Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski

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1 Dossier : Actualité de l Aalyse e Lycée 447 Qu est-ce qu u bo éocé de bac? Aalyse de l exercice de spécialité de TS de Podichéry 2013 Jacques Lubczaski «Podichéry est tombé!» : cela ressemble à l aoce d ue victoire militaire, mais o : c est le texte du mail que j ai reçu d ue collègue eseigat e Termiale, pour me dire d aller récupérer sur le site de l APMEP le tout premier sujet de Bac de la sessio 2013 ; il a été posé aux élèves du lycée fraçais de Podichéry, e avace de deux mois sur leurs camarades de la métropole Aussitôt dit aussitôt fait, et aussitôt posé l exercice de spécialité à mes élèves, avec lesquels je fiissais justemet la partie «matrices» du ouveau programme EXERCICE 3 (5 poits) Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité O étudie l évolutio das le temps du ombre de jeues et d adultes das ue populatio d aimaux Pour tout etier aturel, o ote j le ombre d aimaux jeues après aées d observatio et a le ombre d aimaux adultes après aées d observatio Il y a au début de la première aée de l étude, 200 aimaux jeues et 500 aimaux adultes Aisi j 0 = 200 et a 0 = 500 O admet que pour tout etier aturel o a : j + 1 = 0,125 j + 0,525a a+ 1 = 0, 625 j + 0,625a O itroduit les matrices suivates : j 0,125 0, 525 et, pour tout etier aturel, A = U = 0,625 0, 625 a 1 a) Motrer que pour tout etier, U +1 = A U b) Calculer le ombre d aimaux jeues et d aimaux adultes après u a d observatio puis après deux as d observatio (résultats arrodis à l uité près par défaut) c) Pour tout etier aturel o ul, exprimer U e foctio de A et de U 0 (*) Lycée Léo Blum, Créteil ; jacqueslubczaski@ac-creteilfr

2 448 Dossier : Actualité de l Aalyse e Lycée APMEP 2 O itroduit les matrices suivates et = 0,25 0 = 7 3 Q D a) O admet que la matrice Q est iversible et que 0,1 0,06 Q = 0,1 0,14 Motrer que Q D Q -1 = A b) Motrer par récurrece sur que pour tout etier aturel o ul : A = Q D Q -1 c) Pour tout etier aturel o ul, détermier D e foctio de 3 O admet que pour tout etier aturel o ul, 0, 3 0, 7 0,25 0, 42 0, 42 0,25 + ( ) ( ) A = 0,5 0,5 ( 0,25) 0, 7 + 0, 3 ( 0,25) a) E déduire les expressios de j et a e foctio de et détermier les limites de ces deux suites b) Que peut-o e coclure pour la populatio d aimaux étudiée? À première vue, après ue lecture rapide, cet exercice m avait semblé facile Ue boe faço de mettre e cofiace mes élèves à l approche de l exame Mais au fur et à mesure que les élèves avaçaiet das la recherche e classe de cet exercice, je découvrais avec eux des difficultés iattedues, qui e les ot pas rassurés Voici l aalyse que je fais de cet éocé, décliée e ciq questios : pour chacue d etre elles, j ai essayé de dépasser la simple critique, toujours facile, et d élargir ma réflexio autour d ue questio plus géérale : qu est-ce qu u bo éocé de bac? 1 Le ombre d aimaux est-il u ombre etier? Mes élèves, après m avoir demadé ce que sigifiait l expressio «arrodis à l uité près par défaut» qui e leur était pas familière, car elle est plus guère utilisée, ot calculé et arrodi sas problème les valeurs de j 1 et a 1, puis se sot iterrogés : pour calculer les ombres d aimaux au bout de deux as, faut-il partir des valeurs arrodies ou des valeurs exactes trouvées pour j 1 et a 1? O e trouve pas les mêmes résultats Il apparait doc que les suites ( j ) et ( a ) sot mal défiies : j et a e peuvet pas être à la fois des ombres d aimaux, c est à dire des ombres etiers, et les valeurs o etières obteues par les relatios de récurrece L éocé e distigue pas etre la modélisatio mathématique et l iterprétatio qu o peut e faire e arrodissat à l etier iférieur le plus proche

