Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015)

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1 Mohiieddie Beayad Cocours de l Iscae Épreuve Commue de Mathématiques (5) Voici l éocé de l épreuve commue de Mathématiques du cocours d etrée à l ISCAE de l aée 5, aisi que l itégralité du corrigé. Les corrigés des épreuves des aées précédetes serot prochaiemet dispoibles das u ouvrage édité par edukaty. Comme à l accoutumée, cette épreuve est u QCM de questios, d ue durée de heures, qui aborde les quatre pricipaux thèmes du programme de Mathématiques des prépas ECT : Aalyse (foctios, suites, itégrales, etc.), Matrices Récurretes, Probabilités Discrètes, et Probabilités Cotiues. Bie qu état u QCM, l équipe pédagogique d edukaty cosidère les épreuves de l ISCAE assez difficiles, compte teu du fait qu elles sot destiées à des élèves de la filière ECT et à des Bac +. Toutefois, comme ous e cessos de le rappeler à os élèves, lors d u cocours, l objectif est pas d avoir ue excellete ote das l absolu, mais uiquemet de faire relativemet mieux que les autres cadidats. Et ous pesos de plus qu u étudiat qui a travaillé cosciecieusemet les deriers mois avat les cocours est e mesure de traiter ue grade partie des questios d ue telle épreuve. Ce corrigé a été etièremet réalisé par Mohiieddie Beayad, resposable à edukaty de l eseigemet des Mathématiques aux élèves préparat le cocours de l Iscae. Naturellemet tout lecteur qui repérerait ue erreur pourra ous cotacter e ous evoyat u à l adresse suivate : Boe chace à vous tous! Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

2 Mohiieddie Beayad Questio. Soit X ue variable aléatoire ( réelle dot la loi de probabilité est défiie par : k ) + k N, P(X k) a où a est u ombre réel strictemet positif. La valeur de a est égale à : a. e b. e c. l d. e. Autre répose Correctio X est ue v.a.r dot la( loi de probabilité est défiie par k ) + k N, p(x k) a où a >. O ous demade la valeur de a? E d autre termes o ous demade pour quelle valeur de a est ce que (p(x k)) k N est bie ue loi de probabilité c est-à-dire k p(x k). Doc il s agit de calculer cette somme e foctio de a. Or k À ce stade otos Doc k ( k ) + a a a a a p(x k) as +at +ar a k k k k k k S T R + + k a k + +a k k(k +) k(k ) +a +a k k k + +a k k(k ) + (k )! (k )k +a k k k k(k ) (k )! (k )k k (k )!k Calculos chacue de ces sommes à part. O sait déjà que R e k Pour pouvoir calculer T, o va la séparer e parties : T k k (k )!k + (k )! k k! +! +! + k + (k )!k +a Comme! existe pas, il fallait aticiper et le sortir de la somme avat de pouvoir simplifier k (k )! k Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

3 Ce qui ous doe : T k k k! + + k k k k k k (k )! Mohiieddie Beayad Maiteat o va faire u chagemet de l idice k pour pouvoir se rameer à ue expressio qu o coait bie de la forme + (k )! Ces deux écritures sot équivaletes et égales, o a juste décaler l idice k de : k k (k )! ( )! + ( )! +! +! + k e Au fial T k (k )! e E suivat le même raisoemet cette fois-ci pour calculer S o trouve S k k(k ) ( ) + ( )!! ++ k (k )! + k k(k ) (k )! k ( )! + ( )! + (4 )! +! +! +! + k e doc S e Au fial k p(x k) as +at +ar ae+ae+ae ae Doc la coditio k p(x k) ae a e Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

