Cahier technique n 202

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1 Collecion Technique... Cahier echnique n 22 Les singulariés de l harmonique 3 J. Schonek

2 Les Cahiers Techniques consiuen une collecion d une cenaine de ires édiés à l inenion des ingénieurs e echniciens qui recherchen une informaion plus approfondie, complémenaire à celle des guides, caalogues e noices echniques. Les Cahiers Techniques apporen des connaissances sur les nouvelles echniques e echnologies élecroechniques e élecroniques. ls permeen égalemen de mieux comprendre les phénomènes renconrés dans les insallaions, les sysèmes e les équipemens. Chaque Cahier Technique raie en profondeur un hème précis dans les domaines des réseaux élecriques, proecions, conrôle-commande e des auomaismes indusriels. Les derniers ouvrages parus peuven êre éléchargés sur nerne à parir du sie Schneider Elecric. Code : hp:// Rubrique : Le rendez-vous des expers Pour obenir un Cahier Technique ou la lise des ires disponibles conacez vore agen Schneider Elecric. La collecion des Cahiers Techniques s insère dans la «Collecion Technique» de Schneider Elecric. verissemen L'aueur dégage oue responsabilié consécuive à l'uilisaion incorrece des informaions e schémas reproduis dans le présen ouvrage, e ne saurai êre enu responsable ni d'évenuelles erreurs ou omissions, ni de conséquences liées à la mise en œuvre des informaions e schémas conenus dans ce ouvrage. La reproducion de ou ou parie d un Cahier Technique es auorisée après accord de la Direcion Scienifique e Technique, avec la menion obligaoire : «Exrai du Cahier Technique Schneider Elecric n (à préciser)».

3 n 22 Les singulariés de l harmonique 3 Jacques SCHONEK ngénieur ENSEEHT e Doceur-ngénieur de l'universié de Toulouse, il a paricipé de 198 à 1995 à la concepion des variaeurs de viesse de la marque Telemecanique. l a éé ensuie géran de l'acivié Filrage d'harmoniques. l es acuellemen responsable pplicaions e Réseaux Elecroechniques au sein du Bureau des Eudes vancé de la Division Basse Tension de Puissance de Schneider Elecric. CT 22(e) édiion sepembre 2

4 Cahier Technique Schneider Elecric n 22 / p.2

5 Les singulariés de l harmonique 3 Dans les insallaions où le neure es disribué, les charges non-linéaires peuven enraîner dans ce conduceur des surcharges imporanes par la présence de l harmonique de rang 3. Le phénomène e les remèdes son expliqués dans ce Cahier Technique. Sommaire 1 Origine des harmoniques 1.1 Couran absorbé par les charges non linéaires p Charges non linéaires symériques p Charges riphasées p Charges monophasées p. 6 2 Surcharge du conduceur de neure 2.1 Harmoniques de rang 3 e muliple de 3 p Calcul de la valeur efficace du couran neure p Surcharge du conduceur de neure en foncion de la disorsion du couran p. 9 3 L harmonique 3 dans les ransformaeurs 3.1 Transformaeur riangle éoile p Transformaeur à secondaire zigzag p Les remèdes 4.1 dapaions de l'insallaion p Transformaeur riangle éoile p Transformaeur à secondaire en zigzag p Réacance à couplage zigzag p Filre de rang 3 dans le neure p Disposiifs de filrage p. 14 nnexe : calcul des coefficiens de Fourier pour un couran recangulaire p. 15 Bibliographie p. 16 Cahier Technique Schneider Elecric n 22 / p.3

