PROBABILITES EXERCICES CORRIGES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "PROBABILITES EXERCICES CORRIGES"

Transcription

1 PROBABILITES EXERCICES CORRIGES Vocabulaire des probabilités Exercice. Das chacue de situatios décrites ci-dessous, éocer l évéemet cotraire de l évéemet doé. ) Das ue classe, o choisit deux élèves au hasard. A : «Les deux élèves sot des filles». ) Das u groupe de suisses et de belges, o discute avec ue persoe. B : «La persoe est u homme belge». ) Au restaurat, Luc pred u plat et u dessert. C : «Luc pred ue viade et ue glace». ) A ue loterie, Elise achète billets. D : «L u des billets au mois est gagat», E : «Deux billets au maximum sot gagats. Exercice. Ue ure cotiet des boules blaches, oires et rouges. O tire ue boule de l ure. O ote : A : «Tirer ue boule blache». B : «Tirer ue boule i blache i rouge». C : Tirer ue boule oire ou ue boule rouge». ) A et B sot-ils icompatibles? ) B et C sot-ils icompatibles? ) Traduire par ue phrase e comportat pas de égatio A et B. Exercice. Lors d u jet de deux dés cubiques, o s itéresse aux évéemets suivats : A : «La somme obteue est au mois égale à». B : «La somme obteue est au plus égale à». C : «La somme obteue est strictemet iférieure à». ) A et B sot-ils cotraires? ) B et C sot-ils icompatibles? ) Traduire par ue phrase C. ) A et C sot-ils icompatibles? Déombremets simples et probabilités - équiprobabilité Exercice. O choisit ue carte au hasard das u jeu de cartes. O ote : A l'évéemet : "La carte choisie est u pique". B l'évéemet : "La carte choisie est rouge (cœur ou carreau)". C l'évéemet : "La carte choisie est ue figure (valet, dame, roi)". ) Préseter u modèle mathématique décrivat l expériece aléatoire. ) Détermier les probabilités des évèemets A,B,C,A B,B C,A B,A C. ) Détermier la probabilité de l'évéemet D "La carte choisie 'est i u pique i ue figure". Exercice. O jette ue pièce de moaie fois de suite. ) Doer la liste de tous les résultats possibles e otat P pour Pile et F pour Face (exemple : PPF). ) Doer la probabilité des évéemets suivats : A «le tirage e comporte que des Piles». B «le tirage comporte au mois ue fois Face». Exercice 6. Das ue assemblée de 0 persoes, o e remarque que les hommes portat la cravate ou ayat les yeux bleus. Il y a 0 hommes qui portet la cravate, 8 hommes qui ot les yeux bleus, dot 0 portet la cravate. O discute avec ue persoe choisie au hasard das cette assemblée. ) Quelle est la probabilité que ce soit u homme portat la cravate. ) Quelle est la probabilité que ce soit u homme aux yeux bleus et portat la cravate. ) Quelle est la probabilité que ce soit u homme aux yeux bleus ou portat la cravate. ) Quelle est la probabilité de discuter avec ue persoe qui est i u homme aux yeux bleus, i u homme portat la cravate? Page /6

2 Exercice 7. Lors d u référedum, deux questios étaiet posées. 6 % des persoes ot répodu «oui» à la première questio, % ot répodu «oui» à la secode questio, et 6 % ot répodu «oui» aux deux questios. ) Quelle est la probabilité qu ue persoe ait répodu «oui» à l ue ou l autre des questios? ) Quelle est la probabilité qu ue persoe ait répodu «o» aux deux questios? Autres situatios Exercice 8. O lace u dé à 6 faces. O ote probabilités de sortie des faces sot : 0, Quelle est la probabilité de sortie de la face marquée 6? Quelle est la probabilité d obteir u ombre pair? p i la probabilité de sortie de la face marquée i. Ce dé est truqué de telle sorte que les p = ; p = 0, ; p = 0, ; p = 0, ; p = 0,. Exercice. O lace u dé à 6 faces. O suppose que la probabilité d apparitio de chaque face est proportioelle au uméro iscrit sur elle. Calculer la probabilité d apparitio de chaque face. Calculer la probabilité d obteir u ombre pair. Arbre podéré Exercice 0. Das u lycée, quel que soit le iveau, u élève peut être extere ou demi-pesioaire. L arbre ci-cotre idique la répartitio selo le iveau et la qualité de l élève (E: extere ; DP: demi-pesioaire) ) Recopier et compléter cet arbre. ) a) Détermier le pourcetage d élèves exteres das ce lycée. b) Détermier la part des Termiales parmi les exteres. Probabilité coditioelles. Exercice. Das u magasi d électroméager, o s itéresse au comportemet d u acheteur potetiel d u téléviseur et d u magétoscope. La probabilité pour qu il achète u téléviseur est de 0,6. La probabilité pour qu il achète u magétoscope quad il a acheté u téléviseur est de 0,. La probabilité pour qu il achète u magétoscope quad il a pas acheté de téléviseur est de 0,. ) Quelle est la probabilité pour qu il achète u téléviseur et u magétoscope? ) Quelle est la probabilité pour qu il achète u magétoscope? ) Le cliet achète u magétoscope. Quelle est la probabilité qu il achète u téléviseur? ) Compléter l arbre de probabilité suivat : Exercice. O dispose de deux ures u et u. L ure u cotiet trois boules blaches et ue boule oire. L ure u cotiet ue boule blache et deux boules oires. O lace u dé o truqué. Si le dé doe u uméro d iférieur ou égal à, o tire ue boule das l ure u. Sio o tire ue boule das l ure u. (O suppose que les boules sot idiscerables au toucher) ) Calculer la probabilité de tirer ue boule blache. ) O a tiré ue boule blache. Calculer le probabilité qu elle proviee de l ure u. Page /6

3 Exercice. Le quart d ue populatio a été vaccié cotre ue maladie cotagieuse. Au cours d ue épidémie, o costate qu il y a parmi les malades u vaccié pour quatre o vacciés. O sait de plus qu au cours de cette épidémie, il y avait u malade sur douze parmi les vacciés. a) Démotrer que la probabilité de tomber malade est égale à 8 b) Quelle était la probabilité de tomber malade pour u idividu o-vaccié? c) Le vacci est-il efficace? Variable aléatoire Exercice. Ue ure cotiet sept boules : ue rouge, deux jaues et quatre vertes. U joueur tire au hasard ue boule Si elle est rouge, il gage 0, si elle est jaue, il perd, si elle est verte, il tire ue deuxième boule de l'ure sas avoir replacé la première boule tirée. Si cette deuxième boule est rouge, il gage 8, sio il perd. ) Costruire u arbre podéré représetat l'esemble des évetualités de ce jeu. ) Soit X la variable aléatoire associat à chaque tirage le gai algébrique du joueur (ue perte est comptée égativemet). a) Etablir la loi de probabilité de la variable X b) Calculer l'espérace de X ) Les coditios de jeu restet idetiques. Idiquer le motat du gai algébrique qu'il faut attribuer à u joueur lorsque la boule tirée au deuxième tirage est rouge, pour que l'espérace de X soit ulle. Exercice. O cosidère u dé rouge et u dé vert, cubiques, équilibrés. Le dé rouge comporte : deux faces umérotées ; deux faces umérotées 0 ; -deux faces umérotées. Le dé vert comporte : ue face umérotée 0;trois faces umérotées ;deux faces umérotées. O lace simultaémet les deux dés. O ote X la somme des poits obteus. ) Détermier la loi de probabilité de X. ) Défiir F, foctio de répartitio de X et costruire sa représetatio graphique Evéemets idépedats Exercice 6. Le tableau suivat doe la répartitio de 0 stagiaires e foctio de la lague choisie et de l activité sportive choisie. O choisit u élève au hasard. Teis Equitatio Voile Aglais 8 7 Allemad 8 ) Les évéemets «étudier l allemad» et «pratiquer le teis» sot-ils idépedats? ) Les évéemets «étudier l aglais» et «pratiquer la voile» sot-ils idépedats? Loi Biomiale Exercice 7. Das ue académie, les élèves cadidats au baccalauréat série ES se répartisset e 00 selo les trois eseigemets de spécialité : mathématiques, scieces écoomiques et sociales et lague vivate. Nous savos de plus que : 7% des cadidats ot choisi l eseigemet de spécialité mathématiques. % des cadidats ot choisi l eseigemet de spécialité lague vivate. % des cadidats ot choisi l eseigemet de spécialité mathématiques et ot obteu le baccalauréat.,% des cadidats ot choisi l eseigemet de spécialité SES et ot obteu le baccalauréat. De plus, parmi les cadidats ayat choisi l eseigemet de spécialité lague vivate, 7,% ot obteu le baccalauréat. O iterroge u cadidat pris au hasard. O ote : M l évéemet «le cadidat a choisi l eseigemet de spécialité mathématiques» ; S l évéemet «le cadidat a choisi l eseigemet de spécialité scieces écoomiques et sociales» ; L l évéemet «le cadidat a choisi l eseigemet de spécialité lague vivate» ; R l évéemet «le cadidat a obteu le baccalauréat». O pourra faire u arbre pour faciliter la répose aux questios. Les résultats serot arrodis au millième. ) Traduire e termes de probabilités les iformatios umériques doées ci-dessus. ) a) Détermier la probabilité pour que ce cadidat ait choisi l eseigemet de SES. b) Détermier la probabilité pour que ce cadidat ait choisi l eseigemet de spécialité lague vivate et ait réussi aux épreuves du baccalauréat. Page /6