4 Mohiieddie Beayad Questio. La durée de vie d u certai type de composats électroiques, exprimée e cetaies heures, est ue variable aléatoire X dot la foctio de répartitio F est défiie sur R par { ( e x ) si x F(x) sio La durée de vie moyee e heures de ce type de composat est égale à : a. b. c. 5 d. e. Autre répose Correctio { ( e x ) si x L éocé ous fourit la foctio de répartitio F X (x) sio Pour calculer l espérace (la durée de vie moyee) de ce composat, o a besoi de la desité de probabilité de X Car : E(X) xf X (x)dx {( ( e Or f X (x) F X(x) x ) ) si x sio Et ( ( e x ) ) doc f X (x) Alors { e x e x si x sio E(X) + + ( xf X (x)dx xf X (x)dx+ ( e x ) ( e x ) e x ( e x ) e x e x xf X (x)dx x(e x e x )dx xe x dx xe x dx [ xe x ] ( [ ]+[ e x ] + ([+]),5 ([ + doc E(X), 5 e cetaies d heures. Soit E(X),5 E(X) 5 h. Questio. xe x dx xe x dx ) ( e x dx [ xe x ] + + ( ] ) + ) [ ]+ [ e x ]) ) e x dx O cosidère le système liéaire suivat : (S) ax+y +z x+ay +z x+y +az Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

5 où a R. Pour quelle(s) valeur(s) de a le système (S) admet ue ifiité de solutios? a. a {,} Mohiieddie Beayad b. a { c. a, } d. a { },, e. Autre répose Correctio ax+y +z (L ) Soit le système (S) : x+ay +z (L ) x+y +az (L ) Appliquos la méthode du pivot pour écheloer le système (S). O effectue les opératios élémetaires suivates pour faire disparaître les x des liges et : ax+y +z L (a )y +(a )z L al L (a )y +(a )z L al L O effectue les opératios élémetaires suivates pour faire disparaître y de la lige. ax+y +z L (a )y +(a )z L [(a )(a ) (a )]z L (a+)l L Das le cas a, le système deviet : x+y +z doc das ce cas le système admet bie ue ifiité de solutio. Das le cas a, o peut doc simplifier le système e divisat par (a ) (Das ce cas o a le droit de diviser par a car a ) Alors le système deviet ax+y +z L (a+)y+z L L a [(a+)(a+) ]z L L a Soit ecore ax+y +z (a+)y +z a(a+)z Das le cas a le système deviet y +z y +z Ce système admet lui aussi ue ifiité de solutios. Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

6 Mohiieddie Beayad Maiteat e suivat le même chemiemet, das le cas où a, o peut simplifier e divisat L par a, ce qui doe : ax+y +z L (a+)y +z L (a+)z L L a Das le cas a le système deviet x+y +z y+z C est-à-dire x+y y z Alors pour a le système (S) admet égalemet ue ifiité de solutios. À ce stade o voit que das les choix proposés, aucue e coviet doc c est autre répose. Questio 4. O cosidère la suite (u ) N défiie par u La suite (u ) N coverge vers p +p a. b. c. d. e. Autre répose Correctio Soit la suite u p +p Pour calculer la limite d ue suite qui a cette tête -là, o passe souvet par le théorème des gedarmes (dit aussi théorème de l ecadremet) O commece doc par ecadrer p O a p doc o se ramèera à partir de là à l expressio de u Soit + +p + d où + +p + i.e + +p + doc p p + p +p p + Remarquos que l idice de la somme c est p, doc + et + rapport à p Ce qui se traduit par + + et + + Doc l ecadremet deviet Simplifier maiteat les termes vers +. O a + ( + p + u + et ) ce sot des costates par pour pouvoir calculer leur limites quad ted Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

7 Mohiieddie Beayad Et Alors + + Et puisque lim + ( ) + u + + lim + + Alors d après le théorème des gedarmes + + lim u + Questio 5. a. tl(+t ) +t dt (l) 4 b. e c. (l ) d. e. Autre répose Correctio Calculos I tl(+t ) +t dt Remarquos que ( l(+t ) ) t doc otre itégrale peut se réécrire comme +t I t +t l(+t )dt ( l(+t ) ) l(+t )dt Cette écriture ous rappelle la dérivée du carré d ue foctio. Rappelos que ( (f(x)) ) f (x)f(x) Appliquos cette propriété à otre cas, o obtiet ( (l(+t )) ) ( l(+t ) ) l(+t ) Aisi otre itégrale se réécrit Questio 6. I ( l(+t ) ) l(+t )dt ( l(+t ) ) l(+t )dt 4 [ (l(+t ) ) ] 4 (l) 4 Soiet a u ombre réel supérieur ou égal à, et U a (u ) N la suite réelle défiie par u a et ( N), u + u +. O désige par E l esemble {a [ ; + [;U a strictemet décroissate}. E a. b. [ ; + [ c. [ ; + [ d. ] ; + [ e. Autre répose Idicatio : O pourra remarquer que : f : [ ; + [ R x x+ est strictemet croissate et commecer par résoudre l iéquatio x+ < x. Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