3 Qu est-ce qu u bo éocé de bac? 449 D ailleurs le mot «modélisatio» apparaît pas das l éocé, ce que je regrette, d autat que cet éocé est u exemple de situatio «pseudo-cocrète», où les ombres proposés ot qu u loitai rapport avec des ombres issus d ue situatio réelle : ils ot été calculés «pour que ça tombe juste» (les matrices D et Q) Poser l exercice comme u travail de modélisatio permet de garder ue distace critique par rapport aux résultats obteus, et d accepter que, le temps du calcul, des ombres d aimaux puisset e pas être des ombres etiers 2 Démotrer ou costater? La questio se pose dès le début de l exercice : Motrer que pour tout etier aturel, U +1 = A U E effet, cette égalité est l écriture matricielle des formules de récurrece doées au début de l éocé Y a-t-il ici quelque chose à démotrer? U résultat de cours à ivoquer? Après deux mois de travail sur les matrices, mes élèves e savaiet pas commet rédiger ue répose à cette questio, pourtat cesée être la plus facile, puisque c est la première de l exercice Je leur ai proposé la rédactio suivate : «d après la défiitio du produit des matrices, et les relatios doées par l éocé, o observe que les coefficiets du produit A U sot égaux aux coefficiets de U +1» Je ai pas l impressio de les avoir covaicus que cette phrase reflétait u véritable travail Esuite (questio 1c), o demade d exprimer U e foctio de A et U 0 : le verbe «exprimer» sigifie-t-il qu o atted seulemet l écriture U = A U 0, ou bie qu il faut aussi la démotrer? Auquel cas u raisoemet par récurrece est écessaire, mais il est pas explicitemet demadé Et puis il me semble qu ue formulatio plus pertiete aurait été de demader d exprimer U e foctio de, de A, et de U 0, qui sot les variables utilisées, plutôt qu e foctio de A et U 0 Plus loi (questio 2a), o demade de motrer que Q D Q -1 = A Là ecore, y a-t-il quelque chose à démotrer quad le résultat du calcul est doé à l avace, et qu o peut effectuer ce calcul à la calculatrice? Faut-il faire semblat d avoir effectué le calcul e posat l opératio das la copie avec les coefficiets des matrices, puis e doat le résultat? Ou bie dire qu o a fait effectuer le produit de matrices à la calculatrice, et que le résultat a été cofirmé par ce qui était affiché sur l écra? O aurait sas doute pu, pour que les élèves aiet quelque chose à faire, e pas doer le résultat, d autat que ce type d exercice figure das tous les mauels et a été cherché e classe de ombreuses fois par les élèves E règle géérale, les questios où o demade de vérifier u calcul umérique dot le résultat est doé das l éocé me semblet difficiles à évaluer das ue copie, dès lors que ce calcul peut être effectué à la calculatrice, car le travail de l élève est ivisible pour le correcteur 3 Faut-il faire u raisoemet par récurrece? Pour obteir l expressio de A e foctio de l etier et des matrices Q et D, o demade explicitemet u raisoemet par récurrece (questio 2b) Mais e toute rigueur, il aurait fallu aussi utiliser ue récurrece dès la questio 1c, pour démotrer

4 450 Dossier : Actualité de l Aalyse e Lycée APMEP que U = A U 0, aisi qu à la questio 2c, pour détermier la puissace -ième de la matrice diagoale D Atted-o d u élève qu il pree l iitiative d u raisoemet par récurrece? Jusqu à préset ce était pas le cas : l usage était de préciser quad ce type de raisoemet était demadé, et de faço corollaire, quad ce était pas demadé, c est qu o pouvait faire autremet Mais quel que soit l usage adopté, il faudrait qu il soit cohéret : ou bie o demade chaque fois de faire ue récurrece, ou bie o e le précise jamais Le flou de cet éocé est très perturbat pour les élèves, d autat qu ue boe partie d etre eux est pas à l aise avec le raisoemet par récurrece, comme chaque collègue eseigat e Termiale S peut e témoiger d expériece Efi u raisoemet par récurrece est-il vraimet écessaire pour cette questio? E effet, si A = Q D Q -1, A = Q D Q -1 Q D Q -1 où le produit Q D Q -1 figure fois de suite O observe que d abord il y a das cette expressio des produits Q -1 Q qui se réduiset à l idetité, et esuite qu il reste alors Q D D D Q -1, où D est multipliée par elle même fois, soit fialemet A = Q D Q -1, ce qu il fallait démotrer D autre part, est-ce que l élévatio à la puissace d ue matrice diagoale, obteue e élevat à la puissace tous ses coefficiets, peut-être cosidérée comme u résultat du cours sur les matrices, au mois pour les matrices d ordre 2 et 3 que les élèves maipulet lors des TP? Les idicatios du programme officiel e me semblet pas assez détaillées pour pouvoir répodre à cette questio de faço défiitive Du coup, je e sais pas ce qui est attedu e termes de rédactio pour cette questio le jour de l exame 4 Commet faire calculer A à partir de A? La méthode classique pour élever à la puissace ue matrice est de la diagoaliser, c est-à-dire de détermier ue matrice de chagemet de base Q telle que la matrice D = Q -1 A Q soit diagoale La recherche de la matrice Q passe par la détermiatio de vecteurs propres de la matrice A, travail qui me semble clairemet au delà de ce qui est exigible d u élève de TS le jour du Bac : doer la matrice Q das l éocé est u choix raisoable, d ailleurs fait das de ombreux mauels Doer aussi so iverse das l éocé, quad il s agit de matrices d ordre 2 me semble plus discutable, car c est u travail que les élèves peuvet faire, à la calculatrice ou même à la mai Pour ma part, j ai iclus das le cours sur les matrices les formules de l iverse d ue matrice d ordre 2, sous la forme d ue petite recette : échager les termes diagoaux a et d, chager le sige des deux autres, et diviser le tout par ad - bc Ue fois établies les formules de passage de A à D, puis de A à D et efi de D à A, il e reste plus qu à élever D à la puissace pour retrouver la matrice A C est la voie que pred l exercice de Podichéry, mais celui-ci s arrête brutalemet juste avat de retrouver A à partir de D, alors que tout a été fait das ce but! Les

