qui s oppose oujours au mouvemen de la flèche. L angle pourra êre déerminé par les composanes de la viesse : an y Comme précédemmen, eprimons l équaion fondamenale de la dynamique (C.1) dans les direcions horizonales e vericales o e oy. A.1.1 Epressions sur o e oy des accéléraions Ae horizonal o Avec la force due à la résisance de l air m Fa cos 1 Fa cos m Ae verical oy L équaion raduisan l accéléraion vau : my mg F sin y a Fa sin g m (E.8) (E.9) Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15

17 4 A.1. Epressions sur o e oy des viesses Ae horizonal o En inégran cee équaion avec la viesse iniiale V V cos de la viesse horizonale. : 1 Vcos Fa cos d m Ae verical oy 1 y Vsing Fa sin d m 1 y Vsing Fa sin d m Remarque La force de froemen la viesse son e Fa y nous aurons V y nous obenons l epression (E.1) (E.11) conien le carré de la viesse, sachan que les deu composanes de. En oure l infleion de la flèche d un angle se calcule à parir des mêmes composanes. y arcan Les deu équaions différenielles (E.1) e (E.11) son non-linéaires implicie de la forme : g,y e y f,y Pour ce ype d équaion il n eise pas de soluions analyiques e seules des echniques d inégraion numérique permeen d obenir une soluion. A.1. Calcul praique de la rajecoire Comme nous venons de le voir, si l on eprime les froemens de l air à l aide de la relaion (E.7) nous obenons des équaions non linéaires don il n eise pas de soluions analyiques. Pour résoudre ce problème à l aide de echniques d inégraion numériques il suffi d eprimer les deu composanes de l accéléraion Pour un pas de calcul, à un insan k, considérons la Viesse V(k) e l angle k connus. 1 Fa k CS V k Il es alors possible de calculer la force de froemen : Les accéléraions valen alors Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15

18 44 1 k Fa k cos k m y k Fa k sin k g m Ensuie nous les inégrons numériquemen pour obenir les composanes de la viesse 4 k y k k d y k d Il es alors possible de calculer l angle : k le carré de la viesse Vk yk k yk arcan e k Ensuie, inégrons à nouveau les viesses pour obenir les déplacemens k y k kd y kd La procédure de calcul es réiérée à chaque pas d inégraion numérique k. Les résulas donnés dans ce fascicule on éé obenus par cee méhodologie. 4 Ici le symbole d inégraion coninue es impropre, car c es une méhode d inégraion numérique. Influence de la posure de l archer sur la rajecoire de la flèche Jean-Marie RÉTIF mars 15