Un modèle de programmation stochastique pour l allocation stratégique d actifs d un régime de retraite partiellement provisionné 1

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1 Un modèe de programmaon ochaque pour aocaon raégque d acf d un régme de rerae pareemen provonné Aaeddne FALEH ISFA- Unveré Lyon I 3 Cae de Dépô e Congnaon 4 ha veron - Feb 0 RÉSUMÉ Dan ce arce nou préenon de echnque novarce d'alm baée ur a programmaon ochaque Leur appcaon a éé déveoppée pour e chox de aocaon raégque d acf de régme de rerae par réparon pareemen provonné Une nouvee méhodooge pour a généraon de arbre de cénaro a éé égaemen adopée Une éude comparave du modèe d ALM déveoppé avec ceu baé ur a raége Fxed-Mx a éé effecuée Dfféren e de enbé on éé par aeur m en pace pour meurer mpac du changemen de cerane varabe cé d enrée ur e réua produ par nore modèe d ALM MOTS-CLEFS : geon acf-paf aocaon raégque d acf généraon de cénaro économque programmaon ochaque Ce rava a bénéfcé d une ade de 'Aocaon Naonae de a Recherche e de a Technooge (ANRT) poran a référence 77/008 e de ade de Agence Naonae de a Recherche (référence ANR-08-BLAN-034-0) Docoran dan e cadre d une convenon CIFRE enre a Cae de Dépô e Congnaon e e aboraore de Scence Acuaree e Fnancère (ISFA Unveré Lyon I) Conac : aaeddnefaeh@caededepofr ; aaeddnefaeh@yahoofr 3 Inu de Scence Fnancère e d Aurance (ISFA) - 50 avenue Tony Garner Lyon cedex 7 4 Cae de Dépô e Congnaon (CDC) 56 rue de Le Par 07

2 ABSTRACT In h paper we preen new ALM echnque baed on ochac programmng An appcaon o he raegc ae aocaon of a reremen cheme epecay hoe wh para provon deveoped A pecfc mehodoogy for he cenaro ree generaon propoed a h eve Fnay a comparave udy beween propoed ALM mode and Fxed-Mx raegy baed mode wa acheved We ao make a varey of a envy e o deec he mpac of he npu vaue change on he oupu reu provded by our ALM mode KEYWORDS : Ae-Laby Managemen Sraegc Ae Aocaon Economc Scenaro Generaor Sochac Programmng ha veron - Feb 0

3 Inroducon Récemmen a geon acf-paf (Ae-Laby Managemen ou ALM) a vu on rôe devenr de pu en pu nconournabe pour garanr a ovabé d une compagne noammen ue à a dernère cre fnancère de 008 L ALM cone dan une méhode gobae e coordonnée permean à une océé de gérer a compoon e adéquaon de enembe de e acf e paf Dan e ca pécfque de régme de rerae e echnque uée pour a me en pace dffèren parcuèremen en foncon de a naure de engagemen du régme Tro uaon au mon peuven êre recenée en France pour un régme de rerae donné : régme provonné (ca où e régme e enu à a couverure oae de engagemen oucr par e coan e reraé acue) régme pareemen provonné (couverure d une pare euemen de engagemen oucr par e coan e reraé acue) e enfn régme non provonné ha veron - Feb 0 Le fonconnemen fnancer du régme obje de nore éude e ceu de régme de rerae en France géré par réparon e pareemen provonné Le fux de coaon permeen dan ce ca de réger e fux de preaon Le urpu e ca échéan perme d amener une réerve denée à réger une pare de preaon fuure Cee même réerve peu e vor préever e ca échéan e ode echnque débeur (coaon nuffane pour réger e preaon) Enre emp a réerve e pacée ur e marché fnancer e répare enre dfférene cae d acf La noon de provon paree peu e manfeer en praque va une conrane règemenare : par exempe conragnan e régme à repecer à une dae fuure un ceran nveau de rappor enre a réerve fnancère e e preaon à payer à cee même dae Ean donné ce mode de fonconnemen on uppoera dan a ue que a geon acf-paf de ce ype de régme e baée ur opmaon de a vaeur de a réerve compe enu de conrane règemenare qu do repecer L'aocaon raégque 5 d'acf d un régme de rerae e ouven défne comme une éape d un proceu pu généra de geon acf-paf en parcuer comme éape en ava de appréhenon de rque e en amon de aocaon acque d acf Compe enu de ce poonnemen aocaon raégque d acf ve o à confrmer 'opmaé de a rucure de 'acf exan de a réerve o à propoer une rucure opmae d'acf de cee réerve qu permee au régme d aendre un ceran objecf de performance fnancère ou en repecan e engagemen avec un nveau de confance donné La geon acf-paf d un régme par réparon pareemen provonné peu êre baée ur opmaon de a vaeur de a réerve compe enu de conrane ée au paf qu do repecer C e dan ce cadre que e chox d une «bonne» 5 La caracéraon de «raégque» à oppoée de «acque» ven d une par de horzon empore auque appquen e éude d aocaon raégque d aure par du nombre mé de cae d acf condérée dan ce éude généraemen mé enre ro e dx acf au maxmum (cf Campbe e a[00]) 3

4 aocaon raégque joue un rôe eene dan e poage acf-paf d un régme de rerae éan donné que e réerve conrbuen à par enère à a odé du régme Cependan une dffcué cone à défnr a «meeure» raége de pacemen de ce réerve ur e marché fnancer noammen dan un conexe de fore ncerude économque comme c e acueemen e ca du fa de a récene cre fnancère De eur coé e echnque de programmaon ochaque (PS) on prouvé récemmen eur effcence dan a réouon de probème fnancer dver (cf Zeno [007]) Ce echnque on naemen dédée aux probémaque de panfcaon de a producon dan e domane de ngénere (cf Brge e Louveaux [997] Danzg e a [990] Ecudero e a [993]) La performance obenue avec e echnque de programmaon ochaque dan e domane de a fnance e prncpaemen due à eur capacé à prendre en compe e apec dynamque e compexe de conrane ouven renconrée dan ce domane ha veron - Feb 0 Seon Kau e Waace [003] a programmaon ochaque a eu une popuaré croane dan a communaué de mahémacen programmeur La puance acuee de ou nformaque perme aux uaeur d ajouer e apec ochaque aux modèe déermne dffce à réoudre y a queque année Dan ce cadre a programmaon ochaque peu êre vue comme un modèe de programmaon déermne avec ncerude au nveau de ceran paramère Au eu d avor de vaeur unque ce paramère on décr par de drbuon (dan e ca d une eue pérode) ou par de proceu ochaque (dan e ca mu-pérodque) En prncpe a programmaon ochaque peu êre appquée an réee dffcué queque o a forme de a foncon objecf ou e modèe de varabe ochaque an que a drbuon de ce varabe e ndépendane de varabe de décon dan e modèe générae d opmaon (cf Brge e Louveaux [997]) L objecf de ce rava era an a decrpon d une nouvee approche pour expoaon e a me en œuvre de ce echnque dan e cadre de aocaon raégque d acf d un régme de rerae pareemen provonné L approche de programmaon ochaque déveoppée dan ce rava e care héorquemen effcene e reavemen face à mere en œuvre (côé mpémenaon) L appcaon de cee approche peu améorer e echnque acuee uée par e fond de rerae en France en maère d aocaon raégque d acf ouven baée ur a mpe muaon e/ou ur expérence Le modèe d ALM déveoppé (en e baan ur e echnque de programmaon ochaque) pourra égaemen ervr comme une approche de référence don e réua on à comparer avec ceux de a raége de «à pod conan» ou Fxed-Mx : à chaque fn de pérode de muaon on recompoe e fond de façon à repecer e proporon nae propoée dan aocaon raégque opmae (cf Zeno [007]) Le pan de ce arce era comme u : on commence par une revue de éa de ar en maère d ALM e d uaon de echnque de programmaon ochaque On préene enue e modèe de dynamque de varabe fnancère condéré dan ce rava ou en déveoppan une approche novarce pour a généraon de 4