4 ) Quelle est la probabilité pour que ce cadidat ait choisi l eseigemet de spécialité lague vivate et ait échoué au baccalauréat? ) Ce cadidat a choisi l eseigemet de spécialité mathématiques. Quelle est la probabilité qu il ait pas obteu le baccalauréat? ) Motrer que le pourcetage de réussite au baccalauréat pour les cadidats de ES das cette académie est 7,6%. 6) O iterroge successivemet au hasard et de faço idépedate trois cadidats. a) Quelle est la probabilité qu au mois l u d etre eux soit reçu? b) Quelle est la probabilité que deux cadidats sur trois exactemet soiet reçus? Exercice 8. O utilise deux pièces de moaie : l ue pipée, de sorte que lorsqu o la lace, la probabilité d obteir pile soit/ ; l autre ormale dot la probabilité d obteir pile est / à chaque lacer. ) O pred ue pièce au hasard (chacue des deux pièces a ue probabilité / d être prise) a) Quelle est la probabilité d obteir pile? b) O a obteu pile : quelle est la probabilité d avoir utilisé la pièce pipée. c) Quelle est la probabilité d obteir au mois ue fois pile e faisat trois lacers avec la pièce choisie? ) Trois fois o choisit l ue des pièces au hasard qu o lace (chacue des deux pièces a doc à chaque fois ue probabilité / d être lacée) : détermier la probabilité d obteir au mois ue fois pile ) O lace les deux pièces esembles : quelle est la probabilité d obteir le même résultat pour les deux pièces? Exercice. O sélectioe les cadidats à u jeu télévisé e les faisat répodre à dix questios. Ils devrot choisir, pour chacue des questios, parmi quatre affirmatios, celle qui est exacte. U cadidat se présete et répod à toutes les questios au hasard. O appelle X la variable aléatoire désigat le ombre de réposes exactes doées par ce cadidat à l issue du questioaire. ) Quelle est la loi de probabilité de X? ) Calculer la probabilité pour qu il fourisse au mois 8 boes réposes, et soit aisi sélectioé. Exercice 0. Ue ure cotiet pièces équilibrées. Deux d'etre elles sot ormales : elles possèdet u côté «Pile» et u côté «Face». La troisième est truquée et possède deux côtés «Face». O pred ue pièce au hasard das l'ure et o effectue de maière idépedate des lacers successifs de cette pièce. O cosidère les évèemets suivats: B : la pièce prise est ormale. B : la pièce prise est truquée. P : o obtiet «Pile» au premier lacer. F : o obtiet «Face» pour les premiers lacers. ) a) Quelle est la probabilité de l'évèemet B? b) Quelle est la probabilité de l'évèemet P sachat que B est réalisé? ) Calculer la probabilité de l'évéemet P B, puis de l'évèemet P B. E déduire la probabilité de l'évèemet P. ) Calculer la probabilité de l évèemet F E déduire la probabilité de l'évèemet F. B puis de l'évèemet F B. Exercice. U sodage est effectué das u coservatoire de musique. 60 % des élèves pratiquet u istrumet à cordes (C). % des élèves pratiquet u istrumet à vet (V) 0 % des élèves pratiquet u istrumet à cordes et vet. ) O choisit u élève au hasard das le coservatoire. a) Quelle est la probabilité de l évéemet «Cet élève pratique au mois u des istrumets cosidérés» b) Quelle est la probabilité de l évéemet «Cet élève pratique u et u seul des istrumets cosidérés» ) O choisit au hasard u élève pratiquat u istrumet C. Quelle est la probabilité pour que cet élève pratique u istrumet V? ) Soit u etier supérieur ou égal à. O choisit au hasard élèves. O suppose que le ombre d élèves du coservatoire est suffisammet grad pour que la probabilité de recotrer u istrumetiste du type doé soit costate au cours du sodage. a) Quelle est la probabilité p qu au mois u des élèves choisis pratique u istrumet C? b) Détermier le plus petit etier tel que p 0, Page /6

5 Déombremets et probabilités Exercice. Ue ure cotiet 0 bulletis idiscerables au toucher, de sortes : sot marqués «oui», sot marqués «o» et sot marqués «blac». U joueur tire simultaémet deux bulletis de l ure. Quelle est la probabilité qu il obtiee u tirage de deux bulletis de sortes différetes. Exercice. U sac cotiet jetos verts (umérotés de à ) et jetos rouges (umérotés de à ). ) O tire successivemet et au hasard jetos du sac, sas remettre le jeto tiré. Calculer les probabilités : a) De e tirer que jetos verts ; b) De e tirer aucu jeto vert c) De tirer au plus jetos verts ; d) De tirer exactemet jeto vert. ) O tire simultaémet et au hasard jetos du sac. Repredre alors les questios a), b), c) et d). Graphes probabilistes Exercice. Deux fabricats de parfum lacet simultaémet leur ouveau produit qu ils ommet respectivemet Aurore et Boréale. Afi de promouvoir celui-ci, chacu orgaise ue campage de publicité. L u d eux cotrôle l efficacité de sa campage par des sodages hebdomadaires. Chaque semaie, il iterroge les mêmes persoes qui toutes se proocet e faveur de l u de ces deux produits. Au début de la campage, 0 % des persoes iterrogées préfèret Aurore et les autres préfèret Boréale. Les argumets publicitaires fot évoluer cette répartitio : 0% des persoes préférat Aurore et % des persoes préférat Boréale chaget d avis d ue semaie sur l autre. La semaie du début de la campage est otée semaie 0. = a b, où a désige la Pour tout etier aturel, l état probabiliste de la semaie est défii par la matrice lige P probabilité qu ue persoe iterrogée au hasard préfère Aurore la semaie et b la probabilité que cette persoe préfère Boréale la semaie.. Détermier la matrice lige P 0 de l état probabiliste iitial.. Représeter la situatio par u graphe probabiliste de sommets A et B, A pour Aurore et B pour Boréale.. a. Écrire la matrice de trasitio M de ce graphe e respectat l ordre alphabétique des sommets. b. Motrer que la matrice lige P est égale à (0, 0,7).. a. Exprimer, pour tout etier aturel, P e foctio de P 0 et de. b. E déduire la matrice lige P. Iterpréter ce résultat. Das la questio suivate, toute trace de recherche même icomplète ou d iitiative même o fructueuse sera prise e compte das l évaluatio.. Soit P = (a b) la matrice lige de l état probabiliste stable. a. Détermier a et b. b. Le parfum Aurore fiira-t-il par être préféré au parfum Boréale? Justifier. Page /6