6 1 Origine des harmoniques 1.1 Couran absorbé par les charges non linéaires Les courans harmoniques son générés par les charges non-linéaires, c es-à-dire, absorban un couran n ayan pas la même forme que la ension qui les alimene. Les charges de ce ype les plus couranes son celles à base de circuis redresseurs. Une charge non-linéaire quelconque, comme celle représenée sur la figure 1, absorbe un couran qui conien ous les rangs d harmoniques, pairs e impairs. L allure du couran absorbé, don les deux demi-alernances son différenes, ainsi que son specre harmonique son représenés sur les figures 2 e 3. Couran ligne ,6 s,8 s Fig. 2 : allure du couran absorbé. Fig. 1 : exemple de charge non linéaire quelconque (non symérique) % Rang Fig. 3 : specre du couran absorbé. 1.2 Charges non linéaires symériques La plupar des charges connecées au réseau son ouefois symériques, c es-à-dire que les demi-alernances de couran son égales e opposées. Ceci peu s exprimer mahémaiquemen par la relaion : f ω + π = f ω ( ) ( ) Dans ce cas, les harmoniques de rangs pairs son nuls. En effe, en supposan que le couran compore un harmonique de rang 2, il es possible d'écrire par exemple : ω sin ω + sin 2ω ( ) = 1 2 On a donc : ( ω + π) = sin ( ω + π) + sin 2( ω + π) 1 2 ( ω + π) = 1 sin ω + 2 sin2 ω Ceci ne peu êre égal à ( ω ) que si 2 (ampliude de l'harmonique 2) es nulle. Le raisonnemen peu êre éendu à ous les harmoniques de rang pair. Cahier Technique Schneider Elecric n 22 / p.4

7 1.3 Charges riphasées Considérons une charge riphasée non linéaire, équilibrée, symérique, sans raccordemen au neure, comme représenée sur la figure 4. Supposons que les courans absorbés par cee charge coniennen de l'harmonique 3. Les courans harmoniques de rang 3 de chacune des phases peuven s'écrire de la manière suivane : i r3 = 3 sin 3ω 2π i s3 = 3 sin 3 ω = sin ( 3 2 ) = i r3 3 3 ω π 4π i 3 = 3 sin 3 ω = sin ( 3 4 ) = i r3 3 3 ω π ir3 = i s3 = i 3 Les courans harmoniques de rang 3 des rois phases son donc égaux. Or, en l'absence de conduceur de neure, ir + is + i =. La somme des courans harmoniques de rang 3 en pariculier doi êre nulle, ce qui n'es possible que si chacune des composanes es nulle. Les charges riphasées, équilibrées, symériques, ne génèren donc pas d'harmonique de rang 3. Le raisonnemen peu s'éendre à ous les harmoniques de rangs muliples de 3. Les courans harmoniques non nuls son donc de rang 5, 7, 11, 13,, c'es-à-dire de la forme 6k ± 1. La démonsraion peu êre faie pour ou sysème comprenan des redresseurs commandés ou non. l es ainsi démonré que le rang des harmoniques s écri h = (nxp) ± 1. Où n es un nombre enier (1, 2, 3, 4, 5, ) e p le nombre de redresseurs composan le disposiif. Par exemple un circui ne comprenan qu un seul redresseur (redressemen mono alernance) a des harmoniques de rang n ± 1 e présene ous les harmoniques possibles en paran de qui es le couran coninu. Pour un pon composé de 4 diodes, le premier harmonique es de rang 3, voir démonsraion au paragraphe 1.2. ir is Fig. 4 : charge riphasée. i Ce résula es illusré par le schéma consiué d'un redresseur à diodes avec filrage capaciif (cf. fig. 5 ), don le couran absorbé es représené par la courbe de la figure 6 e son specre sur la figure 7. Fig. 5 : pon redresseur riphasé avec filrage capaciif Fig. 6 : allure du couran absorbé par le schéma de la figure précédene % Tension réseau (V) Couran ligne (),6 s,8 s Rang Fig. 7 : specre harmonique du couran absorbé par le circui de la figure 5. Cahier Technique Schneider Elecric n 22 / p.5