5 arbre de cénaro La roème econ e conacrée à a decrpon d un modèe mahémaque générae e ypque d aocaon raégque d acf pour un régme de rerae pareemen provonné Enfn La quarème econ e conacrée à a dcuon de réua u de a réouon de ce modèe va e echnque de programmaon ochaque A ce ade dfféren e de enbé on égaemen effecué Léraure ur a programmaon ochaque e ur ALM Dan a éraure e modèe d ALM on généraemen caé en ro groupe préené chronoogquemen comme u Le premer groupe conen e modèe d adoemen (ou machng) e d mmunaon par a duraon (cf Macauay [938] Redngon [95]) Ce modèe e baen ur e fa que e nveemen on eeneemen effecué dan de obgaon Cec nou perme d obenr o un adoemen de fux de réorere de acf fnancer à ceux du paf (machng) o un adoemen de a duraon de acf à cee du paf (mmunaon par a duraon) ha veron - Feb 0 Ce echnque éaen uée juqu au meu de année 80 e avaen comme nconvénen prncpaux a condéraon du rque de aux comme eue ource de rque pour e fond an que a néceé d un rebaancemen pérodque du porefeue en ré-eman à chaque fo a duraon du paf qu change connûmen du fa du changemen de aux d'nérê e de 'écouemen du emp Le deuxème groupe conen e modèe baé ur a muaon de cénaro déermne e ur a noon de urpu (Km e Sanomero [988] Sharpe e Tn [990] Lebowz e a [99]) Le modèe de urpu on pour obje a mnmaon du rque de pere du urpu (meuré par a varance de a renabé du urpu) ou conrane de renabé e de pod de acf I on de modèe monopérodque ce qu me eur ué en praque pour de probème d aocaon ur e ong erme Le roème groupe de modèe ue e echnque de muaon ochaque (Mone Caro) pour modéer évouon de dfféren éémen que ce o au nveau de acf fnancer e de engagemen ou au nveau de varabe de marché e de varabe démographque (cf Frauendorfer [007] e Maren [006]) An e o de probabé aocée aux réua du fond de rerae ur e ong erme peuven êre emée A ce nveau nou nou propoon de dnguer deux ou-groupe de modèe d ALM baé ur e echnque ochaque L éémen cé de dncon era ou ou non e pod de dfféren acf revennen pérodquemen à ceux de aocaon raégque défne naemen ( ou e modèe eron appeé modèe à pod conan ou raége Fxed-Mx) Pour e premer ou-groupe de modèe à pod conan (Fxed-Mx ) e magré e avancée réaée avec ce echnque (urou au nveau de mpémenaon nformaque) apec dynamque de aocaon raégque ree encore margnaé En fa ce modèe permeen de comparer de aocaon conane dan e emp (aque) ndépendammen de opporuné ée aux évouon 5

6 ner-emporee de marché (cf Meron [990] Kouwenberg [00] e Zeno [007]) Le deuxème ou-groupe de modèe e e pu récen e prncpaemen npré de a héore du chox de a conommaon e de porefeue déveoppée par Meron [97] I ag de modèe d aocaon «dynamque» Par exempe à parr de a défnon de a foncon objecf pour nveeur ce modèe permeen a déermnaon d une rajecore de pod de dfféren acf juqu à a dae d échéance ( ajuemen de pod e foncon de évouon projeée du marché e de a rège de geon prédéfne) L aocaon raégque reenue era aocaon opmae d acf à a dae nae 0 ha veron - Feb 0 Le cadre d uaon de ce modèe récen e heure au probème d mpémenaon vu a compexé de ou mahémaque empoyé (cf Hanau e a [005]) L approche dynamque préene avanage héorque de a robuee face aux changemen de régme de marché L auoraon du changemen de pod de dfférene cae d acf ur a bae d une rège de geon ben défne conue a pror un éémen nérean Cea en effe perme ajuemen de expoon aux dfférene cae d acf ue à évouon de condon de marché Cee réfexon ur a conrucon de modèe d aocaon dynamque d acf appcabe dan une opque prévonnee à ong-erme nou a donc condu à éuder une approche nnovane fondée ur e echnque de «programmaon ochaque» (cf Brge e Louveaux [997]) I 'ag d'une veron adapée d une echnque déjà uée dan e domane de ngénere pour a panfcaon de a producon (cf Danzg e a [990] Ecudero e a [993]) Le concep baque de modèe d ALM ou ncerude e avec programmaon ochaque on éé déveoppé par Kaberg e a [98] an que Kuy e Zemba [986] Pueur déveoppemen on éé enue préené Parm e modèe e pu adopé en praque nou rouvon e modèe de Rue-Yauda Kaa déveoppé par Carňo e a [994] I ag d un modèe d ALM pour une compagne d aurance japonae Yauda baé ur a programmaon ochaque mu-pérodque (muage ochac programmng) Seon ce aueur e modèe perme à Yauda de combner à a fo e ou ophqué ué en maère de pre de décon e e ou de geon de rque Cec permera d avor une anaye pu fabe e pu performane du poonnemen de a océé v-à-v de dfféren rque auxque ee e expoée Un aure modèe d ALM dynamque baé ur a programmaon ochaque appeé «Geon acf-paf aée par ordnaeur» (en anga «Compuer-aded ae/aby managemen ou CALM») e préené par Cong & Demper [998] : ce derner monren que e modèe CALM e conru en enan compe de ncerude affecan à a fo e acf (compoan e porefeue ou exan ur e marché) e e engagemen (ou forme de cénaro dépendan de fux de décaemen e de coû de opéraon d emprun) 6

7 Le modèe d ALM dynamque préené par Der [995] ree égaemen un modèe de référence en maère d'expoaon de echnque de PS pour e poage echnque d'un fond de penon I e appqué dan e ca de fond de penon à preaon défne Der préene un modèe d opmaon qu éude conjonemen a poque d nveemen e a poque de fnancemen d un fond de penon à preaon défne en enan compe de ncerude économque affecan e engagemen fuur v-à-v de e adhéren Ce modèe perme au de déermner e raége d ALM à adoper que ce o au nveau de décon d nveemen ou au nveau de aux de coaon dan un conexe d ncerude Der conae que e décon on dfférene que nou uon e raége d ALM dynamque ou de raége d ALM aque De même en uan un modèe dynamque d ALM a conaé que e raége propoée on à mondre coû de fnancemen e que e probabé de ou fnancemen on gnfcavemen pu fabe ha veron - Feb 0 Pueur aure modèe on récemmen confrmé e uccè de echnque de programmaon ochaque dan e conexe de a geon acf-paf Dan e ca pécfque de fond de penon de ype ango-axon (qu on prncpaemen baé ur a capaaon e ouven négraemen provonné) on peu cer ceran ravaux e que : Geyer e a [008] pour e fond de penon aurchen H e a [007] pour e fond de penon fnanda Haneved e a [005] pour e fond de penon aemand Boender e a [007] pour e fond de penon néeranda Le modèe de programmaon ochaque e pu appqué on e modèe de PS avec recour (wh recoure cf Brge e Louveaux [997]) Dan e ca monpérodque par exempe a démarche générae de ce ype de modèe uppoe a pre de deux décon : a premère au débu de a pérode compe enu de nformaon dponbe à cee dae e avan a réaaon d un évènemen aéaore e a deuxème à a fn de a pérode e aprè a réaaon de évènemen aéaore La deuxème décon e appeée décon de recour Ee e pre afn de compener e évenuee conéquence négave due à une mauvae décon nae La poque opmae dan ce ype de modèe perme de défnr e décon à éape nae an que e dfféren recour uéreur correpondan à chaque réaaon pobe de éémen aéaore Ce réua peuven enue êre éendu pour e ca de a programmaon ochaque mu-pérodque Une formuaon mahémaque de ce apec a éé préenée dan annexe Nou nou baeron au ur ce prncpe de recour or de a réouon du probème d aocaon raégque d acf d un régme de rerae pareemen provonné Pour cea nou expoon dan un premer emp e hypohèe reenue pour a généraon de cénaro économque e fnancer avan de paer à a decrpon du modèe ypque d opmaon 3 La généraon de cénaro économque e fnancer Nou décrvon dan ce qu u e hypohèe générae du généraeur de cénaro économque (GSE) noammen e modèe ochaque reenu pour chacune de varabe modéée Enue un rappe de dfférene rucure 7