6 PROBABILITES CORRECTION Exercice ) L évéemet A est «au mois u des deux élèves est u garço». ) L évéemet B est «La persoe est soit ue femme, soit u suisse». ) L évéemet C est «Luc e pred pas de viade ou e pred pas de glace». ) L évéemet D est «aucu billet est gagat». ) L évéemet E est «les trois billets sot gagats». Exercice ) A et B sot icompatibles car ue boule e peut être simultaémet blache et o blache. ) B et C e sot pas icompatibles car le tirage d ue boule oire les réalise simultaémet. ) L évéemet A est «tirer ue boule oire ou rouge». ) L évéemet B est «tirer ue boule blache ou rouge». Exercice ) A et B e sot pas cotraires car ue somme égale à les réalise simultaémet. ) B et C sot icompatibles car la somme e peut être simultaémet strictemet supérieure à (évéemet B ) et strictemet iférieure à (évéemet C). ) L évéemet C est «La somme est supérieure ou égale à». ) A et C e sot pas icompatibles car ils sot simultaémet réalisés par ue somme supérieure ou égale à. Exercice ) O ote Ω l uivers des possibles, esemble des cartes du jeu. Aisi Card ( Ω ) =. Il y a équiprobabilité des tirages de cartes. Aisi Card ( A) 8 Card ( B) 6 ) p( A) =, p( B) = Card Ω Card Ω ( B) 0, p( C ) p A = car ue carte e peut être simultaémet rouge et pique, ( C) ( Ω) Card B 6 p( B C) =. Card 6 p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) = + 0 =. 7 p( A C) = p( A) + p( C) p( A C) = + =. 8 7 ) O cherche p(a C) = p( A C) = =. ( Ω) Card C = Card 8, Remarque : o a p( A C) p( A C) =. Exercice ) A l aide d u arbre comme ci-cotre, Ω = PPP; PPF; PFP; PFF; FPP; FPF; FFP; FFF. O peut lister { } D où Card ( Ω ) = 8. ) Les tirages état équiprobables, o a p( A) ( Ω) Card A Card 7 Efi, o remarque que B = A doc p( B) = p( A) = p( A) = = (seul le tirage PPP coviet). Page 6/6

7 Exercice 6 Le tableau suivat permet de déombrer les différetes catégories : Cravate Pas de Cravate Total (évéemet C) (évéemet C ) Yeux Bleus 0 8 (évéemet B) Yeux o bleus 70 6 (évéemet B ) Total O ote Ω l uivers des possibles, esemble des 0 persoes. Aisi Card ( Ω ) = 0. Il y a équiprobabilité des choix de persoes. Aisi Card ( C) 0 Card ( B C) 0 ) p( C ) =, ) p( B C) =, Card Ω 0 Card Ω 0 ) p( B C) p( B) p( C) p( B C) = + = + (o pouvait aussi directemet écrire Card ( B C) p( B C) ). Card Ω = = = =. 0 0 ) p( B C) p( B C ) p( B C) Exercice 7 Si o ote A l évéemet «la persoe a répodu oui à la première questio» et B l évéemet «la persoe a répodu oui à la deuxième questio», l éocé ous fourit p( A ) = 0,6, p( B ) = 0, et p( A B) = 0, 6. ) O calcule p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) = 0,6 + 0, 0,6 = 0,7. ) O calcule p( A B) p( A B) p( A B) = = = 0, 7 = 0,. Exercice 8 Si o ote p 6 la probabilité d apparitio du chiffre 6, la somme des probabilités des évéemets élémetaires valat, o a p6 = ( p + p + p + p + p ) = 0,8 = 0,. L évéemet A «obteir u ombre pair» état { ;;6} Il e fallait surtout pas écrire p( A) = + + = + + =. A =, o a p( A) p p p6 0, 0, 0, 0, ( Ω) Card A = car il y a pas équiprobabilité des faces de dés. Card 6 Exercice Si o ote p la probabilité d apparitio du chiffre, les probabilités d apparitio des autres faces sot respectivemet égales à p, p, p, p,6 p, puisque proportioelles au uméro de chaque face. Puisque la somme des probabilités des évéemets élémetaires vaut, o a p + p + p + p + p + 6 p =, doc p = p =. O e déduit doc : Face 6 Probabilité 6 Et aisi, l évéemet A «obteir u ombre pair» état A = { ;;6}, o a Il e fallait surtout pas écrire p( A) ( Ω) 6 p A = + + =. Card A = car il y a pas équiprobabilité des faces de dés. Card 6 Page 7/6

8 Exercice 0 L arbre ous reseige sur le fait que «% des élèves du lycée sot e secode, et parmi ces élèves de secode, 80 % sot demi-pesioaires, etc». ) La somme des poids figurat sur les arêtes au départ de chaque «œud» doit être égale à (coefficiets multiplicateurs traduisat des pourcetages). O obtiet aisi l arbre : ) Les élèves de secode exteres représetet ue fractio de l effectif total égale à 0, 0, = 0,07, soit 7 %. Les exteres représetet doc ue fractio égale à 0, 0, + 0, 0, + 0, 0, + 0, 0, = 0,, soit %. ) Sur 000 élèves, 0 sot doc exteres. Les élèves de termiale exteres représetet 000 0, 0, = 0 élèves, soit ue part égale à 0 00 % à % près.. 0 Exercice O ote T l évéemet «le cliet achète u téléviseur» et M l évéemet «le cliet achète u magétoscope». L éocé fourit p( T ) = 0, 6 (doc 0, 6 0, (doc p ( M ) = 0, = 0,8, T ce que l o peut traduire par l arbre de probabilités p T = = ), 0, p M = (doc 0, 0, 6 T p M = = ), et p ( M ) = 0, T T ) E appliquat la formule de défiitio d ue probabilité coditioelle, das sa «versio multiplicative», p( T M ) pt ( M ) = p( T M ) = p( T ) pt ( M ) = 0,6 0, = 0, p T ) E appliquat la formule des probabilités totales, = ( ) + ( ) p M p T M p T M = p T p M + p T p M T = 0,6 0, + 0, 0, = 0, ) O demade p ( T ) M T ( T ) p( M ) p M 0,6 0, = 0,7 0, ) Puisque p( M ) = 0,, o a 0, 0,68 p M = =. Puisque 0,7 O calcule de la même maière qu à la questio ), 8 p T = =. O peut doc «iverser» l arbre de probabilité : M 7 7 pm T =, o a pm ( T ) = 0,7 = 0, p( M T ) p T M p( M ) 0, 6 0, 6 0,6, doc 0,68 0,68 7 Page 8/6

9 Exercice Notos Ω l esemble des résultats possibles du jet de dé. O a doc Card ( Ω ) = 6. Notos u l évéemet «Le tirage s effectue das l ure u» et u l évéemet «Le tirage s effectue das l ure u». Notos B l évéemet «obteir ue boule blache» La répartitio des boules blaches et oires doées das l éocé ous fourit les probabilités : pu ( B ) = doc pu ( B ) =, aisi que p u B = et p u B = Efi, puisqu il y a équiprobabilité das les résultats du lacer de dé, p( u ) et p( u ) =. 6 O peut résumer cette situatio par l arbre de probabilités suivat : ) E appliquat la formule des probabilités totales, p B = p u B + p u B ( ) ( ) = p( u ) p ( B) + p( u ) p ( B) u u 7 = + = + = 6 ) O demade p ( u ). Puisque p( B) 0 l évéemet B u coditioé par B : p ( u ) B, o peut appliquer la formule de défiitio de la probabilité coditioelle de ( ) p( B) ( ) p( B) p B u p u B = Exercice Notos V l évéemet «être vaccié» et M l évémeet «être malade» L éocé fourit p( V ) = doc p( V ) = =. De plus pm ( V ) pm ( V ) p M =. déduit pm V = et M p V =. Efi l éocé idique que =. Puisque p ( V ) p ( V ) pv M = doc V M + =, o a) La formule des probabilités totales appliquée au système complet d évéemets { V; V }, permet de calculer : = ( ) + ( ) = V + V p( M V ) p( M ) p M V p M V p( V ) p M p V M p V M p V p M p V p M Puisque l équatio p M 6 p( M ) = p( M ), o se retrouve avec p M = + 6 p M = 8 = d où l o tire : p M = = 6 6 b) Du coup, o calcule p ( M ) = p( M V ) = = 8 c) D après les calculs précédets, e moyee, idividu sur o vacciés tombe malade, cotre idividu sur vacciés. M Page /6