8 Ce schéma es courammen uilisé pour les variaeurs de viesse, les alimenaions sans inerrupion e les sysèmes de chauffage par inducion. Le leceur rouvera en annexe le calcul des coefficiens de Fourier pour la déerminaion des ampliudes des harmoniques du couran absorbé par un redresseur riphasé idéal. 1.4 Charges monophasées Rappelons que les charges symériques ne génèren pas d'harmoniques de rang pair (cf. paragraphe 1.2). Le specre éan en général décroissan, l'harmonique de rang 3 es donc l'harmonique prépondéran pour les charges monophasées. insi, pour les charges rès répandues de ype redresseur monophasé à diodes avec filrage capaciif (cf. fig. 8 ), l'harmonique de rang 3 peu aeindre 8 % du fondamenal. La forme de l'onde du couran qu'elles absorben e son specre harmonique son représenés par les figures 9 e 1. De nombreux appareils, dans ous les domaines d'aciviés, comporen un circui de ce ype (cf. fig. 11 ). Ce son les principaux généraeurs d'harmonique de rang 3. Specre % Rang Fig. 8 : redresseur monophasé avec filrage capaciif. Fig. 1 : specre harmonique du couran absorbé par le schéma de la figure 8. Tension réseau Couran ligne () ,6 s,8 s Domaine d'acivié Domesique Teriaire ndusriel ppareils TV, hi-fi, vidéo, fours à micro-ondes, Micro-ordinaeurs, imprimanes, phoocopieuses, élécopieurs, limenaions à découpage, variaeurs de viesse Fig. 9 : allure du couran absorbé par le schéma de la figure précédene. Fig. 11 : quelques exemples d'appareils comporan un redresseur monophasé avec filrage capaciif. Cahier Technique Schneider Elecric n 22 / p.6

9 2 Surcharge du conduceur de neure 2.1 Harmoniques de rang 3 e muliple de 3 Considérons un sysème simplifié consiué d'une source riphasée équilibrée e de rois charges monophasées ideniques, connecées enre phases e neure (cf. fig. 12 ). ir is Charge Charge Dans ce exemple simplifié, les courans harmoniques de rang 3 des 3 phases son donc ideniques. Le couran dans le neure éan égal à la somme des courans des phases, la composane de rang 3 du couran neure es égal à la somme des composanes de rang 3, soi : in 3 = 3ir 3 D'une manière générale, pour des charges équilibrées, les courans harmoniques de rang muliple de 3 son en phase e s'addiionnen arihméiquemen dans le conduceur de neure, alors que les composanes fondamenales e les harmoniques de rang non muliple de 3 s'annulen. Les courans harmoniques 3 son donc des courans homopolaires, circulan en phase dans les rois phases. i in Charge Raisonnemen par représenaion graphique c Superposiion des harmoniques de rang 3 Son représenés sur la figure 13 rois courans sinusoïdaux riphasés à 5 Hz, ainsi que rois courans sinusoïdaux à 15 Hz, chacun en phase avec l'un des courans à 5 Hz. Ces rois courans son égaux e donc superposés. Fig. 12 : charges monophasées. Si les charges son linéaires, les courans consiuen un sysème riphasé équilibré. La somme de courans de phase es donc nulle, ainsi que le couran neure. in = = i i Dans le cas de charges non linéaires, les courans de phases ne son pas sinusoïdaux e coniennen donc des harmoniques, en pariculier de rang muliple de 3. Les courans des rois phases éan égaux, les courans harmoniques de rang 3 par exemple on la même ampliude e peuven s'écrire sous la forme : i sin 3 ω 2π i s3 = 3 sin 3 ω = sin ( 3 2 ) = i 3 3 ω π 4π i 3 = 3 sin 3 ω = sin ( 3 4 ) = i 3 3 ω π r3 = 3 ( ) r3 r3 Fig. 13 : courans riphasés à 5 Hz e 15 Hz absorbés par des charges linéaires. 5Hz 15Hz s,2 s,4 s Cahier Technique Schneider Elecric n 22 / p.7