8 chémaque de projecon e effecué Par aeur nou préenon à a fn de cee pare une nouvee méhodooge de généraon de cénaro économque que nou appeon méhodooge «de quane de référence» Cee dernère era uée or de appcaon de echnque de programmaon ochaque (cf econ 5) 3 Srucure chémaque pour a généraon de cénaro La projecon ur e ong erme de vaeur de marché de acf fnancer e de varabe macro-économque ouven appeée «généraon de cénaro économque» conue une phae crucae dan a geon acf-paf d une compagne d aurance ou d un fond de rerae Ee e un éémen cenra de évauaon de provon pour e garane fnancère ur de conra d épargne dan e cadre de Sovabé (cf Panche [009]) ha veron - Feb 0 Dan e ca parcuer de aocaon raégque d acf a déermnaon de aocaon opmae ven dan un deuxème emp uéreuremen à a projecon de cénaro afn de reféer aude face au rque de nveeur de ong erme Un modèe d ALM e uppoé enr compe du chéma d évouon de dfférene varabe économque e fnancère (aux nfaon rendemen de acon ec) mpacan au ben acf que e paf du régme de rerae en enan compe de a cohérence économque de reaon enre ce varabe La méhodooge de me en pace de modèe d acf era donc expoée dan cee pare L objecf de ce modèe e de projeer e vaeur de rendemen de dfféren acf fnancer (acon obgaon ec) an que e dfféren aux d nérê e varabe économque Cea perme d évauer enue opmaé de a poque d nveemen fnancer du fond e de préerver équbre acuare recherché Comme horzon de aocaon raégque e e ong erme e nombre de cae d acf condéré e ouven mé à ro à avor : e monéare e obgaon e e acon (cf Campbe e a [00]) Dan nore ca a méhodooge de projecon de varabe fnancère e économque era baée ur de modèe ochaque En praque une aenon parcuère do êre porée à nfaon qu e uée pour revaorer e coaon e e preaon de régme éudé Le chox d un modèe de rucure par erme de aux do enr compe de objecf de panfcaon raégque de ong erme qu dffère d un objecf d appcaon de cour erme baé ur a précon e a comparaon de réua avec e prx de produ dérvé e que ceux obervé ur e marché (cf Faeh e a [00]) Dan e modèe reenu a rucure par erme de aux nomnaux e dédue à parr de a rucure par erme de aux rée e de a rucure par erme de aux d nfaon ancpé Nou avon cho de modéer ce deux dernère par e modèe de Hu e Whe [994] à faceur (aux cour e aux ong) appqué dan un cadre d équbre généra avec un prncpe de reour à a moyenne de aux d nérê e avec une endance (ou drf) dépendane du emp 8

9 Le équaon régan ce proceu on e uvane : ha veron - Feb 0 dr = k ( - r )d + σ d = k ( µ - )d + σ db Avec : r = e aux d nérê (rée ou d nfaon) à cour erme à a dae = e aux d nérê (rée ou d nfaon) à ong erme à a dae r µ = e aux d nérê (rée ou d nfaon) à ong erme moyen k = a vee de reour à a moyenne pour e aux d nérê (rée ou d nfaon) à ong erme k r = a vee de reour à a moyenne pour e aux d nérê (rée ou d nfaon) à cour erme σ = a voaé de aux d nérê (rée ou d nfaon) à ong erme σ r = a voaé de aux d nérê (rée ou d nfaon) à cour erme db = e choc brownen appqué aux aux d nérê (rée ou d nfaon) à ong erme à a dae db r = e choc brownen appqué aux aux d nérê (rée ou d nfaon) à cour erme à a dae Ce modèe a e mére d êre ué pour de fn de projecon de ong erme e dan un cadre d anaye d un «monde rée» (Ahgrm e a [005]) I fourn au de formue expce pour e prx de obgaon zéro-coupon ce qu perme à on uaeur d obenr e aux de rendemen de dfférene mauré à n mpore quee dae duran a pérode de muaon (courbe de aux) Le chox d un modèe mu-facore garan une fexbé au nveau de a forme de a courbe de aux I e monré d un aure côé que e pouvor expcaf d un modèe à deux paramère e uffan pour a prévon de changemen de aux d nérê (Dae e a [009]) No deux faceur ué eron e aux ong (ou de ong erme) e e aux cour (ou de cour erme) comme menonné c-deu r db r Nou pourron obenr an dfférene forme de a courbe de aux en foncon de évouon de a pare de ong erme par rappor à a poon nae De même en condéran deux faceur nou évon a me du modèe à un eu faceur qu e cee d une corréaon parfae égae à enre e aux de rendemen exgé ur dfférene mauré Le aux d nérê nomna e dédu de approxmaon uvane de a reaon de Fher [93] (avec q e r repréenan e aux d nfaon e e aux d nérê rée repecvemen) : = [( + q ) ( + r ))] - Le rendemen de dfférene cae d acf obgaare peuven enue êre dédu à parr de ce projecon de aux d nérê : nomnaux rée e d nfaon (vor Annexe ) Le rendemen oaux (avec dvdende rénve) de acon on mué eon un modèe de changemen de régme e que propoé par Hardy [00] Cea perme de enr compe du phénomène de queue épae obervé ur e ong erme dan 9