10 Exercice O désige par R l évéemet «la boule tirée au er tirage est rouge», R l évéemet «la boule tirée au ème tirage est rouge», et aisi de suite avec les autres couleurs. Par équiprobabilité, o a p( R ) =, p( J ) = et p( V ) = E cas de deuxième tirage, l ure e cotiet plus que 6 boules, dot ue rouge, deux jaues et trois vertes, ce qui permet d affirmer que pv ( R ) = doc pv ( R ) = = ) L arbre de probabilités (et les gais qui sot associés au différets évéemets) est doc ) a) X peut predre quatre valeurs distictes : -, -, +8, 0 (o ote X ( Ω ) = { ; ;8;0} O détermie les probabilités : 0 p( X = ) = p( J ) = p( X = ) = p( V R ) = p( V ) pv ( R ) = = p( X = + 8) = p( V R ) = p( V ) pv ( R ) = = p( X = + 0) = p( R ) = Les résultats présetés das u tableau sot : x i b) Par défiitio, E ( X ) = x p( X = x ) i= i ( ) p( X ) ( ) p( X ) 8 p( X 8) 0 p( X 0) = = + = + = + = 0 8 = = = ) Notos a le gai correspodat à l évéemet V R. 0 a 0 O a doc E ( X ) = + a + 0 = 7 7 E X = a = a = Il suffit alors de résoudre l équatio : Exercice O peut cosiger les résultats das le tableau suivat : i ) Si o ote X la somme des poits obteus, o a doc X ( Ω ) = { ;0;; ;}, avec x - 0 i = p( X x i ) = = 6 = 6 0 = 6 8 ) O défiit aisi la foctio de répartitio de X par : p( X = x i ) 7 Dé vert 0 Dé Rouge Page 0/6 0 = 0 si x < 6 si x < = si 0 x < 8 8 F( x) = p( X x) = + + = si x < = si x < = si x 8 8 7

11 Exercice 6 Après avoir complété le tableau des effectifs : Teis (T) Equitatio (E) Voile (V) Total Aglais (A) Allemad (D) 8 60 Total O choisit u élève au hasard et o ote O ote Ω l uivers des possibles, esemble des 0 élèves. Aisi Card ( A) Card ( Ω ) =. Il y a équiprobabilité das le choix des élèves. Aisi pour tout évéemet A, p( A) = Card Ω ) O calcule séparémet : p( D T ) = p( T ) pt ( D) = = et p( T ) p( D) = = = = p D T p T p D, o peut coclure que les évéemets «étudier l allemad» et «pratiquer le teis» Puisque e sot pas idépedats ) O calcule séparémet : p( A V ) = p( V ) pv ( A) = et p( A) p( V ) = = = p A V = p A p V, o peut coclure que les évéemets «étudier l aglais» et «pratiquer la voile» sot Puisque idépedats Exercice 7 Le début de l exercice est l archétype classique d u exercice de probabilités coditioelles. ) E utilisat les otatios de l éocé, ous avos p( M ) = 0,7, 0, p M R et pl ( R ) = 0,7 ) a) O calcule p( S ) ( p( M ) p( L) ) = + = 0,7 + 0, = 0, 6 = 0,8 b) O calcule p( L R) p( L) pl ( R) 0, 0,7 0,8 0,8 ) O calcule p( L R) p( L) pl ( R) ( pl ( R) ) ) O calcule pm ( R) p M ( R) ( R) p( M ) p M = = = arrodi au millième p L =, ( ) = 0,, p( S R) = 0, = = 0, = 0, 0, 7 = 0, , 06 arrodi au millième ( ) ( ) p M R p M R Puisque p( M ) = 0,7 et p( M R) 0, p( M ) 0,7 0, 0,7 7 = et doc p ( R) p ( R) M 6 = M = = 0, arrodi à 7 7 ) E appliquat la formule des probabilités totales, p R = p L R + p S R + p M R + +, d où la répose 0,8 0, 0, 0,76 =, o calcule 6) O répète fois successivemet, et de maière idépedate, la même épreuve cosistat à choisir u élève qui peut avoir été reçu (issue R que ous appelleros SUCCES, de probabilité 0,76) ou qui peut avoir échoué (issue R que ous appelleros ECHEC, de probabilité -0,76=0,8). Le ombre de succès suit ue loi biomiale de paramètre et 0,76. 0 Page /6

12 O peut matérialiser cette situatio par u arbre : a) L évéemet cotraire de l évéemet «au mois u des trois cadidats est reçu» est l évéemet «les trois cadidats e sot pas reçus», de probabilité 0,8. L évéemet cosidéré a doc pour probabilité 0, 8 0,77 arrodi au millième b) Pour calculer la probabilité que deux cadidats sur trois exactemet soiet reçus, soit o compte le ombre de chemis répodat à cette situatio sur l arbre (o e compte trois : RRR, RRR et RRR, chacu d eux représetat ue probabilité égale à 0,76 0,8 ), soit o applique la formule doat le ombre de succès das ue situatio biomiale, pour aboutir au calcul : ombre de répétitios ombre de succès probabilité d'u succès ombre probabilité d'u échec ombre d'échec de succès 0, 76 0, 8 = 0, 76 0, 8 0, 7 arrodi au millième Exercice 8 Notos A l évéemet «le lacer s effectue avec la pièce truquée» et B l évéemet «le lacer s effectue avec la pièce équilibrée». L éocé ous fourit p( A) = p( B) =. ) (a) Notos P l évéemet «obteir Pile lors d u lacer». L éocé ous fourit pa ( P ) = doc pa ( P ) = = ; et pb ( P ) = doc pb ( P ) = =. Ceci peut se traduire par l arbre de probabilités A; B fourit : La formule des probabilités totales appliqué au système complet { } p( P) = p( A P) + p( B P) = p( A) pa ( P) + p( B) pb ( P) = + = 8 p( A P) 8 (b) O demade p P A = = p( P) 8 8 (c) Notos P, P, P les probabilités d obteir Pile respectivemet aux tirages, et. O peut aisi dresser l arbre de probabilité : Raisoos avec l évéemet cotraire de «obteir au mois ue fois pile», qui est «obteir trois fois face». D après la formule des probabilités totales, ce derier évéemet a pour probabilité : p F F F = p A F F F + p B F F F ( ) ( ) ( ) p( A) p ( F F F ) p( B) p ( F F F ) = + A B 7 = + = + = La probabilité d obteir au mois ue fois pile avec ue pièce choisie est doc égale à = 8 8 ) La situatio est cette fois ci différete de la questio ) (c) car o retire ue pièce au hasard avat chaque lacer. O répète aisi fois cosécutivemet et Page /6

13 de maière idépedate, l épreuve de Beroulli décrite das la questio ) (a), qui admet deux issues : p( P ) = doc 8 p( P ) =. Le ombre de succès (obtetio de Pile) sur les trois répétitios suit doc ue loi biomiale de paramètre 8 p( P ) = et =. O raisoe ecore ue fois avec l évéemet cotraire de «obteir au mois ue fois pile», qui est 8 «obteir trois fois face», de probabilité p( P) trois lacers (et choix) est doc 87 = = =. La probabilité d obteir au mois ue fois pile sur les 8 ) Les résultats des deux pièces sot idépedats l u de l autre. Si o ote P A l évéemet «obteir Pile à l aide de la pièce truquée» et P B l évéemet «obteir Pile à l aide de la pièce équilibrée», l évéemet cherché aura doc ue probabilité égale à : p( PA PB ) + p( FA FB ) = p( PA ) p( PB ) + p( FA ) p( FB ) = + = Exercice ) O répète 0 fois successivemet, et de maière idépedate, la même épreuve cosistat à répodre à ue questio e choisissat au hasard et de maière équiprobable ue répose parmi les quatre proposées. Chaque épreuve a doc ue probabilité de réussite égale à p = 0, et ue probabilité échec égale à q = p = 0, = 0,7. Le ombre de succès X parmi les 0 répétitios suit doc ue loi biomiale de paramètre 0 et 0,. ) O a aisi : p( X = 8) = 0, 0,7 = 0, 0,7, p( X = ) = 0, 0, 7 = 0 0, 0, 7 et efi p( X = 0) = 0, 0, 7 = 0,. L évéemet cosidéré a doc pour probabilité la somme de ces trois deriers 0 ombres. Exercice 0 ) a) Les choix de pièces das l ure état équiprobables, p( B) Page /6 ( Ω) Card B Card b) Si l évéemet B est réalisé, c est-à-dire si ue pièce «ormale» a été choisie, la probabilité d obteir «Pile» vaut, c est-à-dire p ( P ) = B ) O calcule p( P B) = p( B) pb ( P) = = Puisque p( B ) =, alors p( B ) = =. Si l évéemet B est réalisé, c est-à-dire si ue pièce «truquée» a été p P =. O choisie, la probabilité d obteir «Pile» est ulle, puisque la pièce truquée possède «deux «faces». Aisi 0 B = = B 0 = 0. e déduit p( P B) p ( B) p ( P) E utilisat la formule des probabilités totales, pusique le système ( B, B ) est u système complet d évéemet, o = + = ) Si l évéemet B est réalisé, c est-à-dire si ue pièce «ormale» a été choisie, la probabilité d obteir «Face» au cours des premiers lacers suit ue loi biomiale de paramètres et, doc 0 pb F = =, et aisi obtiet p( P) p ( P B) p ( P B) p( F B) =