10 c llure du couran dans le neure La figure 14 représene les courans circulan dans les phases de rois charges monophasées non linéaires ideniques connecées enre phases e neure, ainsi que le couran résulan dans le conduceur de neure. Les specres de ces courans son représenés sur les figures 15 e 16. noer que le couran neure ne conien que des composanes de rang impair muliples de 3 (3, 9, 15,...), don les ampliudes son rois fois supérieures à celles des courans de phase r Couran phase -4 4,17 s,18 s,19 s s Rang ,17 s,18 s,19 s,17 s,18 s,19 s n Fig. 15 : specre du couran phase alimenan des charges monophasées non linéaires Couran neure ,17 s,18 s,19 s Fig. 14 : courans phases e neure alimenan des charges monophasées non linéaires Rang Fig. 16 : specre du couran neure absorbé par des charges monophasées non linéaires. 2.2 Calcul de la valeur efficace du couran neure Supposons, comme sur la figure 14, que les ondes de couran des 3 phases ne se chevauchen pas. Sur une période T du fondamenal, le couran d'une phase es consiué d'une onde posiive e d'une onde négaive séparées d'un inervalle où le couran es nul. La valeur efficace du couran ligne peu êre calculée par la formule : L 1 T = T i 2 d La valeur efficace du couran neure peu êre calculée sur un inervalle égal à T/3. Cahier Technique Schneider Elecric n 22 / p.8

11 Sur ce inervalle, le couran neure es égalemen consiué d'une onde posiive e d'une onde négaive, ideniques à celles du couran phase. La valeur efficace du couran neure peu donc êre calculée de la manière suivane : N 1 = T / T / 3 3 in 2 d La soluion communémen adopée consise à uiliser un conduceur de neure de secion double de celle des conduceurs de phase. Les appareils de proecion e commande (disjonceur, inerrupeurs, conaceurs, ) doiven êre dimensionnés en foncion du couran dans le neure. N 1 = 3 T T / 3 i n 2 d 2 1 r s N 1 T = 3 = T i 2 d 3 L -1 Le couran dans le conduceur de neure a donc ici une valeur efficace 3 fois supérieure à celle du couran dans une phase. -2,17 s,18 s,19 s Fig. 17 : courans dans les 3 phases. Lorsque les ondes de couran des rois phases se chevauchen, comme dans l'exemple de la figure 17, la valeur efficace du couran dans le 2 n neure es inférieure à 3 fois la valeur efficace du couran dans une phase (cf. fig. 18 ). Dans les insallaions où l'on rouve un grand nombre de charges non linéaires, comme des alimenaions à découpage de maériel informaique, le couran dans le neure peu donc dépasser le couran dans chaque phase. Cee siuaion, quoique peu fréquene, nécessie un conduceur de neure renforcé ,17 s,18 s,19 s Fig. 18 : couran dans le neure. 2.3 Surcharge du conduceur de neure en foncion de la disorsion de couran Charges équilibrées En considéran que l harmonique 3 es l harmonique prépondéran, le aux de disorsion es rès voisin du aux d harmonique 3. Soi : THD = i 3 (%) Par ailleurs, comme indiqué en 2.1, le couran dans le neure N es rès voisin de 3 3 Soi : N 3 3 () Que l on peu exprimer sous la forme : N 3 i THD 1 En uilisan la formule générale : 1 = L THD On obien : 1 3 L THD THD N L 3 THD THD Cee formule approchée es valable an que le résula es inférieur à 3. Le aux de charge du couran neure varie donc en foncion du aux de disorsion suivan la courbe suivane (cf. fig. 19 ) N / L (charges équilibrées) 2 1,8 1,6 1,4 1,2,8,6,4,2 THD (%) Fig. 19 : aux de charge du couran neure (charges équilibrées. Cahier Technique Schneider Elecric n 22 / p.9