10 e ca de ére de rendemen annue de acon Ce modèe uppoe donc que e rendemen de acon évouen ou un de deux régme uvan : un premer régme avec une endance reavemen éevée e une voaé fabe de rendemen e un deuxème régme avec une endance reavemen fabe e une voaé éevée de rendemen En uppoan ρ e régme dan eque e rouve e proceu dan nervae de emp [ + ] e S a vaeur de ndce de rendemen oa de acon à nan e modèe de changemen de régme peu êre formué an : Avec µ ρ e ( S / S )\ ρ ~ Nµ ( σ ) og = + ρ ρ σ ρ correpondan au rendemen moyen e à a voaé de rendemen ρ de acon ou e régme ρ ha veron - Feb 0 Par aeur une marce de ranon P dénoe e probabé de paage enre e deux régme : p Pr ρ = j / ρ = = j [ ] j = + = Le rendemen du monéare on uppoé uvre chacun un modèe ognorma de Back e Schoe [973] : dm = µ M d + σ M dz Avec : M = Le aux de rendemen du monéare à nan µ M = Le rendemen annue moyen du monéare σ M = La voaé du rendemen du monéare dz = Un mouvemen brownen corréé avec e aure varabe du modèe M Concernan a corréaon enre e acf ee era uppoée êre néare : e corréaon enre e dfféren varabe peuven êre dan ce ca urée à raver a marce c-deou (où ρ j e a corréaon enre acf de a gne e acf de a gne j de a marce) : M OBLIGATION dz ACTION dz MONETAIRE dz OBLIGATION dz d ρ d ρ 3d ACTION dz ρ d d ρ 3 d MONETAIRE dz ρ 3 d ρ 3 d d Tab : Iuraon de a marce de corréaon enre e dfféren acf du porefeue Afn de muer e brownen de modèe reenu (aux cour aux ong ec) ou en prenan en compe une rucure de corréaon prédéfne nou uon a décompoon de Choek de eur marce de varance covarance (cf Campbe e a [00]) 0

11 La cabraon de ce proceu ochaque ne conuan pa e cœur du probème de méhode caque baée ur e donnée horque on éé reenue pour emaon de eur paramère Cependan paraî néceare de gnaer que approche baée ur e donnée horque poède e propre me en maère de projecon ur e ong erme o à caue de a non dponbé de a profondeur néceare de cerane varabe ou à caue du fa que cerane de ce varabe ne on pa drecemen obervabe Aprè avor décr e dfféren modèe du GSE à conrure noammen ceux é aux varabe modéée nou préenon dan ce qu u e deux rucure chémaque de projecon ouven renconrée dan a éraure 3 Srucure chémaque pour a généraon de cénaro ha veron - Feb 0 Le chox de a rucure de projecon appeée au rucure chémaque de projecon pour chacune de varabe du GSE peu êre condéré comme une probémaque à par (cf Faeh e a [00]) Ee concerne a défnon du chéma graphque de ranon enre deux vaeur ucceve obervée à a dae e + de a même varabe An à chaque varabe du GSE peu correpondre une rucure de projecon parcuère Afn de mpfer anaye on uppoe dan a ue que a rucure de projecon choe e a même pour oue e varabe De même on défn un nœud comme a réaaon pobe de a varabe modéée à une dae donnée Une rajecore correpond an à enembe de nœud uccef qu formen un cénaro fuur pobe d évouon de a varabe fnancère ou macro-économque On préene c e caracérque de rucure de projecon e pu uée en praque En parcuer deux prncpae rucure peuven êre avancée à ce ade : a rucure de projecon néare d une par (cf Ahgrm [005]) e a rucure d arborecence d aure par (cf Kouwenberg [00]) La dfférence prncpae enre ce deux rucure de projecon e ue au nveau de a naure de a dépendance enre e dfférene rajecore muée Aor que pour e rucure de projecon néare une eue rajecore e dérvée à parr de chaque nœud e rucure par arborecence uppoen quan à ee que chaque nœud poède dfféren nœud-enfan e an dfférene rajecore pobe on dédue à parr de chaque nœud (cf graph ) Par exempe on e poonne dan e ca où a projecon de rendemen de acon e déroue ur deux pérode euemen e que pour e deux rucure on oben n nœud (ou rendemen) à a fn de a premère pérode S on ope pour une rucure néare de projecon on ne peu obenr que n nœud (ou rendemen) à a fn de a deuxème pérode chacun d enre eux forme avec e nœud précéden une rajecore dnce S par conre on ope pour une rucure d arbre e nombre de cénaro à a fn de a deuxème pérode e m avec m upéreur à n comme on projee dfféren rendemen à parr de chacun de n noeud mué fn de a premère pérode (cf graph )

12 n n n m Srucure néare de cénaro Srucure d arbre de cénaro Fg : Préenaon de deux rucure chémaque de projecon pour un GSE ha veron - Feb 0 La rucure d arbre de cénaro e a forme a pu récene e a pu compexe à uer On focaera nore nérê dan a ue ur ce ype de rucure : ag d une rucure pu adapée que a rucure néare pour appcaon de echnque d opmaon dynamque en parcuer dan e ca de a déermnaon de aocaon raégque d acf opmae (cf Kouwenberg [00]) En effe chaque nveau dan arbre repréene une dae fuure (ou un momen de pre de décon) e e dfféren nœud à chaque nveau repréenen e réaaon pobe de a varabe modéée à cee dae Le graphque repréene un exempe pu déaé de cee rucure Comme e monré dan ce graphque e nombre de nœud-enfan à chaque nveau n e pa nécearemen éga à ceu du nveau uvan Par exempe e nœud 0 dan e graphque a deux nœud-enfan aor que e nœud e on ro nœud-enfan Deux nveaux de arbre peuven ne pa préener a même pérode de emp Par exempe dan e graphque c-deu e nveau 0 peu repréener e débu de année 0 e nveau a fn de a deuxème année e e nveau a fn de a dxème année De même dan ceran arbre de cénaro compexe e que préené c-deou pourra avor dfféren nombre de nœud-enfan pour e nœud d un même nveau Nveau 0 Nveau 0 Nveau Fg : Exempe de préenaon de arbre de cénaro projeé

13 Un deuxème exempe de cee rucure e préené dan e graphque 3 Dan ce graphque a rucure de arbre compore 64 cenaro Nou reenon 8 réaaon pobe duran a premère pérode A parr de chacune de ce réaaon nou déermnon 4 réaaon duran a deuxème pérode Chacune d enre ee e an appeée «réaaon condonnee» car ee e foncon de a vaeur dan e nœud anécéden La roème pérode e caracérée par a généraon de réaaon à parr de cee obenue à a fn de a deuxème pérode Cec donne un oa de 8 4 =64 cénaro (ou rajecore) ha veron - Feb 0 =0 = = =3 Fg 3 : Exempe de préenaon de arbre de cénaro projeé Le echnque de programmaon ochaque appquen en condéran e arbre de cénaro comme varabe «donnée» (ou npu) L opmaon réaée va ce echnque uppoe donc comme donnée exogène e vaeur de chacun de nœud aocé aux arbre Pour cea nou propoon dan ce qu u une nouvee méhodooge de généraon de cénaro économque ou en eayan de fare e en enre rucure néare e rucure par arborecence 33 Méhodooge reenue pour a généraon de cénaro La méhodooge préenée à ce nveau ervra pour a généraon de arbre de cénaro 6 qu eron ué or de appcaon de echnque de a programmaon ochaque (cf econ 5) Ee era appeée méhodooge «de quane de référence» 6 un arbre pour chaque varabe e/ou faceur modéé 3