14 Page /6 Si l évéemet B est réalisé, c est-à-dire si ue pièce «truquée» a été choisie, la probabilité d obteir «Face» vaut à p F = et chaque lacer, doc la probabilité d obteir «Face» au cours des premiers lacers vaut, c est-à-dire aisi p( F B) = = E utilisat la formule des probabilités totales, puisque le système ( B, B ) est u système complet d évéemet, o = + = + = + obtiet p( F ) p ( F B) p ( F B) Exercice L éocé ous fourit p( C ) = 0,6, p( V ) = 0, et p( C V ) = 0, ) O calcule p( C V ) = p( C) + p( V ) p( C V ) = 0,6 + 0, 0, = 0, (o aurait pu aussi raisoer avec les effectifs rameés à 00 élèves, coformémet au diagramme ci-cotre) ) a) O calcule p( C V ) p( C V ) = 0, 0, = 0,8 (o aurait pu aussi raisoer avec les effectifs rameés à 00 élèves, coformémet au diagramme ci-dessus) 0 b) L éocé (ou le diagramme) fourit pc ( V ) 60 6 ) O répète fois successivemet, et de maière idépedate, la même épreuve cosistat à choisir u élève qui peut pratiquer u istrumet C (SUCCES, de probabilité 0,6) ou e pas pratiquer u istrumet C (issue C que ous appelleros ECHEC, de probabilité -0,6=0,). Le ombre de succès suit ue loi biomiale de paramètre et 0,6. a) L évéemet cotraire de l évéemet «au mois u des élèves choisis pratique u istrumet C» est l évéemet «les élèves choisis e pratiquet pas u istrumet C» de probabilité 0,. Aisi p 0, = b) p 0, 0, 0, 0, 0,00 l ( 0,) ] [ 0, 0,00 car la foctio l est strictemet croissate sur 0; + l 0, l 0, 00 l 0,00 car l 0, <0 7, à 0 près Puisque est etier, o déduit doc 8 Exercice 0 0 L uivers est costitué de l esemble des combiaisos de élémets pris parmi 0, d où Card ( Ω ) =. Notos A l évéemet «d obteir deux bulletis de sortes différetes». raisoemets s offret à ous : Card A. Il y a trois possibilités ( bulleti «oui» et bulleti «o», bulleti - Ou bie o décide de détermier «oui» et bulleti «blac», ou bulleti «o» et bulleti «blac») doc Card ( A) Card ( A) = + + = + + =, et aisi p( A) = Card ( Ω) - Ou bie o raisoe avec l évéemet cotraire A qui est «obteir deux bulletis idetiques». Il y a trois possibilités (deux bulletis «oui», deux bulletis «o», deux buleltis «blac», doc Card A = + + = + + = = p( A) = p( A) = = Les deux méthodes fourisset le même résultat!, d où p( A) Card A = Card ( Ω) B et doc

15 Exercice ) Tirages successifs sas remise de jetos parmi. Il y a A = 0 possibilités a) Notos A l évéemet «Tirer jetos verts». O a p ( A) A A b) Notos B l évéemet «Ne tirer aucu jeto vert». O a p( B) c) Notos C l évéemet «Tirer au plus jetos verts» 7 = = ère méthode : p( C ) p( A) p( A) ème méthode p C Tirer exactemet vert : - choix de la place du jeto vert Ne tirer aucu vert - choix d' vert et de rouges Tirer exactemet verts A + A A + A A 7 A d) Soit D l évéemet «Tirer exactemet jeto vert». p( D) ) Tirages simultaés de jetos parmi. Il y a C = 8 possibilités a) Notos A l évéemet «Tirer jetos verts». O a p( A) Page /6 A A A A A C C b) Notos B l évéemet «Ne tirer aucu jeto vert». O a p ( B) c) Notos C l évéemet «Tirer au plus jetos verts» 7 ère méthode : p( C ) = p( A) = p( A) = = ème méthode p C Tirer exactemet vert : - choix de la place du jeto vert Ne tirer aucu vert - choix d' vert et de rouges Tirer exactemet verts C + C C + C C C 7 d) Soit D l évéemet «Tirer exactemet jeto vert». p( D) C C C C C Commetaire sur l exercice : Selo toute logique, o doit retrouver les mêmes résultats das les deux parties. E effet, tirer successivemet sas remise boules ou les tirer simultaémet reviet au même. Que l o traite u tirage comme u arragemet ou comme u sous-esemble, les questios a) et b) ous fourisset le même résultat si o a coservé l ordre jusqu au bout (umérateurs et déomiateurs des fractios) le même mode de comptage. E ce qui cocere la questio c), si o travaille avec des arragemets, o iduit aisi u ordre. Il e faut doc pas oublier de multiplier par, c est à dire de choisir d abord ue place pour le jeto vert. Ce problème e se pose pas avec des combiaisos. Coclusio : Il est plus facile de travailler avec des combiaisos. Cette derière remarque est valable car le type d évéemets étudié e fait pas iterveir d ordre. Exercice. Puisqu au début de la campage, 0 % des persoes iterrogées préfèret Aurore, o aura a 0 = 0, doc b 0 = 0,8. La matrice lige P 0 de l état probabiliste iitial est doc P = ( 0, 0,8) 0. Le graphe probabiliste sera costitué de deux sommets A et B origies et extrémités de deux arètes orietées et podérées. L arête reliat A à B das le ses A->B sera podérée par la probabilité qu ue persoe préférat Aurore ue semaie doée, ait chagé pour Boréale la semaie suivate, soit 0,. O obtiet aisi :

16 . a. La matrice de trasitio M de ce graphe e respectat l ordre alphabétique des sommets est égale à : 0, 0, M = 0, 0,8 b. O a : 0, 0, P = P0 M = ( 0, 0,8) 0, 0,8 = 0, 0, + 0,8 0, 0, 0,+ 0,8 0,8 = ( 0, 0, 7). a. Pour tout etier aturel, P = P0 M 0, 0, b. Aisi, P = P0 M = ( 0, 0,8) 0, 0,8 A l aide d ue calculatrice, après avoir défii das le meu MATRICE, ue matrice [A], de dimesio correspodat à P 0 et ue matrice [B], de dimesio correspodat à M, o calcule : Aisi, P = ( 0, 0,687) O peut estimer qu au bout de la ème semaie de campage, plus de % de la populatio sera favorable au parfum Aurore. 0, 0,. a. L état stable P=(a b) est solutio de l équatio matricielle P = PM ( a b) = ( a b). 0, 0,8 De surcroît, o a a + b = b = a a = 0,a + 0,b Les ombres a et b sot doc solutios du système que l o résout : a + b = b = a a = 0,a + 0,b a = 0,a + 0, a a = 0,a + 0, 0,a a + b = b = a b = a b = a 0, 0, a = 0, a = a = 0, 6 a = 0, 6 0, b = a b = 0,6 b = 0, b = a L état stable est doc P = (0,6 0,) b. O peut doc estimer qu à terme, 60% de la populatio sera favorable au parfum Aurore, qui sera doc préféré au parfum Boréale Page 6/6

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES PROBABILITES EXERCICES CORRIGES Vocabulaire des probabilités Exercice. Das chacue de situatios décrites ci-dessous, éocer l évéemet cotraire de l évéemet doé. ) Das ue classe, o choisit deux élèves au

Plus en détail

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3.