12 Charges déséquilibrées : Considérons le sysème simplifié consiué d une source riphasée équilibrée e de deux charges monophasées, connecées enre phases e neure (cf. fig. 2 ). Le couran efficace dans le neure es donc égal à : + (2 ) N ir Charge En uilisan les mêmes formules que précèdemmen, il vien : + (2 THD ) N is Charge N THD i = N L THD THD in Fig. 2 : charges déséquilibrées. On peu démonrer, de la même manière qu en 2.2, que la valeur maximale du couran neure ne peu dépasser 2 fois le couran dans chaque phase. En ne considéran que le couran fondamenal e le couran harmonique 3 de chacune des charges, le couran dans le neure es la somme d un couran fondamenal e d un couran harmonique 3 : c le couran fondamenal es la somme vecorielle des courans fondamenaux dans les 2 charges. Ces courans éan égaux e déphasés de 12, le couran résulan es égal au couran fondamenal de chacune des charges. c le couran harmonique 3 es la somme des courans harmoniques 3 (ceux-ci éan en phase). N L 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1, THD THD Cee formule approchée es valable an que le résula es inférieur à 2. Le aux de charge du couran neure varie donc en foncion du aux de disorsion suivan la courbe suivane (cf fig. 21 ). N / L (charges déséquilibrées), THD (%) Fig. 21 : aux de charge du couran neure (charges déséquilibrées). Cahier Technique Schneider Elecric n 22 / p.1

13 3 L harmonique 3 dans les ransformaeurs 3.1 Transformaeur riangle éoile Considérons un ransformaeur riangle éoile, alimenan des charges non linéaires, ideniques, connecées enre phases e neure (cf. fig. 22 ). '3 Primaire '3 '3 Secondaire Fig. 22 : courans harmoniques de rang 3 dans un ransformaeur riangle - éoile. Chacune de ces charges génère un couran harmonique de rang 3. Rappelons que ces courans (3), harmoniques de rang 3, son égaux. Les courans harmoniques de rang 3 dans les enroulemens primaires du ransformaeur son donc égalemen ideniques enre eux, e noés '3. En chaque nœud du riangle du primaire, les courans harmoniques de rang 3 se compensen, e le couran dans la ligne ne conien donc pas d'harmonique de rang 3. Les courans harmoniques de rang 3 ne son donc pas ransmis au réseau. Par conre, ces courans circulen dans les enroulemens primaires du ransformaeur e provoquen donc un échauffemen supplémenaire. Par ailleurs, la circulaion de ces courans es responsable d'une disorsion de la ension au primaire, en raison des impédances des enroulemens du ransformaeur. 3.2 Transformaeur à secondaire zigzag Considérons un ransformaeur à secondaire zigzag, alimenan des charges non linéaires, ideniques, connecées enre phases e neure (cf. fig. 23 ). Chacune de ces charges génère un couran harmonique de rang 3 (représené 3 dans le schéma). Rappelons que ces courans harmoniques de rang 3 son égaux. On voi aisémen sur cee figure que les ampères-ours sur une même colonne au secondaire s'annulen. l en résule qu'aucun couran harmonique de rang 3 ne circule au primaire. Primaire Secondaire Fig. 23 : courans harmoniques de rang 3 dans un ransformaeur à secondaire zigzag. Cahier Technique Schneider Elecric n 22 / p.11