14 Le prncpe de cee méhodooge repoe ur deux éémen cé : e chox d une varabe parm cee modéée comme varabe de référence (ex e rendemen de acon) e e paage de a rucure néare de projecon à une rucure arborecene (pour chacune de varabe modéée) en e baan ur un ceran nombre de quane de a varabe de référence La méhodooge «de quane de référence» pae par e éape uvane : ha veron - Feb 0 - Dan un premer emp nou généron un nombre éevé de cénaro pour chacune de varabe modéée eon e prncpe de a rucure néare e compe enu de a pérode de projecon (ex 000 rajecore pobe ur e 0 prochane année avec un pa annue) - enue nou éeconnon une cae d acf ou une varabe donnée (ex e rendemen de acon) qu era appeée «varabe de référence» - pu à chaque nveau de arbre (dae = par exempe) aocée à a varabe de référence (rendemen de acon) nou reendron un nombre prédéfn de quane «quane de référence» en foncon de a rucure de arbre en parcuer en foncon du nombre de nœud prévu à cee dae (ex e ro quane 995 % 50 % e 05 % de rendemen de acon à a dae = e nombre de nœud à cee dae e prévu êre éga à 3) Par aeur nou noon que e nombre d année condérée enre deux nveaux de arbre e upéreur à e généraeur de arbre dédu e rendemen mué ur a pérode condérée (ex 5 an) à parr du généraeur néare menonné c-deu eon a formue uvane : R H arbre = ( + R ) = où : H e a pérode condérée dan arbre (ex 5 an) R e e rendemen ur a pérode H arbre R e e rendemen annue mué dan a rucure néare - Le projecon ou forme d arbre de aure varabe (en dehor de a varabe de référence) on enue déermnée : en chaque nœud de ce arbre nou donnon à ce varabe a vaeur qu correpond à a varabe de référence ur a bae de cénaro mué en amon avec a rucure néare de projecon Cee démarche a e mére de conerver a rucure de dépendance de cénaro généré Nou obenon an pour chacune de varabe modéée (e rendemen de obgaon nfaon ec) on propre arbre de cénaro - Le fux de paf de dépar dan e ca où on exprmé en euro dénfaé eron égaemen nfaé compe enu de arbre obenu pour nfaon : an ce fux nfaé eron égaemen repréené ou forme d arbre 4

15 La queon du en enre e chox d une par de n quane ( q ) dan arbre de cénaro (ce qu reven au chox de nveaux de probabé cumuée α qu eur on aocé) e d aure par e chox de pod ( p ) correpondan dan arbre de cénaro e poe au nveau de éape 3 du chéma préené c-deu Le pod ( p ) de chaque quane refèe a probabé de on obervaon par rappor à cee du ree de quane obervé à a même dae Nou nou référon au prncpe d négrae de Remann afn de pouvor mere en évdence ce en ha veron - Feb 0 Condéron e ca d une varabe aéaore X avec une foncon de réparon F - Nou uppoon au que a foncon nvere F exe e e connue L objecf e de conrure a varabe dcrèe n à raver e chox de n quane - ( q q n ) q = F α pour = n e α repréenan e nveau de q e que ( ) probabé cumuée aocé au quane q Cee varabe n do égaemen reféer a drbuon nae de X dan e en qu au mon e epérance de deux varabe doven converger : E( Xˆ ) E( X ) n n I ag d une hypohèe mpe de correpondance enre e deux drbuon X (cee de X e cee de n ) ma qu perme à ce nveau de formuer une premère éude ur e en enre d une par e pod p aocé à chaque quane e d aure par e nveau de probabé α Nou cherchon donc e quane ( q ) e e pod ( p ) aocé à ce quane de ore que a omme pondérée de n quane convergen ver E ( X ) orque n end ver nfn Pour cea nou uppoon que U repréene a o unforme ur nervae [0] 0 - nou pouvon écrre donc : E( X ) = F ( u)du D un aure côé epérance de a varabe X - n e préene comme : E ( Xˆ ) = p q = p F ( α ) n X n = n = X Le cacu de cee - dernère reven donc à un cacu de négrae de Remann pour a foncon F Auremen d a vaeur de E ( Xˆ ) n peu êre obenue à raver a omme de recange de bae égae à a ongueur du egmen don e meu e α (egmen - que nou pouvon appeé I ) e de haueur F ( α ) Le graphque 4 ure cee approche Le pod p peu êre emé à raver a ongueur de a bae du recange conenan α (ou a ongueur de I ) Dan un premer emp nou pouvon remarquer à raver e graphque 4 que p e foncon de a poon e donc du nveau de α ( = n ) An e fa de uppoer un α ( = n ) réguer c e à dre avec une dance denque enre e dfférene vaeur de α perme d obenr n fne un pod p = / n (cf graphque 5) En conéquence avec une vaeur éevée de n hypohèe de réguaré de α garan a convergence de deux epérance : 5

16 E n n ( Xˆ ) p q = q E( X ) n = Le chox de n vaeur de α équdan nou n n = = auore à emer epérance par une omme pondérée où chaque p e égae à / n Auremen d pour une dae donnée nou opon pour de quane équdan e chox de pod denque pour chaque quane perme de reféer a drbuon nae de X ha veron - Feb 0 Condéron manenan e ca de pueur varabe que on veu repréener ou forme d arbre de cénaro ou en conervan e en enre ee : reenon en parcuer exempe de ro varabe X Y e Z avec X comme varabe de référence L objecf e de déermner e rpe d obervaon ( x y z ) à un nan donné e à un nœud préc de arbre de cénaro à parr de projecon effecuée eon a rucure néare Une approche pobe era de commencer par a dcréaon de a varabe de référence X comme ndqué c-deu pour enue reenr e obervaon muanémen muée de Y e Z (ur a bae d un modèe de corréaon prédéfn dan a rucure néare de projecon) Cea e rapproche du chéma décr dan a méhodooge de quane de référence : aprè avor déermné e rang de x (ex 50 ème muaon dan a rucure néare) nou reenon e vaeur de y e de z correpondan à a même muaon Oure a pre en compe de a rucure de dépendance enre e varabe a méhodooge «de quane de référence» perme de er e aou d'une rucure néare de projecon à ceux de 'uaon d'une rucure arborecene La méhodooge propoée rédu égaemen a dmenon du probème na : e nombre de cénaro dan 'arbre obenu avec cee méhodooge peu êre beaucoup mon éevé que ceu dan e ca de a rucure néare (ué ouven au-deà de 000 cénaro pour avor une bonne emaon de a drbuon de varabe condérée cf Faeh e a [00]) Une aure aernave e égaemen envageabe : ag de raonner en erme d epérance d un nervae J de pon mé par deux quane uccef (cf graphque 4) au eu de raonner en erme de quane Dan ce cadre nou auron : Y = Y α = E Y / X J ( = n ) n n ( ) [ ] n n ( α ) = E[ Z / X J ] Z = Z ( = n ) n n Cea perme d avor n fne une emaon baée ur d avanage d obervaon du quane repréenan a drbuon nae 6

17 F - I I I 3 q 3 J 3 q J q J 0 α α α 3 ha veron - Feb 0 p p p3 Fg4 : Iuraon du en enre e nveau de probabé cumuée α d un quane pod aocé à ce derner dan arbre de cénaro (ca où n =3) J 3 J J F - q 3 q q I I I 3 q e e α α 3 0 α p p p3 Fg5 : Iuraon du en enre e nveau de probabé cumuée α d un quane q e e pod aocé à ce derner dan arbre de cénaro (ca où n =3 e α e réguer) : p = p = p3 Le éémen déveoppé c-deu nèren dan e cadre de a recherche d une von à a fo mpfée réee e dynamque de raége pobe pour aocaon raégque d acf en préence de conrane d'alm De même cee méhodooge en compe de hypohèe de drbuon de dfférene varabe projeée : ee garde a rucure de rque nae en reenan e quane «approxmaf» de cee drbuon I 'ag d'une raége à a fo face à expquer e cohérene Sa me en œuvre n e pa compquée e ee peu êre facemen adopée par e pracen 7