8 Mohiieddie Beayad Correctio. { u a où a [ ; + [ O a u + u +, N f : [ ; + [ R O cosidère x x+ Du coup otre suite (u ) s exprime e foctio de f comme suit { u a u + f(u ) L exercice demade à chercher l esemble des valeurs a pour lesquelles la suite U a est strictemet décroissate. Preos ces trois exemple pour se fixer les idées : Pour a u a u u + u u + + O voit bie ici que la suite (u ) est strictemet croissate. Pour a u a u + u + Das ce cas (u ) est costate. Pour a 4 u a 4 u 4+ 6,45 u 6+, u 6++,7 O voit ici que (u ) sera strictemet décroissate. Doc pour quelles valeurs de a est ce que la suite u est strictemet décroissate? f : [ ; + [ R Alors comme le fait remarquer l éocé, la foctio x x+ croissate. (O s e red compte rapidemet e dérivat f (x) ( x+) croissate) Et puisque les foctios strictemet croissates coservat l ordre, alors si u > u o aura f(u ) > f(u ) Soit u > u et pareil f(u ) > f(u ) soit u > u est strictemet > doc f est strictemet x+. aisi de suite u + > u O voit doc très bie que pour que la suite soit strictemet décroissate il faut et il suffit que u > u Soit a > a+ Du coup la questio deviet pour quelles valeurs de a est ce que qu o a a > a+? Résolvos doc l iéquatio x+ < x équivalete à l iéquatio x x+ >. O dérive ( x x+ ) x+ Et o dresse le tableau de variatio pour e coclure la mootoie et aussi le sige de la foctiox x+ qu o va oter g(x). Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

9 Mohiieddie Beayad x g (x) x+ + + g(x) x x+ 9 4 Alors g(x) > x x+ > x >. Doc les valeurs souhaitées pour a sot E ] ; + [. Questio 7. Soit f ue foctio réelle de la variable réelle défiie sur u itervalle ouvert coteat u ombre réel x. O suppose que f est dérivable e x, de dérivée f (x). f(x+h) f(x h) lim h h a. f (x) b. f (x) c. f (x) d. e. Autre répose Correctio Par défiitio o sait que f f(x+h) f(x) (x) lim h h Alors Questio 8. f(x+h) f(x h) lim h h lim h f(x) f(x h) h f(x+h) f(x)+f(x) f(x h) lim h h f(x+h) f(x) f(x) f(x h) lim + lim h h h h f (x)+f (x) f (x) Soit P la foctio polyomiale réelle à ue seule variable réelle, de degré, dot la courbe représetative (C) das u repère (O; i, j ) passe par les poits A,B,C, et D de coordoées respectives ( ; 6),(; 6),(; 4), et (4; ). L ordoée du poit E de (C) d abscisse est : a. b. 5 c. 6 d. e. Autre répose Correctio p est ue foctio polyomiale réelle à ue seule variable x, de degré doc p(x) s écrit sous la forme p(x) ax +bx +cx+d avec (a,b,c,d) R. O ous dit que la courbe représetative (C), de p(x) das u repère (O; i, j ) passe par les poits ( ;6);(;6);(; 4) et (4;). Cela se traduit aalytiquemet par p( ) 6 a+b c+d 6 (L ) p() 6 8a+4b+c+d 6 (L ) soit p() 4 7a+9b+c+d 4 (L ) p(4) 64a+6b+4c+d (L 4 ) O se retrouve aisi avec u système de 4 icoues et 4 équatios qu o résout par substitutio : Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