14 4 Les remèdes Les alimenaions à découpage e les éclairages fluorescens à ballas élecronique son de plus en plus fréquens dans les insallaions eriaires. Le for pourcenage d'harmonique 3 dans ce ype de charge peu avoir un impac imporan sur le dimensionnemen du conduceur de neure. Dans un immeuble de bureau, le couran dans le conduceur de neure peu aeindre 1,4 à 1,7 fois le couran dans une phase. Plusieurs ypes de disposiifs peuven êre uilisés pour éliminer les effes des courans harmoniques de rang dapaions de l'insallaion Les principales soluions à la surcharge du conduceur de neure son les suivanes : c Uiliser un conduceur de neure séparé pour chaque phase c Doubler le calibre du conduceur de neure Sachan que le couran dans le neure ne peu dépasser 1,7 fois le couran dans chaque phase, ceci es une soluion echnologique simple pour évier la surcharge du conduceur de neure. 4.2 Transformaeur riangle éoile Comme expliqué au paragraphe 3.1, les courans harmoniques de rang 3 circulan au secondaire d'un ransformaeur riangle éoile ne son pas ransmis à la ligne d'alimenaion du ransformaeur. Cee disposiion es courammen uilisée en disribuion, ce qui évie la circulaion de courans harmoniques de rang 3 dans les réseaux de disribuion e de ranspor. noer que l'éliminaion des courans harmoniques de rang 3 n'es oale que si les charges son parfaiemen équilibrées. Dans le cas conraire, les courans harmoniques de rang 3 des 3 phases ne son pas égaux e ne se compensen pas oalemen aux sommes du riangle. 4.3 Transformaeur à secondaire en zigzag Selon l explicaion donnée au paragraphe 3.2, les courans harmoniques de rang 3 circulan au secondaire d'un ransformaeur à secondaire en zigzag ne son pas ransmis aux enroulemens primaires. Cee disposiion es fréquemmen uilisée, bien que la consiuion du ransformaeur soi plus lourde que celle d'un ransformaeur riangle éoile. noer là aussi que l'éliminaion des courans harmoniques de rang 3 n'es oale que si les charges son parfaiemen équilibrées. Dans le cas conraire, les courans harmoniques de rang 3 des 3 phases ne son pas égaux, e la compensaion des ampères-ours sur une même colonne au secondaire n'es pas oale. Un couran harmonique de rang 3 peu alors circuler égalemen dans l'enroulemen primaire, e donc dans la ligne d'alimenaion. 4.4 Réacance à couplage zigzag Le schéma de principe de cee réacance es illusré par le schéma de la figure 24. Comme dans le cas d'un ransformaeur zigzag, on voi aisémen sur cee figure que les ampères-ours sur une même colonne s'annulen. l en résule que l'impédance vue par les courans harmoniques 3 es rès faible (inducance de fuie du bobinage seulemen). La réacance zigzag procure un chemin de reour de faible impédance aux courans homopolaires, harmoniques de rang 3 e muliples de 3. Elle rédui donc le couran n circulan dans le neure Cahier Technique Schneider Elecric n 22 / p.12

15 de l'alimenaion, comme illusré ci-dessous dans le cas de charges monophasées (voir égalemen figure 14). La figure 25 me en évidence l aénuaion obenue n 33 Fig. 24 : réacance zigzag. h ,8 s,1 s Fig. 25 : différence d ampliude du couran neure avec e sans uilisaion d'une réacance zigzag. 4.5 Filre de rang 3 dans le neure Le principe de ce disposiif consise à placer un circui bouchon accordé sur l'harmonique 3 en série avec le conduceur de neure (cf. fig. 26 ). Sur les figures 27 à 32 son représenées les formes d'ondes obenues en supposan ir raccordées enre phases e neure des charges monophasées du ype décri au paragraphe 1.4. Son représenés successivemen: le couran phase, le couran neure, la ension phase - neure, sans filre e avec filre. On observe une fore réducion du couran dans le conduceur de neure, au dérimen d'une disorsion de ension imporane appliquée à la ension enre phase e neure. Source is i Charge 4 i B in Fig. 26 : filre de rang 3 dans le neure ,17 s,18 s,19 s Fig. 28 : couran neure sans filre. 4 i1 V 4 vd1 - vd ,17 s,18 s,19 s -4,17 s,18 s,19 s Fig. 27 : couran ligne sans filre. Fig. 29 : ension simple sans filre. Cahier Technique Schneider Elecric n 22 / p.13