18 4 Le modèe d opmaon I 'ag c de propoer nore concepon pour 'adapaon de echnque de programmaon ochaque en parcuère cee avec recour dan un conexe d'aocaon raégque d'acf e d'alm d'un régme de rerae pareemen provonné La programmaon ochaque e caracérée par uaon d une foncon objecf qu devra êre opmée e d un enembe de conrane exprmée ou forme d équaon néare ou non néare e qu doven êre repecée La foncon objecf e nrodue afn qu ee ure a foncon d ué du décdeur La afacon de conrane pourra êre obenue par une muude de ouon La PS cherche à déermner a meeure ouon parm cee qu afon e conrane C e e ca d une anaye ype ALM où a afacon de adoemen de fux de paf par e fux d acf peu êre fae avec dfférene aocaon de porefeue La formuaon de ce probème à raver a PS perme d abour aux décon d aocaon d acf opmae dan e cadre de ALM ha veron - Feb 0 C e e ca par exempe de a programmaon ochaque avec recour qu e a echnque a pu uée en praque parm e aure echnque de PS (cf Zeno [007]) Rappeon que e prncpe de a programmaon ochaque avec recour dan e ca d une eue pérode pae par deux éape Dan a premère éape qu correpond au débu de a pérode y aura une pre de décon ur un éémen nceran Dan a deuxème éape qu correpond à a fn de a pérode e aprè a réaaon de a varabe aéaore de décon uppémenare peuven êre pre afn d éver que e conrane oen non repecée En e baan ur ce prncpe nou pouvon condérer acon de recour dan un modèe d ALM d un régme de rerae provonné comme a pobé de quder une pare du porefeue de marché L acon de recour endra compe ben enendu de a réaaon de évènemen aéaore qu affecera dan e conexe d ALM au ben acf que e paf du régme (ex performance de acon côé acf e nfaon de aare côé paf) La décon de débu de pérode concerne dan nore ca a réparon de pod de dfféren acf du porefeue de marché Ee va êre ajuée à a fn de a même pérode en foncon de réaaon de évènemen aéaore condéré (ex performance obervée de acon e nfaon conaée de aare ur a premère année) Pour e modèe d opmaon nou préenon dan un premer emp un cadre généra e ypque du probème d opmaon que dfféren ype de régme de rerae peuven renconrer noammen ceux pareemen provonné Ce modèe era par a ue mpfé au nveau de mpémenaon Le bu e c de propoer une approche générae permean a me en pace d un modèe d ALM dynamque baé ur a programmaon ochaque mu-pérodque A ce re nou condéron e ca d un fond de rerae qu poède à a dae nae 0 une réerve W 0 e qu devra fare face à une ére de fux F ( = T ) ur e T prochane année F e pove dan e ca où e coaon on upéreure aux preaon e ee e négave dan e ca conrare Nou 8

19 uppoeron que e derner fux F T e négaf e qu repréene engagemen fna du fond v-à-v de e adhéren Nou nou néreon à a raége d nveemen qu perme de parvenr au mon à payer ce dfféren fux en parcuer e derner F T (ou L ) Cea e ouven e ca d un régme de rerae pareemen provonné e où cee conrane de paemen peu par exempe êre mpoée par e cadre règemenare en pace L déa era ben ûr d avor un monan de réerve fnae upéreur à F T Cec éan d a pre en compe de averon au rque e ee au néceare puque nou pouvon e rerouver avec une réerve fnae W T nféreure à F T ha veron - Feb 0 La foncon objecf reenue à re uraf e bae ur e prncpe uvan : e fond de rerae arbue un mau q pour chaque uné de défc (écar négaf enre e monan de a réerve fnae W T e engagemen fna F T pour e cénaro S ) e un bonu r pour chaque uné de urpu Pour un cénaro S avec un écar pof enre W e F ué oae du fond de rerae era augmenée de T ( - F ) p T T T r W (avec avec un écar négaf enre dmnuée de ( ) p a probabé aocée au cénaro S ) Pour un cénaro S WT e F T ué oae du fond de rerae era q WT - FT p L ué oae du fond era uppoée êre égae à a omme de ce quané cacuée pour ou e cénaro projeé Côé conrane dfféren apec peuven êre condéré La conrane prncpae era appeée a conrane de probabé de rune : ag d aurer que a raége opmae d aocaon d acf perme d avor un WT upéreur à FT dan (- p cr ) fo du nombre oa de cénaro Pueur aure conrane peuven êre condérée (cf formuaon c-aprè) Dan ce qu u nou préenon e noaon reave à enembe de paramère e varabe condérée : Paramère Déermne : 0 h j : Monan na nve dan acf j W 0 : Réerve nae oae p c j : Coû de ranacon pour acha de acf j c j : Coû de ranacon pour a vene de acf j j : Pod nféreur du monan nve dan acf j (exprmée en pourcenage de a réerve oae) u : Pod upéreur du monan nve dan acf j (exprmée en pourcenage de a j réerve oae) b : Pod maxma du monan d acha pérodque de acf j (exprmée en P j pourcenage de a réerve oae) b : Pod maxma du monan de vene pérodque de acf j (exprmée en j pourcenage de a réerve oae) 9

20 τ : Durée de a pérode [ - ] en nombre d année card ( S) : Nombre oa de cénaro (nombre de branche à a dae fnae T ) p : Égae à / card ( S) (hypohèe approxmave de a probabé de chaque cénaro) q : Bonu de chaque uné de urpu (rémunéraon) r : Mau de chaque uné de défc (pénaé) Paramère Sochaque : R : Rendemen de acf j ur a pérode [ - ] j F : Fux de réorere de a pérode [ - ] L : Engagemen fna cbe (à a dae T ) dan e ca du cénaro S Varabe de décon : ha veron - Feb 0 h : Monan nve dan acf j enre a dae e + j p j : Monan d acha de acf j à a dae j : Monan de vene de acf j à a dae W : Réerve oae à a dae w + : Surpu (écar pof enre a réerve fnae e engagemen fna L pour e cénaro S ) w - : Défc (écar négaf enre a réerve fnae e engagemen fna L pour e cénaro S ) card : Nombre oa de cénaro où écar enre a réerve fnae e ( ) W - engagemen fna e négaf (nombre de cénaro où w - >0) p cr : Probabé maxmae accepée d avor de cénaro où a réerve fnae e nféreure à engagemen fna ( card / card ( S) do êre nféreur à p cr w >0) Auremen d e rappor ( ) - W - En e référan aux dfférene noaon c-deu nou propoon de formuer e modèe généra pour opmaon de aocaon raégque d acf d un régme de rerae pareemen provonné comme u : Objecf : Conrane : S Maxmer p + ( qw - rw ) - Conrane budgéare : e monan nve à chaque nan dan acf j do êre éga au monan nve dan e même acf à - e capaé enre ce deux dae augmené (dmnué) du monan de acha (vene) dud acf effecué à a dae 0

21 j j J h 0 = W 0 0 h0 j = h j + p0 j - 0 j h j = R j h- j + p j - j ha veron - Feb 0 Conrane de rebaancemen : e fux encaé à a dae en provenance de a vene de acf j ou d un ode echnque pof (coaon > preaon) conuen unque ource de fnancemen pour acha dud acf à a même dae (y compr e dfféren fra de ranacon) j J j J p ( + ) p = ( - c ) c j 0j j 0j j J p ( + c ) p = ( - c ) j j j J j j + F Conrane de porefeue : e monan nve dan acf j e borné à chaque nan enre deux monan proporonne à a vaeur de a réerve obervée à a même dae j W ) h j u jw (Avec : h j = W j Conrane de ranacon : e monan de acha e de vene de acf j on pafonné à chaque nan en foncon de a vaeur de a réerve obervée à a même dae p τ j τ j b b P j j W W Conrane d équbre fna = R h = L w W T T j T j + + j J - w - Conrane de probabé de rune : d aurer que a raége opmae d aocaon d acf perme d avor un WT upéreur à FT dan (- p cr ) fo du nombre oa de cénaro : card W / card S ( ) ( ) - pcr = T - j J Concernan e modèe d aocaon d acf nore éude e axée ur a comparaon de modèe dponbe eon e hypohèe ou-jacene de «rebaancemen» de porefeue : nou faon a dncon enre une geon aque (pour aquee e pod revennen pérodquemen à ceux de aocaon raégque de ong-erme - ca par exempe de modèe à pod conan Fxed- Mx) e une geon dynamque pour aquee e pod peuven écarer