10 a+b c+d 6 L b 6c+9d 474 L L +8L Mohiieddie Beayad 7a+9b+c+d 4 L 64a+6b+4c+d L 4 a+b c+d 6 L b 6c+9d 474 L 6c+d L L +7L L 64a+6b+4c+d L 4 a+b c+d 6 L b 6c+9d 474 L Et efi 6c+d L 5 d L 4 L 4 +64L L 6 L a 4 b 4 O obtiet doc c 4 d Doc p(x) 4x 4x +4x+ Et doc l ordoée du poit d abscisse est l image de par p(x) Soit p() p() 6. Questio 9. La somme de DH est obteue à l aide de pièces de DH, DH, 5 DH, et de DH. Il y a e tout pièces. Il y a autat de pièces de DH que de pièces de DH et de DH réuies. Et il y a ue pièce de DH de plus que de pièces de 5 DH et de DH réuies. O désige par (respectivemet,, 4 ) le ombre de pièces de DH (respectivemet DH, 5 DH, DH) a. 77 b. 78 c. 79 d. 8 e. Autre répose Correctio Écrivos chaque phrase e termes de,, et 4. L éocé ous dit qu il y a pièces e tout doc O ous dit aussi que il y a autat de pièces de DH que de pièces de DH et DH réuies doc + 4. Et il y a ue pièce de DH de plus que de pièces de 5 DH et DH réuies doc La somme des pièces est DH O se retrouve avec le système suivat L L + 4 L L 4 Soit L L 4 L 4 L 4 Et o ous demade de calculer ? Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

11 Mohiieddie Beayad Résolvos doc ce système par substitutio et exprimos tout le mode e foctio de L L + L L L 4 4 L 4 L ous doe ( ) O ijecte cette valeur de das L ce qui doe + +( )+ 4 Soit Or 4 doc ça doe ( ) O ijecte cette valeur de ( das l équatio L 4 : 4 Ce qui doe ( ) et ( ) ) ( ) 4 Soit 4 + ( ) ( O ijecte efi ces relatios das L ce qui doe ) ( + +5( )+ + ) Soit Fialemet : Questio. Soiet x et y deux ombres réels quelcoques et (u ) N,(v ) N et (w ) N respectivemet défiies par (u,v,w ) (x,y, x) et 4u v w ( N) 4v + 4u +v +w ; lim (u +v w ) + 4w + 4u v w a. 4 (x+y) b. x+y c. (x+y) d. 4(x+y) e. Autre répose Idicatio : O pourra cosidérer les matrices A 4 et P, puis 4 calculer P P 4P et P AP. Correctio Le système 4u + v w N, 4v + 4u +v +w 4w + 4u v w s écrit sous forme matricielle de sorte 4 u + v + 4 u v w + 4 w Soit 4 u + v + A u v w + w Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

12 Mohiieddie Beayad De la même faço o peut doc l étedre pour tous les rags de (u ),(v ) et (w ) comme ceci 4 u v A u v w w 4 u v A u v w w Alors au fial 4 u A u ( ) v w Qu o peut aussi écrire v w u v w.. 4 u A u v w 4 A u v w 4 A v w x y ( ) x Gardos ceci de côté pour le momet, et allos exploiter l idicatio de l éocé : P Le calcul doe P et P Il viet que P P 4P E factorisat à gauche par P o obtiet P P 4P ( 4I P(P P 4I) 4I Soit ecore P ) 4 (P P 4I) I 4 4 4I 4 Or o sait que PP I doc P 4 (P P 4I) Le calcul doe P et P AP 4 4 Notos doc D cette matrice diagoale alors P AP D E multipliat à gauche par P o trouve PP AP PD Soit AP PD Et e multipliat à droite par P o trouve APP PDP Soit A PDP Et doc pour calculer les puissaces ième de A o trouve : A (PDP ) A (PDP )(PDP ) (PDP ) } {{ } fois A PDP } {{ P } DP } {{ P } DP...P } {{ P } DP I I I A PD P Et o sait que la puissace ième d ue matrice diagoale s obtiet e élevat ses élémets diagoaux à la puissace doc D 4 4 ( 4) 4 Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

