x. En déduire que f est dérivable sur IR et trouver que f'(x)=

Transcription

1 I) D quoi s'agi-il? A : Eud d'un foncion n logarihm - calcul d'air B : Réciproqu d'un bijcion sa rprésnaion graphiqu - calcul d'air C : Sui d foncions - Sui d foncions définis à l'aid d'un inégral - Convrgnc dun sui réll II) Indicaions commnairs A) f s défini sur par f()=log( ) )a- f s impair : Monrr qu pour ou rél on a : f()f(-)= Calculr f(-)f() n uilisan la propriéé LogaLogb=Log(ab) E vérifir qu f(-)f()=log()=. b- Dérivabilié d f sur On pu rmarqur qu f()=log(u()) avc u()= ( ) S rapplr qu si u s dérivabl sur un inrvall I pour ou d I on a u()>) alors ((Logou) s dérivabl sur I Vérifir qu la foncion u()= ( ) s dérivabl sur IR qu u()> pour ou rél. En déduir qu f s dérivabl sur IR rouvr qu f'()= )a) Ls branchs infinis d (C ) * Vérifir qu : lim f ( ) = * Pour calculr lim f() f() monrr qu lim =, écrir f() = Log Log( 4 ) * En déduir qu (C ) adm un branch paraboliqu d dircion ( o, ), au voisinag d ( ). * Uilisr qu f s impair n déduir la naur d la branch infini au voisinag d (- ). b- Equaion d la angn à (C) n O Vérifir qu f ()=, f()= : =. S rapplr qu : Un équaion d la angn à C n M(,f( )) s Y=f ( )(- )f( ) c- Posiion d D par rappor à (C) La qusion s ramèn à l éud du sign d (f()-). f éan impair, il suffi d'éudir la posiion d (C) par rappor à sur puis n déduir lur posiion rlaiv dans -. Pour d dérminr l sign d f()- On pu posr Ψ()=f()-, éudir ls variaions d la foncion Ψ sur puis n déduir, si possibl, son sign : Vérifir qu Ψ ()=f ()- i

2 En déduir qu Ψ()= s l maimum d Ψ sur Prouvr alors qu C s n dssous d pour > au dssus d pour < s. coupn n O d- (C) D : 3 ) L'air d la pari limié par (C) ls drois rspcivs =, = =a On a f s posiiv sur [,a] donc on pu écrir qu : Calculr A à l aid d un inégraion par pari n posan : u()=f() v'()= Vérifir qu : A (a) = af(a) - 4a B) )a- f adm un foncion réciproqu g = a A (a) f()d. Uilisr qu f s coninu sricmn croissan sur pour déduir qu f réalis un bijcion d sur f( )= Vérifir qu f( )=] lim f,lim f [= b-la courb (C') d g (C'' ) s l smériqu d (C ) par rappor à D avc D : = r r Tracr C dans l mêm l rpèr ( o, i, j), soignr la angn à C n O qui s la smériqu d par rappor à D fair passr C C par O A(α,α) c- Démonsraion d g()= 4 ( - - ) Commn pu-on procédr? On propos rois manièrs différns Dans c cas l prssion g() s donné : il suffi d vérifir qu : pour ou rél on : g(f())= ou bin f(g())= On pu aussi, résoudr dans, l'équaion n : f()= rouvr qu = 4 ( - - ). On pu égalmn, résoudr dans, l'équaion n : g()= rouvr qu = Log( ). Pour démarrr La èr manièr On a g(f())= 4 ( f() - -f() )= 4 ( f() - f(-) ) [rminr ls calculs n vous srvan d Loga =a]

3 La èm manièr Pour ou rél f()= signifi Log( 4 )= = 4 4 =( -) -4 = = conclur 4 La 3 èm manièr : mêm procédé qu la èm manièr )a- Eisnc unicié d un rél a soluion d l équaion g()= dans Rmarqur qu l équaion g()= s équivaln à l équaion f()=. Par sui, la qusion s ramèn à monrr qu il is un rél uniqu α dans IR soluion d l équaion f()=. Commn procédr? Considérr k : a g() - vérifir qu k ()= ( Jusifir l ablau d variaion suivan 3 ) IR Consar qu k( 3 )> donc il n a pas d soluion dans l inrvall ], 3 [ Uilisr qu k s coninu sricmn décroissan sur [ 3, [ qu l imag d l inrvall ] 3, [ conin pour conclur qu il is un rél uniqu α dans ] 3, [ l qu f(α)=α Rmarqur : Il s possibl d procédr aurmn n éudian ls variaions d la foncion p défini sur - IR par p()=g()- On a p ()=g ()- = ( -4) l sign d p () s l sign d 4-4. Posr alors X= facorisr X -4X - Vérifir qu l on a : p ()= ( - 3 )( 3 ) 4 On a p ()= pour =Log(- 3 )< ou =Log( 3 )> Achvr la résoluion n suivan l mêm procédé

4 b- Calcul d A l air du domain limié par C, C siué dans l dmi-plan Hachurr c domain dans l rpèr α Consar qu A=(A (α)-i(α)) où I( α ) = s l'air du riangl OAB avc A(α,) B(α,α). Vérifir qu A ( α ) = αf( α) - 4α = α 4α Puis A ( α ) = α - 4α )U.A (I) Rmarqu : Disingur nr l air la msur d l air : La msur d l air s un rél posiif (sans unié) L air s primé n unié d air Pour l calcul d A, on pu écrir : A = α ( - g())d on rouv A = ( α α - -α )U.A C) ) ϕ s un bijcion d IR sur J g() ϕ ( ) = g' () Ecrir ϕ () = 4 Vérifir qu ϕ s dérivabl sur qu ϕ '() = ( ) Consar qu ϕ s coninu sricmn croissan sur qu : ϕ ( )=] lim ϕ,lim ϕ [=]-,[ En déduir qu ϕ s un bijcion d sur ]-,[. b) Eprssion d h()= j - () Soi ]-,[ h()= ϕ ()= Trminr l calcul vérifir qu : h() = Log Eprssion d h () ' Vérifir qu h () = 3 5 ) [,], n *, S n ()= n n = -=( )

5 a) Démonsraion d Sn()=h()- d n Qull méhod uilisr? Il s agi d prouvr l égalié d du foncions : Il suffi d vérifir qu lurs dérivés son égals qu ls du foncions coïncidn n un poin d [,[ Vérifir qu S n ()= ( ) ( ) n- Par sui, S n () s la somm d n rms d'un sui géomériqu d prmir rm d n raison. Comm, on a S' n () = Calcul d H () : n H ( ) = h( ) d n On pu posr F()= d pour d [,] Jusifir à l aid d un héorèm qu F s la primiiv d la foncion (u : a ) sur [,] ll qu F()= n n En déduir qu F ()= puis H ()= Vérifir qu S n ()=H(). Conclur Aur façon d procédr Sn () = S' n () d car S n s la primiiv d S n sur [,] ll qu S n ()= = n d = d = h' ()d n =[ h() ] d =h()-h()- D où l égalié n n n d d d n b) Limi d la sui (u n ) u n = (n )3 n

6 3 n Rmarqur qu u( n) = Sn ( ) = h( ) d 3 3 Pour calculr la limi d u n, il suffi d calculr la limi d I= Comm, 3 Commn ncadrr I n? Vérifir qu pour ou En déduir qu, pnsr à ncadrr I n n 9 n, on a ( ) n In ( ) 8 3 lim u n = h( ) = Log. n 3 Conclur qu 3 n d