22 défnvemen de aocaon raégque nae eon de rège de geon prédéfne Concernan a raége Fxed-Mx pourra êre condéré qu'à chaque fn de pérode de muaon on recompoe e fond de façon à repecer e proporon nae propoée dan aocaon raégque opmae Auremen ag d une raége d nveemen don e prncpe cone dan un rebaancemen pérodque de pod ver de nveaux cbe correpondan à ceux de aocaon raégque opmae 5 Appcaon numérque ha veron - Feb 0 Tou au ong de 'appcaon numérque déveoppée c-aprè nou comparon de réua reaf aux deux raége d aocaon d acf : cee baée ur a raége Fxed-Mx e cee baée ur e echnque de programmaon ochaque Cee dernère en compe de a méhodooge de quane de référence déveoppée dan a econ 3 Nou eon égaemen a enbé de cee nouvee approche d ALM par rappor au changemen de ceran de e paramère oue choe éan égae par aeur 5 Impémenaon Pour e modèe d opmaon obje de mpémenaon ceran paramère eron condéré comme nu afn de mpfer a me en pace en parcuer e paramère reaf aux conrane de ranacon de rebaancemen e de porefeue Auremen d nou uppoon abence de fra de ranacon de conrane de rebaancemen e de porefeue (défne dan a econ précédene) Concernan a me en pace de a méhodooge de «quane de référence» nou avon uppoé que e nombre mnmum de quane par nveau (ou dae) era de deux : 975 % e 5 % L enembe de quane uppémenare era cho de façon à ce que e dance en erme de nveaux de probabé cumuée enre e dfféren quane uccef oen e même Auremen d n =5 dégne e nombre de quane (y compr ceu du 975 % e ceu du 5 %) aor cee dance e égae à : = = 3 75 nq ce qu reven à condérer uccevemen e quane avec e nveaux de confance uvan : 5 % 65 % (= 5 %+375 %) 50 % (= 65 %+375 %) 7375 % (= 50 %+375 %) 975 % q Nou condéron au qu à chaque dae e dfféren quane de arbre auron a même probabé d occurence e an un denque p pour ou e cénaro : p = / card(s ) Cea garan a convergence ver a drbuon réee de a varabe modéée du momen où e nveaux de probabé cumuée de quane on équdan (comme monré dan a ou-econ précédene) La généraon de dfféren arbre era effecuée va e ogce MATLAB e compe enu d un même GSE à rucure néare denque en erme de modèe e de

23 paramère à ceu reenu dan a econ 3 L horzon de projecon (e donc de dfféren fux de paf) e de 0 an Dan nore appcaon e fux de paemen ne eron de donnée exogène (urave) e uppoé êre projeé ur une pérode de 0 an (par exempe enre e 0/0/0 e e 3//030) Ce fux eron exprmé en erme rée c'e-àdre an enr compe de nfaon de prx à a conommaon hor abac ur a pérode de projecon Le graphque c-deou repréene a ére de fux de paf condérée : ha veron - Feb Année Fg 6 : Fux de paf (dénfaé) ur 0 an Parm e npu uppémenare de MATLAB nou uppoeron e paramère andard uvan : Srucure de nœud de 'arbre [ 5 4 4] Srucure de pérode de 'arbre { 4 5} p cr 0 % q r W Varabe de référence Rd de acon Tab : Paramère andard dan e modèe d opmaon ochaque mu- pérodque Nou rappeon que a rucure de nœud de arbre correpond au veceur du nombre de nœud-enfan à chacune de quare nveaux condéré dan exempe ([ n n 0 n n ]) La rucure de pérode de arbre correpond au veceur de 3 horzon de projecon uppoé enre deux nveaux ({ H H H 3 }) L mpémenaon du modèe d opmaon ochaque mu-pérodque e quan à ee effecuée va e angage de modéaon AMPL (cf Fourer e a [00]) Ce derner e adapé pour e ype de probémaque baé ur a programmaon ochaque avec recour : aprè u avor précé e dfféren paramère (e 3

24 paramère déermne e paramère ochaque e varabe de décon arbre de cénaro ec) opmaon e effecuée avec un oveur généraemen dédé à a PS avec recour (cf H e a [007]) Paraèemen e probème d opmaon era m en pace dan e cadre de a raége Fxed-Mx en gardan e même GSE e e même paramère que ceux ué pour a raége avec programmaon ochaque (cf graphque 7) Le même fux de paf era égaemen condéré dan e deux raége Le nombre de cénaro projeé dan e ca de a raége Fxed-Mx e 000 cénaro ha veron - Feb 0 La réouon du probème de déermnaon de aocaon raégque d acf pour e régme de rerae éudé dan un cadre de raége Fxed-Mx pae en praque par ro prncpae éape Aprè avor déermné enembe de aocaon d acf pobe (aocaon à eer) a premère éape cone à générer de rajecore pour chaque cae d acf (acon obgaon mmober ec) La deuxème éape cone à projeer chaque aocaon pobe en foncon de a rège de geon du dpof La roème éape ve à déermner a vaeur de a foncon objecf pour chacune de ce aocaon Seron ucepbe d êre reenue aor cee qu maxmen a foncon objecf e repecen e conrane défne c-deu Langage MATLAB Généraon de cénaro ochaque eon a rucure néare (ex 000 cénaro pour chaque varabe) Méhodooge de «quane de référence» Paage à a rucure arborecene Langage AMPL Opmaon eon a raége Fxed- Mx Cenraaon de donnée ur e cénaro e e paramère d ALM Langage AMPL Eude de enbé comparaon de réua ec Opmaon dynamque eon a PS Fg 7 : Loggramme de raemen effecué dan e cadre de éude du modèe d ALM déveoppé 4