13 Mohiieddie Beayad Aisi A ( 4) 4 Le calcul doe A ( 4) +4 4 ( 4) ( 4) ( 4) + ( 4) ( 4) + Reveos maiteat ijecter ça das la relatio ( ) qu o a abadoée tout à l heure. Alors u v 4 w ( 4) +4 4 ( 4) ( 4) ( 4) + x y ( 4) ( 4) + x Le calcul doe u [ ( ( ) ) ( ( ) )] x(+( ) )+y x ( ) v [ ( ( ) ) ( ( ) )] x( ( ) +)+y + x ( ) + w [ ( ( ) ) ( ( ) )] x(( ) )+y + x ( ) + Soit après simplificatio u [ ( ( ) ) ( ( ) )] x + +y v [ ( ( ) ) ( ( ) )] x +y + w [ ( ( ) ) ( ( ) )] x +y + ( ) Or lim. Alors le calcul doe + lim u x+y + lim v x+y + lim w x y + Au fial la limite recherchée est lim (u + v w ) lim u + lim v lim w x+y + x+y ( ) x y (x+y). Questio. Ue sauterelle se déplace toutes les miutes d u sommet à l autre de sa cage qui a la forme d u tétraèdre dot les quatre sommets sot otés A,B,C et D. Elle reste exactemet ue miute au même edroit. Quad elle est au sommet A, elle a autat de chace d aller sur les trois autres sommets. Quad elle est au sommet B, elle e se red que sur les sommets A et D, de faço équiprobable. Quad elle est au sommet C, elle e se red que sur les sommets A et B, et elle choisit A avec ue probabilité égale à. Quad elle est au sommet D, elle choisit A,B ou C avec les probabilités respectives, 4 et 4. À l istat où o met la sauterelle das sa cage, celle-ci se trouve e A. O ote A (respectivemet B,C et D ) l évéemet la sauterelle est au sommet A (respectivemet B,C et D) au bout de miutes O ote a (respectivemet b,c et d ) la probabilité de l évéemet A (respectivemet B,C et D ). O cosidère le vecteur-lige de R 4 : X (a ;b ;c ;d ). O a alors : X + X M où M est la matrice carrée d ordre 4 suivate : Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

14 Mohiieddie Beayad a. b. c. 4 4 d. e. Autre répose Correctio O dessie l arbre de probabilité suivat les cosiges de l éocé A A + C + D + B A + D + C A + B + Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

15 Mohiieddie Beayad D 4 4 A + B + C + Alors e somme o obtiet grâce à la formule des probabilités totales a + p(a + ) p(b )+ p(c )+ p(d ) b + p(b + ) p(a )+ p(c )+ 4 p(d ) c + p(c + ) p(a )+ 4 p(d ) d + p(d + ) p(a )+ p(b ) Au fial il s e suit a + a + b + c + d b + a +b + c + 4 d c + a +b +c + 4 d d + a + b +c +d Qui s écrit sous forme matricielle comme X + X 4 4 Questio. Soit p ] ; [. O ote q p. Soit u etier aturel o ul. O cosidère joueurs qui viset ue cible. Chaque joueur effectue deux tirs. À chaque tir, chaque joueur a la probabilité p d atteidre la cible. Les tirs sot idépedats les us des autres. Soit W la variable aléatoire égale au ombre de joueurs ayat atteit la cible au mois ue fois à l issue des deux tirs. L écart-type de W est alors égal à : a. pq b. q ( q ) c. pq( pq) d. ( p )( q) e. Autre répose Correctio W est le ombre de joueurs, parmi, atteigat la cible au mois ue fois. Comme les tirs sot idépedats les us des autres et que chaque joueur a la même probabilité d atteidre la cible, alors il s agit d ue v.a.r de loi Biomiale. Quels sot les paramètres de otre W B(?;?) Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