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3. T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars Exercice : Ue ure cotiet au départ 0 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l ure : Si la boule

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

Fluctuation et estimation

Fluctuation et estimation Fluctuatio et estimatio Table des matières I Idetificatio de la situatio........................................ II Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique........................ II. Itervalle

Plus en détail

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont :

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont : Estimatio Objectifs Estimer poctuellemet ue proportio, ue moyee ou u écart type d ue populatio à l aide de la calculatrice ou d u logiciel, à partir d u échatillo Détermier u itervalle de cofiace à u iveau

Plus en détail

GRAPHES - EXERCICES CORRIGES Compilation réalisée à partir d exercices de BAC TES

GRAPHES - EXERCICES CORRIGES Compilation réalisée à partir d exercices de BAC TES GRAPHES - EXERCICES CORRIGES Compilatio réalisée à partir d exercices de BAC TES Exercice. U groupe d amis orgaise ue radoée das les Alpes. O a représeté par le graphe ci-dessous les sommets B, C, D, F,

Plus en détail

MA401 : Probabilités TD3

MA401 : Probabilités TD3 MA : Probabilités Exercice Ue compagie aériee étudie la réservatio sur l u de ses vols. Ue place doée est libre le jour d ouverture de la réservatio et so état évolue chaque jour jusqu à la fermeture de

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL Corrigé du baccalauréat Polyésie 6 jui 4 STID STL spécialité SPCL EXERCICE 4 poits Cet eercice est u questioaire à choi multiples. Pour chacue des questios suivates, ue seule des quatre réposes proposées

Plus en détail

PROBABILITÉS. A cette expérience aléatoire, on associe l ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités.

PROBABILITÉS. A cette expérience aléatoire, on associe l ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités. PROBABILITÉS I. PROBABILITÉS ( RAPPELS) a. Expérieces aléatoires et modèles Le lacer d ue pièce de moaie, le lacer d u dé sot des expérieces aléatoires, car avat de les effectuer, o e peut pas prévoir

Plus en détail

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice Mots de logueur doée à base de lettres, et foctio géératrice Cosidéros les mots de logueur à base de lettres, avec etier positif. ) Combie existe-t-il de tels mots? La première lettre du mot est l ue des

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001 Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai.

Plus en détail

Questions pour un champion en ligne

Questions pour un champion en ligne Questios pour u champio e lige Le jeu télévisé QPUC préseté sur FR3 et aimé par Julie Lepers existe aussi e variate «e lige». U jeu «e lige» se déroule aisi : Six iterautes disputet ue première mache dite

Plus en détail

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f.

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f. Chapitre 14 Itervalle de fluctuatio des fréqueces. Estimatio Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Itervalle de fluctuatio Estimatio Itervalle de cofiace (*). Niveau

Plus en détail

VARIABLES ALEATOIRES

VARIABLES ALEATOIRES VARIABLES ALEATOIRES TABLE DES MATIÈRES. Loi de probabilité.. Exemple... Calcul de probabilités sur u uivers Ω... Variable aléatoire à valeurs réelles...3. Probabilité image défiie par ue variable aléatoire..4.

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov AME Dossier : Matrices et suites 545 romeades aléatoires : vers les chaîes de Markov ierre Griho (*) Cet article propose ue mise e perspective de la otio de promeade ou de marche aléatoire itroduite das

Plus en détail

FLUCTUATION ET ESTIMATION

FLUCTUATION ET ESTIMATION 1 FLUCTUATION ET ESTIMATION Le mathématicie d'origie russe Jerzy Neyma (1894 ; 1981), ci-cotre, pose les fodemets d'ue approche ouvelle des statistiques. Avec l'aglais Ego Pearso, il développe la théorie

Plus en détail

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES PROBABILITES EXERCICES CORRIGES Vocabulaire des probabilités Exercice. Das chacue de situatios décrites ci-dessous, éocer l évéemet cotraire de l évéemet doé. ) Das ue classe, o choisit deux élèves au

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de "Processus Stochastiques"

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de Processus Stochastiques Master ère aée spécialité IMIS et Mathématiques Cotrôle cotiu de "Processus Stochastiques" 8 octobre 00 - Durée h Calculatrices et documets autorisés Exercice Jacques va tous les jours à so travail e emprutat

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

CORRECTION DU BAC BLANC 2

CORRECTION DU BAC BLANC 2 CORRCTION DU BAC BLANC 2 XRCIC 1 (6 poits) Baccalauréat ST Mercatique Podichéry - 2010 Deux tableaux sot doés e aexe : le premier doe l évolutio du prix du mètre carré das l immobilier résidetiel acie

Plus en détail

Dénombrement. Le nombre de p-listes d éléments distincts d un ensemble à n éléments est Le nombre d injections de E p dans F n : (n p) :

Dénombrement. Le nombre de p-listes d éléments distincts d un ensemble à n éléments est Le nombre d injections de E p dans F n : (n p) : Filière E Deis Pasquigo Résumé du cours : 1. Esembles fiis Déombremet Défiitios E et F sot équiotets si il existe ue bijectio de E sur F. E est déombrable si E est équiotet à N. E est u esemble fii si

Plus en détail

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( )

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( ) Aée 01-013 Mathématiques Décembre 01 Durée : 3 heures BAC blac N 1 La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte u total de 5 exercices. Les élèves e suivat pas l eseigemet de spécialité traiterot les

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

Intervalles de fluctuation et de confiance

Intervalles de fluctuation et de confiance Chapitre 9 Itervalles de fluctuatio et de cofiace Sommaire 9.1 Itervalle de fluctuatio................................... 157 9.1.1 Quelques rappels..................................... 157 9.1.2 Itervalle

Plus en détail

Échantillonnage. Pour reprendre contact Les réponses exactes sont : Activité 1. Activité 2. 1 Réponse c. 2 Réponse a. Réponse c. 3 Réponse a.

Échantillonnage. Pour reprendre contact Les réponses exactes sont : Activité 1. Activité 2. 1 Réponse c. 2 Réponse a. Réponse c. 3 Réponse a. Échatilloage 9 Pour repredre cotact Les réposes exactes sot : Répose c. Répose a. Répose c. 3 Répose a. 4 Répose b. Répose c. Activité. La populatio étudiée est la productio d automobiles. Le caractère

Plus en détail

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski Dossier : Actualité de l Aalyse e Lycée 447 Qu est-ce qu u bo éocé de bac? Aalyse de l exercice de spécialité de TS de Podichéry 2013 Jacques Lubczaski «Podichéry est tombé!» : cela ressemble à l aoce

Plus en détail

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue

Plus en détail

Seconde année - Semestre 3 PROBABILITÉS

Seconde année - Semestre 3 PROBABILITÉS 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Aée 2012-2013 LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION Secode aée - Semestre 3 PROBABILITÉS Feuille d exercices N 3 : Variables aléatoires - Lois discrètes 1. Calculez 3 2 + 2 5 Exercice I (

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

Chapitre 4 Lois discrètes

Chapitre 4 Lois discrètes Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle février 2012 ORRIGE II. Permutatios sas répétitios et otatio factorielle Aalyse combiatoire 4 ème - 1 I. Itroductio Les différets modèles mathématiques costruits pour étudier les phéomèes où iterviet le

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

Vendredi 20 octobre CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N 2 Classe de TERM 07. En salle 206, deux heures de 8 h à 10 h : LES SUITES et PROBABILITES.

Vendredi 20 octobre CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N 2 Classe de TERM 07. En salle 206, deux heures de 8 h à 10 h : LES SUITES et PROBABILITES. Vedredi 0 octobre 07. CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N Classe de TERM 07. E salle 06, deux heures de 8 h à 0 h : LES SUITES et PROBABILITES. La première feuille de ce devoir doit être ue feuille double. Lisez

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

Classes de première générale et technologique STATISTIQUES ET PROBABILITÉS

Classes de première générale et technologique STATISTIQUES ET PROBABILITÉS Classes de première géérale et techologique STATISTIQUES ET PROBABILITÉS Sommaire I. Itroductio...4 II. Statistique descriptive, aalyse de doées...4 III. Variables aléatoires discrètes...6 IV. Utilisatio

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG. Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d Entreprise, Gestion des systèmes d information.

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG. Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d Entreprise, Gestion des systèmes d information. BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Fiace d Etreprise, Gestio des systèmes d iformatio. SESSION 2012 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Mercatique, comptabilité et fiace d etreprise

Plus en détail

E(X i ) par linéarité de l espérance.