5 Qu est-ce qu u bo éocé de bac? 451 coefficiets de A sot doés au début de la questio suivate, apparemmet veus de ulle part Je suppose que cette icohérece mathématique e faisait pas partie de l éocé iitial, mais que celui-ci a été raccourci lors d ue relecture, sas doute pour réduire le temps de travail des élèves sur cet exercice Même si o e peut pas attedre d u exercice d exame qu il développe complètemet la situatio étudiée, car il s agit d abord d évaluer les acquis et les compéteces des élèves e temps limité, o peut tout de même espérer qu il respecte la démarche mathématique, quitte à admettre certais résultats pour gager du temps Ce est malheureusemet pas le cas ici Efi o peut remarquer que si o doe das l éocé les coefficiets de A, o pourrait alors remplacer tout le travail de diagoalisatio par ue démostratio par récurrece de l expressio des quatre coefficiets de la matrice A : e effet, la difficulté techique se réduit alors à multiplier A par A, pour retrouver les coefficiets de A +1 : avec les doées de l éocé, ce est pas très cofortable, mais quitte à utiliser ue modélisatio das u but exclusivemet mathématique, o pourrait trouver d autres doées umériques plus simples à maipuler 5 Passer à la limite das A ou das U? L éocé demade (questio 3b) d exprimer les ombres j et a e foctio de, à partir de l expressio de A et de U 0, autremet dit de calculer les coefficiets de la matrice coloe U, pour étudier esuite sa limite lorsque ted vers l ifii Or il est beaucoup plus simple de passer à la limite das les coefficiets de A avat de faire le produit par U 0 Autremet dit, si o appelle A la matrice dot les coefficiets sot les limites de ceux de A, la limite L de U est égale au produit A U 0 Le produit de matrices e met e jeu que des combiaisos liéaires : das le cas de limites fiies, comme ici, o peut sas problème passer à la limite avat de faire le produit La matrice limite L présete u gros itérêt aussi bie au pla théorique qu au pla pratique : si o se demade ce qui se passe quad ted vers l ifii das l égalité U +1 = A U, o observe que si U admet ue limite L, cette limite doit vérifier L = A L L état décrit par L s appelle ue répartitio (1) stable de la trasitio décrite par la matrice A Autremet dit la limite possible est forcémet ue répartitio stable O aurait pu e fi d éocé faire vérifier que la limite trouvée était ue répartitio stable, ce qui a u ses du poit de vue de la modélisatio Allos plus loi : L = A L sigifie que la répartitio stable L est u vecteur propre pour la valeur propre 1 Or les valeurs propres de A sot les coefficiets de la diagoale de D, et leurs puissaces -ièmes sot ceux de la diagoale de D Pour que D, et alors aussi A, admettet ue limite fiie o ulle quad ted vers l ifii, (1) «L'état stable d'u système» fait partie des expressios courammet employées par les scietifiques, mais le terme «état» peut être ambigu das ce type de questio, car il désige aussi u sommet das u graphe probabiliste Nous avos doc préféré utiliser ici le terme de «répartitio»