25 Le graphque 7 ynhée a démarche générae adopée or de appcaon numérque Dan ce graphque e cerce repréene a méhodooge ou e ogce ué Le recange repréene quan à u une éape dan éude du modèe d ALM déveoppé 5 Dcuon de réua Nou éuderon c effe du changemen de «quane de référence» ur aocaon fnae oue choe éan égae par aeur De même a rucure de nœud de ce arbre era condérée varabe : dfféren e eron effecué pour mere en évdence mpac du changemen de cee rucure ur e réua fnaux de aocaon Un e uppémenare par rappor au nombre d année enre deux nveaux de arbre e m en évdence : ag du e de changemen de a rucure de pérode de arbre oue choe éan égae par aeur ha veron - Feb 0 Le abeau de a rucure de nœud de arbre (cf abeau 3) ndque e pod opmaux du porefeue au nveau = 0 pour dfférene rucure de nœud pobe ([ 5 3 3] [ 7 3 3] [ 9 3 3] [ 3 4 4] [ 4 4 4] e [ 5 4 4] 7 ) oue choe éan égae par aeur I ag de aocaon nae recommandée débu 00 pour chacune de ce rucure I e uppoé que e pod von êre ajué aux dfféren nveaux uéreur de arbre compe enu de évouon pobe de varabe modéée Cea donne eu en fa non pa à une unque aocaon raégque ver aquee nou convergeon de façon pérodque e yémaque va un proceu de rebaancemen (ca de a raége Fxed-Mx) ma puô à un «chemn» opma d aocaon avec comme pon de dépar e aocaon du abeau Un exempe du «chemn» opma d aocaon obenu ur oue a pérode de projecon (ou au ong de arbre) e donné dan e graphque 8 e 9 repecvemen pour e deux rucure [ 5 3 3] e [ 5 4 4] Le abeau 3 préene égaemen a vaeur de a foncon objecf e a probabé de rune emée pour chacune de ce ouon Quan à a «réerve nae mnmae» ee correpond à W 0 mnmae à parr de aquee e pobe d avor au mon un «chemn» d aocaon réovan e probème d opmaon Nou noon que pu a réerve nae e éevée pu a probabé de ne pa couvrr engagemen fna cbe L e fabe e mpcemen effe de a pénaé deven néggeabe Le même abeau préene e vaeur de ce dfféren ndcaeur obenu dan e ca de a raége Fxed-mx I e nérean d éuder a convergence enre e deux raége orque nou augmenon enbemen e nombre de cénaro m en jeu dan arbre Nou conaon que même aocaon nae recommandée e a même pour e dfférene rucure (à avor 00 % acon) e vaeur emée de a foncon objecf e de a probabé de rune dffèren neemen eon a rucure de 7 Rappe : Nou adopon a convenon d écrure uvane : [ 5 3 3] gnfe par exempe que e nœud paren na a 5 nœud enfan eque on chacun 3 nœud enfan pu chacun d enre eux encore 3 nœud enfan 5

26 nœud en parcuer pour e ca de rucure qu uppoen prncpaemen un découpage en ro quane (à avor [ 5 3 3] [ 7 3 3] [ 9 3 3]) an que pour cee baée eeneemen ur une projecon en quare quane (à avor [ 3 4 4] [ 4 4 4] [ 5 4 4]) Le premer groupe perme d avor de vaeur de a foncon objecf reavemen pu éevée avec de nveaux de probabé de rune égaemen pu éevé Auremen d pour pouvor obenr un meeur rendemen nveeur do au aumer pu de rque : nou rerouvon an e cadre de a héore d effcence de Markowz [95] ha veron - Feb 0 Incdemmen nou remarquon que effe de a rucure de nœud ur a vaeur du coupe d ndcaeur (objecf / probabé de rune) e rè gnfcaf vore même pu mporan que effe du nombre de cénaro ou du nombre oa de nœud dan arbre En fa augmenaon du nombre de cénaro (en paan par exempe de 45 cénaro avec a rucure [ 5 3 3] à 80 cénaro avec a rucure [ 5 4 4]) ne donne pa forcémen eu à une convergence de a vaeur de a foncon objecf ver cee de a raége Fxed-Mx (3 87 euro) ma au conrare nou conaon a bae de a vaeur de a foncon objecf paan de 8 37 à 4 03 e ou accompagné d un prof de rque de mon au mon éevé (en parcuer e paage de a rucure [ 7 3 3] à a rucure [ 5 4 4] ndu a bae du nveau de rque de 9 % à %) Par aeur pu e nombre de cénaro augmene dan arbre pu e beon na en réerve dmnue e converge ver ceu exprmé dan e modèe Fxed-Mx Par exempe dan e ca de a rucure [ 5 3 3] qu correpond au nombre de cénaro e mon éevé exgence en capa na e égaemen a pu éevée (8 000) A nvere a rucure [ 5 4 4] qu compore praquemen e pu grand nombre de cénaro poède quan à ee a vaeur de a réerve nae mnmae a pu fabe On e vo e rôe du nombre de cénaro nerven pu au nveau de a réerve nae mnmae exgée qu au nveau de a convergence ver a ouon opmae aboue Srucure de nœud de 'arbre [ 5 3 3] [ 7 3 3] [ 9 3 3] [ 3 4 4] [ 4 4 4] [ 5 4 4] Fxed Mx Monéare 0 Obgaon 0 Acon Foncon objecf Probabé de rune % 37 Réerve nae mnmae Nombre de cénaro Nombre oa de nœud Tab 3 : Aocaon opmae e eur caracérque en foncon de rucure de arbre reenue e de raége reenue (avec a rucure de pérode { 4 5} e e acon comme varabe de référence) Le abeau 4 reaf à a rucure de pérode de arbre monre que e réua obenu va a programmaon ochaque on rè enbe au chox de a rucure reenue pour e durée de pérode (ou précémen e ou-pérode ur a durée oae de 0 an) cea en uppoan un même fux de paf de dépar Pu précémen nou procédon en agrégean ur 0 an un même fux de paf 6

27 va dfférene rucure de pérode à avor e uvane : { 4 5} { 8} { 9 0} {6 7 7} {0 9 } {5 4 } e {8 } 8 Nou conaon à ce nveau que e vaeur pour a foncon objecf e pour a probabé de rune dffèren enbemen eon que agrégaon e eeneemen effecuée ur e 5 dernère année (par exempe { 4 5} e { 8}) ou ur e 5 premère année (par exempe {5 4 } e {8 }) L expoon au rque acon peu égaemen fucuer de 0 % à 00 % ur aocaon nae recommandée Ben enendu ampeur e e en de ce mpac ur e dfféren ndcaeur (vaeur de a foncon objecf pod opmaux ec) ne peu pa êre généraé puque cea dépend de a ére de fux de paf condérée La réerve nae mnmae néceare pour avor une ouon au probème ree quan à ee qua conane quee que o a rucure de pérode reenue ha veron - Feb 0 Le abeau 5 éude a enbé de aocaon opmae par rappor au chox effecué pour a varabe de référence (ex rendemen de acon) dan e cadre de a méhodooge propoée (méhodooge «de quane de référence») oue choe éan égae par aeur L effe de ce chox ur e vaeur de a foncon objecf a probabé de rune an que a réerve nae mnmae e éudé Nou noon que e changemen de a varabe de référence a un effe mondre ur aocaon opmae nae à 0 que e changemen de a rucure de pérode de arbre (cf abeau 4) De même nou remarquon une bae gnfcave de a vaeur de a foncon objecf accompagnée par une averon au rque pu mporane orque on pae de acon comme varabe de référence au monéare : a vaeur de a foncon objecf pour a ouon opmae pae an de 4 03 dan e ca de acon à dan e ca du monéare and que a probabé de rune emée pae repecvemen de % à 0 % ndquan un degré éevé de prudence dan e chemn d aocaon recommandé dan e ca du monéare Cea monre mporance gnfcave du chox de a varabe de référence à ce nveau La réerve nae mnmae néceare pour avor une ouon au probème ree quan à ee qua conane que que o e quane de référence reenu Srucure de pérode de 'arbre { 4 5} { 8} { 9 0} {6 7 7} {0 9 } {5 4 } {8 } Monéare % 0 Obgaon 65 4% 75% 5% Acon % Foncon objecf Probabé de rune 5% Réerve nae mnmae Tab 4 : Aocaon opmae e eur caracérque en foncon de horzon reenu (avec a rucure de nœud [ 5 4 4] e e acon comme varabe de référence) 8 Rappe : Nou adopon a convenon d écrure uvane : { 4 5} gnfe par exempe e 3 oupérode conécuve an 4 an e 5 an 7