E(X i ) par linéarité de l espérance. Statistiques appliquées. L3 Iterrogatio Questios de cours. 3 poits 1) Eocer le théorème cetral limite (1 pt). Si (X ) est ue suite de v.a. idépedates et de même loi, admettat des momets d ordre u et deux

Plus en détail

Exercices - Lois discrètes usuelles : corrigé

Exercices - Lois discrètes usuelles : corrigé www.almohadiss.com Exercice - Avio - L2/Prépa Hec - O ote X la variable aléatoire du ombre de moteurs de A qui tombet e pae, et Y la variable aléatoire du ombre de moteurs de B qui tombet e pae. X suit

Plus en détail

Probabilités exercices corrigés

Probabilités exercices corrigés Termiale S Probabilités Exercices corrigés Combiatoire avec démostratio Ragemets Calcul d évéemets Calcul d évéemets Calcul d évéemets 6 Dés pipés 7 Pièces d or 8 Agriculteur pas écolo 9 Boules Jeux 6

Plus en détail

Annales Mathématiques Bac 2016 Sujets + Corrigés - Alain Piller Amérique du Nord BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2016 MATHÉMATIQUES

Annales Mathématiques Bac 2016 Sujets + Corrigés - Alain Piller Amérique du Nord BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2016 MATHÉMATIQUES Corrigé Exercice Sujets Bac Maths Aales Mathématiques Bac Sujets + Corrigés - Alai Piller Amérique du Nord BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Aales Bac Maths SESSION MATHÉMATIQUES Série S Cadidats ayat pas suivi l eseigemet

Plus en détail

1. Probabilités sur les ensembles finis

1. Probabilités sur les ensembles finis . Probabilités sur les esembles fiis.. RAPPELS ET COMPLEMENTS. VOCABULAIRE DES EVENEMENTS Das ue expériece aléatoire, l'uivers Ω est l'esemble des résultats possibles. U évéemet est ue partie de l'uivers.

Plus en détail

Probabilités générales

Probabilités générales Chapitre 4 termiale s Probabilités géérales Les probabilités (rappels) : ) Quelques otios de vocabulaire : Nous allos étudier selo quelle mesure u fait proveat du hasard peut être prévisible a) Ue expériece

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

Introduction aux tests statistiques

Introduction aux tests statistiques Itroductio aux tests statistiques Philippe Boeau 27 septembre 2006 Chapitre 1 Élémets de probabilités Exercice 1 O ote E l esemble des etiers aturels iférieurs ou égaux à 12 et A (respectivemet B et C)

Plus en détail

Chapitre 1 : Les notions de base

Chapitre 1 : Les notions de base Chapitre : Les otios de base Itroductio I Comparer des gradeurs A) Les pourcetages B) Taux de variatio, coefficiet multiplicateur, idice C) Importace du ses de la comparaiso ) Raisoemet sur les taux de

Plus en détail

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours Aée 2013/2014 TS Itervalle de fluctuatio et estimatio Cours est u etier aturel o ul et p est u réel de l itervalle 0 ; 1. I Itervalle de fluctuatio Cotexte : Das ue populatio, la proportio d idividus présetat

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires»

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Exercice 1 (Recostitutio de paires) O fixe deux etiers aturels 1 r. U placard cotiet

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2017 Correction de l Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2017 Correction de l Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blac Termiale L - Février 2017 Correctio de l Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) 1. Depuis le 28 jui 2007, la ville de Bordeaux a été classée au patrimoie modial

Plus en détail

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse Séquece Les suites umériques Sommaire Pré-requis Le raisoemet par récurrece 3 Notios de limites 4 Sythèse Das cette séquece, il s agit d ue part d approfodir la otio de suites umériques permettat la modélisatio

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions.

Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions. Probabilités, MATH 44 Feuille de travaux dirigés. Solutios. 1 Exercices Exercice 1. O jette trois dés o pipés. 1. Calculer la probabilité d obteir au mois u 1.. Que vaut la probabilité d obteir au mois

Plus en détail

STATISTIQUE : ESTIMATION

STATISTIQUE : ESTIMATION STATISTIQUE : ESTIMATION Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 202-203 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Estimatio poctuelle 5. Défiitios 5 2. Critères de comparaiso d estimateurs 6 3. Exemples

Plus en détail

NOTION DE PROBABILITÉ Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

NOTION DE PROBABILITÉ Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako I Itroductio : NOTION DE PROBABILITÉ Site MathsTIE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako ) Exemple : O lace fois e l air u dé o pipé (ormal), x et y fot u pari Si 66 apparaît alors x gage 600Frs Si ou

Plus en détail

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations UPMC 1M001 Aalyse et algèbre pour les scieces 013-014 Feuille : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissemets fiis, étude des variatios Les eercices sas ( ) sot des applicatios directes du cours.

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u QCM questioaire à choix multiple. Pour chaque questio, ue seule

Plus en détail

Exercices d oraux de la banque CCP Corrigés BANQUE PROBABILITÉS

Exercices d oraux de la banque CCP Corrigés BANQUE PROBABILITÉS Exercices d oraux de la baque CCP 204-20 - Corrigés BANQUE PROBABILITÉS EXERCICE 96 (a La variable aléatoire X est régie par ue loi biomiale E effet, expérieces idetiques et idépedates (car les tirages

Plus en détail

Soit n un entier supérieur ou égal à 0. On note b n la proportion des adhérents ayant un abonnement de type. l année n.

Soit n un entier supérieur ou égal à 0. On note b n la proportion des adhérents ayant un abonnement de type. l année n. Amérique du Nord Mai 1 Série ES Exercice U club de sport propose à ses adhérets deux types d aboemets : l aboemet de type A qui doe accès à toutes les istallatios sportives et l aboemet de type B qui,

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A Iformatique TP : Calcul umérique d ue itégrale CPP 1A Romai Casati, Wafa Johal, Frederic Deveray, Matthieu Moy Avril - jui 014 1 Zéro de foctio O doe le code suivat (vu e cours), qui permet de calculer

Plus en détail

Terminale S. Lycée Desfontaines Melle Chapitre 11 Probabilité Conditionnement et indépendance

Terminale S. Lycée Desfontaines Melle Chapitre 11 Probabilité Conditionnement et indépendance Termiale S. Lycée Desfotaies Melle Chapitre 11 Probabilité Coditioemet et idépedace I. Probabilité coditioelle 1- Exemple Das u lycée coteat N élèves, 4% des élèves sot des filles, % des garços. Parmi

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015)

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015) Mohiieddie Beayad Cocours de l Iscae Épreuve Commue de Mathématiques (5) Voici l éocé de l épreuve commue de Mathématiques du cocours d etrée à l ISCAE de l aée 5, aisi que l itégralité du corrigé. Les

Plus en détail

Université de Picardie Jules Verne 2006-2007 Faculté de Mathématiques et d Informatique

Université de Picardie Jules Verne 2006-2007 Faculté de Mathématiques et d Informatique Uiversité de Picardie Jules Vere 006-007 Faculté de Mathématiques et d Iformatique Licece metio Mathématiques - Deuxième aée - Semestre 4 Probabilités Elémetaires Exame du ludi 4 jui 007 Durée h00 Documet

Plus en détail

TD1. Dénombrements, opérations sur les ensembles.

TD1. Dénombrements, opérations sur les ensembles. Uiversité Pierre & Marie Curie Licece de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémetaires Aée 2014 15 TD1. Déombremets, opératios sur les esembles. 1. Combie de faços y a-t-il de classer 10 persoes à

Plus en détail

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points)

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points) Exercice 1 (6 poits) Corrigé du DS 1 Das cet exercice, les probabilités demadées serot doées sous forme décimale, évetuellemet arrodies à 10 - près. Lors d ue equête réalisée par l ifirmière auprès d élèves

Plus en détail

EPREUVE DE RAISONNEMENT LOGIQUE ET MATHEMATIQUE

EPREUVE DE RAISONNEMENT LOGIQUE ET MATHEMATIQUE EPREUVE DE RAISONNEMENT LOGIQUE ET MATHEMATIQUE Nombre de pages de l épreuve Durée de l épreuve 0 pages 3h00 Compte teu du fait qu il s agissait d u cocours d etraiemet, cette épreuve à été prise sur le

Plus en détail

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes. Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2008 Épreuve de modélisation, option A : Probabilités et Statistiques

Agrégation externe de mathématiques, session 2008 Épreuve de modélisation, option A : Probabilités et Statistiques Agrégatio extere de mathématiques, sessio 2008 Épreuve de modélisatio, optio (public 2008) Mots clefs : Loi des grads ombres, espace des polyômes, estimatio o-paramétrique Il est rappelé que le jury exige

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Séquence 9. Lois normales, intervalle de fluctuation, estimation. Sommaire