16 Mohiieddie Beayad Comme il y a joueurs qui tiret doc c est le ombre de répétitio c est le premier paramètre de W B(;?). Il reste à détermier la probabilité du succès, das otre cas le succès est S : Atteidre la cible au mois ue fois Les évéemets avec la formulatio au mois se calculet souvet plus facilemet e passat par l évéemet cotraire. S : Atteidre la cible, au mois ue fois S : Ne pas atteidre la cible i au premier essai i au ème essai doc p(s) ( p) q d où p(s) q la probabilité de succès de otre loi biomiale. Doc W B(; q ) Var(W) q ( q ). Alors l écart-type σ(w) q ( q ) Questio. Soit f la foctio défiie sur R par f(x) x l(+x ) La courbe représetative (C) de f admet deux poits d iflexio d abscisses respectives : a. et b. et c. l et l d. l et +l e. Autre répose Correctio Les poits d iflexios sot les poits dot les abscisses aulet la dérivée secode de la foctio e questio. Il s agit doc das cet exercice de résoudre l équatio f (x). Soit (x l(x)) ( Soit x ) +x Le calcul de dérivée doe doc (+x ) x(x) (+x ) Soit +x 4x (+x ) Or (+x ) > Alors cela équivaut à (+x 4x ) do x i.e (x ) d où (x )(x+) doc les abscisses recherchées sot et. Questio 4. O cosidère pour tout etier aturel la suite de terme gééral u Alors : a. (u ) est ue suite géométrique de raiso e ( ). + b. (u ) est ue suite géométrique de raiso e c. (u ) est ue suite arithmétique de raiso e d. (u ) est ue suite arithmétique de raiso e e. Autre répose Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

17 Mohiieddie Beayad Correctio ( ) Soit la suite u + Das ce type d exercice, il est souvet itéressat de calculer les premiers termes de la suite pour se faire ue idée. O a ( ) u (par covetio) + ( ) ( ) u + ( ) ( ) 4 u ( ) ( ) 9 u O peut doc déjà e coclure que la suite (u ) est i arithmétique, i géométrique car u u u u et u u u u doc c est autre répose. Questio 5. Soit X la variable aléatoire réelle dot la foctio de répartitio F est défiie sur R par : { x, F(x) L espérace de X est égale à : x >, F(x) e x a. π b. π 4 c. π d. π e. Autre répose Correctio O a F X (x) { si x e x si x > Pour calculer l espérace E(X) probabilité de X. Or f X (x) (F X (x)) doc f X (x) d où E(X) xf X (x)dx il ous faut doc au préalable calculer la desité de { si x xe x si x > + + O procède à l itégratio par parties suivate Ce qui doe E(X) [ xe x] + + xf X (x)dx xf X (x)dx+ x(xe x )dx x e x dx xf X (x)dx u (x) xe x u(x) e x v(x) x v (x) e x dx Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

18 Mohiieddie Beayad i.e E(X) + Questio 6. π π O cosidère u type de composats électroiques dot la durée de vie X, exprimée e heures, est ue variable aléatoire de desité f telle que : C f(t) t si t sio La valeur du réel C est : a. b. 6 c. d. e. Autre répose Correctio C O a f X (t) t si t sio La coditio que doit vérifier la desité de probabilité est : Soit Doc + f X (t)dt+ [ t ] + C t dt f X (t)dt Alors C [ Ce qui doe C + ] doc C Il viet C. f X (t)dt Questio 7. Soit (u ) N la suite umérique défiie par : u O a alors lim + u a. b. k +k. c. + d. e. Autre répose Correctio Soit (u ) la suite défiie par u k +k l exercice demade à calculer la limite de la suite (u ) e +. Das ce type d exercice où la suite s exprime comme ue somme, il est souvet immiet de faire appel au théorème des gedarmes (appelé aussi théorème de l ecadremet). O ecadre doc l idice k qui va de à. O a k Et o se ramèera à l expressio de la suite Ça doe + +k + Soit + +k + Soit + +k + doc + k k +k k + Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