6 452 Dossier : Actualité de l Aalyse e Lycée APMEP il faut et il suffit que 1 soit valeur propre, et que l autre valeur propre q vérifie -1 < q < 1, e supposat que A est pas la matrice idetité C est bie le cas das cet éocé, où q =-0,25 Das le cas d ue marche aléatoire, les matrices de trasitio vérifiet souvet cette coditio, ce qui permet, par exemple e série ES, de chercher d abord la répartitio stable pour admettre esuite qu elle est la répartitio limite Les situatios étudiées e Termiale décrites par ue relatio matricielle du type U +1 = A U + B doet lieu à la recherche d ue limite possible, qui débouche sur ue répartitio stable L vérifiat L = A L + B La recherche de limites possibles obéit au même schéma pour les suites de matrices et pour les suites de ombres C est pourquoi j ai pris le parti de parler à mes élèves de suites géométriques ou arithmético-géométriques de matrices, pour leur motrer la même otio à l œuvre das deux cotextes différets Je me suis fait e passat la remarque que s il est classique de rechercher la limite possible d ue suite arithmético-géométrique de ombres pour esuite l étudier, il est mois classique de le faire pour ue suite géométrique Ce est pourtat pas iitéressat : u +1 = qu doe à la limite l = ql soit (1 - q)l = 0 : si la suite est pas costate (q différet de 1), la seule limite fiie possible est 0 Pour coclure : qu est-ce qu u bo éocé de bac? Cette questio est essetielle das u eseigemet problématisé comme celui des mathématiques ; les maths s eseiget par les problèmes et par les exercices, auxquels les élèvet accèdet par u seul et uique itermédiaire : l éocé Si je mets de coté les «problèmes ouverts», il me semble qu u éocé remplit trois foctios : la première foctio est de préseter et de poser le problème ; la deuxième foctio est de proposer aux élèves u itiéraire de résolutio du problème, déclié e ue suite de questios, et la troisième foctio est de diviser le travail de l élève e uités évaluables e termes de savoirs, de savoir-faire et de questioemets Ces trois foctios, présetatio, guidage et évaluatio e sot pas faciles à mettre e œuvre lors de la rédactio d u éocé E particulier, le fait qu il soit rédigé e fraçais implique u style particulier, et surtout ue part d implicite, qui fait que les élèves e compreet pas toujours précisémet ce qu o atted d eux Nous avos ue batterie de termes «métamathématiques» pour libeller les cosiges usuelles : das l exercice de Podichéry, o peut relever pas mois de six de ces termes : «motrer», «calculer», «exprimer», «détermier», «déduire», «coclure» Mais par exemple, o peut remarquer qu il y a jamais «démotrer» L explicitatio de ces termes fait partie du travail d etraîemet à l exame, au détrimet d activités plus mathématiques que liguistiques ; je e vois pas commet y échapper, si o e veut pas se coteter de QCM pour évaluer les compéteces des élèves Ue autre difficulté recotrée lors de la coceptio et de la rédactio d u éocé est d arriver à cocilier la foctio de guidage et la foctio d évaluatio : chaque questio est perçue par les élèves comme correspodat à peu près à la même

7 Qu est-ce qu u bo éocé de bac? 453 quatité de travail, et doc à la même quatité de poits Il faudrait doc diviser la résolutio du problème e étapes de difficultés et de temps de travail équivalets, ce qui est loi d être évidet, car tous les problèmes e se prêtet pas à cette décompositio quasi-liéaire e questios successives de même taille Efi, u éocé d exame ajoute à ces difficultés celles du temps limité et de la progressivité sas blocage : d où la écessité évetuelle d admettre certais résultats, et de faire e sorte que, pour répodre à ue questio, l élève ait pas écessairemet besoi d avoir su répodre à toutes les questios précédetes Compte teu de toutes ces difficultés, il me semble qu aucu éocé d exame e devrait être cosidéré comme défiitif ou simplemet au poit avat d avoir été posé à des élèves, et d avoir teu compte de leurs réactios Celui de Podichéry e fait pas exceptio, même si, comme tout sujet de Bac, il a sas doute été cobayé par u ou plusieurs eseigats Cepedat, sur ue partie ouvelle d u programme beaucoup mois détaillé que les précédets, j aurais apprécié, comme sas doute la plupart des collègues eseigat e TS, u éocé iattaquable au pla mathématique, et plus rassurat au pla didactique