Séquence 9. Lois normales, intervalle de fluctuation, estimation. Sommaire Séquece 9 Lois ormales, itervalle de fluctuatio, estimatio Sommaire 1. Prérequis. Lois ormales 3. Itervalles de fluctuatio 4. Estimatio 5. Sythèse de la séquece Séquece 9 MA0 1 Ced - Académie e lige Das

Plus en détail

POLYNESIE Série S Juin 2001 Exercice

POLYNESIE Série S Juin 2001 Exercice OLYNESIE Série S Jui 00 Exercice gros rouges et 3 petits rouges Ue boîte cotiet 8 cubes : gros verts et petit vert petit jaue U efat choisit au hasard et simultaémet 3 cubes de la boîte (o admettra que

Plus en détail

P : Dénombrements / Probabilités en univers fini

P : Dénombrements / Probabilités en univers fini P : Déombremets / Probabilités e uivers fii Déombremet & Combiatoire P.1 O tire les cartes! O tire 5 cartes das u jeu de 32 cartes usuel. Combie y a-t-il de tirages possibles vérifiat les coditios suivates

Plus en détail

DÉTERMINATION DE L INDICE DE RÉFRACTION D UN LIQUIDE

DÉTERMINATION DE L INDICE DE RÉFRACTION D UN LIQUIDE TP O. Page /5 BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE TRAVAUX PRATIQUES DE SCIENCES PHYSIQUES SUJET O. Ce documet compred : - ue fiche descriptive du sujet destiée à l examiateur : Page /5 - ue fiche descriptive

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2015 MATHÉMATIQUES. Série ES ENSEIGNEMENT SPECIFIQUE. Durée de l épreuve : 3 heures. Coefficient : 5

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2015 MATHÉMATIQUES. Série ES ENSEIGNEMENT SPECIFIQUE. Durée de l épreuve : 3 heures. Coefficient : 5 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Sessio 2015 MATHÉMATIQUES Série ES ENSEIGNEMENT SPECIFIQUE Durée de l épreuve : 3 heures Coeiciet : 5 Les calculatrices électroiques de poche sot autorisées, coormémet à la réglemetatio

Plus en détail

GRAPHES. 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 Les graphes ci-dessous peuvent-ils être associés à A? Exercice n 6. Ecrivez la matrice associé à chaque graphe :

GRAPHES. 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 Les graphes ci-dessous peuvent-ils être associés à A? Exercice n 6. Ecrivez la matrice associé à chaque graphe : Exercice. Détermier le degré de chacu des sommets du graphe suivat : GRAPHES Exercice 6. Ecrivez la matrice associé à chaque graphe : Exercice. Trois pays evoiet chacu à ue coférece deux espios ; chaque

Plus en détail

CORRIGES DE TRAVAUX DIRIGES DE MATH TERMINALES C,D,E. Structure : Probabilités JE RAPPELLE QUE C

CORRIGES DE TRAVAUX DIRIGES DE MATH TERMINALES C,D,E. Structure : Probabilités JE RAPPELLE QUE C Cette fiche a été téléchargée sur le site http://sila.e-mosite.com CORRIGES DE TRAVAUX DIRIGES DE MATH TERMINALES C,D,E. Structure : Probabilités k JE RAPPELLE QUE C k Exercice Le ombre total de possibilités

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Eocés 1 Déombremet Exercice 1 [ 01529 ] [correctio] Soiet E et F deux esembles fiis de cardiaux resectifs et. Combie y a-t-il d ijectios de E das F?

Plus en détail

Codes détecteurs et correcteurs d erreurs

Codes détecteurs et correcteurs d erreurs Codes détecteurs et correcteurs d erreurs Lorsque des doées umériques sot stockées ou trasmises, des perturbatios (par exemple électromagétiques) peuvet les edommager. Les codes détecteurs et correcteurs

Plus en détail

ESSCA(Management - Finances)

ESSCA(Management - Finances) parteaire de PREPAVOGT Yaoudé, 3 mai 04 BP : 765 Yaoudé Tél : 0 63 7 / 96 6 46 86 E-mail : prepavogt@yahoofr wwwprepavogtorg ESSCA(Maagemet - Fiaces) CONCOURS D ADMISSION RAISONNEMENT LOGIQUE ET MATHEMATIQUE

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

MATHÉMATIQUES Corrigé

MATHÉMATIQUES Corrigé Exame de ovembre 009 Exame du premier trimestre Le 30 ovembre 009 Classes de ère STG Durée 3 heures MATHÉMATIQUES Corrigé Note aux cadidats L emploi des calculatrices est autorisé (circulaire 99 86 du

Plus en détail

I. (2 points) III. (2 points)

I. (2 points) III. (2 points) ère S Cotrôle du vedredi 7 mars 05 (0 mi) Préom : Nom : Note : / 0 II ( poits) Soit ABC u triagle isocèle e A tel que AB AC 8 cm et BC 5 cm O ote I le milieu de [AC] Calculer BI (valeur exacte) I ( poits)

Plus en détail

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6 Corrigés TD Chapitre : Variables aléatoires sur u uivers fii Exercice : Soit X la VAR défiie par le tableau suivat : x i - - 0 p 6 4 6 4 6 i O ote Y = X ) Détermier la loi cooite de X et Y ) Détermier

Plus en détail

( 2) e x. x + d x. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

( 2) e x. x + d x. Donner une interprétation graphique de cette intégrale. EXERCICE : (6 poits) Commu à tous les cadidats Les deux parties de cet exercice sot idépedates. Partie A O cosidère l équatio différetielle (E) : y ' + y e x. ) Motrer que la foctio u défiie sur l esemble

Plus en détail

Chapitre 3: Réfraction de la lumière

Chapitre 3: Réfraction de la lumière 2 e B et C 3 Réfractio de la lumière 16 Chapitre 3: Réfractio de la lumière 1. Expériece 1 : tour de magie avec ue pièce de moaie a) Dispositio Autour d'ue petite boîte coteat ue pièce de 1 de ombreux

Plus en détail

Mathématiques Colle n o 22 Combinatoire. Probabilités. Lycée Charlemagne PCSI. Exercice 10. Exercice 7.

Mathématiques Colle n o 22 Combinatoire. Probabilités. Lycée Charlemagne PCSI. Exercice 10. Exercice 7. Mathématiques 205-206 Colle o 22 Combiatoire. Probabilités Lycée Charlemage PCSI Exercice. Exercice 5. O dispose de différets vêtemets : quatre slips, trois patalos, deux tee-shirts et ciq paires de chaussures.

Plus en détail

Partie B u. 4 Soit (u n ) la suite définie par : pour tout entier naturel n 0, u

Partie B u. 4 Soit (u n ) la suite définie par : pour tout entier naturel n 0, u Exercice 1 (6 poits) Commu à tous les cadidats O cosidère la foctio f défiie et dérivable sur l itervalle [ 0 ; + [ par : f (x) = 5 l ( x ± 3 ) x. 1. a. O appelle f ' la foctio dérivée de la foctio f sur

Plus en détail

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications Développemet d ue foctio e série etière Exemples et applicatios Das ce chapitre, K désigera R ou C B(; R) désigera la boule ouverte de cetre et de rayo R > 1 Gééralités Défiitio 1 Soit f ue applicatio

Plus en détail

CORRIGE DE L'EXAMEN DU 4 DECEMBRE 2002

CORRIGE DE L'EXAMEN DU 4 DECEMBRE 2002 CORRIGE DE L'EXAMEN DU 4 DECEMBRE EXERCICE. Notos X la variable aléatoire décrivat l'idetificatio des pièces défectueuses. Le ombre de valeurs possibles de X correspod au ombre de cofiguratios possibles

Plus en détail

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3 LES SUITES. Défiitio.. Défiitio Ue suite umérique est ue foctio de das, défiie à partir d'u certai rag 0. La otatio (u ) désige la suite e tat qu'objet mathématique et u désige l'image de l'etier (appelé

Plus en détail

a quand n tend vers plus l infini. d. Interpréter le résultat précédent en terme de nombre d abonnements de type A.

a quand n tend vers plus l infini. d. Interpréter le résultat précédent en terme de nombre d abonnements de type A. Liba Jui 23 Série ES Exercice U théâtre propose deux types d aboemets pour ue aée : u aboemet A doat droit à six spectacles ou u aboemet B doat droit à trois spectacles. O cosidère u groupe de 2 5 persoes

Plus en détail