16 4 i1 V 4 vd1 - vd ,17 s,18 s,19 s -4,17 s,18 s,19 s Fig. 3 : couran ligne avec filre. Fig. 32 : ension simple avec filre. 4 r ,17 s,18 s,19 s Fig. 31 : couran neure avec filre. 4.6 Disposiifs de filrage c Placer un filre passif accordé sur le rang 3 à proximié des charges non linéaires (cf. fig. 33 ). noer que cee soluion requier des consiuans relaivemen lourds, compe enu de la faible fréquence d'accord. c Uiliser un compensaeur acif placé à proximié des charges non linéaires (cf. fig. 34 ). noer que ce ype de disposiif a la capacié de compenser un couran harmonique dans le neure don l'ampliude es riple de celle du couran phase. Exemple : couran harmonique par phase 3 couran harmonique de neure 9 c Filre hybride (cf. fig. 35 ): associaion d'un compensaeur acif permean d'éliminer les harmoniques de rang 3 e d'un filre passif permean d'éliminer les harmoniques prépondérans (5 e 7 par exemple) ir Fig. 34 : filre acif. ir is i ir is i in Filre acif Charge Charge is i Charge Filre acif in Fig. 33 : filre passif de rang 3. in Fig. 35 : filre hybride. Cahier Technique Schneider Elecric n 22 / p.14

17 nnexe : Calcul des coefficiens de Fourier pour un couran recangulaire Considérons le schéma simplifié (cf. fig. 36 ) d'un redresseur commandé, alimenan une charge idéale, e le couran dans chacune des phases d'alimenaion (cf. fig. 37 ). ligne dc On a : π π cos 5n = cos n n 6 π 6 π = cos ( n π) cos n 6 π sin n π sin n 6 + ( ) n π = ( 1 ) cos n 6 D'où : Fig. 36 : redresseur commandé alimenan une charge absorban un couran parfaiemen lissé π/6 5π/6 π -1 s,5 s,1 s,15 s Fig. 37 : couran alimenaion. dc ligne Cee foncion peu êre exprimée sous la forme d'une série de Fourier : ( ) = ( ) + ( ) a cos nω b sin nω n n = 1 La foncion éan impaire, ous les coefficiens a n son nuls. Les coefficiens b n peuven êre calculés par la relaion : 2 π b n = ( ) sin ( nω ) d ω π bn bn bn 2 dc π n 5π 6 π sin nω d ω 6 5π cos nω 6 π = ( ) 2 dc π n [ ] = ( ) 2 dc n cos n π = cos 5n 6 π 6 π 6 b n = b n = 2 dc n cos n π n π ( 1 ) cos n π dc n cos n π n+1 π ( 1 ) cos n π 6 6 Si n es pair : b = n Si n es impair : b n = 4 dc n cos π n π 6 Si n π / 6 es un muliple impair de π / 2, alors b = n π ( ) C'es-à-dire, pour n 6 = 2k Soi : n = 3 (2k + 1) En d'aures ermes, si n es un muliple impair de 3, les ermes b n son nuls. Les seuls ermes non nuls son donc de la forme : b n = 2 3 dc nπ ( 1) m avec n = 6m ± 1, m =, 1, 2,... On obien en pariculier : b 1 = 2 3 dc π La valeur efficace du fondamenal es donc: 6 π dc 1 = La valeur efficace des harmoniques non nuls es égale à : = n n 1 π Cahier Technique Schneider Elecric n 22 / p.15

18 Bibliographie Cahiers Techniques Schneider Elecric c Perurbaions harmoniques dans les réseaux pollués, e leur raiemen Cahier Technique n C. COLLOMBET - J.M. LUPN - J. SCHONEK c Harmoniques : converisseurs propres e compensaeurs acifs Cahier Technique n E. BETTEG - J.N. FORN ures publicaions Schneider Elecric c Les harmoniques e les insallaions élecriques Les édiions echniques de l nsiu Schneider Formaion -. KOUYOUMDJN Cahier Technique Schneider Elecric n 22 / p.16

19

20 Schneider Elecric Direcion Scienifique e Technique, Service Communicaion Technique F-385 Grenoble cedex 9 Télécopie : (33) Réalisaion : HeadLines Valence. Ediion : Schneider Elecric mpression : mprimerie du Pon de claix - Claix FF- 2 Schneider Elecric

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