19 Mohiieddie Beayad Et comme k + et + + et e dépedet pas de l idice k, doc + k + + Alors o obtiet + u + Soit + u + Factorisos maiteat par pour pouvoir calculer la limite e + O a lim + + lim + ( ) + lim + + Pareillemet o a lim + + lim + ( ) + lim + + Au fial grâce au théorème des gedarmes o coclut que lim u. + Questio 8. O ote l le logarithme épérie. Soit f la foctio défiie sur R par : f(x) { e x si l x l sio Soit X ue variable aléatoire réelle admettat f comme desité. L espérace mathématique de X est égale à : a. l b. 4 c. l d. l e. Autre répose Correctio { + e x si l x l O sait que E(X) xf X (x)dx où f X (x) sio Réécrivos f X (x) de faço à elever la valeur absolue. e x si x l Ça doe f X (x) e x si l x sio Aisi l espérace s exprime grâce à la relatio de Chasles de la sorte. E(X) l + xf X (x)dx xf X (x)dx+ l xe x dx+ l l xf X (x)dx+ xe x dx+ l xf X (x)dx+ l xf X (x)dx Pour chacue de ces deux itégrales, o va procéder à ue simple itégratio par parties pour obteir à la fi. l E(X) xe x dx+ xe x dx l } { } l {[xe x ] l e x dx + [ xe x ] l + e x dx l { [+le l ] } { [ le [e x ] l + l ] + [ e x] } l {[ ] l e l [ e l]} {[ + l ]+ [ e l e l + ]} ( ) ( l + el e l + l ) + el l + l + Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

20 Fialemet E(X) Remarquos : E(X) l l xe x dx Mohiieddie Beayad O aurait pu s e passer des calculs e remarquat que la foctio x xe x est impaire, doc so itégrale de l à l (bores symétriques) est ulle. Questio 9. Soucieux de mieux coaître sa clietèle, le gérat d u magasi situé das u cetre commercial à Casablaca a réalisé ue étude portat sur le mode de paiemet e foctio du motat des achats. Elle a permis d établir les probabilités suivates : P((X ) (Y )),4 P((X ) (Y )), P((X ) (Y )), P((X ) (Y )), où X représete la variable aléatoire preat la valeur si le motat des achats est iférieur ou égal à 5 dirhams, preat la valeur sio, et Y la variable preat la valeur si la somme est réglée par carte bacaire, preat la valeur sio. La covariace du couple (X,Y) est égale à : a., b.,5 c., d., e. Autre répose Correctio O a la loi du couple (X;Y) Y X,4,,, Alors E(XY), Détermier les lois respectives de X et de Y O sait d après la formule des probabilités totales que P(X ) P(X Y )+P(X Y ),7 P(X ) P(X Y )+P(X Y ), De même P(Y ) P(Y X )+P(Y X ),4+,,6 P(Y ) P(Y X )+P(Y X ),+,,4 Doc Loi de X X P(X),7, Loi de Y Y P(Y),6,4 Alors E(X), et E(Y),4 Fialemet Cov(X;Y) E(XY) E(X)E(Y),. Questio. Ue persoe evoie chaque jour u courrier électroique par l itermédiaire de deux serveurs : le serveur S ou le serveur S. O costate que le serveur S est choisi das 7% des cas et doc que le serveur S est choisi das % des cas. Les choix des serveurs sot supposés idépedats les us des autres. La probabilité d ue erreur de trasmissio avec le serveur S est de,; alors que la probabilité d erreur de trasmissio avec le serveur S est de,5. Si le courrier a subi ue erreur de trasmissio, la probabilité pour que le serveur utilisé soit le serveur S est égale à : Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

21 Mohiieddie Beayad a. b. c. 9 d. 9 e. Autre répose Correctio Commeços par traduire les iformatios das l éocé e termes de probabilités. O a doc P(S ) 7% 7 P(S ) % P(E/S ), P(E/S ),5 5 Esuite il faut bie compredre ce que l exercice ous demade. E l occurrece ici o ous dit : sachat que le courrier a subit ue erreur, quelle est la probabilité qu o ait utilisé S? Doc o ous demade P(S /E). Grâce à la formule de Bayes o a P(S /E) P(E/S )P(S ) P(E) Et avec la formule des probabilités totales o a P(E) P(E/S )P(S )+P(E/S )P(S ) d où P(S /E) P(E/S )P(S ) P(E) Autre répose Résidece Artois 4 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablaca /

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